【数学】2015-2016年北京市首师大附属育新学校高一(上)数学期中试卷带答案

北京一零一中2015-2016学年度第一学期期中考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。

1. 下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（ ）（A ）{}0x x = （B ）{}20a a = （C ）{}0a = （D ）{}0 2. 函数()y f x =的定义域为[]1,5，则函数()21y f x =-的定义域是（ ） （A ） []15， （B ）[]2,10 （C ）[]19， （D ）[]13， 3. 下列四组函数，表示同一函数的是（ ） （A ） ()f x =()g x x =（B ）()f x x =，()2x g x x=（C ） ()f x =()g x =（D ）()1f x x =+，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩4.如图是函数()y f x =的图象，()()2ff 的值为（ ）（A ） 3 （B ）4 （C ） 5 （D ）65. 已知函数()35x f x x =+-，用二分法求方程35=0xx +-在()0,2x ∈内近似解的过程中，取区间中点01x =，那么下一个有根区间为（ ）（A ） ()0,1 （B ） ()12， （C ）()12，或()0,1都可以 （D ）不能确定6. 函数()248f x x ax =--在区间()4+∞，上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）32a ≤ （B ）32a ≥ （C ）16a ≥ （D ）16a ≤7. 已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()21f x x x=+，则()1f -等于（ ） （A ）2- （B ）0 （C ）1 （D ） 28. 定义区间(),a b 、[),a b 、(],a b 、[],a b 的长度均为d b a =-，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3.2=3，[]2.33-=-.记{}[]x x x =-，设()[]{}f x x x=⋅，()1g x x =-，若用d 表示不等式()()f x g x <解集区间长度，则当03x ≤≤时有（ ） （A ） 1d = （B ）2d = （C ） 3d = （D ） 4d = 二、填空题：本大题共6小题，共30分。

北京市首都师范大学附属中学第一学期期中考试高一数学试题一、单选题1．已知集合{|2}A x x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则A B =（ ）A ．{|1}x x >B ．{|23}x x <<C ．{|13}x x <<D ．{| 2 x x >或1}x <【答案】B【解析】计算{}{|(1)(3)0}=13B x x x x x =--<<<，再计算A B 得到答案.【详解】{}{|(1)(3)0}=13B x x x x x =--<<<，{|2}A x x =>，故{|23}A B x x ⋂=<<.故选：B . 【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.2．已知命题p ：∃c ＞0，方程x 2-x +c =0有解，则¬p 为（ ） A ．∀c ＞0，方程x 2-x +c =0无解 B ．∀c ≤0，方程x 2-x +c =0有解 C ．∃c ＞0，方程x 2-x +c =0无解 D ．∃c ≤0，方程x 2-x +c =0有解【答案】A【解析】利用特称命题的否定是全称命题，可得结果. 【详解】命题p ：∃c ＞0，方程x 2-x +c =0有解，则¬p 为∀c ＞0，方程x 2-x +c =0无解, 故选：A. 【点睛】本题考查特称命题的否定，是基础题.3．已知定义在R 上的函数f （x ）的图像是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f （x ）一定存在零点的区间是（ ）A ．（-∞，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）【答案】C【解析】由表中数据，结合零点存在性定理可得出结果. 【详解】由表可知(1)(2)0,(2)(3)0,(3)(4)0f f f f f f ><>， 由零点存在性定理可知f （x ）一定存在零点的区间是（2，3）， 故选：C. 【点睛】本题考查零点存在性定理，理解零点存在性定理是关键，是基础题.4．下列函数中，在其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减的（ ） A ．y =x 2B ．y =3xC ．y =x +1D ．y 【答案】B【解析】运用函数的奇偶性和单调性对每个选项进行判断. 【详解】对A. y =x 2在（0,+∞）上单调递增，故排除；对B. y =3x，其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减；对C. y =x +1，其为非奇非偶函数，故排除；对D. y 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断，是基础题. 5．若a ＞b ，则下列四个不等式中必成立的是（ ） A ．ac ＞bc B ．a c ＞b cC ．a 2＞b 2D ．21ac +＞21b c + 【答案】D【解析】根据不等式的基本性质，逐一分析选项是否恒成立. 【详解】A.当0c 时，不等式不成立；B.当0c <时，不等式不成立；C.当1,2a b ==-时，不等式不成立；D.因为210c +>，故不等式必成立， 故选：D. 【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质，是基础题. 6．函数f (x的最大值为 （ ） A ．2 5 B ．1 2C．D ．1【答案】B【解析】本小题主要考查均值定理．11()12f x ==≤=，即1x =时取等号．故选B ．7．5a ≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”等价于a 大于等于2x 的最大值，由x 的范围求得2x 的范围，可得a 的取值范围，然后结合充分条件、必要条件的定义可得结果． 【详解】因为“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”等价于a 大于等于2x 的最大值， 而[]x 1,2∀∈，有[]21,4x ∈，所以4a ≥，由5a ≥，可得4a ≥成立，即[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立； 反之，[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立，可得4a ≥，不能推出5a ≥．5a ∴≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的充分而不必要条件，故选A ．【点睛】本题主要考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件的判定，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.8．已知奇函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，且()3f m =，则(4)f m -的值为（ ） A ．3 B ．0C ．-3D ．13【答案】C【解析】由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-，再结合()y f x =为奇函数，求得(4)f m -的值.【详解】解：由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-， 再结合()y f x =为奇函数，可得()(4)(4)3f m f m f m =-=--=， 求得(4)3f m -=-， 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的图象的对称性，属于基础题.9．已知函数()2f x ax x =-,若对任意[)12,2,x x ∈+∞,且12x x ≠,不等式()()12120f x f x x x ->-恒成立,则实数a 的取值范围是A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】对不等式()()1212f x f x x x --进行化简，转化为a （x 1+x 2）﹣1＞0恒成立，再将不等式变形，得到a ＞121x x +恒成立，从而将恒成立问题转变成求121x x +的最大值，即可求出a 的取值范围． 【详解】不妨设x 2＞x 1≥2，不等式()()1212f x f x x x --=22112212ax x ax x x x --+- =()()()12121212a x x x x x x x x -+---=a （x 1+x 2）﹣1，∵对任意x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1≠x 2，不等式()()1212f x f x x x --＞0恒成立，∴x 2＞x 1≥2时，a （x 1+x 2）﹣1＞0，即a ＞121x x +恒成立∵x 2＞x 1≥2 ∴121x x +＜14∴a≥14，即a 的取值范围为[14，+∞）； 故选：D ． 【点睛】本题考查了函数恒成立求参数取值范围，也是常考题型，本题以“任性函数”的形式考查函数恒成立求参数取值范围，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为()0F x <的形式，即求()max 0F x < ，或是()0F x >的形式，即求()min 0F x < ，求参数取值.10．给定条件：①∃x 0∈R ，f （-x 0）=-f （x 0）；②∀x ∈R ，f （1-x ）=-f （1+x ）.下列三个函数：y =x 3，y =|x -1|，y =221,143,1x x x x x ⎧-<⎨-+≥⎩中，同时满足条件①②的函数个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】根据条件②得函数图象关于（1，0）对称，故可判断y =x 3；根据00110x x --+-=的解的情况，可判断y =|x -1|；最后验证y =221,143,1x x x x x ⎧-<⎨-+≥⎩满足①②. 【详解】解：令()(1)g x f x =+，则()(1)(1)()g x f x f x g x -=-=+=， 所以()g x 为偶函数，关于(0,0)对称，将()(1)g x f x =+的图象向右平移一个单位可得()f x 的图象，故()f x 图象关于(1,0)对称，故可排除3y x =；若存在一个0x 使得0011x x --=--，即00110x x --+-=，该方程无解，故|1|y x =-不满足②，排除；对于221,143,1x x y x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，当1x =时，2(1)(1)10,(1)(143)0f f -=--=-=--+=，其满足①， 画出图象如下：由图象可知，满足②. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的基本性质，根据条件能判断出函数关于(1,0)对称是关键，属于中档题.二、填空题11．计算210.00013427--2327()8【答案】134【解析】化小数为分数，化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值. 【详解】原式()()23123443339130.13109244-⎡⎤⎛⎫=-+=-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为：134. 【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础的计算题.12．函数y 11x -的定义域为____________. 