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数学建模中的差分方程模型数学建模是一种将实际问题转化为数学模型并寻求与之相连的数学方法的学科，不仅仅在理论研究上有很大的应用，也在实际生活中有着广泛的应用。
在各种数学模型中，差分方程模型也是一种很重要的模型。
本文将结合实例，介绍差分方程模型的定义、建立、求解以及应用。
差分方程模型定义差分方程模型是一种通过离散化的方法，将连续时间问题转化为离散时间问题，来描述变量随时间的变化规律的数学模型。
这种数学模型以时间为自变量，以某个状态量为因变量，由一定的关系式组成。
例如：y(n+1)=ay(n)+b，式子中y(n)代表第n时刻系统状态，y(n+1)代表第n+1时刻系统状态，a和b为常数。
差分方程模型建立建立差分方程模型的关键是将实际问题中的连续变化离散化。
一般情况下，对于所建立的模型，首先要确定它的思路和范围，然后根据实际情况，确定差分方程的形式。
此外，还需要进行参数的估计和参数变化的分析，以及对模型精确性的验证。
以物理学中的简谐振动为例，建立一个差分方程模型描述其运动，即一个质点在回复力作用下以简谐运动形式振动。
设t为时间，y为质点的位移，v为质点的速度，a为质点的加速度，则有：$$y=n\Delta y \\v=\dfrac{y(n+1)-y(n-1)}{2\Delta t} \\a=\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2}$$其中n为时间步长，$\Delta t$为时间间隔。
我们利用受力平衡的原理，即简谐振动中的$F=-ky$得到：$$\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2} = -\dfrac{k}{m}y(n)$$将$\alpha=\dfrac{k}{m}$带入上式得到：$$y(n+1)-2(1+\alpha)y(n)+y(n-1) = 0$$此时，我们便成功地建立了描述简谐振动的差分方程模型。
差分方程模型求解对差分方程模型求解通常有两种方法：一种是使用递推公式进行求解，另一个方法是使用其它数学方法，如拉普拉斯变换或离散傅立叶变换等。
第五章 差分方程模型在第四章中，我们利用微分方程方法研究了一些连续变化的变量。
如果将变量离散化，即可得到相应的差分方程模型，为了方便不熟悉差分方程的读者，先对本章用到的差分方程的知识作一简略介绍。
5.1差分方程简介一、差分方程及其通解以t 表示时间，规定t 只取非负整数。
0=t 表示第一周期初，1=t 表示第二周期初等。
记t y 为变量y 在时刻t 时的取值，则称t t t y y y -=∆+1为的一阶差分，称t t t t t t t y y y y y y y +-=∆-∆=∆∆=∆+++12122)(为y t 的二阶差分。
类似地，可以定义y t 的n 阶差分t n y ∆。
由t 、t y 及t y 的差分给出的方程称为t y 差分方程，其中含t y 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。
差分方程也可以写成不显含差分的形式。
例如，二阶差分方程02=+∆+∆t t t y y y 也可改写成012=+-++t t t y y y 。
满足差分方程的序列t y 称为此差分方程的解。
类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，则称此解为该差分方程的通解。
若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解，例如，考察两阶差分方程： 02=++t t y y 易见t y t 2sin π=与t y t 2cos π=均是它的特解，而t c t c y t 2cos 2sin 21ππ+=则为它的通解，其中1c ，2c 为两个任意常数。
类似于微分方程，称差分方程)()()()(110t b y t a y t a y t a t n n t n t =+++-++ （1） 为n 阶线性差分方程，当0)(≠t b 时称其为n 阶非齐次线性差分方程，而0)()()(110=+++-++t n n t n t y t a y t a y t a （2） 称为方程（1）对应的齐次线性差分方程。
100第五章 差分方程模型在第四章中，我们利用微分方程方法研究了一些连续变化的变量。
如果将变量离散化，即可得到相应的差分方程模型，为了方便不熟悉差分方程的读者，先对本章用到的差分方程的知识作一简略介绍。
5.1差分方程简介一、差分方程及其通解以t 表示时间，规定t 只取非负整数。
0=t 表示第一周期初，1=t 表示第二周期初等。
记t y 为变量y 在时刻t 时的取值，则称t t t y y y -=∆+1为的一阶差分，称t t t t t t t y y y y y y y +-=∆-∆=∆∆=∆+++12122)(为y t 的二阶差分。
类似地，可以定义y t 的n 阶差分t n y ∆。
