第02讲 和差问题

第2讲和差倍综合【学习目标】1、复习和差倍问题；2、进一步熟悉画图法。

【知识梳理】1、和差问题：大数=（和+差）÷2，小数=（和-差）÷2=和-大数；2、和倍问题：小数=和÷（倍数+1），大数=小数×倍数=和-小数；3、差倍问题：小数=和÷（倍数-1）。

大数=小数×倍数=小数+差。

【典例精析】【例1】老师桌上有一大叠作业本，其中有162本不是一班的，143本不是二班的，一班和二班的共有87本，那么二班的作业本共有____本．【趁热打铁-1】薇薇有很多糖果，其中有45颗分给了除龙龙以外的同学，有54颗分给了除新新以以外的同学，龙龙和新新分得23颗，那么龙龙分到颗，新新分到颗．【例2】甲、乙车间共有工人204人，若从甲车间调5人到乙车间，这时，甲车间还比乙车间多4人．问甲、乙两车间原来各有多少人？【趁热打铁-2】哥哥和弟弟共有图书120本，哥哥给了弟弟5本书后，哥哥还比弟弟多10本，哥哥与弟弟原有图书各多少本？【例3】有甲乙两物体，以一定的速度在周长100米的圆周上反向运动，每4秒相遇一次；如果按同一方向运动，那么每隔20秒甲追上乙一次．甲、乙两物体的速度分别是每秒______、______米．【趁热打铁-3】龙龙和薇薇以一定的速度在周长120米的圆周上反向运动，每5秒相遇一次；如果按同一方向运动，那么每隔30秒甲追上乙一次．甲、乙两物体的速度分别是每秒______、______米．【例4】喜羊羊和懒羊羊共有邮票70张，喜羊羊的邮票张数比懒羊羊的4倍还多5张．喜羊羊有____张，懒羊羊有____张．【趁热打铁-4】甲、乙两个油桶中共有100千克油，将乙桶中的15千克油注入甲桶，此时甲桶中的油是乙桶中的油的4倍．那么，原来甲桶中油比乙桶中的油多____千克．【例5】四、五、六年级共植树110棵，六年级植的棵数是四年级的3倍少1棵，五年级植的棵数是四年级的2倍多3棵，那么，四年级植树____棵．【趁热打铁-5】甲、乙、丙三人共有钱306元，甲的钱比乙的2倍多8元，乙的钱比丙的3倍多6元．甲、乙、丙三人各有钱多少元？【例6】甲、乙、丙、丁四名同学相约把各自积攒的零用钱全部捐给地震灾区的小朋友，四人总共捐了154元．其中甲捐的钱数是乙的3倍，乙捐的钱数比丙多7元，丙捐的钱数是丁的一半，求他们各捐多少钱？【趁热打铁-6】今年甲、乙、丙、丁四人的年龄之和是72岁，甲的年龄是乙的3倍，丙的年龄是丁的3倍，又已知 6 年前丁的年龄比乙大2岁，那么今年丙的年龄是____岁．【例7】小明今年2岁，妈妈26岁，那么，______年后妈妈的年龄是小明的3倍。

和差问题公式和差问题是高中数学中的一类代数问题，也是解线性方程组的常用方法之一。

所谓和差问题，即通过构造等量代换或运算，利用两个或多个数的和、差的关系，求解未知数的问题。

这类问题广泛应用于数学竞赛、应试考试以及实际问题中。

在解和差问题时，我们需要灵活运用代数知识和数学算法，通过构造等式或等量代换，将复杂的问题简化为最基本的数学运算。

下面我们将介绍和差问题的公式和一些典型例题，帮助读者更好地理解和掌握这一技巧。

1. 和差问题的基本公式对于两个数a和b，和差问题的基本公式如下：(1) 两数之和：a + b(2) 两数之差：a - b(3) 两数之积：ab(4) 两数之商：a/b2. 和差问题的应用2.1. 解线性方程组线性方程组是高中数学中的重要内容，解线性方程组的一种常用方法就是利用和差关系。