【答案】[12，1）∪（1，+∞） 【解析】令被开方数大于等于0，同时分母非0，列出不等式组，求出x 的范围. 【详解】解：要使函数有意义需要21010x x -≥⎧⎨-≠⎩解得12x ≥且1x ≠，故答案为：[12，1）∪（1，+∞）. 【点睛】求函数的定义域，要保证开偶次方根的被开方数大于等于0；分母非0；对数的底数大于0且不为1，真数大于0等方面考虑.13．若函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最大值为4，则a 的值为____________. 【答案】-1或1【解析】对a 分类讨论，利用函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最大值为4，建立方程，即可求得a 的值. 【详解】解：由题意，当0a ≥时，(2)4f a +=，即22)2(2)4(1a a +-++=，2(1)4,1a a ∴+=∴=；当0a <时，()4f a =，即2214a a -+=，2(1)4,1a a ∴-=∴=-；综上知，a 的值为1或−1. 故答案为：1或−1. 【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.14．如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________. 【答案】（-∞，-12） 【解析】方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.15．能说明“若()()f x g x 对任意的[0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上的最小值大于()g x 在[0,2]上的最大值”为假命题的一对函数可以是()f x =____，()g x =_______。

北京市师大附中-上学期高一年级期中考试数学试卷（满分150分，考试时间1）第Ⅰ卷（模块卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，集合{}5,3,1=S ，{}6,3=T ，则)(T S C U 等于（ ） A. ∅ B. {}8,7,4,2 C. {}6,5,3,1 D. {}8,6,4,2 2. 给定映射f ：)2,2(),(y x y x y x -+→，在映射f 下（3，1）的原象为（ ）A. （1，3）B. （1，1）C. （3，1）D. （21,21） 3. 下列函数中是偶函数且在（0，1）上单调递减的是（ ）A. 31x y -= B. 4x y = C. 21x y = D. 2-=x y4. 已知3.0log 2=a ，3.02=b ，2.03.0=c ，则c b a ,,三者的大小关系是（ ）A. c b a >>B. c a b >>C. a c b >>D. a b c >>5. 设函数3x y =与2)21(-=x y 的图象的交点为),(00y x ，则0x 所在的区间是（ ）A. （0，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）6. 若函数)(x f y =是函数xa y =（0>a ，且1≠a ）的反函数，其图象经过点),(a a ，则=)(x f （ ）A. x 2logB. x 21log C.x 21 D. 2x 7. 函数210552)(xx x x f --+-=（ ）A. 是奇函数但不是偶函数B. 是偶函数但不是奇函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数8. 已知实数0,0≥≥b a 且1=+b a ，则22)1()1(+++b a 的取值范围为（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,29B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,29C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡29,0 D. []5,0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类） 2015.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{3,}A x x x =≤∈R ，{10,}B x x x =-≥∈N ，则AB =（ ）A ．{0,1}B ．{0,12},C ．{2,3}D ． {1,2,3}2．已知(0,)α∈π，且3cos 5α=-，则tan α=（ ） A ．34 B ．34- C ．43 D ．43-3. 已知等差数列{}n a 的公差为2，若124, , a a a 成等比数列，那么1a 等于（ ） A. 2 B. 1 C. 1- D. 2-4. 给出下列命题：①若给定命题p ：x R ∃∈，使得210x x +-<，则p ⌝：,x R ∀∈均有012≥-+x x ； ②若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；③命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x ， 其中正确的命题序号是（ ）A ．① B. ①② C. ①③ D. ②③5.已知函数()sin()(00)2f x A x x R A ωϕωϕπ=+∈>><，，，的图象（部分）如图所示，则()f x 的解析式是（ ）A ．()2sin()6f x x π=π+B ．()2sin(2)6f x x π=π+C ．()2sin()3f x x π=π+D ．()2sin(2)3f x x π=π+6.设p ：2101x x -≤-，q ：2(21)(1)0x a x a a -+++<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．1[0,)2C ．1(0,]2D ．1[,1)27.在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=3=，,M N 分别是BC 边上的三等分点，则AN AM ⋅的值是A ．5B ．421C ．6D ．8R 上的函数⎩⎨⎧-∈-∈+=),0 ,1[,2),1 ,0[,2)(22x x x x x f 且)()2(x f x f =+．若方程()2=0f x kx --有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,1)3B ．11(,)34--C ．11(,1)(1,)33--D ．1111(,)(,)3443--第二部分（非选择题 共110分）.9.已知三个数π221(),log 3,log π2，其中最大的数是 ．10．已知平面向量2113()(-)，，，a =b =．若向量()λ⊥a a +b ，则实数λ的值是 ．11．如图，在ABCD 中，E 是CD 中点，BE x AB y AD =+，则x y += ．12.若函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0ωϕ≠>)是偶函数，则ϕ的最小值为 ． 13. 若函数sin ()cos a x f x x -=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 .14. 如图，已知边长为4的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C不重合），连结AE ，作EF ⊥AE 交∠BCD 的外角平分线于F .设BE x =，记()f x EC CF =⋅，则函数()f x 的值域是 ；当ECF ∆面积最大时，EF = .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）FEDCBA已知函数2()cos2cos 222x x x f x =-. （Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调递减区间及对称轴方程.16. （本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差1d =，前n 项和为n S ，且1n nb S =. （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求证：1232n b b b b ++++<.17．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．且21cos -=B ． （Ⅰ）若322==b a ,，求角C ； （Ⅱ）求C A sin sin ⋅的取值范围．18. （本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+． （Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥.19. （本小题满分14分）已知函数2()e (1)xf x ax bx -=++(其中e 是常数，0a >，b ∈R )，函数()f x 的导函数为()f x '，且(1)0f '-=．(Ⅰ)若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)当15a >时，若函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为4e ，试求,ab 的值．20. （本小题满分14分）已知实数数列}{n a 满足：),2,1(||12 =-=++n a a a n n n ，b a a a ==21,，记集合{|}.n M a n *=∈N（Ⅰ）若2,1==b a ，用列举法写出集合M ；（Ⅱ）若0,0<<b a ，判断数列}{n a 是否为周期数列，并说明理由； （Ⅲ）若0,0≥≥b a ，且0≠+b a ，求集合M 的元素个数的最小值.北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期中统一考试数学答案（理工类） 2015.11一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15. （本小题满分13分）解： 2()cos2cos 222x x xf x =-cos 1x x =-- 2sin() 1.6x π=--…………………………4分（I ）ππ()2sin 1036f =-=. …………………………6分 （II ）由22262k x k ππ3ππ+≤-≤π+得 22()33k x k k 2π5ππ+≤≤π+∈Z .所以函数)(x f 的单调递减区间是[2,2]()33k k k 2π5ππ+π+∈Z . ……10分 令62x k ππ-=π+得()3x k k 2π=π+∈Z . 所以函数)(x f 的对称轴方程是()3x k k 2π=π+∈Z . …………………………13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为等差数列{}n a 中，11a =,公差1d =,所以21(1)22n n n n n S na d -+=+=. 则22n b n n=+. …………………………5分（Ⅱ） 因为222(1)n b n n n n ==++ ， 所以12311112()122334(1)n b b b b n n ++++=++++⨯⨯⨯+11111112(1)223341n n =-+-+-++-+ 12(1)1n =-+.因为1011n <<+， 所以1232n b b b b ++++<. …………………………13分17．（本小题满分13分）（I ）在ABC ∆中，因为1cos 2B =-，又(0,π)B ∈，所以2π3B =，且sin B =由正弦定理,sin a bB =可得2sin A =则1sin 2A =. 又因为2π3B =，所以6A π=.所以6C π=. …………………………6分（II ）sin sin sin()sin A C C C π⋅=-⋅1sin )sin 2C C C=-⋅112cos244C C =+- 11sin(2)264C π=+-因为(0,)3C π∈，所以52(,)666C πππ+∈. 所以1sin(2)(,1]62C π+∈.