第36讲 合情推理与演绎推理
1．合情推理 (1)归纳推理
①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的__全部对象__都具有这些特征的推理，或者由个别的事实概括出一般结论的推理．
②特点：是由__部分__到__整体__、由__个别
__
到__
一般__的推理． (2)类比推理
①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有__这些特征__的推理．
②特点：是由__特殊__到__特殊__的推理． 2．演绎推理 (1)演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__一般__到__特殊__的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的__一般原理__. ②小前提——所研究的__特殊情况__.
③结论——根据一般原理，对__特殊情况__做出的判断．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．(×)
(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)
(3)“所有3的倍数都是9的倍数，若数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)
解析(1)错误．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．
(2)错误．平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适．
(3)正确．因为大前提错误，所以结论错误．
(4)错误．演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．
2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(C)
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但推理形式错误
D．使用了“三段论”，但小前提错误
解析由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的．
3．数列2,5,11,20，x,47，…中的x＝(B)
A．28B．32
C．33D．27
解析由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9.
则x－20＝12，因此x＝32.
4．给出下列三个类比结论：
①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；
②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
其中结论正确的个数是(B)
A．0B．1
C．2D．3
解析只有③正确．
5．观察下列不等式：
1＋1
22＜3 2，
1＋1
22＋1
32＜
5
3，
1＋122＋132＋142＜74， …
按此规律，第五个不等式为__1＋122＋132＋142＋152＋162<11
6
__.
解析 观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋122＋132＋142＋152＋…＋1n 2<2n －1
n
(n ∈N *，n ≥2)，
所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<11
6
.
一 类比推理
(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．
(2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比、低维与高维的类比、等差与等比数列类比、运算类比(加与乘、乘与乘方、减与除、除与开方)、数的运算与向量运算类比、圆锥曲线间的类比等．
【例1】 (1)若数列{}a n 是等差数列，则数列{}b n ⎝⎛⎭⎫
b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类
比这一性质可知，若正项数列{}c n 是等比数列，且{}d n 也是等比数列，则d n 的表达式应为( D )
A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n
n
B ．d n ＝c 1·c 2·…·c n
n
C ．d n ＝
n
c n 1＋c n 2＋…＋c n
n
n
D ．d n ＝n
c 1·c 2·…·c n
(2)在平面几何中：△ABC 的∠C 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AE
BE .把这个
结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图)，平面DEC 平分二面角A －CD －B ，且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是__AE EB ＝S △ACD
S △BCD
__.
解析 (1)若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋
n (n －1)2d ，∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d
2
n
＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n (n －1)2
， ∴d n ＝n
c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{
d n }为等比数列，故选D ．
(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACD
S △BCD
.
二 归纳推理
归纳推理中几种问题的处理技巧
(1)与等式或不等式“共舞”问题．观察所给的几个等式或不等式两边式子的特点，注意是纵向看，发现隐含的规律．
(2)与数列“牵手”问题．先求出几个特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所含的范围，从而由特殊的结论推广到一般结论．
(3)与图形变化“相融”问题．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．
【例2】 观察下列等式： 12＝1； 12－22＝－3； 12－22＋32＝6； 12－22＋32－42＝－10； …
依此规律，第n 个等式可为__12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)
2
__.
解析 第n 个等式的左边第n 项应是(－1)n ＋
1n 2，
右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)
2
，
故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)
2
.
【例3】 观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有__28__个小正方形．
解析 第1～5个图形中分别有3,6,10,15,21个小正方形，它们分别为1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5,1＋2＋3＋4＋5＋6，因此a n ＝1＋2＋3＋…＋(n ＋1)．故a 6＝1＋2＋3＋…＋7＝7(1＋7)2
＝28，即第6个图中有28个小正方形．
【例4】 (2016·山东卷)观察下列等式：
