苏教版数学高二《 合情推理》 名师导学案 江苏省徐州市王杰中学

高中数学合情推理归纳推理导学案苏教版选修2-2教学目标1、理解归纳推理的含义和步骤.2、能够认识归纳推理的基本模式，并把它们用于对问题的发现解决中去。

3、能够通过观察一些等式、不等式、数列等其它形式的问题，猜想、归纳出它们的变化规律。

重点与难点：（1）重点：利用归纳推理发现问题、提出猜想.。

（2）难点：如何去观察个别事实，发现规律，进行猜想教学过程（一）创设情景，章节引入1、通过袋中摸球的过程，总结探索活动是一个不断的提出猜想—验证猜想—再提出猜想—再验证猜想的过程，2、在一般的数学活动中，我们怎样进行推理？我们怎样验证（证明）结论？3、什么是推理？___________________________________________________（二）案例分析，引入概念案例一蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物。

猜想：_______________________________案例二三角形的内角和是π，凸四边形的内角和是2π，凸五边形的内角和是3πL，猜想：_______________________________________归纳推理的定义:从________事实中推演出________的结论的推理方式称为归纳推理。

提炼归纳推理的思维过程:___________________→_________________→_____________________（三）案例赏析，文化熏陶哥德巴赫猜想：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（简称“1+1”）（四）例题教学、巩固概念例1：已知数列{}n a 的第一项11=a ，且nn n a a a +=+11...)3,2,1(=n ，试归纳出这个数列的通项公式。

例2：观察下列不等式：22+133+1< ，22+233+2< ，22+333+3< L L 请你猜想一个一般性的结论.例3：根据图中5个为图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有_______个点（五）课堂练习 1 观察下列等式，从中归纳出一般结论.猜想________________ _____2.已知数列 则数列的第K 项是________ __________________((1) (2) (3) (4) (5)22221=11+3=21+3+5=31+3+5+7=4L 223434561,,,,a a a a a a a a a ++++++L课后作业1．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于2. 由321312>++，512521>++，5.075.03++73>，运用归纳推理，可猜测出的一般结论是 3. 从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是___________ 4.322+, 833+,1544+,2455+,……,由此你猜出第n 个数是 5.已知数列,.......14,......,19,15,11,7,3-n 则113是这个数列的第 项。

2.1.1 合情推理一、三维目标：（一）知识与能力：1. 通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理和类比推理这两种合情推理的基本方法，并把它们用于对问题的发现中去。

2. 明确归纳推理的一般步骤和类比推理的一般步骤，并把这些方法用于实际问题的解决中去。

（二）过程与方法：1. 归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

2. 类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

（三）情感态度与价值观：1. 正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

2. 认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。

二、教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理。

三、教学难点：用归纳和类比进行推理，做出猜想。

四、教学过程：【问题探究：】（1） 已知数列{}n a 的通项公式)()1(12+∈+=N n n a n ，记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=，试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出)(n f的值。

（2） 若数列{}n a 为等差数列，且),,(,+∈≠==N n m n m y a x a n m ，则nm ny mx a n m --=+。

现已知数列{}),0(+∈>N n b b n n 为等比数列，且),,(,+∈≠==N n m n m y b x b n m ，类比以上结论，可得到什么结论？你能说明结论的正确性吗？【学生讨论：】（学生讨论结果预测如下）（1）434111)1(1=-=-=a f64329843)911()1()1)(1()2(21==⋅=-⋅=--=f a a f 85161532)1611()2()1)(1)(1()3(321=⋅=-⋅=---=f a a a f 由此猜想，)1(22)(++=n n n f （2）结论：n m n m nm y x b -+=1)( 证明：设等比数列}{n b 的公比为q ，则n m n m q b b -⋅=，所以n m n m n m yx b b q --==11)()( 所以n m n m n m n n m n m y x y x x q b b --+=⋅=⋅=1)()( 【学生回答：】（学生思考并回答）【归纳总结：】（学生回答后归纳总结）教师总结：一、归纳推理我们再看几个类似的推理实例：1．蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的．因为蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所以我们猜想所有的爬行动物都是用肺呼吸的．2．三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒．由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n ︒－×．3．221222221331332333+++ +++＜，＜，＜，，由此我们猜想：a a m b b m＋＜＋（a ，b ，m 均为正实数）．这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者从个别事实中推演出一般性的结论的推理,称为归纳推理 (简称：归纳) ．归纳推理的一般步骤：（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；（2）提出带有规律性的结论，即猜想；（3）检验猜想．二、类比推理根据等式的性质猜想不等式的性质．等式与不等式有不少相似的属性，例如：（1）a b a c b c a b a c b c ⇒⇒＝＋＝＋猜想＞＋＞＋；（2）a b ac bc a b ac bc ⇒⇒＝＝猜想＞＞；（3）2222a b a b a b a b ⇒⇒＝＝猜想＞＞．问 这样猜想出的结论是否一定正确？上述几个例子均是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理（reasoning by analogy ），简称类比法．类比推理的一般步骤：（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；（2）用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；（3）检验猜想，归纳推理的思维过程.七、教学小结：1. 归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。

