2021高考数学考点精讲精练《13 三角函数定义》(练习)(解析版)

第三节 三角函数的图象与性质[基础梳理]1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，()π，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪x ∈R ，⎭⎪⎬⎪⎫且x ≠k π＋π2续表 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性⎣⎢⎡2k π－π2，2k π ⎦⎥⎤＋π2为增； ⎣⎢⎡2k π＋π2，2k π[2k π，2k π＋π]为减；[2k π－π，2k π]为增 ⎝⎛k π－π2，⎭⎪⎫k π＋π2为增⎦⎥⎤＋3π2为减对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π2x ＝k π3.周期函数(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．一个易混点正切函数y ＝tan x 的单调性只能说：在(k π－π2，k π＋π2)上k ∈Z 为增函数，不能说为：在定义域上为增函数． 2．一个易错点求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx ＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解，否则将出现错误． 3．三角函数的对称与周期的关系(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期． 4．关于周期的两个结论函数y ＝|sin x |，y ＝|cos x |，y ＝|tan x |的周期为π，函数y ＝sin|x |，不是周期函数，y ＝tan |x |不是周期函数．[四基自测]1．(教材改编)函数y ＝12sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上都是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数答案：B2．(教材改编)函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π2＋π8，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z 答案：D3．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2答案：C4．(2018·高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x 的最小值为________． 答案：－15．cos 23°，sin 68°，cos 97°从小到大的顺序是________． 答案：cos 97°＜cos 23°＜sin 68°考点一 有关三角函数的定义域、值域、最值问题◄考能力——知法 角度1 单调性法求有关三角函数的定义域、值域(最值) [例1] (1)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3解析：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案：B(2)函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义，则有⎩⎨⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎨⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎨⎧2k π＜x ＜π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z (3)(2018·高考北京卷)已知函数f (x )＝sin 2 x ＋3sin x cos x . ①f (x )的最小正周期；②若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值．解析：①f (x )＝sin 2 x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.②由①知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6.要使得f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32.即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1.所以2m －π6≥π2，即m ≥π3.所以m 的最小值为π3.单调性法求三角函数最值主要是利用三角函数在相应区间上的单调性求解最值．破解此类题的关键点为：(1)化简，即利用三角恒等变换将三角函数转化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的形式．形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c ，可通过引入辅助角φ⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝ba 2＋b 2，将其转化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＋c .(2)定单调性，即判断三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 在指定区间上的单调性．(3)求解，即根据三角函数在指定区间上的单调性求出最值．角度2 换元法求三角函数的最值(值域)[例2] (2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．解析：f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈ [0,1]，所以当cos x ＝32时，函数取得最大值1.答案：1换元法求三角函数的最值常把三角函数中的某一部分看作一个整体并用新元去替代，从而将三角函数的最值问题转化为简单多项式函数的最值问题．破解此类题的关键点：(1)化简，利用同角三角函数的基本关系、诱导公式及三角恒等变换将三角函数转化成关于sin x 或cos x 的多项式的形式．(2)换元，根据多项式的特点，令t ＝sin x 或t ＝cos x ，进而将三角函数转化为关于t 的函数．形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ，可设t ＝sin x ，将其转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c (t ∈[－1,1])；形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c ，可设t ＝sin x ±cos x ，则t 2＝1±2sin x cos x ，即sin x cos x ＝±12(t 2－1)，将其转化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c (t ∈[－2，2])．换元时一定要注意新元的取值范围． (3)求解，根据关于t 的函数的特点，利用适当的方法求出函数的最值．1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：∵f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝1＋cos 2x －1－cos 2x 2＋2＝32cos 2x ＋52，∴(x )的最小正周期为π，最大值为4. 故选B. 答案：B2．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B ．1 C.35 D.15解析：∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x＝35sin x ＋335cos x ＝35×2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴f (x )的最大值为65.故选A. 答案：A考点二 三角函数的性质及应用◄考素养——懂理 角度1 三角函数的单调性[例3] (1)(2019·佛山模拟)已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π 解析：因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，所以2×π3＋φ＝2k π＋π2，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z ，不妨取φ ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π＋π2<2x －π6<2k π＋3π2，k ∈Z ，可得k π＋π3<x <k π＋5π6，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z ，结合选项可知当k ＝0时，函数的一个单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6. 答案：B(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)若(x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4D ．π解析：(x )＝cos x －sin x＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·22－cos x ·22＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，34π，即x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增，y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递减．∵函数(x )在[－a ，a ]是减函数， ∴[－a ，a ]⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，34π，∴0＜a ≤π4，∴a 的最大值为π4. 故选A.答案：A(3)已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，74 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，94 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74 解析：函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，k ∈Z ，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74.答案：D1.求三角函数单调区间的方法 代换法就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．图象法画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.2.已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法 子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．周期法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离列不等式(组)求解.角度2 三角函数的奇偶性、对称性、周期性 [例4] (1)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2 C ．πD ．2π解析：由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋(sin x cos x)2＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 故选C. 答案：C(2)(2019·银川模拟)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)，满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3解析：因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ是偶函数，所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.答案：C三角函数的奇偶性、对称性和周期性问题的解题思路(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．故形如y ＝A sin(ωx ＋φ)成为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )；成为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )．y ＝A cos(ωx ＋φ)成为奇函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )；成为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )． (2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期为πω求解．(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．提醒：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，不符合题意．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是T ＝π的奇函数，符合题意，同理C ，D 均不是奇函数． 答案：B2．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( ) A ．0B.π6C.π4D.π3解析：因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋θ是偶函数，所以π3＋θ＝π2＋k π，即θ＝π6＋k π(k ∈Z )，又因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故θ＝π6.答案：B3．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0对称C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称解析：函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期是4π， 而T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.函数f (x )的对称轴为x 2＋π6＝π2＋k π，解得x ＝23π＋2k π(k ∈Z )；函数f (x )的对称中心的横坐标为x 2＋π6＝k π，解得x ＝2k π－π3.对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，0，当k ＝1时为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0. 答案：B直观想象、数学运算——复合三角函数中求ω的学科素养复合函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)中，常以ω的取值范围为纽带将函数的周期性、最值、对称性、单调性等有机地结合在一起，考查了化归与转化，数形结合思想的学科素养. 1.周期性与ω[例1] 设函数y ＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π，若f (5π8)＝2，f (11π8)＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A.ω＝23，φ＝π12 B ．ω＝23，φ＝－11π12 C.ω＝13，φ＝11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：法一：由f (5π8)＝2，f (11π8)＝0知，点(5π8，2)和(11π8，0)分别是函数图象的最高点和对称中心，当两点在同一单调区间上时，函数周期T ＝4(11π8－5π8)＝3π＞2π，由五点画图法知y ＝2sin(ωx ＋φ)上的点(5π8，2)和(11π8，0)分别与正弦曲线y ＝sin x 上的点(π2，1)，(π，0)对应，所以有5πω8＋φ＝π2，11πω8＋φ＝π，解得ω＝23，φ＝π12，故选A.法二：这是一道选择题，四个选项有且仅有一个是正确的，故可对四个选项是否满足题意进行检验．当ω＝23，φ＝π12时，y ＝2sin(23x ＋π12)，经检验知f (5π8)＝2，f (11π8)＝0，f (x )的最小正周期T ＝3π＞2π，满足所有条件，故选A. 答案：A 2.最值与ω[例2] 函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为________．解析：函数y ＝sin ωx (ω＞0)的周期T ＝2πω，设x n 表示函数在区间[0,1]上从左至右第n 个最大值点，则{x n }是首项为x 1＝T4，公差为T 的等差数列，所以x 50＝T 4＋49 T ，依题意x 50＝T4＋49T ≤1，得197T ≤4，即197·2πω≤4，解得ω≥197π2，故ω的最小值为197π2.答案：197π2 3.对称性与ω[例3] 若函数y ＝cos(ωx ＋π6)(ω∈N *)的图象的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为( ) A.1B ．2C.4 D ．8解析：依题意得cos(πω6＋π6)＝0，则πω6＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，解得ω＝6k ＋2，又ω∈N *，所以ω的最小值为2，故选B. 答案：B 4.单调性与ω[例4] 已知ω＞0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．解析：因为ω＞0，令2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得1ω(2k π＋π4)≤x ≤1ω(2k π＋5π4)，所以f (x )的递减区间为[1ω(2k π＋π4)，1ω(2k π＋5π4)]．又f (x )在(π2，π)上单调递减，所以(π2，π)[1ω(2k π＋π4)，1ω(2k π＋5π4)]，则有1ω(2k π＋π4)≤π2，1ω(2k π＋5π4)≥π，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54.又因为ω＞0，所以有4k ＋12≤2k ＋54，2k ＋54＞0，解得－58＜k ≤38.又k ∈Z ，所以k ＝0，则12≤ω≤54.∴ω的取值范围为[12，54]．答案：[12，54]课时规范练 A 组 基础对点练1．(2019·海滨区模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为π，则ω＝( )A ．1B ．±1C ．2D ．±2解析：因为T ＝2π|ω|，所以|ω|＝2πT ＝2，故ω＝±2. 答案：D2．设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π内单调递减解析：当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，x ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，4π3，函数在该区间内不单调．答案：D3．函数y ＝－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的非奇非偶函数解析：y ＝－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋1＝sin 2x .结合各选项知选A.答案：A4．已知函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，23 解析：由题意知⎩⎨⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎨⎧0<ω≤1，ω＝k3，其中k ∈Z ，则ω＝13，ω＝23或ω＝1，即ω的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1. 答案：A5．(2019·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( ) A.π6B.π3 C ．－π6D ．－π3解析：由已知得f (x )＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3为偶函数，由诱 导公式可知φ＋π3＝k π(k ∈Z )．当k ＝0时，φ＝－π3. 答案：D6．若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2为偶函数，则φ＝__________.解析：由题意可知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2为偶函数，所以φ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )．又由|φ|<π2，得φ＝π4.答案：π4 7．函数y ＝cos x －32的定义域为________．解析：由题意得cos x ≥32，故2k π－π6≤x ≤π6＋2k π(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈Z 8．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为__________．解析：令y 1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如图所示．若2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y 1与y 2应有两个不同的交点，所以3<a <2.答案：(3，2)9．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________． 解析：设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2. 所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1B 组 能力提升练10．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( ) A.5π12 B.π4 C.π3 D.π6解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，则ω＝2.由2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，得x 0＝k π2－π12(k ∈Z )，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x 0＝5π12.答案：A11．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数解析：由f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3可知，f (x )的最小正周期为π.由k π≤x ＋π3≤π2＋k π(k ∈Z )，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )上单调 递增；由π2＋k π≤x ＋π3≤π＋k π(k ∈Z )，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )上单调递减．将各选项逐项代入验证，可知B 正确． 答案：B12．若函数f (x )同时具有以下两个性质：①f (x )是偶函数；②对任意实数x ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝cos x B ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2 D ．f (x )＝cos 6x解析：由题意可得，函数f (x )是偶函数，且它的图象关于直线x ＝π4对称．因为f (x )＝cos x 是偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22，不是最值，故不满足图象关于直线x ＝π4对 称，故排除A.因为函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，不满足条件①，故排除B.因为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝cos 4x 是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1，是最小值，故满足图象关于直线x ＝π4对称，故C 满足条件．因为函数f (x )＝cos 6x 是偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，不是最值，故不满足图象关于直线x ＝π4对称，故排除D. 答案：C13．(2019·深圳模拟)若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，且|φ|＜π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数值从1减少到－1, 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析：由题意知T 2＝2π3－π6＝π2，故T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1.因为|φ|＜π2，所以φ＝π6， 即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝cos π6＝32.答案：3214．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为__________． 解析：由f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，f (x )有对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π知f (x )有对称轴x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋23π＝712π.记f (x )的最小正周期为T ，则12T ≥π2－π6，即T ≥23π.故712π－π3＝π4＝T 4， 解得T ＝π. 答案：π15．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的值域为________．解析：函数变为y ＝1－sin 2x ＋sin x . 设t ＝sin x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.函数变为f (t )＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12，即sin x ＝12，x ＝π6时，y max ＝54； 当t ＝－22，即x ＝－π4时，y min ＝1－22. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54。

