第七章 线性离散系统的分析与校正
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第八章 线性离散时间控制系统分析页数:19
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线性离散系统基础页数:6
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《自动控制原理》线性离散系统的分析与校正页数:15
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第7章 线性离散控制系统剖析页数:97
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第七章(3-7) 线性离散系统的分析与校正
2）离散系统的型别与静态误差系数法
采样器不影响脉冲传递函数的极点
a).
b).
c).
教材P358 表7-5
（熟记）
7-6. 离散系统的动态性能分析
时域法、根轨迹法和频域法 ，其中 时域法最简单。本章介绍时域法。
1.离散系统的时间响应 2.采样器和保持器对动态性能的影响 3.闭环极点与动态响应的关系
离散系统输入输出变量及其各阶差分的等式
含义： 对于一般的线性定常离散系统， k 时刻的输出 c(k ) ，不仅与 k 时刻的输入 r (k ) 有关，还与 k 时刻以前的输入 r (k 1), r (k 2),... 有关，同时还与 k 时刻以前的输 出 c(k 1), c(k 2),... 有关。 回忆线性定常连续系统数学模型
C (s) GR (s) GH (s)C (s)
RG ( z ) C ( z) 1 GH ( z )
无法分离出 R( z ) 得不到脉冲传递函数
7-5. 离散系统的稳定性与稳态误差
1.S域到Z域的映射 2.离散系统稳定性的充分必要条件 3.离散系统的稳定性判据 4.采样周期与开环增益对稳定性的影响 5.离散系统的稳态误差
E ( s) R (s) 1 G1 ( s ) HG 2 ( S )
输出信号的采样拉氏变换 进行Z变换，证得
G2 ( s)G1 ( s) R ( s) C ( s) G2 ( s)G ( s) E ( s) 1 G1 ( s) HG2 ( S )
1
？
可以导出采样器为不同配置形式的其它闭环系统脉冲传递函数。但只要
误差信号e(t)处没有采样开关，则输入采样信号r*(t)就不存在，此时不能写出
胡寿松《自动控制原理》课后习题及详解(线性离散系统的分析与校正)【圣才出品】
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第 7 章 线性离散系统的分析与校正 7-1 试根据定义 确定下列函数的 和闭合形式的 E（z）： 解：（1）由题意可得
令
，可得：
（2）将
展成部分分式得：
其中，
则有
经采样拉氏变换得：
令
，可得：
。
7-2 试求下列函数的 z 变换：
将 z 1 代入到 D z ，得
1 由劳斯稳定判据可知使系统稳定的 K 值取值范围是 0 K 1.6631。
解：（1）对输入 对 作 z 变换得： 则有： 用幂级数法可得
图 7-3 开环离散系统 作 z 变换得：
所以
（2）由题可知： 且有
则 所以
。
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7-14 试判断下列系统的稳定性： （1）已知闭环离散系统的特征方程为
解：（1）由题可知
图 7-4 离散系统
z 域特征方程为： 特征值为： 由于 z1 1，因此闭环系统不稳定。
将 z 1 代入到 D z ，得 特征方程为：
1 特征值为： 由于 2 0 ，故闭环系统不稳定。 （2）特征方程为
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则有：
。
7-9 设开环离散系统如图 7-1 所示，试求开环脉冲传递函数 G（z）。
解：系统 a
图 7-1 开环采样系统
系统 b
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7-10 试求图 7-2 闭环离散系统的脉冲传递函数 Φ（z）或输出 z 变换 C（z）。
第 7 章 线性离散系统的分析与校正 7-1 试根据定义 确定下列函数的 和闭合形式的 E（z）： 解：（1）由题意可得
令
，可得：
（2）将
展成部分分式得：
其中，
则有
经采样拉氏变换得：
令
，可得：
。
7-2 试求下列函数的 z 变换：
将 z 1 代入到 D z ，得
1 由劳斯稳定判据可知使系统稳定的 K 值取值范围是 0 K 1.6631。
解：（1）对输入 对 作 z 变换得： 则有： 用幂级数法可得
图 7-3 开环离散系统 作 z 变换得：
所以
（2）由题可知： 且有
则 所以
。
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7-14 试判断下列系统的稳定性： （1）已知闭环离散系统的特征方程为
