四川省成都七中高考数学一诊试卷(文科)

2020年四川省成都七中高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）)＝（）1. 复数z＝a+bi(a, b∈R)的虚部记作Im(z)＝b，则Im(3+i1+iA.−2B.−1C.1D.22. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A.3B.−6C.10D.−153. 关于函数f(x)＝|tanx|的性质，下列叙述不正确的是（）A.f(x)的最小正周期为π2B.f(x)是偶函数(k∈Z)对称C.f(x)的图象关于直线x=kπ2)(k∈Z)内单调递增D.f(x)在每一个区间(kπ, kπ+π24. 已知a>0，b>0，则“a≤1且b≤1”是“a+b≤2且ab≤1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.36+12πB.36+16πC.40+12πD.40+16π6. 在约束条件：{x ≤1y ≤2x +y −1≥0 下，目标函数z ＝ax +by(a >0, b >0)的最大值为1，则ab 的最大值等于（ ） A.12B.38C.14D.187. 已知正项等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 2a 4=1，S 3=7则S 5=( ) A.152 B.314C.334D.1728. 双曲线x 26−y 23=1的渐近线与圆(x −3)2+y 2=r 2(r >0)相切，则r =( )A.√3B.2C.3D.69. 已知函数f(x)对∀x ∈R 都有f(x)＝f(4−x)，且其导函数f′(x)满足当x ≠2时，(x −2)f′(x)>0，则当2<a <4时，有（ ） A.f(2a )<f(2)<f(log 2a) B.f(2)<f(2a )<f(log 2a) C.f(log 2a)<f(2a )<f(2) D.f(2)<f(log 2a)<f(2a )10. 对圆(x −1)2+(y −1)2＝1上任意一点P(x, y)，若点P 到直线l 1:3x −4y −9＝0和l 2:3x −4y +a ＝0的距离和都与x ，y 无关，则a 的取值区间为（ ） A.[6, +∞) B.[−4, 6] C.(−4, 6) D.(−∞, −4]11. 若a →，b →，c →满足，|a →|=|b →|=2|c →|=2，则(a →−b →)⋅(c →−b →)的最大值为（ ）A.10B.12C.5√3D.6√212. 点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点，动点P 在正方形BCC 1B 1（包括边界）内运动，且PA 1 // 面AMN ，则PA 1的长度范围为（ ） A.[1,√52]B.[3√24,√52]C.[3√24,32]D.[1,32]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上）命题“∀x ∈N ，x 2>1”的否定为________．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为________．设O 、F 分别是抛物线y 2=2x 的顶点和焦点，M 是抛物线上的动点，则|MO||MF|的最大值为________．若实数a ，b ∈(0, 1)且ab =14，则11−a +21−b 的最小值为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知c ＝3，且sin(C −π6)⋅cosC =14． （1）求角C 的大小；（2）若向量m →=(1, sinA)与n →=(2, sinB)共线，求a 、b 的值．学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：(Ⅱ)现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；(Ⅲ)现从(Ⅱ)中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．参考数据：如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱CC 1的中点．（1）求证：CD // 平面A1EB；（2）求证：AB1⊥平面A1EB；（3）若AB＝2，求三棱锥A1−B1BE的体积．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−√2, 0)，F2(√2, 0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1, 0)．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N(3, 2)，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．已知函数f(x)＝tx+lnx(t∈R)．（1）当t＝−1时，证明：f(x)≤−1；（2）若对于定义域内任意x，f(x)≤x⋅e x−1恒成立，求t的范围？请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）.[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系下，知圆O:ρ＝cosθ+sinθ和直线l:ρsin(θ−π4)=√22(ρ≥0,0≤θ≤2π)．（1）求圆O与直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈(0, π)时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）已知函数f(x)＝|2x+3|+|2x−1|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤5的解集；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)<|m−1|的解集非空，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2020年四川省成都七中高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】B【考点】复数的运算【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简3+i1+i，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案．【解答】∵3+i1+i =(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−2i2=2−i，又复数z＝a+bi(a, b∈R)的虚部记作Im(z)＝b，∴Im(3+i1+i)＝−1．2.【答案】C【考点】程序框图【解析】根据程序框图判断，程序的运行功能是求S＝−12+22−32+42，计算可得答案．【解答】由程序框图知，程序的运行功能是求S＝−12+22−32+42−…可得：当i＝5时，不满足条件i<5，程序运行终止，输出S=−12+22−32+42＝10．3.【答案】A【考点】正切函数的图象【解析】根据正切函数的性质与性质，结合绝对值的意义，对选项中的命题分析、判断即可．【解答】对于函数f(x)＝|tanx|的性质，根据该函数的图象知，其最小正周期为π，A错误；又f(−x)＝|tan(−x)|＝|tanx|＝f(x)，所以f(x)是定义域上的偶函数，B正确；根据函数f(x)的图象知，f(x)的图象关于直线x=kπ2(k∈Z)对称，C正确；根据f(x)的图象知，f(x)在每一个区间(kπ, kπ+π2)(k∈Z)内单调递增，D正确．4.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】a>0，b>0，“a≤1且b≤1”可得：“a+b≤2且ab≤1”，反之不成立：取a=32，b=12，即可判断出结论．【解答】∵a>0，b>0，“a≤1且b≤1”可得：“a+b≤2且ab≤1”，反之不成立：取a=32，b=12，满足a+b≤2且ab≤1，而a≤1且b≤1不成立．故“a≤1且b≤1”是“a+b≤2且ab≤1”的充分不必要条件．5.【答案】C【考点】由三视图求体积（组合型）由三视图求体积【解析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算．【解答】由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体，作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，∴几何体的表面积S=12π×22×2+12×π×4×4+2×4+2×4×2+2×4+2×2×2＝12π+40．故选：C．6.【答案】D【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a，b的关系，利用基本不等式求ab的最大值．【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由z ＝ax +by(a >0, b >0)，则y =−ab x +zb ，平移直线y =−ab x +zb ，由图象可知当直线y =−ab x +zb 经过点A(1, 2)时直线的截距最大，此时z 最大为1． 代入目标函数z ＝ax +by 得a +2b ＝1． 则1＝a +2b ≥2√2ab ，则ab ≤18当且仅当a ＝2b =12时取等号， ∴ ab 的最大值等于18， 7.【答案】 B【考点】等比数列的前n 项和 【解析】由已知条件利用等比数列的通项公式和前n 项和公式得{a 1q ∗a 1q 3=1a 1(1−q 3)1−q=7q >0，由此能求出S 5．【解答】解：由已知得：{a 1q ⋅a 1q 3=1,a 1(1−q 3)1−q =7,q >0,解得a 1=4，q =12， ∴ S 5=a 1(1−q 5)1−q=4×(1−125)1−12=314．故选B . 8.【答案】 A【考点】双曲线的渐近线 直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式 【解析】求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r ． 【解答】解：双曲线的渐近线方程为y =2，即x ±√2y =0， 圆心(3, 0)到直线的距离d =√(√2)2+1=√3，∴r=√3．故选A．9.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】由f(x)＝f(4−x)，可知函数f(x)关于直线x＝2对称，由(x−2)f′(x)>0，可知f(x)在(−∞, 2)与(2, +∞)上的单调性，从而可得答案．【解答】∵函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)＝f(4−x)，∴f(x)关于直线x＝2对称；又当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x)⇔f′(x)(x−2)>0，∴当x>2时，f′(x)>0，f(x)在(2, +∞)上的单调递增；同理可得，当x<2时，f(x)在(−∞, 2)单调递减；f(x)的最小值为f(2)∵2<a<4，∴1<log2a<2，∴2<4−log2a<3，又4<2a<16，f(log2a)＝f(4−log2a)，f(x)在(2, +∞)上的单调递增；∴f(log2a)<f(2a)，∴f(2)<f(log2a)<f(2a)，10.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】由题意可得|3x−4y+a|+|3x−4y−9|可以看作点P到直线m:3x−4y+a＝0与直线l:3x−4y−9＝0距离之和的5倍，根据点到直线的距离公式解得即可．【解答】设z＝|3x−4y+a|+|3x−4y−9|＝5(|3x−4y−9|5+|3x−4y+a|5)，故|3x−4y+a|+|3x−4y−9|可以看作点P(x, y)到直线l2:3x−4y+a＝0与直线l1:3x−4y−9＝0距离之和的5倍，∵|3x−4y+a|+|3x−4y−9|的取值与x，y无关，∴这个距离之和与点P在圆上的位置无关，如图所示：可知直线l1平移时，P点与直线l1，l2的距离之和均为l1，l2的距离，即此时圆在两直线内部，当直线l2的与圆相切时，|3−4+a|5=1，化简得|a−1|＝5，解得a＝6或a＝−4（舍去），∴a≥6．故选：A．11.【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】利用向量的数量积公式化简表达式，转化求解最大值即可． 【解答】a →，b →，c →满足，|a →|=|b →|=2|c →|=2，则(a →−b →)⋅(c →−b →)=a →⋅c →−a →⋅b →−b →⋅c →+b →2=2cos <a →,c →>−4cos <a →,b →>−2cos <b →,c →>+4≤12，当且仅当a →,c →同向，a →,b →，反向，b →,c →反向时，取得最大值．12.【答案】 B【考点】点、线、面间的距离计算 【解析】取B 1C 1的中点E ，BB 1的中点F ，连结A 1E ，A 1F ，EF ，取EF 中点O ，连结A 1O ，推导出平面AMN // 平面A 1EF ，从而点P 的轨迹是线段EF ，由此能求出PA 1的长度范围． 【解答】取B 1C 1的中点E ，BB 1的中点F ，连结A 1E ，A 1F ，EF ，取EF 中点O ，连结A 1O ， ∵ 点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点， ∴ AM // A 1E ，MN // EF ，∵ AM ∩MN ＝M ，A 1E ∩EF ＝E ， ∴ 平面AMN // 平面A 1EF ，∵ 动点P 在正方形BCC 1B 1（包括边界）内运动，且PA 1 // 面AMN ， ∴ 点P 的轨迹是线段EF ，∵ A 1E ＝A 1F =√12+(12)2=√52，EF =12√12+12=√22，∴ A 1O ⊥EF ，∴ 当P 与O 重合时，PA 1的长度取最小值：A 1O =(√52)(√24)=3√24，当P 与E （或F ）重合时，PA 1的长度取最大值：A 1E ＝A 1F =√52．∴ PA 1的长度范围为[3√24, √52]．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上） 【答案】∃x 0∈N ，x 02≤1【考点】 命题的否定 【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可． 【解答】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x ∈N ，x 2>1”的否定为∃x 0∈N ，x 02≤1 【答案】 360【考点】频率分布直方图 【解析】设出公差，利用9个小长方形面积和为1，求出公差，然后求解中间一组的频数． 【解答】设公差为d ，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d ，0.02+2d ，0.02+3d ，0.02+4d ，0.02+3d ，0.02+2d ，0.02+d ，0.02，而9个小长方形的面积和为 1，可得0.18+16d ＝1 解得d =0.8216，∴ 中间一组的频数为：1600×(0.02+4d)＝360． 【答案】2√33． 【考点】 抛物线的求解 【解析】设M(m, n)到抛物线y 2=2x 的准线x =−12的距离等于d ，由抛物线的定义可得|MO||MF|=√m 2+n 2m+12=√1+m−14m 2+m+14，令m −14=t ，利用基本不等式可求得最大值． 【解答】解：焦点F(12, 0)，设M(m, n)，则n 2=2m ，m >0，设M 到准线x =−12的距离等于d ， 则由抛物线的定义得|MO||MF|=√m 2+n 2m+12=√1+m−14m 2+m+14，令m −14=t ， 依题意知，m >0， 若t >0，则m−14m 2+m+14=tt 2+32t+916=1t+916t +32≤13， ∴ t max =13，此时(|MO||MF|)max =√1+13=2√33； 若−14<t <0，y =t +916t+32单调递减，故y <−1，1y ∈(−1, 0)；综上所述，(|MO||MF|)max =2√33． 故答案为：2√33． 【答案】4+4√23 【考点】基本不等式及其应用 【解析】 先根据条件消掉b ，将b =14a 代入原式得11−a +8a4a−1，再列项并用贴“1“法，最后应用基本不等式求其最小值． 【解答】因为ab =14，所以b =14a ， 因此11−a +21−b =11−a +21−14a，=11−a +8a4a−1， =11−a +2(4a−1)+24a−1，=11−a +24a−1+2， ＝2(14a−1+24−4a )+2，=23(14a−1+24−4a )[(4a −1)+(4−4a)]+2， =23[1+2+4−4a4a−1+2(4a−1)4−4a]+2，≥23(3+2√2)+2＝4+4√23，当且仅当a =√24+22，取“＝”，及11−a +21−b 的最小值为4+4√23， 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【答案】sin(C −π6)⋅cosC ＝(sinCcos π6−cosCsin π6)⋅cosC=√3sinCcosC−1cos2C=√34sin2C−1+cos2C4=12sin(2C−π6)−14=14，∴sin(2C−π6)＝1；又0<C<π，∴−π6<2C−π6<11π6，∴2C−π6=π2，解得C=π3；向量m→=(1, sinA)与n→=(2, sinB)共线，∴2sinA−sinB＝0，∴sinB＝2sinA，即b＝2a①；又c＝3，C=π3，∴c2＝a2+b2−2abcosC＝a2+b2−ab＝9②；由①②联立解得a=√3，b＝2√3．【考点】三角函数中的恒等变换应用平面向量数量积的性质及其运算【解析】（1）利用三角恒等变换化简sin(C−π6)⋅cosC=14，即可求出C的值；（2）根据向量m→、n→共线，得出sinB＝2sinA，即b＝2a①；由余弦定理得出a2+b2−ab＝9②，①②联立解得a、b的值．【解答】sin(C−π6)⋅cosC＝(sinCcosπ6−cosCsinπ6)⋅cosC=√32sinCcosC−12cos2C=√34sin2C−1+cos2C4=12sin(2C−π6)−14=14，∴sin(2C−π6)＝1；又0<C<π，∴−π6<2C−π6<11π6，∴2C−π6=π2，解得C=π3；向量m→=(1, sinA)与n→=(2, sinB)共线，∴2sinA−sinB＝0，∴sinB＝2sinA，即b＝2a①；又c＝3，C=π3，∴c2＝a2+b2−2abcosC＝a2+b2−ab＝9②；由①②联立解得a=√3，b＝2√3．【答案】（1）由列联表得K2=100(26×20−30×34)256×44×50×50≈0.6494<0.708，所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关．（2）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为5×3050=3人，“非古文迷”有5×2050=2人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人(Ⅲ)因为ξ为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以ξ的所有取值为1，2，3．P(ξ＝1)=C31C22C53=310，P(ξ＝2)=C32C21C53=35，P(ξ＝3)=C33C53=110．所以随机变量ξ的分布列为于是Eξ＝1×310+2×35+3×110=95．【考点】求解线性回归方程【解析】(Ⅰ)求出K2，与临界值比较，即可得出结论；(Ⅱ)调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，即可得出结论；(Ⅲ)ξ的所有取值为1，2，3．求出相应的概率，即可求随机变量ξ的分布列与数学期望．【解答】（1）由列联表得K2=100(26×20−30×34)256×44×50×50≈0.6494<0.708，所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关．（2）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为5×3050=3人，“非古文迷”有5×2050=2人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人(Ⅲ)因为ξ为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以ξ的所有取值为1，2，3．P(ξ＝1)=C31C22C53=310，P(ξ＝2)=C32C21C53=35，P(ξ＝3)=C33C53=110．所以随机变量ξ的分布列为于是Eξ＝1×310+2×35+3×110=95．【答案】证明：设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD．因为O为A1B的中点，D为AB的中点，所以OD // BB1且OD=12BB1．又E是CC1中点，所以EC // BB1，且EC=12BB1，所以EC // OD且EC＝OD．所以，四边形ECOD为平行四边形．所以EO // CD．又CD平面A1BE，EO⊂平面A1BE，所以CD // 平面A1BE．证明：因为三棱柱各侧面都是正方形，所以BB1⊥AB，BB1⊥BC．所以BB1⊥平面ABC．因为CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD．由已知得AB＝BC＝AC，所以CD⊥AB，所以CD⊥平面A1ABB1．由（1）可知EO // CD，所以EO⊥平面A1ABB1．所以EO⊥AB1．因为侧面是正方形，所以AB1⊥A1B．又EO∩A1B＝O，EO⊂平面A1EB，A1B⊂平面A1EB，所以AB1⊥平面A1BE．由条件求得BE=√5=A1E，A1B=2√2，所以S△A1BE =√6，所以三棱锥A1−B1BE的体积为：V A1−B1BE =V B1−A1BE=13S△A1BE⋅|B1O|=13×√6×√2=2√33．【考点】直线与平面平行直线与平面垂直【解析】（1）设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD，推导出四边形ECOD为平行四边形．从而EO // CD．由此能证明CD // 平面A1BE．（2）推导出BB1⊥AB，BB1⊥BC．从而BB1⊥平面ABC，BB1⊥CD，推导出CD⊥AB，从而CD⊥平面A1ABB1．由EO // CD，得EO⊥平面A1ABB1．从而EO⊥AB1．因为侧面是正方形，得AB1⊥A1B．由此能证明AB1⊥平面A1BE．（3）三棱锥A1−B1BE的体积为V A1−B1BE =V B1−A1BE=13S△A1BE⋅|B1O|，由此能求出结果． 【解答】证明：设AB 1和A 1B 的交点为O ，连接EO ，连接OD ． 因为O 为A 1B 的中点，D 为AB 的中点，所以OD // BB 1且OD =12BB 1．又E 是CC 1中点，所以EC // BB 1，且EC =12BB 1，所以EC // OD 且EC ＝OD ． 所以，四边形ECOD 为平行四边形．所以EO // CD ．又CD 平面A 1BE ，EO ⊂平面A 1BE ，所以CD // 平面A 1BE ． 证明：因为三棱柱各侧面都是正方形， 所以BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ．所以BB 1⊥平面ABC ．因为CD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥CD ． 由已知得AB ＝BC ＝AC ，所以CD ⊥AB ，所以CD ⊥平面A 1ABB 1．由（1）可知EO // CD ， 所以EO ⊥平面A 1ABB 1．所以EO ⊥AB 1．因为侧面是正方形，所以AB 1⊥A 1B ． 又EO ∩A 1B ＝O ，EO ⊂平面A 1EB ，A 1B ⊂平面A 1EB ， 所以AB 1⊥平面A 1BE ．由条件求得BE =√5=A 1E ，A 1B =2√2， 所以S △A 1BE =√6，所以三棱锥A 1−B 1BE 的体积为：V A 1−B 1BE =V B 1−A 1BE =13S △A 1BE ⋅|B 1O|=13×√6×√2=2√33．【答案】 ∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(−√2, 0)，F 2(√2, 0)， 以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1, 0)， ∴ {c =√2b =1a 2=b 2+c 2 ，解得a =√3，b ＝1，∴ 椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．k 1+k 2是定值．证明如下：设过M 的直线：y ＝k(x −1)＝kx −k 或者x ＝1 ①x ＝1时，代入椭圆，y ＝±√63，∴ 令A(1, √63)，B(1, −√63)，k 1=2−√633−1，k 2=2+√633−1，∴ k 1+k 2＝2． ②y ＝kx −k 代入椭圆，(3k 2+1)x 2−6k 2x +(3k 2−3)＝0设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． 则x 1+x 2=6k 23k 2+1，x 1x 2=3k 2−33k 2+1，y 1+y 2=6k 33k 3+1−2k =−2k3k 3+1，y 1y 2＝k 2x 1x 2−k 2(x 1+x 2)+k 2=−2k 23k 2+1，k 1=2−y 13−x 1，k 2=2−y23−x 2，∴ k 1+k 2=6−3y 1−2x 2+x 2y 1+6−3y 2−2x 1+x 1y 2(3−x 1)(3−x 2)=2．【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）由椭圆的两个焦点分别为F 1(−√2, 0)，F 2(√2, 0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1, 0)，列出方程组，能求出椭圆C 的方程．（2）设过M 的直线：y ＝k(x −1)＝kx −k 或者x ＝1，x ＝1时，代入椭圆，能求出k 1+k 2＝2；把y ＝kx −k 代入椭圆，得(3k 2+1)x 2−6k 2x +(3k 2−3)＝0，由此利用韦达定理能求出k 1+k 2＝2． 【解答】 ∵ 椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(−√2, 0)，F 2(√2, 0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1, 0)， ∴ {c =√2b =1a 2=b 2+c 2 ，解得a =√3，b ＝1，∴ 椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．k 1+k 2是定值．证明如下：设过M 的直线：y ＝k(x −1)＝kx −k 或者x ＝1 ①x ＝1时，代入椭圆，y ＝±√63，∴ 令A(1, √63)，B(1, −√63)，k 1=2−√633−1，k 2=2+√633−1，∴ k 1+k 2＝2． ②y ＝kx −k 代入椭圆，(3k 2+1)x 2−6k 2x +(3k 2−3)＝0 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． 则x 1+x 2=6k 23k 2+1，x 1x 2=3k 2−33k 2+1，y 1+y 2=6k 33k 3+1−2k =−2k3k 3+1，y 1y 2＝k 2x 1x 2−k 2(x 1+x 2)+k 2=−2k 23k 2+1，k 1=2−y 13−x 1，k 2=2−y23−x 2，∴ k 1+k 2=6−3y 1−2x 2+x 2y 1+6−3y 2−2x 1+x 1y 2(3−x 1)(3−x 2)=2．【答案】证明：即是证明lnx −x ≤−1，设g(x)＝lnx −x +1，g ′(x)=1−x x，当0<x <1，g ′(x)>0，g(x)单调递增；当x >1，g ′(x)<0，g(x)单调递减； 所以g(x)在x ＝1处取到最大值，即g(x)≤g(1)＝0，所以lnx −x ≤−1得证； 解法一：原式子恒成立即t ≤e x −lnx+1x在(0, +∞)恒成立，由（1）可以得到x ≥lnx +1，所以x ⋅e x ≥ln(x ⋅e x )+1＝lnx +x +1， 所以e x ≥lnx+x+1x =lnx+1x+1，所以e x −lnx+1x≥1，当且仅当x ⋅e x ＝1时取＝，于是t 的取值范围是(−∞, 1]．解法二：设ℎ(x)＝xe x −tx −lnx(x >0)，原题即ℎ(x)≥1恒成立， 因为ℎ(x)=(x +1)e x −t −1x ，而$h"(x) = (x + 2)e^{x} + \frac{1}{x^{2}} > 0$， 所以ℎ′(x)单调递增，又因为x →0时，ℎ′(x)→−∞，当x →+∞时，ℎ′(x)→+∞， 所以ℎ′(x)在(0, +∞)存在唯一零点，设为x 0．所以ℎ(x 0)=(x 0+1)e x 0−t −1x 0=0，所以t =(x 0+1)e x 0−1x 0，且ℎ(x)在(0, x 0)上单调递减，在(x 0, +∞)上单调递增，于是ℎ(x)的最小值为ℎ(x 0)=x 0e x 0−tx 0−lnx 0=−x 02⋅e x 0−lnx 0+1，原题即−x 02⋅e x 0−lnx 0+1≥1，即x 02⋅e x 0+lnx 0≤0，由此式子必然0<x 0<1，x 02⋅e x 0≤−lnx 0，把后面的不等式两边同时取对数整理后得x 0+lnx 0≤ln(−lnx 0)+(−lnx 0)，易证明函数y ＝x +lnx 是增函数，所以得x 0≤−lnx 0，所以e x 0≤1x 0，故由t =(x 0+1)e x 0−1x 0，得到t ≤(x 0+1)1x 0−1x 0=1，于是t 的取值范围是(−∞, 1]． 解法三：原式子恒成立即t ≤e x −lnx+1x在(0, +∞)恒成立，设φ(x)=e x −lnx+1x，φ′(x)=x 2e x +lnxx 2，设Q(x)＝x 2e x +lnx ，Q ′(x)=(x 2+2x)e x +1x >0，所以Q(x)单调递增，且Q(12)<0，Q(1)>0，所以Q(x)有唯一零点x 0，而且x 02⋅e x 0+lnx 0=0，所以x 02⋅e x 0=−lnx 0， 两边同时取对数得x 0+lnx 0＝ln(−lnx 0)+(−lnx 0)，易证明函数y ＝x +lnx 是增函数，所以得x 0＝−lnx 0，所以e x 0=1x 0，所以由φ(x)在(0, x 0)上单调递减，在(x 0, +∞)上单调递增， 所以φ(x)≥φ(x 0)=e x 0−lnx 0+1x 0=1x 0−−x 0+1x 0=2，于是t 的取值范围是(−∞, 1]． 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值【解析】（1）事实上，只需证明函数g(x)＝lnx −x +1的最大值小于等于0即可； （2）解法一，转化为证明t ≤e x −lnx+1x在(0, +∞)恒成立，结合（1）的结论即可得证；解法二，直接构造函数ℎ(x)＝xe x −tx −lnx(x >0)，证明其大于等于1恒成立即可；解法三，转化为证明t ≤e x −lnx+1x在(0, +∞)恒成立，设φ(x)=e x −lnx+1x，求其最小值即可． 【解答】证明：即是证明lnx −x ≤−1，设g(x)＝lnx −x +1，g ′(x)=1−x x，当0<x <1，g ′(x)>0，g(x)单调递增；当x >1，g ′(x)<0，g(x)单调递减； 所以g(x)在x ＝1处取到最大值，即g(x)≤g(1)＝0，所以lnx −x ≤−1得证； 解法一：原式子恒成立即t ≤e x −lnx+1x在(0, +∞)恒成立，由（1）可以得到x ≥lnx +1，所以x ⋅e x ≥ln(x ⋅e x )+1＝lnx +x +1， 所以e x ≥lnx+x+1x =lnx+1x+1，所以e x −lnx+1x≥1，当且仅当x ⋅e x ＝1时取＝，于是t 的取值范围是(−∞, 1]．解法二：设ℎ(x)＝xe x −tx −lnx(x >0)，原题即ℎ(x)≥1恒成立， 因为ℎ(x)=(x +1)e x −t −1x ，而$h"(x) = (x + 2)e^{x} + \frac{1}{x^{2}} > 0$， 所以ℎ′(x)单调递增，又因为x →0时，ℎ′(x)→−∞，当x →+∞时，ℎ′(x)→+∞， 所以ℎ′(x)在(0, +∞)存在唯一零点，设为x 0．所以ℎ(x 0)=(x 0+1)e x 0−t −1x 0=0，所以t =(x 0+1)e x 0−1x 0，且ℎ(x)在(0, x 0)上单调递减，在(x 0, +∞)上单调递增，于是ℎ(x)的最小值为ℎ(x 0)=x 0e x 0−tx 0−lnx 0=−x 02⋅e x 0−lnx 0+1，原题即−x 02⋅e x 0−lnx 0+1≥1，即x 02⋅e x 0+lnx 0≤0，由此式子必然0<x 0<1，x 02⋅e x 0≤−lnx 0，把后面的不等式两边同时取对数整理后得x 0+lnx 0≤ln(−lnx 0)+(−lnx 0)，易证明函数y ＝x +lnx 是增函数，所以得x 0≤−lnx 0，所以e x 0≤1x 0，故由t =(x 0+1)e x 0−1x 0，得到t ≤(x 0+1)1x 0−1x 0=1，于是t 的取值范围是(−∞, 1]． 解法三：原式子恒成立即t ≤e x −lnx+1x在(0, +∞)恒成立，设φ(x)=e x −lnx+1x，φ′(x)=x 2e x +lnxx 2，设Q(x)＝x 2e x +lnx ，Q ′(x)=(x 2+2x)e x +1x >0，所以Q(x)单调递增，且Q(12)<0，Q(1)>0，所以Q(x)有唯一零点x 0，而且x 02⋅e x 0+lnx 0=0，所以x 02⋅e x 0=−lnx 0， 两边同时取对数得x 0+lnx 0＝ln(−lnx 0)+(−lnx 0)，易证明函数y ＝x +lnx 是增函数，所以得x 0＝−lnx 0，所以e x 0=1x 0，所以由φ(x)在(0, x 0)上单调递减，在(x 0, +∞)上单调递增， 所以φ(x)≥φ(x 0)=e x 0−lnx 0+1x 0=1x 0−−x 0+1x 0=2，于是t 的取值范围是(−∞, 1]．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】圆O:ρ＝cosθ+sinθ，即ρ2＝ρcosθ+ρsinθ， 故圆O 的直角坐标方程为：x 2+y 2−x −y ＝0， 直线l:ρsin(θ−π4)=√22，即ρsinθ−ρcosθ＝1，则直线的直角坐标方程为：x −y +1＝0．由（1）知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得{x 2+y 2−x −y =0x −y +1=0 ，解得{x =0y =1 ． 即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为(0, 1)， 转化为极坐标为(1,π2)．【考点】圆的极坐标方程 【解析】（1）圆O 的极坐标方程化为ρ2＝ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圆O 的直角坐标方程；直线l 的极坐标方程化为ρsinθ−ρcosθ＝1，由此能求出直线l 的直角坐标方程．（2）圆O 与直线l 的直角坐标方程联立，求出圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点，由此能求出圆O 和直线l 的公共点的极坐标． 【解答】圆O:ρ＝cosθ+sinθ，即ρ2＝ρcosθ+ρsinθ， 故圆O 的直角坐标方程为：x 2+y 2−x −y ＝0， 直线l:ρsin(θ−π4)=√22，即ρsinθ−ρcosθ＝1，则直线的直角坐标方程为：x −y +1＝0． 由（1）知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得{x 2+y 2−x −y =0x −y +1=0 ，解得{x =0y =1 ． 即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为(0, 1)， 转化为极坐标为(1,π2)．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 【答案】（1）原不等式为：|2x +3|+|2x −1|≤5， 能正确分成以下三类：当x ≤−32时，原不等式可转化为−4x −2≤5，即−74≤x ≤−32； 当−32<x <12时，原不等式可转化为4≤5恒成立，所以−32<x <12；当x ≥12时，原不等式可转化为4x +2≤5，即12≤x ≤34． 所以原不等式的解集为{x|−74≤x ≤34}．（2）由已知函数f(x)={−4x −2,x ≤−324,−32<x <124x +2,x ≥12 ，可得函数y ＝f(x)的最小值为4，由f(x)<|m −1|的解集非空得：|m −1|>4． 解得m >5或m <−3． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】(Ⅰ)零点分段求解不等式即可；(Ⅱ)由题意得到关于实数m 的不等式，求解不等式即可求得最终结果． 【解答】（1）原不等式为：|2x +3|+|2x −1|≤5， 能正确分成以下三类：当x ≤−32时，原不等式可转化为−4x −2≤5，即−74≤x ≤−32； 当−32<x <12时，原不等式可转化为4≤5恒成立，所以−32<x <12； 当x ≥12时，原不等式可转化为4x +2≤5，即12≤x ≤34． 所以原不等式的解集为{x|−74≤x ≤34}．（2）由已知函数f(x)={−4x −2,x ≤−324,−32<x <124x +2,x ≥12 ，可得函数y ＝f(x)的最小值为4，由f(x)<|m −1|的解集非空得：|m −1|>4． 解得m >5或m <−3．。

