2无限深势阱

论文题目：一维无限深势阱简述制作人：刘子毅（应用物理（1））学号：09510113一维无限深势阱一、引言Hu = Eu,,2222Eu Vu dxu d m =+- (1) 在图中Ⅰ区，-a/2<x<a/2,式中的V=0；在图中Ⅱ区，x<-a/2和x>a/2, V=∞. 现在解Ⅰ区情况的方程，V=0，（1）式成为.2,22222mEk u k u mE dx u d =-=-= 设axe u =，那么u a u n2=，代入上式，u k u a 22-= ik a ±=所以ikx ikx Be Ae u -++=kx D kx C u sin cos += （2）（2）式是Ⅰ区的通解。

2、一维无限深阱电子的基态222222282n mdh n md E n == π n=1、2、3…… 无量纲处理：以波尔半径2200m e a ε=里德伯20242ε me R y =分别为长度和能量单位能量可化为21d E π3、数值模拟当n=1时，1E 和d 的一组数值用计算机编程模拟如下： 设d 从0.3 3.0 include ‹stdio.h › include ‹math.h ›main() { double e,d,c; int i; c=3.14,d=0.3; for(i=0;i ‹10;i++) { e=c/(d*d); printf(“%lf ”，&e)； d=d+0.3;} }d 的取值利用画图软件描绘出横坐标为d ，纵坐标为E 的曲线 设d 从0.3 3.0，能量化简为：21dE π=模拟如下：。

量子力学中的无限深势阱问题量子力学是描述微观世界的物理学理论，它在解释和预测微观粒子行为方面具有重要的作用。

其中，无限深势阱问题是量子力学中的一个经典问题，它帮助我们理解波函数的性质以及粒子在势场中的行为。

无限深势阱问题是指一个粒子被限制在一个势能在某个区域内为无限大，在区域外为零的势场中运动。

这个问题可以用一维的情况来描述，假设势阱的宽度为L，那么势阱内的势能函数可以表示为：V(x) = 0, 0 < x < LV(x) = ∞, x < 0 或者 x > L在经典力学中，粒子在势场中的运动是由牛顿第二定律描述的，而在量子力学中，粒子的运动状态由波函数来描述。

波函数是量子力学中的基本概念，它是一个复数函数，可以用来描述粒子的位置和动量。

对于无限深势阱问题，我们可以使用定态薛定谔方程来求解。

定态薛定谔方程可以表示为：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx² + V(x)ψ(x) = Eψ(x)其中ħ是普朗克常数的约化形式，m是粒子的质量，E是粒子的能量，ψ(x)是粒子的波函数。

在势阱内部，势能V(x)为零，因此定态薛定谔方程可以简化为：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx² = Eψ(x)这是一个简化的定态薛定谔方程，可以通过求解这个方程来得到粒子在势阱内部的波函数。

根据边界条件，当x=0或者x=L时，势能V(x)为无穷大，因此波函数必须为零。

这意味着在势阱的两个边界处，波函数的值为零。

根据上述条件，我们可以得到波函数的一般形式为：ψ(x) = A * sin(kx)其中A是归一化常数，k是波数，可以通过边界条件来确定。

当x=0时，波函数为零，因此有sin(0) = 0，这意味着kx = 0，即k = 0。

当x=L时，波函数为零，因此有sin(kL) = 0，这意味着kL = nπ，其中n是一个整数。

通过边界条件，我们可以得到k的取值为：k = nπ/L由于波函数必须是归一化的，我们可以通过归一化条件来确定归一化常数A。

第三章一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，⎩⎨⎧∞<<<<=其余区域,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。

如b a = ，能级的简并度如何？解：能量的本征值和本征函数为mE yx n n 222π =)(2222b n a n yx +,2,1, ,sinsin2==y x y x n n n n byn axn abyxππψ若b a =，则 )(222222y x n n n n maE yx +=π ay n a x n a y x nn yxππψsin sin 2= 这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11''==y x n n ）3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。