2021年高考三角函数问题主要是围绕三角函数的定义㊁平方关系㊁图像变换㊁三角函数的值域,以及三角函数的应用 等展开的,彰显 整体变量观念㊁转化与化归和数形结合 素养的具体应用㊂聚焦1:三角函数的定义的应用例1 (2021年高考北京卷)若点P (c o s θ,s i n θ)与点Q c o s θ+π6(),æèçs i n θ+π6())关于y 轴对称,写出一个符合题意的θ=㊂解:由题意知点P ,Q 在单位圆上且关于y 轴对称,即θ与θ+π6关于y 轴对称,所以θ+π6+θ=π+2k π,k ɪZ ,则θ=k π+5π12,k ɪZ ㊂当k =0时,可取θ的一个值为5π12(答案不唯一)㊂回味:由三角函数的定义知,两点的坐标关于y 轴对称的特征是对应的角α与β满足α+β=π+2k πk ɪZ ()㊂聚焦2:三角函数的单调性的应用例2 (2021年高考新课标卷)下列区间中,函数f x ()=7s i n x -π6()的单调递增区间是( )㊂A .0,π2() B .π2,π()C .π,3π2()D .3π2,2π()解法1:对于函数f x ()=7s i n x -π6(),由2k π-π2<x -π6<2k π+π2k ɪZ (),可得2k π-π3<x <2k π+2π3k ɪZ ()㊂取k =0,可得函数f x ()的一个单调递增区间为-π3,2π3(),A 满足条件,B 不满足条件㊂取k =1,可得函数f (x )的一个单调递增区间为5π3,8π3(),C ,D 不满足条件㊂应选A ㊂解法2:利用复合函数的单调性逐个验证㊂设t =x -π6,对于A ,当x ɪ0,π2()时,t ɪ-π6,π3(),由y =7s i n t 在-π6,π3()上是增函数,可得A 满足条件㊂对于B ,当x ɪπ2,π()时,t ɪπ3,5π6(),由y =7s i n t 在π3,5π6()上不单调,可得B 不满足条件㊂对于C ,当x ɪπ,3π2()时,t ɪ5π6,4π3(),由y =7s i n t 在5π6,4π3()上是减函数,可得C 不满足条件㊂对于D ,当x ɪ3π2,2π()时,t ɪ4π3,11π6(),由y =7s i n t 在4π3,11π6()上不单调,可得D 不满足条件㊂应选A ㊂回味:求函数y =A s i n (ωx +φ)(其中ω>0)的单调区间,可把 ωx +φ 看作一个整体,通过列不等式求解㊂聚焦3:三角函数的图像变换例3 (2021年高考全国卷)把函数y =f (x )图像上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π3个单位长度,得到函数y =s i n x -π4()的图像,则f (x )=( )㊂A .s i nx 2-7π12() B .s i n x 2+π12()C .s i n 2x -7π12() D .s i n 2x +π12()解法1:函数y =f (x )图像上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到y =f (2x )的图像,再把所得图像向右平移π362 数学部分㊃创新题追根溯源 高一使用 2021年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.个单位长度,得到函数y =f 2x -π3()[]=s i n x - æèçπ4)㊂令t =2x -π3(),则x =t 2+π3,x -π4=t 2+π12,所以f t ()=s i nt 2+π12(),所以f x ()=s i n x 2+π12()㊂应选B ㊂解法2:从函数y =s i n x -π4()出发,逆向实施各步变换得到y =f (x )的解析式㊂函数y =s i n x -π4()逆向变换:先向左平移π3个单位长度,得到y =s i n x +π3-π4()=s i n x +π12()的图像,再把图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y =s i n x 2+π12()的图像,即为y =f x ()的图像,所以f x ()=s i n x 2+π12()㊂应选B ㊂回味:三角函数的图像变换有两种途径:一是先伸缩再平移,二是先平移再伸缩㊂y =A s i n (ωx +φ1)到y =A s i n (ωx +φ2)的平移单位是Δx =φ2-φ1ω,当Δx >0时,将y =A s i n (ωx +φ1)图像上所有点向左平移Δx 个单位得到的,当Δx <0时,将y =A s i n (ωx +φ1)图像上所有点向右平移-Δx 个单位得到的㊂聚焦4:待定系数法求三角函数的解析式例4 (2021年高考全国卷)已知函数f x ()=2c o s ωx +φ()的部分图像,如图1所示,则fπ2()=㊂图1解:先确定函数的解析式,然后求fπ2()的值㊂由题意得34T =13π12-π3=3π4,所以T =π,可得ω=2πT =2㊂当x =13π12时,ωx +φ=2ˑ13π12+φ=2k π(k ɪZ ),所以φ=2k π-13π6k ɪZ ()㊂令k =1,可得φ=-π6,据此可得函数f x ()=2c o s 2x -π6(),所以f π2()=2c o s 2ˑπ2-π6()=-3㊂回味:由图像求y =A s i n (ωx +φ)的解析式,A 和周期T 易看图得出,ω可由周期公式求出㊂较难求的是初相φ,求初相φ的两种常用方法:①代入法,把图像上的一个已知点代入(此时,A ,ω已知)求解;②五点法,确定初相φ时,往往以寻找五点法中的第几个点作为突破口, 第一点 (即图像上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx +φ=0, 第二点 (即图像的 峰点 )为ωx +φ=π2, 第三点 (即图像下降时与x 轴的交点)为ωx +φ=π, 第四点 (即图像的 谷点 )为ωx +φ=3π2, 第五点 为ωx +φ=2π㊂已知ω>0,函数f (x )=c o s ωx +π4()在π2,π()上单调递增,求ω的取值范围㊂提示:根据函数y =c o s x 的单调递增区间为[-π+2k π,2k π],k ɪZ ,列不等式组ωπ2+π4ȡ-π+2k π(k ɪZ),ωπ+π4ɤ2k π(k ɪZ ),ìîíïïïï解得4k -52ɤωɤ2k -14,k ɪZ ,再根据4k -52-2k -14()ɤ0,k ɪZ 且4k -52>0,k ɪZ,解得k =1㊂由此可得ω的取值范围是32,74[]㊂作者单位:陕西省洋县中学(责任编辑 郭正华)72数学部分㊃创新题追根溯源 高一使用 2021年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

