第八章线性离散系统的分析和校正李国勇(1)资料

离散系统的数学模型 (重点：计算系统的脉冲传递函数) 1. ☆线性差分方程及其解法 应用Z变换法(超前定理)解差分方程； 2. ☆系统的脉冲传递函数(输入端有采样开关) (串联环节、并联环节和反馈联接环节的 等效脉冲传递函数；注意采样开关位置) 差分方程 脉冲传递函数 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差 1. ☆带w 变换的劳斯稳定判据(求解系统参数) w 1 1 w z 或 z w 1 1 w
7-4
2. ☆朱利稳定判据 必要条件； 朱利计算表； 3. 离散系统的稳态误差计算(应用终值定理) 4. 离散系统的型别与静态误差系数 7-6 离散系统的动态分析 闭环极点与动态响应关系；良好极点区域； 7-7 数字PID控制器； 2. ☆最少拍系统设计 3. ☆无波纹最少拍系统设计
“线性离散系统的分析与校正”小结
7-1 离散系统的基本概念
1. 连续系统与离散系统的主要区别？ 2. 给出典型离散系统的方框图。 3. 采用线性理论分析离散系统的基本条件？ 1) 所有采样开关同步工作； 2) 周期采样；
3) 只关注各信号在采样时刻上的相互关系；
7-2 信号的采样与保持 1. 零阶保持器的传递函数？ 2. 采样定理？在使用零阶保持器时，采样频率 如何选取？ 7-3 Z变换理论 1. ☆Z变换定义及计算方法 定义(证明题)；级数求和法； 留数计算法(部分分式法)。 2. Z变换定理 终值定理及应用条件 3. ☆Z反变换及计算方法 长除法；留数计算法(部分分式法)。

2）离散系统的型别与静态误差系数法
采样器不影响脉冲传递函数的极点
a).
b).
c).
教材P358 表7-5
（熟记）
7-6. 离散系统的动态性能分析
时域法、根轨迹法和频域法 ，其中 时域法最简单。本章介绍时域法。
1.离散系统的时间响应 2.采样器和保持器对动态性能的影响 3.闭环极点与动态响应的关系
离散系统输入输出变量及其各阶差分的等式
含义： 对于一般的线性定常离散系统， k 时刻的输出 c(k ) ，不仅与 k 时刻的输入 r (k ) 有关，还与 k 时刻以前的输入 r (k 1), r (k 2),... 有关，同时还与 k 时刻以前的输 出 c(k 1), c(k 2),... 有关。 回忆线性定常连续系统数学模型
C (s) GR (s) GH (s)C (s)
RG ( z ) C ( z) 1 GH ( z )
无法分离出 R( z ) 得不到脉冲传递函数
7-5. 离散系统的稳定性与稳态误差
1.S域到Z域的映射 2.离散系统稳定性的充分必要条件 3.离散系统的稳定性判据 4.采样周期与开环增益对稳定性的影响 5.离散系统的稳态误差
E ( s) R (s) 1 G1 ( s ) HG 2 ( S )



输出信号的采样拉氏变换 进行Z变换，证得
G2 ( s)G1 ( s) R ( s) C ( s) G2 ( s)G ( s) E ( s) 1 G1 ( s) HG2 ( S )
1
？
可以导出采样器为不同配置形式的其它闭环系统脉冲传递函数。但只要
误差信号e(t)处没有采样开关，则输入采样信号r*(t)就不存在，此时不能写出