2.1.1 合情推理—归纳推理教案（1）学习目标1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

学习重点、难点教学重点了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。

教学难点用归纳进行推理，做出猜想。

学习过程一、课堂引入从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理二、问题情境案例1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

案例2、三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n-⨯︒案例3、221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m均为正实数）二、学生活动案例1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

由此猜想：案例2、三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n-⨯︒由此猜想：案例3、221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m均为正由此猜想：三、建构数学这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理。

课题：2.1.1合情推理(1)●三维目标：(1)知识与技能：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

(2)过程与方法：通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

(3)情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

●教学重点：归纳推理及方法的总结。

●教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。

●教具准备：与教材内容相关的资料。

●课时安排：1课时●教学过程：一.问题情境(1)原理初探①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）A ：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B ：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。

④思考：整个过程对你有什么启发？⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

(2)皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。

链接:思考：其他偶数是否也有类似的规律？③讨论：组织学生进行交流、探讨。

④检验：2和4可以吗？为什么不行？⑤归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。

3.数学建构●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

●归纳推理的一般步骤：4.师生活动例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

例 2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……结论：凸n 边形的内角和是（n —2）×1800。

2.1.1《合情推理—类比推理》学案（2）学习目标：1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识类比推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2、类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

学习重点、难点:学习重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

学习难点：用类比进行推理，做出猜想。

学习过程：一、复习引入：1、什么叫推理?推理由哪几部分组成?2、合情推理的主要形式有和 .3、归纳推理是从事实中概括出结论的一种推理模式二、问题情境情境1：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子。

他的思路是这样的：茅草是齿形的，茅草能割破手，需要一种能割断木头的，它也可以是齿形的。

这个推理过程是归纳推理吗？______________情境2、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇。

三、学生活动1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了；2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了；3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征：1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星；2)有大气层,在一年中也有季节变更；3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等。

科学家猜想：。

4)利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理.四、数学建构1、类比推理⑴根据两个（或两类）对象之间在___________________，推演出它们在____________，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法。

2、类比推理的几个特点：（1） ； （2） ； （3） 。

表一：利用平面向量的性质类比得空间向量的性质 1122-=-(,)a b a a b=1(,λλλa a a ⋅=+11a b a b a ⇔=1//b a ⊥⇔1a b a b 2212||=+a a a 表二：在形状上和概念上，都有类似的地方，即具有完美的对称性都是到定点的距离等于定长的点的集合。

