第13讲鸡兔同笼问题与假设法

鸡兔问题一、鸡兔同笼的基本问题是：已知鸡、兔总头数和总脚数，求鸡、兔各有多少只。

1、解决鸡兔同笼问题的方法通常是用假设法，解题思路是：先假设笼子里装的全是鸡，根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就是1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。

2、解决鸡兔同笼问题的基本关系式是：①、鸡数=（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）。

②、兔数=（总脚数－鸡脚数×总头数）÷（兔脚数—鸡脚数）。

注意:这两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，又知道总数，所以另一个也就知道了。

二、鸡兔同笼问题的变形有两类：1、将鸡、兔的总头数和总脚数中的“两数之和”变成“两数之差”，这样得到三种情况。

①、已知鸡、兔头数之差和总脚数，求鸡兔各有多少只；②、已知鸡、兔脚数之差和总头数，求鸡兔各有多少只；③、已知鸡、兔头数之差和脚数之差，求鸡兔各有多少只。

2、将基本问题中同笼的是鸡、兔两种不同东西，还可以引伸到同笼中不同东西是三种，四种等等。

注意：鸡兔同笼问题的两种变形均可化成基本问题来解决。

（详见例题）例1、在同一个笼子中，有若干只鸡和兔，从笼子上看有40个头，从笼子下数有130只脚，那么这个笼子中装有鸡、兔各多少只？分析：题目中给出了鸡、兔共有40只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看成一只脚，两只后脚也捆起来，也看成一只脚，那么兔子就成了两只脚（即把兔子都当成两只脚的鸡）。

鸡兔总的脚数是40×2=80（只），比题中所说的130只要少，130－80=50（只）现在松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就增加2，即80＋2=82。

再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，即82＋2=84，……一直继续下去，直至增加到50。

因此，兔子数是50÷2=25（只）。

实际上，这就是前述的基本关系式②。

第13讲生活中的“鸡兔同笼”
——假设问题
[教学内容]：
《数学》暑期激趣版，四升五第13讲“生活中的“鸡兔同笼”——假设问题。

[教学目标]:
知识技能：
1、了解鸡兔同笼问题，感受古代数学问题的趣味性。

2、尝试用不同的方法解决鸡兔同笼问题，进一步掌握用假设法解决鸡兔同笼的解题思路。

数学思考：使学生体验假设思想在数学中的应用，培养学生的逻辑思维能力。

问题解决：通过合作交流、共同探究的学习方式进一步学会运用假设法来解决生活中的一些问题。

情感态度：
1、通过解决问题培养学生的好奇心和求知欲，在试误中渐渐形成良好的数学意识。

2、渗透数学文化，关注学生探究精神等。

[教学重点和难点]:
教学重点：
通过不同的方法研究解决鸡兔同笼问题，进一步掌握假设法解题的方法。

教学难点：
对“假设法”的理解和应用，渗透假设法的思想方法。

[教学准备]:
动画多媒体语音课件
第一课时
教学过程：
第二课时教学过程：
教材答案
踏上征程
1. 有85条狗，有275个猎手。

2. 汽车有22辆，摩托车有10辆。

3.大船有1条，小船有9条。

4. 他做对了15道题。

攀登高峰
1. 男林木工人有15人，女林木工人有35人。

2. 雨天有6天。

3. 2元的纪念邮票有24张，5元的有10张。

4.8分邮票有70张，4分邮票有30张。

5.打碎了2个玻璃杯。

眺望远方
蜘蛛有5只，蝉有6只，蜻蜓有7只。

鸡兔同笼假设法原理《孙子算经》中记载了这样一个问题，具体叙述如下：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?翻译成现在的白话文就是：一个笼子里，有若干只鸡和兔子，它们共有35个头，94只脚，问：鸡和兔子各有多少只?假设笼子里全部都是鸡，可不可以化解这个问题呢?仍然可以，假设笼子里全部都是鸡，则35个头存有70只脚，比实际的94只脚太少了24只脚，因为把一只兔子看作一只鸡，相等于把每只兔子少算2只脚，所以太少了24只脚，一共存有24÷2=12只兔子，那么鸡存有35-12=23只。