通过构造等量代换，我们可以将复杂的线性方程组转化为简单的和差方程组，在解题过程中更容易操作。

下面是一个典型的例子：例题1：解方程组{ x + y = 8{ x - y = 2解法：我们可以通过两个方程的加减法得到和差方程组： { x + y = 8 (I){ x - y = 2 (II)加上：{ 2x = 10{ x = 5再代回方程(I)，可以得到y的值：5 + y = 8y = 3所以解为：x = 5，y = 32.2. 求平均数在求平均数的过程中，我们经常会遇到一些和差问题，例如求一组数的平均数或者某个数与平均数的差。

通过定义公式和等量代换，我们可以简化这类问题的解答。

下面是一个典型的例子：例题2：求一组数的平均数已知10个人的体重分别是60kg、65kg、70kg、75kg、80kg、85kg、90kg、95kg、100kg、105kg，求他们的平均体重。

解法：我们可以通过求和再除以个数的方法，得到这10个人的平均体重，即：平均体重 = (60 + 65 + 70 + 75 + 80 + 85 + 90 + 95 + 100 + 105)/10= 795/10= 79.5kg所以这10个人的平均体重为79.5kg。

和差问题知识点在数学的学习中，和差问题是一个常见且重要的知识点。

掌握和差问题的解法，对于提高我们的数学思维和解题能力有着很大的帮助。

首先，我们来明确一下什么是和差问题。

和差问题是指已知两个数的和以及这两个数的差，求这两个数分别是多少的问题。

举个简单的例子，比如小明和小红一共有 18 颗糖果，小明比小红多 2 颗糖果，那么小明和小红分别有几颗糖果呢？这就是一个典型的和差问题。

解决和差问题，我们有一些常用的方法和思路。

第一种方法是公式法。

我们先记住两个公式：大数＝（和＋差）÷ 2 ，小数＝（和差）÷ 2 。

还是以上面小明和小红的例子来说，他们糖果的总数 18 就是和，小明比小红多的 2 颗就是差。

那么小明的糖果数就是（18 ＋ 2）÷ 2 ＝10 颗，小红的糖果数就是（18 2）÷ 2 ＝ 8 颗。

这种方法简单直接，只要记住公式，代入数值就能很快求出答案。

第二种方法是画图法。

我们可以用线段图来表示两个数的和与差。

比如还是小明和小红的糖果问题，我们先画一条长线段表示他们糖果的总数 18 。

然后从总数中减去小明比小红多的 2 颗，剩下的长度平均分成两份，其中一份就是小红的糖果数。

通过画图，我们可以更直观地看到数量之间的关系，有助于我们理解问题和找到解题的思路。

接下来，我们通过一些具体的例子来加深对和差问题的理解。

例 1：学校买来篮球和足球共 56 个，篮球比足球多 8 个，篮球和足球各有多少个？我们先用公式法来解。

篮球的个数＝（56 ＋ 8）÷ 2 ＝ 32 个，足球的个数＝（56 8）÷ 2 ＝ 24 个。

再用画图法来看，画一条长 56 的线段，然后从里面减去 8 ，剩下的平均分成两份，就可以得到足球的个数是 24 个，篮球的个数是 32 个。

例 2：甲乙两班共有学生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少人？同样，公式法可得甲班人数＝（98 ＋ 6）÷ 2 ＝ 52 人，乙班人数＝（98 6）÷ 2 ＝ 46 人。

和差问题教学目标: 1,了解和差问题 ,掌握解决问题的方法,初步形成解决此类问题的一般性策略. 2,通过本节课的学习启迪学生思维,,培养学生思维能力,改善学生的思维品质.教学重点;和差问题的解题方法及思路。

教学难点;,形成策略思想，形成思维策略，进行策略化解题。

知识点，公式（和+差）÷2=较大数（和-差）÷2=较小数和-较大数=较小数和-较小数=较大数较大数-差=较小数较小数+差=较大数教学过程例一,参加体验夏令营的学生共有96人,男生比女生多8人,男生女生各有多少人?习1，甲乙两桶油共重100千克，已知甲桶比乙桶少油20千克，甲乙两桶油原来各有油多少千克？习2，数学兴趣小组有学生35人，男生比女生多3人，这个兴趣小组男生和女生各有多少人?暗差，有些题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”例二，今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各是多少岁？习1，今年小刚和小强两人年龄和为22岁，一年前，小刚比小强大4岁，今年小刚和小强各是多少岁？习2、粮仓运来面粉和大米共4820千克，面粉比大米多20袋，每袋重50千克。