2020年四川省成都七中高考数学一诊试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部记作Im(z)=b，则Im(3+i1+i)=()A. −2B. −1C. 1D. 2【答案】B【解析】解：∵3+i1+i =(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−2i2=2−i，又复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部记作Im(z)=b，∴Im(3+i1+i)=−1．故选：B．直接由复数代数形式的乘除运算化简3+i1+i，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义，属于基础题．2.执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A. 3B. −6C. 10D. −15【答案】C【解析】解：由程序框图知，程序的运行功能是求S=−12+22−32+42−⋯可得：当i=5时，不满足条件i<5，程序运行终止，输出S═−12+22−32+42=10．故选：C．根据程序框图判断，程序的运行功能是求S=−12+22−32+42，计算可得答案．本题考查了循环结构的程序框图，解答此类问题的关键是判断程序框图的功能．3.关于函数f(x)=|tanx|的性质，下列叙述不正确的是()A. f(x)的最小正周期为π2B. f(x)是偶函数C. f(x)的图象关于直线x=kπ2(k∈Z)对称D. f(x)在每一个区间(kπ,kπ+π2)(k∈Z)内单调递增【答案】A【解析】【分析】本题考查了正切函数的图象与性质，是基础题．根据正切函数的图象与性质，结合绝对值的意义，对选项中的结论进行判断即可．【解答】解：对于函数f(x)=|tanx|，根据该函数的图象与性质知，其最小正周期为π，A错误；又f(−x)=|tan(−x)|=|tanx|=f(x)，所以f(x)是定义域上的偶函数，B正确；根据函数f(x)的图象与性质知，f(x)的图象关于直线x=kπ2(k∈Z)对称，C正确；根据f(x)的图象与性质知，f(x)在每一个区间(kπ,kπ+π2)(k∈Z)内单调递增，D正确．故选：A．4.已知a>0，b>0，则“a≤1且b≤1”是“a+b≤2且ab≤1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：∵a>0，b>0，“a≤1且b≤1”可得：“a+b≤2且ab≤1”，反之不成立：取a=32，b=12，满足a+b≤2且ab≤1，而a≤1且b≤1不成立．故“a≤1且b≤1”是“a+b≤2且ab≤1”的充分不必要条件．故选：A．a>0，b>0，“a≤1且b≤1”可得：“a+b≤2且ab≤1”，反之不成立：取a=32，b=12，即可判断出结论．本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 36+12πB. 36+16πC. 40+12πD. 40+16π【答案】C【解析】解：由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体，作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，∴几何体的表面积S=12π×22×2+12×π×4×4+2×4+2×4×2+2×4+2×2×2=12π+40．故选：C．几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算．本题考查了几何体的常见几何体的三视图，几何体表面积计算，属于中档题．6.在约束条件：{x≤1y≤2x+y−1≥0下，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为1，则ab的最大值等于()A. 12B. 38C. 14D. 18【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分)，由z=ax+by(a>0,b>0)，则y=−ab x+zb，平移直线y=−ab x+zb，由图象可知当直线y=−abx+zb经过点A(1,2)时直线的截距最大，此时z最大为1．代入目标函数z=ax+by得a+2b=1．则1=a+2b≥2√2ab，则ab≤18当且仅当a=2b=12时取等号，∴ab 的最大值等于18，故选：D ．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a ，b 的关系，利用基本不等式求ab 的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及基本不等式是解决此类问题的基本方法．7. 已知正项等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 2a 4=1，S 3=7则S 5=( )A. 152B. 314C. 334D. 172【答案】B【解析】【分析】本题考查等比数列的前5项和的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，属于基础题．由已知条件利用等比数列的通项公式和前n 项和公式得{a 1q ⋅a 1q 3=1a 1(1−q 3)1−q=7q >0，由此能求出S 5．【解答】解：由已知得： {a 1q ⋅a 1q 3=1a 1(1−q 3)1−q=7q >0，解得a 1=4，q =12， ∴S 5=a 1(1−q 5) 1−q=4(1−125)1−12=314．故选：B ．8. 双曲线x 26−y 23=1的渐近线与圆(x −3)2+y 2=r 2(r >0)相切，则r =( )A. √3B. 2C. 3D. 6【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式，属于基础题．求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r ． 【解答】解：双曲线的渐近线方程为y =√2，即x ±√2y =0， 圆心(3,0)到直线的距离d =√(√2)2+1=√3，∴r =√3． 故选：A ．9. 已知函数f(x)对∀x ∈R 都有f(x)=f(4−x)，且其导函数f′(x)满足当x ≠2时，(x −2)f′(x)>0，则当2<a <4时，有( )A. f(2a)<f(2)<f(log2a)B. f(2)<f(2a)<f(log2a)C. f(log2a)<f(2a)<f(2)D. f(2)<f(log2a)<f(2a)【答案】D【解析】解：∵函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4−x)，∴f(x)关于直线x=2对称；又当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x)⇔f′(x)(x−2)>0，∴当x>2时，f′(x)>0，f(x)在(2,+∞)上的单调递增；同理可得，当x<2时，f(x)在(−∞,2)单调递减；f(x)的最小值为f(2)∵2<a<4，∴1<log2a<2，∴2<4−log2a<3，又4<2a<16，f(log2a)=f(4−log2a)，f(x)在(2,+∞)上的单调递增；∴f(log2a)<f(2a)，∴f(2)<f(log2a)<f(2a)，故选：D．由f(x)=f(4−x)，可知函数f(x)关于直线x=2对称，由(x−2)f′(x)>0，可知f(x)在(−∞,2)与(2,+∞)上的单调性，从而可得答案．本题综合考查了导数的运用，函数的对称性，单调性的运用，综合运用对数解决问题的能力，属于中档题．10.对圆(x−1)2+(y−1)2=1上任意一点P(x,y)，若点P到直线l1：3x−4y−9=0和l2：3x−4y+a=0的距离和都与x，y无关，则a的取值区间为()A. [6,+∞)B. [−4,6]C. (−4,6)D. (−∞,−4]【答案】A【解析】解：设z=|3x−4y+a|+|3x−4y−9|=5(|3x−4y−9|+5|3x−4y+a|)，5故|3x−4y+a|+|3x−4y−9|可以看作点P(x,y)到直线l2：3x−4y+a=0与直线l1：3x−4y−9=0距离之和的5倍，∵|3x−4y+a|+|3x−4y−9|的取值与x，y无关，∴这个距离之和与点P在圆上的位置无关，如图所示：可知直线l1平移时，P点与直线l1，l2的距离之和均为l1，l2的距离，即此时圆在两直线内部，=1，当直线l2的与圆相切时，|3−4+a|5化简得|a−1|=5，解得a=6或a=−4(舍去)，∴a≥6．故选：A．由题意可得|3x−4y+a|+|3x−4y−9|可以看作点P到直线m：3x−4y+a=0与直线l：3x−4y−9=0距离之和的5倍，根据点到直线的距离公式解得即可．本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查数学转化思想方法，属于难题．11. 若a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足，|a ⃗ |=|b ⃗ |=2|c ⃗ |=2，则(a ⃗ −b ⃗ )⋅(c ⃗ −b ⃗ )的最大值为( ) A. 10 B. 12 C. 5√3 D. 6√2 【答案】B【解析】解：a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足，|a ⃗ |=|b ⃗ |=2|c ⃗ |=2， 则(a ⃗ −b ⃗ )⋅(c ⃗ −b ⃗ )=a ⃗ ⋅c ⃗ −a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ ⋅c ⃗ +b ⃗ 2=2cos <a ⃗ ,c ⃗ >−4cos <a ⃗ ,b⃗ >−2cos <b ⃗ ,c ⃗ >+4≤12， 当且仅当a ⃗ ,c ⃗ 同向，a ⃗ ,b ⃗ ，反向，b ⃗ ,c ⃗ 反向时，取得最大值．故选：B ．利用向量的数量积公式化简表达式，转化求解最大值即可．本题考查了向量的数量积的运算，数量积的模的最值的求法，属于基础题．12. 点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点，动点P在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动，且PA 1//面AMN ，则PA 1的长度范围为( )A. [1,√52]B. [3√24,√52]C. [3√24,32]D. [1,32]【答案】B【解析】解：取B 1C 1的中点E ，BB 1的中点F ，连结A 1E ，A 1F ，EF ，取EF 中点O ，连结A 1O ， ∵点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点， ∴AM//A 1E ，MN//EF ，∵AM ∩MN =M ，A 1E ∩EF =E ， ∴平面AMN//平面A 1EF ，∵动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动，且PA 1//面AMN ，∴点P 的轨迹是线段EF ， ∵A 1E =A 1F =√12+(12)2=√52，EF =12√12+12=√22， ∴A 1O ⊥EF ，∴当P 与O 重合时，PA 1的长度取最小值：A 1O =√(√52)2+(√24)2=3√24，当P 与E(或F)重合时，PA 1的长度取最大值：A 1E =A 1F =√52．∴PA 1的长度范围为[3√24,√52]. 故选：B ．取B 1C 1的中点E ，BB 1的中点F ，连结A 1E ，A 1F ，EF ，取EF 中点O ，连结A 1O ，推导出平面AMN//平面A 1EF ，从而点P 的轨迹是线段EF ，由此能求出PA 1的长度范围． 本题考查线段长度的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“∀x∈N，x2>1”的否定为______ ．【答案】∃x0∈N，x02≤1【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈N，x2>1”的否定为∃x0∈N，x02≤1故答案为：∃x0∈N，x02≤1直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．14.在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组(即第五组)的频数为______．【答案】360【解析】解：设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为1，可得0.18+16d=1解得d=0.8216，∴中间一组的频数为：1600×(0.02+4d)=360．故答案为：360．设出公差，利用9个小长方形面积和为1，求出公差，然后求解中间一组的频数．本题考查频率分布直方图的应用，考查计算能力．15.设O、F分别是抛物线y2=2x的顶点和焦点，M是抛物线上的动点，则|MO||MF|的最大值为______．【答案】2√33．【解析】解：焦点F(12,0)，设M(m,n)，则n2=2m，m>0，设M到准线x=−12的距离等于d，则由抛物线的定义得|MO||MF|=√m2+n2m+12=√1+m−14m2+m+14，令m−14=t，依题意知，m>0，若t>0，则m−14m2+m+14=tt2+32t+916=1t+916t+32≤13，∴t max =13，此时(|MO||MF|)max =√1+13=2√33；若−14<t <0，y =t +916t+32单调递减，故y <−1，1y ∈(−1,0)； 综上所述，(|MO||MF|)max =2√33． 故答案为：2√33． 设M(m,n)到抛物线y 2=2x 的准线x =−12的距离等于d ，由抛物线的定义可得|MO||MF|=√m 2+n 2m+12=√1+m−14m 2+m+14，令m −14=t ，利用基本不等式可求得最大值．本题考查抛物线的定义、简单性质，基本不等式的应用，体现了换元的思想，属于难题．16. 若实数a ，b ∈(0,1)且ab =14，则11−a +21−b 的最小值为______． 【答案】4+4√23【解析】解：因为ab =14，所以b =14a ， 因此11−a +21−b =11−a +21−14a，=11−a +8a4a−1， =11−a +2(4a−1)+24a−1，=11−a +24a−1+2，=2(14a−1+24−4a )+2，=23(14a−1+24−4a )[(4a −1)+(4−4a)]+2， =23[1+2+4−4a4a−1+2(4a−1)4−4a]+2，≥23(3+2√2)+2=4+4√23， 当且仅当a =√24+22，取“=”， 及11−a +21−b 的最小值为4+4√23， 故答案为：4+4√23， 先根据条件消掉b ，将b =14a 代入原式得11−a +8a4a−1，再列项并用贴“1“法，最后应用基本不等式求其最小值．本题考查基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c=3，且sin(C−π6)⋅cosC=14．(1)求角C的大小；(2)若向量m⃗⃗⃗ =(1,sinA)与n⃗=(2,sinB)共线，求a、b的值．【答案】解：(1)sin(C−π6)⋅cosC=(sinCcosπ6−cosCsinπ6)⋅cosC =√32sinCcosC−12cos2C=√34sin2C−1+cos2C4=12sin(2C−π6)−14=14，∴sin(2C−π6)=1；又0<C<π，∴−π6<2C−π6<11π6，∴2C−π6=π2，解得C=π3；(2)向量m⃗⃗⃗ =(1,sinA)与n⃗=(2,sinB)共线，∴2sinA−sinB=0，∴sinB=2sinA，即b=2a①；又c=3，C=π3，∴c2=a2+b2−2abcosC=a2+b2−ab=9②；由①②联立解得a=√3，b=2√3．【解析】(1)利用三角恒等变换化简sin(C−π6)⋅cosC=14，即可求出C的值；(2)根据向量m⃗⃗⃗ 、n⃗共线，得出sinB=2sinA，即b=2a①；由余弦定理得出a2+b2−ab=9②，①②联立解得a、b的值．本题考查了三角恒等变换以及向量共线定理和正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．18.学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：(Ⅱ)现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；(Ⅲ)现从(Ⅱ)中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．参考数据：P(K2≥k0)0.500.400.250.050.0250.010 k00.4550.708 1.321 3.841 5.024 6.635【答案】解：(Ⅰ)由列联表得K2=100(26×20−30×34)256×44×50×50≈0.6494<0.708，所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关．(Ⅱ)调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为5×3050=3人，“非古文迷”有5×2050=2人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人，(Ⅲ)因为ξ为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以ξ的所有取值为1，2，3．P(ξ=1)=C31C22C53=310，P(ξ=2)=C32C21C53=35，P(ξ=3)=C33C53=110．所以随机变量ξ的分布列为ξ123P 31035110于是Eξ=1×310+2×35+3×110=95．【解析】本题考查独立性检验知识的运用，考查随机变量ξ的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．(Ⅰ)求出K2，与临界值比较，即可得出结论；(Ⅱ)调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，即可得出结论；(Ⅲ)ξ的所有取值为1，2，3.求出相应的概率，即可求随机变量ξ的分布列与数学期望．19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中点．(1)求证：CD//平面A1EB；(2)求证：AB1⊥平面A1EB；(3)若AB=2，求三棱锥A1−B1BE的体积．【答案】解：(1)证明：设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD．因为O为A1B的中点，D为AB的中点，所以OD//BB1且OD=12BB1.又E是CC1中点，所以EC//BB1，且EC=12BB1，所以EC//OD且EC=OD．所以，四边形ECOD为平行四边形．所以EO//CD．又CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，所以CD//平面A1BE．(2)证明：因为三棱柱各侧面都是正方形， 所以BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ．所以BB 1⊥平面ABC.因为CD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥CD ． 由已知得AB =BC =AC ，所以CD ⊥AB ， 所以CD ⊥平面A 1ABB 1.由(1)可知EO//CD ， 所以EO ⊥平面A 1ABB 1．所以EO ⊥AB 1.因为侧面是正方形，所以AB 1⊥A 1B .又EO ∩A 1B =O ，EO ⊂平面A 1EB ，A 1B ⊂平面A 1EB ， 所以AB 1⊥平面A 1BE ．(3)解：由条件求得BE =√5=A 1E ，A 1B =2√2， 所以S △A 1BE =√6，所以三棱锥A 1−B 1BE 的体积为：V A 1−B 1BE =V B 1−A 1BE =13S △A 1BE ⋅|B 1O|=13×√6×√2=2√33． 【解析】(1)设AB 1和A 1B 的交点为O ，连接EO ，连接OD ，推导出四边形ECOD 为平行四边形．从而EO//CD.由此能证明CD//平面A 1BE ．(2)推导出BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC.从而BB 1⊥平面ABC ，BB 1⊥CD ，推导出CD ⊥AB ，从而CD ⊥平面A 1ABB 1.由EO//CD ，得EO ⊥平面A 1ABB 1.从而EO ⊥AB 1.因为侧面是正方形，得AB 1⊥A 1B .由此能证明AB 1⊥平面A 1BE ．(3)三棱锥A 1−B 1BE 的体积为V A 1−B 1BE =V B 1−A 1BE =13S △A 1BE ⋅|B 1O|，由此能求出结果． 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点N(3,2)，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，问：k 1+k 2是否为定值？并证明你的结论． 【答案】解：(1)∵椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1,0)， ∴{c =√2b =1a 2=b 2+c 2，解得a =√3，b =1，∴椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．(2)k 1+k 2是定值．证明如下：设过M 的直线：y =k(x −1)=kx −k 或者x =1 ①x =1时，代入椭圆，y =±√63，∴令A(1,√63)，B(1,−√63)， k 1=2−√633−1，k 2=2+√633−1，∴k 1+k 2=2． ②y =kx −k 代入椭圆，(3k 2+1)x 2−6k 2x +(3k 2−3)=0设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).则x 1+x 2=6k 23k 2+1，x 1x 2=3k 2−33k 2+1，y1+y2=6k33k3+1−2k=−2k3k3+1，y1y2=k2x1x2−k2(x1+x2)+k2=−2k23k2+1，k1=2−y13−x1，k2=2−y23−x2，∴k1+k2=6−3y1−2x2+x2y1+6−3y2−2x1+x1x2(3−x1)(3−x2)=2．【解析】(1)由椭圆的两个焦点分别为F1(−√2,0)，F2(√2,0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1,0)，列出方程组，能求出椭圆C的方程．(2)设过M的直线：y=k(x−1)=kx−k或者x=1，x=1时，代入椭圆，能求出k1+ k2=2；把y=kx−k代入椭圆，得(3k2+1)x2−6k2x+(3k2−3)=0，由此利用韦达定理能求出k1+k2=2．本题考查椭圆方程的求法，考查两直线斜率之和是否为定值的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．21.已知函数f(x)=tx+lnx(t∈R)．(1)当t=−1时，证明：f(x)≤−1；(2)若对于定义域内任意x，f(x)≤x⋅e x−1恒成立，求t的范围？【答案】解：(1)证明：即是证明lnx−x≤−1，设g(x)=lnx−x+1，g′(x)=1−xx，当0<x<1，0'/>，g(x)单调递增；当x>1，，g(x)单调递减；所以g(x)在x=1处取到最大值，即g(x)≤g(1)=0，所以lnx−x≤−1得证；(2)解法一：原式子恒成立即t≤e x−lnx+1x在(0,+∞)恒成立，由(1)可以得到x≥lnx+1，所以x⋅e x≥ln(x⋅e x)+1=lnx+x+1，所以e x≥lnx+x+1x =lnx+1x+1，所以e x−lnx+1x≥1，当且仅当x⋅e x=1时取=，于是t的取值范围是(−∞,1]．解法二：设ℎ(x)=xe x−tx−lnx(x>0)，原题即ℎ(x)≥1恒成立，因为ℎ′(x)=(x+1)e x−t−1x ，而ℎ″(x)=(x+2)e x+1x2>0，所以单调递增，又因为x→0时，，当x→+∞时，，所以在(0,+∞)存在唯一零点，设为x0.所以ℎ′(x0)=(x0+1)e x0−t−1x=0，所以t=(x0+1)e x0−1x，且ℎ(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，于是ℎ(x)的最小值为ℎ(x0)=x0e x0−tx0−lnx0=−x02⋅e x0−lnx0+1，原题即−x02⋅e x0−lnx0+1≥1，即x02⋅e x0+lnx0≤0，由此式子必然0<x0<1，x02⋅e x0≤−lnx0，把后面的不等式两边同时取对数整理后得x0+lnx0≤ln(−lnx0)+(−lnx0)，易证明函数y=x+lnx是增函数，所以得x0≤−lnx0，所以e x0≤1x，故由t=(x0+1)e x0−1x0，得到t≤(x0+1)1x−1x0=1，于是t的取值范围是(−∞,1]．解法三：原式子恒成立即t ≤e x −lnx+1x在(0,+∞)恒成立，设φ(x)=e x −lnx+1x，φ′(x)=x 2e x +lnxx 2，设Q(x)=x 2e x +lnx ，Q′(x)=(x 2+2x)e x +1x >0，所以Q(x)单调递增，且Q(12)<0，Q(1)>0，所以Q(x)有唯一零点x 0，而且x 02⋅e x 0+lnx 0=0，所以x 02⋅e x 0=−lnx 0， 两边同时取对数得x 0+lnx 0=ln(−lnx 0)+(−lnx 0)，易证明函数y =x +lnx 是增函数，所以得x 0=−lnx 0，所以e x 0=1x 0，所以由φ(x)在(0,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增， 所以φ(x)≥φ(x 0)=e x 0−lnx 0+1x 0=1x 0−−x 0+1x 0=2，于是t 的取值范围是(−∞,1]．【解析】(1)事实上，只需证明函数g(x)=lnx −x +1的最大值小于等于0即可； (2)解法一，转化为证明t ≤e x −lnx+1x在(0,+∞)恒成立，结合(1)的结论即可得证；解法二，直接构造函数ℎ(x)=xe x −tx −lnx(x >0)，证明其大于等于1恒成立即可；解法三，转化为证明t ≤e x −lnx+1x在(0,+∞)恒成立，设φ(x)=e x −lnx+1x，求其最小值即可．本题考查利用导数证明不等式，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，以及不等式的恒成立问题，考查推理论证及运算求解能力，属于中档题．22. 在极坐标系下，知圆O ：ρ=cosθ+sinθ和直线l ：ρsin(θ−π4)=√22(ρ≥0,0≤θ≤2π)．(1)求圆O 与直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0,π)时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标．【答案】解：(1)圆O ：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ， 故圆O 的直角坐标方程为：x 2+y 2−x −y =0， 直线l ：ρsin(θ−π4)=√22，即ρsinθ−ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程为：x −y +1=0．(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得{x 2+y 2−x −y =0x −y +1=0，解得{x =0y =1．即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为(0,1)， 转化为极坐标为(1,π2)．【解析】(1)圆O 的极坐标方程化为ρ2=ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圆O 的直角坐标方程；直线l 的极坐标方程化为ρsinθ−ρcosθ=1，由此能求出直线l 的直角坐标方程． (2)圆O 与直线l 的直角坐标方程联立，求出圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点，由此能求出圆O 和直线l 的公共点的极坐标．本题考查直线与圆的直角坐标方程的求法，考查圆与直线的公共点的极坐标的求法，涉及到参数方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23. 已知函数f(x)=|2x +3|+|2x −1|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤5的解集；(Ⅱ)若关于x 的不等式f(x)<|m −1|的解集非空，求实数m 的取值范围． 【答案】解：(Ⅰ)原不等式为：|2x +3|+|2x −1|≤5， 能正确分成以下三类：当x ≤−32时，原不等式可转化为−4x −2≤5，即−74≤x ≤−32； 当−32<x <12时，原不等式可转化为4≤5恒成立，所以−32<x <12； 当x ≥12时，原不等式可转化为4x +2≤5，即12≤x ≤34． 所以原不等式的解集为{x|−74≤x ≤34}．(Ⅱ)由已知函数f(x)={−4x −2,x ≤−324,−32<x <124x +2,x ≥12，可得函数y =f(x)的最小值为4，由f(x)<|m −1|的解集非空得：|m −1|>4． 解得m >5或m <−3．【解析】(Ⅰ)零点分段求解不等式即可；(Ⅱ)由题意得到关于实数m 的不等式，求解不等式即可求得最终结果．本题考查了绝对值不等式的解法，分类讨论的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．。

