江苏省2020年普通高校对口单招文化统考数学试题(图片版含答案解析)

2020年江苏省对口单招数学试卷一、单项选择题1.已知集合M={1,4},N={1,2,3}，则M∪N等于A。

{1} B。

{2,3} C。

{2,3,4} D。

{1,2,3,4}解析：M∪N表示M和N的并集，即M和N中所有元素组成的集合，所以M∪N={1,2,3,4}，选D。

2.若复数z满足z(2−i)=1+3i，则z的模等于A。

√2 B。

√3 C。

2 D。

3解析：将z(2-i)=1+3i展开得到2z-iz=1+3i，化简得到z=(1+3i)/(2-i)。

将分子分母都乘以2+i得到z=(1+3i)(2+i)/(5)=(-1+7i)/5，所以|z|=√((-1/5)^2+(7/5)^2)=√2，选A。

3.若数组a=(2,-3,1)和b=(1,x,4)满足条件a·b=0，则x的值是A。

-1 B。

0 C。

1 D。

2解析：XXX表示a和b的点积，即a1b1+a2b2+a3b3.将a 和b代入得到2×1+(-3)×x+1×4=0，解得x=1，选C。

4.在逻辑运算中，“A+B=”是“A·B=”的A。

充分不必要条件 B。

必要不充分条件 C。

充分必要条件 D。

既不充分也不必要条件解析：A+B=表示A或B成立，XXX表示A和B同时成立。

A+B=是A·B=的必要不充分条件，选B。

5.从5名男医生，4名女医生中任选5人组成一个医疗小分队，要求其中男医生、女医生均不少于2人，则有所不同的组队方案数是A。

80 B。

100 C。

240 D。

300解析：分别从男医生和女医生中选出2人，然后从剩下的7人中选出1人，共有C(5,2)×C(4,2)×C(7,1)=6×6×7=252种方案，但是有男女对调的重复情况，即2个男医生和3个女医生的情况和2个女医生和3个男医生的情况是重复的，所以实际方案数为252/2=126，选D。

6.过抛物线(y-1)^2=4(x+2)的顶点，且与直线x-2y+3=0垂直的直线方程是A。

江苏省2020年普通高校对口单招文化统考数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑）1.已知集合M={1,4},N={1,2,3}，则M∪N等于A.{1}B.{2,3}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}2.若复数z满足z(2−i)=1+3i，则z的模等于A.√2B.√3C.2D.33.若数组a=(2,-3,1)和b=(1,x,4)满足条件0·ba，则x的值是A.-1B.0C.1D.24.在逻辑运算中，“A+B=0”是“A·B=0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.从5名男医生，4名女医生中任选5人组成一个医疗小分队，要求其中男医生、女医生均不少于2人，则有所不同的组队方案种树是A.80B.100C.240D.3006.过抛物线(y−1)2=4(x+2)的顶点，且与直线x−2y+3=0垂直的直线方程是A.2x+y-3=0B.2x+y+3=0C.x-2y+4=0D.x-2y-4=07.在正方体ABCD−A1B1C1D1中（题7图），异面直线A1B与B1C之间的夹角是A.30°B.45°C.60°D.90°8.题8图是某项工程的网络图（单位：天），则该工程的关键路径是A.A→B→D→E→JB.A→B→D→E→K→MC.A→B→D→F→H→JD.A→B→D→G→I→J9.若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则ω等于A.23B.2 C.32D.310.已知函数f(x)={2,x∈[0,1]x,x∉[0,1]，则使f(f(x))=2成立的实数x的集合为A.{x|0≤x≤1或x=2}B. {x|0≤x≤1或x=3}C. {x|1≤x≤2}D. {x|0≤x≤2}二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.题11图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的T值是▲ .12.与曲线{x=6+3√2cosθ,y=6+3√2sinθ,(θ为参数)和直线x+y−2=0都相切，且半径最小的圆的的标准方程是▲ .13.已知{a n}是等比数列，a2=2,a5=14，则a8=▲ .14.已知αϵ(π，2π)，tanα=−34，则cos(2π−α)=▲ .15.已知函数f(x)={2x−1,x≤24+log a x,x>2(a>0且a≠1)的最大值为3，则实数a的取值范围是▲ .三．解答题（本大题共8小题，共90分）16.（8分）若函数f(x)=x2+(a2−5a+3)x+4在(−∞,32]上单调递减.（1）求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式log a(12)3x≥log a8.17.（10分）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f(x+2)=−f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)=x2−2x.（1）求证：函数f(x)的周期是4；（2）求f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)的值；（3）当x ∈[2,4]时，求f(x)的解析式.18.（12分）袋中装有5张分别写着1,2,3,4,5的卡片.（1）若从中随机抽取一张卡片，然后放回后再随机抽取一张卡片，求事件A={两次抽取的卡片上的数相同}的概率；（2）若从中随机抽取一张卡片，不放回再随机抽取一张卡片.①求事件B={第二次抽取的卡片上的数大于第一次抽取的卡片上的数}的概率；②若第一次抽取的卡片上的数记为a ，第二次抽取的卡片上的数记为b ，求事件C={点（a,b ）在圆x 2+y 2=16内}的概率.19.（12分）已知函数f (x )=2cos x 2(√3cos x 2−sin x 2)，又在△ABC 中，三个角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且f(A)=0.（1）求角A 的大小；（2）若sin B +sin C =1,a =√3，求△ABC 的面积. 20.（10分）某地建一座桥，总长为240米 ，两端的桥墩已建好，余下工程需要建若干个桥墩以及各桥墩之间的桥面.经估算，一个桥墩的工程费用为400万元，距离为x 米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为（x 2+x ）万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元.（1）试写出y 关于x 的函数关系式；（2）需要新建多少个桥墩才能使y 最小，其最小值是多少？21.（14分）已知数列{a n }满足a 3=15,a n −a n+1=2a n ·a n+1(n ∈N +).（1）求a 1，并证明数列{1a n }为等差数列； （2）设b n =√1a n +√1a n+1，计算b 1+b 2+⋯+b 12的值； （3）设C n =(12)1a n ，数列{c n }前n 项和为S n ，证明S n <23.22.（10分）某运输公司在疫情期间接到运送物资的任务，该公司现有9辆载重为8吨的甲型卡车和6辆载重为10吨的乙型卡车，共有12名驾驶员，要求该公司每天至少运送640吨物资.已知每辆甲型卡车每天往返的次数为12次，每辆乙型卡车每天往返的次数为8次.若每辆卡车每天所需成本为甲型卡车240元，乙型卡车360元.问每天派出甲型卡车和乙型卡车各多少辆时，运输公司所花成本最少？并求最小成本.23.（14分）已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2√3，短袖长为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）设A 为椭圆的左顶点，过点A 的直线l 与椭圆交于另一点B.①若|AB |=2√63，求直线l 的斜率k ； ②若点P(0,m)在线段AB 的垂直平分线上，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ =2，求m 的值.。