由t 、t y 及t y 的差分给出的方程称为t y 差分方程，其中含t y 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。
差分方程也可以写成不显含差分的形式。
例如，二阶差分方程02=+∆+∆t t t y y y 也可改写成012=+-++t t t y y y 。
满足差分方程的序列t y 称为此差分方程的解。
类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，则称此解为该差分方程的通解。
若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解，例如，考察两阶差分方程： 02=++t t y y易见t y t 2sin π=与t y t 2cos π=均是它的特解，而t c t c y t 2cos 2sin 21ππ+=则为它的通解，其中1c ，2c 为两个任意常数。
类似于微分方程，称差分方程)()()()(110t b y t a y t a y t a t n n t n t =+++-++ （1）为n 阶线性差分方程，当0)(≠t b 时称其为n 阶非齐次线性差分方程，而0)()()(110=+++-++t n n t n t y t a y t a y t a （2）称为方程（1）对应的齐次线性差分方程。
若（1）中所有的)(t a i 均为与t 无关的常数，则称其为常系数差分方程，即n 阶常系数线性差分方程可写成101)(110t b y a y a y a t n n t n t =+++-++ （3）其对应的齐次方程为0110=+++-++t n n t n t y a y a y a （4）容易证明，若序列)1(t y 与)2(t y 均为方程（4）的解，则)2(2)1(1t t t y c y c y +=也是方程（4）的解，其中1c ，2c 为任意常数，这说明，齐次方程的解构成一个线性空间（解空间）。
若)1(t y 是方程（4）的解，)2(t y 是方程（3）的解，则)2()1(t t t y y y +=也是方程（3）的解。
方程（3）可用如下的代数方法求其通解：（步一）先求解对应的特征方程0110=+++-n n n a a a λλ （5）（步二）根据特征根的不同情况，求齐次方程（4）的通解。
情况1 若特征方程（5）有n 个互不相同的实根1λ，2λ，…，n λ，则齐次方程（4）的通解为t n n t t c c c λλλ+++ 2211 (1c ，2c ，…，n c 为任意常数)情况2 若λ是特征方程（5）的k 重根，通解中对应于λ的项为t k k t c t c c λ)(121-+++ ，i c （k i ,,2,1 =）为任意常数。
情况3 若特征方程（5）有单重复根i βαλ±=，通解中对应于λ的项为，t c t c t t ϕρϕρsin cos 21+，其中1c ，2c 为任意常数，22βαρ+=为λ的模，αβϕarctan =为λ的幅角。
情况4 若i βαλ±=为特征方程（5）的k 重复根，则通解对应于λ的项为t t c c t t c c t k k k t k k ϕρϕρsin )(cos )(12111-+-+++++ ，i c （k i 2,,2,1 =）为任意常数。
（步三） 求非齐次方程（3）的一个特解t y 。
若t y 为方程（4）的通解，则非齐次方程（3）的通解为t t y y +。
102求非齐次方程（3）的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。
对特殊形式的b (t )也可使用待定系数法。
例如，当)()(t p b t b k t =，)(t p k 为t 的k 次多项式时可以证明：若b 不是特征根，则非齐次方程（3）有形如)(t q b k t 的特解， )(t q k 也是t 的k 次多项式；若b 是r 重特征根，则方程（3）有形如)(t q t b k r t 的特解。
进而可利用待定系数法求出)(t q k ，从而得到方程（3）的一个特解t y 。
例 求解两阶差分方程t y y t t =++2。
解 对应齐次方程的特征方程为012=+λ，其特征根为i ±=2,1λ，对应齐次方程的通解为： t c t c y t 2sin 2cos 21ππ+= 原方程有形如b at +的特解。
代入原方程求得21=a ，21-=b ，故原方程的通解为：21212sin 2cos 21-++t t c t c ππ 二、差分方程的平衡点及其稳定性在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在给定初值后，通常可用计算机迭代求解，但我们常常需要讨论解的稳定性。
1、一阶线性常系数差分方程,2,1,0,1==++k b ax x k k （6）在（6）式中令x x x k k ==+1得到的代数方程b ax x =+的根ab x +=*1称为差分方程（6）的平衡点。
