人大附中2012届高三高zhong 适应性练习(三模)(理数)word版

北京2012年高考理科数学模拟试题三一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合{}01|2<-=x x M ，{}0lg |<=x x N ，则N M ⋃等于A {}11|<<-x xB {}10|<<x xC {}01|<<-x xD {}0|<x x2.已知21,e e 是不共线向量，212e e a +=，21e e b -=λ，当a ∥b 时，实数λ等于A 1-B 0C 21-D 2- 3.设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，则下列命题正确的是A 若α⊂⊥n n m ,，则α⊥mB 若m n m //,α⊥，则α⊥nC 若αα//,//n m ，则n m //D 若γβγα⊥⊥,，则βα// 4.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则9876a a a a ++等于 A 21+ B 21- C 223+ D 223-5.设抛物线x y 82-=的焦点为F,准线为l ，P 为抛物线上一点，l PA ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3，那么=PFA 34B 38C 8D 16 6.极坐标方程θρsin 2=和参数方程⎩⎨⎧--=+=ty tx 132（t 为参数）所表示的图形分别为A 圆，圆B 圆，直线C 直线，直线D 直线，圆7.已知点),(y x P 的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥0321y x x y x ，那么点P 到直线0943=--y x 的距离的最小值为PoB A DCA514 B 56C 2D 1 8.已知定义在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0π上的函数)(x f y =的图像关于直线43π=x 对称，当43π≥x 时，x x f cos )(=，如果关于x 的方程a x f =)(有解，记所有解的和为S, 则S 不可能．．．为 Aπ45 B π23 C π49D π3 二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9.在复平面内，复数ii++121对应的点的坐标为________________________. 10.在二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，含4x 项的系数为______________________. (用数字作答）11.如图，AB,CD 是半径a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，a CP 89=，︒=∠60AOP ,则=PD ________________.是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是38，则12.如图=a ____________________.13.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量 的重要指标）。

人大附中2012届高考适应性练习数学试题(理科)2012.5.27一、选择题1．已知集合2{N 4}A x x =∈<，2{R 230}B x x x =∈--<，则A ∩B ＝( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{21<<-x x }D ．{32<<-x x }2．已知复数z 满足z ·(1－i )＝2，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 3．一个几何体的三视图如下，其中主视图和俯视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是( ) A ．4 B ．8 C ．34D ．38 4．已知向量b a ,满足1=+==b a b a ，则向量b a ,夹角的余弦值为( ) A ．21 B ．－21 C ．23 D ．－23 5．已知数列}{n a 是等差数列，4,843==a a ，则前n 项和n S 中最大的是( ) A ．3S B ．4S 或5S C ．5S 或6SD ．6S6．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线方程为x y 2±=，则其离心率为( )A ．5B ．25C ．5或3D ．5或25 7．已知y x ,满足222(1)x y x y y a x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，且y x z +=能取到最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．1-<aB ．2≥aC ．21<≤-aD ．1-<a 或2≥a8．已知函数①21)(x x f =，②π()sin 2xf x =，③1ln 21)(+=x x f ，则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是( ) 命题p ：)1(+x f 是偶函数；命题q ：)1(+x f 在(0,1)上是增函数； 命题r ：)(x f 恒过定点(1,1)； 命题s ：21)21(>f ． A ．命题p 、qB ．命题q 、rC ．命题r 、sD ．命题s 、p二、填空题9．5)1(xx -的二项展开式中x 项的系数为__________________________．10．已知直线2)1(:++=x k y l ，圆⎩⎨⎧=+=θθsin 21cos 2:y x C ，则圆心C 的坐标是________；若直线l 与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是________．11．如图，已知PAB 是⊙O 的割线，点C 是PB 的中点，且PA ＝AC ，PT 是⊙O 的切线，TC 交⊙O 于点D ，TC ＝8，CD ＝7，则PT 的长为________________________________．12．如图所示程序框图运行的结果是____________________．13．一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P 处观测到灯塔A ,B 在一直线上，并与航线成30°角，轮船沿航线前进1000米到达C 处，此时观测到灯塔A 在北偏西45°方向，灯塔B 在北偏东15°方向，则此时轮船到灯C 之间的距离CB 为_______米． 14．若)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对0≥∀x ，总存在正数T ，使得T x f T x f =-+)()(成立，则称)(x f 具有“性质P ”．已知函数)(x g 具有“性质P ”，且)(x g 在[0，T ]上的解析式为)(x g ＝2x ，则(1)常数T ＝__________________________；(2)若当]3,3[T T x -∈时，函数kx x g y -=)(恰有9个零点，则k ＝______． 三、解答题15．(本小题满分13分)已知函数34sin 324cos 4sin2)(2+-=xx x x f ． (Ⅰ)求函数)(x f 的最大值，并写出相应的x 取值集合；(Ⅱ)令f (α＋3π)＝510，且α(0,π)∈，求tan2α的值．16．(本小题满分14分)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，△PAD 为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且∠DAB ＝60°，AB ＝2，E 为AD 的中点． (Ⅰ)求证：AD ⊥PB ；(Ⅱ)求二面角A －PD －C 的余弦值；(Ⅲ)在棱PB 上是否存在点F ，使EF ∥平面PDC ？并说明理由．17．(本小题满分13分)如图，某工厂2011年生产的A ,B ,C ,D 四种型号的产品产量用条形图表示，现用分层抽样的方法从中抽取50件样品参加今年五月份的一个展销会． (Ⅰ)问A ，B ，C ，D 型号的产品各抽取了多少件？(Ⅱ)从50件样品中随机抽取2件，求这2件产品恰好是不同型号的产品的概率； (Ⅲ)在50件样品中，从A ，C 两种型号的产品中随机抽取3件，其中A 种型号的产品有X 件，求随机变量X 的分布列和数学期望E (X )． 18．(本小题满分13分)已知函数)1ln(1221)(2+++-=x x mx x f ． (Ⅰ)当23-=m 时，求函数)(x f 的极值点； (Ⅱ)当1≤m 时，曲线)(:x f y C =在点P (0,1)处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求实数m 的范围．19．(本小题满分14分)已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 经过点)23,1(M ，且其右焦点与抛物线x y C 4:22=的焦点F 重合．(Ⅰ)求椭圆1C 的方程；(Ⅱ)直线l 经过点F 与椭圆1C 相交于A 、B 两点，与抛物线2C 相交于C 、D 两点．求CDAB 的最大值．20．(本小题满分13分)已知集合S ＝{1,2,3,...，2011,2012}，设A 是S 的至少含有两个元素的子集，对于A 中的任意两个不同的元素)(,y x y x >，若y x -都不能．．．整除y x +，则称集合A 是S 的“好子集”．(Ⅰ)分别判断数集P ＝{2,4,6,8}与Q ＝{1,4,7}是否是集合S 的“好子集”，并说明理由；(Ⅱ)求集合S 的“好子集”A 所含元素个数的最大值；(Ⅲ)设m A A A A ,...,,,321是集合S 的m 个“好子集”，且两两互不包含，记集合i A 的元素个数为),...,2,1(m i k i =，求证：1!(2012)!2012!miii k k =-≤∑中国人民大学附属中学高三模拟考试数学试题(理科)参考答案一、选择题：BAAB BACC 二、填空题： 9．－5；10．(1,0),(－∞，0]； 11．74； 12．10； 13．2500； 14．1，462- 三、解答题：15．(本小题满分13分)解：(Ⅰ)因为34sin 324cos 4sin2)(2+-=xx x x f )sin 21(32sin2x x-+= 2分)3π2sin(22cos 32sin+=+=x x x 4分 因为．1)3π2sin(1≤+≤-x所以．)(x f 的最大值为2 6分相应值的集合为π{|4π(Z)}3x x k k =+∈ 7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，2cos 22π21sin 23π)3π(21sin 2)3π(xx x x f =+=++=+．5102cos2=α，所以10102cos =α． 5412cos 2cos 2-=-=αα 10分 又因为)π,0(∈α 所以53cos 1sin 2=-=αα． 43cos sin tan -==ααα． 724tan 1tan 22tan 2-=-=ααα 13分 16．(本小题满分14分)(Ⅰ)证明：连结EB ，在△AEB 中，AE ＝1，AB ＝2，∠EAB ＝60°，∴BE 2＝AE 2＋AB 2－2AE ·AB ·cos60°＝1＋4－2＝3． ∵AE 2＋BE 2＝AB 2， ∴AD ⊥EB 2分∵△PAD 为等边三角形，E 为AB 的中点， ∴AD ⊥PE ． 又EB ∩PE ＝E ． ∴AD ⊥平面PEB ． ∴AD ⊥PB ． 4分 (Ⅱ)∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD，且PE ⊥AD ，∴PE ⊥平面ABCD ， ∴PE ⊥EB ．