解：（1）由题可知
图 7-4 离散系统
z 域特征方程为： 特征值为： 由于 z1 1，因此闭环系统不稳定。
将 z 1 代入到 D z ，得 特征方程为：
1 特征值为： 由于 2 0 ，故闭环系统不稳定。 （2）特征方程为
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则有：
。
7-9 设开环离散系统如图 7-1 所示，试求开环脉冲传递函数 G（z）。
解：系统 a
图 7-1 开环采样系统
系统 b
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7-10 试求图 7-2 闭环离散系统的脉冲传递函数 Φ（z）或输出 z 变换 C（z）。
自动控制原理
c(k) a1c(k 1) a2c(k 2) L an1c(k n 1) anc(k n) b0r(k) b1r(k 1) L bmr(k m)
n
m
即： c(k) aic(k i) bjr(k j)
i 1
j0
如果ai和bi均为常系数，上式为常系数线性差分 方程。由于m≤n，上式称为n阶线性常系数差分方程。
10
(2)Z变换法求解 给定差分方程后，先用z变换的实数位移定理对
差分方程取z变换，得到z的代数方程，再对代数方程 取z反变换，即得脉冲序列c(k)。
例:差分方程c(k+2)+3c(k+1)+2c(k)=0，初始条件： c(0)=0,c(1)=1
解：对上式两边取拉氏变换：
Zc(k 2) z2C(z) z2c(0) zc(1) z2C(z) z
相应后移 k 个采样周期，成为 K[(n k)T] 。
15
线性定常离散系统中，如果输入采样信号为：
r*(t) r(nT ) (t nT )
n0
则系统的输出响应序列为：
c(nT ) K[(n k)T ]r(kT )
k 0
K (kT )r[(n k)T ]
k 0
c(nT) K(nT)*r(nT)
30
(4) 输入端无采样的情况
r(t)
d(t)
d*(t)
C(t)
G1(s)
s
G2(s)
G(z)
C(z) G2(z)D(z) G2(z)G1R(z)
因为输入信号不是独立的，故不能写出 系统的脉冲传递函数，只能写出输出信号的z 变换形式。
31
5、闭环系统脉冲传递函数
(z)
r(t)
离散系统的分析与校正
X(-k T 0 ) X[(1 - K)T0 ] X(-T 0) 0
-(k n ) Z[X[(t - KT0 )] X(0)Z-k X(T0 )Z-(k 1) X(n T )Z 0
Z -k [ X(0) X(T0 )Z 1 X(n T0 )Z n ] Z -k X( Z ) 证毕
而脉冲强度则由nT0时刻的连续函数e (nT0 )来确定
2、采样定理(Shannon)
如果采样角频率大于或等于2m ,即s 2m , 则经采样得到的 脉冲序列能无失真地再恢复到原连续信号.
m 连续信号频谱的上限频率 2 对s 2m ,有 2 T 2T
0 m
| e ( j ) |
证明:由Z变换定义
n Z[X(t - k T )] X ( n T k T ) Z 0 0 0 n0 -1 -k -(k 1) X(-k T ) X(T -k T )Z X(0)Z X(T )Z 0 0 0 0 -(k n ) X(n T 0 )Z
K -1
证明:Z[X(t kT0 )] X ( nT0 kT0 ) Z n X (kT0 ) X [(k 1)T0 ]Z 1 X [(k 2)T0 ]Z 2 ....... X ( nT0 kT0 ) Z n ...... Z k [ X (kT0 ) Z k X [(k 1)T0 ]Z ( k 1) ......] Z k { X (0) X (T0 ) Z 1 ...... X [(k 1)T0 ]Z ( k 1) X (kT0 ) Z k X [( K 1)T0 ]Z ( k 1) ...... X (0) X (T0 ) Z 1 ...... X [(k 1)T0 ]Z ( k 1) ]} Z [ X ( Z ) X (nT0 ) Z n ]
离散线性系统的分析和校正
ROC Rx
例：求x[k]=(k+1)aku[k]旳z变换及收敛域
解：
a k u[k ] Z 1 , z a 1 az 1
利用z域微分特征，可得
d1 Z{ka k u[k ]} z 1 az 1
dz
利用z变换旳线性特征，可得
az 1
,z a
(1 az 1 ) 2
(k 1)aku[k ] Z
脉冲响应
4
1 采样过程
➢ 理想单位脉冲序列 ➢ (载波） ➢ 幅值调制过程
前提条件：脉冲序列从0开始
2 采样过程旳数学描述
➢ （1）采样信号旳拉式变换
（2） 采样信号旳频谱
滤波δT(t器) = 旳宽度满足什cn么e
jnst
n
条件时能从
E* ( j) 得到
ωEs=(2πj/T为)采样?角?!频率,
0
k
0
k
Z{x[k 1]u[k ]} z 1 X (z) x[1]
Z{x[k 2]u[k ]} z 1Z{x[k 1]u[k ]} x[2]
z 2 X ( z) z 1x[1] x[2]
依此类推 可证上式成立
