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数字滤波器的有限字长效应2

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数字信号处理期末试卷及答案

数字信号处理期末试卷及答案

A一、选择题（每题3分,共5题）1、 )63()(π-=n j e n x ，该序列是 。

A.非周期序列B.周期6π=N C.周期π6=N D 。

周期π2=N 2、 序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。

A.a Z <B.a Z ≤C.a Z >D.a Z ≥ 3、 对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20点DFT ，得)(k X 和)(k Y ，19,1,0),()()( =⋅=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ,n 在 范围内时,)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。

A.70≤≤nB.197≤≤nC.1912≤≤n D 。

190≤≤n4、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =,用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N满足 。

A.16>N B 。

16=N C.16<N D.16≠N5。

已知序列Z 变换的收敛域为｜z ｜<1，则该序列为 .A 。

有限长序列B 。

右边序列 C.左边序列 D 。

双边序列二、填空题（每题3分，共5题)1、 对模拟信号（一维信号,是时间的函数）进行采样后，就是 信号，再进行幅度量化后就是 信号.2、要想抽样后能够不失真的还原出原信号,则抽样频率必须 ，这就是奈奎斯特抽样定理.3、对两序列x(n)和y(n ）,其线性相关定义为 。

4、快速傅里叶变换（FFT)算法基本可分为两大类，分别是： ； 。

5、无限长单位冲激响应滤波器的基本结构有直接Ⅰ型， ，______ 和______ 四种。

三、10)(-≤≥⎩⎨⎧-=n n ba n x n n求该序列的Z 变换、收敛域、零点和极点.（10分）四、求()()112111)(----=z z Z X ，21<<z 的反变换。

数字信号处理期末试卷及答案

数字信号处理期末试卷及答案

A一、选择题(每题3分,共5题）1、 )63()(π-=n j e n x ，该序列是 。

A 。

非周期序列B.周期6π=N C 。

周期π6=N D 。

周期π2=N 2、 序列)1()(---=n u a n x n ,则)(Z X 的收敛域为 。

A 。

a Z <B 。

a Z ≤C 。

a Z >D 。

a Z ≥ 3、 对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20点DFT,得)(k X 和)(k Y ，19,1,0),()()( =⋅=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ,n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积.A.70≤≤n B 。

197≤≤n C 。

1912≤≤n D 。

190≤≤n4、 )()(101n R n x =,)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N满足 。

A.16>N B 。

16=N C 。

16<N D.16≠N5.已知序列Z 变换的收敛域为｜z ｜<1,则该序列为 .A 。

有限长序列 B.右边序列 C.左边序列 D 。

双边序列二、填空题（每题3分，共5题）1、 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 信号,再进行幅度量化后就是 信号。

2、要想抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须 ，这就是奈奎斯特抽样定理。

3、对两序列x （n)和y （n)，其线性相关定义为 。

4、快速傅里叶变换（FFT ）算法基本可分为两大类,分别是: ； .5、无限长单位冲激响应滤波器的基本结构有直接Ⅰ型， ，______ 和______ 四种。

三、10)(-≤≥⎩⎨⎧-=n n ba n x n n求该序列的Z 变换、收敛域、零点和极点.（10分）四、求()()112111)(----=z z Z X ,21<<z 的反变换.(8分）B一、单项选择题（本大题12分，每小题3分）1、)125.0cos()(n n x π=的基本周期是 。

有限字长效应.

