线性离散系统的数学描述和分析方法

f (t )
f (t )

f * ( t ) f 0 f 1 ＋ f k
式中， f 0 为 t 0T 时刻的单脉冲，脉冲的幅值为 f ( 0T ) ；
f1 为 t
1T 时刻的单脉冲，脉冲的幅值为 f (1T ) ；……；
。
f (t )
(t )
f (t )

f k 为 t kT 时刻的单脉冲，脉冲的幅值为 f ( kT ) 。
线性定常离散系统是渐近稳定的充分必要条件是：
G ( s)
图10
典型计算机控制系统
闭环脉冲传递函数的所有极点位于Z平面的单 位圆内。 （在单位圆上有重极点或者在单位圆外有一个 以上的极点，系统是不稳定的； 在单位圆上有一对复数极点或一个实极点，系 统是临界稳定的。）
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解：
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。
ωs ‐ωs ‐ωm -─ 2 ωs ─ 2 ωm ωs
0
ω
0
T
2T
t /T
0
T
2
T
2T
t /T
图2-2 频谱混叠现象
图5
零阶保持器的功能
7
零阶保持器采用恒值外推原理，把每个采样值 e( kT )一直 * 保持到下一个采样时刻 ( k 1)T ,从而把采样信号 e ( kT )变成 了阶梯连续信号 eh ( t ) 。
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F(z) 0 .6 z 1 0 .84 z 2 0 .936 z 3
为了应用脉冲传递函数的概念，通常可在输出端虚 设一采样开关，对输出的连续时间信号做假想采样，来 获得输出信号的采样信号。
11 2012-09-20 12
2
脉冲传递函数与差分方程的相互转换
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8
2.2
线性离散系统的数学描述方法
2.3
线性离散系统的Z变换分析法
1). 差分方程
y( kT ) a1 y( kT T ) a2 y( kT 2T ) an y( kT nT ) b0 r ( kT ) b1r ( kT T ) b2 r ( kT 2T ) bm r ( kT mT )
f (t )
f (t )
t /T
图1 采样过程
t /T
（时间上离散）
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1
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2
在计算机控制系统中，采样信号 f * ( t ) 是一数 字序列，可分解成一系列单脉冲之和。
可以解释为连续时间信号 f (t ) 被理想单位脉冲 ( t ) 作
1
采样定理 (Shannon law)
为保证采样信号的频谱是被采样信号的频谱无重叠的重 复（沿频率轴方向），以便采样信号能反映被采样信号的 变化规律，采样频率 s ( 2 / T 2f ) 至少应是 f ( t ) 的频 谱 F ( j ) 的最高频率 max 的两倍，即
例9 求图所示典型计算机控制系统的闭环脉冲传递函数。
( z) G( z)
R( z )
r (k )
Y ( z)


e( k )
D( z )
G( z)
y (k )
r (t )

T
e (t )
T
E ( z)

D( z )
U (z)
T
1 e Ts s
T
G0 (s )
y (t )
G(s)
离散闭环控制系统 图10 典型计算机控制系统
D (s) V ( z)
（a）两环节间有采样开关 G ( z ) G1 ( z )G2 ( z )
Y ( z ) R( z )G1 ( z )G2 ( z )
R( s)
R ( s)
G1 ( s )
D( s)
Y ( s)
Y ( s)
G2 ( s )
在零初始条件下，进行Z变换
(1 a1 z a n z )Y ( z ) (b0 b1 z bm z
实际进行Z变换时查表P271附录A
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3
已知离散系统的脉冲传递函数零、极点在平面中 的分布情况，分析系统的动态响应特性
Im
y 6 ( kT )
2.6
线性离散系统的稳态误差分析
离散系统的采样时刻的稳态误差
e ss * lim e * ( t ) lim e ( kT )
t k
kT
[Z ]
p3 y 3 ( kT )
Im
[Z ]
y1 ( kT )
y 4 ( kT )
kT
y 3 ( kT )
y1 ( kT )
y 2 (kT )
kT
p6
1 p 5
kT
kT
kT
p2
p2
kT
p1
假设所有的极点都在平面单位圆内，根据终值定理， 系统的稳态误差为：
Re
p4
0
p3 p 2
1
p1
Re
y 5 ( kT )
1 e Ts G( z ) Z G 0 ( s ) s
G 0( s ) (1 z 1 ) Z s 2012-09-20
(作为广义被控对象， 含有执行器，Z变换含保 持器；G0(s)与G(s)有区别， G(s) 求取含零阶保持器。)
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f 2 f3
f4
f5
f1
则：
f k f ( kT ) ( t kT )
0