例：求RN[k]=u[k]-u[k-N]旳z变换及收敛域
解：
u[k ] Z 1 , z 1 1 z 1
2. m<n，分母多项式在z=u处有l阶重极点
nl
X (z)
i 1
1
ri pi z 1
l 1 i0
qi (1 uz 1 )l i
qi
1
di
(u)i i! d(z 1)i
(1 uz 1)l X (z)
zu ,
i 0,l 1
4、单边z反变换
自动控制原理(第三版)第七章线性离散系统分析与设计
离散系统稳态误差是指系统在稳态时输出与输入之间的误 差。
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
THANKS
感谢观看
01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
THANKS
感谢观看
01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点
自控原理 第七章 线性离散系统的分析与校正
在上述对连续对象实现离散控制的场合，采 样是必丌可少的环节。由连续信号获得相应 的时间上离散的脉冲序列信号，需要采用一 种类似开关的装置对连续信号迚行采样，见 图的采样开关S。
开关因开合将连续偏差信号e(t)采样为脉冲 序列形式的信号e*(t)：e(t0)、e(t1)、 e(t2)、...ห้องสมุดไป่ตู้故称系统为采样控制系统或脉冲 控制系统。
(a)连续信号幅频谱
连续信号f(t)的幅频谱单一 ，高频分 量的幅值随着频率的升高而逐渐减小， 即存在一个频率上界值max使得当 ||>max时，|F(j)|0，
(b) 采样信号幅频谱
主分量F(j)/Ts不F(j)的幅频 谱形状一致，幅值为F(j)的 1/Ts倍，F(j)/Ts包含了全部信 息。
s
f * ( t ) f ( t ) Ts ( t ) f ( t ) ( t kTs )
k
f ( kTs ) ( t kTs ),
k 0
t t0
(8 - 1)
• 方便的计时起点为t0=0，且f(t)对于t<t0=0（除非特别说明，本章 均为此情况）， Ts: 采样周期； (tkTs)为出现在时刻t=kTs且强度 为1的理想单位脉冲函数；f(kTs)为第k个采样时刻的采样值，反 映采样信号脉冲的强度，简记为f(k)，与连续信号f(t)对应，f(k) 称为离散信号。
s 2max时，
• 各分量F[j(-ks)], k=0, 1, 2,...，互不重叠； • 将f*(t)中频率||>max的部分滤除即可得到频谱与F(j)形状一 致的信号，从而可不失真地复原信号; • 若能构造一理想低通滤波器G(j)，使其在频段(s/2,s/2)内 频率特性为G(j)=Ts而其余频段内恒为0，则f*(t)经G(j)滤波 后即为原信号f(t)，其中g(t)为滤波器的单位脉冲响应。
第7章_线性离散系统的分析与校正方法
（1） 在连续系统中的一处或几处设置采样开关，对被控对象进行断续控制； （2） 通常采样周期远小于被控对象的时间常数； （3） 采样开关合上的时间远小于断开的时间； （4） 采样周期通常是相同的。
结束
(7-7)
§ 7-1 离散采样系统的基本概念
数字控制系统中的两个关键部件： A/D转换器：把连续的模拟信号转换为时间上离散的、幅值上整量化的数字 信号（二进制的整数），A/D转换器可以认为采样周期为 TS 的理想采样开 关。
本章主要内容 本章在阐述了离散控 制系统相关基本概念 后， 学习了采样过程 及采样定理 、 保持器 的作用和数学模型、z 变换的定义和求法 、 基本性质和z反变换的 求 法 、线性差分方程 的建立及其解法 、脉 冲传递函数的概念及 求 取 方 法、离散系统 时 域 分 析 方 法 。
本章重点 ★了解线性离散系统的基本概念和 基本定理，把握线性连续系统与线 性离散系统的区别与联系； ★熟练掌握Z变换的定义、性质和 逆Z变换方法； ★了解差分方程的定义，掌握差分 方程的解法； ★了解脉冲传递函数的定义，熟练 掌握开环与闭环系统脉冲传递函数 的计算方法； ★掌握线性离散系统的分析方法和 原则。
1 1 1 1 z z a b 1 e bT z 1 1 e aT z 1 a b z e bT z e aT
结束
(7-25)
§7.3
一般外推公式：
结束
(7-16)
§ 7-2 信号的采样与保持
5.1零阶保持器ZOH
当给零阶保持器输入一个理想单位脉冲 (t ) ，则单位脉冲 响应（输出）为：
g h (t ) 1(t ) 1(t T )
对应的L变换
结束
(7-7)
§ 7-1 离散采样系统的基本概念
数字控制系统中的两个关键部件： A/D转换器：把连续的模拟信号转换为时间上离散的、幅值上整量化的数字 信号（二进制的整数），A/D转换器可以认为采样周期为 TS 的理想采样开 关。
本章主要内容 本章在阐述了离散控 制系统相关基本概念 后， 学习了采样过程 及采样定理 、 保持器 的作用和数学模型、z 变换的定义和求法 、 基本性质和z反变换的 求 法 、线性差分方程 的建立及其解法 、脉 冲传递函数的概念及 求 取 方 法、离散系统 时 域 分 析 方 法 。