有限字长效应.
第7章 有限字长效应
概述 定点制表示及量化误差 滤波器系数量化误差
数字滤波器的定点运算误差
§7.1 概述：问题的提出
数字系统，存储单元的容量有限。
有限字长的影响，主要表现在以下三方面
(1) 输入信号经A/D变换而产生的量化误差 (2) 滤波器的系数量化误差。
即A/D变换器将模拟 (3) 运算误差。 即把系统系数用有限 数字运算运程中，为限制 输入信号变为一组离 二进制数表示时产生 位数而进行尾数处理，以 散电平时产生的量化 的量化误差。及为防止溢出而压缩信号 误差。 电平的有效字长效应
§7.2 定点制表示及量化误差
二进制数的表示
量化及量化误差
§7.2 定点制表示及量化误差
二进制的表示
1、定点制：小数点在数码中的位置固定不变 如：0.375 （0.011）2 1个符号位；b位尾数位 b＋1位寄存器 －1～＋1之间 绝对值小于1
§7.2 定点制表示及量化误差
二进制的表示 1、定点制：小数点在数码中的位置固定不变 2、浮点制：将一个数表示成尾数和指数两部分
§7.2 定点制表示及量化误差
截尾量化
Q[x] 3q 2q q 4q 3q 2q q x 3q 2q q x
舍入量化
Q[x]
q
q
2q 3q 4q
4q 3q 2q q
q
q
2q 3q 4q
2q 3q 4q
2q 3q 4q
截掉b位后数据
Q[ x] 0 n 2 n
§7.1概述—研究目的
1.若字长（通用计算机）固定，进行误差分析，可知结果的 可信度，若置信度差，要采取改进措施。 2.用专用DSP芯片实现数字信号处理时，定点与硬件采用字 长有关： (1)一般采用定点实现，涉及硬件采用的字长。 (2)精度确定字长。因此，必须知道为达到设计要求所需精度 下必须选用的最小字长。 (3)由最小字长选用专用DSP芯片类型 由于选用不同DSP芯片，价格差很大。目前 TMS320C1X,C2X,C5X,C54X,C62X,C67x等价格差异很大

第九章 数字信号处理中的有限字长效应

第九章 数字信号处理中的有限字长效应

反码与补码关系： 反码与补码关系：
[x ]反 = 2 − x − 2− b = [x ]补 − 2− b [x ]补 = [x ]反 + 2−b
10
三、量化方式——舍入与截尾 量化方式 舍入与截尾
尾数的截尾或舍入处理引起的误差取决于： 二进制数的位数 数的运算方式（定点或浮点） 负数的表示法（原码、补码或反码） 尾数的处理方法（舍入或截尾） 1. 定点制截尾 （1）对正数：
ˆ xa ( t ) t = nT → ⊕ → x( n) ↑ e(n)
23
所谓统计分析就是研究随机过程的统计特性，特别是各阶矩特性， 尤其是一阶矩（均值） m
e
和二阶矩（方差）σ e2 。
（1）对定点舍入量化方式， e(n)的概率密度函数为：
1 p[e( n)] = ∆ 0
其均值为：
−
∆ ∆ < e R ( n) ≤ 2 2 other
me = E[e R ( n)] = ∫ e R p(e )de = 0
E[⋅] 表示求统计平均。
∆ 2 ∆ − 2
24
方差为：
σ = E[(e( n) − me ) ] = ∫ (e − me ) p(e )de = ∫
2 e 2 2
∆ 2 ∆ − 2
2. 浮点二进制数（类似于科学记数法） 浮点二进制数（类似于科学记数法）
x = ±2 M
c
M 是尾数，c 是指数，称阶码。 是尾数， 是指数，称阶码。 运算中动态范围大，但阶码占用存储空间。 运算中动态范围大，但阶码占用存储空间。
优点： 优点：动态范围大 缺点：运算速度慢， 缺点：运算速度慢，加法和乘法都会产生舍入或截尾误差
（2）对负数： 原码及反码时： 0 ≤ ET < ∆ 绝对误差： 相对误差： 补码时：

数字信号处理中的有限字长效应

数字信号处理中的有限字长效应
11
9.1.2 信号的量化误差
假设序列值用b+1位二进制数来表示， 其中用1位来表示符号，用b位表示尾数，最 小码位所表示的数值称为“量化步阶”或 “量化宽度”，用△来表示，则q=2-b 。 如果二进制编码的尾数长于b，则必须 要进行尾数处理，且处理成b位，也即量化。 尾数处理有两种方法，即截尾法和舍入法。
x
q 2 12
则信噪比的分贝数为：
2 x S 2 10 lg 2 10 lg x 10.79 6.02b （9-1） N e
22
9.1.3 A/D变换器中的量化效应


上式表明： （1）A/D变换器输出的信噪比与A/D变换器的 字长有关；（2）与输入信号的平均功率有关。 结论为：（1）A/D变换器量化字长每增加1位， 输出信噪比约可以提高6dB。但是b受到输入信 号的信噪比的限制；（2）输入信号越大则输出 信噪比越高。但一般A/D变换器的输入都有一定 的动态范围限定，否则过大的动态范围，会发生 限幅失真。实际应用中线性A/D一般要求12位 以上满足通信要求，非线性A/D一般要求8位以 上满足通信要求。
16
9.1.2 信号的量化误差