2021年高考数学三角函数与解三角形多选题之知识梳理与训练及解析一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，下列说法正确的是（ ）A ．若AB >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACD 【分析】A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>； 若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->， 于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.2．如图，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =，且()3cos cos 2sin a C c A b B +=，D 是ABC 外一点，1DC =，3DA =，则下列说法正确的是（ ）A ．ABC 是等边三角形B ．若23AC =A ，B ，C ，D 四点共圆 C ．四边形ABCD 面积最大值为5332+ D ．四边形ABCD 面积最小值为5332- 【答案】AC 【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sin B ，再利用a b =，可知ABC 为等边三角形，从而判断A ；利用四点A ，B ，C ，D 共圆，四边形对角互补，从而判断B ；设AC x =，0x >，在ADC 中，由余弦定理可得2106cos x D =-，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求ABCD S 四边形，利用正弦函数的性质，求出最值，判断CD ．【详解】由正弦定理2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===， 3(sin cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=⋅，332sin ,sin B B =∴=， a b =，B 是等腰ABC 的底角，(0,)2B π∴∈，,3B ABC π∴=∴△是等边三角形，A 正确；B 不正确：若,,,A BCD 四点共圆，则四边形对角互补， 由A 正确知21,cos 32D D π∠==-，但由于1,3,DC DA AC ===22211cos 232DC DA AC D DA DC +-===-≠-⋅⋅，∴B 不正确． C 正确，D 不正确：设D θ∠=，则2222cos 106cos AC DC DA DC DA θθ=+-⋅⋅=-，(106cos )ABC S θθ∴=-=△， 3sin 2ADC S θ=△，3sin cos 222ABCADCABCD S S Sθθ∴=+=-+四边形，13(sin cos 2θθ=⋅-+，3sin()32πθ=-+，(0,),sin()(3πθπθ∈∴-∈，3ABCD S <≤+四边形，∴C 正确，D 不正确； 故选：AC.． 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．3．设函数()2sin 1xf x x x π=-+，则（ ）A ．()43f x ≤B ．()5f x x ≤C ．曲线()y f x =存在对称轴D ．曲线()y f x =存在对称中心【答案】ABC 【分析】通过()22sin sin11324x xf xx xxππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭可发现函数()y f x=具有对称轴及最大值，再利用函数对称中心的特点去分析()y f x=是否具有对称中心，再将()5f x x≤化为32sin555x x x xπ≤-+，通过数形结合判断是否成立.【详解】函数解析式可化为：()22sin sin11324x xf xx xxππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭，因为函数siny x=π的图象关于直线12x=对称，且函数21324y x⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图象也关于直线12x=对称，故曲线()y f x=也关于直线12x=对称，选项C正确；当12x=时，函数siny x=π取得最大值1，此时21324y x⎛⎫=-+⎪⎝⎭取得最小值34，故()14334f x≤=，选项A正确；若()5f x x≤，则32sin555x x x xπ≤-+，令()32555g x x x x=-+，则()()221510553210g x x x x x'=-+=-+>恒成立，则()g x在R上递增，又()00g=，所以当0x<时，()00g<；当0x>时，()0g x>；作出sin xπ和32555x x x-+的图象如图所示：由图象可知32sin555x x x xπ≤-+成立，即()5f x x≤，选项B正确；对于D选项，若存在一点(),a b使得()f x关于点(),a b对称，则()()2f a x f a x b-++=，通过分析发现()()f a x f a x-++不可能为常数，故选项D错误.【点睛】本题考查函数的综合应用，涉及函数的单调性与最值、对称轴于对称中心、函数与不等式等知识点，难度较大. 对于复杂函数问题一定要化繁为简，利用熟悉的函数模型去分析，再综合考虑，注意数形结合、合理变形转化.4．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5πω个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A ．f (x )的图象关于直线2x π=对称B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点C ．f (x )在(0,)10π上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510) 【答案】CD 【分析】利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10πω上递增，且31010ππω<，可知C 正确. 【详解】依题意得()()5f x g x πω=+sin[()]5x πωω=+sin()5x πω=+， 2T πω=，如图：对于A ，令52x k ππωπ+=+，k Z ∈，得310k x ππωω=+，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x ππωω=+(k Z ∈)对称，故A 不正确； 对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确， 对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10πω上递增，因为29310ω<<，所以33(1)0101010πππωω-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确；故选：CD. 【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.5．已知函数()f x 的定义域为D ，若对于任意()()()a b c D f a f b f c ∈，，，，，分别为某个三角形的边长，则称()f x 为“三角形函数”，其中为“三角形函数”的函数是（ ） A ．()4sin f x x =- B ．()22sin 10cos 13f x x x =-++C ．()tan 2x f x = D ．()sin 20,34f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】AD 【分析】结合三角形的性质有:两边之差小于第三边，得若()f x 为 “三角形函数”则()()()max min min f x f x f x <-恒成立，即()()max min 2f x f x <恒成立即可，根据条件求出函数的最大值和最小值，进行判断即可. 【详解】解:①()4sin f x x =-，则()max 415f x =+=，()min 413f x =-= 则()()max min 2f x f x <恒成立,则A 满足条件②()22532cos 10cos 112cos 22f x x x x ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0cos 1x ≤≤∴当cos 0x =时，函数()f x 取得最小值()min 11f x =,当cos 1x =时，函数()f x 取得最大值，()max 23f x =则()()max min 2f x f x <不恒成立，则B 不满足条件 ③()()()tan ,00,2xf x =∈-∞⋃+∞，则不满足条件()()max min 2f x f x <恒成立，故C 不是④()sin 23f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,336x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，则()max sin12f x π=+=+()min 51sin62f x π=+=+则()min 21f x =+，则()()max min 2f x f x <恒成立，故D 满足条件 故选AD 【点睛】本题考查了三角形的性质及“三角形函数”的概念，根据条件转化为()()max min 2f x f x <恒成立是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.6．已知函数()2sin()05,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的最小正周期为π C ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】BD 【分析】由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数可得()3k k ωπϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，得()122k k ωππϕπ+=+∈Z ①. 2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，所以()3k k ωπϕπ''+=∈Z ②.由①②可得()(),3122k k k k ωπωπππ''-=--∈Z ，即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=， 则(2,)33k k k k ππϕππ=+=-'∈'Z ，得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以B 正确；2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 不正确；令222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立”得到“212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”后，能根据“3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数”得到“()3k k ωπϕπ''+=∈Z ”.7．下列结论正确的是（ ）A ．在三角形ABC 中，若AB >，则sin sin A B > B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则三角形ABC 为等腰三角形D ．在锐角三角形ABC 中,sin sin cos cos A B A B +>+ 【答案】ABD 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，利用锐角△ABC 这个条件,可得2A B π+>，结合三角函数的单调性比较sin A 与cos B 大小即可判断D ． 【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a bA B=，得sin sin A B >，A 正确； 在锐角三角形ABC 中，222222cos 0,02b c a A b c a bc+-=>∴+->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B ︒+=，即A B =或90A B ︒+=，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错误；在锐角三角形ABC 中,2A B π+>,022A B ππ∴>>->,sin sin 2A B π⎛⎫∴>- ⎪⎝⎭,即sin cos A B >，同理：sin cos B A >sin sin cos cos A B A B ∴+>+，D 正确.故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，诱导公式等，学会公式的灵活应用是解答本题的关键.8．设函数()sin()(0)4f x x πωω=+>，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（ ）A ．()1y f x =+在()02π，有且仅有2个零点 B ．()f x 在023π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增C ．ω的取值范围是192388⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．将()f x 的图象先右移4π个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数1()sin()2g x x ω=【答案】BC 【分析】首先利用图象直接判断A 选项；再利用函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，求得ω的范围，并利用整体代入的方法判断B 选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D. 【详解】A.如图，[]0,2π上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是()1y f x =+在()0,2π上的3个零点；B.[]0,2x π∈时，,2444t x πππωωπ⎡⎤=+∈⋅+⎢⎥⎣⎦ 若函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则5264ππωππ≤⋅+<，得192388ω≤<，当023x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，,448t x πππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，此时函数单调递增，故BC 正确； D. 函数()f x 的图象先右移4π个单位后得到sin sin 4444y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到()1sin 244g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故D 不正确；故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出ω的取值范围，首先根据函数在区间[]0,2π有5个零点，首先求4t x πω=+的范围，再分析sin y t =的图象，求得ω的范围.9．已知函数)2()lg11( 2.7)x x f x x x e e e -=++-+≈⋯，若不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--对任意R θ∈恒成立，则实数t 的可能取值为（ ）A ．1B 2C ．3D ．4【答案】CD 【分析】 令)2()lg1x x g x x x e e -=++-，则()()1f x g x =+，可判断()g x 是奇函数且单调递增，不等式可变形可得(sin cos )(sin 2)g g t θθθ+<-，所以sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，换元法求出()h θ的最大值，()max t h θ>即可. 【详解】 令)2()lg1x x g x x x e e -=++-，则()()1f x g x =+，()g x 的定义域为R ，))()()lg lg x x x x g x g x x e e x e e ---+=+-++-0=， 所以()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--等价于[](sin cos )1(sin 2)1f f t θθθ+-<---，即(sin cos )(sin 2)(sin 2)g g t g t θθθθ+<--=-，当0x >时y x =单调递增，可得)lg y x =单调递增， x y e =单调递增，x y e -=单调递减，所以)()lg x x g x x e e -=+-在()0,∞+单调递增，又因为)()lgx x g x x e e -=+-为奇函数，所以)()lg x x g x x e e -=+-在R 上单调递增，所以sin cos sin 2t θθθ+<-，即sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，只需()max t h θ>，令sin cos m θθ⎡+=∈⎣，则21sin 2m θ=+，2sin 21m θ=-，所以()21h m m m =+-，对称轴为12m =-，所以m =()max 211h m ==，所以1t >可得实数t 的可能取值为3或4，故选：CD【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()g x 奇函数且是增函数，将原不等式脱掉f 转化为函数恒成立问题.10．设函数()()sin f x A x =+ωϕ，x ∈R （其中0A >，0>ω，2πϕ<），在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，且()026f f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A ．若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R ，则21min x x π-=B ．()y f x =的图象关于点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭中心对称 C ．函数()f x 的单调减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2π 【答案】ABD【分析】根据条件先求函数的解析式，对于A:判断出()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，即可；对于B:根据函数的对称性进行判断；对于C:求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断；对于D:根据函数的对称性即对称轴之间的关系进行判断.【详解】因为函数()f x 在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值， 所以,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数的一个单调区间，区间长度为263πππ-=， 即函数的周期2233T ππ≥⨯=，即223ππω≥，则03ω<≤ 因为()06f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以06212ππ+=为函数的一条对称轴； 则1223πππωϕωϕπ+=+=①② 由①②解得：=2=3πωϕ，，即()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数的周期=T π. 对于A: 若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R 恒成立，则()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，所以12||22T k x x k π-==,则21x x -必为2π的整数倍，故A 错误，可选A; 对于B:3x π=-时，()sin 03f x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭不是()y f x =的对称中心，B 错误，可选B; 对于C:当7,1212x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，322,2322x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，此时()y f x =单调递减，C 正确，不选C;对于D: 函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是44T π=,故D 错误，可选D故选:ABD【点睛】（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②(2)求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；（2）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.。