则C A sin sin ⋅的取值范围是1(0,]4. …………………………13分18. （本小题满分13分） 解：函数的定义域为(0,)+∞.2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a f x x a x x x -++--'=+-+==.…………2分(Ⅰ)（1）当01a <<时，因为0x >，令()0f x '> 得1x >或0x a <<， 令()0f x '< 得1a x <<，所以函数()f x 的单调递增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调递减区间是(,1)a . （2）当1a =时，因为0x >，所以()0f x '≥成立.函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.（3）当1a >时，因为0x >，令()0f x '> 得x a >或01x <<， 令()0f x '< 得1x a <<，所以函数()f x 的单调递增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调递减区间是(1,)a .…………………………7分（Ⅱ）当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+，211(1)(1)()x x x f x x x x x-+-'=-+==.令()0f x '= 得1x =或1x =-（舍）.当x 变化时，(),()f x f x '变化情况如下表：所以1x =时,函数()f x 的最小值为1(1)2f =. 所以1()2f x ≥成立. …………………………13分 19. （本小题满分14分）解：因为2()e (1)xf x ax bx -=++，所以2()e ((2)1)xf x ax a b x b -'=-+-+-．因为(1)0f '-=，所以(2)10a a b b ---+-=，即231b a =+． …………2分 (Ⅰ)当1a =时，2b =．又(0)1,(0)1f f '==，所以曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为11(0)y x -=-．即10x y -+=． …………………………5分 (Ⅱ)由已知得231()e (1)2x a f x ax x -+=++． 所以23131()e [(2)1]22x a a f x ax a x -++'=-+-+-1e (1)[2(31)]2x x ax a -=-+--．因为0a >，131()e (1)[2(31)]e (1)()22x x a f x x ax a a x x a---'=-+--=-+-．因为15a >，所以3112a a->-． 令31()e (1)()02x a f x a x x a --'=-+->得，3112a x a --<<； 令31()e (1)()02x a f x a x x a --'=-+-<得，1x <-或312a x a->． 所以函数()f x 在31(1,)2a a --上单调递增，在(,1)-∞-和31(,)2a a-+∞上单调递减．①若3112a a-≥，即1a ≥时，函数()f x 在区间[1,1]-上单调递增．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为131(1)(1)4e e 2a f a +=++=．解得28e 35a -=．显然符合题意．此时28e 35a -=， 212e 25b -=．②若3112a a -<，即115a <<时， 函数()f x 在31(1,)2a a --上单调递增，在31(,1)2a a-上单调递减．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为3113222319191()e e 222a a a a a a f a ------=⋅=⋅． 又因为115a <<，所以291452a -<<，131122a -<-<． 所以13122eee a --<<．所以1322291e 4e 5e 2a a --<⋅<． 不满足函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为4e.综上所述，28e 35a -=， 212e 25b -=为所求． …………………………14分20. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）}0,1,2,1{-=M ． …………………………2分 （Ⅱ）因为0,0<<b a ，),2,1(||12 =-=++n a a a n n n ，所以数列的前11项分别为：b a b a b a a b a b b a b a b a ,,,2,,,,2,,,-----+-----． 所以101112,a a a a a b ====．又因为),2,1(||12 =-=++n a a a n n n ，所以数列中10a 至18a 依次重复1a 至9a ，以此类推，于是，对任意正整数n ，有1109,+++==n n n n a a a a ， 所以9是数列}{n a 的周期．使1122,T T a a a a ++==成立的最小9T =． ………………………………………8分 （Ⅲ）对b a ,分情况讨论．（1）若b a <<0，则数列的前5项b a a a b b a ---2,,,,中至少有4项互不相同；（2）若0>>b a ，则数列的前4项为b a a b b a 2,,,--，当02≥-b a 时，数列的第五、六项为b a b a --,32；当02<-b a 时，数列的第五、六项为b a b 3,+-.易知数列中至少有4项互不相同；（3）若b a =<0，或0,0=>b a ，或0,0>=b a ，则由数列的前7项可知，数列中至少有4项a a a 2,,,0-，或b b b 2,,,0-互不相同．综上，集合M 的元素个数不小于4，又由（1）可知，当2,1==b a 时，集合M 的元素个数为4，所以，求集合M 的元素个数的最小值是4．…………………………14分。

2015-2016 学年北京国都师大附中育新学校高三（上）10 月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共40 分.1．已知全集 U={ 1，2，3，4，5，6} ，会合 A= { 1，3，5} ，B= { 1，2} ，则 A∩（ ?U B ）（）A ． ?B．{ 5} C．{ 3} D．{ 3，5}2．“α为第二象限角”是“为锐角”的（）A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C．充足必需条件 D ．既不充足也不用要条件3．已知平面向量，知足=1，=2，且（+）⊥ ，则与的夹角为（）A ．B．C．D．4．函数 f（ x）=e x+4x﹣ 3 的零点所在的大概区间是（）A ．（﹣，0）B．（ 0，） C．（，） D．（，）5．把函数的图象上全部点向右平移个单位，再把全部点的横坐标缩短到本来的一半，所得图象的表达式是（）A ．B ．C．D．6．在△ ABC 中，M 是 BC 的中点，AM=3 ，点 P 在 AM上，且知足，则的值为（）A．﹣ 4 B．﹣ 2 C．2D． 47．已知函数 f（ x） =，若 | f（ x） | ≥ ax，则 a 的取值范围是（）A ．（﹣∞0]B∞ 1]C 2 1]D．[20]，．（﹣，．[﹣，﹣，8|OA|=2（单位：m），OB=1（单位：m），OA与OB的夹角为，以A为圆心，．如图，AB 为半径作圆弧与线段 OA 延伸线交与点 C．甲、乙两质点同时从点O 出发，甲先以速度 1（单位： m/s）沿线段 OB 行至点 B，再以速度3（单位： m/s）沿圆弧行至点 C 后停止；乙以速率2（单位： m/s）沿线段 OA 行至 A 点后停止．设t 时辰甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t ）（ S（ 0）=0），则函数 y=S（ t）的图象大概是（）A ．B ．C ．D ．二、填空 ：本大 共 6 小 ，每小 5 分，共 30 分.9．当 x ∈（ 1， 2） ，不等式 x 2+mx +4＜ 0 恒建立， m 的取 范 是．10+ 的虚部是． ．复数11．已知，， 在 方向上的射影．12．已知 cos （α） +sin α=， sin （ α+）的．13．已知函数 y=f （ x ） 足： f （ 1）=a （ 0＜ a ≤1），且f （ 2） = （用 a 表示），若， a=．14fx ）的定 域 D ，若存在非零 数 l使得 于随意x ∈ M （ M ? D ），有 x l． 函数（+∈ D，且 f x1 f x ）， 称 f x ） M上的高 函数． 出以下三个命 ：（ + ）≥ （ （① 函数R 上的 l 高 函数；② 函数 f （ x ） =sin2x R 上的 π高 函数；2[③ 假如定 域是 1 f x） =x 1，+∞）上的 m 高 函数，那么 数m[，+∞）的函数 （的取 范 [ 2， +∞）；此中正确的命 是（填序号）三、解答 ：本大 共6 小 ，共80 分 .解答 写出文字 明，演算步 或 明 程.15． △ ABC 的内角 A ，B ， C 所 的 分 a ， b ， c ，已知 a=2，b=3 ， cosC= ．（Ⅰ）求△ ABC 的面 ；（Ⅱ）求 sin （ C A ）的 ．16．某工厂 料 示，一种 品次品率p 与日 量 x （ x ∈ N *， 80≤ x ≤100）件之 的关系以下表所示：x日 量 x80 8182⋯⋯98 99 100次品率 p⋯P （ x ）⋯此中 P （ x ） =（ a 常数）．已知生 一件正品盈余 k 元，生 一件次品 失 元（ k定常数）．（ 1）求出 a ，并将 厂的日盈余 y （元）表示 日生 量 x （件）的函数；（ 2） 了 得最大盈余， 厂的日生 量 定 多少件？17f=x）=Asin x A00，| φ|＜）部分图象以下图．．函数（（ω +φ）（＞，φ＞（1）求的最小周期及分析式．（2）设 g（ x） =f （ x）﹣ 2cos2x，求函数g（x）在区间 [ 0，] 上的最大值和最小值．x18．设函数 f （x） =x ﹣ ae ， a∈ R．（Ⅱ）若 ? x∈ R，f（ x）≤ 0 建立，求 a 的取值范围．19．已知函数 f （ x） =lnx ﹣ax+1， a∈ R 是常数．（Ⅰ）求函数y=f （ x）的图象在点P（ 1， f （ 1））处的切线l 的方程；（Ⅱ）证明：函数y=f （ x）（ x≠ 1）的图象在直线l 的下方；（Ⅲ）议论函数y=f （x）零点的个数．20．函数 f （ x）的定义域为R，且 f（ x）的值不恒为0，又对于随意的实数m， n，总有建立．（1）求 f（ 0）的值；（2）求证： t?f（ t）≥ 0 对随意的 t∈ R 建立；（3）求全部知足条件的函数 f （ x）．2015-2016 学年北京国都师大附中育新学校高三（上）10月月考数学试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分 .1．已知全集 U={ 1，2，3，4，5，6} ，会合 A= { 1，3，5} ，B= { 1，2} ，则 A∩（ ?U B ）（）A ． ?B． {5}C3}D35}． {． { ，【考点】交、并、补集的混淆运算．【剖析】先由补集的定义求出?U B ，再利用交集的定义求 A ∩?U B ．【解答】解：∵ U={ 1，2，3， 4，5，6} ，B={ 1，2} ，∴?U B═ { 3， 4， 5， 6} ，又会合 A={ 1，3， 5} ，∴A ∩?U B= { 3，5} ，应选 D．2．“α为第二象限角”是“为锐角”的（）A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C．充足必需条件 D ．既不充足也不用要条件【考点】必需条件、充足条件与充要条件的判断．【剖析】依据象限角的定义，联合充要条件的定义，可得结论．【解答】解：“α为第二象限角”时，“为锐角”不必定建立，“为锐角”时，“α为第二象限角”必定建立，故“α为第二象限角”是“为锐角”的必需不充足条件，应选： B3．已知平面向量，知足=1，=2，且（+）⊥，则与的夹角为（）A ．B．C．D．【考点】数目积表示两个向量的夹角．【剖析】利用向量的数目积公式，联合=1，=2+ ）⊥，即可求得结论．，且（【解答】解：∵=1，=2 ，且（+ ）⊥，∴（+ ）? =112cos=0 +× ×＜，＞∴c os＜，＞ =﹣∵＜，＞∈ [ 0，π]∴＜，＞=应选 B．4．函数 f（ x）=e x+4x﹣ 3 的零点所在的大概区间是（）A ．（﹣，0）B．（ 0，） C．