以点E 为坐标原点，EA ，EB ，EP 为x ，y ，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，则A (1,0,0),B (0,3,0)P (0,0,3),D (－1,0,0),)0,3,1(-==AB DC ．设平面PCD 的一个法向量为),,(z y x n =，则00n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(,,)(0(,,0x y z x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，∴00x x ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 令z ＝－1，则3=x ，y ＝1，故)1,1,3(-=n ． 平面PAD 的一个法向量为)0,3,0(=．所以cos 53EB n EB n EB n⋅〈⋅〉===⋅．又二面角A －PD －C 为钝角， ∴二面角A －PD －C 的余弦值为55-． (Ⅲ)假设棱PB 上存在点F ，使EF ∥平面PDC ，设F (0,m ,n )，λ=，则：)3,3,0()3,,0(-=-λn m ，∴λλ33,3-==n m ， ∴)33,3,0(λλ-=． ∵EF ∥平面PDC ，∴⊥，即)33,3,0(λλ-·)1,1,3(-＝0． ∴21,0333==+-λλλ， 故当点F 为PB 的中点时，EF ∥平面PDC ．17．(本小题满分13分)解：(Ⅰ)从条形图上可知，共生产产品有50＋100＋150＋200＝500(件)，样品比为10150050=，所以，A ,B ,C ,D 四种型号的产品分别取,20200101,10100101=⨯=⨯ 15150101,550101=⨯=⨯， 即样本中应抽取A 产品10件，B 产品20件，C 产品5件，D 产品15件 3分(Ⅱ)从50件产品中任取2件共有C250＝1225种方法，2件恰为同一产品的方法数为C210＋C220＋C25＋C215＝350种．所以2件恰好为不同型号的产品的概率为7512253501=-7分 (Ⅲ)依题意，X 的可能取值为0,1,2,3， 8分则P (X ＝0)＝4551031535=C C P (X ＝1)＝45510031525110=CC C P (X ＝2)＝45522531515210=CC C P (X ＝3)＝455120315310=C C 故X 的分布列为12分 所以EX ＝2455120345522524551001455100=⨯+⨯+⨯+⨯13分 18．(本小题满分13分)解：(Ⅰ)当23-=m 时，)1ln(1243)(2+++--=x x x x f ， 其定义域为(－1,＋∞)， 1分)1(2273)('2+++-=x x x x f 令,0)('=x f 即02732=++x x 2分 解得2,3121-=-=x x ， 3分经检验，函数)(x f 的极值点为31-4分 (Ⅱ)由题设知，点P (0,1)在曲线C 上且1)0('-=f ，切线l 的方程为1+-=x y ，5分于是方程：)1ln(122112+++-=+-x x mx x 即方程0)1ln(212=++-x x mx 在(－1,＋∞)上有且只有一个实数根； 设)1ln(21)(2++-=x x mx x g ，即求m 的取值使得函数)(x g 在(－1,＋∞)上有且只有一个零点 7分因为0)0(=g ，)1(1)1()('2->+-+=x x xm mx x g ， 所以分以下几种情形讨论： ①当m ＝0时，1)('+-=x xx g ，)(x g 在(－1,0)上递增，在(0,＋∞)上递减， 所以，)(x g 在(－1,＋∞)上有且只有一个零点0 8分②当m ＝1时，01)('2≥+=x x x g ，)(x g 在(－1,＋∞)上递增， 所以，)(x g 在(－1,＋∞)上有且只有一个零点0 9分③当m ＜0时，由01)1()('2=+-+=x xm mx x g 得01=x 或112-=m x ，且111-<-m． 当x 变化时，)('x g 和)(x g 变化如下表：故)(x g 在(－1,＋∞)上有且只有一个零点0 10分④当0＜m ＜1时，由01)1()('2=+-+=x xm mx x g 得01=x 或112-=m x ，且011>-m． 当x 变化时，)('x g 和)(x g 变化如下表：因为，0)1ln()(,0)0()(>+==<mm g g m g ， 所以，必存在)2,1(0mm m x -∈，使0)(0=x g ． 故)(x g 在(－1,＋∞)存在两个零点0和0x ，不符合题意 12分综上，m 的取值范围为(－∞,0]∪{1} 13分19．(本小题满分14分)解：(Ⅰ)解法1：由抛物线方程，得焦点F (1,0)，∴c ＝1 1分故1222==-c b a ① 2分 又椭圆C 1经过点M (1,23)， ∴149122=+b a ② 3分 由①②消去2a 并整理，得：099424=--b b ，解得32=b ，或432-=b (舍去)， 4分 从而42=a ，故椭圆的方程为13422=+y x 5分 解法2：由抛物线方程，得焦点F (1,0)，∴c ＝1．∴4)23()11()23()11(22222=+-+++=a ， ∴3,422==b a ，故椭圆的方程为13422=+y x ． (Ⅱ)①当直线l 垂直于x 轴时，则)2,1(),2,1(),23,1(),23,1(--D C B A ， ∴43=CD AB6分 ②当直线l 与x 轴不垂直，设其斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为)1(-=x k y 由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得01248)43(2222=-+-+k x k x k 显然01>∆，∴该方程有两个不等的实数根，设),(),,(2211y x B y x A2221222143)3(4,438k k x x k k x x +-=⋅+=+……8分 所以，2122122212214)(1)()(x x x x k y y x x AB -++=-+-=＝2222222243)1(1243)3(16)438(1kk k k k k k ++=+--+⋅+……10分 由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得0)42(2222=++-k x k x k 显然02>∆，∴该方程有两个不等的实数根，设),(),,(4433y x D y x C∵k ≠0，∴24342kx x +=+． 由抛物线的定义，得22243)1(4442kk k x x CD +=+=++= 12分∴22222221213333344(1)3444AB k k k CD k k k k +=⋅==<++++（）. 综上，当直线l 垂直于x 轴时，ABCD 取得最大值43. 14分 20．(本小题满分13分)解：(Ⅰ)由于4－2＝2整除4＋2＝6，所以集合P 不是集合S 的“好子集”；由于4－1＝3不能整除4＋1＝5，7－1＝6不能整除7＋1＝8，7－4＝3不能整除7＋4＝11，所以集合Q 是集合S 的“好子集” 3分(Ⅱ)设集合)...}(,...,,,{21321n n a a a a a a a A <<<=是集合S 的一个“好子集”．令：)1,...,2,1(1-==-+n i b a a i i i ．由于A 是S “好子集”，所以)1,...,2,1(1-=≠n i b i ，从而)1,...,2,1(2-=≥n i b i ． 若存在某个2=i b ，则此时1+i a 与i a 同奇偶，从而2能整除i i a a ++1与A 是S “好子集”矛盾，故：)1,...,2,1(3-=≥n i b i 5分于是：)1(3...1211-≥+++=--n b b b a a n n从而：201112012)1(31=-≤-≤-a a n n 所以：671≤n另一方面：取}2011,2008,...,7,4,1{=A ，此时集合A 有671个元素，且是集合S 的一个“好子集”，故集合S 的“好子集”A 所含元素个数的最大值为671 8分(Ⅲ)将S 的2012个元素1,2,3,...,2012作全排列，其不同的排法总数为2012!个；另一方面：将子集i A 的i k 个元素排在前i k 个位置，子集i A 在S 中的补集的元素排在后2012－i k 个位置，即排成),...,,,,...,,(20122121i i k k y y y x x x -，这样的排列共有i k !(2012－i k )!个，它们全包含在全排列2012!中． 10分以下还要说明：以集合S 的m 个“好子集”m A A A A ,...,,,321中的元素排在前ik个位置，以它们对应的在S 中的补集的元素排在后2012－i k 个位置的各个排列中，在题设条件下，没有两个是相同的．不妨设：f i k k ≤，由条件f i A A ,互不包含，所以f i A A ⊄，所以排列),...,,,,...,,(2012'2'1''2'1'i i k k y y y x x x -中的前面i k 个元素不可能与排列),...,,,,...,,(20122121i i k k y y y x x x -中的前面i k 个元素完全相同，否则就有f i A A ⊆而与条件矛盾．故：!2012)!2012(!1≤-∑=i i mi k k 13分。

高三适应性考试(二)数学（A ）2012.3第一卷（选择题 共60分） 一、选择题：（共60分）1.设集合},02|{},0)2)(3(|{<+=<-+=x x B x x x A 则=⋃B A)2,3.(--A )3,.(--∞B )2,2.(-C )2,.(--∞D2.(理)若复数的值为是纯虚数，则实数a i a a a )1()23(2-++-A.1B.2C.1或2D.1-（文）某林场有树苗30000棵，其中松鼠树苗4000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 A.30 B.25 C.20 D.15 3.在等比数列}{a n 中，其中公比等于则且544321,4,1,0a a a a a a q +=+=+< A.8 B.-8 C.16 D.-16 4.(理)函数的反函数是)1)(1ln(21)(>-=x x x f)0(1)(.21>+=-x ex f A x)(1)(.21R x ex f B x∈+=-）（02)(.11>=--x e x fC x ）（R x e x f D x ∈=--112)(. (文)函数的反函数是)0(ln 21)(>=x x x f）（R x e x fA ∈=-211)(. )0()(.211>=-x e x f B)()(.21R x ex fC x∈=- )0()(.21>=-x ex fD x5.已知的值为π，，ππ)tan(,54cos )2(ααα--=∈43.A 34.B 43.-C 34.-D6.将直线沿向量02=+-λy x 平移，)0,1(-=→a 所得直线与圆04222=-++y x y x 相切，则实数λ的值为A.0或10B.-2或8C.-3或7D.1或11 7（理）=+++∞→1221n n nn n c c linA.0B.2C.21 41.D(文)若曲线的方程为垂直，则与直线的一条切线l y x l x y 0844=-+= A.4-y-3=0 B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+5=08.某单位安排包括甲乙在内的6个人从事3项不同的工作，若每项工作安排2人，其中甲乙被安排从事同一项工作，则不同的安排方式共有A.12种B.18种C.36种D.54种9.在直三棱柱111C B A ABC -中，，，侧棱21,901====∠AA BC AC ACB OM 为11B A 的中点，则AM 与平面所成角的正切值为C C AA 1121.A 55.B 31.C 33.D10.