大学物理教程12.4 一维无限深势阱中的粒子

第12章 量子物理学12-1 氦氖激光器发射波长632.8nm 的激光。

若激光器的功率为1.0mW ，试求每秒钟所发射的光子数。

解 一个光子的能量λνhch E ==，激光器功率P 数值上等于每秒钟发射光子的总能量， 故每秒钟所发射的光子数1/s 1018.315⨯===hcP E P N λ 12-2 某种材料的逸出功为3.00eV ，试计算能使这种材料发射光电子的入射光的最大波长。

解 光子的能量λhcE =，要使这种材料发射光电子，入射光子的能量不能小于逸出功W ，即有W hcE ==min λ解得入射光的最大波长为nm 4141014.470=⨯==-Whcλ 12-3 从铝中移去一个电子需要能量4.20eV 。

用波长为200nm 的光投射到铝表面上，求：（1）由此发射出来的最快光电子和最慢光电子的动能； （2）遏止电势差； （3）铝的红限波长。

解 （1）根据爱因斯坦光电效应方程 W E h km +=ν 最快光电子的动能W hc W h m E -=-==λν2m max k 21v eV 2.02J 1023.319=⨯=-最慢光电子逸出铝表面后不再有多余的动能，故0min k =E（2）因最快光电子反抗遏止电场力所做的功应等于光电子最大初动能，即max k E eU a =， 故遏止电势差V 02.2maxk ==eE U a （3）波长为红限波长λ0的光子，具有恰好能激发光电子的能量，由λ0与逸出功的关系W hc=0λ得铝的红限波长nm 296m 1096.270=⨯==-Whcλ 12-4 在一个光电效应实验中测得，能够使钾发射电子的红限波长为562.0nm 。

（1）求钾的逸出功；（2）若用波长为250.0nm 的紫外光照射钾金属表面，求发射出的电子的最大初动能。

解 （1）波长为红限波长λ0的光子具有恰能激发光电子的能量，即光子能量等于逸出功 由W hc =0λ，得钾的逸出功 eV 2.21J 1054.3190=⨯==-λhc W（2）根据光电效应方程 W E ch+=km λ光电子的最大初动能为W hc W h m E -=-==λν2m km 21v eV 76.2J 1042.419=⨯=-12-5 当用锂制成的发射极来做光电效应实验时，得到下列遏止电势差波长λ(nm) 433.9 404.7 365.0 312.5 253.5 遏止电势差U a (V) 0.550 0.730 1.09 1.67 2.57（1）试用上述数据在坐标纸上作U a ~ν图线； （2）利用图线求出金属锂的光电效应红限波长；（3）从这些数据求普朗克常数。

一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率在量子力学中，一维无限深势阱是一个经典的模型系统，用于研究粒子在受限空间内的性质和行为。

其中，粒子的能量是一个非常重要的物理量，其可能的测量值和相应的几率分布是量子力学中的基本课题之一。

在本文中，我们将深入探讨一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率，并从简到繁地进行全面评估，帮助读者更深入地理解这一主题。

1. 一维无限深势阱的基本概念在一维无限深势阱中，粒子被限制在一个无限深的势阱内运动，即在势阱内能量为负无穷，在势阱外能量为正无穷。

这样的势阱能够构建一个简单而理想化的量子力学模型，便于对粒子的性质进行研究。

2. 粒子在一维无限深势阱中的波函数和能量本征态根据量子力学的基本原理，粒子在一维无限深势阱中的波函数可以用薛定谔方程进行描述。

解出薛定谔方程后，可以得到粒子的能量本征态和对应的波函数表达式，这些能量本征态对应着粒子可能的能量。

3. 能量的可能测量值和相应的几率分布在量子力学中，能量的测量值是一个物理量的可能取值，其对应的几率分布描述了在测量中可能得到某个值的概率。

对于粒子在一维无限深势阱中的能量，我们可以通过对波函数进行归一化处理，得到能量的可能测量值和相应的几率分布。

这些可能的测量值和几率分布将帮助我们理解粒子在势阱内的能量分布规律。

4. 总结与回顾通过对一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率进行全面评估，我们可以更深入地理解量子力学中的基本概念和原理。

这也有助于我们在实际研究或应用中更灵活地处理粒子能量的测量和分布问题。

个人观点和理解：量子力学中的一维无限深势阱模型是一个简单而重要的系统，通过对其粒子能量的可能测量值和相应的几率进行深入研究，我们可以更好地理解量子世界中的奇妙规律。