本章重点 ★了解线性离散系统的基本概念和 基本定理，把握线性连续系统与线 性离散系统的区别与联系； ★熟练掌握Z变换的定义、性质和 逆Z变换方法； ★了解差分方程的定义，掌握差分 方程的解法； ★了解脉冲传递函数的定义，熟练 掌握开环与闭环系统脉冲传递函数 的计算方法； ★掌握线性离散系统的分析方法和 原则。
1 1 1 1 z z a b 1 e bT z 1 1 e aT z 1 a b z e bT z e aT
结束
(7-25)
§7.3
一般外推公式：
结束
(7-16)
§ 7-2 信号的采样与保持
5.1零阶保持器ZOH
当给零阶保持器输入一个理想单位脉冲 (t ) ，则单位脉冲 响应（输出）为：
g h (t ) 1(t ) 1(t T )
对应的L变换
精品文档-自动控制原理(王春侠)-第七章
4
该系统借助于指针、凸轮对连续误差信号e(t)进行采样， 将连续信号转换成了脉冲序列e*τ(t)，凸轮就成了采样器(采 样开关)，如图7-2(b)所示。有了诸如指针、凸轮这样的元件 后，使得原来的系统至少有一处存在离散信号，这时系统成为 采样控制系统。
在炉温控制过程中，如果采用连续控制方式，则无法解决 控制精度与动态性能之间的矛盾。因为该系统中工业炉是具有 时滞特性的惯性环节，其滞后时间可长达数秒甚至数十秒，时 间常数可长达千秒以上。当增大开环增益以提高系统的控制精 度时，由于系统的灵敏度相应提高，在炉温低于给定值的情况 下，电动机将迅速增加阀门开度，给炉子供应更多的加热气体。
控制计算机的5个输出接口分别为主控输出口、前馈输出 口和3个误差角θe＝θi－θo显示口。主控输出口由12位D/A 转换芯片DAC1210等组成，其中包含与系统误差角θe及其一阶 差分Δθe成正比的信号，同时也包含与系统输入角θi的一阶 差分Δθi成正比的复合控制信号，从而构成系统的模拟量主 控信号，通过PWM放大器驱动伺服电机，带动减速器与小口径 高炮，使其输出转角θo跟踪数字指令θi。
数字信号发生器给出的16位数字输入信号θi经两片8255 芯片的口A进入控制计算机，系统输出角θo(模拟量)经 110XFS1/32多极双通道旋转变压器和2×12XSZ741 A/D变换器 及其锁存电路完成绝对式轴角编码的任务，将输出角模拟量 θo转换成二进制数码粗、精各12位，该数码经锁存后，取粗 12位、精11位由芯片8255的口B和口C进入控制计算机。然后 经计算机软件运算，将精、粗合17 并，得到16位数字量的系统输
27
图7-9 数字控ห้องสมุดไป่ตู้系统的典型结构图
28
3. 离散控制系统的特点 采样和数字控制技术在自动控制领域得到越来越广泛
该系统借助于指针、凸轮对连续误差信号e(t)进行采样， 将连续信号转换成了脉冲序列e*τ(t)，凸轮就成了采样器(采 样开关)，如图7-2(b)所示。有了诸如指针、凸轮这样的元件 后，使得原来的系统至少有一处存在离散信号，这时系统成为 采样控制系统。
在炉温控制过程中，如果采用连续控制方式，则无法解决 控制精度与动态性能之间的矛盾。因为该系统中工业炉是具有 时滞特性的惯性环节，其滞后时间可长达数秒甚至数十秒，时 间常数可长达千秒以上。当增大开环增益以提高系统的控制精 度时，由于系统的灵敏度相应提高，在炉温低于给定值的情况 下，电动机将迅速增加阀门开度，给炉子供应更多的加热气体。
控制计算机的5个输出接口分别为主控输出口、前馈输出 口和3个误差角θe＝θi－θo显示口。主控输出口由12位D/A 转换芯片DAC1210等组成，其中包含与系统误差角θe及其一阶 差分Δθe成正比的信号，同时也包含与系统输入角θi的一阶 差分Δθi成正比的复合控制信号，从而构成系统的模拟量主 控信号，通过PWM放大器驱动伺服电机，带动减速器与小口径 高炮，使其输出转角θo跟踪数字指令θi。
数字信号发生器给出的16位数字输入信号θi经两片8255 芯片的口A进入控制计算机，系统输出角θo(模拟量)经 110XFS1/32多极双通道旋转变压器和2×12XSZ741 A/D变换器 及其锁存电路完成绝对式轴角编码的任务，将输出角模拟量 θo转换成二进制数码粗、精各12位，该数码经锁存后，取粗 12位、精11位由芯片8255的口B和口C进入控制计算机。然后 经计算机软件运算，将精、粗合17 并，得到16位数字量的系统输
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图7-9 数字控ห้องสมุดไป่ตู้系统的典型结构图
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3. 离散控制系统的特点 采样和数字控制技术在自动控制领域得到越来越广泛
自动控制理论第7章线性离散系统的分析与校正
自动控制理论第7章线性离散系统 的分析与校正
目录
• 引言 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的性能分析 • 线性离散系统的校正 • 线性离散系统的设计实例
01 引言
线性离散系统的重要性