第2课时合情推理——类比推理教学过程一、问题情境模仿鲁班发明锯子,在我们以前学过的知识和方法中,哪些知识板块可以放在一起进行类比呢?学生活动:等式与不等式,平面上的圆与空间中的球,等差与等比数列,平面几何与立体几何,椭圆与双曲线,空间向量与平面向量,等等.大家根据自己的直觉提出了这么多可以进行类比的知识,那我们就选几个板块,来看看它们为什么可以进行类比,以及具体怎样类比.1.试根据等式的性质猜想不等式的性质.[2]等式的性质:猜想不等式的性质:等式不等式(1)加法法则:a=b⇒a+c=b+c(2)减法法则:a=b⇒a-c=b-c(3)乘法法则:a=b⇒ac=bc(4)除法法则:a=b⇒a÷c=b÷c(c≠0)(5)平方法则:a=b⇒a2=b2教师以问题组的形式让学生自然地建构概念.问题1等式与不等式之间为什么可以进行类比呢?它们在什么方面是相似的?教师启发:“3=3”描述的是相等关系,“4>3”描述的是不等关系,都是衡量数的大小关系,所以它们有不少的相似性质.问题2如何开展类比呢?学生活动模仿就可以.问题3大家通过等式的运算律猜想了不等式的运算律,得到了新知,那这些结论是否一定正确呢?说明什么?学生活动说明用类比的方式得来的结论不一定正确,需要通过严格的证明来确认.2.试将平面上的圆与空间的球进行类比.[3][处理建议]结合“锯子”实例引导学生分析、讨论,教师分析判断,理解类比的实质.解圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦截面圆直径大圆周长表面积圆面积球体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不等的两弦与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大不等,距圆心较近的弦较长圆的切线垂直于过切点的球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的经过切点且垂直于切面的直线必经过球心直线必经过圆心以点(x0,y0)为圆心、以r以点(x0,y0,z0)为球心、以r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2在教学的过程中,模仿第1题的方式.问题1平面上的圆与空间的球之间为什么可以进行类比呢,它们在什么方面是相似的?学生活动它们的定义是相似的:圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.它们的形状也是相似的:一个是二维的,平面的;一个是三维的,空间的.圆绕着一条直径旋转一周就形成了球.问题2如何展开类比?学生活动因为圆绕着一条直径旋转一周就形成了球,所以圆的弦、直径、周长、面积类比球中的截面圆、大圆、表面积、体积,只要将圆中的概念改成球中相应的概念就可以.点对应线,线对应面也要注意.它们属于叙述方式上的类比.问题3类比的前提是什么?它的一般步骤是什么?[4]解进行类比推理时,首先,要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性;然后,再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.二、数学建构概念理解由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同;或由其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理和归纳推理都是合情推理的一种.类比推理的一般步骤:(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;(3)检验猜想.即观察、比较联想、类推猜测新的结论三、数学运用【例1】类比实数的加法与乘法,并列出它们的类似的性质.[5](见学生用书P35) [处理建议]可以先启发学生讨论交流,了解类比的一般思路,体会类比的实质.[规范板书]解在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系:加(+)↔乘(×)加数、被加数↔乘数、被乘数和↔积等等,它们具有下列类似的性质加法的性质乘法的性质a+b=b+a ab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)a+(-a)=0a·=1a+0=a a·0=0[题后反思]为什么实数的加法和乘法之间有这么多相似之处?当加数相同时,加法运算就可以用乘法来表示.加法和乘法运算可以类比,你想想,还有其他的运算可以类比吗?类比推理的一般模式:A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a',b',c',(a,b,c与a',b',c'相似或相同)所以B类事物具有性质d'.【例2】试找出等差与等比数列的类比知识.[6](见学生用书P36)[处理建议]以学生活动为主,合作交流,将全班的同学分为两组,第一组的同学提出等差数列的性质,第二组的同学类比等比数列的性质,第一组的同学再判断类比的方式是否正确.[规范板书]解(1)定义:a n+1-a n=d↔=q.(2)通项公式:a n=a1+(n-1)d↔b n=b1q n-1;a n=a m+(n-m)d↔b n=b m q n-m.(3)等差中项:2a n+1=a n+a n+2↔=b n·b n+2.(4)若m+n=p+q,且m,n,p,q∈N*,则a m+a n=a p+a q↔b m b n=b p b q.变式在等差数列{a n}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,相应地:在等比数列中,若b 9=1,则有等式b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)成立.提示本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是:等差数列→用减法定义→性质用加法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q;等比数列→用除法定义→性质用乘法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q.由此,猜测本题的答案为:b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).[题后反思](1)等差数列的通项公式是a n=a1+(n-1)d,等比数列的通项公式是a n=a1q n-1.两组公式形式上的变化主要体现在“a1+”换成了“a1×”,“(n-1)·d”换成了“q n-1”,即出现了四则运算中“加法升级为乘法、乘法升级为乘方”这样的对应的升级运算.而这也恰好体现在了等差数列与等比数列这两个数列的名称(或定义)之中:差(-)↔比(÷).(2)解题的过程中一些基本的方法是:+↔×,-↔÷,乘法↔乘方,除法↔开方,但这不是绝对的.(3)类比推理不能仅把类比停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上,还需要对数学结论的运算、推理过程等内在联系进行类比分析,从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关系.四、课堂练习1.(1)已知正方形面积为边长的平方,那么在立体几何中,与之类比图形是什么?结论是什么?(2)圆有切线,切线与圆切于1点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论,如何类比到球?(3)平面内不共线的3点确定1个圆.由此结论,如何类比得到空间的结论?解(1)类比图形是正方体,结论是正方体的体积为棱长的立方.(2)球有切面,切面与球切于1点,切点到球心的距离等于球的半径.(3)空间不共面的4点确定一个球.2.已知梯形的上底边长为a,下底边长为b,中位线长为m,则m=.若棱台的上底面积为,下底面积为S2,中截面面积为S0,类比梯形的中位线结论,猜想棱台中截面面积满足什么关系.解若棱台的上底面积为,下底面积为S 2,则中截面面积S0=.3.等差数列{a n}中,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…成等差数列,类比等差数列的结论,猜想等比数列有怎样的结论?结论正确吗?解等比数列{a n}中,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,…成等比数列,结论正确.五、课堂小结1.类比推理的步骤与方法:第一步,找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);第二步,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;第三步,用特例验证猜想或证明猜想.2.数学中常见的一些类比推理问题:(1)立体几何与平面几何问题(类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.——数学家G.波利亚);(2)等差数列与等比数列问题;(3)加、减、乘、除运算问题;(4)进制问题等.。