如c b a ==，讨论能级的简并度。

解：能量本征值和本征波函数为)(222222222cn b n an m n n n E z yxzy x ++=π ,,3,2,1,, ,sin sin sin 8==z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n zy x πππψ当c b a ==时，)(2222222z y x n n n man n n E z y x ++=π ay n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsinsin sin 223⎪⎭⎫ ⎝⎛= z y x n n n ==时，能级不简并；z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。

《量子力学》练习题一一、基本概念及简答1. 简述2|(,)|x t ψ的物理意义及其实验基础。

2．简述迭加原理。

若nnnc ψψ=∑，^nnnf Fψψ=，n c 的物理意义是什么？3．三维空间中运动的粒子,其波函数的方位角(ϕ)部分 ()ϕΦ=ϕ3cos ,求zL ˆ的平均值。

4．设^^F F +=，^^G G+=A.若^^[]0,F G =，是否^F 的本征态一定是^G 的本征态，举例说明。

B.若^^[]0,F G ≠，^^,G F 是否就一定无共同本征态，举例。

C.若^^[],iC F G =，C 是常数，^^,G F 是否能有共同本征态，证明你的结论。

5、判定^x p x及^x p i 是否厄迷算符。

6、^^^[,]0G C F =≠，^^F F+=，^^G G+=，试问^F ，^G 是否必然没有共同本征态，举例说明7、已知 ，ˆˆ,B C 为厄米算符，ˆˆˆAiBC ≡也为厄米算符的条件是什么？ 8、能否把,,x y z σσσ看作自旋角动量算符的矩阵表示？9、哪个实验证实了电子具有自旋，怎样证实的；为什么不能把电子自旋看成电子的机械转动？ 10、对于全同性粒子说来要满足那些基本方程？全同粒子的交换算符是可以对易的吗？它们能否有共同的本征态？11. 波函数的导数是否一定要连续？举例说明。

12. 如果ˆˆAA +=，ˆˆBB +=且ˆˆˆˆ,C i A B C +⎡⎤==⎣⎦，ˆˆ,,Aa a a Bb b b == a b 和都是束缚态，则ˆˆ0.a Ca b C b == 13．什么是量子力学中的守恒量？其主要特征是什么？什么定态？定态主要特征是什么？14．已知ˆˆ[,]1αβ=，求证 1ˆˆˆˆˆn n n n αββαβ--= 15．已知 ，ˆˆ,B C 为厄米算符，则ˆˆˆAiBC ≡也为厄米算符的条件是什么？ 16．若一个算符与角动量算符J ˆ的两个分量对易，则其必与J ˆ 的另一个分量对易；17.设 22,0,1,0,2x V m x x ω∞≤⎧⎪=⎨>⎪⎩当当 且已知以一维线性谐振子的能量本征值n E ，本征函数()n x ψ，及()n x ψ的宇称为()1n-。

