江苏省徐州市建平中学高一数学《基本不等式的证明(2)》学案

3.2 基本不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)3.2.1 基本不等式的证明学 习 任 务核 心 素 养1．了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．3．能利用基本不等式求简单函数的最值．(难点)1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养．2．借助基本不等式求简单的最值问题，提升数学运算素养.某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价．甲方案是第一次打p 折销售，第二次打q 折销售，乙方案是第一次打q 折销售，第二次打p 折销售，两方案是两次都打p ＋q2折销售．请问哪一种方案降价最多？知识点1 算术平均数、几何平均数与基本不等式 (1)算术平均数与几何平均数对于正数a ，b ，我们把a ＋b2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数．(2)基本不等式如果a ，b 是正数，那么ab ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时，等号成立)，我们把不等式ab ≤a ＋b 2(a ，b ≥0)称为基本不等式．1.如何证明不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)?〖提示〗 因为a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b ＝(a －b )2≥0，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以a ＋b ≥2ab ， 所以ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．1.设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为______，此时x＝________，y ＝________.400 20 20 〖由ab ≤a ＋b 2知xy ≤402，所以xy ≤400.此时x ＝y ＝20.〗知识点2 两个重要的不等式若a ，b ∈R ，则(1)ab ≤a 2＋b 22，即a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)；(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．2.当a 、b 满足什么条件时，a 2＋b 2＝2ab ？a 2＋b 2>2ab?〖提示〗 当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，a 、b ∈R 时a 2＋b 2>2ab .2.不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是________．a ＝1 〖当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0，即a ＝1时“＝”成立．〗 知识点3 应用基本不等式求最值 在运用基本不等式ab ≤a ＋b2求最值时，要把握好三个要点“一正、二定、三相等”． 一正： a ，b 是正数．二定：①和a ＋b 一定时，由ab ≤a ＋b 2变形得ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即积ab 有最大值⎝⎛⎭⎫a ＋b 22；②积ab 一定时，由ab ≤a ＋b2变形得a ＋b ≥2ab ，即和a ＋b 有最小值2ab .三相等：取等号的条件都是当且仅当a ＝b 时，等号成立．3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)若a >2，则a ＋1a≥2a ·1a＝2.( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( ) 〖提示〗 (1)任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b ≥0时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)根据基本不等式，才有不等式a ＋1a≥2a ·1a＝2成立，当且仅当a ＝1时取等号．(3)因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. 〖答案〗 (1)× (2)× (3)√类型1 对基本不等式的理解 〖例1〗 给出下面三个推导过程： ①因为a ，b 为正实数，所以b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2； ②因为a ∈R ，a ≠0，所以4a＋a ≥24a·a ＝4； ③因为x ，y ∈R ，xy ＜0，所以x y ＋y x ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x y ＋⎝⎛⎭⎫－y x ≤－2⎝⎛⎭⎫－x y ⎝⎛⎭⎫－y x ＝－2.其中正确的推导为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③B 〖①因为a ，b 为正实数，所以b a ，ab 为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．②因为a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件， 所以4a＋a ≥24a·a ＝4是错误的． ③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋yx 提出负号后，⎝⎛⎭⎫－x y 、⎝⎛⎭⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．〗1．基本不等式ab ≤a ＋b2 (a ≥0，b ≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系．2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a ，b 都是非负数．(2)“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b 2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b 2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .〖跟进训练〗1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号) ①若x ＞0，则x ＋1x≥2x ·1x＝2； ②若x ＜0，则x ＋4x ＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋⎝⎛⎭⎫－4x ≤ －2(－x )·⎝⎛⎭⎫－4x ＝－4； ③若a ，b ∈R ，则b a ＋ab≥2b a ·ab＝2. ①② 〖③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．〗 类型2 利用基本不等式比较大小〖例2〗 已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝－⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋5(a ，b ∈(0，＋∞))，试比较m 、n 的大小．