由以上分析可以看出，舍入和截尾都产生非线性关系。 定点补码截尾法量化噪声的统计平均值为-q/2，相当于 给信号增加了一个直流分量，从而改变了信号的频谱结 构； 而舍入法的统计平均值为0，这一点比定点补码截尾法好。 为了研究量化误差对数字信号处理系统精度的影响，必 须了解舍入和截尾误差的特型，一般最方便的方法是把 这些量化误差看成随机变量，对每种误差求出概率密度 函数，并进行较为合理的假设，即量化误差在整个可能 出现的范围内是等概率的，也就是均匀分布的。对于定 点制，变量为绝对误差ET ，对于浮点制，变量为相对误 差εR。

数字信号处理期末试卷(含答案)全..

数字信号处理期末试卷(含答案)全..

数字信号处理期末试卷(含答案)一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在括号内。

1.若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特采样定理，则只要将抽样信号通过( )即可完全不失真恢复原信号。

A.理想低通滤波器B.理想高通滤波器C.理想带通滤波器D.理想带阻滤波器 2．下列系统（其中y(n)为输出序列，x(n)为输入序列）中哪个属于线性系统？( )A.y(n)=x 3(n)B.y(n)=x(n)x(n+2)C.y(n)=x(n)+2D.y(n)=x(n 2)3.．设两有限长序列的长度分别是M 与N ，欲用圆周卷积计算两者的线性卷积，则圆周卷积的长度至少应取( )。

A ．M+NB.M+N-1C.M+N+1D.2(M+N)4.若序列的长度为M ，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数N 需满足的条件是( )。

A.N ≥MB.N ≤MC.N ≤2MD.N ≥2M 5.直接计算N 点DFT 所需的复数乘法次数与( )成正比。

A.N B.N 2 C.N 3 D.Nlog 2N6.下列各种滤波器的结构中哪种不是FIR 滤波器的基本结构( )。

A.直接型 B.级联型 C.并联型 D.频率抽样型7.第二种类型线性FIR 滤波器的幅度响应H(w)特点( )： A 关于0=w 、π、π2偶对称 B 关于0=w 、π、π2奇对称C 关于0=w 、π2偶对称 关于=w π奇对称D 关于0=w 、π2奇对称 关于=w π偶对称 8.适合带阻滤波器设计的是： （ ） A )n N (h )n (h ---=1 N 为偶数 B )n N (h )n (h ---=1 N 为奇数 C )n N (h )n (h --=1 N 为偶数D )n N (h )n (h --=1 N 为奇数9.以下对双线性变换的描述中不正确的是( )。

A.双线性变换是一种非线性变换B.双线性变换可以用来进行数字频率与模拟频率间的变换C.双线性变换把s 平面的左半平面单值映射到z 平面的单位圆内D.以上说法都不对10.关于窗函数设计法中错误的是：A 窗函数的截取长度增加，则主瓣宽度减小；B 窗函数的旁瓣相对幅度取决于窗函数的形状，与窗函数的截取长度无关；C 为减小旁瓣相对幅度而改变窗函数的形状，通常主瓣的宽度会增加；D 窗函数法不能用于设计高通滤波器； 二、填空题(每空2分，共20分)1. 用DFT 近似分析连续信号频谱时, _________效应是指DFT 只能计算一些离散点上的频谱。

数字信号处理期末试卷及答案

数字信号处理期末试卷及答案A⼀、选择题（每题3分，共5题）1、 )63()(π-=n j e n x ，该序列是。

A.⾮周期序列B.周期6π=N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为。

A.a Z <B.a Z ≤C.a Z >D.a Z ≥ 3、对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20点DFT ，得)(k X 和)(k Y ，19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ，n 在围时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。

A.70≤≤nB.197≤≤nC.1912≤≤nD.190≤≤n4、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =，⽤DFT 计算⼆者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满⾜。

A.16>NB.16=NC.16D.16≠N5.已知序列Z 变换的收敛域为｜z ｜<1，则该序列为。

A.有限长序列B.右边序列C.左边序列D.双边序列⼆、填空题（每题3分，共5题）1、对模拟信号（⼀维信号，是时间的函数）进⾏采样后，就是信号，再进⾏幅度量化后就是信号。