第二章 合情推理与演绎推理§2.1.1.1合情推理(第一课时)一、教学目标：1、知识与技能：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

2、过程与方法：通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

3、情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

二、教学重点：归纳推理及方法的总结。

三、教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。

四、教学过程：（一）探入与展示：1、推理 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理. 推理一般由两部分组成：前提和结论2、（二）探读与思考引入1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.引入 2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4242165537F =+=的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数n ，任何形如221nn F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数，推翻费马猜想.引入3：1．由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．2．由三角形内角和为180°，凸四边形内角和为360°，凸五边形内角和为540°，猜想：凸n 边形内角和为(n －2)·180°.1、归纳推理的定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。

合情推理导学案一、自学准备与知识导学1.问题情境：在日常生活中我们常常遇到这样的现象（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨； （2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯. 以上例子可以得出推理是 的思维过程。

2.探究任务：归纳推理问题1:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37,……,100=3+9，猜想： .问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出 。

新知：归纳推理就是由某些事物的 ，推出该类事物的 的推理，或者由 的推理。

简言之，归纳推理是由 的推理。

3.探究任务：类比推理鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理。

新知：类比推理就是由两类对象具有 和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到的推理。

二、学习交流与问题探讨三、例1已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式.变式：在数列{n a }中，1=n a ， ),2,1(1221⋯⋯=+=+n a a n n ，试猜想这个数列的通项公式.?,21,32,1,2:54321=====n a a a a a 求拓展例例6试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质： 猜想不等式的性质： (1) a=b ⇒a+c=b+c; (1) (2) a=b ⇒ ac=bc; (2) (3) a=b ⇒a 2=b 2。

(3) 问：这样猜想出的结论是否一定正确？变式、类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.例7 试将平面上的圆与空间的球进行类比.新知： 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠。

2.1.1 合情推理（2）教学目标：1．了解类比推理的概念和归纳推理的作用，懂得类比推理与归纳推理的区别与联系．2．掌握类比推理的一般步骤．3．能利用类比进行一些简单的推理．教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理．教学难点：用类比进行推理，做出猜想．教学过程：一、 复习引入：1. 什么叫推理？推理由哪几部分组成？2. 合情推理的主要形式有 ．3. 归纳推理是从 事实中概括出 结论的一种推理模式．4. 归纳推理的特点: ．5…a ，b 均为实数），请推测a ＝ b ＝ ．二、创设情境在案例2中，由矩形对角线的某一性质，推出长方体的对角线具有类似的性质．这个推理过程是归纳推理吗？我们再看几个类似的推理实例：1．据传，春秋时代鲁国的公输班受到路边的齿形草能割破行人的腿的启发，发明了锯子．他的思维过程可能为：齿形草能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．2．试根据等式的性质猜想不等式的性质．等式与不等式有不少相似的属性，例如：（1）a b a c b c a b a c b c ⇒⇒＝＋＝＋猜想＞＋＞＋；（2）a b ac bc a b ac bc ⇒⇒＝＝猜想＞＞；（3）2222a b a b a b a b ⇒⇒＝＝猜想＞＞．问 这样猜想出的结论是否一定正确？三、构建新知上述几个例子均是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理（reasoning by analogy ），简称类比法．类比推理的一般步骤：（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；（2）用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；（3）检验猜想，归纳推理的思维过程：类似推理的思维过程：四、数学运用例1 （G .波利亚的类比）类比实数的加法与乘法，并列出它们类似的性质． 解 在实数的加法与乘法之间，可以建立如下的对应关系：加（＋） 乘（×）加数、被加数 乘数、被乘数 和积 等等，它们具有下列类似的性质：表2-1-2例2 试将平面上的圆与空间的球进行类比．圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合．球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合．圆截面圆 弦大圆 直径周长表面积 圆面积球体积 五、学生探究1．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．2．若数列{a n }为等差数列，且()m n a x a y m n m n N +＝，＝≠，，∈，则m n mx ny a m n ＋－＝－．现已知数列{b n }(b n ＞0，n ∈N ＋)为等比数列，且m b x ＝，n b y ＝ ()m n m n +N ≠，，∈类比以上结论，可得到什么结论？你能说明结论的正确性吗？六、课堂总结1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质．类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠．2．类比推理的一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或者一致性．（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．七、课后作业教材第68页练习第1题，第2题，第3题，第4题．。

“归纳推理”教学设计江苏省扬州大学附属中学数学组高建国 225002一、教材分析推理与证明是一种数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