由假设过程可以看出，我们假设全部是兔子，求出来的数值是鸡的数量，假设是鸡求出的是兔子的数量，在实际的考试过程中有一些问题涉及的事物不是鸡和兔，但具备鸡兔同笼问题的基本特点，可以采用假设法求解，下面看几道例题。

基准1.刘堡村农民小刘栽种30亩新品种高产玉米，如果顺利每亩脱贫致富元，如果失利每亩倒赔元，年终小刘共脱贫致富元，那么他栽种顺利多少亩新品种?a.25b.24c.23d.22解析：假设30亩新品种都顺利，年终应当脱贫致富×30=元，实际差距-=元。

则栽种失利的存有÷(+)=6亩，顺利的存有24亩，挑选b选项。

例2.一辆垃圾清理车往垃圾处理站运送垃圾，晴天每天可以运21次，雨天每天可以运15次。

这辆车一连运了12天，共运了次。

这些天中有几天下雨?a.2b.3c.5d.7解析：假设全是晴天，可运21×12=次，故这些天中有(-)÷(21-15)=3天下雨,选择b 选项。

基准3.红队和黄队出席科学知识竞答比赛，规定答错一题些5分后，答对一题甩3分后。

在20道题答对完后，两队分数之和为52分后，红队比黄队多答错2题少答对2题。

问红队答错了几道题?a.6b.7c.8d.9解析：假设全部的题都请问恰当，总共能够罚球，而实际得了52分后，所以太少48分后，即为答对了48÷(5+3)=6题，答错了14题，而红队比黄队多答错2道题，所以红队答错了8道题，挑选c选项。

鸡兔同笼问题解答全书鸡兔同笼问题，是中国古代著名的趣味数学题之一，也是小学数学中常见的一类问题。

它不仅能锻炼我们的逻辑思维能力，还能让我们学会运用数学方法解决实际问题。

接下来，让我们一起深入探讨鸡兔同笼问题的各种解法。

一、鸡兔同笼问题的基本形式鸡兔同笼，通常会告诉我们笼子里鸡和兔的总数，以及它们脚的总数，然后要求我们算出鸡和兔分别有多少只。

例如：一个笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有 8 个头，从下面数，有 26 只脚。

问鸡和兔各有几只？二、常见解法1、假设法这是解决鸡兔同笼问题最常用的方法之一。

假设笼子里全是鸡，那么每只鸡有 2 只脚，8 只鸡就应该有 8×2 ＝16 只脚。

但实际上有 26 只脚，多出来的 26 16 ＝ 10 只脚，就是因为把兔当成鸡来算少算的。

每只兔有 4 只脚，每只鸡有 2 只脚，所以每把一只兔当成鸡就少算 2 只脚。

因此，兔的数量就是 10÷2 ＝ 5 只，鸡的数量就是 8 5 ＝ 3 只。

同样，我们也可以假设笼子里全是兔。

那么 8 只兔应该有 8×4 ＝ 32 只脚，多出来的 32 26 ＝ 6 只脚，就是因为把鸡当成兔来算多算的。

每把一只鸡当成兔就多算 2 只脚，所以鸡的数量就是 6÷2 ＝ 3 只，兔的数量就是 8 3 ＝ 5 只。

2、方程法我们可以设鸡的数量为 x 只，兔的数量为 y 只。

根据头的总数，可列出方程：x ＋ y ＝ 8根据脚的总数，可列出方程：2x ＋ 4y ＝ 26然后通过解方程组，就可以求出 x 和 y 的值。

由第一个方程可得：x ＝ 8 y将其代入第二个方程：2×（8 y) ＋ 4y ＝ 2616 2y ＋ 4y ＝ 262y ＝ 10y ＝ 5将 y ＝ 5 代入 x ＝ 8 y ，可得 x ＝ 3所以，鸡有 3 只，兔有 5 只。