成都七中高2020届一诊模拟数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150分,考试时间 120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1、复数),(R b a bi a z ∈+=的虚部记作b z =)Im(，则3Im()1i i ++=()(A)-1(B)0(C)1(D)22、执行如图所示的程序框图，输出的S 值为()(A)3(B)-6(C)10(D)-153、关于函数()tan f x x =的性质，下列叙述不．正确的是()(A))(x f 的最小正周期为2π(B))(x f 是偶函数(C))(x f 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称(D))(x f 在每一个区间(,),2k k k Z πππ+∈内单调递增4、已知0,0a b >>，则“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件5、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(A)π1236+(B)π1636+(C)π1240+(D)π1640+6、在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤01,2,1:y x y x 下，目标函数z ax by =+(0,0a b >>)的最大值为1，则ab 的最大值等于()(A)21(B)83(C)41(D)81三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知3=c ，且sin(2)16C π-=.（1）求角C 的大小；（2）若向量)sin ,1(A =与)sin ,2(B =共线，求b a ,的值．18、学校为了解高二学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高二男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如下表：（1）根据上表数据判断能否有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（2）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行理科学习时间的调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；参考公式：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++参考数据：19、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点.（Ⅰ）求证：CD ∥平面1A EB ；（Ⅱ）求证：1AB ⊥平面1A EB ；（Ⅲ）若2=AB ，求三棱锥BE B A 11-体积古文迷非古文迷合计男生262450女生302050合计564410020()P K k ≥0.5000.4000.2500.0500.0250.0100k 0.4550.708 1.321 3.841 5.024 6.635DB CE B 1C 1A A 120、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1(F ，2F ，以椭圆短轴为直径的圆经过点(1,0)M .(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M 斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点,设点(3,2)N ，记直线BN AN ,的斜率分别为12,k k ，问：12k k +是否为定值？并证明你的结论.21、已知函数()ln ()f x tx x t R =+∈（1）当1t =-时，证明：()1f x ≤-（2）若对于定义域内任意x ，1)(-⋅≤xe x xf 恒成立，求t 的范围？请考生在第22、23两题中任选一题作答。

