山东省乐陵市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的标准方程2导学案(无答案)新人教B版选修1_1

2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.1 双曲线的标准方程学案苏教版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.1 双曲线的标准方程学案苏教版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.1 双曲线的标准方程1．了解双曲线标准方程的推导过程．（难点）2．理解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程．（重点、难点）3．椭圆与双曲线标准方程的区别与联系．(易混点)[基础·初探］教材整理双曲线的标准方程阅读教材P39～P40例1以上部分,完成下列问题。

标准方程错误!－错误!＝1(a〉0,b〉0)错误!－错误!＝1(a〉0，b>0)焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点坐标F1(－c，0)，F2（c，0）F1（0，－c）,F2(0，c）a，b,c之间的关系c2＝a2＋b2判断(正确的打“√”，错误的打“×”）（1)在双曲线标准方程错误!－错误!＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.( ）(2)在双曲线标准方程中，a，b和焦点F2（c，0)满足a2＝b2＋c2.（) (3）双曲线y2－x2＝1的焦点坐标在y轴上．（)（4)在双曲线错误!－错误!＝1中，焦点坐标为（±5，0）．（ )【解析】 （1)方程错误!－错误!＝1中,a >0，b 〉0.a ＝b 时也是双曲线，故不正确；（2)在双曲线标准方程中，都有a 2＋b 2＝c 2。