(理)设奇函数f(x)在（∞-，0）上为减函数，且f(x)=0,则不等式[f(x)-f(-x)]⋅lnx<0的解集为A.(0,1)B.(1,2)C.(0,1)U(1,2)D.(0,1)U(2,+∞)(文）设奇函数f(x)在（-∞，0）在为减函数，且f(-2)=0,则不等式[f(x)-f(-x)]⋅x<0的解集为 A.(-∞,-2)U(0,2) B.(-∞,-2)U(2+∞) C.(-2,0)U(0，2） D.(-2,0)U(2,+∞) 11(理）已知F 为双曲线的右焦点，)0,0(1:2222>>=-b a b y ax C P 为双曲线右支上一点，且位于x 轴上方，M 为直线为坐标原点，上一点，o cax 2-=已知,OMOF op →→→+=且的离心率为则双曲线C OFOM |,|||→→=A.2 251.+B 2.C D.4(文）双曲线,3)0,0(1:2222e b a by ax C ，离心率为π一条渐近线的倾斜角为>>=-则be a +2的最小值为32.A 62.B 332.C 362.D 12.如图所示，已知球O 为棱长为1的正方体的截面面积为截球的内切球，则平面O ACD D C B A ABCD 11111-6.πA 3.πB π66.C π33.D 第二巻（非选择题 共90分） 二、填空题：（共20分） 13.函数.___________sin cos 的最大值是x x y -=14.(理）用数字作答）的系数是展开式中）（_________()1(145x x x -+.(文）在._______()162用数字作答）的展开式中，常数项是（x x+15(理）正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿EF 将正方形折成060的二面角，则异面直线FB 与AE 所成角的余弦值为________.(文）已知正方形ABCD 和正三角形CDE 所在平面互相垂直，点M 是线段CE 的中点，则异面直线AC 与DM 所成角的余弦值为__________.16.已知斜率为k(k>0)的直线l 过抛物线且与该抛物线的焦点,)0(22F p px y >=交于A 、B 两点，若.______,2==→→k FBAF则三、解答题：（共70分） 17.（10分）（理）在若、、的对边分别为、、中，角,c b a C B A ABC ∆,45cos 2(cos 2=++A A ）π且.)cos(,3的值试求C B a c b -=+(文）已知等差数列{n a }的第四项的分别是等比数列、、且}{b ,6n 11534a a a a =、2b 43b b 、求数列}{b n 的通项公式及前n 项和n s .18(共12分）射击运动员在双向飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞靶得2分，击中一个飞靶得1分，不击中飞靶得0分，某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪是，第一枪命中率为，32第二枪命中率为，31该运动员进行2轮比赛.（1）求该运动员得4分的概率为多少？（理）（2）若该运动员所得分数为ξ，求ξ的分布列及数学期望. (文）（2）求该运动员得一分的概率. 19.(共12分）如图，已知平行四边形ABCD 中，AD=2，CD=2,，沿垂足为E BC AE ADC O,,45⊥=∠直线AE 将上的点，是连接平面翻折成D B P D B AECD AE B BAE ''',,⊥∆∆ （1）当;''D AB CP PD P B 平面时，求证：⊥=（2）记二面角P-AC-D 的平面角为θ，.',11113cos 的值求PDP B =θ20.(共12分）（理）在数列{n a }中，).21(2,121-=≥=n n n n s a s s n n a 满足：项和时，其前当（1）设.}{b ,1n 的通项公式求数列nn s b =（2）要使不等式.03的最小值恒成立，求对一切正整数k n a k n ≥+（文）在若、、的对边分别为、、中，角,c b a C B A ABC ∆,45cos 2(cos 2=++A A ）π且.)cos(,3的值试求C B a c b -=+21.（共12分）（理）如图，椭圆长轴端点为A ，B,O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且，1=⋅→→FB AF.1||=→OF(1)求椭圆的标准方程.(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为的方程；出直线的焦点）？若存在，求的垂心（三角形三条高l PQM ∆若不存在，请说明理由.（文）已知非零实数a ,函数).()2()(2R x x ax x f ∈-= (1) 若函数)(x f 有极大值32，求实数a 的值. (2) 若对任意.916)(],1,2[的取值范围恒成立，求实数不等式a x f x <-∈22.（共12分）（理）已知的图象都、与函数直线)()(),0(2721)(,ln )(2x g x f l m mx x x g x x f <++==相切，且与函数)(x f 的图象的切点的横坐标为1. （1）求直线l 方程及m 的值；（2）若的最大值；，求函数的导函数是其中)())()(')((')1()(x h x g x g x g x f x h -+= （3）当.)2(2)(20的大小与时，比较：a af b b a af a a b +++<<（文）如图，椭圆长轴端点为A ，B,O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且，1=⋅→→FB AF.1||=→OF(3)求椭圆的标准方程.(4)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为的方程；出直线的焦点）？若存在，求的垂心（三角形三条高l PQM ∆若不存在，请说明理由.。

哈师大附中2012高三第三次模拟考试（理科数学）参考答案一．选择题：BCCDC CADCA DA二．填空题：13.2281(3)25x y -+= 14. 10 15. 83 16. ①②④ 三．解答题：１７. 解：（1）由已知:())6f x x πω=+ 3 分 由222πω=⨯得：2πω= 5 分所以：()sin()26f x x ππ=+ 故：3(1)2f = 7 分（2）由（1）知：()sin()226f x m x m πππ+=++ 为偶函数， 所以：sin()126m ππ+=±，故：()262m k k Z ππππ+=+∈ 即：22()3m k k Z =+∈ 故：正数m 的最小值为2312 分 １８. 解：（Ⅰ）从5组数据中选取2组数据共有2510C =种情况，其中抽到的2组数据都在[25,30]的共有221C =种情况，所以事件“25302530m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩”的概率为110. ……4分 （Ⅱ）根据数据，求得1(1011127)104x =+++=，1(23242615)224y =+++=， 41102311241226715911i i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，42222211011127414i i x ==+++=∑. 由公式求得12221911410223141441014n i ii n i i x y nx y b x nx∧==--⨯⨯===-⨯-∑∑， ……6分 3112210147a yb x ∧∧=-=-⨯=-， ……8分 所以y 关于x 的线性回归方程为311147y x ∧=-. ……10分 当14x =时，311216141477y ∧=⨯-=，2166|30|177-=<， 所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的． ……12分19.解:（1）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系，由已知：F(0,0,1)B,A , D (0,1,0),E( ……2分(BD ∴= ,(0,0,1)CF =,0)CA =0BD CF BD CF ∙=∴⊥0BD CA BD CA ∙=∴⊥又CF CA CBD =∴⊥ 平面AEFC ……5分 (2)由（1）知：(0,1,1)1)FE FD FB ==-=- 设平面EFB 法向量为111(,,)m x y z =由00m FE m FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩得：3,1)m =- ……7分 设平面EFD 法向量为222(,,)n x y z =由00n FE n FD ⎧=⎪⎨=⎪⎩得：(,1)n = ……9分cos ,3m n ∴<>==- ……11分 所以：二面角B EFD --的余弦值为3 ……12分 20.. 解：（Ⅰ）设椭圆C 方程为:221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠依题意得:22221()(124(14m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得:2,4m n ==椭圆C 的方程为:22241x y += 5 分（Ⅱ） OM 和ON 的斜率之积为12 ,可知OM 和ON 的斜率存在且不为0, 设OM 的斜率为k , 则ON 的斜率为12k , 直线OM 的方程为:y kx =, 直线ON 的方程为:12y x k=, 设11(,)M x y ,2,2()N x y ,由22241x y y kx ⎧+=⎨=⎩得22(24)1k x +=,解得212124x k =+,221224k y k =+EB同理由2224112x y y x k ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得222212k x k =+ , 22214(12)y k =+ ………………9分∴22OM ON +=22221122x y x y +++ =222222112424124(12)k k k k k k +++++++ 223(12)34(12)4k k +==+. 即证得22OM ON +34=为定值. ………………………12分２１.解：（1）由已知:/2()2(2)2f x ax x x =-<- 1分依题意得:/()0f x ≤在(0,2)上恒成立.1(2)a x x ⇔≤-在(0,2)上恒成立. 3分 因为:1()(2)u x x x =-在(0,2)上的最小值为1. 所以:a 的取值范围是:(,1]-∞5分 （2）1a >∴ 由22(1)2(1)'()0(2)2a x a f x x x---=-=<- 得：21(1)a x a--=解得：1212,12x x == …… 7分9分当：1x=:2()(12ln(10f x a=+>(1)a>所以：(,1x∈-∞时，()0f x>即：()0f x=在(,1-∞+内无解；令22ax e--=，则222ax e-=-<所以：2200()2ln440af x ax e a a-=+<-=,故(1x∈+又因为：()f x在(1上是减函数，所以:()0f x=在(1内必有一根。

2012年向明中学高考模拟考数学试卷（理科）一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分)1．设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B =_______________. 2．已知△ABC 中，3cot 4A =-，则cos A =_______________.3． 若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则前6项的和6S = .4．设()()2,3,2,1a b ==-,则a 在b 上的投影为5．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为_______________.6．函数()24(4)f x x x =-≥的反函数为________________.7．三阶行列式21145324---k第2行第1列元素的代数余子式为10-，则=k ____________．8．执行右边的框图：若输出的S 值满足811321<-<S ，则自然数p 的值为9．已知函数()200.618x f x x =⨯-的零点()0,1,x k k k ∈+∈Z ，则k = .10．某学生参加一次世博志愿者测试，已知在备选的10道试题中，预计每道题该学生答对的概率为23。