成都七中2023—2024学年度2024届高三（上）一诊模拟试卷数学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2230A x x x =∈--<Z ，则集合A 的子集个数为（）A.3B.4C.8D.162.已知a 为实数，若复数()()i 12i a +-为纯虚数，则a =（）A.2- B.12-C.12D.23.一组数据共含大小不一的7个数值，其平均数和方差分别为1x 和21s ，若去掉一个最大值和一个最小值，则剩下的数据其平均数和方差分别为2x 和22s ，则一定有（）A.12x x <B.12x x >C.2212s s < D.2212s s >4.与y =有相同定义域的函数是（）A.23y x= B.2y =C.()lg 10x y =D.ln xy e =5.若向量a ，b 满足：1a = ，()a b a +⊥ ，2a b -= ，则b =（）A.2C.106.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（）A.4n ≤B.5n ≤C.6n ≤D.8n ≤7.已知a ，b ，c ∈R ，则“a b ≤”的必要不充分条件可以是（）A.11a b≤ B.ac bc≤ C.22ac bc≤ D.22a b≤8.抛物线C ：22y px =（0p >）的顶点为O ，斜率为1的直线l 过点()2,0p ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，若OAB △的面积为，则该抛物线的准线方程为（）A.1x =- B.22x =-C.2x =-D.x =9.设m ，n 是两条不相同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（）A.若m α⊥，//n β，//αβ，则m n ⊥B.若//n α，n β⊥，则αβ⊥C.若m 、n 是异面直线，m α⊂，//m β，n β⊂，//n α，则//αβ.D.若m n ⊥，m β⊥，则//n β10.已知3παβ-=，tan tan αβ-=()cos αβ+的值为（）A.12B.13C.14-D.16-11.与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，若曲线4y x =的法线的纵截距存在，则其最小值为（）A.34 B.1C.1716D.5412.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过F 的直线与圆222x y a +=相切于点Q ，与双曲线的右支交于点P ，若2PQ QF =，则双曲线C 的离心率为（）A.133B.132C.32D.43第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数()()()21f x x x a =+-是偶函数，则a =______.14.若x ，y 满足约束条件320,0,0,x y x y y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值为______.15.半球的表面积与其内最大正方体的表面积之比为______.16.如图，在ABC △所在平面内，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABEF 和正方形BCHG .记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S .已知34S =，且sin sin 4sin sin a A c C a C B +=，则FH =______.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（12分）某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如表：一等品二等品合计设备改造前12080200设备改造后15050200合计270130400（1）判断是否有99%的把握，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；（2）按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品.现从这5件产品中任选2件，求选出的这2件全是一等品的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.0500.0100.0010k 3.8416.63510.82818.（12分）在等比数列{}n a 和等差数列{}n b 中，1122a b ==，222a b =，3322a b =+.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令2n n n b c a =，记数列{}n c 的前n 项积为n T ，其中11T c =，证明：916n T ≤.19.（12分）如图，平面四边形ABCD 中，//BC AD ，90ADC ∠=︒，120ABC ︒∠=，E 是AD 上的一点，24AB BC DE a ===（0a >），F 是EC 的中点，以EC 为折痕把EDC △折起，使点D 到达点P 的位置，且PC BF ⊥.（1）证明：平面PEC ⊥平面ABCE ；（2）求点C 到平面PAB 的距离.20.（12分）设函数()()sin sin 1cos cos x a F x x a x a λλ-=-+--，其中0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）若1λ=，讨论()F x 在,2a π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性；（2）若12λ≤，证明：当,2x a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，不等式()()0x a F x -<恒成立.21.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，动点(),D x y 与定点)3,0F的距离和D 到定直线433x =的距离的比是常数32，设动点D 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）已知定点(),0P t ，20t -<<，过点P 作垂直于x 轴的直线l ，过点P 作斜率大于0的直线l '与曲线C 交于点G ，H ，其中点G 在x 轴上方，点H 在x 轴下方.曲线C 与x 轴负半轴交于点A ，直线AG ，AH 与直线l 分别交于点M ，N ，若A ，O ，M ，N 四点共圆，求t 的值.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，且()0,απ∈，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点()0,1P 恰为线段AB 的三等分点，求sin α.23.（10分）选修4-5：不等式选讲已知()2f x x m =+（m ∈R ）.（1）当0m =时，求不等式()25f x x +-<的解集；（2）对于任意实数x ，不等式()222x f x m --<成立，求m 的取值范围.参考答案（文科）一、单选题：共12道小题，每题5分.共60分.123456789101112CADDBCCADDAB二、填空题：共4道小题，每题5分，共20分.13.1214.1-15.34π16.三、解答题：共5道大题，共70分.17.（12分）解：（1）∵()22400120501508040010.256 6.63520020027013039K ⨯-⨯===>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关.（2）在取出的5件产品中，3件一等品记为a ，b ，c ，2件二等品记为D ，E ，从这5件产品中任选2件的所有情况为ab ，ac ，aD ，aE ，bc ，bD ，bE ，cD ，cE ，DE ，共10种，其中2件全是一等品的情况为ab ，ac ，bc ，共3种，∴选出的2件全是一等品的概率为310.18.（12分）解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，数列{}n b 的公差为d ，由1122a b ==，有12a =，11b =，又由222a b =，有()221q d =+，有1q d =+，又由3322a b =+，有()222122q d =++，有222q d =+，可得22q q =，得2q =或0q =（舍去），1d =，故2nn a =，n b n =；（2）证明：由（1）知：222n n n n b n c a ==，*n ∈N ，则()222111121222n nn n n n n n n c c +++++--=-=当3n ≥时，10n n c c +-<，即345670c c c c c >>>>>⋅⋅⋅>，而112c =，21c =，398c =，41c =，当4n ≥时，有111n n n T c T ++=<，则112T =，212T =，3916T =，456916T T T =>>>⋅⋅⋅，故916n T ≤.19.（12分）解：（1）由//BC AD ，90ADC ∠=︒，2AB BC DE ==，所以平面四边形ABCD 为直角梯形，设24AB BC DE a ===，因为120ABC ︒∠=.所以在Rt CDE △中，CD =，4EC a =，3tan 3DE ECD CD ∠==，则30ECD ∠=︒，又90ADC BCD ︒∠=∠=，所以60BCE ∠=︒，由4EC BC AB a ===，所以BCE △为等边三角形，又F 是EC 的中点，所以BF EC ⊥，又BF PC ⊥，EC ，PC ⊂平面PEC ，EC PC C = ，则有BF ⊥平面PEC ，而BF ⊂平面ABCE ，故平面PEC ⊥平面ABCE .（2）在Rt PEC △中，122PE DE PF EC a ====，取EF 中点O ，所以PO EF ⊥，由（1）可知平面PEC ⊥平面ABCE ，平面PEC 平面ABCE EC =，所以PO ⊥平面ABCE .过O 作OH AB ⊥于H ，连PH ，则由PO ⊥平面ABCE ，AB ⊂平面ABCE ，所以AB PO ⊥，又AB OH ⊥，PO OH O = ，则AB ⊥平面POH ，又PH ⊂平面POH ，所以AB PH ⊥，在Rt POH △中，PO =，OH BF ==，所以PH =，设C 到平面PAB 的距离为d ，由C PAB P ABC V V --=，即1133PAB BEC S d S OP ⨯⨯=⨯⨯△△，即1111443232a a ⨯⨯=⨯⨯⨯.可得2155d a ==.20.（12分）解：（1）由1λ=知，()sin sin cos x aF x a x a -=--，()()()()2cos sin sin x x a x a F x x a '---=--，令()()()cos sin sin G x x x a x a =--+-，由()()sin 0G x x x a '=->，知()G x 在,2a π⎛⎫⎪⎝⎭上单增，有()()0G x G a >=，即()0F x '>，亦知()F x 在,2a π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.（2）由12λ≤知，当,2x a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()()()1cos cos sin sin x a F x x a x a x a λλ-=-+---⎡⎤⎣⎦()()()cos cos cos sin sin a x x x a x a λ=-+---⎡⎤⎣⎦()()()1cos cos cos sin sin 2a x x x a x a ⎡⎤≤-+---⎢⎥⎣⎦，令()()()()1cos cos sin sin 2f x a x x a x a =+---，()()()11cos cos sin 22f x a x x a x =---'，()()1cos 02f x x a x =--'<'，知()f x '在,2a π⎛⎫⎪⎝⎭上单减，有()()0f x f a '<='，亦知()f x 在,2a π⎛⎫⎪⎝⎭上单减，有()()0f x f a <=，即()()0x a F x -<.21.（12分）解：（132=，两边平分并化简得2214x y +=，即曲线C 的方程.（2）设点()11,G x y ，()22,H x y .直线GH ：()y k x t =-（0k >）与椭圆C 的方程2214x y +=联立，消去y 得()()22222148440k x k tx k t +-+-=.由韦达定理：2122814k t x x k +=+，221224414k t x x k-⋅=+.由条件，直线AG 的方程为()1122y y x x =++，直线AH 的方程为()2222yy x x =++，于是可得()1122M y t y x +=+，()2222N y t y x +=+.因为A ，O ，M ，N 四点共圆，由相交弦定理可知()()()2M N y y t t -=-+，化简得()()1212222y y tx x t =+++又()11y k x t =-，()22y k x t =-，代入整理得：()()()2212121212242k x x t x x t t x x x x t -++=++++.将韦达定理代入化简得：()224242t t t t -=++，即23t =-.22.（10分）解：【详解】（1）由曲线C 的极坐标方程为2221cos ρθ=+，可得222cos 2ρρθ+=，又由cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入可得2222x y +=，即曲线C 的直角坐标方程为2212y x +=.（2）把直线参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨-+⎩（t 为参数），代入曲线C 的直角坐标方程2212y x +=，整理得()221cos 2sin 10t t αα++⋅-=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，得1222sin 1cos t t αα+=-+，12211cos t t α⋅=-+，因为点()0,1P 恰为线段AB 的三等分点，不妨设2AP PB =，则122t t =，所以122t t =-，代入1222sin 1cos t t αα+=-+，12211cos t t α⋅=-+，化简得22sin 9α=，又因为()0,απ∈，所以2sin 3α=.23.（10分）解：（1）当0m =时，不等式225x x +-<可转化为：0225x x x <⎧⎨-+-<⎩或02225x x x ≤≤⎧⎨-+<⎩或2225x x x >⎧⎨+-<⎩整理得：01x x <⎧⎨>-⎩或023x x ≤≤⎧⎨<⎩或273x x >⎧⎪⎨<⎪⎩所以不等式的解集为713x x ⎧⎫-<<⎨⎩⎭.（2）因为2222222x x m x x m m --+≤---=+若()222x f x m --<恒成立.只需来解22m m +<即可从而2222m m m m ⎧+<⎨+>-⎩解得1m <-或2m >。

成都七中高20XX 届一诊模拟数学试卷（文科）考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：张世永 刘在廷 审题人：巢中俊一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．） 1.已知集合{}1,0,A a =-，{}|01B x x =<<，若A B ≠∅，则实数a 的取值范围是（ ）A {}1B (,0)-∞C (1,)+∞D (0,1)2.复数1()1ii i-⋅+的虚部为（ ） A -2 B -1 C 0 D 13. 定义行列式运算：12142334,a a a a a a a a =-将函数cos () sin xf x x =的图象向左平移m 个单位(0)m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ）A 23πB 3πC 8πD 56π4．阅读下边的程序框图，若输出S 的值为－14，则判断框内可填写（ ） A ．i<6 ? B ．i<8 ? C ．i<5 ? D. i<7 ?5.在平面直角坐标系中,若角α的顶点在坐标原点,始边 在x 轴的非负半轴上,终边经过点(3,4)P a a -(其中0a <) 则sin cos αα+的值为( )A 15-B 4 5-C 53D 156.已知命题:(,0),34x xp x ∃∈-∞<；命题:(0,),sin q x x x ∀∈+∞>则下列命题中真命题是（ ） A p q ∧ B ()p q ∨⌝ C ()p q ∧⌝ D ()p q ⌝∧7. 已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+。

若存在两项,m n a a14a =，则19m n +的最小值为( ) A 83 B 114 C 145 D 1768.平面四边形ABCD 中，,且AD AB ⊥，现将ABD ∆沿着对角线BD 翻折成/A BD ∆，则在/A BD ∆折起至转到平面BCD 内的过程中，直线/A C 与平面BCD 所成的最大角的正切值为( )A 1B 12CD 9. 已知)(x f 、)(x g 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，//()()()()0f x g x f x g x -<， ()()x f x a g x =，25)1()1()1()1(=--+g f g f ，则关于x的方程250((0,1))2abx b ++=∈有两个不同实根的概率为（ ） A51B52 C53 D541A10． 已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，当12x x ≤时，12()()f x f x ≤。

2024届成都市高三数学（文）上学期一诊联考试卷2023.12（试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数()22,0πsin ,02x x f x xx ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，则()()11f f -+=（）A ．1-B ．0C ．1D ．22．普法知识宣传小组打算从某小区的2000人中抽取25人进行法律知识培训，拟采取系统抽样方式，为此将他们一一编号为12000~，并对编号由小到大进行分段，假设从第一个号码段中随机抽出的号码是2，那么从第三个号码段中抽出的号码为（）A ．52B ．82C ．162D ．2523．已知复数41i i i z -=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．1-B ．1C ．i -D ．i 4．若数列{}n a 满足113,21n n a a a n +==-+，则234a a a ++=（）A ．6B ．14C ．22D ．375．已知向量((),2,0a b =-= ，则cos ,a b =（）A ．32B ．12C ．12-D．6．若实数,x y 满足2020310x y x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则x y +的最小值为（）A ．0B ．37C ．35D ．17．已知函数()f x 的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可以为（）A ．()22e e 1x x x f x =-B ．()22e e 1xxx f x =+C ．()()()241ln 2xf x x x -=++D ．()()24ln 11x f x x +=+8．已知平面,,,,a b αβγαβγβ⋂=⋂=，则α γ是a b 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．若11ln 22a =，22ln 33b =，1e c =-，则（）A ．c b a <<B ．b<c<a C ．c<a<bD ．b a c<<10．已知()0,πα∈，且sin 2αα=，则tan α=（）A ．B ．33C D 11．若[)20,,1e xx x ax ∞∈+++≤恒成立，则实数a 的最大值为（）A ．eB ．2C ．1D ．e 2-12．已知圆22:40C x y +--=经过椭圆2222Ω:1(0)x y a b a b +=>>的两个焦点12,F F ，圆C 和椭圆Ω在第二象限的交点为12,24N NF NF ⋅=，则椭圆Ω的离心率为（）A ．B ．63C ．22D ．12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．已知集合{2},{lg }A x xB x y x =<==∣∣，则A B =．14．曲线()321f x x x =++在点()()1,1f 处的切线方程为．15．记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和.若714S =，且3a ，4a ，6a 成等比数列，则2024a 的值为.16．已知侧面积为的圆锥内接于球O ，若圆锥的母线与底面所成角的正切值为12，则球O 的表面积为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 为1AA 的中点，2AB =，14AA =.(1)求证：1C M ⊥平面BDM ；(2)求三棱锥1M BC D-的体积.18．某校高中阶段实行体育模块化课程教学，在高一年级开设了篮球和羽毛球两个模块课程，从该校高一年级随机抽取的100名男生和100名女生中，统计出参加上述课程的情况如下：男生女生总计参加篮球模块课程人数602080参加羽毛球模块课程人数4080120总计100100200(1)根据上述列联表，是否有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关；(2)根据抽取的200名学生的模块化课程成绩，每个模块课程的前3名获得参加体育模块化教学推广大使的评选资格，若在有评选资格的6名学生中随机选出2人作为体育模块化课程教学的推广大使，求这2人来自不同模块化课程的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥0.0250.0100.0050.0010k 5.0246.6357.87910.82819．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足()1f A =.(1)求A 的值；(2)若1b =，求a c +的取值范围.20．在平面直角坐标系中，动点C 到点()1,0F 的距离与到直线=1x -的距离相等.(1)求动点C 的轨迹方程；(2)若直线:l y x m =+与动点C 的轨迹交于P ，Q 两点，当PQF △的面积为2时，求直线l 的方程.21．已知函数()2e e x f x x=-.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求证：()()e ln cosf x x x >+.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修4—4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1C 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<）．以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos22ρθ=．(1)当π3α=时，求直线1C 的普通方程；(2)已知点()2,0P ，若直线1C 交曲线2C 于,A B 两点，且4PA PB ⋅=，求α的值．选修4—5：不等式选讲23．已知函数()21,f x x a x a =-++∈R．(1)当4a =时，求不等式()7f x ≥的解集；(2)若()2f x a>，求a 的取值范围．1．B【分析】根据分段函数分段求值即可.【详解】由于函数()22,0πsin ,02x x f x xx ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，所以()()()2π1sin1,11212f f ==-=--=-，则()()11110f f -+=-+=.故选：B.2．C【分析】根据系统抽样的特点确定第三个号码段中抽出的号码即可．【详解】采取系统抽样方式，从2000人中抽取25人，那么分段间隔为20008025=，第一个号码是2，那么第三个号码段中抽出的号码是2280162+⨯=．故选：C.3．A【分析】利用虚数单位的幂的运算及除法运算法则计算化简后，根据虚部的定义得到答案.【详解】∵()()()22421i 1i 1i 12i i 12i 1i i i i 11i 1i 1i 1(1)z ----+--======-+++----，∴z 的虚部为-1，故选：A.4．D【分析】根据条件求出234,,a a a ，即可得出结果.【详解】∵113,21n n a a a n +==-+，∴212116a a =-+=，3222111a a =-+=，4323120a a =-+=，∴2346112037a a a ++=++=.故选：D.5．C【分析】利用向量的夹角公式即可求解.【详解】因为((),2,0a b =-=，所以1cos ,2a b a b a b-⨯⋅===-.故选：C.6．B【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后令x y z +=，当直线y x z =-+在y 轴上截距最小时，x y +取最小，观察图象可得答案.【详解】作出不等式2020310x y x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域如图：令x y z +=，则y x z =-+，即当直线y x z =-+在y 轴上截距最小时，x y +取最小，即y x z =-+过点21,77A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，x y +取最小值213777+=.故选：B.7．B【分析】由图可知，函数的定义域为R ，是奇函数，当0x >时()0f x >，由此判断各选项可得出结果.【详解】对于A ，当0x =时，02e 1e 10x -=-=，()22e e 1xxx f x =-无意义，故A 错误；对于B ，()22e ,e 1x x x f x x =∈+R ，()()()222122e 2e e 1e 1e 11e xx x x x x x x x f x f x ---⋅--===-=-+++，则()f x 是奇函数，当0x >时，20e 0,e x x >>，则()0f x >；对于C ，当0x >时，()210,ln 2ln10x x +>+>=，则()0f x <，故C 错误；对于D ，()()24ln 1,1x f x x x +=∈+R，则()()()()224ln 14ln 1()11x x f x f x x x -++-===-++，则()f x 是偶函数，故D 错误，综上，B 正确.故选：B.8．A【分析】结合面面平行的性质定理和线面平行的性质定理即可判断.【详解】因为α γ，,a b αβγβ⋂=⋂=，所以由面面平行的性质定理可得a b ，则充分性成立；因为a b ，,a b αβγβ⋂=⋂=可知，所以a b γγ⊄⎧⎨⊂⎩，则a γ∥，又b a αα⊄⎧⎨⊂⎩，则b αP ，当l αγ= 时，由线面平行的性质定理可知a l b ，则必要性不成立；综上所述，α γ是a b 的充分不必要条件.故选：A.9．C【分析】根据,,a b c 的特征可构造函数()ln f x x x=，利用导数求得函数单调性即可比较它们的大小.【详解】易知111lne e e c =-=，构造函数()()ln ,0,f x x x x =∈+∞，则()ln 1f x x '=+；令()0f x '=，解得1e x =，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；可得()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；又易知112e 23<<，所以112e 23c f a f b f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即c<a<b .故选：C10．B【分析】将已知条件两边平方，结合“1”的代换化为齐次式，再由弦化切求值即可.【详解】由题设222(sin )sin cos 3cos 4αααααα=-+=，所以4=，且()0,πα∈，故22tan 34tan 4ααα-+=+，即223tan 11)0ααα++=+=，所以tan α=.故选：B 11．D【分析】先确定0x =时的情况，在当0x >时，参变分离可得2e 1x x a x --≤，构造函数()2e 1x f x x x -=-，求出函数()f x 的最小值即可.【详解】当0x =时，01e ≤，不等式成立；当0x >时，2e 1x x a x --≤恒成立，即min 2e 1x a x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-≤-，令()2e 1x f x x x -=-，则()()()()()2222e e 1e 11x x x x x f x x x x x x -------'==，因为0x >时，e 10xx -->（后证）所以当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递减，故()()1mine 1e 2111f x f --===-，所以e 2a ≤-，即实数a 的最大值为e 2-.证明当0x >时，e 10xx -->，令()=e 1--x g x x ，0x >，则()=e 10x g x '->，则()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g >=，即e 10xx -->.故选：D.12．C【分析】先根据圆与x 轴的交点求出椭圆的焦点，然后利用圆周角的性质求出12cos F NF ∠，进而根据余弦定理及椭圆的定义可求出a ，则离心率可得.【详解】对于圆22:40C x y +--=，即(2216x y +-=，圆心为(0,，半径为4当0y =时，2x =±，当0x =时，124,4y y ==，即如图点()0,4B 即椭圆2222Ω:1(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为()()122,0,2,0F F -，即2c =，又圆C 和椭圆Ω在第二象限的交点为N ，由圆周角的性质可得1212F NF F BF ∠=∠，则2212121cos cos 2cos 1212F NF F BF F BO ⎛⎫⎪∠=∠=∠-=⨯-=又由121122124cos 2N NF NF F NF F NF NF ⋅==∠=得1232NF NF =-，又()(()22212121212326c 22o 224s 1NF NF NF NF F NF NF NF +-∠=---=-+得(()2422163224a -=--，解得a =所以离心率c ea ==.故选：C.13．{}|02x x <<【分析】求出集合,A B 中元素范围，再求交集即可.【详解】{}{}|2|22A x x x x =<=-<<，{}{}lg |0B x y x x x ===>∣，则{}|02A B x x ⋂=<<.故答案为：{}|02x x <<.14．52y x =-【分析】首先求()1f 和()1f '，代入()()()111y f f x '-=-.【详解】因为2()32f x x x '=+，所以所求切线的斜率(1)325k f '==+=，而(1)1113f =++=，故所求的切线方程为35(1)y x -=-，即52y x =-.故答案为：52y x =-.15．2022【分析】根据等差数列的性质可得42a =，结合等比中项可得1d =，结合等差数列的定义分析求解.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，则74714S a ==，可得42a =，设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，因为3a ，4a ，6a 成等比数列，则2436a a a =，即()()4222=-+d d ，解得1d =或0d =（舍去），所以4202420202022=+=a a d .故答案为：2022.16．100π【分析】结合圆锥的几何性质求出圆锥的底面半径，作出轴截面结合勾股定理即可求解.【详解】设底面半径为r，因为圆锥的母线与底面所成角的正切值为12，则圆锥的高为2rh =，母线为2l r==，则其侧面积为1(2π)2r r =，解得4r =，作出圆锥的轴截面，如下图所示：则球的半径为2222()4(2)2rR r R R =+-=+-，解得5R =则球O 的表面积为224π4π(5)100πR =⋅=.故答案为：100π17．(1)证明见解析(2)4【分析】（1）根据正四棱柱的几何性质确定线段长度，结合勾股定理可得1C M DM⊥，1C M BM⊥，再根据线面垂直判定定理即可证得结论；（2）根据三棱锥的等体积转化，结合体积公式求解即可.【详解】（1）如图，连接11A C .正四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 为1AA 的中点，2AB =，14AA =，∴221111112AC A D D C =+11122A M AM AA ===，222DM AD AM ∴=+=又22115C D DC CC =+22111123MC AC A M=+.22211C M DM DC +=，∴1C M DM ⊥.同理可得1C M BM⊥.DM BM M = ，DM ⊂平面BDM ，BM ⊂平面BDM ，∴1C M ⊥平面BDM .（2）由（1）知，BM DM BD ===1C M ⊥平面BDM .∴(112111433M BC D C BDM BDM V V S C M --==⋅=⨯⨯=△.三棱锥1C BDM-的体积为4.18．(1)有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关；(2)35.【分析】（1）应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得结论即可；（2）由古典概型中的列举法求概率即可.【详解】（1）由列联表数据可得，()222006080402010033.33310.828100100120803K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关.（2）设篮球模块课程的前3名为1A ，2A ，3A ，羽毛球模块课程的前3名为1B ，2B ，3B .从这6人中随机选2人的基本事件有()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()33,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，共15个.其中选出的这2人来自不同模块化课程的基本事件有()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()33,A B 共9个.故所求概率为93155P ==.19．(1)π3A =(2)1,22⎛ ⎝【分析】（1）由三角函数的诱导公式和辅助角公式计算可得；（2）首先由正弦定理和（1）求出122tan2a c B+=+，然后用锐角三角形和（1）求出B 的取值范围，最后结合正切函数公式计算出结果.【详解】（1）()2πcos 2cos 1cos22sin 26f x x x x x x x ⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭.由()π2sin 216f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即1sin 22π6A ⎛⎫+=⎪⎝⎭.ABC 为锐角三角形，ππ7π2,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴π5π266A +=.∴π3A =.（2）由正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==.∴32sin a B =，2πsin sin 3sin sin B C c B B ⎛⎫- ⎪⎝⎭==.)22πsin cos 111132sin 2sin 2224sin cos 2tan 222B B B a c B B B B B ⎛⎫- ⎪+⎝⎭+++==++，.ABC 是锐角三角形，∴π02B <<，且2ππ32C B =-<.∴ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ,2124B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππtantanπππ34tan tan 2ππ12341tan tan 34-⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭+⨯，()22Btan∈.∴322tan 2B ⎝.∴31,22a c ⎛+∈+ ⎝.综上，a c +的取值范围为1,22⎛+ ⎝.20．(1)24y x =(2)y x =或y x =或y x =.【分析】（1）结合抛物线的定义即可求解；（2）联立直线与抛物线，结合韦达定理及弦长公式和三角形面积公式即可求解.【详解】（1）由题知，动点C 的轨迹是以F 为焦点，=1x -为准线的抛物线.∴动点C 的轨迹方程为24y x =.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y由24y x m y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得2440y y m -+=.由16160m ∆=->，得1m <.∴124y y +=，124y y m =.由FPQ △的面积121122S PQ d y y =⋅⋅=⋅-∴14+=.∴14+=，即()210m m m +-=.1m <，∴0m =或m =.∴直线l 的方程为y x =或152y x -=+或152y x -=+.21．(1)单减区间为(),1ln 2-∞-，单增区间为()1ln 2,-+∞.(2)证明见解析【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系即可得解；（2）构造函数()()2e e e ln 1x h x x x =--+，利用导数判推得()0h x >，进而得证.【详解】（1）因为()2e e x f x x=-，所以()2e ex f x =-'，当(),1ln 2x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1ln 2,x ∈-+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；所以()f x 的单减区间为(),1ln 2-∞-，单增区间为()1ln 2,-+∞.（2）设函数()()2e e e ln 1xh x x x =--+，则()e2e e x h x x '=--，0x >，易得()h x '在()0,∞+上单调递增，且()10h '=，所以当()0,1x ∈，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞，()0h x '>，()h x 单调递增；所以()()min 10h x h ==，故()2e e e ln 10x x x --+≥，当且仅当1x =时等号成立，即()()e ln 1f x x ≥+，当且仅当1x =时等号成立，因为1cos x ≥，所以()()()e ln 1e ln cosf x x x x ≥+≥+，由于上述不等式取等条件不能同时成立，所以()()e ln cosf x x x >+，得证.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用中间函数()e ln 1y x =+作为桥梁，简化了证明过程，从而得证.22．0y --=(2)π6α=或π3【分析】（1）将π3α=代入参数方程，然后把参数方程转化为普通方程即可；（2）先求2C 的普通方程，再把1C 代入2C 得到一元二次方程，从而根据t 的几何意义得到α的值.【详解】（1）当π3α=时，求直线1C的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，化简得直线1C0y --=.（2）因为曲线2C 的极坐标方程为2cos22ρθ=，所以()2222cos2cos sin 2ρθρθθ=-=.又因为=cos ,=sin x y ρθρθ，所以曲线2C 的普通方程为222x y -=.将直线1C 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<）代入222x y -=，得()()2222cos sin t t αα+-=，化简得2222cos sin 244cos t t t ααα+-+=，即2cos 24cos 20t t αα++=.因为直线1C 交曲线2C 于,A B 两点，所以cos20α≠，即π4≠α，又()2Δ16cos 8cos 281cos 28cos 280.αααα=-=+-=>设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则12124cos 2,cos 2cos 2t t t t ααα+=-=.因为点()2,0P 在直线1C 上，所以1224cos 2PA PB t t α⋅===，即1cos 22α=，又π02α<<，所以π6α=或π3.23．(1)410,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ (2)2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）代入4a =，分类讨论去绝对值解不等式即可；（2）分2a <-，2a >-，2a >-讨论，通过单调性求出()f x 的最小值，然后利用()min 2f x a>解不等式求出a 的取值范围．【详解】（1）当4a =时，()33,22415,1233,1x x f x x x x x x x ->⎧⎪=-++=-+-≤≤⎨⎪-+<-⎩，因为()7f x ≥，所以3372x x -≥⎧⎨>⎩或5712x x -+≥⎧⎨-≤≤⎩或3371x x -+≥⎧⎨<-⎩，解得43x ≤-或103x ≥，故不等式()7f x ≥的解集为410,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ；（2）当2a <-时，12a<-，此时()31,1211,1231,2x a x a f x x a x x a x a x a x ⎧⎪-+>-⎪⎪=-++=--≤≤-⎨⎪⎪-+-<⎪⎩，明显函数()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()min 2122a a a f x f a ⎫- -==⎪⎭>⎛⎝，解得25a <-，又2a <-，所以2a <-，当2a >-时，12a>-，此时()31,2211,1231,1a x a x a f x x a x x a x x a x ⎧-+>⎪⎪⎪=-++=---≤≤⎨⎪-+-<-⎪⎪⎩，明显函数()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，故()()min 1121f ax f =--=>--，解得23a <-，又2a >-，所以223a -<<-；当2a =-时，此时()312f x x a=+>，综上所述，a 的取值范围是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.。

