第六讲 和倍与差

第六讲和倍问题◆知识要点已知大小两个数的和及它们的倍数关系，求大小两个数的问题叫做和倍问题。

解这类应用题的关键是要找准标准数（即1倍数），一般来说题中说是谁的几倍，就把谁确定为标准数。

求出倍数和之后，再求出标准数的数量是多少。

根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。

数量关系可表示为：和÷（倍数+1）=较小数（1倍数）较小数（1倍数）×倍数（几倍）=较大数（几倍数）两数和－较小数（1倍数）=较大数（几倍数）◆新课讲授例题1、体育馆有排球和篮球共180个，篮球是排球的3倍，体育馆有篮球和排球各多少个？思路导航利用和倍公式解决问题。

排球：180÷（1+3）=45（个）篮球：45×3=135（个）或180-45=135（个）答：体育馆有篮球135个，排球45个。

课堂练习1、秦奋和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍，问秦奋和妈妈各是多少岁？例题2、师徒两人合做三小时共生产零件450个，已知师傅的工作效率是徒弟的2倍，求师徒两人每小时各生产零件多少个？思路导航利用和倍公式解决问题。

师徒工作效率和是：450÷3=150（个）徒弟每小时：150÷（1+2）=50（个）师傅每小时：50×2=100（个）答：师傅每小时生产零件100个，徒弟每小时生产零件50个。

课堂练习2、某校四五年级共有学生160人，四年级比五年级的2倍少8人，问四五年级各有学生多少人？例题3、舞蹈队共有队员42人，其中女队员比男队员的2倍少3人，求男女队员各有多少？思路导航将不是整倍数的问题转化成整倍数，再利用公式进行解决。

男队员：（42+3）÷（1+2）=15（人）女队员：15×2-3=27（人）答：男队员有15人，女队员有27人。

课堂练习3、弟弟有12张邮票，哥哥有33张邮票。

哥哥要给弟弟多少张邮票，哥哥的邮票才是弟弟的2倍？例题4、甲乙两个书架共有120本书，后来从甲书架取出15本书放到乙书架，这时甲书架的书是乙书架的3倍，甲书架原有书多少本？思路导航利用给来给去和不变，再结合和倍公式解决问题。

第六讲和倍、差倍、和差问题【知识概述】差倍问题：已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

基本公式差÷（倍数－1）＝较小的数较小的数×倍数＝较大的数和倍问题：已知几个数的和与这几个数之间的倍数关系求这几个数的应用题。

基本公式和÷（倍数+1）＝较小数（一倍数）较小数×倍数＝较大数或：和－较小数＝较大数。

和差问题：已知两个数的和与差，反过来求这两个数。

基本公式（和＋差）÷2 = 较大的数（和－差）÷2 = 较小的数温馨提示：为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示几种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。

【典型例题】例1 甲班和乙班共有图书160本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？例2 师傅和徒弟共生产零件190个,师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个，师、徒各生产多少个?例3妹妹有课外书20本，姐姐有课外书25本，姐姐给妹妹多少本后，妹妹课外书是姐姐的2倍?例4被除数、除数和商三个数的和是181，商是12，求被除数例5 甲乙丙三数的和是1600,乙数是甲数的2倍,丙数比乙数的2倍多60, 甲乙丙三数各是多少?【我能行】1. 小明、小红两人集邮,小明的邮票比小红多15张,小明的张数是小红的4倍,小明集邮（）张,小红集邮（）张。

2. 妈妈的年龄比小刚大24岁,今年妈妈的年龄正好是小刚年龄的3倍,今年妈妈（）岁,小刚（）岁。

3. 名士基地种的花生是白薯的16倍,现在已经知道种的花生比白薯多105棵,种花生（）棵, 白薯（）棵。

4. 小利的科技书比故事书少16本,故事书是科技书的3倍,小利有科技书( )本,故事书( )本。

5. 甲、乙两个数, 如果甲数加上50, 就等于乙数, 如果乙数加上350就等于甲数的3倍,问甲( ), 乙( ) 。

星云站备课教员：***第六讲和差、和倍问题一、教学目标： 1. 会判断什么样的应用题属于和差问题．已知两个数的和以及两个数的差，要分别求这两个数就属和差问题，并掌握和差问题的特性，为以后继续学习和倍、差倍问题做准备。

2. 总结归纳出解决和差问题的方法，并解决一些实际问题。

二、教学重点：和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

三、教学难点：知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，解决和差问题需要我们画线段图来分析。

四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（40分钟）一、外星游记（5分钟）师：同学们在上课之前我们一起来玩一个小游戏吧。