01
在现代工业控制中，线性离散系 统广泛应用于过程控制、数据通 信、计算机控制系统等领域。
05 线性离散系统的校正
串联校正
串联超前校正
通过在系统环路中串联一个超前 校正器，提高系统的相位裕度， 减小系统的稳态误差。
串联滞后校正
通过在系统环路中串联一个滞后 校正器，减小系统的相位裕度， 提高系统的抗干扰能力。
并联校正
并联超前校正
通过在系统环路中并联一个超前校正 器，提高系统的相位裕度，减小系统 的稳态误差。
总结词：通过串级控制实现液位的精确 控制
同时，副控制器根据储水池的液位变化 ，实时调整水泵的运行状态，以实现液 位的精确控制。
主控制器根据液位传感器的信号，控制 调节阀的开度，以调节水泵的输出流量 ，从而控制储水池的液位。
详细描述
液位控制系统由液位传感器、调节阀、 水泵和储水池组成。
设计实例三：电机控制系统
03 线性离散系统的稳定性分 析
稳定性的定义
内部稳定性
系统在受到小扰动后能 够恢复到原平衡状态的 性能。
外部稳定性
系统在受到大扰动后能 够保持稳定输出的性能。
绝对稳定性
系统在任何情况下都能 保持稳定的性能。
劳斯-赫尔维茨准则
01
劳斯-赫尔维茨准则是判断线性时不变系统稳定性的 充分必要条件，适用于离散系统。
Z变换
Z变换是分析线性离散系统的重要工 具，它将离散时间信号转换为复平面 上的函数。
目录
• 引言 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的性能分析 • 线性离散系统的校正 • 线性离散系统的设计实例
01 引言
线性离散系统的重要性
01
在现代工业控制中，线性离散系 统广泛应用于过程控制、数据通 信、计算机控制系统等领域。
05 线性离散系统的校正
串联校正
串联超前校正
通过在系统环路中串联一个超前 校正器，提高系统的相位裕度， 减小系统的稳态误差。
串联滞后校正
通过在系统环路中串联一个滞后 校正器，减小系统的相位裕度， 提高系统的抗干扰能力。
并联校正
并联超前校正
通过在系统环路中并联一个超前校正 器，提高系统的相位裕度，减小系统 的稳态误差。
总结词：通过串级控制实现液位的精确 控制
同时，副控制器根据储水池的液位变化 ，实时调整水泵的运行状态，以实现液 位的精确控制。
主控制器根据液位传感器的信号，控制 调节阀的开度，以调节水泵的输出流量 ，从而控制储水池的液位。
详细描述
液位控制系统由液位传感器、调节阀、 水泵和储水池组成。
设计实例三：电机控制系统
03 线性离散系统的稳定性分 析
稳定性的定义
内部稳定性
系统在受到小扰动后能 够恢复到原平衡状态的 性能。
外部稳定性
系统在受到大扰动后能 够保持稳定输出的性能。
绝对稳定性
系统在任何情况下都能 保持稳定的性能。
劳斯-赫尔维茨准则
01
劳斯-赫尔维茨准则是判断线性时不变系统稳定性的 充分必要条件，适用于离散系统。
Z变换
Z变换是分析线性离散系统的重要工 具，它将离散时间信号转换为复平面 上的函数。
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d E ( z) dz
G( z )
C (z) R( z )
2、求法 （1）由差分方程求取
（2）由连续部分的传递函数求脉冲传递函数 六、离散系统稳定的条件和稳定判据 1、充分必要条件：闭环特征根全部位于 z 平面单位圆内。 2、 w （双线性）变换与劳思稳定判据
w 1 代入老师系统的闭环特征方程，进行 w （双线性）变换后，再利用劳 w 1 思判据判定稳定性。
【例 7-3】 试确定下列函数的终值 （1） E ( z )
Tz 1 (1 z 1 )2
z2 （2） E ( z ) ( z 0.8)( z 0.1)2
解题技巧： ：利用终值定理 ess lim(1 z 1 ) E ( z ) 计算
z 1
解： （1） ess lim(1 z 1 )
（1）输出 z 变换 C ( z ) ； （2）采样瞬时的输出响应 c * (t ) ； （3）输出响应的终值 c* () 。 解题技巧：用 Z 变换法求出系统的时间响应，并用终值定理求出输出响应的终 值。 解： （1） 开环脉冲传递函数为：
5 5 1 z 1 z (1 e5 ) (4 e ) z 1 6e z G( z) Z 2 2 5 2 5 25( z 1) ( z e ) s ( s 5) 5 ( z 1) 5( z 1)( z e )
1 e s Tz (1 e T ) z T Z( 2 )z [ ] s ( s 1) ( z 1)2 ( z 1)( z eT )
【例 7-2】 试分别用部分分式法、幂级数法和反演积分法求下列函数的 Z 反变换。 10 z (1) E ( z) ( z 1)( z 2 )
s 2h 或 T h
三、Z 变换理论 1、Z 变换的定义
h : e(t )中所含各谐波分量中的最大 2 s : 采样角频率s T
采样信号： e* (t ) e(nT ) (t nT )
n 0
Z 变换的定义为 E ( z ) Z [e* (t )] L[e* (t )] esT z e(nT ) e nTs
令z