2、要想抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须，这就是奈奎斯特抽样定理。

3、对两序列x(n)和y(n)，其线性相关定义为。

4、快速傅⾥叶变换（FFT ）算法基本可分为两⼤类，分别是：；。

5、⽆限长单位冲激响应滤波器的基本结构有直接Ⅰ型，，______ 和______ 四种。

三、10)(-≤≥-=n n ba n x n n求该序列的Z 变换、收敛域、零点和极点。

（10分）四、求()()112111)(----=z z Z X ，21<B⼀、单项选择题（本⼤题12分，每⼩题3分）1、)125.0cos()(n n x π=的基本周期是。

FIR与IIR的对比

FIR与IIR的比较再从滤波器的单位冲激响应来看，数字滤波器又可分为有限长单位冲激响应的FIR(Finite Impulse Response)滤波器和无限长单位冲激响应的IIR(InfiniteImpulse Response)滤波器。

由于IIR滤波器的传递函数存在原点以外的极点，所以IIR滤波器的单位冲激响应是无限持续的，因而IIR滤波器与递归滤波器一致。

但是，当稳定的递归滤波器与非递归滤波器级联后，若递归滤波器的极点与非递归滤波器的零点相互抵消，使得由两个滤波器构成的新滤波器在原点以外不存在极点，这种级联滤波器也属于FIR滤波器。

此时，因级联后的滤波器内部存在反馈环路，这种滤波器也成为递归滤波器，比如频率采样滤波器(Frequency Sampling Filter, FSF)IIR数字滤波器系统传递函数的极点可以位于单位圆内的任何地方，因此可用较低的阶数获得较高的频率选择性，所用的存储单元较少，经济且效率较高，但是系统传递函数的极点也可能位于单位圆外，这可能引起滤波器的不稳定。

同时，IIR滤波器的相位特性是非线性的，且选择性越好，相位特性的非线性越严重[[5]相反，FIR滤波器却可以得到严格的线性相位特性，但由于FIR滤波器系统传递函数的极点固定在原点，所以只能用较高的阶数来实现其高的频率选择性，对于同样的滤波器设计指标，FIR滤波器所要求的阶数要比IIR 滤波器高5到10倍[f6l，所以成本较高，信号延迟也较大。

但如果要求相同的线性相位特性，则IIR滤波器就必须加全通滤波器来进行相位校正，同样也要增加滤波器的阶数和复杂性。

FIR滤波器可以用非递归方法实现，在有限精度下不会产生振荡，同时由于量化舍入以及系数的不确定性所引起的误差对其产生的影响要比IIR滤波器小的多，并且FIR滤波器可以采用FFT(Fast Fourier Transform)算法，运算速度快。

但FIR滤波器不像IIR滤波器那样可借助模拟滤波器的成果，FIR滤波器没有现成计算公式，必须要用计算机辅助设计(Computer Aided Design, CAD)软件(如MA TLAB等)来计算。

有限字长效应和量化误差-哈工大

p pi i ak , i 1, 2, , N k 1 a k
N
pi 为极点位置的偏差值，是由各系数偏差 ak 引起的。
pi 关系式中， a 表示极点 pi 对系数 ak 变化的灵敏度。 k
12
12
数字滤波器的系数量化效应
2、系统零极点位置对系数量化的灵敏度
y k
b3
b1
b2
b3
z 1
结论： A. 系数量化对滤波器的影响，不仅与字长有关，还与滤波器的结构有关。 B. 与直接型相比，系统级联时，系数量化对滤波器的稳定性影响较小。
11
11
数字滤波器的系数量化效应
2、系统零极点位置对系数量化的灵敏度
极点（零点）位置灵敏度指每个极点（零点）位置对各系数偏差的敏感程度。 极点灵敏度分析方法同样适用于零点，但是极点对系统影响更大，直接影响 到系统的稳定性。零点作用只是用来调整极点所引起的滤波器特性，且取决于它 与极点的相对位置。因此，主要分析极点变化的影响。
直接型结构
原始极零点分布图
1.5
零点
0.6
量化后的极零点分布图
1.5
零点 极点 极点
1
1
Imaginary Part
0 -0.5 -1 -1.5 -2.5
Imaginary Part
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
0.5
0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2.5
-2
-1.5
数字滤波器的系数量化效应
背景 知识
系数量化 系统的零极点受到影响 系统的结构 系统的稳定性受到影响
直 接
直 接
I
型
II
型

