2020年江苏省对口单招数学试卷
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数学
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分,在下列每小题中,选出一个正确答案,将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑)
1.已知集合M={1,4},N={1,2,3},则M∪N等于
A.{1}
B.{2,3}
C.{2,3,4}
D.{1,2,3,4}
2.若复数z满足z(2−i)=1+3i,则z的模等于
A.√2
B.√3
C.2
D.3
3.若数组a=(2,-3,1)和b=(1,x,4)满足条件0
·
b
a,则x的值是
A.-1
B.0
C.1
D.2
4.在逻辑运算中,“A+B=0”是“A·B=0”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.从5名男医生,4名女医生中任选5人组成一个医疗小分队,要求其中男医生、女医生均不少于2人,则有所不同的组队方案种树是
A.80
B.100
C.240
D.300
6.过抛物线(y−1)2=4(x+2)的顶点,且与直线x−2y+3=0垂直的直线方程是
A.2x+y-3=0
B.2x+y+3=0
C.x-2y+4=0
D.x-2y-4=0
7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中(题7图),异面直线A1B与B1C之间的夹角是
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
8.题8图是某项工程的网络图(单位:天),则该工程的关键路径是
A.A→B→D→E→J
B.A→B→D→E→K→M
C.A→B→D→F→H→J
D.A→B→D→G→I→J
9.若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,π
3]上单调递增,在区间[π
3
,π
2
]上单调递减,则ω等于
A.2
3B.2 C.3
2
D.3
10.已知函数f(x)={2,x∈[0,1]
x,x∉[0,1],则使f(f(x))=2成立的实数x的集合为
A.{x|0≤x≤1或x=2}
B. {x|0≤x≤1或x=3}
C. {x|1≤x≤2}
D. {x|0≤x≤2}
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
11.题11图是一个程序框图,执行该程序框图,则输出的T值是▲ .
12.与曲线{x=6+3√2cosθ,
y=6+3√2sinθ,
(θ为参数)和直线x+y−2=0都相切,且半径最小的圆的的标
准方程是▲ .
13.已知{a n}是等比数列,a2=2,a5=1
4
,则a8=▲ .
14.已知αϵ(π,2π),tanα=−3
4
,则cos(2π−α)=▲ .
15.已知函数f(x)={
2x−1,x≤2
4+log a x,x>2(a>0且a≠1)的最大值为3,则实数a的取值范围是
▲ .
三.解答题(本大题共8小题,共90分)
16.(8分)若函数f(x)=x2+(a2−5a+3)x+4在(−∞,3
2
]上单调递减.
(1)求实数a的取值范围;
(2)解关于x的不等式log a(1
2
)3x≥log a8.
17.(10分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x恒有f(x+2)=−f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2−2x.
(1)求证:函数f(x)的周期是4;
(2)求f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)的值;
(3)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式.
18.(12分)袋中装有5张分别写着1,2,3,4,5的卡片.
(1)若从中随机抽取一张卡片,然后放回后再随机抽取一张卡片,求事件A={两次抽取的卡片上的数相同}的概率;
(2)若从中随机抽取一张卡片,不放回再随机抽取一张卡片.
①求事件B={第二次抽取的卡片上的数大于第一次抽取的卡片上的数}的概率;
②若第一次抽取的卡片上的数记为a ,第二次抽取的卡片上的数记为b ,求事件C={点(a,b )在圆x 2+y 2=16内}的概率.
19.(12分)已知函数f (x )=2cos x 2(√3cos x 2−sin x 2),又在△ABC 中,三个角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ,且f(A)=0.
(1)求角A 的大小;
(2)若sin B +sin C =1,a =√3,求△ABC 的面积. 20.(10分)某地建一座桥,总长为240米 ,两端的桥墩已建好,余下工程需要建若干个桥墩以及各桥墩之间的桥面.经估算,一个桥墩的工程费用为400万元,距离为x 米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(x 2+x )万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y 万元.
(1)试写出y 关于x 的函数关系式;
(2)需要新建多少个桥墩才能使y 最小,其最小值是多少?
21.(14分)已知数列{a n }满足a 3=15,a n −a n+1=2a n ·a n+1(n ∈N +).
(1)求a 1,并证明数列{1a n }为等差数列; (2)设b n =√1a n +√1a n+1
,计算b 1+b 2+⋯+b 12的值; (3)设C n =(12)1a n ,数列{c n }前n 项和为S n ,证明S n <23.
22.(10分)某运输公司在疫情期间接到运送物资的任务,该公司现有9辆载重为8吨的甲型卡车和6辆载重为10吨的乙型卡车,共有12名驾驶员,要求该公司每天至少运送640吨物资.已知每辆甲型卡车每天往返的次数为12次,每辆乙型卡车每天往返的次数为8次.若每辆卡车每天所需成本为甲型卡车240元,乙型卡车360元.问每天派出甲型卡车和乙型卡车各多少辆时,运输公司所花成本最少?并求最小成本.
23.(14分)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2√3,短袖长为2.
(1)求椭圆E 的方程;
(2)设A 为椭圆的左顶点,过点A 的直线l 与椭圆交于另一点B.
①若|AB |=2√63,求直线l 的斜率k ; ②若点P(0,m)在线段AB 的垂直平分线上,且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB
⃗⃗⃗⃗⃗ =2,求m 的值.