规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，则该学生仅答对2道题的概率是______________.（用数值表示）11．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则AB =______________________.12．某班从5名班干部（其中男生3人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．设所选3人中女生人数为ξ，则随机变量ξ的方差=ξD ___________．13．ABC ∆中，已知2AB =，22AC =，则ACB ∠的最大值为_______________ . 14．已知集合M 是满足下列两个条件的函数)(x f 的全体：①)(x f 在定义域上是单调函数；开始 结束输入p输出S n =0 , S=0n =n +1n < p nS S 21+=是 否②在)(x f 的定义域内存在闭区间],[b a ，使)(x f 在],[b a 上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2b a ．若函数m x x g +-=1)(，M x g ∈)(，则实数m 的取值范围是________________．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分） 15． 复数31ii--等于---------------------------------------------------------------------------------（ ） A ．i 21+ B.12i - C.2i - D.2i + 16．下列函数中，与函数1y x=有相同定义域的是--------------------------------------（ ） A .2()log f x x = B.1()f x x=C. ()||f x x =D.()2x f x = 17．设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则----------------------------（ ）A. 0PA PB +=B. 0PB PC +=C. 0PC PA +=D. 0PA PB PC ++=18． 已知,AC BD 为圆22:4O x y +=的两条互相垂直的弦，,AC BD 交于点()1,2M ，则四边形ABCD 面积的最大值为----------------------------------------------------------------（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知函数()2sin 2cos 6f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域.20．（本题14分，其中第（1）小题7分，第（2）小题7分）设在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，90BAC ∠=，,E F 依次为1,C C BC 的中点．（1）求异面直线1A B 、EF 所成角θ的大小（用反三角函数值表示）； （2）求点1B 到平面AEF 的距离．21．（本小题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.ABCP第17题图某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场。

中国人民大学附属中学高三热身练习数学命题：高三数学组本试卷共7页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}21,{}P x x M a =≤=∣，若P M M = ，则实数a 的取值范围是（）A.(,1]-∞- B.[1,1]- C.[)1,+∞ D.][(),11,-∞-⋃+∞2.若||1,||2,( )a b a b a ==-⊥r r r r r，则向量a 与b 的夹角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒3.已知nx⎫-⎪⎭的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（）A .240- B.240 C.60D.60-4.已知,R x y ∈，且x y >，则（）A.11x y-<0 B.tan tan 0x y ->C.110e e xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.ln ||ln ||0x y ->5.若双曲线221:142x y C -=与22222:1y x C a b-=具有相同的渐近线，则2C 的离心率为（）A.2B.C.D.6.已知函数1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则不等式(1)1xf x -≤的解集为()．A.[1,)-+∞ B.(,1]-∞ C.[1,2]D.[1,1]-7.已知(1,0),(1,0)A B -，若点P 满足PA PB ⊥，则点P 到直线:((1)0l m x n y -+-=的距离的最大值为（）A.1B.2C.3D.48.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .则“,,a b c 成等比数列”是sin 2B ≤的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件9.故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱ABF CDE -和BDG ACH -是两个完全相同的直三棱柱，侧棱EF 与GH 互相垂直平分，,EF GH 交于点I ，AF BF a ==，AF BF ⊥，则点G 到平面ACEF 的距离是（）A.33a B.12a C.2a D.24a 10.2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P 在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距7m 的A ，B 两点各放置一个传感器，分别实时记录A ，B 两点与物体P 的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a ，b 所示.1t 和2t 分别是两个函数的极小值点.曲线a 经过()()0110,,,r t r 和()20,t r ，曲线b 经过()22,t r .已知211212,4m,4s rt r t r t ===，并且从0=t 时刻到2=t t 时刻P 的运动轨迹与线段AB 相交.分析曲线数据可知，P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值以及P 的速度大小分别为（）A.613,m /s 74 B.613,m /s 72 C.235,m /s 74D.235,m /s 72第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若2i1ia +-是纯虚数，则实数a 的值为__________.12.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为A ，点B 在C 上.若||2FB =，则直线AB 的方程为__________.13.使lg lg lg()a b a b +=+成立的一组a ，b 的值为=a __________，b =__________.14.已知函数()sin(π)(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><≤，若()f x 是偶函数，则ϕ=__________；若圆面222x y +≤恰好覆盖()f x 图象的最高点或最低点共3个，则ω的取值范围是__________.15.已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且()2*11,Nn n a S n +=+∈，给出下列四个结论：①长度分别为11,,n n aS +的三条线段可以构成一个直角三角形：②*1N ,2n n n S -∀∈≥；③*21N ,2n n n n a a a ++∀∈+<；④*11πN ,2cos2n n n n a a ++∀∈=.其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，四边形ABCD 为菱形，π,23ABC AB ∠==，把ABC 沿着BC 折起，使A 到1A 位置.（1）证明：1BC AA ⊥；（2）若1AA =，求直线1DA 与平面1ABA 所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，求点D 到平面1ABA 的距离.17.已知函数2()cos 2cos ,(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .c 为()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求a b -的取值范围.条件①：cos cos 2cos a B b A c C +=；条件②：2sin cos sin 2a A B b A +=；条件③：ABC 的面积为S ，且)2224a b c S +-=.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.18.某口罩加工厂加工口罩由A ，B ，C 三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A ，B ，C 三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A ，B ，C 工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为99.97%）；C 工序的加工质量层次为高，A ，B 工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为99%）；其余均为95级（表示最低过滤效率为95%）.现从A ，B ，C 三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A 工序加工质量层次为高的个数为50个，B 工序加工质量层次高的个数为75个，C 工序加工质量层次为高的个数为80个.表①：表示加工一个口罩的利润.口罩等级100等级99等级95等级利润/元210.5（1）用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率；（2）X 表示一个口罩的利润，求X 的分布列和数学期望；（3）用频率估计概率，由于工厂中A 工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A 工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A 工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b .