〖解〗 m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1(a －2)＋2，∵a >2，∴a －2>0，1a －2>0，∴m ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1(a －2)＋2＝4，当且仅当a －2＝1a －2时等号成立，此时a ＝3.∴m ≥4. n ＝－⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋5≤－2b a ·ab＋5＝3， 当且仅当a ＝b 时等号成立．综上m >n .1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b .〖跟进训练〗2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P ＞Q ＞MB ．M ＞P ＞QC ．Q ＞M ＞PD ．M ＞Q ＞PB 〖显然a ＋b 2＞ab ，又因为a ＋b2＜a ＋b (由a ＋b ＞(a ＋b )24，也就是由a ＋b4＜1可得)，所以a ＋b ＞a ＋b2＞ab .故M ＞P ＞Q .〗类型3 利用基本不等式证明不等式〖例3〗 已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c >9.〖思路点拨〗 看到1a ＋1b ＋1c >9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．〖证明〗 因为a ，b ，c 是正数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2b a ·ab＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2 ＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，又因为a ，b ，c 互不相等，所以1a ＋1b ＋1c>9.本例条件不变，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1>8. 〖证明〗 因为a ，b ，c 是正数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c >0，所以⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c≥2bc ·2ac ·2ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， 因为a ，b ，c 互不相等， 所以⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1>8.1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为符合待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．〖跟进训练〗3．已知a ，b ，c 为不全相等的正实数． 求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . 〖证明〗 ∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . 类型4 利用基本不等式求最值〖例4〗 (1)当x >0时，求12x ＋4x 的最小值；(2)当x <0时，求12x＋4x 的最大值；(3)当x >1时，求2x ＋8x －1的最小值； (4)已知4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，求a 的值．〖解〗 (1)∵x >0，∴12x >0,4x >0.∴12x＋4x ≥212x·4x ＝8 3. 当且仅当12x ＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x >0时，12x ＋4x 的最小值为8 3.(2)∵x <0，∴－x >0. 则12－x＋(－4x )≥212－x·(－4x )＝83， 当且仅当12－x ＝－4x 时，即x ＝－3时取等号．∴12x＋4x ≤－8 3. ∴当x <0时，12x ＋4x 的最大值为－8 3.(3)2x ＋8x －1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －1)＋4x －1＋2， ∵x >1，∴x －1>0， ∴2x ＋8x －1≥2×24＋2＝10， 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，取等号．∴当x >1时，2x ＋xx －1的最小值为10.(4)4x ＋ax≥24x ·ax＝4a ， 当且仅当4x ＝ax ，即a ＝4x 2＝36时取等号，∴a ＝36.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性．〖跟进训练〗4．(1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值；(3)已知x >0，求函数y ＝x 2＋5x ＋4x 的最小值．〖解〗 (1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1. (2)∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116. ∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝⎛⎭⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116. (3)∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x ＋5≥24＋5＝9，当且仅当x ＝4x 即x ＝2时等号成立．故y ＝x 2＋5x ＋4x(x >0)的最小值为9.1．已知x >0，则9x＋x 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3A 〖∵x >0，∴9x＋x ≥2x ·9x＝6. 当且仅当x ＝9x 即x ＝3时取得最小值6.〗2．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4则( ) A ．1a ＋1b ≤1B ．1a ＋1b ≥2C ．ab ≤4D ．ab ≥8C 〖设a ，b 为正数，且a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．〗3．若正数m 、n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n的最小值为________．3＋22 〖∵2m ＋n ＝1，则1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n )＝3＋2m n ＋nm ≥3＋22，即最小值为3＋2 2.〗4．已知ab ＝1，a >0，b >0.则a ＋b 的最小值为________．2 〖因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ＝2.当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，故a ＋b 的最小值为2.〗5．函数y ＝9x －2＋x (其中x >2)取得最小值的条件是________．x ＝5 〖当x >2时，由基本不等式知y ＝9x －2＋x ＝9x －2＋(x －2)＋2≥29x －2·(x －2)＋2≥8.当且仅当9x －2＝x －2时取等号，此时x ＝5(x ＝－1舍去)．〗回顾本节知识，自我完成以下问题． 1．应用基本不等式要注意哪些问题？ 〖提示〗 一正二定三相等．2．应用基本不等式证明不等式的关键是什么？〖提示〗 关键在于“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构选出符合基本不等式的条件结构．。