三、变形与拓展鸡兔同笼问题还有很多变形和拓展的形式。

比如，题目可能会告诉我们鸡和兔脚的数量差，或者笼子里鸡和兔的数量差，然后让我们求鸡和兔的数量。

第八讲变型鸡兔同笼问题与假设法【专题知识点概述】你以前听说过“鸡兔同笼”问题吗？这个问题，是我国古代著名趣题之一。

大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。

书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。

求笼中各有几只鸡和兔？古人常用的这种思维方法叫化归法。

化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。

今天我们将给大家介另外一种求解“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”！“鸡兔同笼”问题基本解题公式（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数。

或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。

（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用式（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。

（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。

（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数。

（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。

（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。

第十三讲鸡兔同笼问题“鸡兔同笼〞是一类有名的中国古算题.最早出现在?孙子算经?中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--“假设法〞来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.方法：①假设法(即可以从头的角度假设也可以从脚的角度假设)②画线段图③画实物简图④注意恰当分组〖经典例题〗例1、一只鸡有一个头2只脚，一只兔有一个头4只脚．如果一个笼子里关着的鸡和兔共有10个头和26只脚，你知道笼子里有几只鸡、有几只兔吗？分析:假设10只全是鸡．一共有21020-=条腿，⨯=条腿，比实际少了26206每把一只鸡换成一只兔子，腿的总数增加422-=条，要增加6条腿就应该把-=只鸡．623÷=只鸡换成兔子．那么有3只兔，有1037例2、一次口算比赛，规定：不能不答，答对一题得8分，答错一题扣5分．小华答了18道题，得92分，小华在此比赛中答错了多少道题？分析：此题是一个实际问题，我们先找到“鸡〞和“兔子〞，我们假设答对题为“兔子〞，答错题为“鸡〞。

那么“兔子〞有8只脚，“鸡〞有“扣5〞只脚。

假设18道题全部做对了，即18只都是“兔子〞，那么小华应得188144⨯=分，比实际多了1449252-=分，我们每把一道对的题换成错的，那么分数应减少-=道题。

÷=道题，所以做对18414+=分，要减少52分就要错：521348513〖方法总结〗此类问题属于鸡兔同笼类的根本问题---“头和、腿和〞解决此类问题所用到的方法为假设法，运用假设法需要注意以下几点：1．如果假设全是兔子，那么先求出来的是鸡的只数；2．如果假设全是鸡，那么先求出来的是兔子的只数．3．如果遇到实际问题，关键是找到“鸡〞和“兔子〞分别代表什么，他们的脚有几只。

例2属于“不得分倒扣分〞、“不得运费倒赔损失费〞问题，解决此类问题我们仍然可以采用假设法，但是运用此法是一定要注意，这里面“倒扣〞这一词的含义，灵活运用。

〖稳固练习〗练习1．一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子．车棚里放着自行车和三轮车共10辆，数数车轮共有26个．问自行车有多少辆，三轮车多少辆？练习2．有2分和5分硬币共28枚，总值为1元零7分，问2分硬币有多少枚？练习3．松鼠采松子，晴天每天采20个，雨天每天采12个，共采了112个，平均每天采14个．问有多少天是雨天？练习4．一辆卡车运粮食，每次可运粮食5吨．晴天每天可运9次，雨天每天只能运5次，它一连10天共运粮食370吨，问这几天中有几天是雨天，几天是晴天？练习5．在一次数学考试中规定：做对一道题得5分，做错一道题倒扣3分，不能不答．小红做了10道题共得了34分，请问他做对了多少道题？练习6．张明、李强两人进行射击比赛，规定每中一发得20分，脱靶一发扣12分，两人各打了10发，共得208分，其中张明比李强多64分．那么张明射中多少发，李强射中多少发？〖经典例题〗例3、鸡兔同笼，共24只，兔子腿总数比鸡腿多54条，求鸡、兔各几只？分析1：用假设法．假设24只全是兔子，那么兔子腿总数比鸡腿总数多了24496⨯=条，根据假设做出来的差比实际的差多了965442-=条．每把一只兔子换成一只鸡，兔子腿总数减少4，鸡腿总数增加2，之间的差距就减小6，那么应该将4267÷=只兔子换成鸡，那么有7只鸡，17只兔子．方法2：画图，根据图列算式．注意分组的思想．--÷+=组，所以有兔子31417(24141)(12)3⨯+=只．+=只，有鸡2317例4、鸡兔同笼，鸡比兔子多30只，兔子和鸡的腿数总和为90，求鸡、兔各几只？分析1：假设法。