四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}，则∁U A=（）A．（一∞，﹣1）∪（2，+∞） B．[﹣l，2]C．（一∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（一1，2）2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c3．双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．4．已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（）A．一B．C．﹣D．5．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l6．已知x与y之间的一组数据：x1234y m 3.2 4.87.5若y关于x的线性回归方程为=2.1x﹣1.25，则m的值为（）A．l B．0.85 C．0.7 D．0.57．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），且当x∈[0，）时，f（x）=一x3．则f（）=（）A．﹣B．C．﹣D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（）A．B．C．5 D．39．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（，0）10．在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③11．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣312．已知曲线C1：y2=tx （y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+l﹣1也相切，则t的值为（）A．4e2B．4e C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z=（i为虚数单位）的虚部为．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为．15．若实数x，y满足约束条件，则3x﹣y的最大值为．16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某省高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．18．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．20．已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．（I）若直线l1的倾斜角为，|AB|的值；（Ⅱ）设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l．21．已知函数f（x）=xlnx+（l﹣k）x+k，k∈R．（I）当k=l时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，求使不等式f（x）＞0恒成立的最大整数k的值．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}，则∁U A=（）A．（一∞，﹣1）∪（2，+∞） B．[﹣l，2]C．（一∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（一1，2）【考点】补集及其运算．【分析】解不等式求出集合A，根据补集的定义写出∁U A．【解答】解：集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}={x|﹣1＜x＜2}，则∁U A={x|x≤﹣1或x≥2}=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．故选：C．2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c【考点】四种命题．【分析】根据命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，写出即可．【解答】解：命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是“若a+c＞b+c，则a＞b”．故选：C．3．双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可．【解答】解：因为双曲线，所以a=，b=2，所以c=3，所以双曲线的离心率为：e==．故选B．4．已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（）A．一B．C．﹣D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据α为锐角，且sinα=，可得cosα=，利用诱导公式化简cos（π+α）=﹣cosα可得答案．【解答】解：∵α为锐角，sinα=，∴cosα=，那么cos（π+α）=﹣cosα=﹣．故选A．5．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的结果为0，得出输入的x．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，x≤0，y=﹣x2+1=0，∴x=﹣1，x＞0，y=3x+2=0，无解，故选：C．6．已知x与y之间的一组数据：x1234y m 3.2 4.87.5若y关于x的线性回归方程为=2.1x﹣1.25，则m的值为（）A．l B．0.85 C．0.7 D．0.5【考点】线性回归方程．【分析】根据回归直线经过样本数据中心点，求出y的平均数，进而可求出m 值．【解答】解：∵=2.5，=2.1x﹣1.25，∴=4，∴m+3.2+4.8+7.5=16，解得m=0.5，故选：D．7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），且当x∈[0，）时，f（x）=一x3．则f（）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性和条件求出函数是周期为3的周期函数，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化即可得到结论．【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），∴函数f（x）是周期为3的函数，∵当x∈[0，）时，f（x）=﹣x3，∴f（）=f（﹣6）=f（﹣）=﹣f（）=，故选：B．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（）A．B．C．5 D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面是边长为3的正方形，高PA=4．可得最长的棱长为PC．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面是边长为3的正方形，高PA=4．连接AC，则最长的棱长为PC===．故选：B．9．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（，0）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得g（x）图象的一个对称中心．【解答】解：将函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+sin2x）=2sin（2x+）图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）=2sin2x的图象，令2x=kπ，求得x=，k∈Z，令k=1，可得g（x）图象的一个对称中心为（，0），故选：D．10．在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】棱柱的结构特征．【分析】在①中，由AA1EH GF，知四边形EFGH是平行四边形；在②中，平面α与平面BCC1B1平行或相交；在③中，EH⊥平面BCEF，从而平面α⊥平面BCFE．【解答】解：如图，∵在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．∴AA1EH GF，∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确；∵EF与BC不一定平行，∴平面α与平面BCC1B1平行或相交，故②错误；∵AA1EH GF，且AA1⊥平面BCEF，∴EH⊥平面BCEF，∵EH⊂平面α，∴平面α⊥平面BCFE，故③正确．故选：C．11．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，得到与的夹角为，再根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可．【解答】解：A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，∴与的夹角为，∴•=||•||•cos=2×2×=2，∵M是线段AB的中点，∴=（+），∵=﹣，∴•=（+）•（﹣）=（5||2+3••﹣2||2）=（20+6﹣8）=3，故选：A12．已知曲线C1：y2=tx （y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+l﹣1也相切，则t的值为（）A．4e2B．4e C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=的导数，求出斜率，由点斜式方程可得切线的方程，设切点为（m，n），求出y=e x+1﹣1的导数，可得切线的斜率，得到t的方程，解方程可得．【解答】解：曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0），即有y=，y′=•，在点M（，2）处的切线斜率为•=，可得切线方程为y﹣2=（x﹣），即y=x+1，设切点为（m，n），则曲线C2：y=e x+1﹣1，y′=e x+1，e m+1=，∴m=ln﹣1，n=m•﹣1，n=e m+1﹣1，可得（ln﹣1）•﹣1=e﹣1，即有（ln﹣1）•=，可得=e2，即有t=4e2．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z=（i为虚数单位）的虚部为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：z==i+1的虚部为1．故答案为：1．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为8．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】根据祖暅原理，可得图1的面积=矩形的面积，即可得出结论．【解答】解：根据祖暅原理，可得图1的面积为4×2=8．故答案为8．15．若实数x，y满足约束条件，则3x﹣y的最大值为6．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x可得结论．【解答】解：作出约束条件，所对应的可行域如图，变形目标函数可得y=3x﹣z，平移直线y=3x可知当直线经过点A（2，0）时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得z=3x﹣y的最大值为6，故答案为：616．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求sin∠ACB=，从而可求∠ACB=，在△ABC中，由余弦定理可得AB，进而可求∠B，在△BCD中，由正弦定理可得CD的值．【解答】解：∵AC=，BC=，△ABC的面积为=AC•BC•sin∠ACB=sin∠ACB，∴sin∠ACB=，∴∠ACB=，或，∵若∠ACB=，∠BDC=＜∠BAC，可得：∠BAC+∠ACB＞+＞π，与三角形内角和定理矛盾，∴∠ACB=，∴在△ABC中，由余弦定理可得：AB===，∴∠B=，∴在△BCD中，由正弦定理可得：CD===．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某省高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出x=0.004，从而得到甲学校的合格率，由此能求出结果．（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，由此利用列举法能求出随机抽取2名学生，抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意知10x+0.012×10+0.056×10+0.018×10+0.010×10=1，解得x=0.004，∴甲学校的合格率为1﹣10×0.004=0.96，而乙学校的合格率为：1﹣=0.96，故甲乙两校的合格率相同．（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，则随机抽取2名学生的基本事件有：{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共15个，其中“抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D”包含的基本事件有9个，∴抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率p=．18．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，a4=8a1，可得=8a1，解得q．又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）=a1+a3，当然解得a1，利用等比数列的通项公式即可得出．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，可得S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4），再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a4=8a1，∴=8a1，a1≠0，解得q=2．又a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1（1+22），解得a1=2．∴a n=2n．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，∴S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．∴数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4）=2+22+23+…+2n﹣4（n﹣1）=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．∴S n=．19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．【考点】球的体积和表面积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出PD⊥平面PEF，RG∥PD，由此能证明GR⊥平面PEF．（Ⅱ）设三棱锥P﹣DEF的内切球半径为r，由三棱锥的体积V=，能求出棱锥P﹣DEF的内切球的半径．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均为直角，∴在三棱锥P﹣DEF中，PE，PF，PD三条线段两两垂直，∴PD ⊥平面PEF ， ∵=，即，∴在△PDH 中，RG ∥PD ，∴GR ⊥平面PEF ．解：（Ⅱ）正方形ABCD 边长为4， 由题意PE=PF=2，PD=4，EF=2，DF=2，∴S △PDF =2，S △DEF =S △DPE =4，=6，设三棱锥P ﹣DEF 的内切球半径为r ， 则三棱锥的体积：=，解得r=，∴三棱锥P ﹣DEF 的内切球的半径为．20．已知椭圆的右焦点为F ，设直线l ：x=5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点． （I ）若直线l 1的倾斜角为，|AB |的值；（Ⅱ）设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l ．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（I ）设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|AB |的值；（Ⅱ）设直线l 1的方程为y=k （x ﹣1），代入椭圆方程，由A ，M ，N 三点共线，求得N点坐标，y0﹣y2=﹣y2=﹣k（x2﹣1），代入，利用韦达定理即可求得y0=y2，则直线BN⊥l．【解答】解：（I）由题意可知：椭圆，a=，b=2，c=1，则F（1，0），E（5，0），M（3，0），由直线l1的倾斜角为，则k=1，直线l的方程y=x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：9x2﹣10x﹣15=0，则x1+x2=，x1x2=﹣，则丨AB丨=•=，|AB|的值；（Ⅱ）设直线l1的方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20=0，则x1+x2=，x1x2=，设N（5，y0），由A，M，N三点共线，有=，则y0=，由y0﹣y2=﹣y2=﹣k（x2﹣1）=，==0，∴直线BN∥x轴，∴BN⊥l．21．已知函数f（x）=xlnx+（l﹣k）x+k，k∈R．（I）当k=l时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，求使不等式f（x）＞0恒成立的最大整数k的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当k=1时，f（x）=xlnx+1，f′（x）=lnx+1，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．（Ⅱ）由f（x）＞0恒成立，得xlnx+（1﹣k）x+k＞0，推导出k＜恒成立，设g（x）=，则g′（x）=，令μ（x）=﹣lnx+x﹣2，则，由此利用导数秘技能求出k的最大整数值．【解答】解：（Ⅰ）当k=1时，f（x）=xlnx+1，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x）＞0，得x＞；由f′（x）＜0，得0＜x＜，∴f（x）的单调递增区间为（，+∞），单调减区间为（0，）．（Ⅱ）由f（x）＞0恒成立，得xlnx+（1﹣k）x+k＞0，∴（x﹣1）k＜xlnx+x，∵x＞1，∴k＜恒成立，设g（x）=，则g′（x）=，令μ（x）=﹣lnx+x﹣2，则，∵x＞0，∴μ′（x）＞0，μ（x）在（1，+∞）上单调递增，而μ（3）=1﹣ln3＜0，μ（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4），使μ（x0）=0，即x0﹣2=lnx0，∴当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，g′（x0）＞0，此时函数g（x）单调递增，∴g（x）在x=x0处有极小值（也是最小值），∴==x0∈（3，4），又由k＜g（x）恒成立，即k＜g（x）min=x0，∴k的最大整数值为3．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）求出点M的直角坐标为（0，1），从而直线l的倾斜角为，由此能求出直线l的参数方程，代入x2=4y，得，由此利用韦达定理和两点间距离公式能求出|PQ|．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．∴直线l的普通方程为y=tanα•（x﹣1），由曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0，得ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，∴x2﹣4y=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y．（Ⅱ）∵点M的极坐标为（1，），∴点M的直角坐标为（0，1），∴tanα=﹣1，直线l的倾斜角为，∴直线l的参数方程为，代入x2=4y，得，设A，B两点对应的参数为t1，t2，∵Q为线段AB的中点，∴点Q对应的参数值为，又P（1，0），则|PQ|=||=3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据题意，由绝对值的性质可以将f（x）≤6转化可得或，解可得x的范围，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；进而可得正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，将2a+b变形可得2a+b=（++5），由基本不等式的性质可得2a+b的最小值，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．若f（x）≤6，则有或，解可得﹣1≤x≤4，故原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤4}；（Ⅱ）函数f（x）=x+1+|3﹣x|=，分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；则正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，2a+b=（+）（2a+b）=（++5）≥（5+2）=；即2a+b的最小值为．4月5日。