t
0 T 2T 3T 4T 5T 6T
kT t
f0
f6
fk

只有在 t kT 时刻，才有 ( t kT ) 0，而在所 有 t kT 时刻，都有 ( t kT ) 0 。
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A1
（a) f ( t ) 的频谱 F ( j ) （b） f * ( t ) 的频谱 F * ( j )
t2
1
0
t1
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t
（c）理想的滤波器 （d）滤波器输出信号频谱 C ( j ) 频谱是时域信号在频域下表示方式，针对信号进行傅立叶转换而得，
图3
量化过程
5
之一是以振幅为纵轴、频率为横轴的图。
r (k )
T
(s)
（b）离散系统
y (k )
T
对上式取拉氏变换： 令：z
F * ( s ) L[ f * ( t )] f ( kT )e kTs

e Ts ，有：ekTs zk
k 0
k 0
图6 连续系统和离散系统
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则： F ( z ) Z [ f * ( t )] f ( kT ) z k
3).采样信号的复现和采样保持器
保持器 保持器是一种基于时域外推原理、把采样信号转换成连 续信号，实现采样点之间的插值的元件。 零阶保持器
* e (t )
s 2 max
F*(jω)
e * (t )
e h (t )
eh ( t )
采样定理奠定了选择采样频率的理 论基础，但对于连续对象的离散控制， 不易确定连续信号的最高频率。因此， 采样定理给出了选择频率的准则，在实 际应用中还要根据系统的实际情况综合 考虑。
G ( z ) G 1G 2 ( z ) Z [G 1( s )G 2 ( s )]
图9
（b） 串联环节框图的两种形式
mn
通常 G1 ( z )G 2 ( z ) G1G 2 ( z )
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两环节分别Z变换与两环 节串联后Z变换不相等。
14
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闭环脉冲传递函数
第 2 章 线性离散系统 的数学描述和分析方法
本章主要内容（用于计算机控制系统的应用基础）
1.信号变换 信号变换 2.线性离散系统的数学描述方法 3.线性离散系统的 Z 变换分析法 4.脉冲传递函数 5.线性离散系统的性能分析
2.1
信号变换
1). 连续信号的采样和量化 采样过程
f (t )
f (t )
p1
e ss * lim( z 1) E ( z ) lim( z 1)
z 1 z 1
y 2 ( kT )
kT
kT
p3
1 R( z ) 1 D( z )G ( z )
1 R( z ) 1 D( z )G ( z )
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实际进行Z变换时 可查表P271附录A
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2) Z反变换
解：
长除法
0.6 z 的Z反变换。 z 1.4 z 0.4
2
2.4
脉冲传递函数
例5 用长除法求函数 F ( z )
1). 脉冲传递函数
G( z)
0.6z1 0.84z2 0.936z3 z2 1.4z 0.4)0.6z 0.6z 0.84 0.24z 0.84 0.24z1 0.84 1.176z1 0.336z2 0.936z1 0.336z2 0.936z1 1.310z2 0.3744z3 0.974 z2 0.3744z3
1
r (t )
T
r (t )
*
V ( z)
G ( s)
T
y (t )
y (t )
*
R( z )
G( z)
Y ( z)
图8
单输入单输出离散系统的方框图 (环节的Z变换，不含保持器。)