第八章 线性离散时间控制系统分析

第8章　线性离散（时间）控制系统分析
1．试根据定义
确定下列函数的
和闭合形式的E （
z ）：解：（1
）由欧拉公式
可得（2）将
E
（s ）展成部分分式，有
式中
于是
经采样拉普拉斯变换，得
故有
2．求下列各函数的z反变换：
解：（1）采用幂级数法。

则采样函数为
（2）采用反演积分法。

有三个极点，则有
相应的采样函数为
用幂级数法验证：
故有
（3）因为
所以
查z变换表，可知
则有
用反演积分法验证
有两个根，而
则有
（4）采用反演积分法
有三个极点，则有
相应的采样函数为
用幂级数法验证
故有
（5）因为
所以
查z变换表，可知则有
3．试根据定义
确定下列函数的E*（s）的闭合形式和E（z）：（1）e（t）＝sinωt；
（2）
解：（1）
（2）
4．试求的z变换。

解：求z变换的另一种方法是直接利用z变换表。

先将E（s）展为部分分式，然后由表求每一部分分式项的z变换，并将它们组合在一起便可得E（z）。

（1）将E（s）展成部分分式，则有
（2）求每一个部分分式项的z变换：与相应的z变换为
与
相应的z变换为所以
令T＝1，有
5．求解下列差分方程，结果以c（nT）表示：
解：（1）因为。

第8章 线性离散控制系统的分析与综合8.1 引言随着微处理器和微计算机的出现和发展，数字控制器在系统中逐渐取代模拟控制器，成为控制系统的一个重要的组成部分，并得到了越来越广泛的应用。

在控制系统中，只要任何一个环节为采样开关或数字元器件，或者只要某处采集、传输或加工处理的信号是离散型的时间函数，则称该系统为离散时间控制系统，简称离散控制系统或采样控制系统。

若离散信号为脉冲序列，则称为脉冲控制系统；若离散信号为数字序列，则称为数字控制系统或计算机控制系统。

由于在离散控制系统中出现了离散型的信号，前面各章所介绍的适用于连续控制系统的各种分析和综合方法，在这里已不再适用，所以，必须另辟蹊径，寻求新的分析和综合方法，这正是本章所面临的主要任务和所要介绍的主要内容。

8.2 离散信号和离散控制系统前面各章介绍了连续控制系统理论，本章将介绍离散控制系统理论。

离散控制系统与连续控制系统之间的根本区别在于：在连续控制系统中的输入信号)(t r 、反馈信号)(t b 和偏差信号)(t e 都是连续型的时间函数；而在离散控制系统中则不然，在一般情况下，由于输入信号是离散型的时间函数，记为)(*t r ，所以，取自系统输出端的反馈信号，在和上述离散型输入信号进行比较时，也需要采用离散型的时间函数，记为)(t b *，这样，比较后得到的偏差信号就是离散型的时间函数，记为)(t e *，于是)()()(**t b t r t e -=*因此，在离散控制系统中，通过控制器对被控对象进行控制的直接控制作用乃是离散型的偏差信号)(t e *。

上述离散控制系统的方框图如图8-1所示。

在图8-1中，离散型的反馈信号)(t b *是由连续型的反馈信号)(t b *通过采样开关的采样而获得的。

采样开关经过一定的时间间隔T 重复闭合，每次闭合的持续时间为τ，且有τ<<T ，如图8-2所示。

图8-1 离散控制系统方框图 图8-2 离散反馈信号 图8-3 离散控制系统简化方框图在离散控制系统中， 采样开关重复闭合的时间间隔T 称为采样周期，而Tf s 1=和Tsπω2=分别称为采样频率和采样角频率。

一、填空题1．离散系统输出响应的Z 变换为：()2320.3680.2642 1.6320.632z z C z z z z +=-+-则系统输出在前两个采样时刻的值为______，______。

[重庆大学()C nT ()0C =()C T =2006年研]【答案】0；0.3682．零阶保持器的传递函数是______，加入零阶保持器______会影响采样系统的稳定性。

[北京交通大学2009年研]【答案】；不1e Ts s--二、问答题1．如何判断离散系统的稳定性。

并图示说明之。

[东北大学研]答：由于Z 变换与拉普拉斯变换之间的映射关系为，其中T 为采样周期，在s平面内当系统稳定时所有特征根位于左半平面，映射到Z 平面中则是单位圆内，对应的映射关系如图8-1所示。

图8-1于是判断离散系统的稳定性时，只需判断其特征方程的根的模是否大于1，当其模大于1时，系统不稳定；模等于1时，系统临界稳定；当其模小于1时，系统稳定，为了能位于右半平面；位于左半平面；对应的映射关系如图8-2所示。

所示得到关于ω的特征方程，使用劳斯判据进行判断。

图8-22．线性定常离散系统的稳定性除了与系统结构参数有关之外，还与哪些因素有关？[南京航空航天大学2008年研]答：线性定常离散系统的稳定性除了与系统结构参数有关之外，还与采样周期T有关，当系统开环增益一定时，T越小，稳定性越好。