如果∞→k 时*→x x k ，则称平衡点*x 是稳定的，否则是不稳定的。
由（6）式得:,2,1,1)(1)(0=+--+-=k a a b x a x kkk （7） 即方程（6）的解可表为,2,1,1)(=++-=k ab ac x k k （8） 其中c 由初始值0x 确定。
显然，由（8）式可知差分方程（6）的平衡点稳定的充要条件是| a | < 1 （9）103顺便指出，对于n 维向量x (k )和n n ⨯常数矩阵A 构成的方程组x ( k+1) + Ax ( k ) = 0 （10） 其平衡点稳定的条件是A 的特征根i λ（n i ,,2,1 =）均有1||<i λ （11） 即均在复平面上的单位圆内。
这个结果可由将化为对角阵（或Jordan ）阵得到。
2、二阶线性常系数差分方程，02112=++++k k k x a x a x （12）考察方程（12）的平衡点（*x ＝0）的稳定性，设（12）的特征方程0212=++a a λλ的根为1λ，2λ，则不难验证，（12）的通解可表为k k k c c x 2211λλ+= （13）其中常数1c ，2c 由初始条件0x ，1x 确定。
由（13）知，当且仅当1||1<λ ，1||2<λ （14） 时方程（12）的平衡点才是稳定的。
3、非齐次线性差分方程b x a x a x k k k =++++2112 （15）方程（15）的平衡点的稳定性和方程（12）相同。
二阶方程的上述结果可以推广到n 阶线性方程，即稳定平衡点的条件是特征根—n 次代数方程的根i λ（n i ,,2,1 =）均有1||<i λ。
4、一阶非线性差分方程)(1k k x f x =+ (16)方程（16）的平衡点*x 由代数方程)(x f x =解出。
为分析*x 的稳定性，将方程（16）的右端在*x 点作Taylor 展开，只取一次项，（16）近似为)())((1***++-'=x f x x x f x k k (17)（17）是（16）的近似线性方程，*x 也是（17）的平衡点。
关于线性方程（17）的稳定平104衡点的讨论已由（6）～（9）给出，而当1|)(|≠'*x f 时方程（16）与（17）平衡点的稳定性相同。
于是得到当1|)(|<'*x f （18） 时，非线性方程（16）的平衡点*x 是稳定的；当1|)(|>'*x f （19） 时，非线性方程（16）的平衡点*x 是不稳定的。
5.2市场经济中的蛛网模型问题 在自由贸易市场上常会出现这样的现象：一个时期以来当某种消费品如猪肉的上市量远大于需求时，由于销售不畅致使价格下跌，生产者发现养猪赔钱，于是转而经营其它农副业。
过一段时间猪肉上市量就会大减，供不应求将导致价格上涨。
生产者看到有利可图，又重操旧业，这样下一个时期会重现供大于求、价格下降的局面。
商品数量和价格的这种振荡现象在自由竞争的市场经济中常常是不可避免的。
进一步观察可以发现，振荡有两种完全不同的形式，一种是振幅逐渐减小，市场经济趋向平稳，另一种是振幅越来越大，如果没有外界如政府的干预，将导致经济崩溃。
试建立数学模型描述这种现象，研究经济趋向平稳的条件，并讨论当经济趋向不稳定时政府可能采取的干预措施。
蛛网模型 商品在市场上的数量和价格出现反复的振荡，是由消费者的需求关系和生产者的供应关系决定的。
记商品第k 时段的上市数量为k x ，价格为k y 。
这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果是一个种植周期，肉类是牲畜的饲养周期。
同一时段商品的价格k y 取决于数量k x ，设)(k k x f y = （1）它反映消费者对这种商品的需求关系，称需求函数。
因为商品的数量越多价格越低，所以在图1中用一条下降曲线f 表示它，f 称需求函数。
下一时段商品的数量1+k x 由上一时段价格k y 决定，设105)(1k k y h x =+，或)(1+=k k x g y （2） 这里g 是h 的反函数。
h 或g 反映生产者的供应关系，称供应函数。
因为价格越高生产量（即下一时段的商品数量）越大，所以在图中供应曲线g 是一条上升曲线。
图中两条曲线相交于),(000y x P 点。
0P 是平衡点，其意义是，一旦在某一时段k 有0x x k =，则由（1），（2）可知0y y k =，01x x k =+，01y y k =+，…，即k 以后各时段商品的数量和价格将永远保持在),(000y x P 点。
但是实际生活中的种种干扰使得数量和价格不可能停止在0P 点，不防设1x 偏离0x （如图1）。
我们分析随着k的增加k x ，k y 的变化。
商品数量1x 给定后，价格1y 由曲线f 上的1P 点决定，下一时段的数量2x 由曲线g 上的2P 点决定，2y 又由曲线f 上的3P 点决定，这样得到一系列的点),(111y x P ，),(122y x P ，),(223y x P ，),(234y x P ，…，在图1上这些点将按箭头所示方向趋向),(000y x P ，表明0P 是稳定的平衡点，意味着市场经济（商品的数量和价格）将趋向稳定。