2021年高考数学的三角函数与解三角形多选题含解析一、三角函数与解三角形多选题1．设函数()2sin sin 2cos2f x x x =++，给出下列四个结论：则正确结论的序号为（ ） A ．()20f >B ．()f x 在53,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 的值域为[]12cos2,32cos2-++ D ．()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π 【答案】ABD 【分析】由()23sin 22cos2f =+，结合3224ππ<<，可判定A 正确；作出函数2sin sin y x x =+的图象，可得函数()f x 的值域及单调性，可判定B 正确，C 不正确；结合函数的图象，可得()f x 在[]0,2π上的所有零点之和，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数()2sin sin 2cos2f x x x =++， 可得()22sin 2sin 22cos23sin 22cos2f =++=+ 因为3224ππ<<，所以sin 2cos20>->，所以()20f >，所以A 正确； 由3sin ,222sin sin ,sin ,222x k x k y x x k Z x k x k πππππππ≤≤+⎧=+=∈⎨-+≤≤+⎩，作出函数2sin sin y x x =+的图象，如图所示， 可得函数()f x 是以2π为周期的周期函数，由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 在3(,)2ππ上单调递增， 又由()f x 是以2π为周期的周期函数，可得函数()f x 在5(3,)2ππ--上单调递增， 所以B 是正确的；由由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 的值域为[2cos 2,32cos 2]+， 所以C 不正确； 又由2223ππ<<，所以1cos 202-<<，则02cos21<-<， 令()0f x =，可得2sin sin 2cos2x x +=-，由图象可知，函数()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π，所以D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查转化思想，以及数形结合思想的应用，以及推理与运算能力，属于中档试题.2．已知函数()()cos 2f x A x b ϕ=++(0A >，0ϕπ<<)的部分图像如图所示，则（ ）A ．2A =B ．点7,112π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的一个对称中心 C ．6π=ϕ D ．直线3x π=是()f x 图像的一条对称轴【答案】ABD 【分析】由图知函数最大值为3,最小值为1-,且函数图像与y 轴的交点为()0,2,进而待定系数得()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,再整体换元讨论B,D 选项即可.【详解】 因为0A >，所以31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A b =⎧⎨=⎩，故A 正确；()02cos 12f ϕ=+=，则1cos 2ϕ=.又0ϕπ<<，所以3πϕ=，故C 错误；()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令23x k ππ+=，k ∈Z ，解得62πk πx =-+，k ∈Z ， 所以()f x 图像的对称轴方程为62πk πx =-+， 令1k =，则3x π=，D 正确；令232x k πππ+=+，k ∈Z ，解得122k x ππ=+，k ∈Z ， 令1k =，则712x π=且7112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确.故选：ABD 【点睛】本题考查三角函数图像求解析式，三角函数的对称轴，对称中心等，考查运算求解能力，是中档题.解题的过程中，需要注意形如()()sin 0y A x B A ωϕ=++>，()()cos 0y A x B A ωϕ=++>，max min ,y A B y A B =+=-+，ϕ的求解通常采用待定系数法求解.3．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间； 对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭； 由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误； 对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.4．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点 D ．()f x 的值域为[]1,2- 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故A 错误；对于B 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，27,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，()()()cos sin cos f x x x x x πππ+=+-+=--()cos x x f x =-=，所以π为函数()f x 的周期.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min 01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭ 由B 选项可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭()()min1f x f π==-.所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 的值域为⎡-⎣，D 选项错误.故选：BC. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.5．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）A ．::7:5:3sinA sinB sinC = B ．0AB AC ⋅>C ．若6c =，则ABC 的面积是D ．若8+=b c ，则ABC 【答案】ACD 【分析】先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=， 所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==， 故选项A 正确；222222cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=222222.5 1.5 3.515028k k +-==-<，故选项B 不正确； 若6c =，则4k =， 所以14,10a b ==，所以222106141cos 21062A +-==-⨯⨯，所以3sin A =， 故ABC 的面积是：113sin 610153222bc A =⨯⨯⨯=； 故选项C 正确；若8+=b c ，则2k =， 所以7,5,3a b c ===，所以2225371cos 2532A +-==-⨯⨯，所以3sin 2A =， 则利用正弦定理得：ABC 的外接圆半径是：1732sin a A ⨯=， 故选项D 正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.6．如图，已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与x 轴交于点A ，B ，若7OB OA =，图象的一个最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．4πϕ=-B ．()f x 的最小正周期为4C ．()f x 一个单调增区间为24,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．()f x 图象的一个对称中心为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD 【分析】先利用7OB OA =设0OA x =，得到点A 处坐标，结合周期公式解得选项A 错误，再利用最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭解出0x 得到周期，求得解析式，并利用代入验证法判断单调区间和对称中心，即判断选项BCD 正确. 【详解】由7OB OA =，设0OA x =，则07OB x =，06AB x =，选项A 中，点A ()0,0x 处，()0sin 0x ωϕ+=，则00x ωϕ+=，即0x ϕω=-，0612262T x AB ϕπωω-==⋅==，解得6πϕ=-，A 错误； 选项B 中，依题意0004343D x x x x =+==，得013x =，故1,03A ⎛⎫⎪⎝⎭，最小正周期414433T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，B 正确； 选项C 中，由24T πω==，得2πω=，结合最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭，知43A =，即()4sin 326f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当24,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,2622x ππππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个单调增区间，C 正确；选项D 中，53x =-时()5454sin sin 0332363f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 正确.故选：BCD. 【点睛】 思路点睛：解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.7．已知4παπ≤≤，32ππβ≤≤，4sin 25α=，cos()10αβ+=-，则（ ）A ．cos α=B ．sin cos αα-=C ．34πβα-= D ．cos cos αβ= 【答案】BC 【分析】先根据4sin 25α=，判断角α的范围，再根据cos2α求cos α； 根据平方关系，判断sin cos αα-的值；利用公式cos()cos[()2]βααβα-=+-求值，并根据角的范围判断角βα-的值；利用公式()cos βα+和()cos βα-，联合求cos cos αβ.【详解】 ①因为4παπ≤≤，所以222παπ≤≤，又4sin 205α=>，故有22παπ≤≤，42ππα≤≤，解出2231cos 22cos 1cos cos 55αααα=-=-⇒=⇒=，故A 错误； ②()21sin cos 1sin 25ααα-=-=， 由①知：42ππα≤≤，所以sin cos αα>，所以sin cos 5αα-=，故B 正确； ③由①知：42ππα≤≤，而32ππβ≤≤，所以524παβπ≤+≤，又cos()010αβ+=-<，所以5342ππαβ≤+≤，解得sin()αβ+=所以34cos()cos[()2]1051052βααβα⎛⎫⎛⎫-=+-=--+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为5342ππαβ≤+≤，22ππα-≤-≤-，所以4πβαπ≤-≤，有34πβα-=，故C 正确；④由cos()cos cos sin sin 1010αβαβαβ+=-⇒-=-，由③知，cos()cos cos sin sin 2βααβαβ-=+=-，两式联立得：cos cos 10αβ=-，故D 错误． 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值4sin 25α=，确定22παπ≤≤，且cos()010αβ+=-<，进一步确定5342ππαβ≤+≤，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.8．已知函数)()lg1( 2.7)x x f x x e e e -=+-+≈⋯，若不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--对任意R θ∈恒成立，则实数t 的可能取值为（ ）A ．1BC ．3D ．4【答案】CD 【分析】令)()lgx x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，可判断()g x 是奇函数且单调递增，不等式可变形可得(sin cos )(sin 2)g g t θθθ+<-，所以sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，换元法求出()h θ的最大值，()max t h θ>即可. 【详解】令)()lgx x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，()g x 的定义域为R ，))()()lglgx x x x g x g x x e e x e e ---+=+-++-0=，所以()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数， 不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--等价于[](sin cos )1(sin 2)1f f t θθθ+-<---，即(sin cos )(sin 2)(sin 2)g g t g t θθθθ+<--=-，当0x >时y x =单调递增，可得)lgy x =单调递增，x y e =单调递增，x y e -=单调递减，所以)()lgx x g x x e e -=+-在()0,∞+单调递增，又因为)()lg x x g x x e e -=+-为奇函数，所以)()lgx x g x x e e -=+-在R 上单调递增，所以sin cos sin 2t θθθ+<-，即sin cos sin 2t θθθ>++， 令()sin cos sin 2h θθθθ=++，只需()max t h θ>，令sin cos m θθ⎡+=∈⎣，则21sin 2m θ=+，2sin 21m θ=-，所以()21h m m m =+-，对称轴为12m =-，所以m =()max 211h m ==，所以1t >可得实数t 的可能取值为3或4，故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()g x 奇函数且是增函数，将原不等式脱掉f 转化为函数恒成立问题.9．设函数()()sin f x A x =+ωϕ，x ∈R （其中0A >，0>ω，2πϕ<），在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，且()026f f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A ．若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R ，则21min x x π-=B ．()y f x =的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称 C ．函数()f x 的单调减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2π【答案】ABD 【分析】根据条件先求函数的解析式，对于A:判断出()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，即可； 对于B:根据函数的对称性进行判断；对于C:求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断； 对于D:根据函数的对称性即对称轴之间的关系进行判断. 【详解】 因为函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值， 所以,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭是函数的一个单调区间，区间长度为263πππ-=，即函数的周期2233T ππ≥⨯=，即223ππω≥，则03ω<≤因为()06f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以06212ππ+=为函数的一条对称轴；则1223πππωϕωϕπ+=+=①② 由①②解得：=2=3πωϕ，，即()sin 23f x A x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，函数的周期=T π. 对于A: 若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R 恒成立，则()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，所以12||22T k x x k π-==,则21x x -必为2π的整数倍，故A 错误，可选A; 对于B:3x π=-时，()sin 03f x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故,03π⎛-⎫⎪⎝⎭不是()y f x =的对称中心，B错误，可选B;对于C:当7,1212x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，322,2322x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，此时()y f x =单调递减，C 正确，不选C;对于D: 函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是44T π=,故D 错误，可选D 故选:ABD 【点睛】（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②(2)求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；（2）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.10．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）A ．2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．(2021)1f π=C ．函数|()|y f x =为偶函数D ．,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 【答案】AD 【分析】先利用图象得到2A =，T π=，求得2ω=，再结合12x π=-时取得最大值求得ϕ，得到解析式，再利用解析式，结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可. 【详解】由图象可知，2A =，5212122T πππ=+=，即2T ππω==,2ω=， 由12x π=-时，()2sin 2212f x =πϕ⎡⎤⎛⎫=⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得22,122=k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-++∈ ⎪⎝⎭， 即22,3=k k Z πϕπ+∈，而0ϕπ<<，故2=3πϕ，故2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，A 正确；22(2021)2sin 22021=2sin =333f ππππ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭B 错误； 由2()2sin 23y f x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭知，222sin 2=2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是恒成立，故函数|()|y f x =不是偶函数，故C 错误； 由6x π=时，22sin 22sin 0663f =ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故06π⎛⎫⎪⎝⎭，是2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心，故,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 方法点睛：三角函数模型()sin()f x A x b ωϕ=++求解析式时，先通过图象看最值求A ，b ，再利用特殊点（对称点、对称轴等）得到周期，求ω，最后利用五点特殊点求初相ϕ即可.。