小学奥数辅导：鸡兔同笼问题与假设法小学奥数辅导：鸡兔同笼问题与假设法鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。

许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。

例1 小红家的鸡与兔关在同一个笼子里，数头有16个，数脚有44只。

问：小红家的鸡与兔各有多少只?分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16=32(只)脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32=12(只)脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。

如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。

因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。

解：有兔(44-2×16)÷(4-2)=6(只)，有鸡16-6=10(只)。

答：有6只兔，10只鸡。

当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16=64(只)脚，但实际上有44只脚，比假设的'情况少了64-44=20(只)脚，这是因为把鸡当作兔了。

我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2=2(只)。

因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。

有鸡(4×16-44)÷(4-2)=10(只)，有兔16——10=6(只)。

由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡;也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。

因此这类问题也叫置换问题。

例2 今有100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。

问：大、小和尚各有多少个?分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。

如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。

假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300-140=160(个)。

现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1=2(个)，因为160÷2=80，故小和尚有80人，大和尚有100-80=20(人)。

假设法和鸡兔同笼问题1、鸡兔同笼，共有45个头，120只脚，那么，鸡兔各有多少只？2、面值为5角和8角的邮票共30枚，总价为18元。

那么这两种邮票各有多少枚？3、10元钱买1元和5角邮票13张。

两种邮票各买了多少张？4、停车场停放着四轮农用车和六轮大卡车共78辆，这两种车共有366个车轮，农用车和大卡车各有多少辆？5、停车场共有汽车和摩托车24辆，其中每辆汽车有4个轮子，每辆摩托车有3个轮子，所有车辆共有86个轮子，汽车和摩托车各有多少辆？6、一辆汽车运矿石，晴天每天可运14次，雨天每天只能运3次。

这辆汽车共运了17天，运了139次。

这些天有多少雨天？7、一辆长途汽车上载客60人，这60人中分别到王店和李村两个车站下车。

到王店的每张票价25元，到李村的票价18元。

这趟车共卖票价1339元。

问：到哪个站下车的人多，多多少人？8、有一堆土共400吨，有大小两辆车，大车一次运7吨，小车一次运4吨，运完这堆土共拉了70次，大车拉了多少次？9、运输队要运2000件玻璃器皿，按规定，完好无损完成运输任务，每件付运费1.2元；如果损坏，不但得不到运费，每损坏一件，还要付赔偿费5.8元。

