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前言有限字长效应对信号处理的影响分析华东理工大学东方贱人退款是几个意思1 前言1.1 有限字长效应和它产生的原因数字信号处理中，信号的数值、系统的参数、运算中的变量以及运算结果都需要用二进制编码来表示。
但由于受到 A/D 转换器位数、寄存器位数和运算字长等的限制，所以二进制码是有限字长的。
必须用有限长的二进制数来表示无限精度的十进制数，有限字长效应所带来的误差现象，我们把这种误差现象称为有限字长效应。
在数字系统中有限字长效应产生的原因：（1）A/D 变换器中的有限字长效应，即把模拟输入信号变为一组离散电平信号时所产生的有限字长效应。
A/D 变换包括抽样和量化两个过程,抽样是指使用“抽样器”从连续信号中“抽取”信号的离散序列样值，把这种信号称之为“抽样”信号,抽样信号在时间上具有离散化特性，但由于它还并不是真正的数字信号，还必须经过量化编码的过程才能真正地转变为数字信号。
简单来讲就是要将模拟信号抽样和量化，让它转变成为具有一定字长的数字序列值的信号。
（2）滤波器系数的有限字长效应，在数字系统滤波器系数的量化处理过程中，用有限位二进制数来表示，就必定会带来有限字长效应。
对于不同结构类型的数字滤波器来说，它的极点和零点位置在数字滤波器中的系数变化将不一样。
因有限字长效应在数字滤波器系数中带来的任何微小变化，都极有可能对数字滤波器的频率响应特性造成巨大的影响，对于在单位圆内并且非常靠近单位圆的极点来说，有限字长效应在数字滤波器中系数的误差影响，就会让这些极点移动到单位圆上或者单位圆外，因而数字滤波器的原有稳定性就失去了。
（3）运算过程中的有限字长效应所带来的误差。
在数字运算过程中，为了限制位数有限字长效应对信号处理的影响分析而进行尾数处理和为了防止溢出进而压缩信号电平的有限字长效应，这其中就有低电平的极限环振荡效应和溢出振荡效应。
以上三种误差都与系统结构形式、数的表达方法、和所采用的运算方式、字的长短和尾数的处理有关。
第七章数字信号处理中的有限字长效应无论是专用硬件，还是在计算机上用软件来实现数字信号处理，输入信号的每个取样值、算法中要用到的参数，以及任何中间计算结果和最终计算结果，都是用有限位的二进制数来表示的。
因此，在实际工程中所得到的数字信号处理结果，相对于理论计算所得到的结果必然存在着误差。
在某些情况下，这种误差严重到使信号处理系统的性能变坏，以致达到令人不能容忍的程度。
通常把这种由于二进制数的位数有限而造成的计算结果的误差或处理性能的变坏，称为有限字长效应。
显然，有限字长效应，在数字信号处理软件实现或硬件实现中，在进行设计和对处理结果进行误差分析时，是必须进行考虑的重要问题。
本章内容安排如下：内容提要1.举例说明在数字信号处理中，有限字长效应引起的误差的几种来源，以及这些误差的表现形式。
2.复习二进制数的表示方法和它们的算术运算方法，以及在运算中考虑字长的限制而对运算结果采取的处理方法。
3.对数字滤波器的系数的量化误差及其对滤波器的稳定性、零点和极点的位臵的影响进行分析，并对滤波器的频率特性的误差进行讨论。
4.有限字长定点运算IIR 数字滤波器的极限环振荡现象和死带效应。
5.浮点运算有限字长效应。
7.1 有限字长效应及量化误差现在用一个浅显的例子来分析有限字长效应产生误差的原因。
设有一个一阶低通滤波器，其差分方程为0.150.15()(1)2(1)()y n e y n e x n --=-+-该滤波器输入端作用有一个离散时间信号x(n)，它的前18个取样值列于表7-1中的第2列，其中用省略号表示这些取样值是无限精确的。
理论上，为求出滤波器的输出信号y(n)，只要将输入序列x(n)的值代入0.150.15()(1)2(1)()y n e y n e x n --=-+-中进行运算（首先要假设初始值y(0)，例如取y(0)=0），即可得到y(n)的精确值，表7-1中的第3列是计算结果。
应注意，y(n)的精确程度取决于x(n)和常数0.15e -的精确程度，也取决于中间计算结果0.15(1)e y n --和0.152(1)()e x n --的精确程度。
数字信号处理经典习题(北理工826必备)(附答案)第一章数字信号处理概述简答题：1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。
此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。