江苏省普通2020届高考对口单招文化数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 若集合M ={−1,1}，N ={2,1，0}，则M ∪N =( )A. {0,−1,1}B. {0,−1,2}C. {1,−1,2}D. {1,−1,0，2} 2. (文)已知复数z =6+8i ，则−|z|=( )A. −5B. −10C. 149 D. −169 3. 已知向量a ⃗ =(−3,2，5)，b ⃗ =(1,x ，−1)，且a ⃗ ⋅b ⃗ =2，则x 的值是( )A. 3B. 4C. 5D. 64. 两条直线A 1x+B1y+C1=0，A 2x+B2y+C2=0，互相垂直的充分必要条件是( )A. A 1A2B 1B 2=−1 B. A 1A2B 1B 2=1 C. A 1A2+B1B2=0D. A 1A2−B1B2=05. 现有3名男医生3名女医生组成两个组，去支援两个山区，每组至少2人，女医生不能全在同一组，且每组不能全为女医生，则不同的派遣方法有( )A. 36种B. 54种C. 24种D. 60种6. 经过抛物线y 2=4x 的焦点且垂直于直线3x −2y =0的直线l 的方程是( )A. 3x −2y −3=0B. 6x −4y −3=0C. 2x +3y −2=0D. 2x +3y −1=07. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，则异面直线AC 1与BB 1所成角的余弦值为( )A. 0B. １３C. √63D. √338. 下列说法正确的是( ) A. 合情推理是正确的推理 B. 合情推理是归纳推理C. 归纳推理是从一般到特殊的推理D. 类比推理是从特殊到特殊的推理9. 已知函数在(0,4π3)上单调递增，在(4π3,2π)上单调递减，则ω=( )A. 12B. 1C. 32 D. 4310. 已知函数f (x )={2x +1,x ≥0,|x|,x <0,且f (x 0)=3，则实数x 0=( )A. −3B. 1C. −3或1D. −3或1或3二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11. 执行下边的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值是______ ．12. 参数方程{x =−1+2cosθy =2+2sinθ(θ为参数0≤θ<2π)所表示的曲线的普通方程是______ ． 13. 在{a n }为等比数列，a 1=12，a 2=24，则a 3= ______ ． 14. 已知sin(α−π)=23，且α∈(−π2,0)，则tanα= ______ ．15. 已知函数f(x)=x 2−4x +alnx 在区间[1,4]上是单调函数，则实数a 的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共8小题，共90.0分） 16. 已知函数f(x)=ax 2+x −a ，a ∈．(1)若函数f(x)的最大值大于178，求实数a 的取值范围； (2)解不等式f(x)>1(a ∈).17. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且满足f(x +1)=f(−x +1)．(1)求证：函数f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)=x 2−2x(0<x ≤1)，求当x ∈[−5,−4]时，函数f(x)的解析式．18.有3张卡片，上面分别标有数字1，2，3.从中任意抽出一张卡片，放回后再抽出一张卡片．(Ⅰ)写出这个实验的所有基本事件；(Ⅱ)求两次抽取的卡片上数字之和等于5的概率；(Ⅲ)求两次抽取的卡片上数字相同的概率．19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin(A+B)a+b =sinA−sinBa−c，b=3．(Ⅰ)求角B；(Ⅱ)若cosA=√63，求△ABC的面积．20.某公司计划在办公大厅建一面长为a米的玻璃幕墙.先等距安装x根立柱，然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃.一根立柱的造价为6400元，一块长为m米的玻璃造价为(50m+100m2)元.假设所有立柱的粗细都忽略不计，且不考虑其他因素，记总造价为y元(总造价=立柱造价+玻璃造价)．(1)求y关于x的函数关系式；(2)当a=56时，怎样设计能使总造价最低？21.设满足a1+13a2+15a3+⋯+12n−1a n=n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{√a+√a}的前84项和．22.某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，在甲地和乙地之间往返一次的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要运送不少于900人从甲地去乙地的旅客，并于当天返回，为使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？营运成本最小为多少元？23.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(−√3,12)，且点F(√3，0)为其右焦点．(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B.已知点A 的坐标为(−a,0)，点Q(0,y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4，求y 0的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵M={−1,1}，N={2,1，0}；∴M∪N={−1,1，2，0}．故选：D．进行并集的运算即可．考查列举法的定义，以及并集的运算．2.答案：B解析：本题考查复数的模的求法，考查计算能力．直接利用复数的求模公式求解即可．解：复数z=6+8i，则−|z|=−√62+82=−10．故选B．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查空间向量数量积运算，考查计算能力，属于基础题．利用空间向量坐标运算a⃗⋅b⃗ =−3+2x−5=2，建立方程求解即可．【解答】解：因为a⃗=(−3,2，5)，b⃗ =(1,x，−1)，所以a⃗⋅b⃗ =−3+2x−5=2，解得x=5．故选C．4.答案：C解析：两直线垂直满足斜率之积为−1.∴(−A1B1)(−A2B2)=−1，∴A1A2+B1B2=0．5.答案：A解析：【分析】本题考查排列组合的应用，属于较易题.组队情况有2，4型和3，3型．2，4型只能是1男1女和2男2女，；3，3型只能是2男1女和1男2女，分别求出派遣方法，相加即可．【解答】解：组队情况有2，4型和3，3型．2，4型只能是1男1女和2男2女，此时有C31C31种方法；3，3型只能是2男1女和1男2女，此时有C32C31种方法．综上，共有(C31C31+C32C31)A22=36(种)方法，故选A．6.答案：C解析：解：设垂直于直线3x−2y=0的直线l的方程为2x+3y+c=0，由于直线l经过抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，所以c=−2．故选C．设出垂线方程，求出焦点坐标，然后求解即可．本题考查抛物线的基本性质，直线方程的应用，考查计算能力．7.答案：D解析：本题考查异面直线所成角，属于基础题，解决异面直线所成角关键是平移，将空间问题化为平面问题，解三角形可得．如图，由于BB1//CC1，所以异面直线AC1与BB1所成的角即为直线AC1与CC1所成角，所以在Rt△ACC1中，∠AC1C为所求角．如图，由于BB1//CC1，所以异面直线AC1与BB1所成的角即为直线AC1与CC1所成角，所以在Rt△ACC1中，∠AC1C为所求角，∵在正方体ABCD−A1B1C1D1中，设棱长为1，则CC1=1，AC1=√3，，即异面直线AC1与BB1所成角的余弦值为√3．3故选D．8.答案：D解析：本题主要考查推理定义的理解，理解推理的概念是解题的关键，属于基础题．类比推理是从特殊到特殊的推理过程．解：根据类比推理是从特殊到特殊的推理过程，正确，故选D.9.答案：A解析：本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，由题意可知函数在时，取最大值，得4π3×ω−π6=2kπ+π2，k∈Z，并且周期，从而求出ω的值即可．解：根据题意，函数在(0,4π3)上单调递增，在(4π3,2π)上单调递减，则f(x)在x=4π3处取得最大值，并且周期，则有4π3×ω−π6=2kπ+π2，k∈Z，且，变形可得ω=3k2+12，k∈Z，且ω≤34，当k=0时，ω=12，故选A．10.答案：C解析：本题考查分段函数求函数值，属于基础题．一般按照由内到外的顺序逐步求解．要确定好自变量的取值范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值即可．解：当x0≥0时，由f(x0)=2x0+1=3，得x0=1，符合要求；当x0<0时，由f(x0)=|x0|=3，得x0=−3(舍去x0=3)．综上所述，x0=1，或x0=−3．故选C．11.答案：4。