（，） D．（，）【考点】函数零点的判断定理．【剖析】确立 f （ 0）=1﹣ 3=﹣ 2＜ 0， f（） =﹣1＞ 0， f （） =＜0 f1=e 43=e 10，（）+ ﹣+＞，依据零点存在定理，可得结论．【解答】解：∵函数 f （x） =e x+4x ﹣3 在 R 上是增函数，求解： f（0）=1﹣3=﹣ 2＜0，f（）=﹣ 1＞ 0，f（）=＜ 0，f（ 1）=e+4﹣ 3=e+1＞ 0，∴依据零点存在定理，可得函数f（ x） =2x+3x﹣ 4 的零点所在的大概区间是（，）应选： C．5．把函数的图象上全部点向右平移个单位，再把全部点的横坐标缩短到本来的一半，所得图象的表达式是（）A．B．C．D．【考点】函数 y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【剖析】依据函数 y=Asin （ωx+φ）的图象变换规则对函数的分析式进行变换即可，由题设条件知，此题的变换波及到了平移变换，周期变换，振幅变换．【解答】解：由题意函数y=sin （2x﹣）的图象上各点向右平移个单位长度，获得 y=sin （ 2x﹣﹣）=sin（2x﹣），再把横坐标缩短为本来的一半，所得图象的表达式是：y=sin （ 4x ﹣）．应选： D．6．在△ ABC 中，M 是 BC 的中点，AM=3 ，点 P 在 AM 上，且知足，则的值为（）A．﹣ 4 B．﹣ 2 C．2D．4【考点】平面向量数目积的运算．【剖析】由题意可得，且，代入要求的式子化简可得答案．【解答】解：由题意可得：，且，∴===﹣4应选 A7．已知函数f（ x） =，若| f（x）|≥ ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C． [ ﹣2，1] D ．[ ﹣2，0]【考点】其余不等式的解法．【剖析】由函数图象的变换，联合基本初等函数的图象可作出函数y=| f（ x） | 的图象，和函数 y=ax 的图象，由导数求切线斜率可得l 的斜率，从而数形联合可得 a 的范围．【解答】解：由题意可作出函数y= | f （ x） | 的图象，和函数y=ax 的图象，由图象可知：函数y=ax 的图象为过原点的直线，当直线介于l 和 x 轴之间切合题意，直线 l为曲线的切线，且此时函数y=| f（ x） | 在第二象限的部分分析式为y=x 2﹣ 2x ，求其导数可得 y′=2x ﹣ 2，因为 x≤ 0，故 y′≤﹣ 2，故直线 l 的斜率为﹣ 2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与之间即可，即a20]∈[﹣，应选： D8OA|=2（单位：m），OB=1（单位：m），OA与OB的夹角为，以A为圆心，．如图， |AB 为半径作圆弧与线段 OA 延伸线交与点C．甲、乙两质点同时从点O 出发，甲先以速度 1（单位： m/s）沿线段 OB 行至点 B，再以速度3（单位： m/s）沿圆弧行至点 C 后停止；乙以速率2（单位： m/s）沿线段 OA 行至 A 点后停止．设 t 时辰甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t ）（ S（ 0）=0），则函数 y=S（ t）的图象大概是（）A．B．C．D．【考点】 函数的图象．【剖析】 由题意，所围成的面积的变化可分为两段研究， 一秒钟内与一秒钟后，由题设知第一秒内所围成的面积增添较快， 一秒钟后的一段时间内匀速增添，一段时间后边积不再变化，由此规律能够选出正确选项【解答】 解：由题设知， | OA =2 （单位： m OB=1 ，二者行一秒后，甲行到 B停止，乙 | ）， 此时行到 A ，故在第一秒内， 甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为 S （ t ）的值增添得愈来愈快，一秒钟后，跟着甲的运动，所围成的面积增添值是扇形中AB所扫过的面积， 因为点 B 是匀速运动， 故一秒钟后， 面积的增添是匀速的， 且当甲行走到 C后，即 B 与 C 重合后，面积不再跟着时间的增添而改变，故函数 y=S （t ）跟着时间 t 的增加先是增添得愈来愈快，而后转变成匀速增添，而后边积不再变化，观察四个选项，只有A切合题意应选 A二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分.9．当 x ∈（ 1， 2）时，不等式x 2+mx +4＜ 0 恒建立，则 m 的取值范围是 m ≤﹣ 5．【考点】 一元二次不等式的应用；函数恒建立问题．【剖析】 ① 结构函数： f （ x ）=x 2+mx +4，x ∈ [ 1，2] ．② 议论 对称轴 x= ﹣＞ 或 ＜时 f （ x ）的单一性，得 f （ 1），f （ 2）为两部分的最大值若知足 f （ 1），f （ 2）都小于等于0 即能知足 x ∈（ 1，2）时 f （ x ）＜ 0，由此则可求出m 的取值范围 【解答】 解：法一：依据题意，结构函数：f （ x ） =x 2+mx+4， x ∈ [ 1， 2] ．因为当 x ∈（ 1，2）时，不等式 2 mx 4 0恒建立．x + + ＜则由张口向上的一元二次函数 f （x ）图象可知 f （ x ） =0 必有△＞ 0，① 当图象对称轴 x= ﹣ ≤ 时， f （ 2）为函数最大值当 f （ 2）≤ 0，得 m 解集为空集．② 同应当﹣＞时， f （1）为函数最大值，当 f （ 1）≤ 0 可使 x ∈（ 1，2）时 f （ x ）＜ 0．由 f （1）≤ 0 解得 m ≤﹣ 5．综合 ①② 得 m 范围 m ≤﹣ 5法二：依据题意，结构函数：f （x ） =x 2+mx+4，x ∈ [ 1， 2] ．因为当 x ∈（ 1， 2）时，不等 式 x 2+mx +4＜ 0 恒建立即解得故答案为m ≤﹣ 5即 m ≤﹣ 510．复数+ 的虚部是 ．【考点】 复数代数形式的乘除运算．【剖析】 利用复数的运算法例和虚部的定义即可得出． 【解答】 解：复数+===．故其虚部为．故答案为．11．已知，，则在方向上的射影长为．【考点】平面向量数目积的运算．【剖析】在方向上的射影长为：，代入计算可得答案．【解答】解：∵，，∴在方向上的射影长为：==，故答案为：12cosα） +sinα=，则sin α）的值为﹣．．已知（﹣（+【考点】两角和与差的正弦函数；运用引诱公式化简求值；两角和与差的余弦函数．【剖析】利用两角和公式睁开后求得cosαsin αsin +的值，从而利用引诱公式可知α）=﹣sinα），把cosαsinα（ +（++的值代入求得答案．【解答】解：∵ cos（α﹣）+sin α=cosα+sinα=，∴cosα+ sinα= ，∴sin （α+）=﹣sin（α+）=﹣（sinα+cosα）=﹣．故答案为：﹣13．已知函数y=f （ x）知足： f（ 1）=a（ 0＜ a≤1），且则f （ 2） = 2a （用 a 表示），若，则 a= 1 ．【考点】函数的值．【剖析】 由函数 y=f （ x ）知足： f （1）=a （ 0＜ a ≤1），且，知 f （2） =f （ 1+1） =2f （ 1） =2a ；由=，知 f （ 2） =2a=2，由此能求出 a ．【解答】 解：∵函数 y=f （ x ）知足： f （ 1） =a （ 0＜ a ≤ 1），且，∴ f （2） =f （ 1+1） =2f （ 1） =2a ；∵= ，∴ f （2） =2a=2， ∴ a =1．故答案为： 2a ， 1．14．设函数 f （x ）的定义域为 D ，若存在非零实数 l 使得对于随意 x ∈M （ M ? D ），有 x+l∈ D ，且 f （ x 1 f x ），则称 f x ）为 M 上的高调函数．现给出以下三个命题： + ）≥ （ （ ① 函数为 R 上的 l 高调函数；② 函数 f （ x ） =sin2x 为 R 上的 π高调函数；21∞m 高调函数，那么实数m③假如定义域是1∞f x）=x为 [ ﹣，+ ）上的[﹣ ，+）的函数（的取值范围 [ 2 ∞，+ ）；此中正确的命题是 ②③（填序号）【考点】 命题的真假判断与应用．【剖析】 依据高调函数的定义证明条件f （ x 1 f x）能否建立刻可．+ ）≥ （ 【解答】 解： ① ∵函数 f （ x ） =（ ） x为 R 上的递减函数，故 ① 不正确，② ∵sin2（x+π）≥ sin2x∴函数 f （ x ）=sin2x 为 R 上的 π高调函数，故 ② 正确，③ 假如定义域为 [ ﹣ 1，+∞）的函数 （f x ）=x 2为 [ ﹣1，+∞）上 m 高调函数，则，解得 m ≥ 2，即实数 m 的取值范围 [ 2， +∞），∴ ③ 正确． 故答案为： ②③ ．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分 .解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．设△ABC的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=2，b=3 ， cosC= ．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求 sin （ C ﹣ A ）的值．【考点】 解三角形；余弦定理的应用．【剖析】（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系式求出sinC ，而后求△ABC的面积；（Ⅱ）通 余弦定理求出 c ，利用正弦定理求出 sinA ，同角三角函数的基本关系式求出 cosA ，利用两角和的正弦函数求 sin （ CA ）的 ．【解答】（本小 分13 分）解：（Ⅰ）在△ ABC 中，因，因此． ⋯因此，． ⋯（Ⅱ）由余弦定理可得，c 2=a 2+b 22ab?cosC==9因此， c=3．⋯又由正弦定理得，，因此，． ⋯因 a ＜ b ，因此 A 角，因此，． ⋯因此， sin （ CA ）=sinC ?cosA cosC?sinA= ． ⋯16．某工厂 料 示，一种 品次品率 p 与日 量 x （ x ∈ N *， 80≤ x ≤100）件之 的关系以下表所示：x日 量 x80 81 82⋯ ⋯ 98 99 100次品率 p ⋯P （ x ）⋯此中 P （ x ） =（ a 常数）．已知生 一件正品盈余 k 元，生 一件次品 失 元（ k定常数）．（ 1）求出 a ，并将 厂的日盈余 y （元）表示 日生 量 x （件）的函数；（ 2） 了 得最大盈余， 厂的日生 量 定 多少件？ 【考点】 依据 函数 型． 【剖析】（ 1）第一依据列表求出a 的 ，而后列出 P （ x ）的关系式，整理即可．（2）令 108 x=t ， t ∈ [ 8， 28] ， t ∈ N *，把函数 化 对于 t 的等式，利用基本不等式求解 【解答】 解：（ 1）依据列表数据可得： a=108由 意，当天 量 x ，次品数为：正品数：∴y=整理得：（ 80≤x≤ 100，x∈ N *）（2）令 108﹣ x=t ， t∈ [ 8， 28] ， t∈ N*==当且仅当t=即t=12时获得最大盈余，此时x=9617．函数 f= （ x） =Asin （ωx+φ）（ A ＞ 0，φ＞ 0，| φ| ＜）部分图象以下图．（1）求的最小周期及分析式．2）设g x）=f x）﹣2cos2x，求函数g x）在区间 [] 上的最大值和最小值．（（（（，【考点】由 y=Asin （ωx+φ）的部分图象确立其分析式；两角和与差的正弦函数．【剖析】（ 1）利用函数的图象，求出 A ， T，而后求出ω，利用 f （） =2，求出φ，即可求出函数的分析式．（2）经过 g（ x）=f（ x）﹣ 2cos2x，利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，经过 [ 0， ] 求出相位的范围，而后求出函数的最大值和最小值．【解答】解：（ 1）由可得A=2 ，，因此T= π．因因此ω=2．⋯当， f（x） =2，可得，因，因此．⋯因此f（ x）的分析式．⋯（2）==⋯=．⋯因，因此．当，即 x=，函数g（ x）有最大，最大：2⋯当，即x=0 ，函数g（ x）有最小，最小1．⋯x18．函数 f （x） =x ae ， a∈ R．（Ⅱ）若 ? x∈ R，f（ x）≤ 0 建立，求 a 的取范．【考点】利用数研究函数的性；利用数研究函数的极．【剖析】（Ⅰ）已知函数f（ x） =x ae x，其行求，利用数研究其区；（Ⅱ）若 ? x∈ R，f（x）≤ 0 建立，只需 f（ x）的最大小于等于 0 即可，利用数研究函数的最，从而求解；【解答】解：（Ⅰ） f'（ x） =1 ae x．⋯当 a≤ 0 ， f ′（ x）＞ 0， f（ x）在 R 上是增函数．