粮仓运来面粉、大米各多少千克？例三，甲乙两书架共有书480本，如果从甲书架中取出40本放入乙书架中，这时两个书架的本数正好相等，甲乙两个书架原来各有多少本书？习1,两筐苹果共有180个，从乙筐中拿出15个放入甲筐，这时两筐苹果的个数相等。

甲乙两筐原来各有苹果多少个？习2,.甲、乙两筐苹果共76千克,从甲筐取出5千克苹果放入乙筐里,甲乙两筐苹果就一样多,.甲、乙两筐原各有苹果多少千克?例四,甲乙两桶油共重196千克，从甲桶往乙桶倒10千克后，还比乙桶多2千克。

甲桶和乙桶原来各有油多少千克？习1,甲乙两个修路队共有1980人参加修路,从甲队调出285人到乙队, 这时乙队比甲队还少24人,求甲乙两队各有多少人?习2,、甲、乙两个学校共有1245人，如果从甲校调20人去乙校后，甲校比乙校还多5人，两校原有学生各有多少人？例五甲乙两人共有150元钱,如果甲增加13元,而乙减少27元,那么两人的钱数就相等,求甲乙两人各有多少元?习1,甲乙两船共有乘客623人,如果甲船增加34人,乙船减少57人,那么两船的乘客同样多,求甲乙船各有多少乘客?习2, 纺织厂第一车间和第二车间共有工人48人，如果从第一车间调出8人，第二车间增加4人,第一车间的人数比第二车间还多2人。