有限字长效应和量化误差-哈工大


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数字滤波器的系数量化效应
2、系统零极点位置对系数量化的灵敏度
极点（零点）位置灵敏度指每个极点（零点）位置对各系数偏差的敏感程度。
极点灵敏度分析方法同样适用于零点，但是极点对系统影响更大，直接影响 到系统的稳定性。零点作用只是用来调整极点所引起的滤波器特性，且取决于它 与极点的相对位置。因此，主要分析极点变化的影响。
A(z) zk ak
A(z)
pi
zN
N l 1
(z
pl )
li
极点位置 灵敏度：
pi
ak
pN k i N
( pi pl )
l 1
li
极点 pi 的偏差量：
N
Vpi
k 1
N
pN k i
M
b$k zk
µH z
k0 N
1 a$k zk
M
1 z$i z1
i 1 N
1 µpi z1
Bµ z µA z
k0
i 1
系统的零极点受到影响
系统的稳定性受到影响
5
5
数字滤波器的系数量化效应
背景 知识
系数量化
系统的零极点受到影响 系统的结构
系统的稳定性受到影响
直
直
接
接
I
II
型
型
级
并
联
联
结
结
构
构
6
6
数字滤波器的系数量化效应
1、系数量化对滤波器稳定性的影响 2、系统零极点位置对系数量化的灵敏度
7
7
数字滤波器的系数量化效应
1、系数量化对滤波器稳定性的影响
稳定性 极点
FIR滤波器
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[ x]原 [ x ]反
x 0. X 1 X 2 X b 1 x 1. X 1 X 2 X b
0 x 1 1 x 0
0 x 1 x 0. X 1 X 2 X b 1 x 1. X 1 X 2 X b 1 x 0
e[k]所通过系统的Байду номын сангаас统函数 He(z)=1/A(z)
直接II型结构乘积量化误差分析
x[k] z1
b0
ˆ[ k ] y
a1
eM+1[k] z1
b1
e0[k]
a2
b2
e1[k]

eM+2[k]

aN

z1 bM
e2[k]
eM+N[k]
eM[k]
直接II型结构乘积量化误差单个噪声源模型
直接II型结构乘积量化误差分析
舍入量化
Q[x]
q
q
2q 3q 4q
4q 3q 2q q
q
q
2q 3q 4q
2q 3q 4q
2q 3q 4q
截掉b位后数据
Q[ x] 0 n 2 n
n1 b
视b+1位后数据的大 小决定b位数据的值
量化误差
截尾误差
ET Q[ x] x q ET 0
一、IIR DF 的极限环振荡
由于字长有限，IIR DF零输入下也有固定不变 的输出，或输出在一定范围内出现震荡现象。
分析：
y[k ] y[k 1] x[k ]

乘法运算采用舍入量化处理，相应的差分方程为
y[k ] x[k ] Q{ y[k 1]}

设： y[1]=0 b=3, =1/2=0.100, x [k]=(7/8)d [k] = 0.111d [k]
三、 FIR系数量化效应
系数量化只影响零点，不涉及稳定性问题， 但会影响频率特性。 若要求频响误差为E(ej)，则所需字长为
E (e
j
( N 1)q ) ( N 1)2 (b 1) 2
实际中，需要在估计字长的基础上加上3~4位
数字滤波器的定点运算误差
IIR DF的极限环振荡 IIR DF乘积量化误差的统计分析 FIR DF中乘积量化的影响 溢出问题
k 1

1 ( 1 p z ) r r 1
因字长有限，滤波器系数ak、bk量化后将产生误差 1. 系统的实际频响与所要求的频响出现偏差。 2. 系统函数零极点的实际位置也与设计位置不同。 严重时，使系统失去稳定。
二、IIR系数量化效应
{ak}量化后的值 量化后极点位置
ˆ k ak ak , k 1, N a
2
IIR DF级联结构乘积量化误差分析
e1[k] x[k] z1 z1
eL[k]
01 11 21 11 21
z1 z1 z1 z1
0L 1L 2L 1L 2L
ˆ[ k ] y
z1 z1
2 v