推理与证明思想贯穿于高中数学的整个知识体系，但是作为一章内容出现在高中数学教材中尚属首次,是新课标教材的亮点之一。

本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修2—2）中第二章《推理与证明》第一节合情推理的第一课时（苏教版P61-63）。

教材的设计紧密地结合了已学过的数学实例和生活实例，还原了归纳推理的本源，使已学过的数学知识和思想方法系统化、明晰化，操作化，教材中的阅读部分很好的体现了数学文化，能有效激发学生探究的欲望与学习兴趣，本节内容融知识、方法、思维和情感于一体，能够让学生更好地体会数学的本质．二、教学目标：1．知识与技能：了解归纳推理的概念，掌握归纳推理的思维过程、会利用归纳推理的方法和思维方式进行一些简单的探索。

2．过程与方法：通过学生探索活动，引领学生经历归纳推理概念的形成过程，体会并认识利用归纳推理探究和发现新事实、得出新结论的作用。

3．情感、态度、价值观：通过学生主动探究、合作学习、相互交流，培养学生不怕困难、勇于探索的优良思维品质；让学生体会到数学“源于生活，指导实践”的重要作用；让学生感受数学文化价值，激发学生学习数学的兴趣和探索真理的欲望。

三、教学重点、难点1．重点：归纳推理的概念，归纳推理的一般步骤。

2．难点：归纳推理概念的形成过程和简单应用。

四、教学方法1、探究式教学：在进行本节课的教学时，学生已经有大量的运用归纳推理生活实例和数学实例，这些素材是学生探究本节课内容的重要基础，教学时可以充分利用这一教学条件，引导学生结合已有知识探究新学知识。

2、循环教学法：本学期我校推行教学改革，提倡课堂教学按照“提出问题-自主探究-合作交流-形成结论”的“循环”模式进行，本节课思维发散度大，涉及知识面宽，有一定难度，具备了循环教学的条件。