试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b 的值.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆过C 的上下顶点，点()1,e 在C 上，其中e 为C 的离心率.（1）求椭圆C 的方程和短轴长；（2）点,A B 在C 上，且在x 轴的上方，满足1212//,2AF BF AF BF =，直线2AF 与直线1BF 的交点为P ，求12PF F △的面积.20.已知函数()()e ,()x f x x a x a =--∈R .（1）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线为x 轴，求a 的值；（2）在（1）的条件下，判断函数()f x 的单调性；（3）()221()1e 12xg x x ax x x ⎛⎫=-+-++⎪⎝⎭，若1-是()g x 的极大值点，求a 的取值范围.21.给定正整数2n ≥，设数列12,,...,n a a a 是1,2,...,n 的一个排列，对{}1,2,...,i n ∈，i x 表示以i a 为首项的递增子列的最大长度，i y 表示以i a 为首项的递减子列的最大长度.（1）若4n =，11a =，24a =，32a =，43a =，求1x 和2y ；（2）求证：{}1,2,...,1i n ∀∈-，()()22110i i i i x y x y ++-+-≠；（3）求1niii x y=-∑的最小值.中国人民大学附属中学高三热身练习数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}21,{}P x x M a =≤=∣，若P M M = ，则实数a 的取值范围是（）A.(,1]-∞-B.[1,1]- C.[)1,+∞ D.][(),11,-∞-⋃+∞【答案】B【分析】化简集合P ，由P M M = 得出M P ⊆，由子集的定义得出实数a 的取值范围.【详解】 集合{}210{11}[1,1]P x x x x =-≤=-≤≤=-∣∣,{},M a P M M =⋂=,[1,1]M P a ∴⊆∴∈-故选：B【点睛】本题主要考查了根据交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.2.若||1,||2,( )a b a b a ==-⊥r r r r r，则向量a 与b 的夹角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】B【分析】根据()a b a -⊥ ，得()0a b a -×=，结合数量积得运算律求出a b ⋅ ，再根据向量夹角公式即可得解.【详解】因为()a b a -⊥ ，所以()0a b a -×= ，即20a a b -⋅= ，所以21a b a ⋅== ，所以1cos ,2a b a b a b ⋅==，又0,180a b ︒︒≤≤ ，所以向量a与b的夹角为60︒.故选：B.3.已知nx⎫-⎪⎭的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（）A.240-B.240C.60D.60-【答案】B【分析】根据二项式系数之和可得6n =，结合二项展开式分析求解.【详解】由题意可知：二项式系数之和为264n =，可得6n =，其展开式的通项为()()63362166C 12C ,0,1,2,,6rr rrr rr r T x xr---+=-=-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，令3302r -=，解得2r =，所以其展开式的常数项为()242612C 240-⋅⋅=.故选：B.4.已知,R x y ∈，且x y >，则（）A.11x y-<0 B.tan tan 0x y ->C.110e e xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.ln ||ln ||0x y ->【答案】C【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，正切函数的性质，以及指数函数与对数函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，11y xx y xy--=，其中0y x -<，但xy 的符号不确定，所以A 不正确；对于B 中，例如ππ,4x y ==，此时tan tan 0110x y -=-=-<，所以B 不正确；对于C 中，由函数()1e xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 为单调递减函数，因为x y >，所以11e e xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得110e e xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；对于D 中，例如2,3x y ==-，此时2ln ||ln ||ln 2ln 3ln 03x y -=-=<，所以D 不正确.故选：C.5.若双曲线221:142x y C -=与22222:1y x C a b-=具有相同的渐近线，则2C 的离心率为（）A.2B.C.D.【答案】C【分析】先求出两个双曲线的离心率，根据渐近线相等列式，代入离心率求解即可.【详解】双曲线221:142x y C -=的渐近线为2y x =±，22222:1y x C a b -=的渐近线为a y x b =±，由题可知22a b=，所以2C 的离心率c e a ====故选：C.6.已知函数1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则不等式(1)1xf x -≤的解集为()．A.[1,)-+∞B.(,1]-∞ C.[1,2]D.[1,1]-【答案】D【分析】由题可得()1,111,1x f x x -<⎧-=⎨≥⎩，然后分类讨论解不等式即得.【详解】∵1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨≥⎩，∴1,1(1)1,1x f x x -<⎧-=⎨≥⎩，当1x ≥时，(1)11xf x x -≤⇔≤，∴1x =，当1x <时，(1)111xf x x x -≤⇔-≤⇔≥-，∴1<1x ≤-，综上所述，(1)1xf x -≤的解集为[1,1]-．故选:D ．7.已知(1,0),(1,0)A B -，若点P 满足PA PB ⊥，则点P 到直线:((1)0l m x n y -+-=的距离的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】先确定P 的轨迹以及直线l 过的定点，再根据圆的性质特点求最值.【详解】由PA PB ⊥可得点P 的轨迹为以线段AB 为直线的圆，圆心为()0,0，半径为1，又直线:((1)0l m x n y -+-=，其过定点)，13+=.故答案为：C8.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .则“,,a b c 成等比数列”是sin 2B ≤的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【分析】先将2b ac =代入余弦定理，利用基本不等式得到1cos 2B ≥，从而得到3sin 2B ≤，接着根据3sin 2B ≤得到B 可能为钝角，不满足,,a b c 成等比数列，从而得答案.【详解】当,,a b c 成等比数列时，2b ac =，所以22221cos 222a cb ac ac B ac ac +--=≥=，当且仅当a c =时等号成立，又()0,πB ∈，所以π3B ≤，所以3sin 2B ≤，充分性满足；当3sin 2B ≤时，π2π0,,π33B ⎛⎤⎡⎫∈⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，而当2π,π3B ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，b 为最长的边，不满足,,a b c 成等比数列，必要性不满足.则“,,a b c 成等比数列”是sin 2B ≤的充分不必要条件.故选：A.9.故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱ABF CDE -和BDG ACH -是两个完全相同的直三棱柱，侧棱EF 与GH 互相垂直平分，,EF GH 交于点I ，AF BF a ==，AF BF ⊥，则点G 到平面ACEF 的距离是（）A.33a B.12a C.2a D.24a 【答案】B【分析】根据已知条件，结合空间总直线与平面的位置关系，先确定点G 到平面ACEF 的垂线段，在根据已知条件得sin 22KGIGθ==h 即可.【详解】取AC 中点M ，连接MI ，过G 作MI 的垂线交MI 的延长线于点K，取AB 中点N ，连接FN ，由已知，M 、I 分别为AC 、EF 中点，因为ABF CDE -是直三棱柱，所以AF AC ⊥，//EF AC 且EF AC =，所以//FI AM 其=FI AM ，所以四边形AMIF 为平行四边形，又AF AC ⊥，所以AMIF 为矩形，所以EF MK ⊥，又EF GH ⊥，MK ⊂平面KIG ，GH Ì平面KIG ，MK GH I ⋂=，所以EF ⊥平面KIG ，KG ⊂平面KIG ，所以EF KG ⊥，又因为KG MK ⊥，EF ⊂平面ACEF ，MK ⊂平面ACEF ，EF MK I ⋂=，所以KG ⊥平面ACEF ，所以点G 到平面ACEF 的距离等于线段KG 的长度，设为h ；AF BF ⊥，在Rt ABF 中，AF BF a ==，所以AB ==，设角FAB θ∠=，则有2sin 2θ=，因为四边形AMIF 为平行四边形，所以//MI AF ，又因为因为BDG ACH -是直三棱柱，所以//AB HG ，且HG AB a ==，所以KIG FAB θ∠=∠=，22IG =，又因为KG ⊥平面ACEF ，IK ⊂平面ACEF ，所以KG IK ⊥，所以sin 22KGIGθ==2222=，解得2a h =，所以点G 到平面ACEF 的距离是2a ，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据空间中点、线、面的位置关系，确定点G 到平面ACEF 的垂线段.10.2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P 在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距7m 的A ，B 两点各放置一个传感器，分别实时记录A ，B 两点与物体P 的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a ，b 所示.1t 和2t 分别是两个函数的极小值点.曲线a 经过()()0110,,,r t r 和()20,t r ，曲线b 经过()22,t r .已知211212,4m,4s rt r t r t ===，并且从0=t 时刻到2=t t 时刻P 的运动轨迹与线段AB 相交.分析曲线数据可知，P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值以及P 的速度大小分别为（）A.613,m /s 74 B.613,m /s 72 C.235,m /s 74D.235,m /s 72【答案】B【分析】建系，设点，作相应的辅助线，分析可知6m,2m AC BC v ==，结合7m AB =分析求解即可.