3、朱利稳定判据。列出朱利表，满足约束条件，则系统稳定。 七、离散系统稳态误差 1、用终值定理求取 若离散系统稳定，用终值定理求 e() lim 2、用静态误差系数法求取
表 1 离散系统的稳态误差 系统型别
( z 1) E( z) z 1 z
r (t ) A1(t )
A 1 K0
0
r (t ) At
r (t )
A 2 t 2
0
AT K0
0
ⅠAT 2 K00Ⅱ0Ⅲ
0
0
八、离散系统的时间响应 用 z 变换法分析系统动态性能时，通常假定外作用为单位阶跃函数，首先求出
C ( z ) ，再通过 z 反变换法求出脉冲序列 C * (t ) ，可以求出各项性能指标。
九、采样器和保持器对动态性能的影响 1、采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小，但使超调量增大。 2、零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长，使超调量增大。
(2)
3 z 1 E ( z) 1 2 z 1 z 2
解题技巧：利用 Z 反变换的几种方法求 Z 反变换 解： （1） E ( z )
10 z ( z 1)( z 2)
①部分分式法 E (z) 10 10 10 z ( z 1)( z 2) z 1 z 2 10 z 10 z E (z) ( z 1) ( z 2)
z 1
e() lim( z 1) E ( z ) lim(1 z 1 )
z 1
A( z ) e ( z ) 0 (1 z 1 )m
e ( z ) (1 z 1 ) m F ( z )
取 F ( z ) 1 ， e ( z ) (1 z 1 )m 。 3、设计步骤 （1）求 G ( z ) ——没有单位圆上及圆外的零极点； （2）针对特定的典型输入选 e ( z )
③ 反演积分法
e(nT ) Re s E ( z ) z n 1
s 1
lim 3(n 1) z
n 0
z 1
1 d lim (3 z 2 z ) z n 1 1! s 1 dz
n
nz n 1 2n 3
e * (t ) (2n 3) (t nT )
1 1 z Tz E ( z) Z ( ) Z ( 2 ) s s z 1 ( z 1)2
（5） E (s )
1 es 1 e s s 2 (s 1) s 2 ( s 1) s 2 (s 1)
Z(
1 Tz (1 e T ) z ) s 2 ( s 1) ( z 1)2 ( z 1)( z eT )
z 1 E (z) z
*
（5）卷积定理：设 u (t ) e (t ) g (t ) e(kT ) g[( n k )T ]
k 0
*
*
则 U ( z ) E ( z) G ( z ) （6）Z 域微分定理： Z [t e(t )] zT 4、Z 反变换 （1）部分分式法 （2）幂级数法 （3）反演积分法 四、线性定常差分方程及其解法 （1）迭代法 （2）z 变换法 五、脉冲传递函数 1、定义：零初始条件下，离散系统输出脉冲序列 Z 变换与输入脉冲序列 Z 变换 之比。
十、闭环极点与动态响应的关系 根据系统在 z 平面上的零、极点分布，也可以估计系统的动态性能。系统的瞬态 响应与极点位置关系图如图所示。
十一、最少拍系统设计 1、定义：在典型输入作用下，能以有限拍结束响应过程，并且采样点上没有稳 态误差。 2、设计原则 由 e() 0 得
E ( z ) e ( z ) R( z ) A( z ) e ( z) (1 z 1 )m
第七章 线性离散系统的分析与校正
7.1 学习指导 7.1.1 学习要点
1、离散系统基本概念； 2、香农采样定理； 3、Z 变换定义、方法和性质； 4、Z 反变换方法； 5、离散系统的数学模型； 6、离散系统稳定性分析； 7、离散系统的稳态误差计算； 8、离散系统的动态性能分析； 9、最少拍系统设计；
e(nT ) 10 1 10 2n 10(2 n 1)
e* (t ) 10(2n 1) (t nT )
n 0
（2） E ( z )
3 z 1 z (3 z 1) z (3z 1) 2 2 1 2z z z 2z 1 ( z 1) 2
n 1
z 1 e sT －延迟算子
超前定理： Z [e(t nT )] z n [ E ( z ) e(kT ) z k ]
k 0
（3）复数位移定理： Z [e(t ) e （4）终值定理： lim e(nT ) lim
n z 1
at
] E ( z e aT )
① 部分分式法
2 3 E ( z ) 1 3z 2 2 z ( z 1) ( z 1) z 1 2 z 3z E ( z) 2 ( z 1) z 1 2 e(t ) t 3 1(t ) T
② 幂级数法：用长除法可得
3 z 2 z 3 5 z 1 7 z 2 9 z 3 z2 2z 1 e* (t ) 3 (t ) 5 (t T ) 7 (t 2T ) 9 (t 3T ) E ( z)
r (t ) R ( z )
A( z ) e ( z ) (1 z 1 )m 1 m (1 z )
（3）确定 ( z ) 1 e ( z ) ； （4）写出 D ( z )