对于我而言，通过撰写本文并深入思考这一主题，我对量子力学中的能量测量和分布问题有了更全面的认识，并且能够更好地应用于我的研究和工作中。

一、背景介绍量子力学是描述微观世界的理论体系，它与经典力学有着本质的区别。

在量子力学中，粒子的性质通常通过波函数来描述，而不再是经典力学中的位置和动量。

一维无限深势阱是量子力学中简单而重要的模型之一，它可以帮助我们理解粒子在有限范围内运动的行为。

二、基态与概率分布在一维无限深势阱中，粒子的波函数必须满足边界条件，因此只能存在离散的能量本征态，即量子力学中的基态、一级激发态、二级激发态等。

基态对应能量最低的状态，它的波函数形式通常为正弦函数。

具体来说，一维无限深势阱中粒子的基态波函数为：\[\Psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\]其中，L为无限深势阱的长度。

基态波函数的平均动量可以通过其动量算符的期望值来计算。

动量算符为\(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\)，基态波函数的平均动量可以表示为：\[\langle p \rangle = \int_{-L/2}^{L/2}\Psi^*(x)\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi(x)dx\]通过对波函数进行数值计算，我们可以得到基态波函数中动量的平均值。

三、动量平均值的物理解释在一维无限深势阱中，粒子受到势阱的束缚，因此其动量不会是一个确定的值，而是存在一定的不确定性。

基态波函数中动量的平均值表征了粒子运动的一种特定方式。

从物理学角度来看，动量的平均值可以被解释为粒子在基态波函数对应的空间范围内运动的动量加权平均值。

由于基态波函数对应的是粒子能量最低的状态，因此动量的平均值也会相对较小。

四、动量平均值的计算结果经过数值计算，我们可以得到一维无限深势阱中基态波函数的动量平均值。

以长度L为1为例进行计算，基态波函数的动量平均值为0。

这意味着，在基态下，粒子的运动状态呈现出较小的动量。

一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导一维无限深方势阱是量子力学教学中常见的模型之一。

在这个模型中，粒子被限制在一个长度为L的势阱中运动，势阱的势能在阱内为零，而在阱外则无限大。

研究一维无限深方势阱中粒子的能级公式推导，可以帮助我们更深入地理解量子力学中的基本概念和数学工具。

下面我将按照深度和广度的要求，从简单的物理概念和数学原理开始，逐步推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式，并带有个人的观点和理解。

一、基本概念和数学工具1.1 势阱势阱是一种常见的量子力学模型，它可以用来描述粒子在受限空间中的运动。

在一维无限深方势阱中，势能在阱内为零，而在阱外为无限大，这意味着粒子在阱内具有确定的能量，而在阱外无法存在。

1.2 薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学中粒子运动的基本方程。

对于一维无限深方势阱而言，薛定谔方程可以简化为一维定态薛定谔方程：\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]其中，ψ(x)是粒子的波函数，m是粒子的质量，E是粒子的能量，ħ是普朗克常数。

二、能级公式的推导2.1 边界条件在一维无限深方势阱中，粒子受到势阱两侧的限制，因此波函数在势阱边界处为零。

这意味着在x=0和x=L处，波函数满足边界条件：\[ \psi(0) = 0 \]\[ \psi(L) = 0 \]2.2 波函数的解根据边界条件，我们可以求解一维定态薛定谔方程得到波函数的解。

波函数的解具有以下形式：\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{n\pi x}{L}) \]其中，n为能级量子数。

2.3 能级公式将波函数的解代入一维定态薛定谔方程中，可以得到粒子的能级公式：\[ E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2} \]其中，En为粒子的能量，n为能级量子数。

三、个人观点和理解在推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式过程中，我们利用了量子力学基本的数学工具和物理概念，如薛定谔方程、波函数和边界条件。

一维无限深势阱内粒子的动量概率分布
，
马尔科夫显示处形状在单维无限深势阱内粒子的动量分布经历严格拟合，这种
情况中粒子主要由1个或2个谱线构成，由于不同参数选择，可以得出不同时间尺度上粒子扩散情况，比如过冷状态下的低和高温梯度；另外，模拟单维无限深势阱内粒子的动量概率分布，也可以获得动量的散射函数。