2.2 双曲线2.2.1双曲线及其标准方程学习目标核心素养1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) 1．通过双曲线的学习，培养学生直观想象的素养.2.借助双曲线标准方程的推导，提升数学运算的素养.1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|〞改为“等于|F1F2|〞或“大于|F1F2|〞的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，假设|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，那么点M的轨迹是什么？[提示](1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)点M在双曲线的右支上．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系c2＝a2＋b21．动点P 到点M (1,0)及点N (3,0)的距离之差为2，那么点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线D ．一条射线D [∵|PM |－|PN |＝2＝|MN |，∴点P 在线段MN 的延长线上，即点P 的轨迹是一条射线．] 2．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．32B ．4 2C ．33D ．43D [c 2＝10＋2＝12，所以c ＝23，从而焦距为4 3.]3．双曲线的a ＝5，c ＝7，那么该双曲线的标准方程为( ) A ．x 225－y 224＝1B ．y 225－x 224＝1C ．x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1D ．x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0C [b 2＝c 2－a 2＝72－52＝24，应选C ．]对双曲线标准方程的理解[例1] 曲线方程x 2m －1－y 2m 2－4＝1.(1)假设方程表示双曲线，某某数m 的取值X 围；(2)假设方程表示焦点在y 轴上的双曲线，某某数m 的取值X 围； (3)假设方程表示椭圆，某某数m 的取值X 围．[解](1)依题意有(m －1)(m 2－4)>0，即(m －1)(m ＋2)(m －2)>0，解得－2<m <1或m >2.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4<0，m －1<0，解得－2<m <1.(3)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4<0，m －1>0，解得1<m <2.给出方程x 2m －y 2n ＝1，那么该方程：(1)表示双曲线的条件是mn >0；(2)表示焦点在x 轴上的双曲线的条件是m >0，n >0； (3)表示焦点在y 轴上的双曲线的条件是m <0，n <0； (4)表示椭圆的条件是m >0，n <0.[跟进训练]1．(1)双曲线x 2a －3＋y 22－a ＝1，焦点在y 轴上，假设焦距为4，那么a 等于( )A ．32B ．5C ．7D ．12(2)在方程mx 2－my 2＝n 中，假设mn <0，那么方程所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的椭圆(1)D (2)C [(1)根据题意可知，双曲线的标准方程为y 22－a －x 23－a ＝1.由其焦距为4，得c ＝2，那么有c 2＝2－a ＋3－a ＝4，解得a ＝12.(2)方程mx 2－my 2＝n可化为x 2n m －y 2n mmn <0知nm <0，故方程所表示的曲线是焦点在y 轴上的双曲线．]求双曲线的标准方程(1)求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)双曲线经过M (1,1)，N (－2,5)两点，求双曲线的标准方程．[思路点拨]用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．[解] (1)法一 (待定系数法)由题意知双曲线的两焦点F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程得25a 2－16b2＝1，又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4. ∴双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.法二 (定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F 1(0，－3)，F 2(0,3)且A (4，－5)在双曲线上， 那么2a ＝||AF 1|－|AF 2||＝|20－80|＝25， ∴a ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝9－5＝4. 即双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)法一 假设焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为M (1,1)，N (－2,5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧1a 2－1b 2＝1，(－2)2a 2－52b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝78，b 2＝7.假设焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．同理有⎩⎪⎨⎪⎧1a 2－1b 2＝1，52a 2－(－2)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－7，b 2＝－78(不合题意，舍去)． 所以所求双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.法二 设所求双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． 将点M (1,1)，N (－2,5)代入上述方程，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，4m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝87，n ＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.1．求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出a 2，b 2的值．2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，特别地，当双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)来求解．[跟进训练]2．(1)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 23－y 2＝1C ．x 22－y 2＝1D ．x 2－y 22＝1 (2)双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，那么该双曲线的方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．x 22－y 23＝1D ．x 23－y 22＝1(1)C (2)B [(1)设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程为x 22－y 2＝1.(2)由双曲线的焦点可知c ＝5，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为F 2，那么有PF 2⊥x 轴，且PF 2＝4，点P 在双曲线右支上．所以PF 1＝(25)2＋42＝36＝6，所以PF 1－PF 2＝6－4＝2＝2a ，所以a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝4，所以双曲线的方程为x 2－y 24＝1，选B ．]双曲线定义的应用1．到两定点F 1，F 2的距离之差是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？ 提示：一支．2．假设P 点是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的一动点，F 1，F 2为其左、右焦点，设∠F 1PF 2＝α，那么S △F 1PF 2如何用α表示？提示：S △F 1PF 2＝b 2tan α2(可借助双曲线的定义及余弦定理推导)．[例3] (1)圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，那么动圆圆心M 的轨迹方程为________．(2)F 1，F 2分别是双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，假设P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2△F 1PF 2的面积．[思路点拨](1)由两圆外切得等量关系⇒双曲线定义⇒轨迹方程． (2)双曲线的定义及余弦定理⇒∠F 1PF 2⇒面积公式求S △F 1PF 2.(1)x 2－y 28＝1(x ≤－1)[如图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |.因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝2，这说明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，那么b 2＝8，∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．] (2)[解] 因为P 是双曲线左支上的点，所以|PF 2|－|PF 1|＝6， 两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理， 得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0， 所以∠F 1PF 2＝90°，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.把本例(2)的条件“|PF 1||PF 2|＝32〞换成“∠F 1PF 2＝60°〞，求S △F 1PF 2. [解]由x 29－y 216＝1得，a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF 2|－|PF 1|＝6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.1．求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法 (1)列出等量关系，化简得到方程．(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程． 提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． ②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支． 2．求双曲线中的焦点三角形△PF 1F 2面积的方法(1)①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|、|PF 2|、|F 1F 2|之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想方法求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式S △PF 1F 2＝12×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积．(2)利用公式S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |求得面积．1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式求解．1．判断正误(1)在双曲线标准方程中，a ，b ，c 之间的关系与椭圆中a ，b ，c 之间的关系相同． (2)点A (1,0)，B (－1,0)，假设|AC |－|BC |＝2，那么点C 的轨迹是双曲线．( ) (3)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1中，a ＞0，b ＞0，且a ≠b .( )[答案](1)× (2)× (3)× 2．设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△PF 1F 2的面积等于( )A ．10 3B ．8 3C ．8 5D ．165C [设|PF 1|＝3t ，那么|PF 2|＝4t ，|PF 2|－|PF 1|＝t ＝2a ＝2，所以t ＝2，所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，|F 1F 2|＝2c ＝2a 2＋b 2＝6＝|PF 1|，所以F 1到PF 2的距离为62－42＝25，所以S △PF 1F 2＝12×8×25＝8 5.]3．假设双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，那么|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3B [由题意知||PF 2|－3|＝6，即|PF 2|－3＝±6，解得|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．] 4．求适合以下条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)；(3)以椭圆x 28＋y 25＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，10)．[解](1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2， 得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 27＝1.(2)由得c ＝6，且焦点在y 轴上． 因为点A (－5,6)在双曲线上，所以 2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，那么a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20. 所以所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.(3)由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝2 2.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么有a 2＋b 2＝c 2＝8，9a 2－10b2＝1，解得a 2＝3，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1.。