专题11.1三角函数（考点讲析）提纲挈领点点突破热门考点01 象限角及终边相同的角（1）任意角、角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．【典例1】（2019·乐陵市第一中学高三专题练习）如果α=−21∘，那么与α终边相同的角可以表示为()A．{β|β=k⋅360∘+21∘,k∈Z} B．{β|β=k⋅360∘−21∘,k∈Z}C．{β|β=k⋅180∘+21∘,k∈Z} D．{β|β=k⋅180∘−21∘,k∈Z}【答案】B【解析】由题意得，与α=−21∘终边相同的角可以表示为{β|β=k⋅360∘−21∘,k∈Z}．故选B．【典例2】若是第三象限的角, 则是（）A. 第一或第二象限的角B. 第一或第三象限的角C. 第二或第三象限的角D. 第二或第四象限的角【答案】B【解析】是第三象限角， ，， ，故当为偶数时，是第一象限角；故当为奇数时， 是第三象限角，故选B.【方法技巧】象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．热门考点02 弧度制、扇形的弧长及面积公式（1）弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．（2）弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．（3）弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．扇形面积公式12lr =12αr 2，扇形中弦长公式2rsin α2，扇形弧长公式l =αr.在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S ＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．【典例3】（2018·湖北高考模拟（理））《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为2π3，弦长为40√3m 的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中π≈3，√3≈1.73） A ．15 B ．16 C ．17 D ．18 【答案】B【解析】因为圆心角为2π3，弦长为40√3m ，所以圆心到弦的距离为20，半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为12(40√3×20+20×20)=400√3+200，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为12×2π3×402−12×20×40√3=1600π3−400√3，因此两者之差为1600π3−400√3−(400√3+200)≈16，选B.【典例4】已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（ ）A. B. C. 或 D. 或 【答案】C【解析】设扇形的半径为，弧长为 ，则∴解得 或故选C ． 【总结提升】应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决； (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．热门考点03 三角函数的定义1.任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 【典例5】（2008·全国高考真题（文））若sinα<0，且tanα>0，则α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 【答案】C【解析】sinα<0，则α的终边在三、四象限；tanα>0则α的终边在三、一象限， sinα<0，tanα>0，同时满足，则α的终边在三象限.【典例6】已知角α的终边在射线y =−3x (x ≥0)上，则sinαcosα等于（ ） A. −310 B. √1010 C. 310 D. −√1010【答案】A【解析】由题得α在第四象限,且tanα=−3， 所以sinα=√10cosα=√10∴sinαcosα=√10⋅√10=−310.故答案为：A.【典例7】（江西高考真题（文））已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且sin θ=y=_______. 【答案】-8【解析】根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角.=【典例8】已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]【答案】A【解析】 ∵αα≤>00cos ，sin ，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ∴⎧-≤⎨+>⎩39020a a ∴23－a <≤.故选A.【总结提升】1.已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．热门考点04 单位圆、三角函数线的应用3.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线【典例9】（2018年文北京卷）在平面坐标系中，⌒AB ⌒CD ⌒EF ⌒GH 是圆上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角以O x 为始边，OP 为终边，若，则P 所在的圆弧是（ ）A. ⌒ABB. ⌒CDC. ⌒EFD. ⌒GH 【答案】C【解析】由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.A 选项：当点在⌒AB上时，，，故A 选项错误；B 选项：当点在⌒CD 上时，，，，故B 选项错误；C 选项：当点在⌒EF上时，，，，故C 选项正确；D 选项：点在⌒GH 上且⌒GH在第三象限，，故D 选项错误.综上，故选C.【总结提升】利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤(1)用边界值定出角的终边位置． (2)根据不等式(组)定出角的范围． (3)求交集，找单位圆中公共的部分． (4)写出角的表达式．热门考点05 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .【典例10】（2019·北京高考模拟（文））已知3(,)22ππα∈，且tan α=，那么sin α=（ ）A ．33-B ．36-C ．36 D 【答案】B【解析】因为3(,)22ππα∈，sin tan cos ααα==>0，故3(,)2παπ∈即sin αα=，又22sin cos 1αα+=， 解得：sin α=36- 故选 ：B 【规律方法】同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．热门考点06 sin α±cos α与sin αcos α的关系及应用三角函数求值与化简必会的三种方法(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sinαcosα;形如asinx+bcosxcsinx+dcosx ,22asin x bsinxcosx ccos x ++等类型可进行弦化切.(2)“1”的灵活代换法: ()222124sin cos sin cos sin cos tanπθθθθθθ=+=+-=等.(3)和积转换法:利用()()222()12,2sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ±=±++-=的关系进行变形、转化.【典例11】（2018·河北高考模拟（理））已知−π2<α<0，sinα+cosα=15，则1cos 2α−sin 2α的值为( )A ．75B ．257C ．725D ．2425 【答案】B【解析】∵sinα+cosα=15，∴1+2sinαcosα=125⇒2sinαcosα=−2425，∴(cosα−sinα)2=1+2425，又∵−π2<α<0，∴cosα>0>sinα，∴cosα−sinα=75，∴1cos 2α−sin 2α=1(cosα−sinα)(cosα+sinα)=115×75=257，故选B.【典例12】（2019·天津高考模拟）已知sinαcosα=18,0<α<π2，则sinα+cosα的值是（ ） A ．14 B ．−√32 C ．√32 D ．√52【答案】D【解析】sinαcosα=18,0<α<π2，sin α+cos α>0, 则2sin αcos α=14,∴1+2sin αcos α=54, 即(sin α+cos α)2=54,∍sin α+cos α=√52. 故选D.【典例13】（2019·山东高三期末（理））已知sinα+cosα=15，α∈(0,π)，则tanα=（ ）A ．−34B ．−43C ．−34或−43D ．34或43 【答案】B【解析】由题意知， sinα+cosα=15,α∈(0,π)，①∴(sinα+cosα)2=125，即1+2sinα⋅cosα=125， ∴2sinα⋅cosα=−2425<0，∴α为钝角，， ∴sinα>0,cosα<0，∴sinα−cosα>0 ∴(sinα−cosα)2=1−2sinα⋅cosα=4925，∴sinα−cosα=75，②由①②解得sinα=45,cosα=−35， ∴tanα=45−35=−43，故选B.【总结提升】(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.热门考点07 诱导公式及其应用六组诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”【典例14】求值：sin(－1 200°)cos1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝ . 【答案】1【解析】原式1200?129010201050sin cos cos sin ︒︒︒︒＝－－ (3360120)(3360210)(2360300)(2360330)120210300330(18060)(18030)(36060)(36030)6030603011122sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin ⨯︒︒⨯︒︒⨯︒︒⨯︒︒︒︒︒︒︒︒⋅︒-︒︒︒⋅︒︒︒︒︒︒⨯＝－＋＋－＋＋＝－－＝－----＝＋＝【典例15】（2016·全国高考真题（文））已知θ是第四象限角，且sin （θ+π4）=35，则tan （θ–π4）= . 【答案】−43【解析】∵θ是第四象限角，∴−π2+2kπ＜θ＜2kπ，则−π4+2kπ＜θ+π4＜π4+2kπ，k∈Z，又sin（θ+π4）=35，∴cos（θ+π4）=√1−sin2(θ+π4)=√1−(35)2=45．∴cos（π4−θ）＝sin（θ+π4）=35，sin（π4−θ）＝cos（θ+π4）=45．则tan（θ−π4）＝﹣tan（π4−θ）=−sin(π4−θ)cos(π4−θ)=−4535=−43．故答案为：−43．【总结提升】1.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3-α与π6+α,π3+α与π6-α,π4+α与π4-α等,常见的互补关系有π6-θ与5π6+θ,π3+θ与2π3-θ,π4+θ与3π4-θ等.2. 利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.热门考点08 同角公式、诱导公式的综合应用【典例16】（2018·山东高三期中（文））若θ是∆ABC的一个内角，且sinθcosθ=−18，则sin(2π+θ)−sin(π2−θ)的值为（）A．−√32B．√32C．−√52D．√52【答案】D【解析】已知θ是∆ABC的一个内角，则0＜θ＜π，结合sinθcosθ=−18，可知sinθ＞0，cosθ＜0，sin(2π+θ)−sin(π2−θ)=sinθ-cosθ，∵sin2θ+cos2θ=1∴(sinθ-cosθ)2=sin2θ+cos2θ-2sinθ⋅cosθ=1+14=54，∴sinθ-cosθ=√52或-√52（舍去）.故选D.【典例17】（2019·河北高考模拟（文））已知1sin()3απ+=，且α为第三象限角，则cosα=（）AB ．CD． 【答案】B【解析】∵()sin sin απα+=-，∴1sin 3α=-. ∵22sin cos 1αα+=， ∴21cos 19α+=，即28cos 9α=， 又∵α为第三象限角，∴cos α=. 故选B. 【总结提升】三角形中的三角函数关系式()()()()()()(2222(.2222sin A B sin C sinC cos A B cos C cosC tan A B tan C tanC A B C C sin sin cos A B C C cos cos sin πππππ++++＋＝－＝；＋＝－＝－；＋＝－＝－；＝)＝；＝)＝热门考点09 “五点法”做函数的图象“五点法”作图：先列表，令，求出对应的五个的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图象.【典例18】（2018届浙江省杭州市第二中月热身）已知函数f(x)=Asin(ωx +ϕ)(A >0,ω>0,|ϕ|<π2,x ∈R)的部分图象如图.