在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。
判断说明题：2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。
（）答：错。
需要增加采样和量化两道工序。
3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。
（）答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。
因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
第二章 离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理 计算题：18c 因此 Hz Tf c c 6251612==Ω=π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为Tπ，因此对T 8π没有影响，故整个系统的截止频率由)(ωj eH 决定，是625Hz 。
（b ）采用同样的方法求得kHz T 201=，整个系统的截止频率为Hz Tf c 1250161==二、离散时间信号与系统频域分析 计算题：1（ 2（2）)(*n x （共轭） 解：DTFT )(**])([)(*)(*ωωωj n n jn jn e X e n x en x n x -∞-∞=∞-∞=-===∑∑2．计算下列各信号的傅里叶变换。
（a ）][2n u n- （b ）]2[)41(+n u n（c ）]24[n -δ （d ）nn )21(解：（a ）∑∑-∞=--∞-∞==-=2][2)(n nj n nj n ne en u X ωωωωnj e 11)1(==∞（ （（X =3 （1）)(*n x - （2）)](Re[n x (3) )(n nx解： （1）)(*])([)(*)(*jw n n jw n jwne X en x en x=-=-∑∑∞-∞=--∞-∞=-（2）∑∑∞-∞=-*-*∞-∞=-+=+=n jw jw jwn n jwne X e X e n xn x en x )]()([21)]()([21)](Re[（3）dw e dX j e n x dw d j dw e n dx j en nx jw n jwnn jwn n jwn)()()(1)(==-=∑∑∑∞-∞=-∞-∞=-∞-∞=- 4．序列)(n x 的傅里叶变换为)(jwe X ，求下列各序列的傅里叶变换。
第七章 数字信号处理中的有限字长效应§7-1 量化与量化误差有限字长的二进制数表示数字系统的误差源：①对系统中各系数的量化误差（受计算机中存贮器的字长影响） ②对输入模拟信号的量化误差（受A/D 的精度或位数的影响）③运算过程误差，如溢出，舍入及误差累积等（受计算机的精度影响） 一、 二进制数的表示 （1）定点表示• 整个运算中，小数点在数码中的位置固定不变，称为定点制； • 定点制总是把数限制在±1之间；• 最高位为符号位，0为正，1为负，小数点紧跟在符号位后； • 数的本身只有小数部分，称为“尾数”； • 定点数作加减法时结果可能会超出±1，称为 “溢出”；• 乘法运算不溢出，但字长要增加一倍。
为保证字长不变，乘法后，一般要对增加的尾数作截尾或舍入处理，带来误差。
另外一种定点数的表示是总把数看成整数。
缺点：动态范围小，有溢出。
定点数的表示分为三种（原码、反码、补码）： 设有一个（b+1）位码定点数： β0β1β2┄βb ，则 ①原码表示为例：1.111→-0.875 , 0.010→0.25②反码表示：（正数同原码，负数则将原码中的尾数按位求反） 例：正数表示：0.101 其反码为：1.010 ③补码表示（正数同原码，负数则将原码中的尾数求反加1）例： 正数表示：0.110 取反：1.001 的补码：1.010∑=-+-=bi ii x 102ββ75.0-=x ∑=--=bi iix 12)1(0ββ∑=--+--=bi ii bx 102)21(ββ补码加法运算规律：正负数可直接相加，符号位同样参加运算，如符号位发生进位，进位的 1 丢掉。
（2）浮点表示尾数 指数 阶数浮点制运算: 相加 对阶 相加归一化,并作尾数处理相乘 : 尾数相乘, 阶码相加, 再作截尾或舍入。