( z ) e ( z) G ( z )
7.2 典型题解
【例 7-1】 试求下列函数的 Z 变换 （1） e(t ) a n （2） e(t ) t 2 e3t （3） e(t )
闭环脉冲传递函数为
( z ) G ( z) (4 e 5 ) z 2 (1 6e5 ) z 2 1 G ( z ) 25( z 1) ( z e5 ) (4 e 5 ) z 2 (1 6e5 ) z 4.0067 z 2 0.9596 z 25 z 3 46.1617 z 2 26.2966 z 0.1684
e(nT ) 10 1 10 2n 10(2 n 1)
e* (t ) 10(2n 1) (t nT )
n 0
②幂级数法：用长除法可得
E (z)
10 z 10 z 2 10 z 1 30 z 2 70 z 3 ( z 1)( z 2) z 3z 2
2
由实数位移定理得：
2 3 t Z t e
T 2 ze3T ( ze3T 1) ( ze3T 1) 2
1 T 3 ( z 2 4 z 1) （3）查表得： Z ( t 3 ) 3! 6( z 1) 4
（4） E ( s )
s 1 1 1 2 s s s2
1 3 t 3! s 1 （4） E ( s ) 2 s
1 es （5） E ( s ) 2 s ( s 1)
解题技巧：利用 Z 变换定义或性质解题 解：
（1） E ( z ) a n z n
n 0
1 z 1 za 1 az
T 2 z ( z 1) t （2） Z ( z 1) 2
G( z )
C (z) R( z )
2、求法 （1）由差分方程求取
（2）由连续部分的传递函数求脉冲传递函数 六、离散系统稳定的条件和稳定判据 1、充分必要条件：闭环特征根全部位于 z 平面单位圆内。 2、 w （双线性）变换与劳思稳定判据
w 1 代入老师系统的闭环特征方程，进行 w （双线性）变换后，再利用劳 w 1 思判据判定稳定性。
【例 7-3】 试确定下列函数的终值 （1） E ( z )
Tz 1 (1 z 1 )2
z2 （2） E ( z ) ( z 0.8)( z 0.1)2
解题技巧： ：利用终值定理 ess lim(1 z 1 ) E ( z ) 计算
z 1
解： （1） ess lim(1 z 1 )
（1）输出 z 变换 C ( z ) ； （2）采样瞬时的输出响应 c * (t ) ； （3）输出响应的终值 c* () 。 解题技巧：用 Z 变换法求出系统的时间响应，并用终值定理求出输出响应的终 值。 解： （1） 开环脉冲传递函数为：
5 5 1 z 1 z (1 e5 ) (4 e ) z 1 6e z G( z) Z 2 2 5 2 5 25( z 1) ( z e ) s ( s 5) 5 ( z 1) 5( z 1)( z e )
1 e s Tz (1 e T ) z T Z( 2 )z [ ] s ( s 1) ( z 1)2 ( z 1)( z eT )
【例 7-2】 试分别用部分分式法、幂级数法和反演积分法求下列函数的 Z 反变换。 10 z (1) E ( z) ( z 1)( z 2 )
s 2h 或 T h
三、Z 变换理论 1、Z 变换的定义
h : e(t )中所含各谐波分量中的最大 2 s : 采样角频率s T
采样信号： e* (t ) e(nT ) (t nT )
n 0
Z 变换的定义为 E ( z ) Z [e* (t )] L[e* (t )] esT z e(nT ) e nTs
令z
3、朱利稳定判据。列出朱利表，满足约束条件，则系统稳定。 七、离散系统稳态误差 1、用终值定理求取 若离散系统稳定，用终值定理求 e() lim 2、用静态误差系数法求取
表 1 离散系统的稳态误差 系统型别
( z 1) E( z) z 1 z
r (t ) A1(t )
A 1 K0
0
r (t ) At
r (t )
A 2 t 2
0
AT K0
0
ⅠAT 2 K00Ⅱ0Ⅲ
0
0
八、离散系统的时间响应 用 z 变换法分析系统动态性能时，通常假定外作用为单位阶跃函数，首先求出
C ( z ) ，再通过 z 反变换法求出脉冲序列 C * (t ) ，可以求出各项性能指标。
九、采样器和保持器对动态性能的影响 1、采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小，但使超调量增大。 2、零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长，使超调量增大。
(2)
3 z 1 E ( z) 1 2 z 1 z 2
解题技巧：利用 Z 反变换的几种方法求 Z 反变换 解： （1） E ( z )
10 z ( z 1)( z 2)
①部分分式法 E (z) 10 10 10 z ( z 1)( z 2) z 1 z 2 10 z 10 z E (z) ( z 1) ( z 2)
z 1
e() lim( z 1) E ( z ) lim(1 z 1 )
z 1
A( z ) e ( z ) 0 (1 z 1 )m