（Ⅰ）求函数f(x)的解析式.（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,5π12]上的最值，并求出相应的x值.【答案】(1)f(x)=2sin(2x−π6).(2) x=π3时，f(x)max=f(π3)=2，x=0时，f(x)min=f(0)=−1.【解析】（1）由图象可知|A|=2，又A>0，故A=2.周期T=43×(1312π−π3)=43×3π4=π，又T=2πω=π，∴ω=2.∴f(x)=2sin(2x+ϕ),f(π3)=2sin(2π3+ϕ)=2,|ϕ|<π2,ϕ=−π6.f(x)=2sin(2x−π6).（2）x∈[0,5π12],2x−π6∈[−π6,2π3]，∴sin(2x−π6)∈[−12,1],2sin(2x−π6)∈[−1,2].当2x−π6=π2时，x=π3，f(x)max=f(π3)=2.当2x−π6=−π6时，x=0，f(x)min=f(0)=−1.所以f(x)max=f(π3)=2，f(x)min=f(0)=−1.【总结提升】用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为或的形式；②求出周期；③求出振幅；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．热门考点10 三角函数的图象和性质正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质当时，；当时，．当时，；当时，．,奇函数偶函数奇函数在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形. 对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.【典例19】（2018年全国卷Ⅲ文）函数f(x)=tanx1+tan2x的最小正周期为（）A. π4 B. π2C. πD. 2π【答案】C【解析】由已知得f(x)=tanx1+tan2x =sinxcosx1+(sinxcosx)2=sinxcosx=12sin2xf(x)的最小正周期T=2π2=π故选C.【典例20】（2019年高考全国Ⅱ卷文）若x 1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=（）A．2 B．C．1 D．【答案】A【解析】由题意知，的周期，解得．故选A．【典例21】（2019年高考全国Ⅰ卷文）函数f(x)=在的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．【典例22】（2017新课标2）函数f(x)=sin2x+√3cosx−34（x∈[0,π2]）的最大值是__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1−cos 2x +√3cosx −34=−cos 2x +√3cosx +14=−(cosx −√32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cosx ∈[0,1]，当cosx =√32时，函数f(x)取得最大值1．【典例23】（2018年江苏卷）已知函数的图象关于直线对称，则的值是________． 【答案】【解析】由题意可得，所以，因为，所以【典例24】（2018年理北京卷】设函数f （x ）=cos(ωx −π6)(ω>0)，若f(x)≤f(π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________， 【答案】23【解析】因为f(x)≤f(π4)对任意的实数x 都成立，所以f(π4)取最大值，所以π4ω−π6=2k π(k ∈Z)，∴ω=8k +23(k ∈Z)，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23. 【总结提升】1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域． 3.求形如或(其中A ≠0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ ()”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与 ()，()的单调区间对应的不等式方向相同(反)． 4.当时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内.5．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解.6.求三角函数的周期的方法（1）定义法：使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是；注意一定要注意加绝对值，两个公式不要弄混.(3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变.7.对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.8. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.9. 如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有； (2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(3)若为奇函数则有.10.函数的对称性问题，往往先将函数化成的形式，其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心． 11.函数y =Acos(ωx +φ)+B(A >0,ω>0)的性质 (1)y max =A +B ，y min =A −B .(2)周期T =2πω.(3)由 ωx +φ=k π(k ∈Z)求对称轴，最大值对应自变量满足ωx +φ=2k π(k ∈Z)，最小值对应自变量满足ωx +φ=π+2k π(k ∈Z)， (4)由−π2+2k π≤ωx +φ≤π2+2k π(k ∈Z)求增区间; 由π2+2k π≤ωx +φ≤3π2+2k π(k ∈Z)求减区间.巩固提升1．（浙江普通高校招生学业水平考试）若点在角的终边上，则（ ）A.B.C.D.【答案】A.【解析】由任意角的三角函数的定义可知，，故选A.2.（2018届河北省唐山市三模）已知函数f (x )=sin (ωx +π3)−2ω(ω>0)的图象与x 轴相切，则f (π)=（ ）A. −32 B. −12 C. √32−1 D. −√32−1【答案】B【解析】∵ω>0，且f (x )的图象与x 轴相切， 所以最大值1−2ω=0， ∴2ω=1，即ω=12， ∴f (x )=sin (12x +π3)−1， ∴f (π)=sin5π6−1=−12，故选B.3. 已知角α的终边过点P (−3,−8m ),且sinα=−45，则m 的值为( )A. −12B. 12C. −√32 D. √32【答案】B【解析】由题意可知，OP =√(−8m )2+(−3)2=√9+64m 2， ∵cosα=−45,P (−8m,−3)，∴α是第三象限角， 可得−8m9+64m 2=−45，即100m 2=9+64m 2，解得m =12，故选B.4．（2019·辽宁鞍山一中高考模拟（理））设θ∈R，则“θ=π6”是“sinθ=12”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当α=π6,可以得到sinα=12,反过来若sinα=12，至少有α=π6或5π6， 所以α=π6为充分不必要条件，故选A.5.（2019·陕西高考模拟（文））已知sin(α−3π10)=35，则cos(α+π5)=（ ） A ．−45 B ．45C ．−35 D ．35【答案】C 【解析】α+π5=π2+(α−3π10)，由诱导公式即可求解.因为sin(α−3π10)=35，则cos(α+π5)=cos[π2+(α−3π10)]=−sin(α−3π10)=−35．故应选C ．6．（浙江省七彩联盟2019届高三上期中）已函数y =f(x)+cosx 是奇函数，且f(π3)=1，则f(−π3)=（ ）A ．−2B ．−1C ．1D ．2 【答案】A【解析】根据题意，函数y =f(x)+cosx 是奇函数，则[f(π3)+cos π3]+[f(−π3)+cos(−π3)]=0，解可得：f(−π3)=−2， 故选：A ．7.（浙北四校2019届高三12月模拟）若函数f (x )=cos (π2+2x)，x ∈R ，则f (x )是（ ） A ． 最小正周期为π为奇函数 B ． 最小正周期为π为偶函数 C ． 最小正周期为π2为奇函数 D ． 最小正周期为π2为偶函数 【答案】A【解析】∵cos (π2+2x)=-sin2x ， ∴f（x ）=-sin2x ，可得f （x ）是奇函数，最小正周期T=2π2=π 故选：A ．8．（2019·四川高三月考（文））已知3sin α5=，π3πα22<<，则5πsin α(2⎛⎫-=⎪⎝⎭) A ．45-B ．45 C ．35-D ．35【答案】A 【解析】3sin α5=，π3πα22<<，παπ2∴<<，则5ππ4sin αsin αcos α225⎛⎫⎛⎫-=-===-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A ．9.（2019·四川重庆南开中学高考模拟（文））在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 的非负半轴重合，终边过点2(1,P ），则sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A B C ．D ． 【答案】A【解析】角α的终边过点()1,2P ，则cosx r α===则sin cos 2παα⎛⎫+==⎪⎝⎭， 故选：A10．（2018·贵州凯里一中高考模拟（理））若sinθ−cosθ=43，且θ∈(34π,π)，则sin(π−θ)−cos(π−θ)=（ ） A ．−√23 B ．√23 C ．−43 D ．43【答案】A【解析】由题：sinθ−cosθ=43⇒1−2sinθcosθ=169，于是2sinθcosθ=−79<0 由于θ∈(34π,π)，sin (π−θ)−cos (π−θ)=sinθ+cosθ=−√(sinθ+cosθ)2 =−√1+2sinθcosθ= −√23. 故选：A11．（2019·四川石室中学高考模拟（理））已知α为第二象限角，且1sin cos 5αα+=，则cos sin αα-=（ ）A ．75B ．75-C ．75±D ．2525【答案】B【解析】∵1sin cos 5αα+=，平方得11+2sin cos 25αα=， ∴2cos αsin α＝﹣2425∴22449cos sin 1-2sin cos 12525αααα-==+=（）， ∵α为第二象限角， ∴7cos sin -5αα-= 故选：B ．12.（2018·广东高考模拟（文））已知sin(π)2cos(3π)0θθ-++-=，则sin cos sin cos θθθθ+=-（ ）．A ．3-B ．3C ．13-D ．13【答案】D【解析】∵()()sin π2cos 3π0θθ-++-=， ∴sin 2cos θθ=-，sin cos 2cos cos 1sin cos 2cos cos 3θθθθθθ+-+==---．13.（2018届福建省厦门市第二次质量检查）函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)的周期为π，f (π)=12，f (x )在(0,π3)上单调递减，则φ的一个可能值为（ ） A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6【答案】D【解析】由函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)的周期为π， 得2πω=π,ω=2，f (x )=sin (2x +φ)， f (π)=sin (2π+φ)=sinφ=12， φ=2kπ+π6或x =2kπ+56π，令k =0，φ=π6或φ=56π，φ=π6,2x +π6∈(π6,23π)，f (x )在(0,π3)不是单调函数，∴φ=π6不合题意， 故φ=56π，故选D.14.（2017课标3，理6）设函数f (x )=cos (x +)，则下列结论错误的是（ ）A ．f(x)的一个周期为−2πB ．y=f(x)的图象关于直线x=对称C ．f(x+π)的一个零点为x=D ．f(x)在(,π)单调递减【答案】D 【解析】1 15.（2019·甘肃高考模拟（文））已知sinα+cosα=75，sinα＞cosα，则tanα=______． 【答案】43 【解析】∵749sin cos ,12sin cos 525αααα+=∴+=，即2sinαcosα=2425．又cos 2α+sin 2α=1，且sinα＞cosα，∴sinα=45，cosα=35，tanα=43． 故答案为：43．16．（2019·山东高三期中（文））圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【答案】916【解析】设该扇形的半径为r ，根据题意，有l =αr +2r ，∴3=2r +2r ，∴r =34，∴S 扇形=12αr 2=12×2×916=916．故答案为：916．。