2.2.2 双曲线的简单几何性质学习目标核心素养1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点) 1．通过学习双曲线的简单几何性质，培养学生的直观想象素养.2.借助双曲线的几何性质解题，培养逻辑推理、数学运算的素养.1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质X围x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝ca>1渐近线y＝±ba x y＝±ab x思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示](1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e2＝c2a2＝1＋b2a2，ba是渐近线的斜率或其倒数．2．双曲线的中心和等轴双曲线(1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．(2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e ＝ 2.1．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)B [由题意知，双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．] 2．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A ．x 225－y 29＝1B ．x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1C ．x 2100－y 236＝1D ．x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1B [由题意可知2a ＝10,2b ＝6，即a ＝5，b ＝3，∴双曲线的标准方程为x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1，应选B ．]3．假设点M (x 0，y 0)是双曲线x 216－y 225＝1上任意一点，那么x 0的取值X 围是________，y 0的取值X 围是________；该双曲线的渐近线方程为________，离心率为________．(－∞，－4]∪[4，＋∞) R y ＝±54x 414[由x 2016－y 2025＝1得x 2016≥1，即x 0≥4或x 0≤－4，y 0∈R .渐近线方程为y ＝±54x ，离心率e ＝ca＝1＋b 2a 2＝414.]双曲线的几何性质近线方程．[思路点拨]先将双曲线的方程化为标准方程，再研究其性质．[解] 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±23x .由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值.(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质. 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置.[跟进训练]1．(1)以下双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B ．x 24－y 2＝1C ．y 24－x 2＝1D ．y 2－x 24＝1 (2)假设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，那么其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x(1)C (2)B [(1)A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，可排除；C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ；令y 2－x 24＝0，得y ＝±12x .应选C ．(2)在双曲线中，离心率e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .]由双曲线的几何性质求标准方程(1)以直线2x ±3y ＝0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(3)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；(4)与椭圆x 225＋y 216＝1有公共焦点，离心率为32.[解](1)法一：由题意可设所求双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.因此所求双曲线的标准方程是y 2329－x 28＝1.法二：由题意可设所求双曲线方程为x 2m －y 2n＝1(mn >0)．由题意，得⎩⎨⎧1m －4n＝1，n m ＝49，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－8，n ＝－329.因此所求双曲线的标准方程为y 2329－x 28＝1.(2)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上，得44－93＝λ，λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(3)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(4)法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c ＝3且焦点在x 轴上． 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为e ＝c a ＝32，所以a ＝2，那么b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.法二：因为椭圆焦点在x 轴上，所以可设双曲线的标准方程为x 225－λ－y 2λ－16＝1(16<λ<25)．因为e ＝32，所以λ－1625－λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.1．由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本量a ，b ，c ，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解．为了避免讨论，也可设方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求解．2．常见双曲线方程的设法(1)渐近线为y ＝±n m x 的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0，m >0，n >0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0，A >0，B >0)．(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ或y 2a2－x 2b2＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)离心率相等的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ>0)或y 2a 2－x 2b 2＝λ(λ>0)，这是因为离心率不能确定焦点位置．[跟进训练]2．求适合以下条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(－5,3)； (3)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .[解](1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵e ＝ca ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝a 2.又∵焦点在x 轴上，∴设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0)．把点(－5,3)代入方程，解得a 2＝16.∴双曲线的标准方程为x 216－y 216＝1.(3)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 24＝1.双曲线的离心率问题1．假设过双曲线右焦点的直线l 与双曲线的一条渐近线平行，那么该直线与双曲线有几个交点？提示：有且只有一个．2．假设探究1中的直线l 与双曲线右支有且只有一个交点，那么l 的斜率与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中的a ，b 存在怎样的关系？提示：直线l 的斜率k ≤ba.[例3] (1)设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，那么以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为________；(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，假设过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么双曲线离心率的X 围是________．[思路点拨](1)根据图形并由双曲线的定义确定a 与c 的关系求出离心率；(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么必有ba≥tan 60°.(1)1＋32 (2)[2，＋∞) [(1)由题意2c ＝|AB |＝|BC |，所以|AC |＝2×2c ×sin 60°＝23c ，由双曲线的定义，有2a ＝|AC |－|BC |＝23c －2c ⇒a ＝(3－1)c ，∴e ＝c a ＝13－1＝1＋32.(2)因为双曲线渐近线的斜率为k ＝b a ，直线的斜率为k 1＝tan 60°＝3，故有ba ≥3，所以e ＝ca＝a 2＋b 2a 2≥1＋3＝2，所以所求离心率的取值X 围是e ≥2.]a 与c 的关系，由于a ，b ，c 三者具有固定的关系，因此由题目条件找到它们中任意两个的等量关系或不等关系，都能转化为离心率的方程或不等式，从而求得离心率的值或X 围.[跟进训练]3．(1)如图，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，A ，B 是以O 为圆心、以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，那么双曲线的离心率为________．(2)点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．假设△ABE 是锐角三角形，那么该双曲线的离心率e 的取值X 围是________．(1)3＋1 (2)(1,2) [(1)∵|F 1F 2|＝2c ，且|OF 1|＝|OA |＝|OF 2|＝c ， ∴△AF 1F 2为直角三角形．又∵△F 2AB 为等边三角形， ∴|AF 2|＝3c ，|AF 1|＝c . 由双曲线的定义知3c －c ＝2a ， ∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1.(2)如图，要使△ABE 为锐角三角形，只需∠AEB 为锐角，由双曲线对称性知△ABE 为等腰三角形，从而只需满足∠AEF <45°.又当x ＝－c 时，y ＝b 2a ，∴tan ∠AEF ＝|AF ||EF |＝b 2a (a ＋c )<1，∴e 2－e －2<0， 又e >1，∴1<e <2.]1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．2．解决与几何图形有关的双曲线离心率问题常借助几何图形的性质建立等量或不等关系．1．判断正误(1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上．( ) (2)假设两条双曲线的焦点相同，那么其渐近线也一定相同．( )(3)焦点在x 轴上的双曲线的离心率越大，其渐近线斜率的绝对值就越大． ( )(4)焦点在x 轴上的双曲线与焦点在y 轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线． (5)等轴双曲线的离心率等于 2.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ 2．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94xC [双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，因此渐近线方程为y ＝±32x .]3．假设a >1，那么双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值X 围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2) C [由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a. 即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e < 2.]4．求满足以下条件的双曲线的标准方程：(1)两渐近线方程为y ＝±23x ，且经过点⎝⎛⎭⎫92，－1； (2)以椭圆x 213＋y 23＝1的焦点为焦点，以直线y ＝±12x 为渐近线；(3)过点P (3，－2)，离心率e ＝52. [解](1)∵双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，∴可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0)，将⎝⎛⎭⎫92，－1代入方程，得λ＝2，故所求方程为x 218－y28＝1. (2)设所求的双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ>0)，又双曲线的焦点为(±10，0)，∴c 2＝4λ＋λ＝10，解得λ＝2. 故所求的双曲线方程为x 28－y 22＝1.(3)假设双曲线的实轴在x 轴上，设x 2a 2－y 2b 2＝1为所求．由e ＝52，得c 2a 2＝54.①由点P (3，－2)在双曲线上，得9a 2－2b 2＝1.②由①②及a 2＋b 2＝c 2，得a 2＝1，b 2＝14.假设双曲线的实轴在y 轴上，设y 2a 2－x 2b 2＝1为所求．同理有c 2a 2＝54，2a 2－9b 2＝1，a 2＋b 2＝c 2.解之，得b 2＝－172(不符，舍去)．故所求双曲线方程为x 2－4y 2＝1. 即x 2－y 214＝1.。