和差问题知识点在数学的学习中，和差问题是一个常见且重要的知识点。

理解和掌握和差问题，对于提高我们的数学思维和解题能力有着很大的帮助。

什么是和差问题呢？简单来说，就是已知两个数的和以及这两个数的差，求这两个数分别是多少的问题。

例如，小明和小红一共有 30 颗糖果，小明比小红多 6 颗糖果，那么小明和小红分别有多少颗糖果？这就是一个典型的和差问题。

解决和差问题，我们有一些简单易懂的方法。

首先，我们来介绍一下公式法。

假设较大的数是 A，较小的数是 B，两数之和是 M，两数之差是 N。

那么，较大的数 A ＝（两数之和＋两数之差）÷ 2，即 A ＝（M ＋ N）÷ 2 ；较小的数 B ＝（两数之和两数之差）÷ 2，即 B ＝（M N）÷ 2 。

我们还是以上面小明和小红分糖果的例子来解释一下这个公式。

两数之和 M 是 30，两数之差 N 是 6。

那么小明（较大的数）的糖果数 A ＝（30 ＋ 6）÷ 2 ＝ 18（颗）；小红（较小的数）的糖果数 B ＝（30 6）÷ 2 ＝ 12（颗）。

除了公式法，我们还可以通过画线段图的方法来帮助理解和解决和差问题。

比如说，还是小明和小红分糖果的例子。

我们先画一条线段表示小红的糖果数，然后画一条比它长的线段表示小明的糖果数，多出的那一段就是小明比小红多的 6 颗糖果。

而两条线段加起来的长度就是他们一共有的 30 颗糖果。

从图中，我们可以很直观地看出，如果把多的6 颗糖果去掉，剩下的就是两条一样长的线段，也就是小红糖果数的 2 倍。

这样就能很容易地算出小红的糖果数，进而算出小明的糖果数。

和差问题在我们的日常生活中也有很多实际的应用。

比如，在购物时，如果知道两种商品的总价以及它们价格的差值，就可以算出每种商品的价格。

再比如，在计算班级同学的考试总分时，如果知道男生和女生的总分以及他们的分差，也可以算出男生和女生各自的总分。

思维拓展第2讲《和差问题》教案一、教学目标1. 让学生理解和掌握和差问题的基本概念和解决方法。

2. 培养学生运用和差问题的方法解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学思维能力。

二、教学内容1. 和差问题的基本概念和解决方法。

2. 和差问题的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：和差问题的基本概念和解决方法。

2. 教学难点：和差问题的应用。

四、教学过程1. 导入通过生活中的实例导入，激发学生的兴趣，引导学生思考。

2. 新课导入讲解和差问题的基本概念和解决方法，通过例题示范，让学生理解和掌握。

3. 练习巩固让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

4. 应用拓展通过解决实际问题，让学生运用和差问题的方法，培养学生的应用能力。

5. 总结提升对本节课的内容进行总结，提升学生的数学思维能力。

五、教学反思本节课通过讲解和差问题的基本概念和解决方法，让学生理解和掌握和差问题。

通过练习巩固和应用拓展，培养学生的逻辑思维能力和数学思维能力。

但在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高教学效果。

六、作业布置1. 完成课后练习题。

2. 思考和差问题在实际生活中的应用。

七、板书设计思维拓展第2讲《和差问题》教案一、教学目标二、教学内容三、教学重点与难点四、教学过程五、教学反思六、作业布置以上为本节课的教案，希望能对您的教学有所帮助。

重点关注的细节：教学过程教学过程是教案中的核心部分，它详细描述了教师如何引导学生从导入到总结的整个过程，包括新课导入、练习巩固、应用拓展等环节。

以下是对教学过程的详细补充和说明：1. 导入导入环节是激发学生学习兴趣、引起学生思考的重要步骤。

教师可以通过提出一个与和差问题相关的生活实例，如“小明的铅笔比小红的多5支，如果小红有10支铅笔，小明有多少支？”来吸引学生的注意力。

然后，教师可以引导学生思考如何解决这个问题，从而自然地引入和差问题的学习。

导入环节的设计要简洁明了，能够迅速吸引学生的注意力，并激发他们的好奇心和求知欲。

第02讲和差问题和差问题（一）1.要学会画线段图分析核查问题2.注意截取线段和延长线段这两种思考技巧3.要记住和差问题的两大公式。

4.最后注意验算，以防万一例1、两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，两筐水果各多少千克例2、一辆公交车出发时有48人呢，路过A站时，下车的比留下的多8人，请问此时车上还有多少人（请画线段图解题）课堂练习1、两个数的和是100，差是8，这两个数分别是（）和（）。

2、两个数的和为36，差为22，则较大的数为（），较小的数为（）。

3、甲、乙两人今年的年龄和是43岁，4年后，甲比乙大3岁，甲今年（）岁。

4、两筐梨子共有120个，如果从第一筐中拿出10个放入第二筐中，那么两筐的梨子的个数相等，问两筐原来各有多少梨6、三年级有甲、乙两个班级，如果从甲班调4个学生到乙班去后，两个班级的人数就相等，甲班比乙班多多少人和差问题（二）1.和未知的“和差问题”2.通过平均数、加法、除法等基本运算求和的题目例1、小阳期中考试时语文和数学的平均分是96分，数学比语文多8分。

请问语文和数学分别多少分例2、A君和B君玩游戏，每玩一局，输的就给赢的1枚棋子。

一开始A君有18枚棋子，B君则有22枚。

玩了若干局之后，A君反而比B君多了10枚棋子。

请问他们至少玩了多少局例3、小方沿着长与宽相差200米的长方形小区跑了3圈，已知她跑了3600米，请问小区面积是多少万平方米课堂练习1、某工厂去年与今年的平均产值92万元，今年比去年多10万元。

今年的产值（）万元。

2、在一个简法算式里，被减数、减数与差三个数的和是388，减数比差大16，则减数等于（）。

3、一个长方形的操场长与宽相差80米，知道沿操场跑两周是800米，这个操场是（）米。

4、小明在计算时把加法当减法来计算，得到的结果是86，比正确答案少186,。

原来加数中较大的数是多少5、甲有216个玻璃球，乙有54个同样的玻璃球。

两人互相给球，6次后，甲有的个数比乙的多90个，平均每次甲要给乙多少个球6、小明和小马玩游戏，每玩一局，输的就要给赢的2枚棋子。

1 / 5和 差 问 题所谓和差问题，一般是指知道两个数的和与这两个数的差，分别求出这两个数的应用题。

这两个数一个大一些，我们称之为大数，一个小些，称它为小数。

我们可以用线段图来表示两个数之间的关系：大数：1 1差 和小数：1 1从线段图我们可以知道：大数=（和+差）÷2 小数=（和-差）÷2根据上面的关系式，我们可以正确解答这类应用题。