⋯当 a＞ 0 ，令 f′（x） =0 ，得 x= lna．⋯若 x＜ lna f′（ x）＞ 0，从而 f（ x）在区（∞， lna）上是增函数；若 x＞ lna f′（ x）＜ 0，从而 f（ x）在区（ lna， +∞）上是减函数．上可知：当 a≤ 0 ， f （ x）在区（∞，+∞）上是增函数；a 0f x）在区（∞lna lna ∞当＞，（，）上是增函数，在区（， + ）上是减函数．a≤ 0 ， f（ x）≤ 0 不恒建立．又因当 a＞0 ， f（ x）在区（∞， lna）上是增函数，在区（ lna， +∞）上是减函数，因此 f （x）在点 x= lna 取最大，且 f （ lna） = lna ae﹣lna= lna 1．⋯⋯（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当令 lna 1≤ 0，得，故 f （x）≤ 0 x∈ R 恒建立， a 的取范是．⋯19．已知函数 f （ x） =lnx ax+1， a∈ R 是常数．（Ⅰ）求函数y=f （ x）的象在点P（ 1， f （ 1））的切 l 的方程；（Ⅱ）明：函数y=f （ x）（ x≠ 1）的象在直l 的下方；（Ⅲ）函数y=f （x）零点的个数．【考点】利用数求区上函数的最；利用数研究曲上某点切方程．【剖析】（Ⅰ）求函数的数，利用数的几何意求函数y=f（ x）的象在点 P（ 1，f（ 1））的切 l 的方程；（Ⅱ）结构函数F（ x） =f （ x）（ 1 a） x，利用数求函数的最，利用最明：函数 y=f （ x）（ x≠ 1）的象在直l 的下方；（Ⅲ）利用数确立函数的取状况，确立函数y=f （ x）零点的个数．【解答】解：（Ⅰ）函数的定域（0， +∞），函数的数，⋯f （ 1） = a+1，因此切斜率k=f' （1） =1 a，因此切 l 的方程y（ 1 a） =（ 1 a）（x 1），即 y= （ 1 a） x．⋯（Ⅱ）令F x）=f x 1 a x=lnx x 1x0F' x）==0（（）（）+ ，＞，（，解得x=1．x（0，1）1（ 1， +∞）F' x）+0（F（ x）↗最大↘⋯F（ 1）＜ 0，因此 ? x＞ 0 且 x≠1， F（ x）＜ 0，因此 f（ x）＜（ 1 a） x，即函数 y=f （x）（ x≠ 1）的象在直l 的下方．⋯（Ⅲ）令f x=lnx ax 1=0，a=．（）+令 g（ x）=， g'（x） =，g（ x）在（ 0， 1）上增，在（1， +∞）上减，当 x=1 ， g（ x）的最大g（1） =1．因此若 a＞ 1， f（ x）无零点；若 f （x）有零点， a≤1．⋯若 a=1， f（ x）=lnx ax+1=0 ，由（Ⅰ）知f（ x）有且有一个零点x=1．a 0f（x）=lnx ax 1f x）有且若≤，+ 增，由函数与数函数性比，知（有一个零点（或：直y=ax 1 与曲 y=lnx 有一个交点）．若 0＜ a＜ 1，解 f'（ x）=，得x=，由函数的性得悉f（ x）在 x=取最大，f （） =ln，由函数与数函数性比知，当x 充足大 f （ x）＜ 0，即 f（x）在减区（∞f（=，， + ）有且有一个零点；又因因此 f（ x）在增区（0，）有且有一个零点．上所述，当a＞ 1 ， f （ x）无零点；当 a=1 或 a≤ 0 ， f（ x）有且有一个零点；当 0＜ a＜ 1 ， f （ x）有两个零点．⋯20．函数 f （ x）的定域R，且 f（ x）的不恒0，又于随意的数m， n，有建立．（1）求 f（ 0）的；（2）求： t?f（ t）≥ 0 随意的 t∈ R 建立；（3）求全部足条件的函数 f （ x）．【考点】抽象函数及其用；函数恒建立．【剖析】（ 1）由已知中随意的数m，n，有建立，令m=n=0，易得 f（ 0）的；（2）由已知中随意的数m， n，有建立，令m=n，即可得到；（3）由已知中随意的数m， n，有建立，令m=2n=2x，即可获得．【解答】解：（ 1）令 m=n=0∴f 2（0） =0∴ f（ 0） =0（2）令 m=n∴∴ 于随意的t∴即（3）令 m=2n=2x∴=f 2（ x） +xf （x）当 f （x） =0 恒建立，当 f （x）≠ 0 有，∴f 2（2x ） =[ f（ x）+x]2=4xf （ x）∴f（x） =x ．2016年11月19日。

2016首师大附属育新学校高二（上）期中数学一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）直线x=tan60°的倾斜角是（）A．90° B．60° C．30° D．没有倾斜角2．（4分）若直线（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y=4m﹣1在x轴上的截距为1，则实数m是（）A．1 B．2 C．﹣ D．2或﹣3．（4分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y﹣3）2=14．（4分）如图，方程y=ax+表示的直线可能是（）A．B．C．D．5．（4分）已知直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0平行，则系数a=（）A．﹣3 B．﹣6 C．D．6．（4分）直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+1=0垂直，则l的方程是（）A．3x+2y+7=0 B．2x﹣3y+5=0 C．3x+2y﹣1=0 D．2x﹣3y+8=07．（4分）若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）A．B．C．D．8．（4分）已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（）A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能9．（4分）已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（）A．B． C．D．10．（4分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．11．（4分）已知直线l1：y=xsinα和直线l2：y=2x+c，则直线l1与l2（）A．通过平移可以重合B．不可能垂直C．可能与x轴围成等腰直角三角形D．通过绕l1上某点旋转可以重合12．（4分）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h= cm．14．（3分）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是．15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于．16．（3分）点A（﹣4，2）和点B（2，m）关于直线5x﹣y+n=0对称，则实数n的值为．17．（3分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为．18．（3分）已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为．三、解答题（本大题共3小题，满分34分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x﹣3y+16=0，CA：2x+y﹣2=0，求AC边上的高所在的直线方程．20．（12分）已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0．（1）若直线ι过P且被圆C截得的线段长为4，求ι的方程；（2）求过P点的⊙C的弦的中点轨迹方程．21．（12分）已知圆O的方程为x2+y2=16．（1）求过点M（﹣4，8）的圆O的切线方程；（2）过点N（3，0）作直线与圆O交于A、B两点，求△OAB的最大面积以及此时直线AB的斜率．数学试题答案一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．【解答】解：直线x=tan60°与x轴垂直，倾斜角是直角．故选：A．2．【解答】由题意知2m2+m﹣3≠0，令y=0，得在x轴上截距为=1，即2m2﹣3m﹣2=0，解得，m=2或m=﹣．故选D．3．【解答】解法1（直接法）：设圆心坐标为（0，b），则由题意知，解得b=2，故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1．故选A．解法2（数形结合法）：由作图根据点（1，2）到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1故选A．解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C．故选：A．4．【解答】方程y=ax+可以看作一次函数，其斜率a和截距同号，只有B符合，其斜率和截距都为负．故选：B．5．【解答】∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴它们的斜率相等，∴﹣=3∴a=﹣6故选：B．6．【解答】∵直线2x﹣3y+1=0的斜率为，由垂直可得所求直线的斜率为﹣，∴所求直线的方程为y﹣2=﹣（x+1），化为一般式可得3x+2y﹣1=0故选：C．7．【解答】联立两直线方程得：，将①代入②得：x=③，把③代入①，求得y=，所以两直线的交点坐标为（，），因为两直线的交点在第一象限，所以得到，由①解得：k＞﹣；由②解得k＞或k＜﹣，所以不等式的解集为：k＞，设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＞，所以θ∈（，）．方法二、∵直线l恒过定点（0，﹣），作出两直线的图象．，设直线2x+3y﹣6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B．从图中看出，斜率k AP＜k＜+∞，即＜k＜+∞，故直线l的倾斜角的取值范围应为（，）．故选B．8．【解答】将圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，∴圆心C（2，0），半径r=2，又P（3，0）与圆心的距离d==1＜2=r，∴点P在圆C内，又直线l过P点，则直线l与圆C相交．故选A．9．【解答】由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形，由正视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2故其侧视图为直角边长为2和的直角三角形，故选B．10．【解答】作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A11．【解答】直线l1：y=xsinα的斜率为sinα，而sinα∈[﹣1，1]，即直线l1的斜率k1∈[﹣1，1]，直线l2：y=2x+c的斜率k2=2，∵k1≠k2，∴直线l1与l2不可能平行，即两直线必然相交，则直线l1与l2可以通过绕l1上某点旋转可以重合．故选D12．【解答】分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求．故选B．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．【解答】根据三视图可知，几何体的体积为：V=又因为V=20，所以h=4故答案为：414．【解答】①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，1）代入所设的方程得：a=2，则所求直线的方程为x+y=2；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，1）代入所求的方程得：k=1，则所求直线的方程为y=x．综上，所求直线的方程为：x+y=2或y=x．故答案为：x+y=2或y=x15．【解答】圆x2+y2=4的圆心坐标为（0，0），半径为2∵圆心到直线3x+4y﹣5=0的距离为=1∴弦AB的长等于2=故答案为：16．【解答】∵点A（﹣4，2）和点B（2，m）关于直线5x﹣y+n=0对称，∴，求得m=，n=，∴实数n=，故答案为：．17．【解答】由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．18．