2.2.1 双曲线及其标准方程课堂导学三点剖析一、双曲线的定义【例1】 已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程.解析：若以线段F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则双曲线的方程为标准形式.由题意得2a =24,2c =26,∴a =12,c =13,b 2=132-122=25.由于双曲线的焦点在x 轴上，双曲线的方程为2514422y x -=1. 若以线段F 1、F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，则双曲线的方程为2514422x y -=1. 温馨提示求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系，求双曲线的标准方程就是求a 2、b 2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴.双曲线的焦点所在的坐标轴，不像椭圆那样看x 2、y 2的分母的大小，而是看x 2、y 2的系数的正、负.二、求双曲线的标准方程【例1】 求满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)经过点A (1，3104)，且a =4; (2)经过点A (2，332)、B (3，-22). 解析：(1)若所求双曲线方程为12222=-by a x (a ＞0,b ＞0),则将a =4代入，得22216b y x -=1,又点A (1,3104)在双曲线上，∴29160161b -=1, 解得b 2＜0,不合题意，舍去. 若所求双曲线方程为2222bx a y -=1(a ＞0,b ＞0),同上，解得b 2=9,∴双曲线的方程为91622x y -=1. (2)设双曲线方程为mx 2+ny 2=1(mn ＜0),∵点A (2,332)、B (3，-22)在双曲线上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.41,31.189,1344n m n m n m 解之，得 ∴所求双曲线的方程为4322y x -=1. 温馨提示求双曲线的标准方程首先要做的是确定焦点的位置.如果不能确定，解决方法有两种：一是对两种情形进行讨论，有意义的保留，无意义的舍去；二是设双曲线方程为mx 2+ny 2=1(mn ＜0),解出的结果如果是m ＞0,n ＜0,那么焦点在x 轴上，如果m ＜0,n ＞0,那么焦点在y 轴，在已知双曲线的两个焦点及经过一个点时，可以用双曲线的定义，直接求出a .应加强练习，注意体会.三、确定方程表示的曲线类型【例3】 已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型.解析：(1)当k =0时，y =±2,表示两条与x 轴平行的直线.(2)当k =1时，方程为x 2+y 2=4，表示圆心在原点，半径为2的圆.(3)当k ＜0时，方程为kx y 4422--=1，表示焦点在y 轴上的双曲线. (4)当0＜k ＜1时，方程为4422y kx +=1，表示焦点在x 轴上的椭圆. (5)当k ＞1时，方程为4422y kx +=1，表示焦点在y 轴上的椭圆. 温馨提示本题是判定方程所表示的曲线类型.对参数k 讨论时首先要找好讨论的分界点，除了区别曲线类型外，同一类曲线还要区别焦点在x 轴和y 轴的情况.各个击破类题演练1已知点F 1(-2，0)、F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|-|PF 1|=2，当点P 的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的距离是( ) A.26 B.23 C.3 D.2解析：由题意知，P 点的轨迹是双曲线的左支，c =2,a =1,b =1,∴双曲线的方程为x 2-y 2=1.把y =21代入双曲线方程，得x 2=1+41=45,∴|OP |2=x 2+y 2=,464145=+∴|OP |=.26答案：A变式提升1在△MNG 中，已知NG =4.当动点M 满足条件s in G -s in N =21s in M 时，求动点M 的轨迹方程. 解析：如右图所示，以NG 所在的直线为x 轴，以线段NG 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系.∵sin G -sin N =21sin M ∴由正弦定理，得|MN |-|MG |=21×4 ∴由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以N 、G 为焦点的双曲线的右支(除去与x 轴的交点)∴2c =4,2a =2,c =2,a =1,∴b 2=c 2-a 2=3.∴动点M 的轨迹方程为x 2-32y =1(x ＞0，且y ≠0)类题演练2 双曲线2222by a x -=1(a ＞0,b ＞0)与直线x =6的一个交点到两焦点的距离分别是30和20，求该双曲线的方程.解：将x =6代入双曲线方程，得22226by a -=1. 则y =±226a ab -, 设一个交点P 的坐标为(6，226a a b -), 则由题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==-++-=,,30)6()6(,20302222222222b a c a a b c a 解之得a =5,b 2=.3658925⨯ 故所求的双曲线方程为.136589252522=⨯-y x。