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设动点P 的轨迹与y 轴重合，其在120,,t t t =时刻对应的点分别为O （坐标原点），,D E ，P 的速度为m /s,0v v >，因为1122112,4m,2s,4s rt r t r t t ====，可得22m r =，由题意可知：,AD BE 均与y 轴垂直，且4m,2m,2m AD BE OD DE v ====，作BC AD ⊥垂足为C ，则6m,2m AC BC v ==，因为222AC BCAB +=，即236449v +=，解得2v =；又因为BC ∥y 轴，可知P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角即为ABC ∠，所以P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值为6sin 7AC ABC AB∠==.故选：B.【点睛】关键点点睛：建系，设动点P 的轨迹与y 轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长度，进而分析求解.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若2i1ia +-是纯虚数，则实数a 的值为__________.【答案】2【分析】求出复数的代数形式，然后根据纯虚数的定义列方程求解即可.【详解】()()()()()22i 1i 2i 1i 1i 221i1i 1a a a a a a a +++==--+-+++，因为2i1ia +-是纯虚数，所以20210a a -=⎧⎨+≠⎩，得2a =.故答案为：212.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为A ，点B 在C 上.若||2FB =，则直线AB 的方程为__________.【答案】10x y -+=或10x y ++=【分析】先根据焦半径公式求出点B 坐标，进而可得直线方程.【详解】设(),B x y ，则||12FB x =+=，则1x =，此时2y =±，所以()1,2B 或()1,2B -，又由已知()1,0A -，直线AB 的方程为()()20111y x -=+--或()()20111y x --=+--，整理得10x y -+=或10x y ++=.故答案为：10x y -+=或10x y ++=.13.使lg lg lg()a b a b +=+成立的一组a ，b 的值为=a __________，b =__________.【答案】①.2（答案不唯一）②.2（答案不唯一）【分析】根据题意结合对数运算分析可得00ab a b a b =+⎧⎪>⎨⎪>⎩，取特值检验即可.【详解】若lg lg lg()a b a b +=+，则lg lg()ab a b =+，可得00ab a b a b =+⎧⎪>⎨⎪>⎩，例如2a b ==符合上式.故答案为：2；2.（答案不唯一）14.已知函数()sin(π)(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><≤，若()f x 是偶函数，则ϕ=__________；若圆面222x y +≤恰好覆盖()f x 图象的最高点或最低点共3个，则ω的取值范围是__________.【答案】①.π2②.[)1,2【分析】根据偶函数的对称性分析可知ππ,Z 2k k ϕ=+∈，即可得结果；结合对称性可知圆面在y 轴右侧仅覆盖1个()f x 图象的最高点或最低点，结合周期性列式求解.【详解】因为()f x 是偶函数，则ππ,Z 2k k ϕ=+∈，且0πϕ<≤，所以π0,2k ϕ==；可得π()sin πcos π2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，设()f x 的最小正周期为T ，因为()f x 和222x y +≤均关于y 轴对称，可知圆面在y 轴右侧仅覆盖()f x 图象的1个最低点，对于222x y +=，令1y =±，解得1x =（不妨只考虑y 轴右侧，舍负）；可得121TT ⎧≤⎪⎨⎪>⎩，解得12T <≤，且0ω>，则2π12πω<≤，解得12ω≤<，所以ω的取值范围是[)1,2，故答案为：π2；[)1,2.15.已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且()2*11,N n n a S n +=+∈，给出下列四个结论：①长度分别为11,,n n aS +的三条线段可以构成一个直角三角形：②*1N ,2n n n S -∀∈≥；③*21N ,2n n n n a a a ++∀∈+<；④*11πN ,2cos 2n n n n a a ++∀∈=.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②【分析】①:先确定11,,n n a S +最大的那个，再根据勾股定理列式判断；②通过放缩得到12n n a a +≥，再进一步通过放缩判断；③④求出123,,a a a ，然后举例排除.【详解】对于①：21110,1n n a S a +=+>=，则11,0n n a S +>>，则221131024n n n n n a S S S S +⎛⎫-=+-=-+> ⎪⎝⎭，即1n n a S +>，假设长度分别为11,,n n a S +的三条线段可以构成一个直角三角形，则1n a +为斜边，所以2211n n a S +=+，所以21111n n a a ++=-+，所以10n a +=或11n a +=，与11n a +>矛盾，故①错误；对于②：21122n n n n a S S a +=+≥≥，当且仅当1n =等号成立，所以12n na a +≥，所以111212422n n n n n a a a a ----≥≥≥≥= ，所以1*2N ,n n n S a n -≥≥∀∈，②正确；对于③：由已知1231,2,10a a a ===，此时1322a a a +>，所以*21N ,2n n n n a a a ++∀∈+<不成立，③错误；对于④：由已知1231,2,10a a a ===，此时323π2cos 2a a ≠，所以*11πN ,2cos 2n nn n a a ++∀∈=不成立，④错误.故答案为：②.【点睛】关键点点睛：对于数列命题正误的判断，我们可以通过求出部分项，然后观察是否成立，从而达到排除的目的.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，四边形ABCD 为菱形，π,23ABC AB ∠==，把ABC 沿着BC 折起，使A 到1A 位置.（1）证明：1BC AA ⊥；（2）若16AA =，求直线1DA 与平面1ABA 所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，求点D 到平面1ABA 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）65（3）2155【分析】（1）取线段BC 的中点E ，连接1,AE A E ，通过证明BC ⊥面1A AE 可得结论；（2）先证明出1,,AE A E BC 两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角；（3）斜线段的长度乘以线面角的正弦可得点到面的距离.【小问1详解】取线段BC 的中点E ，连接1,AE A E ，因为四边形ABCD 为菱形，且π3ABC ∠=，所以ABC ，1A BC 为等边三角形，所以1,BC AE BC A E ⊥⊥，又11,,AE A E E AE A E =⊂ 面1A AE ，所以BC ⊥面1A AE ，又1AA ⊂面1A AE ，所以1BC AA ⊥；【小问2详解】由ABC ，1A BC 为边长为2的等边三角形可得13AE A E ==，所以22211AE A E A A +=，结合BC ⊥面1A AE 可得1,,AE A E BC 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，)()()13,2,0,0,0,3,3,0,0,0,1,0DA AB -，(()11,,DA AB A A ===，设面1ABA 的法向量为(),,n x y z =，直线1DA 与平面1ABA 所成角为θ，则10AB n y A A n ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =得()n =，116sin 5n DA n DA θ⋅===⋅ ，即直线1DA 与平面1ABA 所成角的正弦值为65；【小问3详解】由（2）得点D 到平面1ABA的距离为16215sin 55DA θ==.17.已知函数2()cos 2cos ,(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .c 为()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求a b -的取值范围.条件①：cos cos 2cos a B b A c C +=；条件②：2sin cos sin 2a A B b A +=；条件③：ABC 的面积为S，且)2224a b c S +-=.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.【答案】（1）1（2）(【分析】利用三角恒等变换整理可得π()2sin 216f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合最小正周期分析求解；以π26x +为整体，结合正弦函数最值可得3c =.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得π3C =，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得π3a b A ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得π3C =，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得π3a b A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得π3C =，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得π3a b A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合正弦函数分析求解.【小问1详解】由题意可知：2π()cos 2cos 2cos 212sin 216f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2π12πω==.【小问2详解】由（1）可知：π()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，则ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可知当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取到最大值3，即3c =.