数分离变量法作业题

分离变量积分练习题分离变量积分是微积分中的一个重要概念和技巧，用于解决一些特殊形式的微分方程。

它的核心思想是将含有多个变量的微分方程，通过适当的变换，化为仅含有一个变量的方程，从而简化求解过程。

假设有一个一阶常微分方程dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是已知函数。

我们希望找到y(x)的解。

为了使用分离变量的方法，我们可以将方程改写为dy/g(y)= f(x)dx。

现在，我们可以对方程两边进行积分。

对左边进行积分时，我们需要使用y作为积分变量，而对右边进行积分时，我们需要使用x作为积分变量。

这样，我们得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。

接下来，我们需要对两边的积分进行求解。

首先，我们对左边的积分进行求解。

这里需要注意的是，由于g(y)是一个关于y的函数，而我们对y进行积分，因此需要根据具体的g(y)函数形式，选择相应的积分方法。

假设g(y) = y，那么∫(1/g(y))dy = ∫(1/y)dy = ln|y| + C1，其中C1是常数。

如果g(y)是其他函数形式，我们需要根据具体情况选择不同的积分方法。

接下来，我们对右边的积分进行求解。

这里需要注意的是，由于f(x)是一个关于x的函数，而我们对x进行积分，因此需要根据具体的f(x)函数形式，选择相应的积分方法。

假设f(x) = x，那么∫f(x)dx = ∫xdx = (1/2)x^2 + C2，其中C2是常数。

如果f(x)是其他函数形式，我们需要根据具体情况选择不同的积分方法。

现在，我们将左右两边的积分结果相等，得到ln|y| + C1 = (1/2)x^2 + C2。

为了求解y(x)，我们可以通过一系列的代数运算，将方程转化为y(x)的显式表达式。

首先，我们可以通过移项，得到ln|y| = (1/2)x^2 + C2 - C1。

接下来，我们可以通过对数的性质，将方程转化为指数形式，得到|y| = e^((1/2)x^2 + C2 - C1)。

高中重要解题方法——分离变量法分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知的范围，求的范围：x a 定理1 不等式恒成立（求解的最小值）；不()()f x g a ≥⇔[]min ()()f x g a ≥()f x 等式恒成立（求解的最大值）.()()f x g a ≤⇔[]max ()()f x g a ≤()f x 定理2 不等式存在解（求解的最大值）；不()()f x g a ≥⇔[]max ()()f x g a ≥()f x 等式存在解（即求解的最小值）.()()f x g a ≤⇔[]min ()()f x g a ≤()f x 定理3 方程有解的范围的值域（求解的值域）.()()f x g a =⇔()g a =()f x ()f x 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.再现性题组：1、已知当x R 时，不等式恒成立，求实数a 的取值范围。