三、计算题1．先用Z变换法求解下面的微分方程，再求其终值e（∞）。

e（k＋2）＋3e（k＋1）＋2e（k）＝0，已知e（0）＝0，e（1）＝1。

[浙江大学研]解：将善分方程两沩讲行Z变换可以得到：将e（0）＝0，e（1）＝1代入整理可以得到：2．已知z变换求离散时间函数z（k）和采样函数[清华大学研]解：由对照典型函数的z 变换表可以得到即其中T为采样周期，为单位脉冲。

3．某离散系统如图8-3所示，试求其闭环脉冲传递函数[四川大学研]图8-3解：由题意，可以得到如下方程整理得到对式（3）两边进行z变换得到：（4）由两边进行Z 变换得到：（5）联立式（4），式（5），消去中间变量可以得到4．线性定常离散系统如图8-4所示，写出闭环系统的脉冲传递函数。

离散时间系统分析离散时间系统分析是指对离散时间信号和系统的特性进行研究和分析的过程。

离散时间信号是在时间上是离散的，而连续时间信号则是在时间上是连续的。

离散时间系统是指对离散时间信号进行输入输出变换的系统。

离散时间系统分析主要包括对离散时间信号和系统的表示、性质、分析和设计等方面的内容。

离散时间信号的表示离散时间信号可以通过数学方法进行表示和描述。

常用的表示方法包括序列表示法和函数表示法。

序列表示法是离散时间信号的一种常见表示方式，它将离散时间信号看作是一个序列，表示为一个有序的数值列表。

序列可以分为有限序列和无限序列两种。

有限序列表示了在有限时间内的信号取值，而无限序列表示了在无限时间内的信号取值。

函数表示法是另一种常用的离散时间信号的表示方式，它使用数学函数来描述信号的取值。

函数表示法更加灵活，可以表示各种复杂的离散时间信号，如周期序列、随机信号等。

离散时间系统的性质离散时间系统可以根据其性质进行分类和分析。

其中包括线性性、时不变性、因果性和稳定性等。

线性性是指系统的输出与输入之间存在线性关系。

如果系统满足输入信号的线性性质，那么对于任意输入信号x1(n)和x2(n)，以及对应的输出信号y1(n)和y2(n)，系统将满足以下性质：•线性叠加性：对于任意的实数a和b，有系统对于输入信号ax1(n)+bx2(n)的输出为ay1(n)+by2(n)。

时不变性是指系统的输出与输入之间的关系不随时间的变化而变化。

如果系统满足输入信号的时不变性质，那么对于任意输入信号x(n)和对应的输出信号y(n)，如果将输入信号延时d个单位时间，那么对应的输出信号将也会延时d个单位时间。

因果性是指系统的输出只取决于当前和过去的输入值，不受未来输入值的影响。

如果系统满足输入信号的因果性质，那么对于任意n的值，系统的输出信号y(n)只取决于输入信号x(n)及其过去的值。

稳定性是指系统的输出有界，不会无限增长。

如果系统满足输入信号的稳定性质，那么对于任意有界输入序列，输出序列也将是有界的。

第八章线性离散控制系统8.1 概述8.2 信号采样与保持8.3 离散系统的数学模型8.4 离散控制系统的稳定性8.5 离散控制系统的动态性能分析8.6离散控制系统的稳态误差分析8.7 离散控制系统的最少拍校正8.8利用MATLAB辅助离散控制系统的分析与校正8.9 小结8.1概述本章知识体系离散控制系统的稳定性离散控制系统基本概念信号的采样与保持离散控制系统的数学模型离散控制系统的动态性能分析离散控制系统的稳态误差分析最少拍校正利用MATLAB辅助离散控制系统的分析与校正描述系统分析系统仿真分析、校正系统8.1概述时间上不连续的信号在现实系统中大量存在。

例如许多化工生产过程无法在线连续测量产品的质量指标而是通过定期采样化验就能保证产品质量的稳定。

系统内有一处或多处的信号仅存在于孤立的时间序列点上这类控制系统称为离散时间控制系统简称离散控制系统。

与此相对各处信号均为连续时间函数的控制系统称为连续时间控制系统简称连续控制系统。

8.1概述时间上离散的信号其幅值可能是连续的亦可能是离散的。

将时间上、幅值上都连续的模拟信号转换成时间上离散、但幅值上仍然连续的离散模拟序列信号的过程而这一过程就称为采样又称为波形的离散化过程相应的控制系统则称为采样控制系统。

若由数字计算机实现控制受计算机字长限制还需要进一步将幅值连续的理想化序列信号量化为数字序列信号进一步得到时间和幅值上都是离散的数字序列信号相应的控制系统则称为数字控制系统。