不等式1编写人 闫西宝 审核人 董平1、解下列不等式（1）(x+2)(1-x)>0 （2）0212<+-x x（3）12>-x x （4）0324≥--x x2、不等式062>--x x 的整数解是 ．3、已知不等式022>++c x ax 的解集为2131<<-x ，则=+c a ． 4、设1<a .若关于x 的不等式(x －1)2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则a 的范围是________．典型例题例1解关于x 的不等式：（1）0)1(2<++-a x a x（2）0922<+-a x x例2 解关于x 的不等式：（1）01)1(2<++-x a ax（2）022<+-a x ax ．例3已知不等式mx 2－2x ＋m －2＜0.(1)若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2) 若不等式的解集为空集，求m 的取值范围；（3）设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．课后巩固1、不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是____________．2、函数f (x )＝x 2＋ax ＋3，当x ∈[－2,2]时， f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．3、已知函数)(x f =()a x ax ++2lg 2的定义域为R ,求实数a 的取值范围是 ；4、已知不等式02>++c bx ax 的解集为{}31><x x x 或，（1）求a ：b ：c 的值；（2）求不等式02>+-c bx ax 的解集．5、设()()112-+-+=m mx x m x f ，（1）若方程()0=x f 有实根，则实数m 的取值范围是 ；（2）若不等式()0>x f 的解集为φ，则实数m 的取值范围是 ；（3）若不等式()0>x f 的解集为R ，则实数m 的取值范围是 ；。

3.4.1基本不等式的证明【学习目标】理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系．探究并了解基本不等式的证明过程，会用各种方法证明基本不等式．理解基本不等式的意义，并掌握基本不等式中取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．【课前预习】1．当b a ，满足条件__________时，基本不等式ab b a ≥+2成立， 该不等式取符号的条件是____________________________________．2．算术平均数的定义：3．几何平均数的定义：4．算术平均数与几何平均数的关系（1）基本公式：2b a ab +≤及语言叙述 （2）基本不等式的证明方法（3）基本不等式成立的条件（4）基本不等式的变形【课堂研讨】例1.设b a ，为正数，证明下列不等式：（1）2≥+b a a b ； （2）21≥+aa ．变化：若b a ，都为负数，则分别比较ba ab +与2；a a 1+与2-的大小．例2若b a R b a ≠∈，，，求证：22222-+>+b a b a ．例3.若b a ，都是正整数，求证：22b a b a ab +≤+．例4.利用基本不等式求最值，必须满足三条：一正二定三相等． 已知函数)2(216∞+ -∈++=，，x x x y ，求此函数的最小值．思考：若)3[∞+ ∈，x ，求此函数最小值．例5求)(4522R x x x y ∈++=的最小值．例6.（1）已知0>x ，0>y ，12=+y x ，求yx 11+的最小值； （2）已知+∈R y x ，，且191=+yx ，求y x +的最小值．【学后反思】。

第 11 课时：§3.4.1 基本不等式的证明（2）【三维目标】：一、知识与技能1.进一步掌握基本不等式；2.学会推导并掌握均值不等式定理；3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。

4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用。

二、过程与方法2a b +，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

三、情感、态度与价值观引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点与难点】：重点：均值不等式定理的证明及应用。

难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a2．基本不等式：如果a ,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a ,b 都是实数，而后者要求a ,b 都是正数。

二、研探新知最值定理：已知y x ,都是正数， ①如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2；②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积xy 有最大值241s ． 证明：∵+∈R y x ,， ∴xy y x ≥+2，①当xy p = (定值)时，p y x ≥+2∴y x +p 2≥，∵上式当y x =时取“=”， ∴当y x =时有=+min )(y x p 2；②当s y x =+ (定值)时，2s xy ≤∴241s xy ≤，∵上式当y x =时取“=”∴当y x =时有2max 41)(s xy =． 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：①最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）；②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。