2022年至2022年江苏省普通高校单独招生文化统考数学试题及答案江苏省2022年普通高校对口单招文化统考数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑）1.设集合M={1,3}，N={a+2，5}，若M∩N={3}，则a的值为A.-1B.1C.3D.52.若实系数一元二次方程某m某n0的一个根为1i，则另一个根的三角形式为A.co24iin4B.2(co33iin)44C.2(co4iin)D.2[co()iin()] 4442aa20223.在等差数列{an}中，若a3，a2022是方程某2某20220的两根，则313A.的值为1B.1C.3D.934.已知命题p:(1101)2=(13)10和命题q:A·1=1（A为逻辑变量），则下列命题中为真命题的是A.pB.p∧qC.p∨qD.p∧q5.用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数是A.18B.24C.36D.486.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=26，则对角线BD1与底面ABCD所成的角是A.B.C.D.64327.题7图是某项工程的网络图。

若最短总工期是13天，则图中某的最大值为A.1B.2C.3D.48.若过点P（-1,3）和点Q（1,7）的直线l1与直线l2：m某(3m7)y50平行，则m的值为A.2B.4C.6D.89.设向量a=(co2,A.23)，b=（4,6）,若in()，则25ab的值为553B.3C.4D.5510.若函数f(某)某2b某c满足f(1某)f(1某)，且f(0)5，则f(b某)与f(c某)的大小关系是A.f(b某)≤f(c某)B.f(b某)≥f(c某)C.f(b某)＜f(c某)D.f(b某)＞f(c某)二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.设数组a=(-1,2,4),b=(3,m,-2),若a·b=1，则实数m=12.若in23)，则tan=，(,3213.题13图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的m值是某13co某2y214.若双曲线221（a＞0,b＞0）的一条渐近线把圆（为参数）分y23inab成面积相等的两部分，则该双曲线的离心率是某2某,15.设函数f(某)，若关于某的方程f(某)1存在三个不相等的实2某4某a9,某2根，则函数a的取值范围是三、解答题（本大题共8小题，共90分）16.（8分）设实数a满足不等式a32。

机密★启用前江苏省2020年普通高校对口单招文化统考数学试卷一、草项选择题（本大题共10小题，毎小题4分，共40分.在下列毎小題中，选出一个正确答案，将答題卡上对应选项的方框涂满、涂黑）1.已知集合M = {1,4>∙ N = {l∙2,3>∙则MU N 導于A∙{l}B∙{2,3} C.{2,3,4} D.{l∙2,3∙4}2.若复数Z满足z（2-i）=l÷3i.则Z的模等于A.√2B,√3 C.2 D.33.若数组fl = （2,-3.1）和b = （lγ,4）満足条件α・h=0,则工的值是A. -1B.0C. 1D.24.在逻辑运算中，“A + B=0”是“A・B=0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.从5名男医生、4名女医生中任选5人组成一个医疗小分队•要求其中男医生、女医生均不少于2人，则所冇不同的组队方案种数是A. 80B. 100C. 240D. 3006・过抛物线（y - D1 -4（x + 2）的頂点•且与-直线x-2>÷3-≡0垂直的直线方程是A. 2jr+y-3=0B. 2∙r+y + 3= 0C.R — 2y + 4= 0D. X — 2,y — 4 = 07•在正方体ABCD-A I B l C l D l中(题7图)•界面直线A”与BlC之间的夹角是A. 30'B.45°C. 60eD. 9O e&題8图足某项工程的网络图《单位：天)•则该工程的关键路径是A-AfBfQfEf e/ B∙ AfBfDfEfKfMC. A→B→ D →F→ H →JD.A→B→D→G→Z→ J9.若函数/(jr)-sinωx(ω > 0)在区间[0.|]上单调递增•在区何[今诗]上单调递减•则 3等于A.∣∙B.2C.∙∣∙D.3(2. X ∈ [OU]10.C知旳数/(工)= W r十则tt∕(∕(χ))=2成立的实数工的集合为Uf X G [oa]A. U I O ≤ X ≤ 1 或z =2}B. {x I O ≤ j∙ ≤ 1 或工=3}C. {x I 1 ≤x≤2}DjXIO ≤x≤ 2}二、填空逸(本大題共5小通，毎小题4分，共20分)11•题11图是一个程序能图•执行该程序權图•则输出的T值是_▲ _•a H SH = 6 + 3V2cos^∙数学试卷第2页(共4页〉12∙与曲线(&为参数)和克线z÷>-2= O都相切■且半轻最小的凤的标准y s≡ 6 + 3j2sinθ9β方程是▲.13.已知｛-｝是等比数列•血=2> α5≡i>则α∣= ▲•4 ------------14.已知α W α,2∕r), tana = —则COS(2JΓ-a)= ▲・4 ------------15.已知顒数y(z)≡f x 1, J 2 (a > 0且a≠l)的最大值为3.则实数a的取值范围(4 + IOdr ・工 > 2是一▲—・三、解答題(本大题共8小题，共90分)16.(8 分)若西数/(x) ≡ J2 + (a:— 5a + 3)工 + 4 在(一∞∙-∣-]上单调递减.(1)求实数a的取值范围，(2)解关于H的不等式1。