零阶保持器的传递函数为：
G h0(s)L [1(t)1(tT) ]1s eTs
零阶保持器的幅频与相频特性如右下图所示：
幅频特性:
|Gh(j)|T|s in TT(22)|
相频特性:
G h(j) T2
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第8章 离散控制系统
零阶保持器的近似实现:
Gh0(s)1seTs1s(1e1T)s1s11TsT 12s2
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图8-3 零阶保持器
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第8章 离散控制系统
主要特点： 1、输出信号是阶梯波，含有高次谐波。 2、相位滞后。
零阶保持器的单位脉冲响应如下图8-5所示：
gh(t)1 (t)1 (tT)
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图8-5 零阶保持器的单位脉冲响应
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第8章 离散控制系统
11.08.2021控制系统
例8.3 试求连续时间函数 e(t)teat的 z 变换。 解：首先写出 e(t ) 拉氏变换 E (s) ，即
E(s) 1 (sa)2
， 显然 s1 a以及 n2，得
E (z) (2 1 1 )d d ! (s s a )2(s 1 a )2z z e sT |s a
当炉温连续变化时，则电位器的输出是一串宽度为τ，
周期为T的离散脉冲电压信号，用 表e * (示t ) 。经过放大器、 电动机、减速器去控制炉门角φ的大小，炉温的给定值， 由给定电位器给出。
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第8章 离散控制系统
给定电位器与电桥输出的误差信号是连续变化的，但 通过指针和旋转凸轮的作用后，电位器的输出却为离散值， 这实际上是该系统借助于指针、凸轮这些元部件对连续误 差信号进行采样，将连续信号转换成了脉冲序列，凸轮就 成了采样器（采样开关）。

X(-k T 0 ) X[(1 - K)T0 ] X(-T 0) 0
-(k n ) Z[X[(t - KT0 )] X(0)Z-k X(T0 )Z-(k 1) X(n T )Z 0
Z -k [ X(0) X(T0 )Z 1 X(n T0 )Z n ] Z -k X( Z ) 证毕
而脉冲强度则由nT0时刻的连续函数e (nT0 )来确定
2、采样定理(Shannon)
如果采样角频率大于或等于2m ,即s 2m , 则经采样得到的 脉冲序列能无失真地再恢复到原连续信号.
m 连续信号频谱的上限频率 2 对s 2m ,有 2 T 2T
0 m
| e ( j ) |
证明:由Z变换定义
n Z[X(t - k T )] X ( n T k T ) Z 0 0 0 n0 -1 -k -(k 1) X(-k T ) X(T -k T )Z X(0)Z X(T )Z 0 0 0 0 -(k n ) X(n T 0 )Z
K -1
证明:Z[X(t kT0 )] X ( nT0 kT0 ) Z n X (kT0 ) X [(k 1)T0 ]Z 1 X [(k 2)T0 ]Z 2 ....... X ( nT0 kT0 ) Z n ...... Z k [ X (kT0 ) Z k X [(k 1)T0 ]Z ( k 1) ......] Z k { X (0) X (T0 ) Z 1 ...... X [(k 1)T0 ]Z ( k 1) X (kT0 ) Z k X [( K 1)T0 ]Z ( k 1) ...... X (0) X (T0 ) Z 1 ...... X [(k 1)T0 ]Z ( k 1) ]} Z [ X ( Z ) X (nT0 ) Z n ]

xiT t iT i0
2. 采样定理 采样定理给出了从离散信号不失真地恢复原来信号所需的 最低采样频率。
(1)采样信号的频谱
冲量为１的理想脉冲序列
Ts t t nTs
n
写成傅立叶级数的复数形式
Ts
1 Ts
e jnst
n
式中， s 2 / Ts ，称为采样角频率。
设： xt 0 t 0
Zx*t X z
注意： Z x*t记为 X z，借用了函数符号 X • ，但是，
X z X s |sz 。
还需指出， X z 是采样脉冲序列 x* t 的 Z 变换。
从定义可以看出，它只考虑了采样时刻的信号值 xnTs 。
对一个连续函数 xt ，由于在采样时刻 xt 的值就是 xnTs
例 试求正弦函数 sin t 的Z变换。
Lsint
s21/2 j
s j
Zsint
1 2j
z z e jTs
1 2j
z z e jTs
z2
z sin Ts
2 cosTs z
1
4 Z变换的基本定理
(1)线性定理
设连续时间函数 x1t及 x2 t的 Z 变换分别为 X1 z和
第七章 线性离散系统的分析与校正
7.1 离散时间控制系统
连续时间系统 离散时间系统
1. 采样控制系统
(1) 工业自动控制系统中，被控对象的惯性非常大， 且具有滞后特性，采用连续控制往往得不到高质 量的控制效果。而利用采样控制技术则可以解决 这类问题。适当选择控制周期，可以得到满意的 控制效果。
(2) 现代工业中，引入了质量测量仪表、成分分析仪 表等，这些质量仪表都含有定时采样器。因此， 含有质量仪表的控制系统就是一种采样控制系统。