二维无限深势阱基态能量二维无限深势阱是一种经典的量子力学模型，它在研究各种物理问题中有着重要的应用和意义。

本文将从多个角度全面解析二维无限深势阱基态能量，并对其进行深入探讨。

首先，我们来介绍一下二维无限深势阱的基本概念。

二维无限深势阱是由两堵高度无限大的势垒包围的区域，其中势垒的厚度是无穷小。

这个模型可以看作是在二维平面上的一个方形区域，粒子在其中受到一个无限大的势场的束缚。

在这个区域内，粒子的位势能为零，表示粒子可以自由运动。

在势垒处，位势能无穷大，粒子无法透过势垒进行离开。

接下来，我们来讨论二维无限深势阱的基态能量。

基态是指系统具有的最低能量态，对应粒子最稳定的状态。

对于二维无限深势阱来说，基态能量只与势阱的尺寸有关，与粒子的质量、电量以及其他性质无关。

基态能量的具体计算可以通过求解二维薛定谔方程得到。

由于二维无限深势阱在两个空间方向上都具有无限大的势垒，因此在求解过程中需要应用分离变量法。

将薛定谔方程的波函数表示为两个方向的因子的乘积形式，通过分别解两个因子的一维无限深势阱问题，最终可以得到二维无限深势阱的基态波函数及基态能量。

二维无限深势阱的基态能量具有一些重要的特点。

首先，基态能量只能取正值，且随着势阱尺寸的减小而增大。

这是因为势阱的尺寸减小意味着粒子在有限的区域内波函数需要更加紧凑，从而导致粒子的动能增加。

另外，基态能量的数值存在量子化现象，即只能取特定的离散值。

这可以通过解得的波函数的边界条件得到解释，波函数在势垒边界处必须为零，从而导致能量的量子化。

根据量子化的条件，我们可以得到基态能量的公式：E_n = (h^2 / 8m) * (n_x^2 +n_y^2)。

值得一提的是，二维无限深势阱的基态能量不仅在理论研究中有着重要的意义，还在实际应用中发挥着指导作用。

例如，在材料科学领域中，研究晶格中电子的能带结构时，往往可以将晶格势场简化为二维无限深势阱模型，从而预测材料中电子的基态能量和行为。

免费的南⼤历年《量⼦⼒学》的真题,真题南京⼤学1998年硕⼠研究⽣考试试题——量⼦⼒学专业: 理论物理、粒⼦物理与光学(⼀) 20分有半壁⽆限⾼势垒的⼀维阱 ()ax a x x V x V ><<∞=000在0V E <的情形下，该系统是否总存在⼀个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中⾄少有⼀个束缚态的存在的充要条件是什么？（⼆）20分⼀个取向⽤⾓坐标θ和?确定的转⼦，作受碍转动，⽤下述哈密顿量描述：()?2cos ??22 B L A H+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2?L 是⾓动量平⽅算符，试⽤⼀级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。

（三）20分求在⼀维⽆限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒⼦的动量分布⼏率()2p n φ。

（四）20分试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成⽴，试写出正确的结果：（1）i j x i p jx i peee21-?+???=? ？式中i ?和j ?分别是x 和y ⽅向的单位⽮量。

（2）()[])(,?'x f pip x f p px x x x = ？式中xi p x ??= ? ，（3）系统的哈密顿算符为()r V p H+=µ2??2 ，设()r n ?是归⼀化的束缚态波函数，则有：()n n n n r V r p µ=（五）20分碱⾦属原⼦处在z ⽅向的外磁场B 中，微扰哈密顿为Bls H H H 1+= ，其中S L dr dV r c H ls??=12122µ ，()Z Z B S L c eB H 22+=µ ，当外磁场很弱时，那些⼒学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算⽐较简单，为什么？注： ()()()()?θπim mllm e m l m l l Y P cos !!412+-+=()x x P =01；()()2/12111x x P -=；()()x x x P 2/121213-=()()22213x x P -=南京⼤学1999年硕⼠研究⽣考试试题——量⼦⼒学专业: 理论物理、粒⼦物理与光学(20分) ⼀、 t ＝0时，粒⼦的状态为][sin )(2kx A x =φ，求此时动量的可能测值和相应的⼏率，并计算动量的平均值。

三维无限深势阱解法
三维无限深势阱指的是一个三维空间中的势阱，其中具有无限深的势能。

为了解决这个问题，我们可以采取以下步骤：
1. 确定势阱的几何形状：首先，我们需要确定势阱的形状和尺寸。

可
以是一个方形、长方形或圆形的空间区域，也可以是其他形状。

此外，我们还需要了解势阱的深度。

2. 选择求解方法：根据势阱的几何形状和物理性质，选择适合的求解
方法。

通常，我们可以使用数值计算方法，如有限差分法或有限元法，来近似求解势阱的解析解。

3. 设定边界条件：在进行数值计算之前，我们需要设定边界条件。

边
界条件可以是固定势能、自由边界或周期性边界，具体取决于问题的
设置。

4. 数值计算：利用选择的求解方法和设定的边界条件，进行数值计算。

通过迭代求解，我们可以得到势阱中的能级结构和波函数分布。

5. 分析结果：对于所得到的能级和波函数，我们可以进行进一步的分析。

可以计算能级之间的能量差异、能级的分布密度以及波函数的概
率分布等。

综上所述，三维无限深势阱的求解需要通过确定势阱的几何形状、选
择适当的求解方法，设定边界条件，并进行数值计算和结果分析。

这
样可以帮助我们理解在三维空间中势阱的性质和行为。