江苏省2012年普通高校对口单招文化统考数学试卷单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑)1.若集合M={1,2}, N = {2,3},则MUN等于()A. {2} B・{1} C・{1,3} D・{1,2,3}2.若函数f (x) = cos(x + <p) ( 0<(p<^)是1<上的奇函数，则0等于( ) A・0 B. — C.二D・兀4 23.函数f(x) = x2+f m +n的图象关于直线x = 1对称的充要条件是()A. in =—2 B・m = 2 C・ /? = —2 D・n = 24.已知向量方= (l,x), b = (-t x).若方丄则口丨等于( )A. 1B. >/2C. 2D. 45.若复数z满足(l + /)z = l-/,则z等于( )A. 1 + iB. 1-zC. iD. -i6.若直线/过点(-1, 2)且与直线2x-3y + l= 0平行，贝H的方程是( )A. 3x + 2y + 8 = 0 B・ 2x-3y + 8 = 0C. 2x-3y-8 = 0 D・ 3x + 2y-8 = 07.若实数x满足疋_6尤+850,则log2x的取值范围是( )A. [1,2] B・(1,2) C・(YC,1] D・[2,+s) 8•设甲将一颗骰子抛掷一次，所得向上的点数为"，则方程x2+ax + \ = 0有两个不相等实根的概率为（）2115A. —B. —C. —D.—3 3 2 122 29.设双曲线4-4 = 1（。

>0#>0）的虚轴长为2,焦距为2氐则此双曲线的渐近线cr Zr方程为10.若偶函数y = 上是增函数，则下列关系式中成立的是若过点A(3,0)的直线/与圆C ： (x-l)2 + r= 1有公共点，则直线/斜率的取值范圉 填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) sin 150°=在 AABC 中，a = 30, b = 20, sin 71 =—,则cos2B =217. 设斜率为2的直线/过抛物线y 2 = 2/?x (/?>0)的焦点F,且与y 轴交于点A .若AOAF (O 为坐标原点)的而积为4,则此抛物线的方程为 ___________________________ .18. 若实数x 、y 满足x + 2y —2 = 0,则3x +9y 的最小值为 ______________________ .三、解答题(本大题7小题，共78分)19. (6分)设关于x 的不等式\x-a\<\的解集为(》3),求a+b 的值. 20. (10 分)已知函数/(x) = (1 + y/3 tanx)cosx ・(1) 求函数/(X)的最小正周期； (2) 若/(</) = -, a e> 求sina 的值.26 321・(10分)已知数列｛勺｝的前朴项和为ne7V +・（1） 求数列｛ % ｝的通项公式；A. y = ±y/2x B ・ y = +2xD ・3B. /(-I) < /(--) </(2) 33/(2) < /(-I) < /(--)D. f(2) < /(--) < /(-I)若圆锥的表而积为S,且它的侧而展开图是一个半圆，则这个圆锥的底而直径为() A- /(-|) < /(-l) < /⑵ C. 11. 12. A.r >/3 D ・已，13. 14. 15.已知函数W 占’则伯(!)] = 用数字0, 3, 5, 7, 9可以组成 ________个没有重复数字的五位数(用数字作答).16. A .B.C.D .C.(―（2）设b n = 2fl" +1,求数列｝的前"项和7；.22.（10分）对于函数/（A）,若实数儿满足/（无）=心，则称儿是/（X）的一个不动点. 已知f （x） = ax2 + （/? + l）x + （Z?-1）・（1）当d = l, b = -2时，求函数/（x）的不动点：（2）假设a = -,求证：对任意实数b,函数/（x）恒有两个相异的不动点.223.（14分）甲、乙两位选手互不影响地投篮，命中率分别为［与假设乙投篮两次，均34未命中的概率为——.25（1）若甲投篮4次，求他恰命中3次的概率：（2）求乙投篮的命中率°：（3）若甲、乙两位选手各投篮1次，求两人命中总次数纟的概率分布与数学期望. 24.（14 分）如图，在长方体ABCD-A^C｝D｝中，AD = AA｝=\, AB = 2.（1）证明：当点E在棱AB上移动时，D占丄人£>；（2）当E为AB的中点时，求①二面角D.-EC-D的大小（用反三角函数表示）：②点〃到平而ECQ的距离.X2 y2 225.（14分）已知椭圆C：—+ ^ = 1 （a>b>0）的离心率为一，且该椭圆上的点到右a~ b~3焦点的最大距离为5.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为4、B,且过点D（9,m）的直线DA、DB与此椭圆的另一个交点分别为M、N ,英中m 0 .求证：直线A/N必过x轴上一定点（其坐标与加无关）.江苏省2012年普通高校对口单招文化统考数学试题答案及评分参考一、单项选择题（本大题共小题，每小题分，共分）21.-l + G =b1 + a = 3 解得?所以a+h = 3・ （本小题10分） 解:（1）由题意得f (x) = cos x + sin x= 2sin(x +彳)，所以函数f （x ）的最小正周期T = 2TT .(2)由/9)=丄得2・/ 龙\1sin( ex H —) = _ 96 4因为所以＜z + -e(0,-), 6 3 6 2nf 云 \f\5cos(a + —) = Jl-sm ・(a + —)= ------- ,6 V 6 4从而sin a = sin[(a + -)-—]6 6（本小题10分）解：（!）当川=1 时，5=5=12—1=0当心2时，5=S"-S 心= 2n-2,每小题分，共分）填空题（本大题共6小题, 13. 1 14. ? 2 3 解答题（本大题共7小题, （本小题6分）解：由题意得-\<x —a<\ , ........ -\ + a<x<l + a,15. 96 共78分） 16. 1 3 17. / =8x18・620.综合得匕=2〃一2 , ;?eN +(2)。