一、单选题二、多选题1. 已知A （0，0），B （5，0），C （1，3），连接ABC 的各边中点得到A 1B 1C 1，连接A 1B 1C 1的各边中点得到A 2B 2C 2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC，A 1B 1C 1，A 2B 2C 2，…，则这一系列三角形的面积之和无限趋近于常数（ ）A．B ．5C ．10D ．152.若不等式．对x ∈恒成立，则sin (a +b )和sin (a -b )分别等于（ ）A．B．C．D．3.已知集合，则A．B．C．D．4.若，则（ ）A．B．C．D．5. 命题“，”的否定是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，6. 若是函数的极值点，则的值为A ．-2B ．3C ．-2或3D ．-3或27. 在菱形中，，，将△沿折起到△的位置，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A．B．C．D．8.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．9.已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．若，则10. 已知正实数，满足，则下列不等式恒成立的是（ ）A．B．C．D．11. 已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，组成公差为的等差数列，则（ ）A ．该椭圆的焦距为6B ．的最小值为2C ．的值可以为D ．的值可以为12.已知函数，将函数的图象向左平移（）个单位长度后，得到函数的图象，若在区间上四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上期一诊模拟考试数学（文）试题 (2)四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上期一诊模拟考试数学（文）试题 (2)三、填空题四、解答题单调递减，下列说法正确的是（ ）A ．当取最小值时，在区间上的值域为B．当取最小值时，的图象的一个对称中心的坐标为C ．当取最大值时，在区间上的值域为D ．当取最大值时，图象的一条对称轴方程为13.已知数列满足，，，若数列单调递减，数列单调递增，则数列的通项公式为_______.14. 已知函数f(x)＝若关于x 的方程f(x)＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．15. 某蓝莓基地种植蓝莓，按个蓝莓果重量（克）分为级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出个蓝莓果．记每次抽到优等果的概率为（可精确到）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过，的最大值为______．附：，，16. 第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如下：分数段[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人数1228331我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀.（I ）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？（II ）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X 表示这2人中优秀人数，求X 的分布列与期望.17. 某社区为了解居民参加体育锻炼情况，随机抽取18名男性居民，12名女性居民对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查．现按参加体育锻炼的情况将居民分成3类：甲类(不参加体育锻炼)，乙类(参加体育锻炼，但平均每周参加体育锻炼的时间不超过5个小时)，丙类(参加体育锻炼，且平均每周参加体育锻炼的时间超过5个小时)，调查结果如下表：甲类乙类丙类男性居民3123女性居民633(1)根据表中的统计数据，完成下面列联表，并判断是否有的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关?男性居民女性居民总计不参加体育锻炼参加体育锻炼总计(2)从抽出的女性居民中再随机抽取2人进一步了解情况，求所抽取的2人中乙类，丙类各有1人的概率．附：18. 设是等比数列，公比大于，其前项和为，是等差数列.已知，，，.(1)求和的通项公式；(2)设，求的前项和.19. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为等腰梯形，，且．(1)证明：平面平面；(2)若点到平面的距离为，求四棱锥的体积．20. 中国探月工程自年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次．年月日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了名学生进行调查，调查结果如下面列联表.关注没关注合计男女合计（1）完成上面的列联表，并计算回答是否有的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？（2）现在从这名学生中按性别采取分层抽样的方法抽取名学生，如果再从中随机选取人进行有关“嫦娥五号”情况的宣讲，求选取的名学生中恰有名女生的概率.若将频率视为概率.附：，其中21. 某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.表1：一级滤芯更换频数分布表一级滤芯更换的个数89频数6040图2：二级滤芯更换频数条形图以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；（2）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求的分布列及数学期望；（3）记分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定的值.。

一、单选题1. 已知椭圆C ：的上顶点为A ，直线l ：与椭圆C 相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为B ，直线AB 恰好经过椭圆C 的右焦点F ，且，则椭圆C 的离心率为（ ）A．B．C ．或D ．或2. 在中，是的外心，若，则（ ）A．B ．3C ．6D ．63.已知向量，，则（ ）A．B．C．D．4. 一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．24B ．48C ．72D ．965. 下列函数中有最小值的是（ ）A．B．C．D．6. 正态分布概念是由德国数学家和天文学家在1733年首先提出，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布，早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据；对这些数据进行分析发现这些数据变量近似服从，若，则A．B．C．D．7. 恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就，其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数的70次方是一个81位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得的值为（）235711130.3010.4770.6990.845 1.041 1.114A ．13B ．14C ．15D ．168. 一个边长为10cm 的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个容器侧面与底面的夹角正切值为（ ）四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上期一诊模拟考试数学（文）试题四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上期一诊模拟考试数学（文）试题二、多选题三、填空题A．B．C．D．9.已知，函数的定义域为，且满足当时，，当时，，则下列说法正确的是（ ）A．若存在极值点，则B．若，，则C ．若方程在区间上恰好有三个解，则D ．若，则10.已知由样本数据（i =1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为，且．剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点．则下列说法正确的是A ．相关变量x ，y 具有正相关关系B ．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大C．剔除该异常点后的回归直线方程经过点D ．剔除该异常点后，随x 值增加相关变量y 值减小速度变小11. 已知双曲线的方程为，，分别为双曲线的左､右焦点，过且与x 轴垂直的直线交双曲线于M ，N 两点，又，则（ ）A ．双曲线的渐近线方程为B．双曲线的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方C ．双曲线的实轴长､虚轴长､焦距成等比数列D ．双曲线上存在点，满足12.已知抛物线的准线为，焦点为F ，点是抛物线上的动点，直线的方程为，过点P 分别作，垂足为A，，垂足为B ，则（ ）A ．点F 到直线的距离为B．C．的最小值为1D ．的最小值为13. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积_______.四、解答题14. 在直角坐标平面内，横，纵坐标均为整数的点称为整点，点P 从原点出发，在直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点P 到达点所跳跃次数的最小值是__________.15.已知是第三象限角，是终边上的一点，若，则______.16.已知椭圆的右顶点及上顶点分别为，，直线过点，，且原点到直线的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，为椭圆上的动点（不与重合），且以线段为直径的圆过点，求点到直线距离的最大值．17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且.(1)求角A ；(2)若AD 为BC边上中线，，求△ABC 的面积.18.已知三角形中，.（1）求；（2）若，，求三角形的面积.19. 已知双曲线C ：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知直线l ：与双曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，直线OA ，OB 的斜率之积为，求△OAB 的面积．20.如图，在三棱柱中，平面，，，为的中点，交于点．(1)证明：；(2)求异面直线与所成角的余弦值．21. 在平面直角坐标系中，动点总满足关系式．(1)点的轨迹是什么曲线？并写出它的标准方程；(2)坐标原点O到直线l：的距离为1，直线与的轨迹交于不同的两点，，若，求的面积．。

届四川省成都市第七中学高三一诊模拟考试数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．设是虚数单位，则复数A．B．C．D．2．设集合，，则A．B．C．D．3．函数的图象大致是A．B．C．D．4．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直视图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）.当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为A．B．C．D．5．执行下边的算法程序，若输出的结果为120，则横线处应填入A．B．C．D．6．设实数满足，则的最大值是A．1 B．C．1 D．7．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知向量，，则在方向上的投影为A．2 B．2 C．D．9．设抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，且，若，则的值A．B．2 C．D．310．设分别是的内角的对边，已知，则的大小为A．B．C．D．11．已知正三棱锥的高为6，内切球（与四个面都相切）表面积为，则其底面边长为 A ．18 B ．12 C ． D ．12．已知函数（其中）的最小正周期为，函数，若对，都有，则的最小正值为 A ． B ． C ． D ．二、填空题13．某学校初中部共120名教师，高中部共180名教师，其性别比例如图所示，已知按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女教师有6人，则工会代表中男教师的总人数为.14．已知圆与轴相切，圆心在轴的正半轴上，并且截直线所得的弦长为2，则圆的标准方程是.15．已知均为锐角，且，则的最小值是.16．若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是．三、解答题17．正项等比数列中，已知，. 求的通项公式； 设为的前项和，，求.18．“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南镇2009～年梅雨季节的降雨量（单位：）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：“梅实初黄暮雨深”.请用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量；“江南梅雨无限愁”.镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，他过去种植的甲品种杨梅，亩产量受降雨量的影响较大（把握超过八成）.而乙品种杨梅2009～年的亩产量（/亩）与降雨量的发生频数（年）如列联表所示（部分数据缺失）.请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？（完善列联表，并说明理由）.亩产量\降雨量合计 <600 2 1 合计100.50 0.40 0.25 0.15 0.100.4550.7081.3232.0722.703（参考公式：，其中）19．已知椭圆的离心率为，且经过点.求椭圆的标准方程；过点的动直线交椭圆于另一点，设，过椭圆中心作直线的垂线交于点，求证：为定值.。

四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期一诊模拟考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合1{03}63M xx N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭∣，∣，则M N ⋃=（ ） A ．{06}xx <≤∣ B ．133x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭∣ C ．{36}xx <<∣ D ．103xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣ 2．已知2i z =-，则()i z z +的虚部是（ ） A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -3．如图所示的几何体是由一个正方体截去一个小正方体而得到，则该几何体的左（侧）视图为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知向量()2,1a =-，5a b ⋅=，8a b +=，则b =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．85．已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．66．饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P 从点A 出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P 经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B 的概率为（ ）A ．116 B ．18C ．14D ．127．记Sn 为等比数列{an }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（ ）A ．2n –1B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n –18．设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)9．星等分为两种：目视星等与绝对星等但它们之间可用公式55lg3.26dM m =+-转换，其中M 为绝对星等，m 为目视星等，d 为距离（单位：光年）．现在地球某处测得牛郎星目视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03，绝对星等为0.5，且牛郎星和织女星与地球连线的夹角大约为34°，则牛郎星与织女星之间的距离约为（ ）（参考数据：0.906108.054≈，0.71610 5.199≈，cos340.8︒≈） A ．26光年B ．16光年C ．12光年D ．5光年10．若(),,cos 2sin tan22παπααα⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）A．B．C．D ．23-11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点1P ，2P 分别是线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12PP 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值为（ ） A ．2BC ．13D ．4312．若()232ln ln ,2ln ln2,ln2a b c e π⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c a b << C ．b c a << D ．a b c <<二、填空题 13．曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________． 14．已知12,F F 为双曲线22:1169x yC -=的两个焦点，,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为___________.15．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间3ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且直线2y =-与函数()f x 的图象在[]2π,0-上有且仅有一个交点，则实数ω的取值范围是___________.16．已知实数,x y 满足2241x y xy ++=，则2x y +的最大值为___________. 三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且636S =，______请在①35a =；①24621a a a ++=，①749=S 这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．某投资公司2012年至2021年每年的投资金额x （单位：万元）与年利润增量y （单位：万元）的散点图如图：该投资公司为了预测2022年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y 关于x 的两个回归模型；模型①：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程： 2.5020ˆ.5yx =-；模型①：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在由线：ln y b x a =+的附近，对投资金额x 做换元，令ln t x =，则y b t a =⋅+，且有101010102111122.00,230,569.00,50.92ii i i i i i i i ty t y t ========∑∑∑∑，(1)根据所给的统计量，求模型①中y 关于x 的回归方程；(2)分别利用这两个回归模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）；附：样本()()1,1,2,,i t y i n =⋯的最小乘估计公式为()()()121ˆˆˆ,nii i nii tty y bay bt tt==--==--∑∑；参考数据：ln20.6931,ln5 1.6094≈≈.19．已知三棱柱111ABC A B C -中，M N ､分别是1CC 与1A B 的中点，1ABA △为等边三角形，111,2.CA CA A A A M BC ===(1)求证：MN ∥平面ABC ； (2)求证：BC ⊥平面11ABB A ． 20．已知两圆222212273:(2),:(2)22C x y C x y -+=++=，动圆M 在圆1C 内部且和圆1C 内切，和圆2C 外切.(1)求动圆圆心M 的轨迹方程C ；(2)过点()3,0A 的直线与曲线C 交于,P Q 两点.P 关于x 轴的对称点为R ，()2,0F ， ①证明,,Q F R 三点共线； ①求ARQ 面积的最大值.21．已知[)0,x ∈+∞，函数()sin x f x e x =+，函数()221g x ax x =++(1)若12a =，证明：()()sin f x x g x x ++； (2)()()f x g x 恒成立，求a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． （1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标． 23．已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．参考答案：1．A 【解析】 【分析】利用集合的并集运算求解. 【详解】因为集合1{03}63M xx N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭∣，∣， 所以M N ⋃={06}xx <≤∣， 故选：A 2．A 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念，复数的运算以及复数虚部的概念即可解出． 【详解】因为2i z =-，所以2i z =+，()()()i 2i 22i 62i z z +=-+=+，所以其虚部是2． 故选：A ． 3．B 【解析】 【分析】结合左视图的概念即可得出结果. 【详解】结合左视图的概念即可得B 选项符合. 故选：B. 4．C 【解析】 【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的模求解即可. 【详解】 解：由题意得：8a b +=∴22()64a b a b +=+=，即22264a b a b ++=⋅ ∴251064b ++=，解得7b =故选：C 5．C 【解析】 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ． 【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解. 6．B 【解析】 【分析】利用古典概型的概率求解. 【详解】解：点P 从点A 出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，则样本空间Ω={（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，记“3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B ”为事件C ，则C ={（下，下，右）}，由古典概型的概率公式可知()18P C =．故选：B ． 7．B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ----=====---，因此1121222n nn n n S a ---==-.故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 8．B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4DOx EOx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果. 【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B. 【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 9．B 【解析】 【分析】依题意可得553.2610m Md +-=⨯，设地球与牛郎星距离为1d ，地球与织女星距离为2d ，织女星与牛郎星距离为d ，求出1d ，2d ，再利用余弦定理计算可得； 【详解】解：由55lg3.26dM m =+-，所以553.2610m M d +-=⨯，由题意知： 2.19M =牛、0.77m =牛、0.5M =织、0.03m =织，设地球与牛郎星距离为1d ，地球与织女星距离为2d ，织女星与牛郎星距离为d ，则0.775 2.190.71651 3.2610 3.2610 3.26 5.19917d +-=⨯=⨯≈⨯≈，0.0350.50.90652 3.26103.2610 3.268.05426d +-=⨯=⨯≈⨯≈，如图由余弦定理2222212122cos341726217260.8257d d d d d =+-︒=+-⨯⨯⨯=，所以16d =，即牛郎星与织女星之间的距离约为16光年； 故选：B10．A 【解析】【分析】利用二倍角公式，即可化简求值. 【详解】解：由题意得：()cos2cos 2sin sin2αααα=-，即()()cos2cos 2sin 2sin cos ααααα=-，又,,cos 02παπα⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭，故()cos22sin 2sin ααα=- 即2212sin 4sin 2sin ααα-=- 即1sin 4α=.故cos α=tan α= 故选：A 11．C 【解析】 【分析】由线面平行的性质定理知121//PP AD ，12PPB ∴① 1AD B ，设出1,(0,1)PB x x =∈，则12PP ，设2P 到平面11AA B B 的距离为x ，表示出四面体 121PP AB 的体积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值． 【详解】因为线段12PP 平行于平面11A ADD ，12PP ⊂平面11BD A ，平面11A ADD 平面11ABD AD =121//PP AD ∴， 12PPB ∴① 1AD B ，112211PB PP P B AB AD BD ==， 设1,(0,1)PB x x =∈，则12PP ， 设2P 到平面11AA B B 的距离为 h ，则2111P B hA D BD =，所以h x =， 所以四面体121PP AB 的体积为2211111(2)2(2)(1)32333V x x x x x =⨯⨯-⨯⨯=-=--+， 当1x =时，四面体121PP AB 的体积取得最大值： 13． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查正方体中几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键，考查计算能力，属于中档题 12．D 【解析】 【分析】根据对数的运算性质以及指数函数和对数函数的单调性即可判断． 【详解】因为()132ln ln2ln ln ,2ln ln2,2ln23ea b c ππ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而函数()2ln f x x =在定义域()0,∞+上递增，10lnln 2123eπ<<<<，所以a b c <<．故选：D ． 13．520x y -+= 【解析】 【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【详解】由题，当1x =-时，3y =-，故点在曲线上． 求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=． 故答案为：520x y -+=． 14．18【解析】 【分析】根据双曲线的对称性以及12PQ F F =可知，四边形12PFQF 为矩形，再根据双曲线的定义以及勾股定理求得12PF PF ，即可得到四边形12PFQF 的面积． 【详解】由双曲线的对称性以及12PQ F F =可知，四边形12PFQF 为矩形，所以 1222212284100PF PF a PF PF c ⎧-==⎪⎨+==⎪⎩，解得1218PF PF =，所以四边形12PFQF 的面积为1218PF PF =．故答案为：18． 15．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由函数()f x 在3ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，得到3ππππ,,4422ωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，结合直线2y =-与函数()f x 的图象在[]2π,0-上有且仅有一个交点，列出方程组，即可求解. 【详解】令()ππ2π2π22k x k k Z ω-+≤≤+∈，可得()π2ππ2π22k k x k Z ωωωω-+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为()π2ππ2π,2ω2k k k Z ωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， 因为函数()f x 在3ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以3ππππ,,4422ωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可得π3π24ππ42ωω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 因为0>ω，解得203ω<≤， 又因为直线2y =-与函数()f x 的图象在[]2π,0-上有且仅有一个交点， 所以12π2π452π2π4ωω⎧⨯≤⎪⎪⎨⎪⨯>⎪⎩，解得1544ω≤<，综上可得，实数ω的取值范围是12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16【解析】 【分析】利用基本不等式，即可求解. 【详解】 解：()()()()22222233251422222228x y x y xy x y xy x y x y +⎛⎫=++=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即2x y +≤，(当且仅当2x y =，即x y ==)17．选择见解析；（1）21n a n =-；（2）113n nn T +=-． 【解析】 【分析】（1）由636S =，得到12512a d +=，分别选择①①①，列出方程组求得1,a d 的值，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得2133-=n n n a n ，利用乘公比错位相减法，即可求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由636S =，可得1656362⨯+=a d ，即12512a d +=， 选①：由35a =，可得11251225a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 的通项公式为()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-． 选①：由24621a a a ++=，可得4321a =，即47a =，所以11251237a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-．选①：由749=S ，因为636S =，可得77613a S S =-=，所以112512613a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-．（2）由（1）可得2133-=n n n a n ，所以23135213333-=+++⋅⋅⋅+n n n T ，所以234113521333313+-+++⋅⋅⋅+=n n T n ，两式相减得2341222221333233133+-+++⋅⋅⋅+-=+n n n n T23411111112123333333+-⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-- ⎪⎝⎭n n n 111111212223321333313++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=⨯--=--n n n n n 所以113n nn T +=-． 【点睛】错位相减法求解数列的前n 项和的分法：（1）适用条件：若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，求解数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（2）注意事项：①在写出n S 和n qS 的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出n n S qS -； ①作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号； ①作差后，作差部分应用为1n -的等比数列求和. 18．(1)25l 32ˆn yx =- (2)模型①的年利润增量的预测值为47.50（万元），模型①的年利润增量的预测值为42.89（万元） 【解析】 【分析】（1）结合已知数据和公式求出ˆˆ,ab 这两个系数即可得回归方程； （2）把20x 代入模型①、①的回归方程，算出ˆy即可． (1)由题意，知10101122.00,230i i i i t y ====∑∑，可得 2.20,23t y ==，又由()()()10101110102221110569.0010 2.2023ˆ2550.9210 2.20 2.2010ii i i i i iii i tty y t y t ybtttt ====---⋅-⨯⨯====-⨯⨯--∑∑∑∑，则23252ˆ.2032ˆay bt =-=-⨯=- 所以，模型①中y 关于x 的回归方程25l 32ˆn yx =-. (2) 当20x 时，模型①的年利润增量的预测值为 2.5020 2.5047.5ˆ0y =⨯-=（万元），当20x时，模型①的年利润增量的预测值为()()ˆ25ln2032252ln2ln5322520.6931 1.60943242.89(y=⨯-=⨯+-≈⨯⨯+-=万元) 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）取1BB 中点P ，连接,MP NP ，由线面平行的判定定理易证MP //平面ABC ，//NP 平面ABC ，再根据面面平行的判定定理可得平面//PMN 平面ABC ，从而//MN 平面ABC ；（2）不妨设1BC =，由平面知识容易算出111CA CA C A ==可证AB BC ⊥，1A B BC ⊥，从而由线面垂直的判定定理证出BC ⊥平面11ABB A ． (1)如图所示：取1BB 中点P ，连接,MP NP ，则//MP BC ，因为BC ⊂平面ABC ，MP ⊄平面ABC ，所以MP //平面ABC ，因为N P ､分别11,A B BB 的中点，所以11PN A B //，又11//A B AB ，所以//PN AB ，因为AB平面,ABC PN ⊄平面ABC ，故//NP 平面ABC ，因为,NP MP P NP ⋂=⊂平面,PMN MP ⊂平面PMN ，于是平面//PMN 平面ABC ， 又MN ⊂平面,PMN 所以//MN 平面ABC . (2)不妨设1BC =，则112A A A M ==.依题意111CA CA C A ==，故1A M 为等腰11ACC △底边上的中线，则11A M CC ⊥.于是11AC AC ==因为222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，同理22211A B BC A C +=，则1A B BC ⊥，又1,AB A B B AB ⋂=⊂平面11,ABA A B ⊂平面1ABA ，所以BC ⊥平面11ABB A . 20．(1)22162x y +=(2)①证明见解析；【解析】 【分析】（1）根据圆与圆的位置关系可得12124MC MC C C +=>=，由椭圆的定义可知M 的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆，即可求出M 的轨迹方程C ；（2）①设()()1122,,,P x y Q x y ，则()11,R x y -，设():3PQ y k x =-，联立曲线C 的方程求出1212,x x x x +，再根据()()11222,,2,FR x y FQ x y =--=-以及向量平行的坐标表示证得()()12212+20x y x y --=，即可证出,,Q F R 三点共线；①由,,Q F R 三点共线可知ARQ 面积()2126112231k S AF y y k =⨯⨯--=⨯+，再根据基本不等式即可解出． (1)由题意可知，圆1C 的圆心为()2,0； 圆2C 的圆心为()2,0-设圆M 的半径为R，则12124MC MC R R C C ⎫⎫+=+==⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以M 的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆， 不妨设椭圆的标准方程为2222:1(0)x y a b a b+=>>，且椭圆焦距为2c，由椭圆定义可知，224a c ==，所以2222,2a c b a c ===-=， 故动圆圆心M 的轨迹方程C 为22162x y +=. (2)（2）①设()()1122,,,P x y Q x y ，则()11,R x y -，又()2,0F ，则()()11222,,2,FR x y FQ x y =--=-，设():3PQ y k x =-， 由()221623x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得，()222231182760k x k x k +-+-=，所以112222221827613,13x x x k x k k k -+++==，224360k k ∆=-<<>⇒ 所以()()()()()()122112212+22323x y x y k x x x x --=--+--⎡⎤⎣⎦=()12122512k x x x x -++⎡⎤⎣⎦=222227618212501313k k k k k ⎛⎫-⋅+-⨯= ⎪++⎝⎭．故有//,,,FR FQ Q F R ∴三点共线.①,,Q F R 三点共线.ARQ ∴面积()212111122S AF y y y y =⨯⨯--=⨯⨯+()()2111332k x k x =⨯⨯-+-261312313k k k k =⨯=≤=++当且仅当13k k =，即k =k << ARQ ∴21．(1)证明见解析 (2)1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）设()()20112xG x e x x x =---，利用导数说明其单调性，即可得证；（2）设()()()()2sin 210x h x f x g x x e ax x x =-=+---，则min ()0h x ，且()00h =，求出函数的一阶导函数、二阶导函数与三阶导函数，由三阶导函数的正负说明二阶导函数的单调性，再对a 分类讨论，结合函数的单调性即可得解； (1)证明：当12a =时，设()()20112xG x e x x x =---， 所以()1xG x e x '=--，则()10x G x e '=-'，故()G x '在[)0,∞+上单调递增，故当0x 时，()()00G x G ''=，故()G x 在[)0,∞+上单调递增， 故当0x 时，()()00G x G =，故当0x 时，()1f x x +恒成立. (2)解：设()()()()2sin 210x h x f x g x x e ax x x =-=+---，则min ()0h x ，且()00h =，则()()22cos 0xh x e ax x x =--+'，且()()()00,2sin ,012x h h x e a x h a ''''='=--=-，()cos 0x h x e x '''=-，则()h x ''在[)0,∞+上单调递增，当12a时，()0120h a =-''，由于()h x ''在[)0,∞+上单调递增， 则当0x 时，()()00h x h ''''，则()h x '在[)0,∞+上单调递增，故()()00h x h ''=，则()h x 在[)0,∞+上单调递增， 故()()00h x h =，符合题意， 当12a >时，()0120h a =-'<'， 利用（1）中已证结论可得由于()h x ''在[)0,∞+上单调递增，()()()12122sin 12112210a h a e a a a a ++=--+'++--'>，故必然存在()00,12x a ∈+，使得()00,x x ∈时，()00h ''<， 则()h x '在()00,x 上单调递减，故当()00,x x ∈时，()()00h x h ''<=， 则()h x 在()00,x 上单调递减，则当()00,x x ∈时，()()00h x h <=， 综上，a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．（1）曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）11(,)44.【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1t t +=消去参数t ，求出曲线1C 的普通方程，即可得出结论；（2）当4k =时，0,0x y ≥≥，曲线1C 的参数方程化为 22cos (sin tt t==为参数），两式相加消去参数t ，得1C 普通方程，由cos ,sin x y ρθρθ==，将曲线 2C 化为直角坐标方程，联立12,C C 方程，即可求解. 【详解】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x tt y t =⎧⎨=⎩为参数），两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x tt y t ⎧=⎨=⎩为参数）， 所以0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin tt t 为参数）， 两式相加得曲线1C1=，1=1,01,01y x x y =-≤≤≤≤， 曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=， 曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=， 联立12,C C方程141630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -=12=或136（舍去）， 11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为 11(,)44.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关键，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题. 23．（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象； （2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出． 【详解】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：试卷第16页，共16页（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-． 所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．。