例如：甲、乙两筐苹果共90千克，从甲筐取出8千克放入乙筐，甲筐比乙筐还多4千克，甲、乙两筐原来各有苹果多少千克？分析：这是一道和差问题知道了甲、乙两筐苹果共90千克，但是没有告诉我们原来两筐苹果的质量差，只是说“从甲筐取出8千克放入乙筐，甲筐比乙筐还多4千克”。

从这个条件我们可以知道，原来甲、乙两筐苹果的质量差。

知道了“和”与“差”，我们可以用和差问题的方法正确解答。

解答： 8×2＋4 （20＋90）÷2 （90－20）÷22 / 5=16＋4 =110÷2 =70÷2=20（千克） =55（千克） =35（千克）答：甲筐原有苹果55千克，乙筐原有苹果35千克。

方法总结：和差问题，我们要正确找到题目中有哪些量，哪个是和，哪个是差。

有时题目中和或差没有直接告诉我们，需要我们通过计算找到和或差。

如用平均数乘以2或者3得两个数或三个数的和；长方形的周长除以2得长与宽的和。

总之，找到题目中大数与小数的“和”与“差”，才能用和差问题的方法正确解题。

还有些问题，可以转换为和差问题来解答，因此要灵活运用和差问题来解题。

3 / 5可以尝试练习以下几题：1、甲、乙两个数的和是70，甲比乙多16，甲、乙个是多少？2、某校五年级有学生106人，分成两个班。

如果一班调2个学生到二班去，两个班的学生人数就相等。

原来一班和二班各有学生多少人？3、长方形的周长是84厘米，长比宽多8厘米，长方形的面积是多少平方厘米？4 / 54、学校进行体检活动，小明和小刚共70千克，小刚和小海共80千克，小海和小明共66千克，小明、小刚、小海个多少千克？5 / 5。

和差问题(经典)知识点1：和差问题公式和差应用题是指已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少。

解答这类问题需要用到以下公式：①（和－差）÷2=小数②小数＋差=大数和－小数=大数或：①（和＋差）÷2=大数②大数－差=小数和－大数=小数解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准，设法把若干个不相等的数变为相等的数。

对于某些复杂的应用题，如果没有直接告诉我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答。

知识点2：题目类型1、已知和与差的具体数据。

2、已知和，未知差（暗差），需要求出差。

3、已知和，未知差（暗差），但是稍微复杂。

4、已知差，未知和。

需要求出和。

5、已知和，涉及三个量的问题。

例1：三、四年级同学共植树128棵，四年级比三年级多植树20棵，求三、四年级同学各植树多少棵？解答：根据公式①和②，可以列出以下方程组：①（x+y）÷2=y-20②x+y=128通过解方程，可以得到：三年级：（128-20）÷2=54（棵）四年级：（128+20）÷2=74（棵）因此，三年级同学植树54棵，四年级同学植树74棵。

例2：两筐梨子共有120个，如果从第一筐中拿10个放到第二筐中，那么两筐的梨子个数相等。

两筐原来各有多少个梨？解答：根据公式①和②，可以列出以下方程组：①（x+y）÷2=x-10②x+y=120通过解方程，可以得到：第一筐：（120+20）÷2=70（个）第二筐：（120-20）÷2=50（个）因此，第一筐有70个梨，第二筐有50个梨。

练1：XXX四（1）班和四（2）班共有学生108人，从四（1）班转3人到四（2）班，则两班人数同样多。

两个班原来各有学生多少人？练2：某汽车公司两个车队共有汽车80辆，如果从第一车队调10辆到第二车队，两个车队的汽车辆数就相等。

两个车队原来各有汽车多少辆？乙仓库有大米371袋，甲仓库有大米429袋。