∈224sin cos sin 5x x x a +-<-+2.若f(x)=在上有恒成立，求a 的取值范围。

233x x --[1,4]x ∈-()21f x x a ≥+-3,、若f(x)=在上有恒成立，求a 的取值范围。

分离变量一、填空题1. 已知函数，若在上有解，则实数的取值范围为．2. 已知函数，若对区间上的任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是．3. 已知实数，满足条件若不等式恒成立，则实数的最大值是．4. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是．5. 若不等式对于一切成立，则的范围是．6. 已知是递增数列，且对任意都有恒成立，则实数的取值范围是．7. 若不等式对任意实数，都成立，则实数的取值范围是．8. 已知函数，若函数在上有极值，则实数的取值范围为．9. 若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是．10. 已知方程在上有解，则实数的取值范围为．11. 若曲线通过点（），则的取值范围是．12. 设函数．若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为．13. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．14. 定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件．若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为．15. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是．16. 设，若函数存在整数零点，则的取值集合为．17. 三个同学对问题"关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围"提出各自的解题思路．甲说："只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值"．乙说："把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值"．丙说："把不等式两边看成关于的函数，作出函数图象"．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是．18. 已知为上的偶函数，当时，．若存在实数，对任意的，都有成立，则满足条件的最小的整数的值是．19. 关于的不等式在上恒成立，则实数范围为．20. 对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围为．二、解答题21. 若函数的值恒大于，求实数的取值范围．22. 已知集合，函数的定义域为．(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．23. 已知点，是函数图象上的两个动点，轴，点在轴的右侧，点是线段的中点．(1)设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式；(2)若（1）中的满足对所有，恒成立，求实数的取值范围．24. 若，恒成立，求实数的取值范围．25. 已知函数，．(1)当时，求的最小值；(2)若，求的取值范围．26. 若关于的方程有解，求实数的取值范围．27. 已知函数，．(1)当时，求函数的值域；(2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．28. 已知命题：函数的定义域为；：不等式对一切正实数均成立．若和都是假命题，求实数的取值范围．29. 已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若对于任意恒成立，求实数的取值范围．30. 已知函数，其中，．若对任意恒有，试确定的取值范围．31. 已知函数．(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)若在区间上是减函数，求实数的取值范围．32. 若关于的方程有实数根，试确定实数的取值范围．33. 已知函数，(1)若，求的值；(2)若对于恒成立，求实数的取值范围．34. 设，且，．(1)求的解析式；(2)判断在上的单调性并用定义证明；(3)设方程在上有两个不同的解，求集合．35. 已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若在上是单调函数，求实数的取值范围．36. 已知函数，，其中．(1)若曲线与在处的切线相互平行，求两平行直线间的距离；(2)若对任意恒成立，求实数的值；(3)当时，对于函数，记在图象上任意两点，连线的斜率为，若恒成立，求的取值范围．37. 已知函数．设，且．(1)试将函数表示成关于的函数，并写出的范围；(2)若恒成立，求实数的取值范围；(3)若关于的方程有四个不同的实数根，求的取值范围．38. 已知函数．(1)当时，求在最小值；(2)若在上单调递增，求的取值范围；(3)若存在单调递减区间，求的取值范围．39. 设函数，方程有唯一解，数列满足，且，数列满足．(1)求证：数列是等差数列；(2)数列满足，其前项和为，若存在，使成立，求的最小值；(3)若对任意，使不等式成立，求实数的最大值．40. 已知函数．(1)是否存在实数，使得函数在区间上单调递减？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)当时，讨论函数的零点个数．答案第一部分1234567891011121314151617181920第二部分21 由题意对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，因为函数的最大值为，所以，即或．22 (1) 若，则，使．即．令，由上，易知．从而．(2) 若，则，都有，即．由（1）可知，此时．23 (1) 设，，，则，所以．(2) 由得，的对称轴为，因为，所以，所以在上的最大值为，所以恒成立，所以恒成立，即恒成立，因为当且仅当时成立，所以．24 原不等式，则有①因为由得．从而有在上最大值为．代入①得，，解得．故实数的取值范围为．25 (1) 当时，．当时，；当时，．所以的极小值为，又因为的定义域为，所以的最小值为．(2) ，即．因为，所以等价于．令，则．当时，；当时，．所以有极小值，且为最小值，为．故，所以的取值范围是．26 法一：因为当且仅当时，等号成立．所以，解得．法二：令，则方程变成．原方程有解即此方程有正根，又两根之积为，所以有解得．27 (1) ，因为，所以，故函数的值域为．(2) 由，得，令，因为，所以，所以对一切恒成立，①当时，；②当时，恒成立，即，因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，综上，．28 当为真时，有，成立，所以，且，解得．所以为假时，．当为真时，对一切正实数均成立，即．又因为在上是减函数，所以，即，因此只需．所以为假时，有．综上，，都假时，有．29 (1) 或(2)30 对任意恒有，即对恒成立．即对恒成立．记，，则只需．而在上是减函数．所以，故．31 (1) 当时，，所以．由题意得，即，解得，所以函数的单调递增区间是．(2) 求导得，因为在上为减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，易知，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为，所以的取值范围是．32 由，原方程可化为即其中．当时，有最小值；当时，有最大值．由此，因此，所求的取值范围是．33 (1) 当时，；当时，；由条件可知，即解得，．(2) 当时，即，，，，故的取值范围是．34 (1) ，且，，．，．(2) 在上单调递减，证明如下：设，．，，，，，，，在上单调递减．(3) 方程为，令，，则．方程在内有两个不同的解，．由图知时，方程有两个不同解，．35 (1) 求导函数可得，令，则或，，；令，则或，，；函数的单调递增区间是，单调递减区间是．(2) 由题意得，①若函数为上的单调增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，设，在上单调递减，，．②若函数在上的单调减函数，则在上恒成立，不可能．实数的取值范围．36 (1) ，，依题意得：，曲线在处的切线为，曲线在处的切线方程为．两直线间的距离为．(2) 令，则当时，注意到，所以，所以在单调递减，又，故时，，即，与题设矛盾．当时，，当，，当时，．所以在上是增函数，在上是减函数，所以．因为，又当时，，与不符．所以．(3) 当时，由（2）知，所以在上是减函数，不妨设，则，，所以．等价于，即，令，在上是减函数，因为，所以在时恒成立，所以．又时，，所以．又，所以的取值范围是．37 (1) 由，得．由，得．又所以(2) 因为对于任意的恒成立，所以对于任意的上恒成立．令，则．由解得；由，解得．所以在上单调递减，在上单调递增，所以．由此，的取值范围是．(3) 方程有四个不同的解，等价于在上有两个不相等的实根，等价于函数在上有两个零点，于是解得．故的取值范围是．38 (1) ，定义域为．因为所以在上是增函数．．(2) 由题在上恒成立即因为，而当且仅当时取等号所以所以．(3) 解法1：因为因为存在单调递减区间，所以有正数解，即有正实数解．①当时，明显成立．②当时，开口向下的抛物线，总有的解；③当时，开口向上的抛物线，即方程有正根．因为，所以方程有两正根．当时，；，解得．综合①②③知：．解法2：存在，使得即存在，使得由⑵得：．39 (1) 因为，方程有唯一解，所以，即有唯一解，所以，解得，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以数列首项为，公差为的等差数列．(2) 由（1）得，所以．因为，所以，所以，所以因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是．(3) 因为，所以．令．因为，所以，所以所以是递增数列，所以，所以，所以的最大值是．40 (1) 因为在上单调递减，所以对任意的上恒成立，即对任意的上恒成立．而．当且仅当，即时，上式等号成立．于是故满足题意的实数的取值范围为．(2) 由，得．令，得．列表如下：极小值所以．（i）当时，，所以在定义域内无零点．（ii）当时，，所以在定义域内有唯一的零点．（iii）当时，．①因为，所以在增区间内有唯一的零点．②．设，则，所以在上单调递增，从而，即，于是在减区间内有唯一的零点．所以当时，在定义域内有两个零点．综上所述，当时，在定义域内无零点；当时，在定义域内有唯一的零点；当时，在定义域内有两个零点．。

