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§1.4 概率的公理化定义及概率的性质一、几何概率一个随机试验，如果数学模型是古典概型，那么描述这个实验的样本空间Ω,文件域 F 和概率P 已在前面得到解决。
在古典概型中，试验的结果是有限的，受到了很大的限制。
在实际问题中经常遇到试验结果是无限的情况的。
例如，若我们在一个面积为ΩS 的区域Ω中，等可能的任意投点，这里等可能的确切意义是这样的：在区域Ω中有任意一个小区域A ，若它的面积为A S , 则点A 落在A 中的可能性大小与A S 成正比，而与A 的位置及形状无关。
如果点A 落在区域A 这个随机事件仍记为A ，则由P(Ω)=1可得Ω=S S A P A)(, 这一类概率称为几何概率。
同样，如果在一条线段上投点，那么只需要将面积改为长度，如果在一个立方体内投点，则只需将面积改为体积。
例1：（会面问题）甲乙两人约定在6时到7时之间某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。
解：以x 和y 分别表示甲乙约会的时间，则600,600≤≤≤≤y x 。
两人能会面的充要条件是15≤-y x 在平面上建立直角坐标系（如教材图）则（x,y ）的所有可能结果是边长为60米的正方形，而可能会面的时间由图中阴影部分表示。
这是一个几何概率问题，由等可能性 167604560)(222=-==ΩS S A P A例2 蒲丰（Buffon ）投针问题。
平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为a(a>0)，向平面任意投掷一枚长为l(l<a)的针，试求针与平行线相交的概率。
解：假设x 表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以ϕ表示针与此直线间的交角，有20ax ≤≤，πϕ≤≤0 由这两式可以确定ϕ,x 平面上的一个矩形 }0,20),({πϕϕ≤≤≤≤=Ωax x ， 这时为了针与平行线相交，其条件为ϕsin 2lx ≤，由这个不等式表示的区域A 是图中的阴影部分 }sin 2,20),({ϕϕlx a x x A ≤≤≤=由等可能性可知 a la d lS S A P A ππϕϕπ22sin 2)(0===⎰Ω 若l,a 为已知，则以π值代入上式，即可计算得P （A ）的值。
概率的基本概念与性质总结概率是数学中一个重要的分支，用于描述随机事件发生的可能性。
通过对概率的研究，我们可以预测和解释各种自然和人为现象。
本文将总结概率的基本概念与性质，并探讨其在实际应用中的作用。
一、概率的基本概念1. 随机试验：指具有以下特点的试验，它的结果不确定，并且在相同条件下可以重复进行。
2. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合，用S表示。
样本空间是随机试验的基本范围。
3. 事件：样本空间的子集称为事件，用A、B、C等表示。
事件是我们关注的实际结果。
4. 几何概率：指试验中一件事件发生的概率，用P(A)表示，其中P 代表概率，A为事件。
二、概率的性质1. 非负性：对于任意事件A，有P(A)≥0。
2. 规范性：对于样本空间S，有P(S)=1。
3. 可列可加性：对于任意两个互不相容的事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
4. 对立性：事件A的对立事件（即A不发生）为A'，有P(A)+P(A')=1。
三、概率的计算方法1. 古典概型：指样本空间有限且所有结果发生的可能性相等的情况。
例如，掷硬币的结果只有正面和反面，概率为1/2。
2. 几何概型：指试验结果具有一定几何形状的情况。
例如，从半径为1的圆盘中等概率随机选择一点落在圆内的概率为π/4。
3. 统计概型：指通过统计方法估计概率的情况。
根据大数定律，当试验次数足够多时，试验结果逼近真实概率。
四、概率的应用1. 风险管理：概率的研究可以帮助我们评估和管理风险。
例如，在保险业中，根据历史数据和概率模型，可以预测保险事故的发生概率，从而制定相应的保险费率和赔偿政策。
2. 统计推断：概率在统计学中起到重要的作用。
通过对样本数据的统计分析，可以推断出总体的特征和参数，进而做出科学的决策和预测。
3. 金融市场：概率的研究对于金融市场的投资决策具有重要意义。
通过对市场行情的分析和模拟，可以评估不同投资策略的预期收益和风险，并制定相应的交易策略。
《概率论与数理统计》 第一章 随机事件与概率事件之间的关系： 事件之间的运算： 运算法则：交换律A ∪B=B ∪A A ∩B=B ∩A结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C) (A ∩B)∩C=A ∩(B ∩C) 分配律(A ∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A ∩B)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) 对偶律 A ∪B ‾‾ =A ‾∩B ‾ A ∩B ‾‾ =A ‾∪B ‾ 古典概型： 概率公式：求逆公式 P(A ‾)=1- P(A)加法公式 P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); 当A ⊃B 时，有P(A-B)=P(A)-P(B)注意： A-B = A B ‾ = A-AB = (A ∪B)-B条件概率公式：P(A|B)=P(AB)P(B); (P(B)>0)P(A|B)表示事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率。
乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中P(A)>0, P(B)>0) 一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中P(AB)>0)全概率公式：P(A)= ∑i=1nP(A|B i )P(B i ) 其中B 1,B 2,…,B n 构成Ω的一个分斥。
贝叶斯公式：P(A k |B)= P(B|A k )P(A k )P(B) = P(B|A k )P(A k )∑i=1nP(B|A i )P(A i )（由果溯因）概论的性质：事件的独立性：如果事件A 与事件B 满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立。
结论：1. 如果P(A)>0，则事件A 与B 独立⇔2. 事件A 与事件B 独立⇔事件A 与事件B ‾独立⇔事件A ‾与事件B 独立⇔事件A ‾与事件B ‾独立贝努里概型：指在相同条件下进行n 次试验；每次试验的结果有且仅有两种A 与A ‾；各次试验是相互独立；每次试验的结果发生的概率相同P(A)=p, P(A‾)=1-p 。
第一章概率论的基本概论确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或实验）的结果是不能确切地预测的。
由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机实验。
例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项实验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。
例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。
随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？这就要引入”概率”的概念。
概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。
§1.1 随机实验以上实验的共同特点是:1．实验可以在相同的条件下重复进行；2．实验的全部可能结果不止一个，并且在实验之前能明确知道所有的可能结果；3．每次实验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次实验究竟发生哪一个可能结果在实验之前不能预言。
我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机实验，它一定满足以上三个条件。
我们把满足上述三个条件的实验叫随机实验，简称实验，记E。
§1.2样本空间与随机事件(一) 样本空间与基本事件E的一个可能结果称为E的一个基本事件，记为ω，e等。
E的基本事件全体构成的集，称为E的样本空间，记为S或Ω, 即：S={ω|ω为E的基本事件}，Ω={e}.注意：ω的完备性，互斥性特点。
例：§1.1中实验E 1--- E 7 E 1：S 1={H,T}E 2：S 2={ HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT }E 3：S 3={0，1，2，3} E 4：S 4={1,2,3,4,5,6} E 5: S 5={0,1,2,3,…} E 6：S 5={t0≥t }E 7：S 7={()y x ,10T y x T ≤≤≤}（二） 随机事件我们把实验 E 的全部可能结果中某一确定的部分称为随机事件。
概论课知识点总结概论课是大学阶段的一门基础必修课程，通过该课程的学习，可以为学生提供一些基础的学科知识和方法论，帮助学生建立全面系统的知识结构和思维方式，有利于提高学生的学科素养和分析问题的能力。
本文将对概论课知识点进行总结，包括但不限于自然科学、社会科学、人文科学等方面的基础知识。
一、自然科学1. 数学数学作为自然科学的一门重要基础学科，对于各种学科的研究都有重要的作用。
概论课程中，通常会涉及基本代数、几何、微积分、概率统计等数学知识，学生需要掌握这些基本数学概念和方法，为后续学科学习打下基础。
2. 物理学物理学是自然科学中一门基础学科，主要研究自然界的物理现象和规律。
概论课程中，通常会介绍一些基本的力学、热学、电磁学等物理概念，学生需要掌握这些基本物理知识，了解物质运动、能量转化、电磁波等基本规律。
3. 化学化学是自然科学中的一门基础学科，主要研究物质的结构、性质、变化规律。
概论课程中，通常会介绍一些基本的化学概念，如元素周期表、化学键、化学反应等，学生需要掌握这些基本化学知识，了解物质的基本组成和性质。
4. 生物学生物学是自然科学中的一门基础学科，主要研究生物的结构、功能、演化等现象和规律。
概论课程中，通常会介绍一些基本的生物学知识，如细胞结构、生物进化、生物分类等，学生需要掌握这些基本生物学知识，了解生命的基本组成和规律。
二、社会科学1. 经济学经济学是社会科学中的一门基础学科，主要研究资源的配置和利用、经济增长和分配等问题。
概论课程中，通常会介绍一些基本的经济学知识，如供求关系、市场结构、宏观经济政策等，学生需要掌握这些基本经济学知识，了解经济运行的基本规律。
2. 政治学政治学是社会科学中的一门基础学科，主要研究政治组织、行为和理论等问题。
概论课程中，通常会介绍一些基本的政治学知识，如政府组织、权力分立、民主制度等，学生需要掌握这些基本政治学知识，了解政治运行的基本规律。
3. 社会学社会学是社会科学中的一门基础学科，主要研究社会的结构、功能、变迁等问题。