曲线与方程的概念 【学习目标】：了解曲线与方程、坐标法、轨迹方程的概念；理解曲线的方程与方程的曲线的意义；了解曲线与方程的对应关系。

【重点】曲线与方程、坐标法、轨迹方程的概念【难点】曲线与方程的对应关系【自主学习】： 阅读课本33页至35页，完成下列问题。

1、用坐标法研究图形性质的基本思路是借助坐标系把点与 、曲线与 联系起来，从而达到 的结合；再通过 的几何性质进行研究，把几何问题转化为代数问题来解决。

2、一般地，一条曲线可以看成动点运动的 ，曲线的方程又常称为满足某种条件的 。

3、在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F （x,y ）=0之间具有如下关系：（1）（2） 。

那么曲线C 叫做方程F （x,y ）=0的 ，方程F （x,y ）=0叫做曲线C 的 。

【自我检测】1、下面的四个点中，在曲线C ：012222=++-+y x y x 上的是 （ ）A （0，0）B （1，1）C （2，-1）D （1，-1）2、如果曲线C 上的所有点的坐标都是方程F （x,y ）=0的解，那么以下结论正确的是（ ）A 、以方程F （x,y ）=0的解为坐标的点都在曲线C 上；B 、以方程F （x,y ）=0的解为坐标的点有些不在曲线C 上；C 、不在曲线C 上的点的坐标都不是方程F （x,y ）=0的解；D 、坐标不满足方程F （x,y ）=0的点都不在在曲线C 上。

3、若“以方程F （x,y ）=0的解为坐标的点都在曲线C 上”，则下列判断正确的是 （ ）A 、曲线C 的方程是F （x,y ）=0B 、方程F （x,y ）=0的曲线是C 。

C 、曲线C 上点的坐标都是方程是F （x,y ）=0的解D 、曲线C 上点的坐标可能不是方程是F （x,y ）=0的解。

4、如果命题“坐标满足方程F （x,y ）=0的点都在在曲线C 上”是不正确的，那么下列命题中正确的是 （ ）A 、坐标满足方程F （x,y ）=0的点都不在在曲线C 上；B 、曲线C 上的点的坐标不都满足方程F （x,y ）=0；C 、坐标满足方程F （x,y ）=0的点有些在在曲线C 上有些不在曲线C 上；D 、至少有一个不在曲线C 上的点，其坐标满足方程F （x,y ）=0。