e(nT
)e
nTs
n0
n0
例1 设 e(t) 1(t) ，求 e*(t) 的L变换
E*(s)
e(nT )enTs
n0
1 eTs
e2Ts
1
1 eTs
eTs eTs 1
( eTs 1 )
例2 设 e(t) eat , t 0 , a 为常数，求 e*(t) 的L变换
E* (s) eanT enTs
数学工具： Z变换
研究思路：描述---分析---设计
7-2 信号的采样与保持
一、信号的采样与表达
➢采样过程 数学描述：把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样器，又 叫采样开关。采样过程可用下图表示。
e(t)
e*(t)
e(t) S e*(t)
t
t
e*(t)=e(t)δT(t),
其中
T
(t)
(t
n0
2)采样信号，特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声， 从而提高了系统的抗扰能力。
3)允许采用高灵敏度的控制元件，以提高系统的控制精度。 4)可用一台计算机分时控制若干个系统，提高了设备的利用
率，经济性好。 5)对于具有传输延迟，特别是大延迟的控制系统，可以引入
采样的方式稳定。
五、离散系统的研究方法
e*(t)
eh(t)
e*(t)
eh(t)
零阶保持器
t
t
▪ 零阶保持器
零阶保持器是最简单也是工程中使用最广泛的保持器。零阶保 持器的输入输出特性可用下图描述。它把前一采样时刻nT的值一直 保持到下一采样时刻(n+1)T到来之前。
e*(t)
eh(t)
e*(t) 零阶保持器 eh(t)

18
3．离散系统稳定性可由z平面和s平面的映射关 系推导出，为了应用代数稳定判据，必须经过双线 性变换。在离散系统的分析中，无论是稳定性，稳 态误差和动态响应，它们除与系统固有结构和参数 有关外，还与系统的采样周期有密切关系，因此， 在选择系统采样周期时，除必须满足采样定理，还 必须综合考虑系统的稳定性、稳态误差和动态响应 等。
9
例8-20 利用MATLAB求例8-18所示系统在输入信号 r(t)= t作用下的稳态误差。
10
8.8.5 利用MATLAB分析离散系统的动态特性
11
例8-21 利用MATLAB求例8-18所示系统 在T=1秒时的单位阶跃响应。
12
图8-43 单位阶跃响应曲线
13
例8-22 利用Simulink求例8-18所示系统 当r(t)=1(t)，T=1秒和0.1秒时，系统的输 出响应。
8-8 基于MATLAB的离散控制 系统的分析与设计
MATLAB提供了多种求取离散系统的函数，使 用它们可以很方便对离散控制系统进行分析和设计。
1
8.8.1 利用MATLAB实现z变换
2
例8-17 求函数的z变换和函数的z反变换。 解 MATLAB命令如下 >>syms k t z;f=k*t^1;F1=ztrans(f),F=k*z/(z-1)^2;f1=iztrans(F) 结果显示： F1 =
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4．离散系统的校正有连续校正和数字校正两种。 校正装置也可用模拟电路来实现。目前离散系统多 采用计算机的硬件和软件实现。
20
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
16
1．离散系统中既包含有连续信号，又 包含有离散信号，是一个混合信号系统。 为了将离散信号转换为连续信号，需要 在连续对象前面加入保持器，常用的是 零阶保持器。

第七章线性离散系统的分析与校正一、教学目的和要求了解离散系统的基本概念；信号的采样与保持。

二、重点、难点信号的采样与保持。

三、教学内容：引入连续系统与离散系统的区别，对于计算机控制系统的分析与设计。

一离散系统的基本概念离散系统：系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码，称之为离散系统。

学习离散系统分析设计方法的目的：用于计算机控制系统的分析、设计。

周期采样：如果在有规律的间隔上，系统取到了离散信息，则这种采样成为周期采样。

反之，如果信息之间的间隔是时变的，或随机的，则称为非周期采样，或随机采样。

采样系统的典型结构如图7-1所示为典型的采样控制系统原理框图，图中，e(t)是连续信号，s为采样开关， e*(t) 离散信号。

图7－1采样控制系统采样：在采样控制系统中，把连续信号转变为脉冲序列的过程称为采样过程，简称采样。

实现采样的装置称为采样器或采样开关(s)。

在实际系统中，由于对象的控制往往是连续的，因此脉冲序列信号经过脉冲控制器实现各种控制算法(相当于连续系统中的校正) 校正仍为脉冲序列信号，因此必须将其转化为连续的模拟信号，保持器即可实现这功能。