江苏省徐州市建平中学高一数学《基本不等式的证明（2）》学案
一、学习目标：1、能够运用均值不等式定理来研究函数的最大值和最小值问题
2、会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三等四同 预习检查：
1．函数1(0)y x x x =+>的值域为 ．
2．已知1,,a b a b R ++=∈，求ab 的最大值为 ．
3、当1x >时.；不等式1
1x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是
4、函数()()()4,04f x x x x =-<<的最大值为
二、例题讲析：
探究1：当a b P +=（P 为定值）（,a b R +∈） 时，ab 有最__ __值，等于______．
探究2：当ab Q =（Q 为定值）（,a b R +∈）时，a b +有最____值，等于__ ____．
【例1】已知*,x y N ∈,10x y +=，求xy 的取值集合。

例2、已知*,x y N ∈,36xy =，求x y +的取值集合。

例3、已知函数162y x x =++，(2,)x ∈-+∞，求此函数的最小值。

例4、已知0,0x y >>，且5720x y +=，求xy 的最大值．
三、课堂练习：
1、求函数2
y x x =+ ()0x >的值域
2、求函数3
2y x x =+ ()0x <的值域
3、求函数9
4y x x =+ 的值域
4、当1x >-时，函数2
31
()1x x f x x -+=+的值域为
小结与作业：。

3.1 不等关系（2）学习目标1．掌握不等式的基本性质，并能灵活利用解决相关问题．2．根据不等式的意义，掌握用比较法比较两个实数的大小关系，加深对不等关系的认识和理解．重点、难点 不等式的基本性质，比较法比较两个实数的大小关系学习过程一、课前准备1．在以下各题的横线上填上适当的不等号．⑴2 6+ ⑵2)21． 2． 比较大小：⑴22a 43a - ⑵11a + 1a -（1a ≠-）． 3．已知0,10a b <-<<，那么2,,a ab ab 三个数中的大小顺序为 ．二、例题选讲【例1】试利用不等式（组）表示下列实际问题中的不等关系．⑴沪宁高速公路全程限速120/km h ；⑵二次函数223y x x =+-的图像在x 轴上方的部分所对应的x 的集合；⑶b 克糖水含有a 克糖（0b a >>），若再添上m 克糖（0m >），则糖水变甜了； ⑷某钢铁厂把长度为4000m 的钢管截成500m 和600m 两种规格，按要求生产600m 钢管的数量不能超过500m 钢管数量的3倍．【例2】①已知,a b R ∈，比较2222a ab b -+与23b -的大小．②已知0,0,a b >>比较a b a b 与b a a b 的大小．【例3】已知0a b >>，0c <，求证：c c a b>． 变式：设a b c >>，求证：1110a b b c c a ++>---三、课堂练习：1．已知22ππαβ-≤<≤，则2αβ-的范围是2．,,a b c R ∈，满足22643,44b c a a c b a a +=-+-=-+，则,,a b c 的大小关系为四、学习小结。

基本不等式复习 编写：董新梅 审核：董猛【知识梳理】1、基本不等式为：设0,0≥≥b a ，则2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”号） 其中，称2b a +为b a ,的算术平均数;称ab 为b a ,的几何平均数。

2、利用基本不等式求最值必备条件： 一正、二定、三相等；3、基本不等式的几个常用变形形式： ①ab b a 2≥+ （0,≥b a ） ②4)(2b a ab +≤ （R b a ∈,） ③ab b a 222≥+ (R b a ∈,) ④222b a ab +≤ （R b a ∈,)（其中等号成立的条件都是：当且仅当b a =时取“="号）【基本题型】例1、求函数最值（1）求函数)1(116->++=x x x y 的最小值为（2）若40<<x ,求)28(x x y -=的最大值。