2.1.1合情推理第1课时归纳推理学习目标 1.了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理.2.了解归纳推理在数学发现中的作用．知识点一推理思考案例1：由矩形的对角线的平方等于长、宽的平方和，得出长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和．案例2：由所有的金属若能导电，铜是金属得出铜能导电．结合案例，想一想什么是推理？答案推理是从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程．梳理(1)推理的定义从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．(2)推理的组成任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．知识点二归纳推理思考(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．以上属于什么推理？答案属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理．梳理(1)归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．(2)归纳推理的思维过程大致如图实验、观察―→猜测一般性结论 (3)归纳推理的特点①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑推理和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．类型一 数列中的归纳推理例1 已知f (x )＝x 1－x ，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n >1，且n ∈N *)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________． 答案x 1－4x x 1－2n －1x解析 ∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x .又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x 1－x 1－x＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x 1－2x1－2×x 1－2x ＝x 1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x 1－4x 1－4×x 1－4x ＝x 1－8x， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x 1－8x 1－8×x 1－8x＝x 1－16x， ∴根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x.引申探究在本例中，若把“f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))”改为“f n (x )＝f (f n －1(x ))”，其他条件不变，试猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式．解 ∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x .又∵f n (x )＝f (f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x1－x 1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 1－2x 1－x 1－2x ＝x1－3x ，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x 1－3x 1－x 1－3x ＝x1－4x .因此，可以猜想f n (x )＝x 1－nx. 反思与感悟 在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和．(2)根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解． (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．跟踪训练1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，且S n ＋1S n ＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式． 解 当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43，所以S 2＝－34；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，所以S 3＝－45；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，所以S 4＝－56.猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2，n ∈N *.类型二 等式与不等式中的归纳推理 例2 (1)观察下列等式： 1－12＝12，1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为_______________________________________________________． 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)解析 等式左边的特征：第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个等式右边有n 项，且由前几个等式的规律不难发现，第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .(2)观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，猜想第n 个不等式为________________． 答案 1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1解析 第1个不等式：1＋1(1＋1)2<2×1＋11＋1， 第2个不等式：1＋122＋1(2＋1)2<2×2＋12＋1， 第3个不等式：1＋122＋132＋1(3＋1)2<2×3＋13＋1， …，故猜想第n 个不等式：1＋122＋132＋142＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1. 反思与感悟 已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律． (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征． (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点． (4)运用归纳推理得出一般结论．跟踪训练2 (1)已知x >1，等式x ＋1x >2；x 2＋2x >3；x 3＋3x >4；…，可以推广为________．答案 x n ＋nx>n ＋1解析 不等式左边是两项的和，第一项是x ，x 2，x 3，…，右边的数是2,3,4，…，利用此规律观察所给不等式，都是写成x n ＋n x >n ＋1的形式，从而归纳出一般性结论：x n ＋nx >n ＋1.(2)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …，照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________.答案 43×n ×(n ＋1)解析 观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.类型三 图形中的归纳推理例3 如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中顶点的个数为________．答案 (n ＋2)(n ＋3)解析 由已知中的图形我们可以得到： 当n ＝1时，顶点共有12＝3×4(个)， 当n ＝2时，顶点共有20＝4×5(个)， 当n ＝3时，顶点共有30＝5×6(个)， 当n ＝4时，顶点共有42＝6×7(个)， …，则第n 个图形共有顶点(n ＋2)(n ＋3)个． 反思与感悟 图形中归纳推理的特点及思路(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．跟踪训练3 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有黑色地面砖的块数是________．答案 5n ＋1解析 观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n 个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n －1)×5＝5n ＋1.1．有一串彩旗，代表蓝色，代表黄色．两种彩旗排成一行：…，那么在前200个彩旗中黄旗的个数为________． 答案 67解析 观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为9，每9个旗子中有3个黄旗．则200÷9＝22余2，则200个旗子中黄旗的个数为22×3＋1＝67. 2．按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为________．答案 40解析 图1中的点数为4＝1×4， 图2中的点数为8＝2×4， 图3中的点数为12＝3×4， 图4中的点数为16＝4×4，…， 所以图10中的点数为10×4＝40.3．已知a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，则数列{a n }的一个通项公式a n ＝________.答案2n (n ＋1)解析 a 1＝21×2，a 2＝22×3，a 3＝23×4，a 4＝24×5，则a n ＝2n (n ＋1).4．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中得出的一般性结论是________． 