若条件①：因为cos cos 2cos a B b A c C +=，由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，又因为()sin cos sin cos sin sin A B B A A B C +=+=，可得sin 2sin cos C C C =，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0C ≠，可得1cos 2C =，所以π3C =，由正弦定理可得sin sin sin 32a b c A B C ====，可得,a A b B ==，则π3a b A B A A ⎛⎫-=-=-+⎪⎝⎭1sin cos 22A A A ⎫=-+⎪⎪⎭π3cos 3A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为ABC 锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<，可得πππ636A -<-<，则1π1sin 232A ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得b a <-<所以a b -的取值范围为(；若条件②；因为2sin cos sin 2a A B b A +=，由正弦定理可得：22sin cos sin sin 2A B B A A +=，则22sin cos 2sin sin cos A B B A A A +=，因为π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0A ≠，可得()2sin cos 2sin cos 2sin 2sin A B B A A B C +=+==即3sin 2C =，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3C =，由正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ====，可得,a A b B ==，则π3a b A B A A ⎛⎫-=-=-+⎪⎝⎭13sin cos 22A A A ⎫=-+⎪⎪⎭π3cos 3A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为ABC 锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<，可得πππ636A -<-<，则1π1sin 232A ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得b a <-<所以a b -的取值范围为(；若选③：因为)2224a b c S +-=，则132cos sin 24ab Cab C =，整理得tan C =π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3C =，由正弦定理可得sin sin sin 32a b c A B C ====，可得,a A b B ==，则π3a b A B A A ⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭13sin cos 22A A A ⎫=-+⎪⎪⎭π3cos 3A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为ABC 锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<，可得πππ636A -<-<，则1π1sin 232A ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得b a <-<所以a b -的取值范围为(.18.某口罩加工厂加工口罩由A ，B ，C 三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A ，B ，C 三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A ，B ，C 工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为99.97%）；C 工序的加工质量层次为高，A ，B 工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为99%）；其余均为95级（表示最低过滤效率为95%）.现从A ，B ，C 三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A 工序加工质量层次为高的个数为50个，B 工序加工质量层次高的个数为75个，C 工序加工质量层次为高的个数为80个.表①：表示加工一个口罩的利润.口罩等级100等级99等级95等级利润/元210.5（1）用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率；（2）X 表示一个口罩的利润，求X 的分布列和数学期望；（3）用频率估计概率，由于工厂中A 工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A 工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A 工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b .试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b 的值.【答案】（1）0.3（2）分布列见详解；() 1.2E X =元（3）25b =（答案不唯一，满足1132b <≤即可）【分析】（1）根据可得A ，B ，C 三道工序加工的质量层次高的概率，结合独立事件概率乘法公式分析求解；（2）由题意可知：X 的可能取值为2，1，0.5，求相应的概率，进而可得分布列和期望；（3）由题意可知：工厂升级方案后A 道工序加工的质量层次高的概率为[]0.5,0,0.5b b +∈，由题意可知：Y 的可能取值为1.8,0.8,0.3，求相应的概率，进而可得期望，令()()E Y E X >运算求解即可.【小问1详解】设A ，B ，C 三道工序加工的质量层次高的概率分别为123,,p p p ，用频率估计概率可得：1235075800.5,0.75,0.8100100100p p p ======，记“该厂生产的口罩过滤等级为100等级”为事件M ，所以()0.50.750.80.3P M =⨯⨯=.【小问2详解】由题意可知：X 的可能取值为2，1，0.5，则有：()()()()31220.3,110.5P X P M P X p p p =====-=，()()()0.51210.2P X P X P X ==-=-==，所以X 的分布列为X 210.5P0.30.50.2X 的期望()20.310.50.50.2 1.2E X =⨯+⨯+⨯=（元）.【小问3详解】由题意可知：工厂升级方案后A 道工序加工的质量层次高的概率为[]0.5,0,0.5b b +∈，设工厂升级方案后一个口罩利润的期望为Y ，由题意可知：Y 的可能取值为1.8,0.8,0.3，则有：()()1.80.50.750.80.60.3P Y b b ==+⨯⨯=+，()()0.80.810.50.750.50.6P Y b b ==-+⨯=-⎡⎤⎣⎦，()()()0.31210.2P Y P Y P Y ==-=-==，所以Y 的期望()()()1.80.60.30.80.50.60.30.20.61E Y b b b =⨯++⨯-+⨯=+（元），令()()E Y E X >，即0.61 1.2b +>，解得1132b <≤，例如25b =符合题意.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆过C 的上下顶点，点()1,e 在C 上，其中e 为C 的离心率.（1）求椭圆C 的方程和短轴长；（2）点,A B 在C 上，且在x 轴的上方，满足1212//,2AF BF AF BF =，直线2AF 与直线1BF 的交点为P ，求12PF F △的面积.【答案】（1）22:12x C y +=；2（2【分析】（1）线段12F F 为直径的圆过C 的上下顶点，得11OB OF r ==，即b c =，然后计算离心率e ，从而点()1,e 代入C 可得椭圆C 的方程并可求短轴长；（2）由题可知，12PF F △的面积等于1212P F F y ，所以求P y 的值；由1212//,2AF BF AF BF =，得122AF BF =uuu r uuu r ，进而得点,A B 的坐标关系，即1212232x x y y =-⎧⎨=⎩，将点,A B 代入C ，求得2y ，再由12APF F PB △△∽，得12PF BP = ，即223P y y =，从而计算12PF F △的面积即可.【小问1详解】设()()120,,0F c F c -，，上下顶点分别为()()120,,0,B b B b -.由以线段12F F 为直径的圆过C 的上下顶点，得11OB OF r ==，得22b c =，即b c =.因为22222a b c c =+=，即a =，所以22c e a ==，由点2)2在C 上，得22222211a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，2211122b b +=，解得1b =，所以2222a b ==，则22:12x C y +=，短轴长1222B B b ==.【小问2详解】根据题意，画出图象如图所示：因为1212//,2AF BF AF BF =，所以122AF BF =uuu r uuu r ，又12APF F PB △△∽，则1122PF AF BP BF ==，即12PF BP =，12PF BP = .设()()()1122,,,,,P P A x y B x y P x y ，()()121,0,1,0F F -由122AF BF =uuu r uuu r 得()12121212x x y y ⎧--=-⎨-=-⎩，即1212232x x y y =-⎧⎨=⎩，因为点()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22:12x C y +=上，所以()()222222222322222x y x y ⎧-+⨯=⎪⎨+=⎪⎩，即22222222241287488x x y x y ⎧-+=-⎨+=⎩，两式相减得，21215x =即254x =，2225224y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又点,A B 在x 轴的上方，所以2148y =.又12PF BP = 得()22P P y y y -=-，即222141433812P y y ==⨯=.于是12121114142221212PF F P S F F y ==⨯⨯= .20.已知函数()()e ,()x f x x a x a =--∈R .（1）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线为x 轴，求a 的值；（2）在（1）的条件下，判断函数()f x 的单调性；（3）()221()1e 12x g x x ax x x ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭，若1-是()g x 的极大值点，求a 的取值范围.【答案】（1）0（2）(),0∞-上单调递减，()0,∞+上单调递增（3）()e,∞-+【分析】（1）求导，然后根据(0)0f '=列式计算即可；（2）求导，然后通过二次求导确定导函数的正负，进而确定函数的单调性；（3）求导，然后因式分解，确定导函数的零点，讨论零点大小，进而确定极值点.