2019年四川省成都七中高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）i为虚数单位，则（1﹣i）（3+i）＝（）A．2+3i B．2﹣2i C．2+2i D．4﹣2i2．（5分）设集合A＝{x|2x＞}，B＝{x|≤0}，则A∩B＝（）A．（﹣1，2）B．[﹣1，2）C．（﹣1，2]D．[﹣1，2]3．（5分）函数y＝ln（1+x2）的图象大致是（）A．B．C．D．4．（5分）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直观图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图的算法程序，若输出的结果为120，则横线处应填入（）A．k＜6B．k≤6C．k≥6D．k＞66．（5分）设实数x，y满足，则的最大值是（）A．﹣1B．C．1D．7．（5分）“1og2a＜1og2b”是“＜”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知向量＝（4，﹣7），＝（3，﹣4），则在方向上的投影为（）A．2B．﹣2C．﹣2D．29．（5分）设抛物线C：y2＝12x的焦点为F，准线为l，点M在C上，点N在l上，且＝（λ＞0），若|MF|＝4，则λ的值为（）A．B．2C．D．310．（5分）设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，已知（b+c）sin（A+C）＝（a+c）（sin A﹣sin C），则∠A的大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°11．（5分）已知正三棱锥的高为6，内切球（与四个面都相切）表面积为16π，则其底面边长为（）A．18B．12C．6D．412．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0）的最小正周期为π，函数g（x）＝f（x+）+f（x），若对∀x∈R，都有g（x）≤|g（）|，则φ的最小正值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年四川省成都七中高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数z＝a+bi（a，b∈R）的虚部记作Im（z）＝b，则Im（）＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．22．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3B．﹣6C．10D．﹣153．（5分）关于函数f（x）＝|tan x|的性质，下列叙述不正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）是偶函数C．f（x）的图象关于直线x＝（k∈Z）对称D．f（x）在每一个区间（kπ，kπ+）（k∈Z）内单调递增4．（5分）已知a＞0，b＞0，则“a≤1且b≤1”是“a+b≤2且ab≤1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．36+12πB．36+16πC．40+12πD．40+16π6．（5分）在约束条件：下，目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则ab的最大值等于（）A．B．C．D．7．（5分）已知正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，且a2a4＝1，S3＝7，则S5＝（）A．B．C．D．8．（5分）双曲线﹣＝1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）相切，则r＝（）A．B．2C．3D．69．（5分）已知函数f（x）对∀x∈R都有f（x）＝f（4﹣x），且其导函数f′（x）满足当x≠2时，（x﹣2）f′（x）＞0，则当2＜a＜4时，有（）A．f（2a）＜f（2）＜f（log2a）B．f（2）＜f（2a）＜f（log2a）C．f（log2a）＜f（2a）＜f（2）D．f（2）＜f（log2a）＜f（2a）10．（5分）对圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上任意一点P（x，y），若点P到直线l1：3x﹣4y﹣9＝0和l2：3x ﹣4y+a＝0的距离和都与x，y无关，则a的取值区间为（）A．[6，+∞）B．[﹣4，6]C．（﹣4，6）D．（﹣∞，﹣4]11．（5分）若，，满足，|，则的最大值为（）A．10B．12C．D．12．（5分）点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且P A1∥面AMN，则P A1的长度范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上）13．（5分）命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为．14．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为．15．（5分）设O、F分别是抛物线y2＝2x的顶点和焦点，M是抛物线上的动点，则的最大值为．16．（5分）若实数a，b∈（0，1）且，则的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c＝3，且sin（C﹣）•cos C＝．（1）求角C的大小；（2）若向量＝（1，sin A）与＝（2，sin B）共线，求a、b的值．18．（12分）学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：古文迷非古文迷合计男生262450女生302050合计5644100（Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.500.400.250.050.0250.010k00.4550.708 1.321 3.841 5.024 6.63519．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中点．（1）求证：CD∥平面A1EB；（2）求证：AB1⊥平面A1EB；（3）若AB＝2，求三棱锥A1﹣B1BE的体积．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．21．（12分）已知函数f（x）＝tx+lnx（t∈R）．（1）当t＝﹣1时，证明：f（x）≤﹣1；（2）若对于定义域内任意x，f（x）≤x•e x﹣1恒成立，求t的范围？请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.（本小题满分10分）.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系下，知圆O：ρ＝cosθ+sinθ和直线．（1）求圆O与直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|2x+3|+|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤5的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数z＝a+bi（a，b∈R）的虚部记作Im（z）＝b，则Im（）＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【答案】B2．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3B．﹣6C．10D．﹣15【答案】C3．（5分）关于函数f（x）＝|tan x|的性质，下列叙述不正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）是偶函数C．f（x）的图象关于直线x＝（k∈Z）对称D．f（x）在每一个区间（kπ，kπ+）（k∈Z）内单调递增【答案】A4．（5分）已知a＞0，b＞0，则“a≤1且b≤1”是“a+b≤2且ab≤1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．36+12πB．36+16πC．40+12πD．40+16π【答案】C6．（5分）在约束条件：下，目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则ab的最大值等于（）A．B．C．D．【答案】D7．（5分）已知正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，且a2a4＝1，S3＝7，则S5＝（）A．B．C．D．【答案】B8．（5分）双曲线﹣＝1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）相切，则r＝（）A．B．2C．3D．6【答案】A9．（5分）已知函数f（x）对∀x∈R都有f（x）＝f（4﹣x），且其导函数f′（x）满足当x≠2时，（x﹣2）f′（x）＞0，则当2＜a＜4时，有（）A．f（2a）＜f（2）＜f（log2a）B．f（2）＜f（2a）＜f（log2a）C．f（log2a）＜f（2a）＜f（2）D．f（2）＜f（log2a）＜f（2a）【答案】D10．（5分）对圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上任意一点P（x，y），若点P到直线l1：3x﹣4y﹣9＝0和l2：3x ﹣4y+a＝0的距离和都与x，y无关，则a的取值区间为（）A．[6，+∞）B．[﹣4，6]C．（﹣4，6）D．（﹣∞，﹣4]【答案】A11．（5分）若，，满足，|，则的最大值为（）A．10B．12C．D．【答案】B12．（5分）点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且P A1∥面AMN，则P A1的长度范围为（）A．B．C．D．【答案】B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上）13．（5分）命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为∃x0∈N，x02≤1．14．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为360．15．（5分）设O、F分别是抛物线y2＝2x的顶点和焦点，M是抛物线上的动点，则的最大值为．．16．（5分）若实数a，b∈（0，1）且，则的最小值为．。

2020届四川省成都市第七中学高三上学期一诊模拟数学（文）试题一、单选题1．复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作Im()z b =，则3Im 1i i +⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简31ii++，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案． 【详解】 解：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 又复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =， 3()11iIm i+∴=-+． 故选：A ． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义，属于基础题． 2．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．3B ．6-C ．10D ．15-【答案】C【解析】程序框图的作用是计算22221234-+-+，故可得正确结果. 【详解】根据程序框图可知2222123410S =-+-+=，故选C. 【点睛】本题考查算法中的选择结构和循环结构，属于容易题.3．关于函数()tan f x x =的性质，下列叙述不正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 是偶函数C ．()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称 D ．()f x 在每一个区间(,)()2k k k Z πππ+∈内单调递增【答案】A【解析】试题分析：因为1()tan()()22tan f x x f x xππ+=+=≠，所以A 错；()tan()tan ()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数，B 正确；由()tan f x x=的图象可知，C 、D 均正确；故选A. 【考点】正切函数的图象与性质.4．已知0,0a b >>，则“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：当01a <≤且01b <≤时，由不等式性质可得2a b +≤且1ab ≤；当31,22a b ==，满足2a b +≤且1ab ≤，但不满足1a ≤且1b ≤，所以“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的充分不必要条件，故选A. 【考点】1.不等式性质；2.充要条件.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3612π+B ．3616π+C ．4012π+D ．4016π+【答案】C【解析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算． 【详解】解：由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体， 作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，∴几何体的表面积21122442424224222124022S πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=+．故选：C ．【点睛】本题考查了几何体的常见几何体的三视图，几何体表面积计算，属于中档题．6．在约束条件：1210x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩下，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则ab 的最大值等于（ ） A ．12B ．38C ．14D ．18【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a ，b 的关系，利用基本不等式求ab 的最大值． 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由(0,0)z ax by a b =+>>，则a z y x b b =-+，平移直线a zy x b b=-+，由图象可知当直线a zy x b b=-+经过点(1,2)A 时直线的截距最大，此时z 最大为1． 代入目标函数z ax by =+得21a b +=． 则1222a b ab =+， 则18ab当且仅当122a b ==时取等号，ab ∴的最大值等于18，故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及基本不等式是解决此类问题的基本方法．7．设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（ ） A ．152B ．314C ．334D ．172【答案】B【解析】由等比数列的性质易得a 3＝1，进而由求和公式可得q 12=，再代入求和公式计算可得． 【详解】由题意可得a 2a 4＝a 32＝1，∴a 3＝1， 设{a n }的公比为q ，则q ＞0， ∴S 3211q q =++1＝7，解得q 12=或q 13=-（舍去），∴a 121q ==4，∴S 551413121412⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-故选B. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题． 8．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．6【答案】A【解析】由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r ，即r ＝.答案：A 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.9．定义域为R 的函数()f x 对任意x 都有()()4f x f x =-，且其导函数()f x '满足()()20x f x '->，则当24a <<时，有（ ）A ．()()()222log a f f f a <<B ．()()()222log af f f a << C ．()()()22log 2a f f a f << D ．()()()2log 22af a f f <<【答案】C【解析】试题分析：∵函数()f x 对任意R x ∈都有()()4f x f x =-，∴函数()f x 对任意R x ∈都有()()x f x f -=+22，∴函数()f x 的对称轴为2=x ，∵导函数()x f '满足()()20x f x '->，∴函数()f x 在()+∞,2上单调递增，()2,∞-上单调递减，∵42<<a ，∴1624<<a，∵函数()f x 的对称轴为2=x ，∴()()a f a f 22log 4log -=，∵42<<a ，∴2log 12<<a ∴3log 422<-<a ∴aa 2log 422<-<，∴()()()a f a f f 2log 422<-<，∴()()()22log 2af f a f <<，故选C.【考点】（1）函数的图象；（2）利用导数研究函数的单调性.10．对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，若点P 到直线1349:0l x y --=和2:340l x y a -+=的距离之和都与x ，y 无关，则a 的取值区间为（ ） A ．[6,)+∞ B ．[4,6]-C ．(4,6)-D ．(,4]-∞-【答案】A【解析】由点到线的距离公式表示出点到直线1l 与2l 的距离之和，取值与x ，y 无关，即这个距离之和与P 无关，可知直线2l 平移时，P 点与直线1l ，2l 的距离之和均为1l ，2l 的距离，即此时与x ，y 的值无关，即圆夹在两直线之间，临界条件为直线2l 恰与圆相切，即可求出a 的取值范围. 【详解】解：点P 到直线1349:0l x y --=与直线2:340l x y a -+=距离之和d =取值与x ，y 无关，∴这个距离之和与P 无关，如图所示：可知直线2l 平移时，P 点与直线1l ，2l 的距离之和均为1l ，2l 的距离，即此时与x ，y 的值无关， 当直线2l 1=，化简得|1|5a -=，解得6a =或4a =-（舍去）， 6a ∴故选：A ．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题11．若a ，b ，c 满足，||||2||2a b c ===，则()()a b c b -⋅-的最大值为（ ） A ．10 B ．12C ．53D ．62【答案】B【解析】设OA a =，OB b =，OC c =，表示出a b -，-c b 利用向量的数量积的定义求出最值. 【详解】解：设OA a =，OB b =，OC c =，则a b BA -=，c b BC -=()()cos a bc b BA BC BA BC ABC ∴--==⋅∠||||2||2a b c ===4BA ∴≤，3BC ≤当且仅当BA ，BC 同向时()()a b c b --取最大值12故()()max12a bc b --=故选：B 【点睛】本题考查向量的数量积的定义，属于中档题.12．点E ，F 分别是棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1PA ∥面AEF ，则1PA 的长度范围为（ ）A ．2⎡⎢⎣⎦B ．4⎡⎢⎣⎦C ．342⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接MN ，易证平面1//A MN 平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时1A P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得． 【详解】 解：如下图所示：分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接MN ，连接1BC ，M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，1//MN BC ∴，1//EF BC ，//MN EF ∴，又MN ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， //MN ∴平面AEF ；1//AA NE ，1AA NE =，∴四边形1AENA 为平行四边形， 1//A N AE ∴，又1A N ⊂/平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，1//A N ∴平面AEF ，又1A NMN N =，∴平面1//A MN 平面AEF ，P 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ，则P 必在线段MN 上，在Rt △11A B M 中，1A M ===同理，在Rt △11A B N 中，求得1A N =∴△1A MN 为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时1A P MN ⊥，此时1A P 最短，P 位于M 、N 处时1A P 最长，14AO ==，11A M A N ==，所以线段1A P 长度的取值范围是32[4，5]2． 故选：B ．【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P 点位置．二、填空题13．命题“2,1x N x ∀∈>”的否定为__________．” 【答案】2,1x N x ∃∈≤【解析】全称命题“,()x M p x ∀∈”的否定是存在性命题“,()x M p x ∃∈⌝”，所以“2,1x N x ∀∈>”的否定是“2,1x N x ∃∈≤”． 14．在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为1600, 则中间一组（即第五组）的频数为 ▲ . 【答案】360 【解析】略15．设、分别是抛物线的顶点和焦点，是抛物线上的动点，则的最大值为__________. 【答案】【解析】试题分析：设点的坐标为，由抛物线的定义可知，，则，令，则,,所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为.【考点】1.抛物线的定义及几何性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、基本不等式，属中档题；求圆锥曲线的最值问题，可利用定义和圆锥曲线的几何性质，利用其几何意义求之，也可根据已知条件把所求的问题用一个或两个未知数表示，即求出其目标函数，利用函数的性质、基本不等式或线性规划知识求之.16．已知，，则的最小值为．【答案】【解析】试题分析：因为，所以，则（当且仅当，即时，取等号）；故填．【方法点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值问题，属于难题；解决本题的关键是消元、裂项，难点是合理配凑、恒等变形，目的是出现基本不等式的使用条件（正值、定积），再利用基本不等式进行求解，但要注意验证等号成立的条件.【考点】基本不等式．三、解答题17．设的内角、、所对的边分别为、、,已知,且.（1）求角的大小;（2）若向量与共线, 求的值.【答案】(1);(2)。