2.2.2 双曲线的简单几何性质学习目标：1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．双曲线的几何性质(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示] (1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，ba是渐近线的斜率或其倒数．2．双曲线的中心和等轴双曲线 (1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． (2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e ＝ 2.[基础自测]1．思考辨析(1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点． ( ) (2)等轴双曲线的渐近线是y ＝±x . ( )(3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×2．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)B [由题意知，双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]3．若双曲线x 24－y 2m ＝1(m ＞0)的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________.【导学号：97792019】(－7，0)，(7，0) [由双曲线方程得出其渐近线方程为y ＝±m2x ，∴m ＝3，求得双曲线方程为x 24－y 23＝1，从而得到焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．] [合 作 探 究·攻 重 难](1)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为a 2＋b 2＝1，双曲线C 2的方程为a 2－b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0(2)求双曲线nx 2－my 2＝mn (m ＞0，n ＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[解] (1)椭圆C 1的离心率e 1＝a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率e 2＝a 2＋b 2a.由e 1e 2＝a 2－b 2a ·a 2＋b2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝32，解得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝12，所以b a ＝22，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±22x ，即x ±2y ＝0. [答案] A(2)把方程nx 2－my 2＝mn (m ＞0，n ＞0)，化为标准方程x 2m －y 2n＝1(m ＞0，n ＞0)，由此可知，实半轴长a ＝m ，虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ， 焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)， 离心率e ＝c a＝m ＋nm＝1＋n m.顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)． ∴渐近线的方程为y ＝±n mx ＝±mn m x .1．(1)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1C [A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，可排除；C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ；令y 2－x 24＝0，得y ＝±12x .故选C.] (2)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x B [在双曲线中，离心率e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .](1)已知双曲线a 2－b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)的双曲线方程为________________.【导学号：97792019】[思路探究] (1)△OAF 是边长为2的等边三角形⇒求c 和点A 的坐标⇒渐近线的斜率⇒求a ，b(2)方法一：分焦点在x 轴和y 轴上两种情况求解． 方法二：待定系数法求解．[解析] (1)不妨设点A 在第一象限，由题意可知c ＝2，点A 的坐标为(1，3)，所以b a＝3，又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝1，b 2＝3，故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1，故选D.(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.① 因为点A (2，－3)在双曲线上， 所以4a 2－9b2＝1.②联立①②，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③ 因为点A (2，－3)在双曲线上， 所以9a 2－4b2＝1.④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32. 故所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线的方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)．因为点A (2，－3)在双曲线上， 所以2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.832[答案] (1)D (2)y 28－x 232＝12．求满足下列条件的双曲线的标准方程； (1)以直线2x ±3y ＝0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(3)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；[解] (1)由题意可设所求双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.因此所求双曲线的标准方程为y 2329－x 28＝1.(2)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2.68(3)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(1)若双曲线 a 2－b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.53(2)已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )【导学号：97792019】A. 5 B ．2 C. 3 D. 2[思路探究] (1)渐近线经过点(3，－4)⇒渐近线的斜率⇒离心率． (2)由已知条件画图⇒点M 的坐标⇒代入双曲线方程．[解析] (1)由题意知b a ＝43，则e 2＝1＋b 2a 2＝259，所以e ＝53.(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.故选D.[答案] (1)D (2)D3．(1)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3 B [考虑双曲线的对称性，不妨设P 在右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，而|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，两式等号左右两边平方后相减，得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 24.又已知|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，∴94ab ＝9b 2－4a 24，得b a ＝43(负值舍去)．∴该双曲线的离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.](2)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．2＋3 [如图，F 1，F 2为双曲线C 的左，右焦点，将点P 的横坐标2a 代入x 2a 2－y 2b2＝1中，得y 2＝3b 2，不妨令点P 的坐标为(2a ，－3b )， 此时kPF 2＝3b c －2a ＝b a， 得到c ＝(2＋3)a ，即双曲线C 的离心率e ＝c a＝2＋ 3.]1．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？提示：可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点．2．过点(0,2)和双曲线x 216－y 29＝1只有一个公共点的直线有几条？提示：四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1，(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．[思路探究] 直线方程与双曲线方程联立方程组⇒判断“Δ”与“0”的关系⇒直线与双曲线的位置关系．[解] (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，消去y 并整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2＞0，解得－2＜k ＜2，且k ≠±1.∴若l 与C 有两个不同交点，实数k 的取值范围为 (－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，对于(1)中的方程(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2k1－k2，x 1x 2＝－21－k2， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2 ＝＋k2－4k 2－k22.又∵点O (0,0)到直线y ＝kx －1的距离d ＝11＋k2，∴S △AOB ＝12·|AB |·d ＝128－4k2－k22＝2，即2k 4－3k 2＝0，解得k ＝0或k ＝±62. ∴实数k 的值为±62或0.4．已知双曲线x 24－y 2＝1，求过点A (3，－1)且被点A 平分的弦MN 所在直线的方程.【导学号：97792019】[解] 法一 由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －3)，即y ＝kx －3k －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3k －1，x 24－y 2＝1，消去y ，整理得(1－4k 2)x 2＋8k (3k ＋1)x －36k 2－24k －8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝8k k ＋4k 2－1.∵A (3，－1)为MN 的中点， ∴x 1＋x 22＝3，即8kk ＋k －＝3，解得k ＝－34.当k ＝－34时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN 的方程为y ＝－34x ＋54，即3x ＋4y －5＝0.法二 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∵M ，N 均在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 214－y 21＝1，x 224－y 22＝1，两式相减，得x 22－x 214＝y 22－y 21，∴y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 1y 2＋y 1.∵点A 平分弦MN ，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－2.∴k MN ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 1y 2＋y 1＝－34.经验证，该直线MN 存在．∴所求直线MN 的方程为y ＋1＝－34(x －3)，即3x ＋4y －5＝0.[当 堂 达 标·固 双 基]1．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94xC [双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，因此渐近线方程为y ＝±32x .]2．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52D ．1 D [由题意得e ＝a 2＋3a＝2，∴a 2＋3＝2a ，∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1.]3．若一双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36A [椭圆4x 2＋y 2＝64，即x 216＋y 264＝1，焦点为(0，±43)，离心率为32，则双曲线的焦点在y 轴上，c ＝43，e ＝23，从而a ＝6，b 2＝12，故所求双曲线的方程为y 2－3x 2＝36.]4．直线y ＝mx ＋1与双曲线x 2－y 2＝1有公共点，则m 的取值范围是( )【导学号：97792019】A ．m ≥2或m ≤－ 2B ．－2≤m ≤2且m ≠0C ．m ∈RD ．－2≤m ≤ 2D [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1x 2－y 2＝1，得(1－m 2)x 2－2mx －2＝0，由题意知1－m 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2≠0Δ＝4m 2＋－m2，解得－2≤m ≤ 2.]5．求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，－2)，且一条渐近线的倾斜角为π6的双曲线的方程．[解] 渐近线方程为y ＝±33x ，设双曲线方程为x 2－3y 2＝λ.将(3，－2)代入求得λ＝－3，所以双曲线方程为y 2－x 23＝1.。