优点: 动态范围大,一般不溢出.缺点: 相乘、相加，都要对尾数处理作量化处理。
一般，浮点数都用较长的字长，精度较高，所以我们讨论误差影响主要针对定点制。
二、定点制的量化误差定点制中的乘法，运算完毕后会使字长增加，例如原来是b 位字长，运算后增长到b1位，需对尾数作量化处理使b1位字长降低到b 位。
量化处理方式：截尾：保留b 位，抛弃余下的尾数； 舍入：按最接近的值取b 位码。
两种处理方式产生的误差不同，另外，码制不同，误差也不同。
1、截尾处理：1）正数（三种码形式相同） 一个b1位的正数 为：用[·]T 表示截尾处理，则截尾误差 可见，ET ≤0，βi 全为1时，ET 有最大值，1212<≤⨯±=M M x c ∑=-=bi ii T x 12][β∑=-=112b i ii x βx ∑+=--=-=112][bb i iix x E T Tβ)22(2111b bb b i T iE --+=--=--=∑“量化宽度”或“量化阶” q=2-b ：代表b 位字长可表示的最小数。
一般 2-b1<<2-b , 因此正数的截尾误差为-q ≤E T ≤0 2）负数负数的三种码表示方式不同，所以误差也不同。
原码（β0=1）：0≤E T ≤q 补码（ ）因所以 反码（ ）(与原码的相同）图 截尾量化处理的非线性特性∑=--=112b i ii x β∑=--=bi ii12T [x]β[]∑+=-=-=112b b i ii T T x x E β∑=-+-=1121b i ii x β[]∑∑∑==--=--=+-=bi b i ii ii T bi ii TE x 11112221βββ10=β,1b b >0≤<-T E q [][])22(22212211111111∑∑∑+=---=--=---+-=-=++-=++-=b b i b bii T T bi biiTb i b iix x E x x βββqE T <≤00>T E 10=β补码的截尾误差均是负值，原码、反码的截尾误差取决于数的正负，正数时为负，负数时为正。
2.舍入处理通过b+1位上加1后作截尾处理实现。
就是通常的四舍五入法，按最接近的数取量化，所以不论正数、负数，还是原码、补码、反码，误差总是在 之间，以 表示对x 作舍入处理。
舍入处理的误差比截尾处理的误差小，所以对信号进行量化时多用舍入处理。
三、 A/D 变换的量化效应 A/D 变换器分为两部分： 采样：时间离散，幅度连续；A/D ：数字编码，对采样序列作舍入或截尾处理，得有限字长数字信号 。
本节讨论这一过程中的量化效应。
对一个采样数据作截尾和舍入处理，则截尾量化误差：舍入量化误差： 上两式给出了量化误差的范围，要精确知道误差的大小很困难。
一般，我们总是通过分析量化噪声的统计特性来描述量化误差。
可以用一统计模型来表示A/D 的量化过程。
)(ˆn x)(n x bT b i ii T q n e q n e -∞+=-=≤<--=∑2,0)(2)(1β2)(2qn e qR ≤<-2q ±[]Rx图 A/D 变换器模型其中e(n)就是量化误差，对其统计特性作如下假定:： ① e(n)是平稳随机序列； ② e(n)与信号x(n)不相关；③ e(n)任意两个值之间不相关，即为白噪声； ④ e(n)具有均匀等概率分布。
由上述假定知，量化误差是一个与信号序列完全不相关的白噪声序列，称为量化噪声（是一个加性白噪声）。
图 e(n)的均匀等概率分布误差的均值和方差： 截尾量化噪声：有直流分量，会影响信号的频谱结构。
舍入量化噪声：可见，量化噪声的方差与A/D 变换的字长直接有关，字长越长，量化噪声越小。
定义量化信噪比：用对数表示：字长每增加 1 位，量化信噪比增加6个分贝； 信号能量越大，量化信噪比越高。
注：因信号本身有一定的信噪比，单纯提高量化信噪比无意义。
)(n e 12)()(21)(2220qde e p m e q ede qde e ep m e eqe =-=-===⎰⎰⎰∞∞--∞∞-σ1222q m e e ==σ2212222)212(2xb qxex σσσσ⨯==[])3lg(10)1(02.6)212(lg 10)lg(1022222x xbex b SNR σσσσ++=⨯==例：已知在-1至1之间均匀分布，求8、12位时A/D 的SNR 。
因均匀分布，所以有： 均值：方差：当 b=8 位，则SNR=54dB ，当 b=12 位，则SNR=78dB. 四、 量化噪声通过线性系统为了单独分析量化噪声通过系统后的影响，将系统近似看作是完全理想的（即具有无限精度的线性系统）。