(3）已知正数y x ,满足12=+y x ，求yx 11+的最小值。

(4)设0,0>>b a ，若3是a 3与b 3的等比中项，求ba 11+的最小值． （5)若直线01=-+-k y kx 恒过定点A ，且点A 在直线)0,(01>=-+n m ny mx 上，求nm 11+的最小值。

（6）已知x 为正实数，且,22+=x xy 求212-+y x 错误！未找到引用源。

的最小值．（7）求函数)0(,182<++=x xx y 的最大值；例2、围建一个面积为360平方米的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2米的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/米，新墙的造价为180元/米.设利用的旧墙长度为x (单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y （单位：元)．（1）将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．例3、某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x （*x N ∈）千件,需另投入成本为)(x C ，当年产量不足80千件时,x x x C 1031)(2+=(万元)；当年产量不小于80千件时,14501000051)(-+=xx x C （万元）。

普通高中课程标准实验教科书—数学必修五[苏教版]§3.4.1第1 0课时 基本不等式的证明（1）教学目标（1）了解两个正数的算术平均数与几何平均数的概念，能推导并掌握基本不等式； （2）理解定理的几何意义，能够简单应用定理证明不等式。

教学重点，难点：基本不等式的证明及其简单应用。

教学过程一．问题情境1．情境：把一个物体放在天平的盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a ，如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a 并非物体的重量。

不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b 。

2．问题：如何合理地表示物体的质量呢？ 二．学生活动引导学生作如下思考：（1）把两次称得的物体的质量“平均”一下：（2）根据力学原理：设天平的两臂长分别为12,l l ，物体的质量为M ，则12l M l a =，①21l M l b =，②，①，②相乘在除以12l l，得M =（3）2a b +三．建构数学1．算术平均数与几何平均数：设,a b 为正数，则2a b+称为,a b,a b 的几何平均数。

2．用具体数据验证得：≤2a b+(0,0)a b ≥≥ 即两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两数相等时两者相等。

下面给出证明：证法1：2a b +-22211022=+-=≥=a b =时，取“=”。

证法2：≤a b+，只要证ab ≤+只要证0a b ≤-，只要证2≤因为最后一个不等式成立，≤2a b+成立，=a b =时，取“=”。

证法3：对于正数,a b有2≥，0a b ⇒+-≥2a ba b +⇒+≥⇒≥3．说明：（1）基本不等式成立的条件是：0,0a b ≥≥（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3） （3）ab ba ≥+2的几何解释：（如图1）以b a +为直径作圆，在直径AB 上取一点C ， 过BC 作弦DD AB '⊥，则ab CB CA CD =⋅=2，从而ab CD =，而半径ab CD ba =≥+2（4）当且仅当a b =时，取“=”的含义：一方面是当a b =时取等号，即a b =2a b+⇒=；另一方面是仅当a b =时取等号，即2a b +=⇒a b =。