江苏省2020年普通高校对口单招文化统考模拟试题（一）数学（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A ＝{x |x x －1＜0}，B ＝{x |x －2＜2}，则“m ∈A ”是“m ∈B ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x (x ＞0)，3x (x ≤0)，则f [f (14)]的值是（ ） A ．9 B ．19 C ．－9 D ．－193．已知(x －a x )8展开式中的常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和为（ ）A ．28B ．38C ．1或38D ．1或284．已知椭圆x 2m ＋y 2n ＝1，且m ，n ，m ＋n 成等差数列，则椭圆的离心率为（ ）A ．32B ．55C ．12D ．225．有下列命题：①函数f (x )＝sin x ＋2sin x (x ∈(0，π))的最小值是22；②在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形；③如果正实数a ，b ，c 满足a ＋b ＞c ，则a 1＋a ＋b 1＋b ＞c 1＋c； ④如果y ＝f (x )是奇函数(x ∈R )，则有f (0)＝0.其中正确的命题是（ ）A ．①②③④B ．①④C ．②③④D ．②③6．已知a ，b 为空间两条异面直线，A 是直线a ，b 外一点，则经过A 点与两条异面直线a ，b 都相交的直线的可能情况为（ ）A ．至多有一条B ．至少有一条C ．有且仅有一条D ．有无数条7．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项之和S 9等于（ ）A ．66B ．99C ．144D ．2978．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，△ABC 的三个顶点都在此抛物线上，且FA ＋FB ＋FC ＝0，则|FA |＋|FB |＋|FC |等于（ ）A ．3B ．4C ．6D ．99．已知f (x )＝1＋log 2x (1≤x ≤4)，则g (x )＝f (x 2)的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．910．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝x ＋y ＋2x ＋3的最小值为（ ） A ．13 B ．136 C ．4 D ．－2311．方程2sin θ＝cos θ在[0,2π)上解的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个12．已知C 为线段AB 上的一点，P 为直线AB 外一点，满足|PA |－|PB |＝2，|PA －PB |＝25，PA ·PC |PA |＝PB ·PC |PB |，I 为PC 上一点，且BI ＝BA ＋λ(AC |AC |＋AP |AP |)(λ＞0)，则BI ·BA|BA |的值为（ ） A ．1 B ．2 C ． 5 D ．5－1 第II 卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案填写在题中横线上． 13．某市A 、B 、C 三个区共有高中学生20000人，其中A 区高中学生9000人，现采用分层抽样的方法从这三个区所属高中学生中抽取一个容量是600人的样本进行新课程学习作业的调查，则A 区应抽取 人．14．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴的距离是2π，则ω的值为 ．15．已知棱长为26的正四面体内切一球，然后在它四个顶点的空隙处各放一个小球，则这些球的最大半径为 ． 16．五个同学传一个球，球从小王同学手中首先传出，第五次传球后，球回到小王手中的概率是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos 32x ，sin 32x )，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，且x ∈[0，π2].（1）求a·b 及|a ＋b |；（2）若f (x )＝a·b －2λ|a ＋b |的最小值为－32，求λ的值．18．(本小题满分12分)一个不透明的箱子内装有材质、重量、大小相同的7个小球，且每个小球的球面要么只写有数字“08”，要么只写有文字“奥运”.假定每个小球每一次被取出的机会都相同，从中摸出2个球都写着“奥运”的概率是17，现甲、乙两人做游戏，方法是：不放回地从箱子中轮流摸取一个球，甲先取、乙后取，然后甲再取，直到两人中有一人取得写着文字“奥运”的球时游戏结束.（1）求该箱子内装着写有数字“08”的球的个数；（2）求当游戏结束时总球数不多于3的概率．19．(本小题满分12分)如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝12，DC ⊥平面ABC ，DC ＝4，G 为△ABC 的重心，M 为GD 的中点．（1）求直线DG 与平面ABC 所成的角；（2）求异面直线CG 与MB 所成的角；（3）求二面角G —MC —B 的大小．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－14x 4＋23x 3＋ax 2－2x －2在区间[－1,1]上单调递减，在区间[1,2]上单调递增．（1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程f (2x )＝m 有三个不同的实数解，求实数m 的取值范围.21．(本小题满分12分)设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n ＝32(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n ＝4n ＋3．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）把数列{a n }与数列{b n }的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，求证：数列{d n }的通项公式为d n ＝32n ＋1．22．(本小题满分12分)已知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2，记点P 的轨迹为S ，若直线l 过点F 2且与轨迹S 交于P 、Q 两点.（1）求轨迹S 的方程；（2）无论直线l 绕点F 2怎样转动，在x 轴上总存在定点M (m,0)，使MP ⊥MQ 恒成立，求实数m 的值；（3）过P 、Q 作直线x ＝12的垂线PA 、QB ，垂足分别为A 、B ，记λ＝|PA |＋|QB ||AB |，求λ的取值范围．江苏省2020年普通高校对口单招文化统考模拟试题（一）参考答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A7．B 8．C 9．B 10．A 11．C 12．D二、填空题13．270 14．12 15．12 16．51256三、解答题17．解：(1)a·b ＝cos 32x ·cos x 2－sin 32x ·sin x 2＝cos 2x ...........................................................2分 |a ＋b |＝(cos 32x ＋cos x 2)2＋(sin 32x －sin x 2)2＝2＋2cos 2x ＝2cos 2x .............................4分 又∵x ∈[0，π2]，∴cos x ＞0，∴|a ＋b |＝2cos x .5分（2）f (x )＝cos 2x －4λcos x ，即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2...........................................................................................6分 ①当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2，∴－1－2λ2＝－32，解得λ＝12............................................................................................8分②当λ＞1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，∴1－4λ＝－32，解得λ＝58(舍).......................................................................................10分 ③当λ＜0时，当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，无解.............................11分综上所述，λ＝12为所求...................................................................................................12分18.解：(1)设箱子内装着n 个写有数字“08”的球.则C 27－n C 27＝17.2分 解得n ＝4.4分∴该箱子内装有4个写有数字“08”的球.(2)当游戏结束时，总取球数为1的概率是37；................................................................6分 当游戏结束时，总取球数为2的概率是47×36＝27；........................................................8分 当游戏结束时，总取球数为3的概率是47×36×35＝635；.................................................10分 ∴当游戏结束时，总取球数不多于3的概率是3135.........................................................12分19.