8.1 概述8.1.1 离散控制系统的基本概念 1.采样控制系统大惯性、大滞后控制系统出现的问题采样系统较早出现与某些大惯性、大滞后对象的控制系统中如炉温控制系统。

这类对象的相位滞后非常明显为保证系统的相位裕度开环传递系数一般取很小值难以有很高的稳定精度.提高稳态精度的一个方法在偏差信号和执行电机之间安装一个开关使其每隔较长时间才闭合一次且闭合时间很短。

当开关闭合时系统根据偏差闭环控制电机当开环断开时电机停止等待炉温变化。

线性离散控制系统的稳定性分析在控制工程中，稳定性是占据重要地位的概念之一。

对于线性离散控制系统而言，稳定性分析显得尤为关键。

在本文中，我们将讨论线性离散控制系统的稳定性分析。

线性离散控制系统由两个部分组成，一个是系统本身，另一个是控制器。

这两个部分共同作用，以使系统能够正常运行，达到预定的控制目标。

而稳定性则是在这一过程中，确保系统在特定的条件下能够保持稳定。

线性离散控制系统一般是在时刻 t 时，通过一个输入信号 u(t) 来控制输出信号 y(t)。

由此可以得到系统的状态空间方程式：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t)其中，x(t) 是状态向量，它包含系统中所有的状态信息。

A 和B 是状态转移矩阵，用于描述状态向量在时间上的演变。

C 则是输出端的转移矩阵，用于描述系统输出与状态向量之间的关系。

而 u(t) 则是控制器的输入信号，通过控制器的处理，最终得到系统的输出 y(t)。

对于任意给定的系统，其稳定性是需要依据系统本身的特性来分析的。

这里我们将从两个方面来讨论线性离散控制系统的稳定性分析。

分别为：利用特征值和易于分析的特殊情况。

一、利用特征值进行稳定性分析通过特征值，可以很方便地判断一个系统是否稳定。

特征值的计算公式如下：det(A-λI) = 0其中，det() 是矩阵的行列式，A 是状态转移矩阵，λ 是特征值，I 是单位矩阵。

特征值通常是由状态转移矩阵的特征多项式所产生的根。

如果计算出来的特征值都处于单位圆内，那么这个系统就是稳定的。

反之，如果特征值的模超过了 1，则这个系统就是不稳定的。

此外，还存在一种特殊情况，即状态转移矩阵的特征值都是实数。

在这种情况下，我们只需要检测特征值是否位于区间 [-1,1] 中即可。

如果全部都满足此条件，那么系统就是稳定的。

二、特殊情况下的稳定性分析对于线性离散控制系统而言，有一些特殊情况下可以使用更为简便的方法来进行稳定性分析。

第八章 离散控制系统8．1 引言自动控制系统发展至今，数字计算机作为补偿装置或控制装置越来越多的应用到控制系统中。

数字计算机中处理的信号是离散的数字信号。

所谓离散信号，是指定义在离散的时刻点上信号，连续信号经过等间隔时间采样后就变成离散时间信号。

而数字信号，是指由二进制数表示的信号，计算机中的信号就是数字信号。

数字信号的取值只能是有限个离散的数值。

如果一个系统中的变量有离散时间信号，就把这个系统叫做离散时间系统，简称离散系统。

如果一个系统中的变量有数字信号，则称这样的系统为数字控制系统。

图8－1为典型的计算机控制系统框图，计算机控制系统是最常见的离散系统和数字控制系统。

计算机工作在离散状态，控制对象和测量元件工作在模拟状态。

偏差信号)(t e 是模拟信号，经过A/D 变换后转换成离散的数字信号)(*t e 进入计算机。

计算机按照一定的控制规律处理输入信号，完成控制器的功能。

计算机的输出信号)(*t u 为离散的数字信号，经过D/A 变换后转换成模拟信号)(t u h 。

)(t u h 输入到控制对象，是其按预定方式工作。

将图8－1中的A/D 转换器由一个采样开关代替，D/A 转换器由采样开关和保持器代替，得到图8－2。

在量化误差可以忽略的情况下，计算机控制系统可以看作是离散控制系统。

8．2 采样系统在离散控制系统中，数字计算机只能处理离散的数字信号，而系统中其余元件则处理模拟信号，所以在数字计算机与其余元件之间需要进行信号转换。

信号经过A/D 转换，变成离散的数字信号输入到计算机。

而计算机输出的离散的数字信号经过D/A 转换，变成模拟信号输入到其余元件。

在分析离散控制系统时，假定输入到计算机和从计算机输出的每一个数字量之间的时间间隔为T ，称为采样时间，T /1为采样频率，单位为Hz 。

所以在图8－2中，偏差信号图8－1 计算机控制系统图8－2 离散控制系统∑∞=-=0*()()(k t kT e t e δ（8－1）)(*t e 为离散信号，该信号实际上是由二进制表示的数字信号，通常为8位、10位、12位或者16位数字信号。