生：好的。

拍三令人数：无限制方法：多人参加，从1-99报数，有人数到“3”的倍数时，不许报数，拍一下桌子，下一个人继续报数。

如果有人报错数或拍错则出局。

奖励：最后剩下的人可以获得大拇指奖励。

师：刚才我们玩的这个游戏和我们学习的知识有一定的联系哦，今天我们要学习的是和差、和倍问题。

（板书课题：和差、和倍问题）师：我们一起去看看吧。

二、星海遨游（30分钟）（一）星海遨游1（10分钟）米德期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，米德语文和数学各得多少分？师：米德期末考试时语文和数学平均分是94分，那么米德的语文和数学总成绩是多少分呢？生：米德语文与数学的总成绩是94×2=188分。

师：我们知道了总成绩，要想知道语文成绩应该怎么办？生：因为数学比语文多8分，从数学成绩中减去8分，此时语文与数学的成绩相等了。

师：语文成绩为多少？生：（94×2-8）÷2=90（分）。

师：知道了语文成绩，数学成绩是多少分？生：数学成绩为90+8=98（分）。

板书：语文成绩为：（94×2-8）÷2=（188-8）÷2=180÷2=90（分）则数学成绩为：90+8=98（分）答：米德的语文成绩是90分，数学成绩是98分。

第六讲 和倍问题、差倍问题及和差问题一．和倍问题和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题。

为了帮助我们理解题意，弄清两个量之间的数量关系，经常采用画线段的方法来表示两个量间的这种关系。

例1．甲班和乙班共有图书160本，甲班的图书本书是乙班的3倍，甲、乙两班各有图书多少本？解：乙班：160÷(3+1)=40（本）； 甲班：40×3=120（本），或160–40=120（本）。

答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。

例2．甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍。

解：甲、乙两班共有图书是120+30=150（本），甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是2+1=3倍，乙班现有的图书是150÷3=50本，所以甲班给乙班的图书是50–30=20本。

答：甲班给乙班20本后，甲班的图书是乙班图书的2倍。

例3．光明小学有学生760人，其中男生人数比女生人数的3倍少40人，问男、女生各有多少人？解：160本甲班乙班甲班乙班女生人数：(760+40)÷(3+1)=200（人），男生人数：200×3–40=560人，或者760–200=560（人）。

答：男生有560人，女生200人。

例4．果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵，桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？解：梨树的棵树：(552+20–12)÷(1+2+1)=560÷4=140（棵）； 桃树的棵树：140×2+12=292（棵）； 苹果树的棵树：140–20=120棵。

答：桃树、梨树和苹果树分别有292、140、120棵。

例5．549是甲、乙、丙、丁四个数的和，如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则四个数相等，求四个数各是多少？解：女生760人男生20棵苹果树梨树552棵桃树丙数是：(549+2–2)÷(2+2+1+4)=549÷9=61； 甲数是：61×2–2=120； 乙数是：61×2+2=124； 丁数是：61×4=244。

第6讲 和差倍分问题内容概述在和差倍问题中引入“分数倍”的概念，并理解其含义。

解题中应合理选取单位“1”，题目中隐藏的不变量或公共量往往是关键。

典型问题爱好篇1、运输连要将450枚弹药送到前线，其中炮弹占了95，其余都是手榴弹。

由于遇上敌军伏击，炮弹损失了52，而手榴弹只剩下83，送到是还剩多少枚弹药？2、学校实行新年自助餐会，一共打算了1000瓶饮料，其中一部分是可乐，剩下的全是果汁。

一个小时后，果汁已经削减了51，但可乐的数量却没有变更。

假如此时饮料还剩872瓶，那么可乐的数量是多少瓶？3、口袋里装着红、黄、绿三种颜色的球。

其中红球占总球数的31，黄球占总球数的41，绿球比黄球多50个。

口袋里一共有几个球？4、嬉戏公司安排生产一批限量版的嬉戏机。

现在已完成安排的125，假如再生产340台，总产量就超过安排的81，原安排生产多少台？5、一个工人加工一批机器零件，第一天完成了任务的51，其次天完成了剩下部分的31，前两天一共完成了56个。

请问：这批零件共有几个？6、红星机械厂有三个车间，第一车间的人数是其次、三车间人数和的21，其次车间的人数是第一、三车间人数和的31，第三车间有105人。

求该厂工人的总数。

7、甲桶中的水笔乙桶中的多51，丙桶中的水比甲桶中的少51。

请问：乙、丙两桶哪桶水多？假如把三桶水倒入一个大缸里，甲桶中的水占其中的几分之几？8、图6-1是某市的园林规划图，其中草地占正方形的43，竹林占圆形的75，正方形和圆形的公共部分是水池。