解：(1)延长CG 交AB 于N ，∵G 是△ABC 的重心，∴N 是AB 的中点...............1分∵∠ACB ＝90°，∴CN ＝12AB ＝6，∴CG ＝23CN ＝4.........................................................2分而DC ⊥平面ABC ，∴三角形DCG 是等腰直角三角形，即直线DG 与平面ABC 所成的角为45°.........................................................4分(2)作ME ∥GC 交DC 于E ，∴∠EMB 是异面直线GC 与BM 所成的角或补角...........5分∵M 是DG 的中点，ME ＝12GC ＝2，BE ＝EC 2＋BC 2＝(12DC )2＋62＝210.......................................................................6分过M 作MH ⊥GC 于H ，MH ⊥平面ABC ，∴MH ＝2，∴MB 2＝MH 2＋HB 2＝4＋4＋36－2·2·6·cos 60°＝32，∴cos ∠EMB ＝ME 2＋MB 2－BE 22ME ·MB ＝－28.......................................................................7分∴异面直线GC 与BM 所成的角为arccos 28...............................................................8分 (2)过B 作直线BF ⊥GC 于F ， BF ⊥平面GMC .9分∵△CNB 是正三角形，故BF ＝BC cos 30°＝33，过F 作FS ⊥MC 于S ，连BS ，三角形DCG 是等腰直角三角形.10分M 为GD 的中点，∴GD ⊥CM ，∴FS ∥GD ，FS ＝FC sin 45°＝322.................................................................................11分∴tan ∠FSB ＝BF FS ＝6，∴二面角B —MC —G 的大小是arctan 6.......................................................................12分20.解：(1)由函数f (x )＝－14x 4＋23x 3＋ax 2－2x －2在区间[－1,1]上是单调递减，在区间[1,2]上单调递增，所以x ＝1取得极小值................................................................1分 ∴f ′(1)＝0，∴－1＋2＋2a －2＝0，3分∴a ＝12...............................................................................................................................4分(2)由(1)知f (x )＝－14x 4＋23x 3＋12x 2－2x －2，∴f ′(x )＝－x 3＋2x 2＋x －2.5分令f ′(x )＝0，得x ＝－1，x ＝1，x ＝2...........................................................................6分∴函数f (x )有极大值f (－1)＝－512，f (2)＝－83，极小值f (1)＝－3712...........................8分 ∵关于x 的方程f (2x )＝m 有三个不同的实数解，令2x ＝t (t ＞0)，即关于t 的方程f (t )＝m 在t ∈(0，＋∞)上有三个不同的实数解.................................9分 在t ∈(0，＋∞)上y ＝f (t )与y ＝f (x )图象一致.11分 又f (0)＝－2，由数形结合可知，－3712＜m ＜－83.........................................................12分21.解：(1)由A n ＝32(a n －1)，A n ＋1＝32(a n ＋1－1)...............................................................1分∴a n ＋1＝32(a n ＋1－a n )，即a n ＋1a n＝3，....................................................................................2分 且a 1＝A 1＝32(a 1－1)，得a 1＝3...............................................................................................................................3分 ∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列.........................................................4分 通项公式为a n ＝3n .5分(2)不妨设数列{d n }中的第n 项分别是数列{a n }的第p 项和数列{b n }的第q 项，即3p ＝4q ＋3...................................................................................................6分所以(4－1)p ＝4q ＋3.7分∴C 0p 4p ＋C 1p 4p －1(－1)1＋…＋C p －1p 4·(－1)p －1＋C p p (－1)p ＝4q ＋3....................................8分4q ＝4k ＋(－1)p －3，(k ∈Z ，p ，q ∈Z *).9分p 为奇数，当p ＝1时，q ＝0(舍去).......................................................................10分∴p ＝2n ＋1，所以d n ＝a 2n ＋1＝32n ＋1.......................................................................12分22.解：(1)由|PF 1|－|PF 2|＝2＜|F 1F 2|知，点P 的轨迹S 是以F 1、F 2为焦点的双曲线右支，由c ＝2,2a ＝2，∴b 2＝3.....................................................................................2分故轨迹S 的方程为x 2－y 23＝1(x ≥1).....................................................................................4分(2)当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)与双曲线方程联立消y 得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0...............................................................5分 ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3≠0，Δ＞0，x 1＋x 2＝4k 2k 2－3＞0，x 1·x 2＝4k 2＋3k 2－3＞0，解得k 2＞3.........................................................................6分∵MP ·MQ ＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1－2)(x 2－2)＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋m 2＋4k 2＝3－(4m ＋5)k 2k 2－3＋m 2........................................................................................................7分 ∵MP ⊥MQ ，∴MP ·MQ ＝0，故得3(1－m 2)＋k 2(m 2－4m －5)＝0对任意的k 2＞3恒成立，∴⎩⎨⎧1－m 2＝0，m 2－4m －5＝0，解得m ＝－1.8分 当m ＝－1时，MP ⊥MQ ，当直线l 的斜率不存在时，由P (2,3)，Q (2，－3)及M (－1,0)知结论也成立.综上，当m ＝－1时，MP ⊥MQ .....................................................................................9分(3)∵a ＝1，c ＝2，∴x ＝12是双曲线的右准线..............................................................10分 由双曲线定义得：|PA |＝1e |PF 2|＝12|PF 2|，|QB |＝12|QF 2|. (法一)∴λ＝|PQ |2|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|2|y 2－y 1| ＝1＋k 2|x 2－x 1|2|k (x 2－x 1)|＝1＋k 22|k |＝121＋1k 2......................................................................11分 ∵k 2＞3，∴0＜1k 2＜13 ，故12＜λ＜33.12分注意到直线的斜率不存在时，|PQ |＝|AB |，此时，λ＝12...........................................13分综上，λ∈[12，33)...................................................................................................14分(法二)设直线PQ 的倾斜角为θ，由于直线PQ 与双曲线右支有二个交点，∴π3＜θ＜2π3，过Q 作QC ⊥PA ，垂足为C ，则∠PQC ＝|π2－θ|，∴λ＝|PQ |2|AB |＝|PQ |2|CQ |＝12cos(π2－θ)＝12sin θ.......................................................................12分由π3＜θ＜2π3得，32＜sin θ≤1，故λ∈[12，33)................................................................14分。