基本不等式(00)2a bab a b +，≤≥≥的证明 一、教学目标1．学会从实际情境提出研究两个数的和与积的不等关系是什么的学习需求，并从实验操作中定义两个正数的算术平均数与几何平均数．2．通过数学活动自主探索，抽象发现、归纳证明基本不等式，体会由特殊到一般的数学思想方法，感受数学的简洁美，提升数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等素养．3．学会正确运用基本不等式证明一些简单的不等式，用辩证的变化观点解决数学问题． 二、教学重点在实验、观察、抽象、归纳、猜想、证明、应用的过程中，探索并体会感受基本不等式的形成过程． 三、教学难点归纳、猜想基本不等式的形成过程． 四、教学方法采用“阅读·引导·探究·提炼”范式教学方法．共一课时，分阅读提问、引导激发、提炼建模、推理探究四个教学环节教学．五、教学过程 1．自主阅读 提出问题【阅读材料】五世纪，欧洲大地上贵族发起大规模的圈地运动，其中有一种观点认为“所圈矩形形状的地的周长越长，则所圈地面积越大”．你认同此观点吗？能从此观点中抽象出什么数学问题吗？2．主动引导 激发需求【演示实验】把一个物体放在天平的一个盘子上（如图2），在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体质量为a ． 如果天平制造得不够精确，天平两臂略有不同（其它因素不计），那么a 并非物体的实际质量．不过，可作第二次测量：把物体调换到另一个盘子上（如图3），此时称得物体的质量为b ．同理，b 也非物体的实际质量，且a 与b 不相等．那么如何合理地表示物体的质量？简单的做法是，将两次称得物体的质量“平均”一下，以+2a b表示物体的质量．事实上，设天平的两臂长分别为1、2，物体实际质量为M （如图4），根据“杠杆平衡原理”有1M ＝2a ，1b ＝2M ，两式相除，可得M ab =．（图4）（图3） （图2）（图1）a DA BCab b对于正数a ，b ，我们把+2a b称为a ，ba ，b 的几何平均数．不难发现，两个正数a ，b 的算术平均数与几何平均数之间不等关系就是两个数的和与积之间的不等关系之一．3．合作活动 提炼建模活动1 如图5，请同学们先将一个正方形纸片沿它们的对角线对折，然后用剪刀沿纸片对角线剪开，分成两个全等的等腰直角三角形纸片．（课前请同学们预先准备）活动2 完成活动1后，请同桌两位同学各取一个等腰直角三角形纸片（纸片的面积分别为22a b ，），按如图6所示拼接成面积为+2a b的多边形纸片．活动3 完成活动2后，再请同桌两位同学合作，将拼接成面积为+2a b的多边形纸片按图7中虚线裁剪，去活动4 由活动3知图7右侧矩形纸片面积小于左侧多边形纸片面积，(00)2a ba b +>>，．当活动2中两个直角等腰三角形纸片全等时，不等式变为等式．当a ，b 中有一者为02a b+也成立．4．推理探究 数学应用 【赋值验证】（图7）（图6）【代数推证】证法1（比较法）2a b +2212=+-212=0≥，，即a ＝b 时取“＝”．证法22a b+，只要证a b +，只要证0a b -≤，只要证20≤．2a b+成立，当且仅当a ＝b 时取“＝”．证法3（综合法）对于正数a b ，，有20≥，0a b ⇒-≥，a b ⇒+≥2a b+⇒所以，如果a ，b 2a b+（当且仅当a ＝b 时取“＝”）． 当00a b ，≥≥时，这个不等式仍然成立． 【变式训练】例题 设a ，b 为正数，证明下列不等式成立： （1）2b a a b +≥； （2）12a a+≥． 证明 （1）因为a ，b 为正数，所以b aa b，也为正数，由基本不等式，得2b a a b +≥，所以原不等式成立． （2）因为1a a，均为正数，由基本不等式，得1a a +≥，所以原不等式成立． 变式1 例题的条件变为“a ，b 为负数”，上述两个不等式仍然成立吗？（1）因为a ，b 为负数，所以b aa b ，为正数，所以不等式成立；（2）当a 为负数时，10a a+<，所以不等式不成立． 变式2 设a 为负数，求证：12a a +≤-．证明 因为a 为负数，所以1a a--，均为正数，由基本不等式，得1()+()a a --≥， 所以12a a +≤-．变式3 求函数1()f x x x=+的值域． 根据例题（2）与变式2可得，函数1()f x x x=+的值域为(2][2)-∞+∞，，-． 【知识回顾】（1）基本不等式语言表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数； （2）基本不等式中等号成立的条件（当且仅当a ＝b 时取“＝”）； （3）基本不等式的主要变式：00)a b a b +，≥≥≥． （4）课后作业：①（巩固性作业）书本练习题1、2、3、4．2(00)112a b a b a b +>>+，． ③（研究性作业）2a b+？ 六、教学流程图 八、教学反思 基本不等式的证明这节课的教学设计是从实际的问题情境出发，以研究两个数的和与积的不等关系为背景，以探究基本不等式的活动为主线，通过阅读、引导、探究、提炼基本不等式的结构形式，深化对基本不等式的理解与应用．力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发现他们的创新意识．《自主阅读 提出问题》教学环节是通过阅读一个历史背景，否定“所圈矩形形状的地的周长越长，则所圈地面积越大”的观点，用“数学的眼光”看待此观点后，提出本节课开始要研究学习数学知识——研究两个数的积与和的不等关系，这环节是课堂教学主题的引入．《主动引导 激发需求》教学环节是通过不等臂天平称物体质量的演示实验，定义两个数的几何、算术平均数，激发寻求两个数的几何、算术平均数的大小关系的学习需求．《合作活动 提炼建模》是课堂教学中学生合作学习活动、建立基本不等式数学模型的教学环节，它是通过折、拼、剪等操作活动后，发现两个多边形纸片面积的变化，抽象提炼得到基本不等式．这个教学环节一方面激发学生学习兴趣和求知欲，另一方面实现对基本不等式的文化背景的初步了解，提升学生数学抽象概括能力．《推理探究 数学应用》共有五部分．第一部分是让学生经历赋值验证，发现基本不等式的适用范围以及取等号的条件，体会从特殊到一般发现数学，学习数学的方法；第二部分是严格的代数推证基本不等式，同时介绍(00)2a ba b ，≥≥中的a 、b 代换，在师生合作完成例题证明后，发动学生提出问题，构造问题，对例题进行变式训练，一方面提高学生学习数学的兴趣，提高学生认知的投入、思维的参与；另一方面，加深学生对基本不等式实质的理解，提高学生运用知识设计问题、解决问题的能力；第四部分是从几何角度来理解、表示基本不等式；第五部分回顾基本不等式的三种语言表述及其变式．。