在输入端线性相加的噪声，在系统的输出端也是线性相加的。
系统的输出输出噪声为 如为舍入噪声，则输出噪声的方差为：由于 是白色的，各变量之间互不相关，即代入上式，得 由Parseval 定理,[]0)(=n x E 3111221==⎰-dx x z xσ)()()()()())()(()()(ˆ)(ˆn h n e n h n x n h n e n x n h n x n y*+*=*+=*=)()()(n h n e n e f *=)(n e [][]∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--==0022)()()()()()()()()(m l m l ffl n e m n e E l h m h l n e l h m n e m h E n eE σ)(n e []2)()()(el m l n e m n e E σδ-=--∑∑∑∞=∞=∞==-=0002222)()()()(l m m eefm h l m l h m h σσδσzdz zH z H jm h m cee)()(2)(1222-∞=∑⎰=πσσH(z)全部极点在单位圆内，表示沿单位圆逆时针方向的圆周积分。
由留数定理： 如 为截尾噪声，则输出噪声中还有一直流分量例3：一个8位A/D 变换器（ ），其输出作为IIR 滤波器的输入，求滤波器输出端的量化噪声功率，已知IIR 滤波器的系统函数为： 解：由于A/D 的量化效应，滤波器输入端的噪声功率为：滤波器的输出噪声功率为：其积分值等于单位圆内所有极点留数的和。
单位圆内有一个极点 z=0.999，所以§7-2 有限字长运算对数字滤波器的影响DF 的实现，涉及到两种运算：相乘、求和。
定点制运算中，每一次乘法运算之后都要作一次舍入（截尾）处理，因此引入了非线性，采用统计分析的方法，将舍入误差作为独立噪声e(n)迭加在信号上，因而仍可用线性流图表示定点相乘。
定点相乘运算统计分析的流图表示对舍入噪声e(n)作如下的假设：⎰c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-∑k kefz z z H z H s ,)()(Re 122σσ)()()()(000j e m e m feH m m h m m n e m h E m ⋅=⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=∑∑∞=∞=)(n e 999.0)(-=z z z H 3212212161422--===qeσ7=b )(ˆn x 3216999.0122105444.2999.01132999.01999.01--⨯=-=⋅-=efσσ⎰--=-cefzdzzz j)999.0)(999.0(12122πσσ1. e(n) 为平稳随机噪声序列；2. e(n) 与输入序列 x(n) 不相关，各噪声之间也互不相关。
3. e(n) 为白色噪声；4. 在量化间隔上均匀分布（即每个噪声都是均匀等概率分布）。
有了这些条件，整个系统就可作为线性系统处理。
每一个噪声可用第一章所讲的线性离散系统的理论求出其输出噪声，所有输出噪声经线性迭加得到总的噪声输出。
1、IIR 的有限字长效应以一阶IIR 滤波器为例，其输入与输出关系可用差分方程表示为： 乘积项将引入一个舍入噪声，如图，上述一阶系统的单位脉冲响应为系统函数为 由于 是迭加在输入端的，故由 造成的输出误差为：图 一阶IIR 滤波器的舍入噪声输出噪声方差或由上两式均可求得可见字长 越大，输出噪声越小，同样的方法可分析其它高阶DF 的输出噪声。
例：一个二阶IIR 低通数字滤波器，系统函数为∑∑∞=∞===022222)(m m meefam h σσσ⎰-=cefzdz zH z H j)()(2122πσσ)1(122)1(1212222222a a qabef-=-=-=-σσ)8.01)(9.01(04.0)(11----=z z z H )()1()(n x n ay n y +-=1,0<≥a n )()(n u a n h n=az z z H -=)()(*)()(*)(n u a n e n h n e e nf ==)(n e )(n e采用定点制算法，尾数作舍入处理，分别计算其直接型、级联型、并联型三种结构的舍入误差。