已知竹林的面积比草地的面积少450平方米。

问：水池的面积是多少平方米？9、阿奇和小悦都有许多科普书，阿奇的科普书数量是小悦的83。

后来小悦送给阿奇11本书后，阿奇的科普书数量就变成了小悦的74。

原来阿奇比小悦少多少本书？10、课间同学们都在操场上活动，其中女生占总人数的92，后来又来了12个女生，使得女生人数达到男生人数的73，操场上现在有多少名同学？拓展篇1、等候公共汽车的人整齐地排列成一列，阿奇也在其中。

第6讲：和倍问题（教案）引入已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍问题。

解答和倍应用题的基本数量关系是：和÷（倍数＋1）=小数小数×倍数=大数（和－小数=大数）二：精讲精练【例题1】学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍。

两种书各有多少本？【思路导航】为了便于理解题意，我们画图来分析：由图可知，如果把故事书的本数看作一份，那么科技书的本数就是这样的3份，两种书的总本数就是这样的1＋3=4份。

把480本书平均分成4份，1份是故事书的本数，3份是科技书的本数。

480÷（1＋3）=120（本） 120×3=360（本）.练习1：1.用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡的5倍。

铝和锡各用了多少千克？【例题2】果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，桃树的棵数是苹果树的4倍。

求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？【思路导航】如果把苹果树的棵数看作1份，三种树的总棵数是这样的1+3+4=8份。

所以，苹果树有1200÷8=150（棵），梨树有150×3=450（棵），桃树有150×4=600（棵）.练习2：1.李大伯养鸡、鸭、鹅共960只，养鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍。

鸡、鸭、鹅各养了多少只？【例题3】有三个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里的书是第二个的4倍。

每个书橱里各放了多少本书？【思路导航】把第一个书橱里的本数看作1份，那么第二个书橱里的本数是这样的2份，第三个就是这样的2×4=8份，三个书橱里的总本数就是这样的1+2+8=11份。

所以，第一个书橱里放了330÷11=30（本），第二个书橱里放了30×2=60（本），第三个书橱里放了60×4=240（本）。

练习3：1．甲、乙、丙三个数之和是400，已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。

第6讲和倍问题【探究必备】“和倍问题”是指已知两个）或几个）数的和与这两个（或几个）数之间的倍数关系，求这两个（或几个）数各是多少的问题。

解答和倍问题的关键是确定标准量（即1倍数或较小数），再根据另一个数与标准量（即1倍数或较小数）之间的关系，画出线段图，确定总和相当于标准量（即1倍数或较小数）的多少倍，然后用除法求出标准量（即1倍数或较小数），最后求出两个（或几个）数中较大的那个数。

和倍问题的数量关系式是：和÷（倍数+1）=标准量（即1倍数或较小数）；标准量（即1倍数或较小数）×倍数=另一个数（较大数）或1-较小数=较大数。

【王牌例题】例1、甲、乙两数的和是100，甲是乙的4倍，求甲、乙两数？分析与解答：这是一道标准的和倍问题，标准量是乙，根据甲、乙之间的倍数关系画出线段图，画图时，先画标准量：乙数：100甲数：从上面的线段图可以看出，我们把乙数看作1倍量，甲数就是这样的4倍，那么甲、乙两数的和相当于乙数的1+4=5倍，再用除法求出1倍量，即乙数为100÷5=20，则甲数=20×4=80或甲数=100-20=80。

例2、小明和小红两人共有邮票128张，小明的邮票比小红的2倍多8张。

问小明和小红两人各有邮票多少张？分析与解答：因为小明的邮票比小红的2倍多8张，如果把小明的邮票拿走8张，那么小明的邮票刚好是小红的2倍，则他们两人的邮票总数就只有128-8=120（张），根据他们的倍比关系画出线段图：小红：120小明：从线段图上可以看出，我们把小红的邮票数看作1倍数，那么小明的邮票拿走8张后是小红的2倍，所以他们所剩的120张邮票相当于小红的1+2=3倍，则小红有邮票120÷3=40（张），小明现在有邮票40×2=80（张），故小明原来有邮票80+8=88（张）。

例3、有两堆棋子，第一堆有72个，第二堆有48个。

问：从第二堆中拿出多少个棋子放入第一堆，就能使第一堆的棋子是第二堆的2倍？分析与解答：根据题意可知，这两堆棋子的总个数不变，还是72+48=120（个），先根据第一堆的棋子是第二堆的2倍画出线段图：第二堆棋子：第一堆棋子： 从线段图可以看出，我们把第二堆棋子看作1标准量，第一堆棋子是第二堆的2倍，那么棋子的总数是第二堆棋子的1+2=3倍，则第二堆棋子有120÷3=40（个），因此从第二堆拿出48-40=8（个）棋子放入第一堆，就能使第一堆的棋子是第二堆的2倍。