e ( z ) (1 z 1 ) m F ( z )
取 F ( z ) 1 ， e ( z ) (1 z 1 )m 。 3、设计步骤 （1）求 G ( z ) ——没有单位圆上及圆外的零极点； （2）针对特定的典型输入选 e ( z )
③ 反演积分法
e(nT ) Re s E ( z ) z n 1
s 1
lim 3(n 1) z
n 0
z 1
1 d lim (3 z 2 z ) z n 1 1! s 1 dz
n
nz n 1 2n 3
e * (t ) (2n 3) (t nT )
1 1 z Tz E ( z) Z ( ) Z ( 2 ) s s z 1 ( z 1)2
（5） E (s )
1 es 1 e s s 2 (s 1) s 2 ( s 1) s 2 (s 1)
Z(
1 Tz (1 e T ) z ) s 2 ( s 1) ( z 1)2 ( z 1)( z eT )
z 1 E (z) z
*
（5）卷积定理：设 u (t ) e (t ) g (t ) e(kT ) g[( n k )T ]
k 0
*
*
则 U ( z ) E ( z) G ( z ) （6）Z 域微分定理： Z [t e(t )] zT 4、Z 反变换 （1）部分分式法 （2）幂级数法 （3）反演积分法 四、线性定常差分方程及其解法 （1）迭代法 （2）z 变换法 五、脉冲传递函数 1、定义：零初始条件下，离散系统输出脉冲序列 Z 变换与输入脉冲序列 Z 变换 之比。
十、闭环极点与动态响应的关系 根据系统在 z 平面上的零、极点分布，也可以估计系统的动态性能。系统的瞬态 响应与极点位置关系图如图所示。
十一、最少拍系统设计 1、定义：在典型输入作用下，能以有限拍结束响应过程，并且采样点上没有稳 态误差。 2、设计原则 由 e() 0 得
E ( z ) e ( z ) R( z ) A( z ) e ( z) (1 z 1 )m
第七章 线性离散系统的分析与校正
7.1 学习指导 7.1.1 学习要点
1、离散系统基本概念； 2、香农采样定理； 3、Z 变换定义、方法和性质； 4、Z 反变换方法； 5、离散系统的数学模型； 6、离散系统稳定性分析； 7、离散系统的稳态误差计算； 8、离散系统的动态性能分析； 9、最少拍系统设计；
e(nT ) 10 1 10 2n 10(2 n 1)
e* (t ) 10(2n 1) (t nT )
n 0
（2） E ( z )
3 z 1 z (3 z 1) z (3z 1) 2 2 1 2z z z 2z 1 ( z 1) 2
n 1
z 1 e sT －延迟算子
超前定理： Z [e(t nT )] z n [ E ( z ) e(kT ) z k ]
k 0
（3）复数位移定理： Z [e(t ) e （4）终值定理： lim e(nT ) lim
n z 1
at
] E ( z e aT )
① 部分分式法
2 3 E ( z ) 1 3z 2 2 z ( z 1) ( z 1) z 1 2 z 3z E ( z) 2 ( z 1) z 1 2 e(t ) t 3 1(t ) T
② 幂级数法：用长除法可得
3 z 2 z 3 5 z 1 7 z 2 9 z 3 z2 2z 1 e* (t ) 3 (t ) 5 (t T ) 7 (t 2T ) 9 (t 3T ) E ( z)
r (t ) R ( z )
A( z ) e ( z ) (1 z 1 )m 1 m (1 z )
（3）确定 ( z ) 1 e ( z ) ； （4）写出 D ( z )
( z ) e ( z) G ( z )
7.2 典型题解
【例 7-1】 试求下列函数的 Z 变换 （1） e(t ) a n （2） e(t ) t 2 e3t （3） e(t )
闭环脉冲传递函数为
( z ) G ( z) (4 e 5 ) z 2 (1 6e5 ) z 2 1 G ( z ) 25( z 1) ( z e5 ) (4 e 5 ) z 2 (1 6e5 ) z 4.0067 z 2 0.9596 z 25 z 3 46.1617 z 2 26.2966 z 0.1684
e(nT ) 10 1 10 2n 10(2 n 1)
e* (t ) 10(2n 1) (t nT )
n 0
②幂级数法：用长除法可得
E (z)
10 z 10 z 2 10 z 1 30 z 2 70 z 3 ( z 1)( z 2) z 3z 2
2
由实数位移定理得：
2 3 t Z t e
T 2 ze3T ( ze3T 1) ( ze3T 1) 2
1 T 3 ( z 2 4 z 1) （3）查表得： Z ( t 3 ) 3! 6( z 1) 4
（4） E ( s )
s 1 1 1 2 s s s2
1 3 t 3! s 1 （4） E ( s ) 2 s
1 es （5） E ( s ) 2 s ( s 1)
解题技巧：利用 Z 变换定义或性质解题 解：
（1） E ( z ) a n z n
n 0
1 z 1 za 1 az
T 2 z ( z 1) t （2） Z ( z 1) 2