所以采样器和保持器是采样控制系统中的两个特殊环节(与连续系统相比)。

在图7-1中，采样误差信号e*(t)是通过采样开关s对连续信号e(t) 采样而获得的。

如下图所示。

连续信号及保持器的输入与输出τ若采样周期为T ，则采样频率为T f s 1=，,而采样角频率为T f s s /22ππω==。

实际应用由于采样开关闭合的时间极短，采样持续时间τ远小于T 。

为了简化系统的分析，可认为τ趋于零，这样可以把采样器(s)的输出近似看成一串强度等于矩形脉冲面积的理想脉冲e*(t)。

在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过程称为信号的复现过程。

实现信号系统的装置叫保持器。

当采样频率足够高时，保持器的输出eh(t) 接近于连续信号。

采样系统的典型结构图图7－2 误差采样控制的闭环采样系统二 数字控制系统数字控制系统是以数字计算机为控制器的闭环控制系统，其典型原理结构图如7-3所示。

e*(t)
eh(t)
t
t
t
二．数字控制系统
数字计算机 ＋ 被控对象 离散状态 连续状态
典型原理图
数字计算机
r (t )
A/D
—
数字控制器
D/A
测量元件
c(t)
被控对象
r (t )
e(t)
A/D
e * (t)
数字控制器
—
数字计算机
c(t)
D/A
被控对象
测量元件
1. A/D转换： 连续模拟信号 到 离散数字信号
连续信号
E ( j ) 1
采样信号
(1 ) s2m ax 的 情 况
E * ( j )
max 0 max
1T
…
2 s n=2
s
s
2
2
s max 0 max
s
n=1
n=0
n = -1
…
2 s
n = -2
E(jw )1
E(j
Tn
wjnsw )
采样信号
连续信号
E ( j ) 1
采样过程：
连续信号到脉冲序列 采样器（采样开关）
信号复现过程： 脉冲序列到连续信号 保持器
2. 采样控制系统的典型结构
采样
被控
开关 保持器 对象
r (t )
Gh (s)
c (t)
G p (s)
— e ( t ) e * (t)
eh (t)
H (s)
3. e(t),e(t),eh(t)之间的关系
e(t)
采样器在系统的闭合回路之内，称为闭环离散系统。
采样器的工作方式 周期采样（等速采样）：指一个采样器的采样时刻是等间隔的 同步采样：指系统中两个或以上的采样器的采样周期相同，并

自动控制理论第7章线性离散系统 的分析与校正
目录
• 引言 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的性能分析 • 线性离散系统的校正 • 线性离散系统的设计实例
01 引言
线性离散系统的重要性
01
在现代工业控制中，线性离散系 统广泛应用于过程控制、数据通 信、计算机控制系统等领域。
05 线性离散系统的校正
串联校正
串联超前校正
通过在系统环路中串联一个超前 校正器，提高系统的相位裕度， 减小系统的稳态误差。
串联滞后校正
通过在系统环路中串联一个滞后 校正器，减小系统的相位裕度， 提高系统的抗干扰能力。
并联校正
并联超前校正
通过在系统环路中并联一个超前校正 器，提高系统的相位裕度，减小系统 的稳态误差。
总结词：通过串级控制实现液位的精确 控制
同时，副控制器根据储水池的液位变化 ，实时调整水泵的运行状态，以实现液 位的精确控制。
主控制器根据液位传感器的信号，控制 调节阀的开度，以调节水泵的输出流量 ，从而控制储水池的液位。
详细描述
液位控制系统由液位传感器、调节阀、 水泵和储水池组成。
设计实例三：电机控制系统
03 线性离散系统的稳定性分 析
稳定性的定义
内部稳定性
系统在受到小扰动后能 够恢复到原平衡状态的 性能。
外部稳定性
系统在受到大扰动后能 够保持稳定输出的性能。
绝对稳定性
系统在任何情况下都能 保持稳定的性能。
劳斯-赫尔维茨准则
01
劳斯-赫尔维茨准则是判断线性时不变系统稳定性的 充分必要条件，适用于离散系统。
Z变换
Z变换是分析线性离散系统的重要工 具，它将离散时间信号转换为复平面 上的函数。