答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2，n ∈N *解析 从三个等式观察知第n 个等式的左边有2n －1个连续正整数，第一个数是n ，最后一个是3n －2.5．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，求第n 行(n ≥3)从左向右数第3个数．解 前(n －1)行共有正整数[1＋2＋…＋(n －1)]个，即n 2－n2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第⎝⎛⎭⎫n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.1．归纳推理的一般步骤(1)通过观察某类事物的个别情况，发现某些相同性质． (2)对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论． (3)猜想这个结论对该类事物都成立． 2．归纳推理应注意的问题归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．课时作业一、填空题1．如图所示的是一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排，那么第36颗珠子的颜色是________色．答案 白解析 通过观察发现，每5颗珠子为一组，前3颗为白色，后2颗为黑色，所以36＝35＋1＝5×7＋1，得第36颗珠子一定为白色．2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7＝________.1×9＋2＝11 12×9＋3＝111123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111…答案 1 111 111解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数， 即1 111 111. 3．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，….若 6＋a b＝6a b(a ，b ∈R ), 则a ，b 的值分别为________，________. 答案 6 35解析 观察式子的特点可知，分式ab 的分子a 与根号外的数相同，而分母b 则为该数的平方减1.4．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33＝________. 答案 3解析 ∵a 1＝3，a 2＝6，a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3, ∴周期T ＝6，∴a 33＝a 3＝3.5．根据三角恒等变换，可得如下等式： cos θ＝cos θ， cos 2θ＝2cos 2θ－1， cos 3θ＝4cos 3θ－3cos θ， cos 4θ＝8cos 4θ－8cos 2θ＋1， cos 5θ＝16cos 5θ－20cos 3θ＋5cos θ.依此规律，猜想cos 6θ＝32cos 6θ＋m cos 4θ＋n cos 2θ－1，其中m ＋n ＝________. 答案 －30解析 由所给一系列式子得，等式右边各系数与常数项之和为1，即32＋m ＋n －1＝1，得m ＋n ＝－30.6．已知数列{a n }满足条件(n －1)·a n ＋1＝(n ＋1)·a n －n －1，且a 2＝6，设b n ＝a n ＋n (n ∈N *)，则数列{b n }的通项公式b n ＝________. 答案 2n 2解析 a 1＝1，a 2＝6，a 3＝15，a 4＝28， b 1＝2，b 2＝8，b 3＝18，b 4＝32.可以通过求数列{a n }的通项公式来求数列{b n }的通项公式． 我们发现a 1＝1＝1×1；a 2＝6＝2×3；a 3＝15＝3×5；a 4＝28＝4×7；…，猜想a n ＝n ×(2n －1)， 进而猜想b n ＝2n 2－n ＋n ＝2n 2.7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中所示的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．答案 6n ＋2解析 从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n ＋2.8．已知f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝4，f (4)＝7，f (5)＝11，…，则f (10)＝________. 答案 123解析 由题意可得f (3)＝f (1)＋f (2)， f (4)＝f (2)＋f (3)，f (5)＝f (3)＋f (4)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18，f (7)＝f (5)＋f (6)＝29， f (8)＝f (6)＋f (7)＝47，f (9)＝f (7)＋f (8)＝76， f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.9．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：____________________________________.答案 已知a ，b 为正实数，且a ≠b ，若a ＋b ＝20，则a ＋b <210 10．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …，照此规律，第n 个等式可为________．答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2解析 12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，…，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )＝(－1)n＋1n (n ＋1)2. 11．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *B 分别对应下列图形那么下列图形中，可以表示A *D ，A *C 的分别是________．答案 (2)，(4)解析 由已知图形，抓共性不难总结出： A “|”，B “□”(大)，C “—”，D “□”(小)． 故A *D 为(2)，A *C 为(4)．12．设n ≥2，n ∈N ，(2x ＋12)n －(3x ＋13)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，将|a k |(0≤k ≤n )的最小值记为T n ，则T 2＝0，T 3＝123－133，T 4＝0，T 5＝125－135，…，T n ，…，其中T n ＝________.答案 T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为偶数，12n －13n ，n 为奇数解析 由T 2＝0，T 4＝0，…猜想T n ＝0(n 为偶数)． T 3＝123－133，T 5＝125－135，…猜想T n ＝12n －13n (n 为奇数)．因此可得T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，π为偶数，12n －13n ，n 为奇数.二、解答题13．已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32，sin 221°＋sin 281°＋sin 2141°＝32.通过观察上述等式的规律，写出一般性规律的命题，并给出证明．解猜想：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝3 2.证明如下：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝12[1－cos(2α－120°)]＋12(1－cos 2α)＋12[1－cos(2α＋120°)]＝12[(1－cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°)＋(1－cos 2α)＋(1－cos 2αcos 120°＋sin 2αsin 120°)]＝12(3－2cos 2αcos 120°－cos 2α)＝12[3－2⎝⎛⎭⎫－12cos 2α－cos 2α]＝12(3＋cos 2α－cos 2α)＝32.三、探究与拓展14．正整数按下表的规律排列，则上起第2 005行，左起第2 006列的数应为________．答案 2 005×2 006解析第2 006行的第一个数为2 0062，第2 005行的第2 006列的数是以2 0062为首项，－1为公差的等差数列的第2 007项，∴该数为2 0062＋(－1)×2 006＝2 005×2 006.15．设{a n}是集合{2t＋2s|0≤s<t，且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12，…，将数列{a n}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下图所示的三角形数表：35 691012………………………(1)写出这个三角形数表的第四行、第五行；(2)求a100.解(1)由题意，a1对应的有序数对(s，t)为(0,1)．a2，a3对应的有序数对(s，t)分别为(0,2)，(1,2)；a4，a5，a6对应的有序数对(s，t)分别为(0,3)，(1,3)，(2,3)，故可归纳出第四行各项对应的有序数对依次为(0,4)，(1,4)，(2,4)，(3,4)．故第四行为17,18,20,24.第五行各项对应的有序数对(s ，t )依次为(0,5)，(1,5)，(2,5)，(3,5)(4,5)故第五行为33,34,36,40,48.(2)将三角形数表中各项对应的有序数对列成下面的数表．(0,1)(0,2) (1,2)(0,3) (1,3) (2,3)(0,4) (1,4) (2,4) (3,4)(0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5)可以归纳出行数与t 相等，且各行中的项数与t 相等，故前t 行共有t (t ＋1)2项，令t (t ＋1)2≤100， 得t ≤13，当t ＝13时，t (t ＋1)2＝91. 故a 100位于第14行中第9个数．故a 100对应的有序数对(s ，t )为(8,14)．所以a 100＝28＋214.。