【解答】如图所示：直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0 即k（x﹣2）﹣2y+8=0，过定点B（2，4），与y 轴的交点C（0，4﹣k），直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0，即 2x﹣4+k2（y﹣4）=0，过定点（2，4 ），与x 轴的交点A（2 k2+2，0），由题意知，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，故所求四边形的面积为×4×（2 k2+2﹣2）+=4k2﹣k+8，∴k=时，所求四边形的面积最小，故答案为．三、解答题（本大题共3小题，满分34分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．【解答】由得B（﹣4，0），设AC边上的高为BD，由BD⊥CA，可知 BD的斜率等于=，用点斜式写出AC边上的高所在的直线方程为 y﹣0=（x+4 ），即 x﹣2y+4=0．20．【解答】（1）由圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0得圆心坐标为（﹣2，6），半径为4又因为直线ι被圆C截得的线段长为4，所以直线ι与圆心的距离为2当直线斜率存在时，设L的斜率是k，过P（0，5），设直线ι：y=kx+5，即kx﹣y+5=0∵直线ι与圆C的圆心相距为2，∴d==2，解得k=，此时直线的方程为3x﹣4y+20=0当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0，也符合题意．故所求直线的方程为3x﹣4y+20=0或x=0．（8分）（2）设过P点的圆c的弦的中点D的坐标为（x，y），则∵CD⊥PD，∴（x+2）•x+（y﹣6）•（y﹣5）=0化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x﹣11y+30=0．（14分）21．【解答】（1）∵圆O的方程为x2+y2=16，∴圆心为O（0，0），半径r=4，设过点M（﹣4，8）的切线方程为y﹣8=k（x+4），即kx﹣y+4k+8=0，（1分）则，解得k=﹣，（3分）切线方程为3x+4y﹣20=0（5分）当斜率不存在时，x=﹣4也符合题意．故切线方程为：3x+4y﹣20=0或x=﹣4．（6分）（2）当直线AB的斜率不存在时，，（7分）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k=0，圆心O（0，0）到直线AB的距离d=，（9分）线段AB的长度|AB|=2，∴．（11分）当且仅当d2=8时取等号，此时，解得k=．所以，△OAB的最大面积为8，此时直线AB的斜率为．（12分）。

2015-2016学年北京市首师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤22．若角α满足条件sin2α＜0，cosα﹣sinα＜0，则α在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若log a＜1，则a的取值范围是（）A．0＜a＜B．a＞C．＜a＜1 D．0＜a＜或a＞14．已知函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式是（）A．g（x）=2﹣x+3+x﹣3 B．g（x）=2﹣x﹣3+x﹣3 C．g（x）=2﹣x+3+x+3 D．g（x）=2﹣x﹣3+x+35．在平行四边形ABCD中，若，则必有（）A．B．或C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形6．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f （x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）9．cos70°cos335°+sin110°sin25°=______．10．若=（2，3），=（﹣1，1），则在方向上的正射影的数量为______．11．已知三个向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A、B、C三点共线，则k=______．12．已知α∈（，π），β∈（﹣，0），且sinα=，cosβ=，则α﹣β的值为______．13．已知tanθ=3，则=______．14．使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是______．三、解答题（共4小题，满分44分）15．已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时：（1）k+与﹣3垂直；（2）k+与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？16．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的周期；（2）求函数f（x）在[﹣，]的取值范围．17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．（1）若x∈[2，6]时，f（x）max=f（2）=2，f（x）min=f（6）=﹣2且f（x）在[2，6]上单调递减，求ω，φ的值；（2）若φ=且函数f（x）在[0，]上单调递增，求ω的取值范围；（3）若φ=0且函数f（x）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，求ω的取值范围．18．如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“X﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x﹣3是否为“X﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（x）=是“X﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A 与B．2015-2016学年北京市首师大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，两个集合有公共元素，得到两个集合中所包含的元素有公共的元素，得到a与﹣1的关系．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，∴两个集合有公共元素，∴a要在﹣1的右边，∴a＞﹣1，故选C．2．若角α满足条件sin2α＜0，cosα﹣sinα＜0，则α在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角；二倍角的正弦．【分析】由sin2α＜0，确定2α的象限，确定α的象限范围，根据cosα﹣sinα＜0，判定α的具体象限．【解答】解：∵sin2α＜0，∴2α在第三、四象限或y的负半轴．2kπ+π＜2α＜2kπ+2π，k∈Z，∴kπ+＜α＜kπ+π，k∈Z∴α在第二、四象限．又∵cosα﹣sinα＜0，∴α在第二象限．故选：B．3．若log a＜1，则a的取值范围是（）A．0＜a＜B．a＞C．＜a＜1 D．0＜a＜或a＞1【考点】指、对数不等式的解法．【分析】运用对数函数的单调性，分a＞1，0＜a＜1两种情况，注意先求交集，再求并集即可．【解答】解：log a＜1=log a a，当a＞1时，不等式即为a＞，则有a＞1成立；当0＜a＜1时，不等式即为a＜，即有0＜a＜．综上可得，a的范围为a＞1或0＜a＜．故选D．4．已知函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式是（）A．g（x）=2﹣x+3+x﹣3 B．g（x）=2﹣x﹣3+x﹣3 C．g（x）=2﹣x+3+x+3 D．g（x）=2﹣x﹣3+x+3【考点】函数的图象与图象变化．【分析】欲求g（x）的解析式，只须根据：“f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g （x）的图象”将x→x﹣3由f（x）的解析式即可得到．【解答】解：∵函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，∴x→x﹣3，又∵f（x）=2﹣x+x∴g（x）=f（x﹣3）=2﹣x+3+x﹣3．故选A．5．在平行四边形ABCD中，若，则必有（）A．B．或C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形【考点】向量在几何中的应用；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先由向量的加法运算法则知知对角线相等，再由矩形定义求解．【解答】解：在平行四边形ABCD中，∵∴平行四边形的对角线相等由矩形的定义知：平行四边形ABCD是矩形．故选C6．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，由当x=时，y=1＞0，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f （x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得函数y=f（x）是周期为2的偶函数，数形结合可得函数y=f（x）与y=log5x 的图象的交点个数．【解答】解：由题意可得函数y=f（x）是周期为2的偶函数，再根据x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，可得函数y=f（x）的图象，数形结合可得函数y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为4，故选B．8．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】建立坐标系可得=（λ﹣μ，μ），A，B选项可举反例说明，通过P 的位置的讨论，结合不等式的性质可得0≤λ+μ≤3，进而可判C，D的正误，进而可得答案．【解答】解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），E（﹣1，1），故=（1，0），=（﹣1，1），所以=（λ﹣μ，μ），当λ=μ=1时，=（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2，但P不是BC的中点，故A 错误；当λ=1，μ=0时，=（1，0），此时点P与B重合，满足λ+μ=1，当λ=，μ=时，=（0，），此时点P为AD的中点，满足λ+μ=1，故满足λ+μ=1的点不唯一，故B错误；当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，当P∈BC时，有λ﹣μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，当P∈AD时，有λ﹣μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，综上可得0≤λ+μ≤3，故C正确，D错误．故选C二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）9．cos70°cos335°+sin110°sin25°=．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】根据诱导公式和两角差的余弦公式计算即可．【解答】解：cos70°cos335°+sin110°sin25°=cos70°cos25°+sin70°sin25°=cos（70°﹣25°）=cos45°=，10．若=（2，3），=（﹣1，1），则在方向上的正射影的数量为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的关系进行化简，结合向量投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵=（2，3），=（﹣1，1），∴在方向上的正射影的数量||cos＜，＞===，故答案为：11．已知三个向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A、B、C三点共线，则k=﹣2或11．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】先求出和的坐标，利用和共线的性质x1y2﹣x2y1=0，解方程求出k的值．