2021年高考数学一轮复习《三角函数》精选练习一、选择题1.若函数f(x)=ax ＋b 的零点是2，那么函数g(x)=bx 2-ax 的零点是( )A ．0，2B ．0，0.5C ．0，-0.5D ．2，-0.52.若函数f(x)=ax ＋1在区间(-1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(-∞，1)C ．(-∞，-1)∪(1，＋∞)D ．(-1，1) 3.函数f(x)=3x＋x 2-2的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 4.函数f(x)=e x ＋2x-3的零点所在的一个区间为( )A ．(-1，0)B ．0，0.5 C.0.5，1 D ．1，1.5 5.函数f(x)=3x |ln x|－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 6.下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是( )A ．y=log 0.5xB ．y=2x－1 C ．y=x 2－0.5 D ．y=－x 37.一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 8.点P(cos 2 019°，sin 2 019°)所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9.-510°是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.某扇形的面积为1cm 2，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为（ ）A.2°B.2C.4°D.4 11.如果弓形的弧所对的圆心角为3π，弓形的弦长为4 cm ，则弓形的面积是（ ） A.(344-9π)cm 2 B.(344-3π)cm 2 C.(348-3π)cm 2 D.(328-3π)cm 212.已知角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点M(－3，4)，则cos 2θ－sin 2θ＋tanθ的值为( )A ．－12175 B.12175 C ．－7975 D.797513.已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( )A ．sin 2B ．－sin 2C ．cos 2D ．－cos 214.已知tan(α-π)=0.75，且α∈[23,2ππ]，则sin(2πα+)=( ) A.0.8 B.-0.8 C.0.6 D.-0.6 15.计算：0190sin 160sin 2350cos --=( )16.若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是（ ） A.3/5 B.-3/5 C.4/5 D.-4/517.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点P(3,4)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2 019π2=( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.4518.已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3=0垂直，则)222017cos(απ-的值为( ) A.0.8 B.－0.8 C.2 D.-0.5 19.)2cos()2sin(21++-ππ等于（ ）A.sin2－cos2B.cos2－sin2C.±(sin2－cos2)D.sin2+cos220.已知函数f(x)=asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)=3，则f(2018)的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3 21.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12=13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋17π12等于( ) A.13 B.223 C ．－13 D ．－223 22.log 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 7π4的值为( )A ．－1B ．－12 C.12 D.2223.将函数f(x)=sin 2x 图象上的所有点向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象．若g(x)在区间[0，a]上单调递增，则a 的最大值为( ) A.π8 B.π4 C.π6 D.π224.关于函数y=tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数 B ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π25.若函数y=3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0对称，则|φ|的最小值为( )A.π6 B ．π4 C.π3 D ．π226.已知函数f(x)=cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos 2x ，其中x∈R，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数； ②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x=2π3；③函数f(x)图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0；④函数f(x)的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kx ＋π6，k π＋2π3，k ∈Z.则正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 27.函数y=sin x ＋cos x 的最小值和最小正周期分别是( )A.-2，2πB.-2,2πC.-2，πD.-2，π 28.y=|cos x|的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π29.设函数f(x)=3sin ωx＋cos ωx(ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[1,2) 30.已知函数f(x)=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则以下判断中正确的是( ) A ．函数f(x)的图象可由函数y=2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到B ．函数f(x)的图象可由函数y=2cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度得到C ．函数f(x)的图象可由函数y=2sin 2x 的图象向右平移3π8个单位长度得到D ．函数f(x)的图象可由函数y=2sin 2x 的图象向左平移3π4个单位长度得到31.已知函数f(x)=Asin(ωx＋φ)( ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3 B.π3 C ．－π6 D.π632.将函数y=f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，则下面对函数y=g(x)的叙述正确的是( )A ．函数g(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．函数g(x)的周期为πC ．函数g(x)的一个对称中心为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0D ．函数g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递增33.已知函数f(x)=2sin(ωx＋φ)( ω>0，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π )的部分图象如图所示，其中f(0)=1，|MN|=52，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式是( )A ．g(x)=2cos π3xB ．g(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋2π3C ．g(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π3 D ．g(x)=－2cos π3x34.已知函数f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π3(ω>0)图象的最高点与相邻最低点的距离是17，若将y=f(x)的图象向右平移16个单位长度得到y=g(x)的图象，则函数y=g(x)图象的一条对称轴方程是( )A ．x=56B ．x=13C ．x=12 D ．x=0二、填空题35.函数f(x)=3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n∈N)内，则n=________． 36.已知α是第二象限角，则α3是第________象限角.37.已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，则αtan = ． 38.已知向量a=(sin θ,-2)与b=(1,cos θ)互相垂直，其中θ∈(20π，)，则cos θ=________．39.已知θ是第三象限角，且sinθ-2cosθ=-25，则sinθ＋cosθ=________.40.已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为22，且图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f(x)=____________.答案解析41.答案为：C ； 42.答案为：C ；解析：由题意知，f(-1)f(1)<0，即(1-a)(1＋a)<0，解得a<-1或a>1. 43.答案为：C ；解析：函数f(x)=3x＋x 2-2的零点个数即为函数y=3x与函数y=2-x 2的图象的交点个数， 由图象易知交点个数为2，则f(x)=3x＋x 2-2的零点个数为2，故选C. 44.答案为：C ； 45.答案为：B ；解析：选B.函数f(x)=3x|ln x|－1的零点即3x|ln x|－1=0的解，即|ln x|=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的解， 作出函数g(x)=|ln x|和函数h(x)=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象，由图象可知，两函数图象有两个公共点， 故函数f(x)=3x|ln x|－1有2个零点．46.答案为：B ；解析：选B.函数y=log 12x 在定义域上单调递减，y=x 2－12在(－1，1)上不是单调函数，y=－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y=2x－1， 当x=0∈(－1，1)时，y=0且y=2x－1在R 上单调递增．故选B. 47.答案为：C ； 48.答案为：C ；49.[答案] C [解析] -510°=-720°＋210°，∴-510°角与210°角终边相同，故选C. 50.B 51.C 52.答案为：A解析：由已知得|OM|=5，因而cosθ=－35，sinθ=45，tanθ=－43，则cos 2θ－sin 2θ＋tanθ=925－1625－43=－12175.故选A.53.答案为：D ； 54.B. 55.D. 56.C57.答案为：C ；解析：∵角α的终边经过点P(3,4)，∴sin α=45，cos α=35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2 019π2=sin ( α－2 020π2＋π2 )=sin ( α＋π2 )=cos α=35.故选C. 58.A ． 59.A60.答案为：C ；解析：∵f(4)=asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)=asinα＋bcosβ=3，∴f(2018)=asin(2018π＋α)＋bcos(2018π＋β)=asinα＋bcosβ=3.故选C. 61.答案为：A ；解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋17π12=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12=13.故选A. 62.答案为：B ；解析：log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π4=log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4=log 222=－12.故选B.63.答案为：D ；f(x)的图象向右平移π4个单位长度得到g(x)=sin [ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ]=-cos 2x 的图象．根据余弦函数的图象可知，当0≤2x≤π，即0≤x≤π2时，g(x)单调递增，故a 的最大值为π2. 64.答案为：C ；函数y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3=kπ2，k ∈Z ，得x=kπ4＋π6，k ∈Z.当k=0时，x=π6，所以它的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．65.答案为：A.解析：由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ=3cos(2π3＋φ＋2π)=3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ=0，∴2π3＋φ=kπ＋π2，k ∈Z ，∴φ=k π－π6，k ∈Z. 取k=0，得|φ|的最小值为π6. 66.答案为：C.解析：f(x)=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos 2x=cos 2xcos π3－sin 2xsin π3－cos 2x=－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，不是奇函数，故①错误；当x=2π3时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3=－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6=1，故②正确；当x=5π12时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12=－sin π=0，故③正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为3. 67.A68.答案为：D ；将y=cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y=|cos x|的图象(如图)．故选D.69.答案为：C ；由题意f(x)=3sin ωx＋cos ωx=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π6(ω>0)．令ωx＋π6=π2＋kπ，k ∈Z ， 得x=π3ω＋kπω，k ∈Z.∵函数图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，∴π6<π3ω＋kπω<π3，k ∈Z ，∴3k ＋1<ω<6k＋2，k ∈Z. 又∵f(x)的最小正周期大于π，∴2πω>π，解得0<ω<2.∴ω的取值范围为(1,2)．故选C.70.答案为:A;解析：因为f(x)=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以函数f(x)的图象可由函数y=2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到，故选A.71.答案为:B;解析：由题意，得T 2=π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6=π2，所以T=π，由T=2πω，得ω=2，由图可知A=1，所以f(x)=sin(2x ＋φ)．又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ=0，－π2<φ<π2，所以φ=π3.72.答案为：C.解析：将函数f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位，可得函数y=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象，故g(x)的周期为2π4=π2，排除A ，B.令x=－π12，求得g(x)=0，可得g(x)的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0，故C 满足条件． 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π3，函数g(x)没有单调性，故排除D.73.答案为:A ；解析：设函数f(x)的最小正周期为T.由题图及|MN|=52，得T 4=32，则T=6，ω=π3.又由f(0)=1，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π得sin φ=12，φ=5π6.所以f(x)=2sin ( π3x ＋5π6 ).则g(x)=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3x －1＋5π6=2cos π3x.故选A.74.答案为:B ；解析：函数f(x)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π3的最大值为2，由172－42=1可得函数f(x)的周期T=2×1=2，所以ω=π，因此f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx＋π3.将y=f(x)的图象向右平移16个单位长度得到的图象对应的函数解析式为g(x)=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x －16＋π3=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx＋π6，当x=13时，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6=2， 为函数的最大值，故直线x=13为函数y=g(x)图象的一条对称轴．故选B.75.答案为：2；解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)=－1＋ln 2＜0，f(3)=2＋ln 3＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n=2.76.[答案] 一或第二或第四 [解析] 将平面直角坐标系中的每一个象限进行三等分，从x 轴右上方开始在每一等份中依次标数字1、2、3、4，如图所示.∵α第二象限角，∴图中标有数字2的位置即为α3角的终边所在位置，故α3是第一或第二或四象限角. 77.答案为：0.2; 78.答案：55. 79.答案为：-3125；解析：观察得sinθ=45，cosθ=35满足方程，但此时θ是第一象限角，不合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧sinθ－2cosθ＝－25，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得5cos 2θ-85cosθ-2125=0，解得cosθ=35或-725.因为θ是第三象限角，所以cosθ=-725，从而sinθ=-2425，所以si nθ＋cosθ=-3125.80.答案为：sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6； 解析：依题意得22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2=22，ω>0，所以ω=π2，所以f(x)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ.因为该函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，所以sin(π＋φ)=－12，即sin φ=12. 因为－π2≤φ≤π2，所以φ=π6，所以f(x)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6.。