3.4.1 基本不等式的证明教学目标：1．探索并了解基本不等式的证明；2．体会证明不等式的基本思想方法；3．能应用基本不等式解决简单的不等式证明问题．教学重点：基本不等式的证明．教学难点：基本不等式的证明．教学过程：一、问题情境，导入新课口述：有一个珠宝商人，很多人到他那里买的东西回家一称发现分量都有问题，于是向工商局投诉，工商局派人去调查，商人承认他用的天平左右的杆长有问题，向人们提出一个调解方案，放左边称变重对人们不公平，放右边称变轻商人要亏本，那么用两次称重的平均值作为物品的实际重量，如果你是购买者，你接受他的方案吗？问题1 你能不能把这个问题转化成一个数学问题？珠宝放左边称砝码显示重量为a ，放右边称砝码显示重量为b ，假设天平的左杠杆长为l 1，右杠杆长l 2，那么这个珠宝的实际重量是多少？（会算吗？用什么原理来算？你认为珠宝商的方案合理吗，那也就是ab b a 与2+ 哪个大？） 问题2 ab b a 与2+ 哪个大？（你估计一下哪个大？）（如果回答取值代，那么可以追问取一正一负行吗？如果回答作差，可以追问你估计一下哪个大？）二、学生活动问题3 如何证明(0,0)2a b ab a b +≥≥≥呢？ 请2个同学上黑板（巡视，有不同的解法让他上黑板写一下）． 证法一（比较法）：2a b ab +-=221[()()2]2a b a b +-=21()02a b -≥， 当且仅当a b =，即a b =时，取“=”．证法二：要证 2a b ab +≤， 只要证 2ab a b ≤+，只要证 02a ab b ≤-+，只要证 20()a b ≤-因为最后一个不等式成立，所以2a b ab +≤成立，当且仅当a b =，即a b =时，取“＝”．证法三：对于正数,a b ，有2()0a b -≥，20a b ab ⇒+-≥，2a b ab ⇒+≥，2a b ab +⇒≥． 先让学生谈一谈证的对不对，他这个证明方法有什么特点？点评：回顾我们上面的证明过程，我们来看一下各种证法的特点：证法一是比较法，比较法常用的就是作差将差值与零去比较；证法二是分析法，分析法的特点是盯住我们要的目标，寻找结论成立的条件； 证法三是综合法，它们都是证明不等式的基本方法．（看来珠宝商还是多赚钱的，只有a ＝b 时才是一个守法的商人啊．）三、建构数学定理：如果b a ,是实数且)0,0(≥≥b a ，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“＝”）． 问题：对于这个定理你怎么认识它？（结构有什么特点啊？成立的条件是什么？什么叫当且仅当啊？）（上式中2a b +称为,a b 的算术平均数，ab 称为,a b 的几何平均数，两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，有的时候我们也把这个定理写成ab b a 2≥+）．要用这个定理首先两个数必须都是非负数．当a b =时，取“＝”，并且只有当a b =时，取“＝”，我们把这种等号成立的情况称之为当且仅当．四、数学运用例1 设b a ,是正数，证明下列不等式成立：（1）2b a a b +≥ （2）12a a+≥ （3）ab b a 222≥+（先让学生点评，对不对，关注格式与条件，他用什么方法来证明的？还有什么别的思路？）点评：我们证明不等式通常有比较法，分析法，现在有了这个定理，也可以应用它来证明什么时候取等号？师：我们现在已经对这个不等式有了一定的认识了，你能不能从图形的角度来认识一下它呢？有线段AB 长为a ，线段BC 长为b ，你能找到2a b +ab （一个学生讲完了可以让另一个学生再解释一下）b a FA OB C例2 （1）已知函数)0(,1>+=x xx y ，求此函数的最小值． 点评：什么是最小值，最小值就是大于等于一个数，你说大于等于2，那也大于等于1嘛，我能说最小值就是1吗？（2）已知函数)0(,1<+=x x x y ，求此函数的最大值； （3）已知函数)1(,112->++=x x x y ，求此函数的最小值． 五、回顾小结回顾本节课，你对基本不等式有哪些认识？ 欢迎下载，资料仅供参考!!!。