【解答】解：由题意可得=（4﹣k，﹣7），=（6，k﹣5），由于和共线，故有（4﹣k）（k﹣5）+42=0，解得k=11或k=﹣2．故答案为：﹣2或11．12．已知α∈（，π），β∈（﹣，0），且sinα=，cosβ=，则α﹣β的值为．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】根据αβ的取值范围，利用同角三角函数的基本关系分别求得cosα和sinβ，由两角差的和正弦公式求得sin（α﹣β），根据α﹣β∈（，），即可求得α﹣β的值．【解答】解：由α∈（，π），β∈（﹣，0），sinα=，cosβ=，∴α﹣β∈（，），cosα＜0，sinβ＜0，cosα=﹣=﹣=﹣，sinβ=﹣=﹣=﹣，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ，=×﹣（﹣）（﹣），=﹣，∴α﹣β=．13．已知tan θ=3，则= ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角公式以及平方关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可．【解答】解：tan θ=3，则====．故答案为：．14．使不等式sin 2x +acosx +a 2≥1+cosx 对一切x ∈R 恒成立的负数a 的取值范围是 a ≤﹣2 ． 【考点】其他不等式的解法．【分析】利用公式1=cos 2x +sin 2x ，进行代换，可得cos 2x +（1﹣a ）cosx ﹣a 2≤0，然后利用换元法和二次函数的性质列出性质进行求解．【解答】解：1﹣cos 2x +acosx +a 2≥1+cosx ⇒cos 2x +（1﹣a ）cosx ﹣a 2≤0， 令t=cosx ， ∵x ∈R ，∴t ∈[﹣1，1]，t 2+（1﹣a ）t ﹣a 2≤0，由题意知a ＜0∴．故答案为a ≤﹣2．三、解答题（共4小题，满分44分）15．已知=（1，2），=（﹣3，2），当k 为何值时：（1）k +与﹣3垂直；（2）k +与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？ 【考点】平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．【分析】（1）由题意可得 k + 和﹣3 的坐标，由 k + 与﹣3 垂直可得它们的数量积等于 0，由此解得k 的值．（2）由 k + 与﹣3 平行的性质，可得（k ﹣3）（﹣4）﹣（2k +2）×10=0，解得k 的值．再根据 k + 和﹣3 的坐标，可得k + 与﹣3 方向相反．【解答】解：（1）由题意可得 k +=（k ﹣3，2k +2），﹣3=（10，﹣4），由 k + 与﹣3 垂直可得 （k ﹣3，2k +2）•（10，﹣4）=10（k ﹣3）+（2k +2）（﹣4）=0，解得k=19．（2）由 k + 与﹣3 平行，可得（k ﹣3）（﹣4）﹣（2k +2）×10=0，解得k=﹣，此时，k+=﹣+=（﹣，），﹣3=（10，﹣4），显然k+与﹣3方向相反．16．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的周期；（2）求函数f（x）在[﹣，]的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）化简函数f（x）为Asin（ωx+φ）的形式，求出最小正周期；（2）由x∈[﹣，]求出相位的取值范围，再计算f（x）的取值范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+=sin2x﹣+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），…由T=得，最小正周期T=π；…（2）∵x∈[﹣，]，∴﹣≤2x﹣≤π，…∴﹣1≤sin（2x﹣）≤1，…函数f（x）在[﹣，]的取值范围：[﹣1，1]．17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．（1）若x∈[2，6]时，f（x）max=f（2）=2，f（x）min=f（6）=﹣2且f（x）在[2，6]上单调递减，求ω，φ的值；（2）若φ=且函数f（x）在[0，]上单调递增，求ω的取值范围；（3）若φ=0且函数f（x）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，求ω的取值范围．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的最值．【分析】（1）根据正弦型函数f（x）的图象与性质，结合题意求出周期T，即可得出ω的值，再根据f（x）的最值求出φ的值；（2）根据φ=时函数f（x）在[0，]上单调递增，列出不等式求出ω的取值范围；（3）根据φ=0时f（x）为奇函数，结合正弦函数的图象与性质即可求出满足条件的ω的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），当x∈[2，6]时，f（x）max=f（2）=2，f（x）min=f（6）=﹣2，∴T=2（6﹣2）=8=，∴ω=，∴f（x）=2sin（x+φ）；把（2，2）代入f（x）得2=2sin（+φ），∴cosφ=1；∵|φ|＜，∴φ=0；（2）当φ=时，函数f（x）=2sin（ωx+）在[0，]上单调递增，∴≤ωx+≤ω+，∴ω+≤，解得ω≤1；又ω＞0，∴ω的取值范围是（0，1]；（3）当φ=0时，f（x）=2sinωx，∵f（x）为奇函数，要使f（x）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，只需f（x）=0在（0，π]上恰有9个根，∴T≤π＜5T，即•≤π＜5•，解得9≤ω＜10，即ω的取值范围是[9，10）．18．如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“X﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x﹣3是否为“X﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（x）=是“X﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】（Ⅰ）根据“X﹣函数”的定义即可判断所给的3个函数是否为“X﹣函数”；（Ⅱ）由题意，对任意x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x），利用不等式求出a的取值范围；（Ⅲ）（1）根据题意，判断对任意的x≠0，x与﹣x恰有一个属于A，另一个属于B；（2）用反证法说明（﹣∞，0）⊆B，（0，+∞）⊆A；（3）用反证法说明0∈A，即得A、B．【解答】解：（Ⅰ）①、②是“X﹣函数”，③不是“X﹣函数”；﹣﹣﹣﹣（说明：判断正确一个或两个函数给1分）（Ⅱ）由题意，对任意的x ∈R ，f （﹣x ）≠﹣f （x ），即f （﹣x ）+f （x ）≠0； 因为f （x ）=sinx +cosx +a ，所以f （﹣x ）=﹣sinx +cosx +a ，故f （x ）+f （﹣x ）=2cosx +2a ；由题意，对任意的x ∈R ，2cosx +2a ≠0，即a ≠﹣cosx ；﹣﹣﹣又cosx ∈[﹣1，1]，所以实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；﹣﹣﹣（Ⅲ）（1）对任意的x ≠0，（i ）若x ∈A 且﹣x ∈A ，则﹣x ≠x ，f （﹣x ）=f （x ），这与y=f （x ）在R 上单调递增矛盾，（舍去），（ii ）若x ∈B 且﹣x ∈B ，则f （﹣x ）=﹣x=﹣f （x ），这与y=f （x ）是“X ﹣函数”矛盾，（舍去）；此时，由y=f （x ）的定义域为R ，故对任意的x ≠0，x 与﹣x 恰有一个属于A ，另一个属于B ；（2）假设存在x 0＜0，使得x 0∈A ，则由x 0＜，故f （x 0）＜f （）；（i ）若∈A ，则f （）=+1＜+1=f （x 0），矛盾，（ii ）若∈B ，则f （）=＜0＜+1=f （x 0），矛盾； 综上，对任意的x ＜0，x ∉A ，故x ∈B ，即（﹣∞，0）⊆B ，则（0，+∞）⊆A ； （3）假设0∈B ，则f （﹣0）=﹣f （0）=0，矛盾，故0∈A ；故A=[0，+∞），B=（﹣∞，0]；经检验A=[0，+∞），B=（﹣∞，0），符合题意．﹣﹣﹣2016年9月28日。

2015-2016学年北京市首师大附属育新学校高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）直线x=tan60°的倾斜角是（）A．90°B．60°C．30°D．没有倾斜角2．（4分）若直线（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y=4m﹣1在x轴上的截距为1，则实数m是（）A．1 B．2 C．﹣ D．2或﹣3．（4分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y ﹣3）2=14．（4分）如图，方程y=ax+表示的直线可能是（）A． B． C． D．5．（4分）已知直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0平行，则系数a=（）A．﹣3 B．﹣6 C．D．6．（4分）直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+1=0垂直，则l的方程是（）A．3x+2y+7=0 B．2x﹣3y+5=0 C．3x+2y﹣1=0 D．2x﹣3y+8=07．（4分）若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）A．B．C．D．8．（4分）已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（）A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能9．（4分）已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（）A．B． C．D．10．（4分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．11．（4分）已知直线l1：y=xsinα和直线l2：y=2x+c，则直线l1与l2（）A．通过平移可以重合B．不可能垂直C．可能与x轴围成等腰直角三角形D．通过绕l1上某点旋转可以重合12．（4分）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h=cm．14．（3分）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是．15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于．16．（3分）点A（﹣4，2）和点B（2，m）关于直线5x﹣y+n=0对称，则实数n 的值为．17．（3分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为．18．（3分）已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为．三、解答题（本大题共3小题，满分34分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x﹣3y+16=0，CA：2x+y﹣2=0，求AC边上的高所在的直线方程．20．（12分）已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0．（1）若直线ι过P且被圆C截得的线段长为4，求ι的方程；（2）求过P点的⊙C的弦的中点轨迹方程．21．（12分）已知圆O的方程为x2+y2=16．（1）求过点M（﹣4，8）的圆O的切线方程；（2）过点N（3，0）作直线与圆O交于A、B两点，求△OAB的最大面积以及此时直线AB的斜率．2015-2016学年北京市首师大附属育新学校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）直线x=tan60°的倾斜角是（）A．90°B．