模拟常数的参数可以使用拉格朗日分布函数方程以及离散散射函数这两种方式，它们使得计算可以进行，但从通常意义上，第一种方法更方便。

在这两种方法中，有可能会得到不同的散射函数和概率分布，这可以使用数值方法进行估计。

另外，研究表明，当动量深度势阱的单维半宽小于某一阈值时，动量分布可以
用高斯函数拟合，使粒子近似地分布在固定的状态下。

而当半宽大于阈值时，动量概率的分布便不会改变，可以看出，半宽对粒子的分布影响比较大，因为可以用半宽来调节动量分布。

另一方面，根据实验结果，在动量深度势阱内，动量概率分布与拉格朗日标准分布函数的偏度具有正相关性。

总之，单维无限深势阱内粒子的动量概率分布是一个复杂的问题，表征困难度
较高。

它的实验和数值模拟的过程均相当复杂，并且与参数调节有关，其计算过程也很复杂。

不过，通过所有的模拟实验可以探究单维无限深势阱内粒子的动量分布。

一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率在量子力学中，一维无限深势阱是一个经典且简单的模型，用于描述粒子在一个势阱中的行为。

在这个模型中，势阱可以看作是一个无限深的势场，粒子在其中自由运动。

当粒子被限制在一个一维无限深势阱中时，其能量值是量子化的。

根据波动力学的原理，我们可以获得粒子在这个势阱中能量的可能测量值和相应的几率。

能级的量子数和能量一维无限深势阱中的粒子可以存在于不同的能级。

这些能级由一个整数n来标记，称为能级的量子数。

能级的量子数n可以取1, 2, 3, …等任意正整数。

每个能级都对应着一个确定的能量。

根据量子力学的理论，一维无限深势阱中粒子的能级En可以由下式给出：En = n^2 * (h^2 / 8mL^2)其中，h是普朗克常数，m是粒子的质量，L是势阱的宽度。

能级的分布和几率粒子在一维无限深势阱中的能级是离散的，且随着能级量子数n的增加而增大。

能级1对应的能量最低，而能级的能量随着n的增加而增加。

根据概率的理论，我们可以计算粒子被测量到具有某个能量的概率，即几率。

粒子具有某个能量的几率由下式给出：P(n) = |Ψn|^2 = (2 / L) * sin^2(nπx / L)其中，Ψn是能级n对应的波函数，x是位置的坐标，L是势阱的宽度。

从上述几率公式可以看出，几率P(n)随着能级量子数n的增加而逐渐减小。

也就是说，粒子被测量到具有更高能量的概率越小，而被测量到具有较低能量的概率越大。

能量的选择定则根据能量的测量结果，我们可以得到一些有关能量的特性。

在一维无限深势阱中，粒子只能具有特定的离散能量值，这些能量值与能级量子数n相关。

根据能量的选择定则，粒子在任意时刻只能处于某个能级上，而不能处于两个或多个能级上。

这意味着，粒子在一维无限深势阱中的能量是量子化的，只能取能级所对应的那些特定能量值。

总结一维无限深势阱是一个经典的量子力学模型，在描述粒子在势阱中的行为方面提供了有用的信息。

一维无限深势阱一维无限深势阱2. 判断题题号：60821001分值：2分难度系数等级：1级在一维无限深势阱中粒子运动的能量不能连续地取任意值，只能取分立值，即能量是量子化的。

答案：对题号：60821002分值：2分难度系数等级：1级在一维无限深势阱中粒子运动的能量的量子化是强行引入的。

答案：错题号：60822003分值：2分难度系数等级：2级在一维无限深势阱中粒子运动的能量的最小值为零。

答案：错题号：60821004分值：2分难度系数等级：1级在一维无限深势阱中微观粒子在各处出现的概率不均匀。

答案：对题号：60822005 分值：2分难度系数等级：2级微观粒子在一维无限深势阱中各能级的阱壁处出现的概率为零答案：对3．填空题题号：60834001 分值：2分难度系数等级：4级一维无限深势阱中粒子的定态波函数为axn a x n πψsin2)(=。

则粒子处在基态时，在x ＝0到3ax =之间被找到的概率。

( C x x x x +-=2sin )4/1(21d sin 2) 答案：π4331-（或0.19）题号：60834002 分值：2分难度系数等级：4级一维无限深势阱中粒子的定态波函数为axn a x n πψsin2)(=。

则粒子处于第一激发态时，在x ＝0到3 ax =之间被找到的概率。

(C x x x x +-=2sin )4/1(21d sin 2 )答案：π8331+（或0.40）题号：60833003 分值：2分难度系数等级：3级一维无限深势阱中粒子的定态波函数为axn a x n πψsin2)(=。

则粒子处于第一激发态时，在4ax =处粒子的概率密度。

答案：a2题号：60832004 分值：2分难度系数等级：2级一维无限深势阱中粒子的定态波函数为axn a x n πψsin2)(=。

则粒子处于基态时各处的概率密度。

答案：a xa π2sin 2题号：60832005 分值：2分难度系数等级：2级一维无限深势阱中粒子的定态波函数为axn a x n πψsin2)(=。