演绎推理导学案一、自学准备与知识导学1、复习:合情推理归纳推理从特殊到一般类比推理从特殊到特殊从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。

类比――提出猜想2、问题情境。

(1）所有的金属都能导电←-———铜是金属, ←-—-—-所以，铜能够导电←――（2)一切奇数都不能被2整除←-———（2100+1)是奇数，←――所以，(2100+1）不能被2整除。

←―――（3）三角函数都是周期函数, ←--tan α是三角函数, ←――所以，tan α是周期函数。

←――提出问题：像这样的推理是合情推理吗?2、我们知道合情推理所得结论不一定正确，那么怎样推理所得的结论就一定正确呢？又怎样证明一个结论呢？3、“三段论"是演绎推理的一般模式；包括三段论的基本格式⑴大前提—-—已知的一般原理; M—P（M是P）(大前提)⑵小前提--—所研究的特殊情况；S-M（S是M) （小前提）⑶结论——-——据一般原理,对特殊情况做出的判断．S—P（S是P）（结论）4、三段论推理的依据，用集合的观点来理解:若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P。

5、归纳:演绎推理的定义：从____________出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．三段论中包含了3个命题， 称为 “大前提"，它提供了一个 的原理; 称为“小前提”，它指出了一个 对象.这两个判断结合起来，揭示了 的内在联系，从而得到第三个命题--—--—结论。

二、学习交流与问题探讨恢复成完全三段论。

的图象是一条抛物线”、把“函数例112++=x x y例2、已知8.0lg ,2lg 计算m =.例3、已知m b a ,,均为正实数，a b <,求证:m a m b a b ++〈三、练习检测与拓展延伸1. 给出下列表述：①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。

推理案例赏析导学案章节与课题 第二章第2.1.3节推理案例赏析 课时安排 3课时主备人 常丽雅 审核人 梁龙云 使用人使用日期或周次第一周本课时学习目标或学习任务 了解合情推理和演绎推理的含义。

能正确地运用合情推理和演绎推理 进行简单的推理。

了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

本课时重点难点或学习建议 重点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别难点：了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的 本课时教学资源的使用导学案学 习 过 程一、自学准备与知识导学 （一） 课前热身1、 数列123+，138+，1415+，1524+，…由此猜想第n 个数为 ２、如图，已知PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别为BD 、PD 的中点，以下是证明BC MN ⊥的过程。

（在括号里填写适当的小前提、大前提）证明： ， ∴PA BC ⊥（ ） （ ）BC APB ∴⊥平面（）BC PB ∴⊥（ ） ， //MN PB ∴（ ） BC MN ∴⊥ （二）问题情境问题1、在数学考试中，甲同学觉得有一道题和他平时做的题类似，于是他就用相同的方法来解决考试题，你能说出他的想法用的是什么推理吗？问题2、数列{}n a 的前4项分别是3,3,15,21,有些同学说，数列{}n a 的通项公式63n a n =-，你认为正确吗？问题3、归纳推理和类比推理有何相似之处？问题4、合情推理的结论不一定正确，我们为什么还要学习合情推理呢？ 二、学习交流与问题探讨例1、 推导正整数平方和公式。

提出问题：我们知道，前n 个正整数的和为1()123(1)S n n n =++++1…+n=2，那么，前n 个正整数的平方和2222()123S n =+++2…+n =?数学活动：思路1（归纳的方案） 参照课本 第72页 －73页 三表 猜想 2S （n ）＝6)12)(1(++n n n思考 ：在这个过程中提出了哪些猜想？ 提出猜想时使用了哪些推理方法？。

合情推理与演绎推理练习卷复习1：归纳推理是由 到 的推理.类比推理是由 到 的推理.合情推理的结论 .复习2：演绎推理是由 到 的推理.演绎推理的结论 .例1 观察（1）（2）000000tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101;++=000000tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51++=由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论.变式：已知：23150sin 90sin 30sin 222=++ 23125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.例 2 在Rt ABC ∆中，若90C ∠=︒，则22cos cos 1A B +=，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.变式：已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，有如下性质：（1）()n m a a n m d =+-，（2）若*,(,,,)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a +=+，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，写出类似的性质.练1.若数列{}n a 的通项公式)()1(12+∈+=N n n a n ，记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=，试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出.________________)(=n f练2. 若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c ,则三角形的面积1()2S r a b c =++，根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为1234,,,S S S S ，则四面体的体积V = .思考：有金盒、银盒、铝盒各一个，只有一个盒子里有肖像，金盒上写有命题p ：肖像在这个盒子里，银盒子上写有命题q ：肖像不在这个盒子里，铝盒子上写有命题r ：肖像不在金盒里，这三个命题有且只有一个是真命题，问肖像在哪个盒子里？为什么？1. 由数列1,10,100,1000,，猜想该数列的第n 项可能是（ ）.A.10nB.110n -C.110n +D.11n2.下面四个在平面内成立的结论①平行于同一直线的两直线平行②一条直线如果与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条相交③垂直于同一直线的两直线平行④一条直线如果与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交在空间中也成立的为（ ）.A.①②B. ③④C. ②④D.①③3.用演绎推理证明函数3y x =是增函数时的大前提是（ ）.A.增函数的定义B.函数3y x =满足增函数的定义C.若12x x <，则12()()f x f x <D.若12x x <, 则12()()f x f x >4.在数列{}n a 中,已知112,31n n n a a a a +==+*()n N ∈,试归纳推理出n a = . 5. 设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则(4)f = ；当ｎ＞４时，()f n ＝ （用含n 的数学表达式表示）.6. 证明函数2()4f x x x =-+在[2,)+∞上是减函数.7. 数列{}n a 满足2n n S n a =-,先计算数列的前4项,再归纳猜想n a .。