基本不等式的证明教学目标 （1）了解两个正数的算术平均数与几何平均数的概念，能推导并掌握基本不等式； （2）理解定理的几何意义，能够简单应用定理证明不等式。

教学重点，难点：基本不等式的证明及其简单应用。

教学过程 一．问题情境1．情境：把一个物体放在天平的盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a ，如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a 并非物体的重量。

不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b 。

2．问题：如何合理地表示物体的质量呢？二．学生活动引导学生作如下思考：（1）把两次称得的物体的质量“平均”一下：（2）根据力学原理：设天平的两臂长分别为12,l l ，物体的质量为M ，则12l M l a =，①21l M l b =，②，①，②相乘在除以12l l ，得M =（3）2a b+与三．建构数学1．算术平均数与几何平均数：设,a b 为正数，则2a b+称为,a b 称为,a b 的几何平均数。

2．用具体数据验证得：≤2a b+(0,0)a b ≥≥即两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两数相等时两者相等。

下面给出证明：证法1：2a b +-2221122=+-=≥=a b =时，取“=”。

证法2： ≤2a b+，只要证a b ≤+只要证0a b ≤-，只要证20≤≤2a b+=a b =时，取“=”。

证法3：对于正数,a b 有20≥，0a b ⇒+-2a ba b +⇒+≥⇒≥3．说明：（1）基本不等式成立的条件是：0,0a b ≥≥（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）（3）ab ba ≥+2的几何解释：（如图1）以b a +为直径作圆，在直径AB 上取一点C ， 过C 作弦DD AB '⊥，则ab CB CA CD =⋅=2，从而ab CD =，而半径abCD ba =≥+2（4）当且仅当a b =时，取“=”的含义：一方面是当a b =时取等号，即a b=2a b+⇒=；另一方面是仅当a b =时取等号，即2a b+=⇒a b =。