椭圆的几何性质 1【学习目标】：理解并掌握椭圆的几何性质，能依据这些几何性质解决一些简单问题，，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法。

【要点】：椭圆的几何性质及初步运用。

【难点】：椭圆的离心率的应用。

【自主学习】：阅读课本43页至46页，达成以下问题。

2y21(ab0)性质：椭圆xa2b2（1）范围：（2）对称性：对称轴；对称中心。

（3）极点：；长轴长，短轴长。

（4）焦点：，焦距，a,b,c之间关系。

（5）离心率：e=,e的范围。

e越大，椭圆越；e越小，椭圆越。

【自我检测】求椭圆4x29y236的长轴长和短轴长、焦点坐标、极点坐标、离心率，并画出它的图形。

2、写出以下椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、极点坐标、离心率。

（1）4x25y2 1 （2）16x2y225【合作研究】依据以下条件，求椭圆的标准方程。

（1）长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上。

（2）一焦点坐标为(3,0)，一极点坐标为(0,5)。

（3）两极点坐标为(0,6)，且经过点(5,4)。

（4）焦距是 12，离心率是3，焦点在x轴上。

52、已知椭圆C方程为9x24y236（1）与椭圆C有同样焦点的椭圆有多少个？写出此中两个椭圆的方程；（2）与椭圆C有同样焦点且经过点(4, 5)的椭圆有几个？写出切合条件的椭圆方程。

3、在直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2y21(ab0)的离心率e＝3，左右两个焦分别a2b22为F1、F2．过右焦点F2且与x轴垂直的直线与椭圆C订交M、N两点，且|MN|=1．求椭圆C的方程；【收获总结】【达标检测】1.巳知椭圆G的中心在座标原点，长轴在x轴上，离心率为3，且G上一点到G的两个焦点的距2离之和为12，则椭圆G的方程为．x2y22．已知F1、F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于259A、B两点.若F2AF2B12，则AB=______________.3．求过点（3，0）长轴是短轴的3倍的椭圆的标准方程4.已知椭圆x2y2＝1的离心率e10，则m的值为___5m55 .若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率6.已知椭圆的一个焦点为F(6,0),点B1,B2是短轴的两个端点，FB1B2是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。