江苏数学对口单招试题答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333...（循环）B. πC. √2D. 0.5答案：C2. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的顶点坐标是？A. (-1, -2)B. (3/4, -1/8)C. (1, 0)D. (0, 1)答案：B3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B。

A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 2, 3, 4}D. {1, 4}答案：C4. 一个等差数列的首项为a1，公差为d，第n项an的通项公式是？A. an = a1 + (n-1)dB. an = a1 - (n-1)dC. an = a1 + ndD. an = a1 - nd答案：A5. 已知等比数列的首项为a，公比为q，求第n项bn的通项公式。

A. bn = a * q^(n-1)B. bn = a * q^nC. bn = a * q^n - 1D. bn = a * (q^n - 1)答案：A6. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是？A. (-3/2, 0)B. (0, 3)C. (1, 0)D. (3, 0)答案：A7. 已知三角形ABC，∠A = 90°，AB = 3，AC = 4，求BC的长度。

A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A8. 圆的半径为r，圆心角为α，扇形的弧长公式是？A. l = rαB. l = r * sin(α)C. l = r * αD. l = r * cos(α)答案：C9. 一个函数的导数为f'(x) = 3x^2 + 2x - 1，求原函数f(x)。

A. x^3 + x^2 - x + CB. x^3 + x^2 + x + CC. x^3 + x^2 - x + CD. x^3 - x^2 + x + C答案：A10. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的极小值。

江苏省2021年普通高校对口单招文化统考数学试卷一、单项选择题〔本大题共10小题，每题4分，共40分。

在以下每题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑〕1.设集合M={1,3}，N={a+2，5}，假设M∩N={3}，那么a的值为2.假设实系数一元二次方程x2mxn0的一个根为1i，那么另一个根的三角形式为A.cos isinB.33) 2(cos isin4444C.2(cosisin) D.2[cos()isin()] 44443.在等差数列{an}中，假设a3，a2021是方程x22x20210的两根，那么3a1?3a2021的值为A.13命题p:(1101)2=(13)10和命题q:A·1=1〔A为逻辑变量〕，那么以下命题中为真命题的是A.?p∧q∨q D.?p∧q用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数是6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=26，那么对角线BD1与底面ABCD所成的角是A. B. C. D.26437.题7图是某项工程的网络图。

假设最短总工期是13天，那么图中x的最大值为8.假设过点P〔-1,3〕和点Q〔1,7〕的直线l1与直线l2：mx(3m7)y50平行，那么m的值为9.设向量a=(cos2,2)，b=〔4,6〕,假设sin()3，那么25a b的值为355A.510.假设函数f(x)x2bx c满足f(1x)f(1x)，且f(0)5，那么f(b x)与f(c x)的大小关系是A.f(b x)≤f(c x)B.f(b x)≥f(c x)C.f(b x)＜f(c x)D.f(b x)＞f(c x)二、填空题〔本大题共5小题，每题4分，共20分〕11.设数组a=(-1,2,4),b=(3,m,-2),假设a·b=1，那么实数m=。