【小问1详解】由已知()(1)e 1x f x x a '=-+-，则0(0)(1)e 1f a a '=-+-=-，由于曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线为x 轴，所以0a -=，所以0a =；【小问2详解】当0a =时，()(1)e 1x f x x '=+-，令()(1)e 1x h x x =+-，则()(2)e x h x x '=+，当<2x -时，()0h x '<，()f x '单调递减，当2x >-时，()0h x '>，()f x '单调递增，又当<2x -时，()0f x '<恒成立，2(2)e 1f -'-=--，0(0)e 10f '=-=，所以当0x <时()0f x '<，0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增；【小问3详解】由已知()()()2()12e 11(1)e 1x x g x x ax x a x x x a '⎡⎤=-++--+=+-+-⎣⎦，令()(1)e 1x v x x a =-+-，则()(2)e xv x x a '=-+，当2x a <-时，()0v x '<，()v x 单调递减，当2x a >-时，()0v x '>，()v x 单调递增，又当2x a <-时，()0v x <恒成立，且()22e 10a v a --=--<，当x →+∞时，()0v x >，即()v x 在()2,a -+∞上有且只有一个零点，设为0x ，当01x <-，即()11(11)e 10v a --=--+->，解得e a <-，此时若()0g x '<，解得01x x <<-，()g x 在()0,1x -上单调递减，若()0g x '>，解得0x x <或1x >-，()g x 在()()0,,1,x -∞-+∞上单调递增，此时()g x 在=1x -处取极小值，不符合题意，舍去；当01x >-，即()11(11)e 10v a --=--+-<，解得e a >-，此时若()0g x '<，解得01x x -<<，()g x 在()01,x -上单调递减，若()0g x '>，解得1x <-或0x x >，()g x 在()()0,1,,x -∞-+∞上单调递增，此时()g x 在=1x -处取极大值，符合1-是()g x 的极大值点，当01x =-时，即()11(11)e 10v a --=--+-=，解得a e =-，此时()0g x '≥恒成立，()g x 无极值点，综上所述：a 的取值范围为()e,∞-+.【点睛】方法点睛：函数的极值跟导函数的零点有关，当零点不确定的时候，就需要对零点的存在性以及零点的大小进行分类讨论，从而达到确定极值点的目的.21.给定正整数2n ≥，设数列12,,...,n a a a 是1,2,...,n 的一个排列，对{}1,2,...,i n ∈，i x 表示以i a 为首项的递增子列的最大长度，i y 表示以i a 为首项的递减子列的最大长度.（1）若4n =，11a =，24a =，32a =，43a =，求1x 和2y ；（2）求证：{}1,2,...,1i n ∀∈-，()()22110i i i i x y x y ++-+-≠；（3）求1n i i i x y=-∑的最小值.【答案】（1）13x =，22y =（2）证明见解析（3）当n 为偶数时，1n i i i x y =-∑的最小值是2n ；当n 为奇数时，1n i i i x y =-∑的最小值是12n -.【分析】（1）直接根据定义求解；（2）分情况讨论证明11i i i i x y x y ++-≠-，故可推知i i x y -和11i i x y ++-不能同时为零，进而得到结论；（3）对n 的奇偶性分情况讨论，并利用小问2得到的结果即可.【小问1详解】以1a 为首项的最长递增子列是134,,a a a ，以2a 为首项的最长递减子列是23,a a 和24,a a .所以13x =，22y =.【小问2详解】对{}1,2,...,1i n ∈-，由于12,,...,n a a a 是1,2,...,n 的一个排列，故1i i a a +≠.若1i i a a +<，则每个以1i a +为首项的递增子列都可以在前面加一个i a ，得到一个以i a 为首项的更长的递增子列，所以1i i x x +>；而每个以i a 为首项的递减子列都不包含1i a +，且1i i a a +<，故可将i a 替换为1i a +，得到一个长度相同的递减子列，所以1i i y y +≤.这意味着11i i i i x y x y ++->-；若1i i a a +>，同理有1i i y y +>，1i i x x +≤，故11i i i i x y x y ++-<-.总之有11i i i i x y x y ++-≠-，从而i i x y -和11i i x y ++-不能同时为零，故()()22110i i i i x y x y ++-+-≠.【小问3详解】根据小问2的证明过程知i i x y -和11i i x y ++-不能同时为零，故111i i i i x y x y ++-+-≥.情况一：当n 为偶数时，设2n k =，则一方面有()21212211112n k k i i i i i i i i i n x y x y x y k --===-=-+-≥==∑∑∑；另一方面，考虑这样一个数列12,,...,n a a a ：2121i i a k i a k i-=-+⎧⎨=+⎩，1,2,...,i k =.则对1,2,...,i k =，有21221i i x k i x k i -=-+⎧⎨=-+⎩，21211i iy k i y k i -=-+⎧⎨=-+⎩.故此时212111112n k k i i i i i i i n x y x y k --===-=-===∑∑∑.结合以上两方面，知1n i i i x y =-∑的最小值是2n .情况二：当n 为奇数时，设21n m =-，则一方面有()11121212211111112n n m m i i i i i i i i i i i i n x y x y x y x y m -----====--≥-=-+-≥=-=∑∑∑∑；另一方面，考虑这样一个数列12,,...,n a a a ：1221i i a m a m i a m i +=⎧⎪=+⎨⎪=-⎩，1,2,...,1i m =-.则对1,2,...,1i m =-，有1221i i x m x m i x m i +=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，12211i i y m y m i y m i +=⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩.故此时11221111112n m m i i i i i i i n x y x y m --===--=-==-=∑∑∑.结合以上两方面，知1n i i i x y =-∑的最小值是12n -.综上，当n 为偶数时，1n i i i x y =-∑的最小值是2n ；当n 为奇数时，1n i i i x y =-∑的最小值是12n -.【点睛】关键点点睛：求最小（或最大）值的本质在于，先证明所求的表达式一定不小于（或不大于）某个数M ，再说明该表达式在某种情况下能取到M ，就得到了最小（或最大）值是M ，这便是“求最小（或最大）值”的本质.而在这个过程中，“想到M 的具体取值”这个过程并不存在绝对的逻辑性，可以穷尽各种手段，包括直觉、大胆猜测、高观点等，去猜出M 的值，这些内容也无需在证明过程中呈现.只要证明合乎逻辑，“如何想到M 的取值”无需交代，不影响解答的正确性.换言之，所谓“求”，便是“猜出结果，再证明结果正确”，与“算出”、“得出”本就是无关的.在高考范围内，大多数最小值和最大值问题都能够直接化为某个显而易见，容易刻画的模型，然后“直接算出”，但不可将此作为万能法宝，忘记了最小值最大值的原始定义和本质.。

浙江省2012届普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）模拟试题（三）本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共6页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至6页．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上．参考公式：球的表面积公式 棱柱的体积公式 24S R π= V Sh =球的体积公式 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高334R V π= 棱台的体积公式其中R 表示球的半径 )(312211S S S S h V ++=棱锥的体积公式 其中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积，13V Sh = h 表示棱台的高其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数1,z i =+则211zz +=+（ ）A ．4355i -B ．4355i +C ．iD ．i -2．设2135,2ln ,2log -===c b a 则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ． c b a << 3．若B A B A 22cos cos ,32+=+则π的值的范围是（ ） A ．]21,0[ B ．]23,21[ C ．]1,21[D ．[0，1][来4．已知函数()log (01)a f x x a a =>≠且满足23()()f f a a >，则1(1)0f x->的解是（ ）A ．01x <<B ．1x <C ．0x >D ．1x > 5．已知 2.a b >≥现有下列不等式：①23;b b a >-②41112()ab a b+>+；③;ab a b >+④log 3log 3a b >。

2012年高中毕业年级第三次质量预测 数学（理科） 参考答案 一、选择题 DBAAC CBBBC DA 二、填空题 13.；14. -160；15.；16.0或（）， 由正弦定理得，即.………………3分 由余弦定理得， 结合,得.………………6分 （）得， 从而.………………9分 所以的面积，………………12分 18.解：（1）记“该参赛者恰好连对一条线”为事件A. 则基本事件的总数为m==24; ………………2分 事件A包含的基本事件有n==8种，………………4分 所以，该参赛者恰好连对一条的概率X的所有可能取值为-8、-1、6、20. 所以 ,的分布列为 -8-1620 P ………………10分 E=……………12分 19.解：（）M是线段AB1上中点时，.……………1分 下面给与证明： 如图：以AB，所在直线为x轴，z轴，在平面内过A且与AB垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系. 设=2，则 . ………………3分 所以. 即.………………5分 （）,即,其中， .………………7分 设是平面ABN的一个法向量，则 即取.………………9分 所以. 即的最大值为．………………12分 20.解：(Ⅰ) 设半焦距为c.由题意的中垂线方程分别为， 于是圆心坐标为. ………………2分 所以=，即 , 即,所以， 于是 即， 所以,即. ………………5分 （II）时，，此时椭圆的方程为， 设，则， 所以.………………8分 当时，上式的最小值为，即=，得；………………10分 当时，上式的最小值为，即=， 解得不合题意，舍去. 综上所述， 椭圆的方程为.………………12分 21.解（I）当时，.………………1分 因为函数f(x)在处存在极值，所以 解得.………………3分 (II) 由（I）得 根据条件知A,B的横坐标互为相反数，不妨设. 若，则， 由是直角得，，即， 即.此时无解；………………5分 若，则. 由于AB的中点在轴上，且是直角，所以B点不可能在轴上，即. 同理有，即=0，. 因为函数在上的值域是， 所以实数的取值范围是.………………7分 （II），知，可知0一定是方程的根，………………8分 所以仅就时进行研究：方程等价于 构造函数 对于部分，函数的图像是开口向下的抛物线的一部分， 当时取得最大值，其值域是； 对于部分，函数，由，知函数在上单调递增. 所以，①当或时，方程有两个实根； ②当时，方程有三个实根； ③当时，方程有四个实根. ………………12分 22.证明：（）在中，由知： ≌即 所以四点共圆；（II）如图，连结. 在中，,, 由正弦定理知由四点共圆知，, 所以23.解（I）由得. 即由得，即 所以圆C的直角坐标方程为（II）直线的参数方程可化为 由圆的半径为知，圆心（2，-2）到直线的距离为恰好为所以，解得.24.解：（I）≤得，，………………2分 因为不等式≤的解集为解得a=1; ………………5分 （II）的定义域为知； 对任意实数x，有恒成立. ………………7分 因为， 所以,即实数的取值范围.………………10分 P E D C B A。