2025届四川省成都第七中学高考数学一模试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ）A ．41n n S a =-B ．21n n S a =+C ．21n n S a =-D ．43n n S a =-3．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}1A x x =>，{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，其中焦点2F 与抛物线22y px =的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点2F ，则椭圆的离心率为（ ）A B 1 C ．3- D 15．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭6． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（ ）A ．165B ．325C ．10D ．185 7．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =，E 为BD 的中点，则CE =（ ）. A ．7388BA BC - B ．3788BA BC - C ．3788BA BC + D ．7388BA BC + 8．已知21,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则21log 3f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A ．2 B ．23 C ．23- D ．39．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A ．221111a b <++B ．33a b >C ．2a ab <D ．()()22ln 1ln 1a b +>+ 10．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ）A ．23-B ．23C ．3D ．-311．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）12．若双曲线222:14x y C m -=的焦距为5C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C 19D ．19二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省成都市第七中学2020届高三第一学期一诊模拟试题 数学（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作Im()z b =，则3Im 1i i +⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ） A. -1 B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简31ii++，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案． 【详解】解：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 又复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =， 3()11iIm i+∴=-+． 故选：A ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义，属于基础题． 2.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A. 3B. 6-C. 10D. 15-【答案】C 【解析】 【分析】程序框图的作用是计算22221234-+-+，故可得正确结果. 【详解】根据程序框图可知2222123410S =-+-+=，故选C. 【点睛】本题考查算法中的选择结构和循环结构，属于容易题. 3.关于函数()tan f x x =的性质，下列叙述不正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()f x 是偶函数C. ()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称 D. ()f x 在每一个区间(,)()2k k k Z πππ+∈内单调递增【答案】A 【解析】试题分析：因为1()tan()()22tan f x x f x xππ+=+=≠，所以A 错； ()tan()tan ()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数，B 正确；由()tan f x x =的图象可知，C 、D 均正确；故选A.考点：正切函数的图象与性质.4.已知0,0a b >>，则“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：当01a <≤且01b <≤时，由不等式性质可得2a b +≤且1ab ≤；当31,22a b ==，满足2a b +≤且1ab ≤，但不满足1a ≤且1b ≤，所以“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的充分不必要条件，故选A.考点：1.不等式性质；2.充要条件.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 3612π+B. 3616π+C. 4012π+D. 4016π+【答案】C 【解析】 【分析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算． 【详解】解：由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体， 作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，∴几何体的表面积21122442424224222124022S πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=+．故选：C ．【点睛】本题考查了几何体的常见几何体的三视图，几何体表面积计算，属于中档题．6.在约束条件：1210x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩下，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则ab 的最大值等于（ ） A.12B. 38C.14D.18【答案】D 【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a ，b 的关系，利用基本不等式求ab 的最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）， 由(0,0)z ax by a b =+>>，则a z y x b b =-+，平移直线a z y x b b =-+，由图象可知当直线a zy x b b=-+经过点(1,2)A 时直线的截距最大，此时z 最大为1． 代入目标函数z ax by =+得21a b +=． 则1222a b ab =+， 则18ab当且仅当122a b ==时取等号，ab ∴的最大值等于18，故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及基本不等式是解决此类问题的基本方法． 7.设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（ ） A.152B.314C.334D.172【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质易得a 3＝1，进而由求和公式可得q 12=，再代入求和公式计算可得． 【详解】由题意可得a 2a 4＝a 32＝1，∴a 3＝1， 设{a n }的公比为q ，则q ＞0，∴S 3211q q =++1＝7，解得q 12=或q 13=-（舍去）， ∴a 121q ==4，∴S 551413121412⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-故选B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．8.双曲线22163-=x y 的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )3 B. 2 C. 3 D. 6【答案】A 【解析】 【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r ，即r 223023212±⨯-=⎛⎫±+ ⎪⎝⎭答案：A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.9.定义域为R 的函数()f x 对任意x 都有()()4f x f x =-，且其导函数()f x '满足()()20x f x -'>，则当24a <<时，有（ ） A. ()()()222log af f f a <<B. ()()()222log af f f a <<C. ()()()22log 2af f a f <<D. ()()()2log 22af a f f <<【答案】C 【解析】试题分析：∵函数()f x 对任意都有()()4f x f x =-，∴函数()f x 对任意都有，∴函数()f x 的对称轴为，∵导函数满足()()20x f x -'>，∴函数()f x 在上单调递增，上单调递减，∵，∴，∵函数()f x 的对称轴为，∴，∵，∴∴∴，∴，∴()()()22log 2af f a f <<，故选C.考点：（1）函数的图象；（2）利用导数研究函数的单调性.10.对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，若点P 到直线1349:0l x y --=和2:340l x y a -+=的距离之和都与x ，y 无关，则a 的取值区间为（ ）A. [6,)+∞B. [4,6]-C. (4,6)-D. (,4]-∞-【答案】A 【解析】 【分析】由点到线的距离公式表示出点到直线1l 与2l 的距离之和，取值与x ，y 无关，即这个距离之和与P 无关，可知直线2l 平移时，P 点与直线1l ，2l 的距离之和均为1l ，2l 的距离，即此时与x ，y 的值无关，即圆夹在两直线之间，临界条件为直线2l 恰与圆相切，即可求出a 的取值范围. 【详解】解：点P 到直线1349:0l x y --=与直线2:340l x y a -+=距离之和22223434d +=+ 取值与x ，y 无关，∴这个距离之和与P 无关，如图所示：可知直线2l 平移时，P 点与直线1l ，2l 的距离之和均为1l ，2l 的距离，即此时与x ，y 的值无关，当直线2l 22134=+，化简得|1|5a -=，解得6a =或4a =-（舍去），6a ∴故选：A ．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题 11.若a ，b ，c 满足，||||2||2a b c ===，则()()a b c b -⋅-的最大值为（ ） A. 10 B. 12C. 53D. 62【答案】B 【解析】 【分析】设OA a =，OB b =，OC c =，表示出a b -，-c b 利用向量的数量积的定义求出最值. 【详解】解：设OA a =，OB b =，OC c =，则a b BA -=，c b BC -=()()cos a bc b BA BC BA BC ABC ∴--==⋅∠||||2||2a b c ===4BA ∴≤，3BC ≤当且仅当BA ，BC 同向时()()a b c b --取最大值12故()()max12a bc b --=故选：B【点睛】本题考查向量的数量积的定义，属于中档题.12.点E ，F 分别是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B（包括边界）内运动，且1PA ∥面AEF ，则1PA 的长度范围为（ ）A. 52⎡⎢⎣⎦B. 325,42⎡⎢⎣⎦C. 32342⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接MN ，易证平面1//A MN 平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时1A P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【详解】解：如下图所示：分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接MN ，连接1BC ，M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，1//MN BC ∴，1//EF BC ，//MN EF ∴，又MN ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， //MN ∴平面AEF ；1//AA NE ，1AA NE =，∴四边形1AENA 为平行四边形， 1//A N AE ∴，又1A N ⊂/平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，1//A N ∴平面AEF ，又1A NMN N =，∴平面1//A MN 平面AEF ，P 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ，则P 必在线段MN 上，在Rt △11A B M 中，2221111151()2A M A B B M =++=，同理，在Rt △11A B N 中，求得152A N =， ∴△1A MN 为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时1A P MN ⊥，此时1A P 最短，P 位于M 、N 处时1A P 最长，2222115232()()244AO A M OM =-=-=， 115A M A N ==， 所以线段1A P 长度的取值范围是32[，5]． 故选：B ．【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P 点位置．第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上） 13.命题“2,1x N x ∀∈>”的否定为__________．” 【答案】2,1x N x ∃∈≤ 【解析】全称命题“,()x M p x ∀∈”的否定是存在性命题“,()x M p x ∃∈⌝”，所以“2,1x N x ∀∈>”的否定是“2,1x N x ∃∈≤”．14.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为1600,则中间一组（即第五组）的频数为 ▲ . 【答案】360 【解析】【详解】根据题意9个小长方形面积依次为0.02,0.02,0.022,0.023,0.024,0.023,0.022,0.02,0.02d d d d d d d +++++++因为9个小长方形面积和为1，所以0.82160.1811600(0.024)36016d d d +=∴=∴⨯+= 15.设O 、F 分别是抛物线22y x =的顶点和焦点，M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为__________. 【答案】233【解析】【详解】试题分析：设点M 的坐标为(,)M x y ，由抛物线的定义可知，12MF x =+，则222222122411111()2224x MOx yx x x xMFx x x x x -+++====++++++， 令14t x =-，则14t >-,14x t =+,若t>021123111399333216162MO t MF t t t t =+=+≤+=++++，当且仅当3t 4=时等号成立， 所以MO MF 的最大值为23.考点：1.抛物线的定义及几何性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、基本不等式，属中档题；求圆锥曲线的最值问题，可利用定义和圆锥曲线的几何性质，利用其几何意义求之，也可根据已知条件把所求的问题用一个或两个未知数表示，即求出其目标函数，利用函数的性质、基本不等式或线性规划知识求之. 16.已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211a b +--的最小值为 ．【答案】4243+ 【解析】试题分析：因为，所以，则（当且仅当，即时，取等号）；故填243+． 【方法点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值问题，属于难题；解决本题的关键是消元、裂项，难点是合理配凑、恒等变形，目的是出现基本不等式的使用条件（正值、定积），再利用基本不等式进行求解，但要注意验证等号成立的条件. 考点：基本不等式．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知3c =,且1sin cos 64C C π⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭. （1）求角C 的大小;（2）若向量()1,sin m A =与()2,sin n B =共线, 求,a b 的值. 【答案】(1)3π;(2)3,3a b == 【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换，sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可解得3C π=；（2）由m 与n 共线， 得sin 2sin 0B A -=，再由正弦定理，得2b a =，在根据余弦定理列出方程，即可求解,a b 的值.试题解析：（1）21313sin cos cos ,2cos 21222C C C C C -=∴-=, 即sin 21,0,2662C C C ππππ⎛⎫-=<<∴-= ⎪⎝⎭,解得3C π=. （2）m 与n 共线,sin 2sin 0B A ∴-=, 由正弦定理sin sin a bA B=,得2b a =,① 3c =,由余弦定理，得2292cos 3a b ab π=+-, ② 联立①②,3{3a b ==考点：正弦定理；余弦定理.18.学校为了解高二学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高二男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如下表： 古文迷 非古文迷 合计 男生 26 24 50 女生 30 20 50 合计 5644100参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++参考数据：()20P K k ≥ 0.500 0.400 0.250 0.050 0.025 0.0100k0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635（1）根据上表数据判断能否有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（2）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行理科学习时间的调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数； 【答案】（1）没有 （2）3人和2人 【解析】 【分析】（1）求出2K ，与临界值比较，即可得出结论；（2）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，即可得出结论；【详解】解：（1）由列联表得22100(26203024)0.64940.70856445050K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关. （2）调查50名女生按分层抽取5人，其中古文迷有305350⨯=人，非古文迷有205250⨯=人，即所抽取的5人中，古文迷和非古文迷的人数分别为3人和2人.【点睛】本题考查独立性检验知识的运用，分层抽样各层人数的计算，考查学生的计算能力，属于中档题． 19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点.（1）求证：CD ∥平面1A EB ； （2）求证：1AB ⊥平面1A EB ；（3）若2AB =，求三棱锥11A B BE -的体积. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （323【解析】 【分析】（1）设1AB 和1A B 的交点为O ，根据//EC OD ，且EC OD =，得到四边形ECOD 为平行四边形，故//EO CD ，//CD 平面1A BE ．（2）证明CD ⊥平面11A ABB ，可得EO ⊥平面11A ABB ，故有1EO AB ⊥，由正方形的两对角线的性质可得11AB A B ⊥，从而证得1AB ⊥平面1A BE ．（3）利用等体积法将11A B BE V -转化为求11B A BE V -可得.【详解】证明：（1）设1AB 和1A B 的交点为O ，连接EO ，连接OD .因为O 为1A B 的中点，D 为AB 的中点，所以1OD BB ∥且112OD BB =.又E 是1CC 中点， 所以1EC BB ∥，且112EC BB =，所以EC OD ∥且EC OD =.所以，四边形ECOD 为平行四边形.所以EO CD ∥.又CD ⊂/平面1A BE ，EO ⊂平面1A BE ，则CD ∥平面1A BE . （2）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB BC ⊥. 所以1BB ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥. 由已知得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥，所以CD ⊥平面11A ABB .由（1）可知EO CD ∥，所以EO ⊥平面11A ABB . 所以1EO AB ⊥.因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥. 又1EO A B O ⋂=，EO ⊂平面1A EB ，1A B ⊂平面1A EB ， 所以1AB ⊥平面1A BE .（3）解：由条件求得15BE A E==，122A B =16A BES =所以111111112362333A B BE B A BE A BE V V S B O --==⋅=⨯= 【点睛】本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，直线和平面平行的判定定理以及直线和平面垂直的判定定理的应用，等体积法的应用，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为()()122,0,2,0F F -,以椭圆短轴为直径的圆经过点()1,0M .(1)求椭圆C 的方程;(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,设点()3,2N ,直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ,问12k k +是否为定值?并证明你的结论.【答案】(1)2213x y +=；(2)定值为2.【解析】试题分析：（1）由题意得到2c =1b OM ==，所以3a =（2）联立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++. 试题解析： （1）依题意，2c =222a b -=.∵点()1,0M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴1b OM ==， ∴3a =∴椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1x =，6y =设6A ⎛ ⎝⎭，61,B ⎛ ⎝⎭，则12662233222k k +=+=为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1y k x =-.将()1y k x =-代入2213x y +=整理化简，得()2222316330k x k x k +-+-=.依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+. 又()111y k x =-，()221y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ()()()()()()122112232333y x y x x x --+--=-- ()()()()()1221121221321393k x x k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++ ()()()121212121212224693x x k x x x x x x x x ⎡⎤-++-++⎣⎦=-++()22122222223361222463131633933131k k x x k k k k k k k ⎡⎤--++⨯-⨯+⎢⎥++⎣⎦=--⨯+++ ()()2212212621k k +==+. 综上得12k k +为常数2.点睛：圆锥曲线大题熟悉解题套路，本题先求出椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，求得韦达定理，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++，为定值． 21.已知函数()ln ()f x tx x t =+∈R .（1）当1t =-时，证明：()1f x ≤-；（2）若对于定义域内任意x ，()1xf x x e ≤⋅-恒成立，求t 的范围 【答案】（1）见解析 （2）(,1]-∞ 【解析】 【分析】（1）构造函数()ln 1g x x x =-+利用导数求出函数的单调性，得到函数的最大值，即可得证； （2）参变分离得到ln 1xx t e x +≤-在(0,)+∞恒成立，构造函数ln 1()xx x e xϕ+=-求出函数的最小值，即可得到参数t 的取值范围.【详解】（1）证明：即是证明ln 1x x -≤-，设()ln 1g x x x =-+，1()xg x x-'=当01x <<，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >，()0g x '<，()g x 单调递减；所以()g x 在1x =处取到最大值，即()(1)0g x g ≤=，所以ln 1x x -≤-得证 （2）原式子恒成立即ln 1xx t e x+≤-在(0,)+∞恒成立 设ln 1()xx x e xϕ+=-， 22ln ()x x e x x x ϕ+'=，设2()ln xQ x x e x =+， ()21()20x Q x x x e x '=++>，所以()Q x 单调递增，且102Q ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(1)0Q > 所以()Q x 有唯一零点0x ，而且0200ln 0x x ex ⋅+=，所以0200ln x x e x ⋅=-两边同时取对数得()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+-易证明函数ln y x x =+是增函数，所以得00ln x x =-，所以01x e x =所以由()x ϕ在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()0000000ln 111()1xx x x x e x x x ϕϕ+-+≥=-=-= 于是t 的取值范围是(,1]-∞【点睛】本题考查利用导数证明不等式恒成立问题，属于中档题.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.在极坐标系下，已知圆:cos sin O ρθθ=+和直线()2:sin 0,0242l πρθρθπ⎛⎫-=≥≤≤ ⎪⎝⎭ （1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标.【答案】（1） 圆O 的直角坐标方程为x 2+y 2-x-y=0,直线l 的直角坐标方程为x-y+1=0 （2）【解析】试题分析：（1）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+ 将圆O 和直线l 极坐标方程化为直角坐标方程（2）先联立方程组解出直线l 与圆O 的公共点的直角坐标，再根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+化为极坐标试题解析：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2＝ρ cos θ＋ρ sin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0. 直线l ：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得，，解得即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)， 将(0，1)转化为极坐标为，即为所求．23.已知函数()2321f x x x =++-． （1）求不等式()5f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围．【答案】（1）73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）6m >或2m <- 【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f （x ）的最小值，得到关于m 的不等式，解出即可． 【详解】（1）原不等式为：23215x x ++-≤， 当32x ≤-时，原不等式可转化为425x --≤，即7342x -≤≤-； 当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<；当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324x ≤≤．所以原不等式的解集为73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．（2）由已知函数()342,2314,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4，所以24m ->，解得6m >或2m <-．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

〉 ) { } 成都七中 2021 届高中毕业班一诊模拟测试数学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分.第Ⅰ卷（选择题）1 至 3 页，第Ⅱ卷（非选择题）4 至 6 页，共 6页，满分 150 分，考试时间 120 分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净 后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5.考试结束后，只将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.1.已知集合 M = ⎰x y = (2x x 2 ⎛ 1 ⎫ 2 ⎬ ， N = x 1 < x < 1 ，则 M N =（ ） ⎭A . [0,1)B . (0,1)C . ( 1, 0]D . ( 1, 0)2.若 z = ( m + 1) ( m 2) + ( 2 m ) i ( m R ) 是纯虚数，则 m = （ ）A . 1 或 2B . 2C . 1D . 3 3．已知向量 a = (1, 2) ， b = ( x 2 + 1, x ) ，则“ x = 1 ”是“ a ∞ b ”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4.函数 f (x ) = (3x + 3 x )ln x 的图像大致为（ ）⎣ ⎫5. 执行如图所示的程序框图，正确的是（ ）A . 若输入 a , b , c 的值依次为1, 2, 3 ，则输出的值为5B . 若输入 a , b , c 的值依次为1, 2, 3 ，则输出的值为7C . 若输入 a , b , c 的值依次为 2, 3, 4 ，则输出的值为8D . 若输入 a , b , c 的值依次为 2, 3, 4 ，则输出的值为106.函数 f (x ) = 2 s in (⎤x + ∏ ) ⎧⎤ > 0, ∏ ⎨ < ⎪ 的部分图像如图所示. 若对任意 x R ，f (x ) = 2 ⎭f (2t x ) 恒成立，则实数t 的最大负值为（ ） A . 5 12 B . 3 C . 4 D . 67．为了研究某班学生的脚长 x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y ˆ = b ˆx + a ˆ ．已知 10 10 x i= 225 ， y i = 1600 ， b = 4 ．该班某学生的脚长为 24 ，据此估计其身高为（ ） i =1 A . 160 i =1B . 163C . 166D . 1708.历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林⊕ 梅森就是研究质数的⎦ 2 2数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“ 2 p1（ p 是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了 51 个梅森数，前 4 个梅森数分别是 22 1 = 3, 23 1 = 7, 25 1 = 31, 27 1 = 127,3, 7 是一位数，31是两位数，127 是三位数.已知第 10 个梅森数为 289 1，则第 10 个梅森数的位数为（ ）（ 参考数据： lg 2 H 0.301）A . 25B . 29C . 27D . 289．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治，地理，化学，生物4 门学科中任选 2 门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地理至少有一门被选中 的概率是（ ）1 A . 61 B .2 2 C .3 5 D . 610.设 a > 0, b > 0, a + b = 1 ，则下列选项错．误．的是（ ）A . a 2 + b 2 的最小值为 1 2( a + 1) (b + 1) B . 4 + 1 的取值范围是[9, + ) a b 1 C .的最小值为 2 2 ab D . 若 c > 1 ，则 c + c 1 的最小值为 311.已知双曲线x y= 1(a > 0, b > 0) 的右顶点、右焦点分别是 A , F ，焦距是 2c ，过点 F 作 x 轴的垂线 a 2 b 2 与双曲线相交于 B , C 两点,过点 B 作直线 AC 的垂线交 x 轴于点 D .若点 D 到直线BC 的距离不大于 a + c ，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A .( 2，+ ) B . ⎩ 2，+ ) C . (1, 2 ) D . (1, 2 ⎤12．已知函数 f ( x ) = x 3 4 x ，过点 A ( 2, 0) 的直线 l 与 f ( x ) 的图象有三个不同的交点，则直线 l 斜率的取值范围为（）A . ( 1, 8)B . ( 1, 8) (8, + )C . ( 2, 8) (8, + )D . ( 1, + )。