分离变量法例题例：两块半无限大接地平行于xz 平面的导体板，一块位于y = 0，另一块位于y = d ；平行板的有限端x = 0处被与之绝缘并保持常电势φ0的导体板封闭，如图所示。

求导体板间的电势。

解：对于本问题，求解区域是x > 0的两平行板之间，区域内无电荷分布，因此电势满足拉普拉斯方程。

区域的边界在y = 0、y = d 、x = 0、及x → ∞处。

本问题实际是一个二维问题，即静电势与z 无关。

因此，本定解问题：20ϕ∇= ( x > 0，0 < y < d ) (1)0x ϕ→∞= (2)00y ϕ== (x > 0) (3) 0y dϕ== (x > 0) (4) 00x ϕϕ== (0 < y < d ) (5)(2)的条件是我们通常的选择。

实际上(2)、(3)、(4)、(5)为边界条件。

因本问题为二维问题，(),x y ϕϕ=。

(1)在直角坐标系中可写成：22220x y ϕϕ∂∂+=∂∂ 分离变量法的核心是将多维函数分解为多个一维函数的乘积。

令(,)()()x y X x Y y ϕ=将其带入上式得：2222d d 0d d X Y Y X x y+= 将x 变量项和y 变量项整理为：22221d 1d d d X Y X Y x y =-上式坐标仅是x 的函数，而右边仅是y 的函数。

这样，我们就将变量分离了。

在上面的方程中，两半无限大接地平行导体板y = d对任意x 和y 成立，方程两边必等于常数。

即：222221d 1d d d X Y k X Y x y ==- (3-3-3)式中k 为实数常数，称为分离常数。

为什么我们将常数写为k 2而不是-k 2，后面我们将清楚这一点。

上式可分为两个微分方程：2221d d X k X x= 2221d d Y k Y y=- 我们知道上面的微分方程k 为非零时的解为：kx kx X Ae Be -=+sin()cos()Y C ky D ky =+若k = 0，根据边界条件只能得出零解，因此，k 为非零值。

第一章 分离变量法1、求解定解问题：200000000,(01),||0,,(0),|(),(),|0,(0).tt xx x x l t t u a u x u u n h l x x l n u h l l x x l l n l n u x l ====-=<<==⎧≤≤⎪⎪⎪=⎨-≤≤⎪-⎪⎪⎩=≤≤（P-223） 2、长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。

[提示：定解问题为200000000,(0),(0,)(,)0,,(0),(,0)(),(),|0.tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l u x F x l x x x l T lu =-=<<==-⎧<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩= ] (P-227)3、求解细杆导热问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布20|()/t u bx l x l ==-。

[定解问题为 220200,()(0),||0,|()/.t xx x x l t k u a u a x l C u u u bx l x l ρ===⎧-==≤≤⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩] (P-230) 4、求解定解问题2220,0,0220,0.03sin ,0.00u u a x l t t x u u x x l x u u A t l t t π⎧∂∂⎪-=<<>⎪∂∂⎪==⎨==⎪∂⎪===⎪∂=⎩4、长为l 的均匀杆，两端受压从而长度缩为(12)l ε-，放手后自由振动，求解杆的这一振动。

[提示：定解问题为20000,(0),||0,2|2(),|0.tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u x l u ε====⎧-=<<⎪==⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩] (P-236) 5、长为l 的杆，一端固定，另一端受力0F 而伸长，求解杆在放手后的振动。