椭圆的几何性质2【学习目标】：理解并掌握椭圆的几何性质，能根据这些几何性质解决一些简单问题。

【重点】：椭圆的几何性质的运用。

【难点】：与离心率有关问题的计算。

【自主学习】： 请你回想椭圆方程的两种标准方程，并填写下表 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程范围顶点坐标长、短轴长焦点焦距对称性离心率【自我检测】1. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 .2．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( )A ．14B ．12C ． 2D ．43.短轴长为5 、离心率32=e 的椭圆两焦点为21,F F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆ 的周长为 （ ）A 。

3B 。

6C 。

12D 。

24【合作探究、交流展示】1过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o ，求椭圆的离心率。

变式练习：已知是以为焦点的椭圆上的一点，若，，则此椭圆的的离心率为( )A ．B ．C ．D ．2．设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 过点21,),23,1(F F 分别为椭圆C 的左、右两个焦点，且离心率⋅=21e ，求椭圆C 的方程；【反思与总结】【达标检测】1.如果椭圆的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为（ ） A 。

53 B 。

54 C 。

135 D 。

1312 2.已知椭圆短轴的两个端点21,B B 与它的两个焦点21,F F 连成的四边形2211F B F B 是正方形，则椭圆的离心率e 的值是 （ ）A 。

32B 。

33C 。

23D 。

22 3．2005年10月我国载人航天飞船“神六”飞行获得圆满成功。

已知“神六”变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200公里、350公里，设地球半径为R 公里，则此时飞船轨道的离心率是 。

高二数学选修2第二章圆锥曲线与方程教案课题：圆锥曲线课时编号：SX2－02－01教学目标：1、通过用平面截圆锥曲面，经历从具体抽象圆锥曲线过程；2、掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义教学重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义教学难点：椭圆、双曲线、抛物线的定义教学过程：一、问题情景几何画板演示：天体的运行二、建构数学1、圆锥曲线：画板演示2、椭圆、双曲线、抛物线的动画演示3、椭圆、双曲线与抛物线的定义椭圆定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于∣F1F2∣）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.说明：①可用椭圆演示模板向学生展示椭圆图形的画法；②要求学生注意常数要大于∣F1F2∣的条件，同时让学生明确常数小于或等于∣F1F2∣时，轨迹为无轨迹或一条线段.双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于21FF）的点的轨迹叫做双曲线.说明：①常数小于21FF；②这两个定点叫做双曲线的焦点；③这两焦点的距离叫双曲线的焦距.222ay x =+圆的定义 坐标系中的圆 圆的方程？椭圆的定义 坐标系中的椭圆 椭圆的方程抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F 叫抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 三、回顾总结： 四、布置作业：《数学之友》T2.1圆锥曲线课 题：椭圆（1） 课时编号：SX2－02－02 教学目标：1、掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程；2、能利用标准方程判断曲线是否是椭圆 教学重点：椭圆的定义与标准方程 教学难点：标准方程的推导过程 教学过程： 一、创设情景1、学习直线与圆时，对圆的认识经历了以下过程2、学习了椭圆的定义，也有类似的思考二、建构数学1、椭圆标准方程的推导如图，建立直角坐标系x O y ，使x 轴经过点F 1、F 2，并且O 与线段F 1F 2的中点重合.设M （x ,y ）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c (c ＞0)，那么焦点F 1、F 2的坐标分别是（－c ,0），(c ,0). 又设M 与F 1和F 2的距离的和等于常数2a. 由椭圆定义，椭圆就是集合 P =｛M ∣∣MF 1∣+∣MF 2∣=2a ｝因为∣MF 1∣=22)(y c x ++，∣MF 2∣=22)(y c x +- 所以得：22)(y c x +++22)(y c x +-=2a 整理得：（a 2－c 2）x 2+a 2y 2=a 2(a 2－c 2).由椭圆的定义可知：2a ＞2c ，即a ＞c ，故a 2－c 2＞0. 令a 2－c 2=b 2，其中b ＞0，代入上式整理得：)0(12222>>=+b a by a x 2、椭圆的标准方程：x o F 1 F 2Py三、数学运用 1、例1 已知一个运油车上的储油罐截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m ，外轮廓线上的两个点到两个焦点的距离的和为3m ，求这个椭圆的标准方程。