货物运完后，共得运费2001元。

运输中共损坏玻璃器皿多少件？10、一次口算比赛，规定：答对一题得8分，答错一题扣5分。

小华答了18道题，得92分，小华在此比赛中答对了多少道题？11、某学校用352元钱买进桔子、苹果和梨共100千克。

已知桔子每千克2元，苹果和梨每千克均为4元，又知买桔子和苹果的花费比买梨多24元。

那么买苹果多少千克？12、已知蜘蛛有8条脚，蜻蜓有6条脚和2对翅膀，蝉有6条和一对翅膀。

现在有这3种小虫共18只，总共有118条腿和20对翅膀，则这18只小虫中有蝉多少只？。

鸡兔同笼问题与假设法讲解The document was prepared on January 2, 2021第13讲鸡兔同笼问题与假设法鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的,它是一类有名的中国古算题.许多小学算术应用题,都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算.例1 小梅数她家的鸡与兔,数头有16个,数脚有44只.问：小梅家的鸡与兔各有多少只分析：假设16只都是鸡,那么就应该有2×16＝32只脚,但实际上有44只脚,比假设的情况多了44-32＝12只脚,出现这种情况的原因是把兔当作鸡了.如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡,那么每换一只,头的数目不变,脚数增加了2只.因此只要算出12里面有几个2,就可以求出兔的只数.解：有兔44-2×16÷4-2=6只,有鸡16-6＝10只.答：有6只兔,10只鸡.当然,我们也可以假设16只都是兔子,那么就应该有4×16＝64只脚,但实际上有44只脚,比假设的情况少了64－44＝20只脚,这是因为把鸡当作兔了.我们以鸡去换兔,每换一只,头的数目不变,脚数减少了4-2＝2只.因此只要算出20里面有几个2,就可以求出鸡的只数.有鸡4×16-44÷4-2=10只,有兔16——10＝6只.由例1看出,解答鸡兔同笼问题通常采用假设法,可以先假设都是鸡,然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔,然后以鸡换兔.因此这类问题也叫置换问题.例2 100个和尚140个馍,大和尚1人分3个馍,小和尚1人分1个馍.问：大、小和尚各有多少人分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得.如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔,馍看作腿,那么就成了鸡兔同笼问题,可以用假设法来解.假设100人全是大和尚,那么共需馍300个,比实际多300－140＝160个.现在以小和尚去换大和尚,每换一个总人数不变,而馍就要减少3——1＝2个,因为160÷2＝80,故小和尚有80人,大和尚有100－80＝20人.同样,也可以假设100人都是小和尚,同学们不妨自己试试.在下面的例题中,我们只给出一种假设方法.例3 彩色文化用品每套19元,普通文化用品每套11元,这两种文化用品共买了16套,用钱280元.问：两种文化用品各买了多少套分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚,一种“怪兔”有1个头19只脚,它们共有16个头,280只脚.这样,就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了.假设买了16套彩色文化用品,则共需19×16＝304元,比实际多304——280＝24元,现在用普通文化用品去换彩色文化用品,每换一套少用19——11＝8元,所以买普通文化用品 24÷8=3套,买彩色文化用品 16－3＝13套.例4 鸡、兔共100只,鸡脚比兔脚多20只.问：鸡、兔各多少只分析：假设100只都是鸡,没有兔,那么就有鸡脚200只,而兔的脚数为零.这样鸡脚比兔脚多200只,而实际上只多20只,这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200——20=180只.现在以兔换鸡,每换一只,鸡脚减少2只,兔脚增加4只,即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6只,而180÷6＝30,因此有兔子30只,鸡100——30＝70只.解：有兔2×100——20÷2＋4＝30只,有鸡100——30=70只.答：有鸡70只,兔30只.例5 现有大、小油瓶共50个,每个大瓶可装油4千克,每个小瓶可装油2千克,大瓶比小瓶共多装20千克.问：大、小瓶各有多少个分析：本题与例4非常类似,仿照例4的解法即可.解：小瓶有4×50-20÷4＋2＝30个,大瓶有50-30＝20个.答：有大瓶20个,小瓶30个.例6 一批钢材,用小卡车装载要45辆,用大卡车装载只要36辆.已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨,那么这批钢材有多少吨分析：要算出这批钢材有多少吨,需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨.利用假设法,假设只用36辆小卡车来装载这批钢材,因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨,所以要剩下4×36=144吨.根据条件,要装完这144吨钢材还需要45-36=9辆小卡车.这样每辆小卡车能装144÷9＝16吨.由此可求出这批钢材有多少吨.解：4×36÷45-36×45＝720吨.答：这批钢材有720吨.例7 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶,双方商定每只运费元,但如果发生损坏,那么每打破一只不仅不给运费,而且还要赔偿元,结果搬运站共得运费元.问：搬运过程中共打破了几只花瓶分析：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破,那么应得运费×500=120元.实际上只得到元,少得=元.搬运站每打破一只花瓶要损失＋＝元.因此共打破花瓶÷＝3只.解：×500－÷＋＝3只.答：共打破3只花瓶.例8 小乐与小喜一起跳绳,小喜先跳了2分钟,然后两人各跳了3分钟,一共跳了780下.已知小喜比小乐每分钟多跳12下,那么小喜比小乐共多跳了多少下分析与解：利用假设法,假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样,那么两人跳的总数减少了12×2＋3＝60下.可求出小乐每分钟跳780——60÷2＋3＋3＝90下,小乐一共跳了90×3=270下,因此小喜比小乐共多跳780——270×2＝240下.。