60°C．30°D．没有倾斜角【解答】解：直线x=tan60°与x轴垂直，倾斜角是直角．故选：A．2．（4分）若直线（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y=4m﹣1在x轴上的截距为1，则实数m是（）A．1 B．2 C．﹣ D．2或﹣【解答】解：由题意知2m2+m﹣3≠0，令y=0，得在x轴上截距为=1，即2m2﹣3m﹣2=0，解得，m=2或m=﹣．故选：D．3．（4分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y ﹣3）2=1【解答】解法1（直接法）：设圆心坐标为（0，b），则由题意知，解得b=2，故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1．故选A．解法2（数形结合法）：由作图根据点（1，2）到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1故选A．解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C．故选：A．4．（4分）如图，方程y=ax+表示的直线可能是（）A． B． C． D．【解答】解：方程y=ax+可以看作一次函数，其斜率a和截距同号，只有B 符合，其斜率和截距都为负．故选：B．5．（4分）已知直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0平行，则系数a=（）A．﹣3 B．﹣6 C．D．【解答】解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴它们的斜率相等，∴﹣=3∴a=﹣6故选：B．6．（4分）直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+1=0垂直，则l的方程是（）A．3x+2y+7=0 B．2x﹣3y+5=0 C．3x+2y﹣1=0 D．2x﹣3y+8=0【解答】解：∵直线2x﹣3y+1=0的斜率为，由垂直可得所求直线的斜率为﹣，∴所求直线的方程为y﹣2=﹣（x+1），化为一般式可得3x+2y﹣1=07．（4分）若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）A．B．C．D．【解答】解：联立两直线方程得：，将①代入②得：x=③，把③代入①，求得y=，所以两直线的交点坐标为（，），因为两直线的交点在第一象限，所以得到，由①解得：k＞﹣；由②解得k＞或k＜﹣，所以不等式的解集为：k＞，设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＞，所以θ∈（，）．方法二、∵直线l恒过定点（0，﹣），作出两直线的图象．，设直线2x+3y﹣6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B．从图中看出，斜率k AP＜k＜+∞，即＜k＜+∞，故直线l的倾斜角的取值范围应为（，）．故选：B．8．（4分）已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（）A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，∴圆心C（2，0），半径r=2，又P（3，0）与圆心的距离d==1＜2=r，∴点P在圆C内，又直线l过P点，则直线l与圆C相交．9．（4分）已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（）A．B． C．D．【解答】解：由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形，由正视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2故其侧视图为直角边长为2和的直角三角形，故选：B．10．（4分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z 越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选：A．11．（4分）已知直线l1：y=xsinα和直线l2：y=2x+c，则直线l1与l2（）A．通过平移可以重合B．不可能垂直C．可能与x轴围成等腰直角三角形D．通过绕l1上某点旋转可以重合【解答】解：直线l1：y=xsinα的斜率为sinα，而sinα∈[﹣1，1]，即直线l1的斜率k1∈[﹣1，1]，直线l2：y=2x+c的斜率k2=2，∵k1≠k2，∴直线l1与l2不可能平行，即两直线必然相交，则直线l1与l2可以通过绕l1上某点旋转可以重合．故选：D．12．（4分）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求．故选：B．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h=4cm．【解答】解：根据三视图可知，几何体的体积为：V=又因为V=20，所以h=4故答案为：414．（3分）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是x+y=2或y=x．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，1）代入所设的方程得：a=2，则所求直线的方程为x+y=2；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，1）代入所求的方程得：k=1，则所求直线的方程为y=x．综上，所求直线的方程为：x+y=2或y=x．故答案为：x+y=2或y=x15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于．【解答】解：圆x2+y2=4的圆心坐标为（0，0），半径为2∵圆心到直线3x+4y﹣5=0的距离为=1∴弦AB的长等于2=故答案为：16．（3分）点A（﹣4，2）和点B（2，m）关于直线5x﹣y+n=0对称，则实数n的值为．【解答】解：∵点A（﹣4，2）和点B（2，m）关于直线5x﹣y+n=0对称，∴，求得m=，n=，∴实数n=，故答案为：．17．（3分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【解答】解：由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．18．（3分）已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为．【解答】解：如图所示：直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0 即k（x﹣2）﹣2y+8=0，过定点B（2，4），与y 轴的交点C（0，4﹣k），直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0，即2x﹣4+k2（y﹣4）=0，过定点（2，4 ），与x 轴的交点A（2 k2+2，0），由题意知，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形OCBD的面积之和，故所求四边形的面积为×4×（2 k2+2﹣2）+=4k2﹣k+8，∴k=时，所求四边形的面积最小，故答案为．三、解答题（本大题共3小题，满分34分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x﹣3y+16=0，CA：2x+y﹣2=0，求AC边上的高所在的直线方程．【解答】解：由得B（﹣4，0），设AC边上的高为BD，由BD⊥CA，可知BD的斜率等于=，用点斜式写出AC边上的高所在的直线方程为y﹣0=（x+4 ），即x﹣2y+4=0．20．（12分）已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0．（1）若直线ι过P且被圆C截得的线段长为4，求ι的方程；（2）求过P点的⊙C的弦的中点轨迹方程．【解答】解：（1）由圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0得圆心坐标为（﹣2，6），半径为4又因为直线ι被圆C截得的线段长为4，所以直线ι与圆心的距离为2当直线斜率存在时，设L的斜率是k，过P（0，5），设直线ι：y=kx+5，即kx﹣y+5=0∵直线ι与圆C的圆心相距为2，∴d==2，解得k=，此时直线的方程为3x﹣4y+20=0当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0，也符合题意．故所求直线的方程为3x﹣4y+20=0或x=0．（8分）（2）设过P点的圆c的弦的中点D的坐标为（x，y），则∵CD⊥PD，∴（x+2）•x+（y﹣6）•（y﹣5）=0化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x﹣11y+30=0．（14分）21．（12分）已知圆O的方程为x2+y2=16．（1）求过点M（﹣4，8）的圆O的切线方程；（2）过点N（3，0）作直线与圆O交于A、B两点，求△OAB的最大面积以及此时直线AB的斜率．【解答】解：（1）∵圆O的方程为x2+y2=16，∴圆心为O（0，0），半径r=4，设过点M（﹣4，8）的切线方程为y﹣8=k（x+4），即kx﹣y+4k+8=0，（1分）则，解得k=﹣，（3分）切线方程为3x+4y﹣20=0（5分）当斜率不存在时，x=﹣4也符合题意．故切线方程为：3x+4y﹣20=0或x=﹣4．（6分）（2）当直线AB的斜率不存在时，，（7分）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k=0，圆心O（0，0）到直线AB的距离d=，（9分）线段AB的长度|AB|=2，∴．（11分）当且仅当d2=8时取等号，此时，解得k=．所以，△OAB的最大面积为8，此时直线AB的斜率为．（12分）。

北京四中2015－2016学年上学期高一年级期中考试数学试卷 有答案试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，共计150分 考试时间：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 已知集合}3,2,1{=A ，则 A. A ∈1B. A ∈0C. A ∈∅D. A ⊆}2,1,0{2. 式子214-的值为A. －2B.2C.22 D.21 3. 下列函数中，在区间),0(+∞上为减函数的是 A. x x y 22-= B. x y 2=C. x y lg =D. x y -=4. 已知集合}02|{2>-=x x x A ，集合)3,1(=B ，则 A. A B ⊆B. B A ⊆C. ∅≠B AD. R B A =5. 下列函数是偶函数的为 A. xy 1=B. x y ln =C. 2||1+=x yD. xx y 1-= 6. 若)(x f 是奇函数，且0>x 时，1)(+=x x f ，则0<x 时，)(x f ＝ A. 1+-xB. 1--xC. 1-xD. 1+x7. 函数x x f x32)(+=的零点所在的一个区间是 A. )1,2(--B. )0,1(-C. )1,0(D. )2,1(8. 设3.0231)21(,3log ,2log ===c b a ，则A. c b a <<B. b c a <<C. a c b <<D. c a b <<9. 若函数)(x f 是偶函数，且在区间]2,0[上单调递减，则 A. )2(lg )2()1(f f f >>- B. )2()1()2(lg f f f >-> C. )2(lg )1()2(f f f >->D. )1()2()2(lg ->>f f f10. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=,0,,0,1)21()(21x x x x f x若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是A. )1,1(-B. ),1(+∞-C. ),1()1,(+∞--∞D. ),0()2,(+∞--∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 函数21)(-=x x f 的定义域是__________。