12.假设sin2，(,3)，那么tan=。

3213.题13图是一个程序框图，执行该程序框图，那么输出的m值是。

江苏省2012年普通高校对口单招文化统考数学试卷一、 单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑） 1．若集合{1,2}M =， {2,3}N =，则MN 等于 （ ）A ． {2}B ． {1}C ． {1,3}D ． {1,2,3}2．若函数()cos()f x x ϕ=+（πϕ≤≤0）是R 上的奇函数，则ϕ等于 （ ） A ．0 B ．4π C ．2πD ． π 3．函数2()f x x mx n =++的图象关于直线1x =对称的充要条件是 （ ） A ．2m =- B ．2m = C ． 2n =- D ．2n =4．已知向量(1,)a x =，(1,)b x =-．若a b ⊥，则||a 等于 （ ）A ． 1BC ．2D ．45．若复数z 满足(1)1i z i +=-，则z 等于 （ ） A ．1i + B ．1i - C ．i D ．i -6．若直线l 过点(1,2)-且与直线2310x y -+=平行，则l 的方程是 （ ） A ．3280x y ++= B ．2380x y -+= C ．2380x y --= D ．3280x y +-=7．若实数x 满足2680x x -+≤，则2log x 的取值范围是 （ ）A ． [1,2]B ． (1,2)C ． (,1]-∞D ． [2,)+∞8．设甲将一颗骰子抛掷一次，所得向上的点数为a ，则方程012=++ax x 有两个不相等实根的概率为 （ ） A ．32 B ．31 C ．21 D ． 1259．设双曲线22221x y a b-=（0,0)a b >>的虚轴长为2，焦距为方程为 （ ）A ．y =B ．2y x =±C ．2y x =±D ．12y x =± 10．若偶函数()y f x =在(,1]-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是 （ ）A ．3()2f -< (1)f -< (2)f B ．(1)f - <3()2f - <(2)f C ．(2)f < (1)f -< 3()2f - D ．(2)f <3()2f - <(1)f -11．若圆锥的表面积为S ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（ ）A B ． C D ． 12．若过点(3,0)A 的直线l 与圆C ：22(1)1x y -+=有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 （ ）A ． (B ．[C ．(33-D ． [33- 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．sin150︒= ． 14．已知函数()f x 11x =+，则[(1)]f f = ． 15．用数字0，3，5，7，9可以组成 个没有重复数字的五位数（用数字作答）． 16．在ABC ∆中，====B A b a 2cos ,23sin ,20,30则 ． 17．设斜率为2的直线l 过抛物线22y px = (0)p >的焦点F ，且与y 轴交于点A ．若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则此抛物线的方程为 ．18．若实数x 、y 满足220x y +-=，则39xy+的最小值为 ． 三、解答题（本大题7小题，共78分）19．（6分）设关于x 的不等式||x a -<1 的解集为(,3)b ，求a b +的值． 20．（10分） 已知函数x x x f cos )tan 31()(+=．（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若21)(=αf ，)3,6(ππα-∈，求αsin 的值． 21．（10分）已知数列{n a }的前n 项和为n S 2n n =-，n N +∈．（1）求数列{n a }的通项公式； （2）设2na nb =1+，求数列{n b }的前n 项和n T ．22．（10分）对于函数()f x ，若实数0x 满足00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点． 已知2()(1)(1)f x ax b x b =+++-．（1）当1a =，2b =-时，求函数()f x 的不动点；（2）假设12a =，求证：对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点． 23．（14分）甲、乙两位选手互不影响地投篮，命中率分别为31与p ．假设乙投篮两次，均未命中的概率为254．（1）若甲投篮4次，求他恰命中3次的概率； （2）求乙投篮的命中率p ；（3）若甲、乙两位选手各投篮1次，求两人命中总次数ξ的概率分布与数学期望． 24．（14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =．（1）证明：当点E 在棱AB 上移动时，11D E A D ⊥；（2）当E 为AB 的中点时，求①二面角1D EC D --的大小（用反三角函数表示）；②点B 到平面1ECB 的距离．25．（14分）已知椭圆C ：22221x y a b += (0)a b >>的离心率为23，且该椭圆上的点到右焦点的最大距离为5．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，且过点(9,)D m 的直线DA 、DB 与此椭圆的另一个交点分别为M 、N ，其中0m ≠．求证：直线MN 必过x 轴上一定点（其坐标与m 无关）．江苏省2012年普通高校对口单招文化统考数学试题答案及评分参考一、单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）13．12 14．23 15．96 16．1317．28y x = 18．6 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19．（本小题6分）解：由题意得11x a -<-< ，……………………………………………………………… 1分 11a x a -+<<+， ………………………………………………………… 1分 113a ba -+=⎧⎨+=⎩ ，……………………………………………………………… 2分解得21a b =⎧⎨=⎩ ， ……………………………………………………………… 1分所以3a b += ． ………………………………………………………… 1分20．（本小题10分）解：（1）由题意得()cos f x x x =+ ………………………………………………… 1分2sin()6x π=+， …………………………………………………… 2分所以函数()f x 的最小正周期2T π=． …………………………… 1分（2）由1()2f α=得 1sin()64πα+=， ………………………………………………………… 1分因为(,)63ππα∈-，所以(0,)62ππα+∈， ………………………… 1分cos()6πα+==， ………………………… 1分从而sin sin[()]66ππαα=+-114242=⨯-8=． ………………………… 3分 21．（本小题10分）解：（1）当1n =时，211110a S ==-= ， ……………………………… 1分当2n ≥时，1n n n a S S -=-22n =-， …………………………………………… 2分综合得 22n a n =- ，n ∈N + ……………………………………… 2分（2）222121n an n b -=+=+141n -=+， ………………………………… 1分 1(14)14n n ⨯-=+-4133n n =+-． ………………………………… 4分22．（本小题10分）（1）解：由题意得 2(21)(21)x x x +-++--=， …………………………… 1分即2230x x --=，解得11x =-，23x =， …………………………………… 2分所以函数()f x 的不动点是1-和3． …………………………… 1分（2）证明：由题意得21(1)(1)2x b x b x +++-=， ① …………………………… 1分 即21(1)02x bx b ++-=， …………………………… 1分 因为判别式22(1)b b ∆=--222b b =-+ …………………………… 2分2(1)1b =-+0>， …………………………… 1分所以方程①有两个相异的实根，即对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点． …… 1分23．（本小题14分）解：（1）记甲投篮4次，恰命中3次的概率为1P ，由题意得1P =334128C ()3381⨯⨯= ． …………………………… 4分 （2）由题意得24(1)25p -=， …………………………… 3分 解得35p =． …………………………………………… 1分（3）由题意ξ可取0，1，2 ， ………………………………… 1分154)531()311()0(=-⨯-==ξP ， 15853)311()531(31)1(=⨯-+-⨯==ξP ，1535331)2(=⨯==ξP ． 所以ξ的概率分布列为…………………………………………… 3分1514153215811540)(=⨯+⨯+⨯=ξE ．……………………………………2分 24．（本小题14分）（1）证明：连接1AD ．在长方体1111ABCD A B C D -中，因为1AD AA =，所以11AA D D 为正方形，从而11AD A D ⊥．因为点E 在棱AB 上，所以1AD 就是1ED 在平面11AA D D 上的射影， 从而11D E A D ⊥． …………………………………………… 4分（2）解：①连接DE ．由题意知11AD AA ==，1AE EB ==． 在Rt DAE ∆中，DE ==在Rt EBC ∆中，EC ==，从而2224DE EC DC +==，所以EC DE ⊥， 又由1D D ⊥面ABCD 知1D D EC ⊥，即1EC D D ⊥， 从而EC ⊥面1D DE ，所以1EC D E ⊥，因此1D ED ∠是二面角1D EC D --的平面角． ………………… 2分在1Rt D DE ∆中，11tan 2D D D ED DE ∠===，得1D ED∠arctan2=，即二面角1D EC D --的大小为arctan 2． ………………… 3分 ②设点B 到平面1ECB 的距离为h ，由11EB BC BB ===知11EC BC B E ==12ECB S ∆== …………………………… 1分 因为11B ECB B ECBV V --=，所以111133ECB ECB S h S BB ∆∆⋅=⋅，即1111332h =⋅⋅，所以h =故点B 到平面1ECB…………………………… 4分 25．（本小题14分）解：（1）设右焦点为)0,(c ，则由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=+=532c a a c ， …………………………………………… 2分 解得 ⎩⎨⎧==23c a ，所以 549222=-=-=c a b ，椭圆C 的方程为 15922=+y x ． ……………………………………… 2分 （2）由（1）知 )0,3(),0,3(B A -,直线DA 的方程为 )3(12+=x my ………………………………………1分 直线DB 的方程为 )3(6-=x my ……………………………………… 1分设点M 的坐标为 ),(11y x ，点N 的坐标为 ),(22y x ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=159)3(1222y x x m y ， ……………………………………… 1分 得 0451291254)1295(22222222=-+++m x m x m ， 由于),0,3(-A M ),(11y x 是直线DA 与此椭圆的两个交点，所以 2222211295451293m m x +-=⋅-，解得221803240m m x +-=，从而2118040)3(12m mx m y +=+=．…………2分 由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=159)3(622y x x m y ， ……………………………………… 1分 得 04569654)695(22222222=-+-+m x m x m ， 由于),0,3(B N ),(22y x 是直线DB 与此椭圆的两个交点，所以 22222269545693m m x +-=⋅， 解得22220603m m x +-=，从而2222020)3(6m mx m y +-=-= ． ………… 2分 若21x x =，则由 222220603803240mm m m +-=+-，得402=m 此时121==x x ，从而直线MN 的方程为1=x ，它过点E )0,1(； 若21x x ≠，则402≠m ，直线ME 的斜率2222401018032408040mm m m m mk ME-=-+-+=， 直线NE 的斜率222240101206032020mm m m m mk NE-=-+-+-=， 得 NE ME k k =, 所以直线MN 过点)0,1(E ，因此直线MN 必过x 轴上的点)0,1(E ． ……………………………… 2分。