第七章线性离散系统的分析与校正第一节离散系统的基本概念【教学目的】熟悉离散系统的组成和工作原理，了解离散系统的特点。

【教学重点】1。

采样控制系统中信号采样和复现及其典型结构图。

2．数字控制系统中信号A/D,D/A转换及其典型结构图。

3．离散系统的特点。

4．离散系统的研究方法。

【教学难点】采样控制系统中信号采样和复现及其典型结构图。

【教学方法及手段】以课堂讲解为住主，辅以课堂提问。

【课外作业】复习本节。

【学时分配】2课时。

【教学内容】1．采样控制系统：一般来说，采样控制系统是对来自传感器的连续信息在某些规定的时间瞬时上取值。

包括模拟部件和脉冲部件。

（1）信号采样和复现：在采样控制系统中，把连续信号转变成为脉冲序列的过程称为采样。

实现采样的装置称为采样器或采样开关。

在采样控制系统中，把脉冲序列转变成为连续信号的过程称为信号复现过程。

实现复现过程的装置称为保持器。

（2）采样控制系统的典型结构图。

见书本273页图7-4。

2．．数字控制系统：是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续的工作状态的被控对象的闭环控制系统。

包括数字计算机和被控对象两部分。

其典型结构图。

见书本276页图7-9。

3．离散系统的特点：（1）由数字计算机构成的数字校正装置，效果比连续式校正装置好，而且由软件实现的控制规律容易改变，控制灵活。

（2）采样信号，特别是数字信号的传递可以有效抑制噪音，从而提高系统的抗干扰能力。

（3）容许采用高灵敏度的控制元件，以提高系统的控制精度。

（4）可以用一台计算机分时控制若干系统，提高了设备的利用率，经济性好。

（5）对于具有传输延迟，特别是大延迟系统，可以引入采样的方式稳定。

【自学内容】预习第二节信号的采样与保护。

第二节信号的采样与保护【教学目的】1。

了解采样器。

2．采样定理和采样信号的恢复。

3．零阶保持器【教学重点】采样定理和采样信号的恢复。

【教学难点】采样定理和采样信号的恢复【教学方法及手段】以课堂讲解为住主，辅以课堂提问。

第六章：线性离散系统的分析与校正§6.1 离散系统●离散系统---------- 系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码，称之为离散系统。

挂图举例---------- 炉温采样控制系统采用检流计（灵敏度、精度高），可以提高系统控制精度。

采样调节，风门调节逐渐进行，可避免出现过调，出现波动。

●学习离散系统分析设计方法的目的：用于计算机控制系统的分析、设计。

计算机控制系统的原理框图：等效结构图：1、采样---保持过程。

A/D ：相当于一个采样开关T A/D e (kT)e(kT)τ⎫⎪=⎬⎪⎭*时间离散：<<:——认为采样是瞬时完成的视为理想采样开关：数值离散：数字机字长足够：——忽略量化误差影响数字机：数码处理装置：用()c G s +开关描述其输入*e 输出*u 特性。

D/A ：用ZOH 零阶保持器实现数码的一拍保持。

2、采样系统的特点：12A/D D/A ⎧⎪⎪⎧⎪⎪∙⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩（）采样点间信息损失，带来量化误差和量化噪声；稳定性变差代价与相应的连续系统相比动态性能会有损失（）需附加，等部件。

123⎧⎪⎪∙⎨⎪⎪⎩（）利用数字机可以灵活的实现各种不同的控制律——适应性广；利益（）控制多台设备，协调生产过程——经济性好，功能强；（）利于实现生产过程的信息化和现代化管理。

3、采样系统的研究方法 数学工具——Z 变换研究方法——连续系统研究方法的推广。

§6.2信号的采样与保持1、 采样过程 设理想单位脉冲序列0()()T n t t nT δδ∞=-∑＝采样信号可表示为：*()()()()()()()T n n e t e t t e t t nT e nT t nT δδδ∞∞===⋅=-=⋅-∑∑（1） **[()]()[()()]()nTs n n L e t E s L e nT t nT e nT e δ∞∞-====-=⋅∑∑（2）例1：()1()e t t =，求*()E s 。