考点13 三角函数定义【思维导图】【常见考法】考点一：终边相同的角1．终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为。

2．下列各组角中，终边相同的角是 。

A ．2k π与()2k k Z ππ+∈ B ．3±k ππ与()3k k Z π∈ C ．()21+k π与 ()()41k k Z π±∈ D ．6k ππ+与()6k k Z ππ±∈3．已知集合|22,42k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是 。

A ． B ．C ．D ．4．集合M={|,24k x x k ππ=+∈Z}，N={|,4k x x k π=∈Z}，则 。

A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M N=ϕD ．MN=R考点二：三角函数定义1．角α的终边经过点（2，﹣1），则2sinα+3cosα的值为 。

2．已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sinθ=35，则m 等于 。

3．若点(),P x y 是330角终边上异于原点的任意一点，则yx的值是 。

4．在平面直角坐标系中,点()1,2A 是角α终边上的一点,点()1,1B -是角β终边上的一点,则()cos αβ-的值是 。

5如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点11(,)A x y 和第二象限内的点22(,)B x y 都在单位圆O 上，AOx α∠=，3AOB π∠=.若21213y =，则1x 的值为 。

6．0,t <设点2,12t P t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是角α终边上一点，当OP 最小时，cos α的值是 。

7．已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin （α+β）＝2，则cosβ＝ 。

考点三：三角函数值的正负（或象限）判断1．若sin tan 0θθ⋅>，则θ所在的象限是( ) A ．二、四 B ．一、二C ．一、四D ．二、三2．若α是第二象限角，则点()sin ,cos P αα在 （ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若cos 0θ<且tan 0θ<，则2θ终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第一或第三象限D ．第三或第四象限4．若α是第三象限角，则y ＝sin2sin 2α＋cos2cos2α的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－25．如果sinα＜0，tanα＞0，那么角2α的终边在（ ） A ．第一或第三象限 B ．第二或第四象限 C ．第一或第二象限 D ．第三或第四象限6．如果θ是第二象限角,且cos sin22θθ-=那么2θ所在象限为第几象限A ．一B ．二C ．三D ．四考点四：三角函数线1．若MP 和OM 分别是角76π的正弦线和余弦线，则（ ） A ．0MP OM << B ．0OM MP >>C ．0OM MP <<D ．0MP OM >>2．在()0,2π内,使sin cos x x >成立的x 的取值范围为( ) A ．(,)4ππB ．5(,)44ππC ．5(,)424ππππ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭， D ．53(,)444ππππ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭，3．若点(),P sin cos tan ααα-在第一象限， 则在[0,2)π内α的取值范围是（ ）.A ．5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．35,,244ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．353,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．33,,244ππππ⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．比较大小，正确的是（ ）． A ．sin(5)sin3sin5-<< B ．sin(5)sin3sin5->> C ．sin3sin(5)sin5<-< D ．sin3sin(5)>sin5>-5．函数y =的定义域为____________.。

三角函数小题大做一、单选题1．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【分析】 解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈， 取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件； 取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．2．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．65【答案】C 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++ ()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++． 故选：C ． 【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．3．（2021·上海松江·一模）已知角α的终边经过点()3,4P ，将角α的终边绕原点O 逆时针旋转2π得到角β的终边，则tan β等于（ ） A ．43-B ．34-C ．45 D ．54-【答案】B 【分析】先由条件求出tan α，再根据角的旋转及诱导公式即可求解. 【详解】因为角α的终边经过点()3,4P ， 所以4tan 3α=， 所以3tan tan()cot ,24=+=-=-πβαα故选：B4．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（ ）A ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】解法一：从函数()y f x =的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即得2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再利用换元思想求得()y f x =的解析表达式；解法二：从函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()y f x =的解析表达式.【详解】解法一：函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)y f x =的图象，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，应当得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，根据已知得到了函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令23t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则,234212t t x x πππ=+-=+,所以()sin 212t f t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭逆向变换，第一步：向左平移3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：B.5．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C 【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解. 【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭ 又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.6．（2020年北京市高考数学试卷）已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断. 【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时， 若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12k k k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.7．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是 A ．f (x )=│cos 2x │ B ．f (x )=│sin 2x │ C ．f (x )=cos│x │ D ．f (x )= sin│x │【答案】A 【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择． 【详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos 2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递减，排除B ，故选A ．【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；8．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A 【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得ω. 【详解】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，得2ω=．故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．9．（18年全国1卷）将函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递增B ．在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递减C ．在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】A【详解】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.详解：由函数25y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递减区间为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选项C ，D 错误；本题选择A 选项.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．（2021年北京市高考数学试题）函数()cos cos2f x x x =-是 A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为98【答案】D 【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值. 【详解】由题意，()()()()cos cos 2cos cos2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98.故选：D.11．（2020年北京市高考数学试卷）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）．A ．30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【答案】A 【分析】计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似值可得出结果. 【详解】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆心角为360606n n ︒︒=⨯，每条边长为 302sin n︒， 所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒， 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒， 303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，则30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查圆周率π的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.12．（2020年天津市高考数学试卷）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．① B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B 【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确； 51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象，故③正确. 故选：B. 【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.二、填空题13．（2021年北京市高考数学试题）若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___．【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）【分析】根据,A B 在单位圆上，可得,6πθθ+关于y 轴对称，得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解.【详解】(cos ,sin )A θθ与cos ,sin66B ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称，即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈， 当0k =时，可取θ的一个值为512π.故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）. 14．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷））设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】23【分析】根据题意()f x 取最大值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，根据余弦函数取最大值条件解得ω的表达式，进而确定其最小值. 【详解】因为()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以()f x 取最大值4f π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以22π()8()463k k Z k k Z ωωππ-=∈∴=+∈，， 因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.【点睛】函数cos()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 （1）max min =+y A B y A B =-，. （2）周期2π.T ω=（3）由π()x k k Z ωϕ+=∈求对称轴，最大值对应自变量满足2π()x k k ωϕ+=∈Z ，最小值对应自变量满足+2()x k k ωϕππ+=∈Z ， （4）由22()22k x k k πππωϕπ-+≤+≤+∈Z 求增区间；由322()22k x k k πππωϕπ+≤+≤+∈Z 求减区间. 15．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文档版）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 【答案】3 【分析】 求出36x π+的范围，再由函数值为零，得到36x π+的取值可得零点个数．【详解】 详解：0x π≤≤193666x πππ∴≤+≤ 由题可知3336262x x ，ππππ+=+=，或5362x ππ+= 解得4x ,99ππ=,或79π 故有3个零点．【点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题．16．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．【答案】2【分析】先根据图象求出函数()f x 的解析式，再求出7(),()43f f π4π-的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】 由图可知313341234T πππ=-=，即2T ππω==，所以2ω=； 由五点法可得232ππϕ⨯+=，即6πϕ=-；所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 因为7()2cos 143f π11π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，()2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭； 所以由74(()())(()())043f x f f x f ππ--->可得()1f x >或()0f x <； 因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 解得,36k x k k π5ππ+<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ， 可得x 的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，符合题意，可得x 的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解ω，根据特殊点求解ϕ.试卷第13页，共1页。

三角函数期末精讲精练三角函数精讲一、基本概念、定义：1. 角的概念推广后，包括 、 、 ，与α终边相同的角表示为 。

终边角： x 轴上 y 轴上 第一象限 第二象限 第二四象限 直线y ＝x 上2. 弧度制：把 叫1弧度的角。

公式：|α|＝— 换算：180°＝ 弧度； 1弧度＝ 度； 1°＝ 弧度 扇形： 弧长L ＝ ＝ ，面积S ＝ ＝ 3. 任意角的三角函数：①定义：角α终边上任意一点P(x ，y)，则r ＝ ，六个三角函数的定义依次是 、 、 、 、 、 。

②三角函数线：角的终边与单位圆交于点P ，过点P 作 轴的垂线，垂足为M ，则 。

过点A(1,0)作 ，交 于点T ，则 。

③同角三角函数关系式：平方关系： 商数关系： 倒数关系：（1～2要求能熟练运用：顺用、逆用、变形用，3～6要求能证明，不记忆） 1．和、差角公式=±)sin(βα =±)c o s (βα=±)tan(βα2．二倍角公式=α2sin =α2c o s ＝ ＝ =α2t a n 倍角公式变形：降幂公式=ααcos sin =α2s i n =α2c o s 3．半角公式(书P45～46) 2cos 12sinαα-±=, 2cos 12cosαα+±=, αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=4．万能公式： 2tan12tan 2sin 2ααα+=；2tan12tan1cos 22ααα+-=；2tan12tan2tan 2ααα-=．5．积化和差公式(书P46～47))]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=； )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=；)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=； )]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=．6．和差化积公式(书P46～47)2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+； 2s i n2c o s2s i n s i n βαβαβα-+=-； 2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+； 2s i n2s i n2c o s c o s βαβαβα-+-=-．应用公式解题的基本题型：化简、求值、证明基本技巧：①1的妙用：1＝ ＝ ＝②变角： (x+y)＋(x －y)＝ (x+y)＋(x －y)＝ α＝ ＝ ＝ 等 ③变名：切化弦；弦化切④化一：a sinx ＋b cosx ＝1、 作图：五点法，依次取ωx ＋ψ＝2、 周期T ＝3、 单调区间：A ∙ω>0时，增区间：解不等式 ≤ωx ＋ψ≤ 减区间：解不等式 ≤ωx ＋ψ≤A ∙ω<0时，增区间：解不等式 ≤ωx ＋ψ≤减区间：解不等式 ≤ωx ＋ψ≤ 4、最大值：A>0时，当ωx ＋ψ＝ 时，y 取最大值A 。