i 1
L
i2
1 2j C
l i 1

L
2 v

i 1
L
2 e i
hi [k ]
2
三、FIR DF中乘积量化的影响
x[k]
z1
h[0]
z1
h[1]
z1
h[2] h[N1]
y[k] e0 e1 e2 eN1
乘积量化噪声的输出平均功率
2 2 q q 2 v ( N 1) d 2 [k ] ( N 1) 12 k 0 12
一阶IIR DF输出

y[0] x[0] Q{ y[1]} 7 8 0.111



y[1] Q{ y[0]} Q[0.0111 ] 0.100 y[2] Q{ y[1]} Q[0.010] 0.010 y[3] Q{ y[2]} Q[0.001 ] 0.001 y[4] Q{ y[3]} Q[0.0001 ] 0.001 1 8
ˆ r pr pr , r 1, N p
pr
k 1
N
p r ak a k
位置误差
第r个极点对第k个系数变化的敏感度 pr /ak越大，ak对pr的影响越大，反之亦然。
系统对系数量化的灵敏度
D( z ) a k p r D( z ) a k p r
ˆ[k ] x[k ] e[k ] x
精确抽样值 量化误差
分析A/D转换器的量化效应目的在于选择合适 的字长，以满足信噪比指标。
二、e[k]统计假设
1) e[k]是平稳随机序列 2) e[k] 是白噪声，且e[k1]和e[k2]不相关 3) e[k]和x[k]不相关
4) e[k]等概率分布
n
四、溢出问题
产生原因：
y[k ] h[n]x[k n]
n
x[k]的最大绝对值
y[k ] max xmax h[n]
n
xmax h[n] 超出了表示范围，就会产生溢出。
n
避免溢出的方法:
1. 适当增加字长
2. 将输入信号乘以小于1的比例因子A，使下式成立
Axmax h[n] 1
P{e[k ]}
1q
q 2
0
e[k ]
q 2
舍入量化误差的概率密度函数曲线
三、信噪比和字长的关系
2 信号x[k]的平均功率为 x
量化误差方差
e2
q E e [k ] 12
2


2
输入信号的信噪比SNR为
2 x 2 6.02b 10.79 10 log 10( x SNR 10 log 10 ) dB 2 e
字长增加一位，SNR增加6db
滤波器系数量化效应
问题的提出
IIR系数量化效应
FIR系数量化效应
一、问题的提出
设系统只有单极点，理想DF的系统函数可表示为
B( z ) H ( z) A( z )
k 0 N k b z k k M k 0 N k b z k M
1 ak z
7 1 k y[k ] ( ) u[k ] 8 2



7 4 2 1 1 1 ˆ[k ] { , , , , , , } y 8 8 8 8 8 8
极限环震荡
无限精度输出
产生极限环震荡的原因
量化使下式成立
Q[ y[k 1]] y[k 1]

( 0取, 0取)
[ x]补
x 0 x 1 2 x 1 x 0
二、量化及量化误差 理论上十进制数可用无穷多为二进制数表示
x 0 n 2 n
n 1
符号位
有效数字位
实际中，只能用有限位近似表示(b+1)位)，这种 过程称为量化。
量化方式
截尾量化
Q[x] 3q 2q q 4q 3q 2q q x 3q 2q q x
H l ( z ) H l ( z 1 )
Ai ( z ) Ai ( z 1 )
z 1dz
IIR DF并联结构乘积量化误差分析
e1[k]
01
z1 z1
11 21
11 21
ˆ[ k ] y
x[k]


0L
z1 z1
eL[k]
1L 2L
1L 2L
z1 z1
q 2b
正数和补码负数截尾误差范围为
原码负数和反码负数截尾误差范围为
0 ET q
舍入误差范围
q 2 ER q 2
区别：舍入误差对称分布，截尾误差单极性分布。
滤波器输入信号量化效应
问题的提出
量化误差统计假设
信噪比和字长的关系
一、问题的提出
模拟信号经过A/D转换为b位数字信号，即
即系统的差分方程变为

y[k ] x[k ] y[k 1]

极点从原来的单位圆内迁移到单位圆上，从而产生 等幅序列形式的极限环震荡。
消除限环震荡方法
1. 适当地增加字长

2 (b1) y[k 1] 1
死区 在一定时，增加字长b，死区也减小。 2. 在滤波器的输入端加入高频脉冲，使输出跳出死 区，回到零。
问题的提出
数字系统，存储单元的容量有限。
有限字长的影响，主要表现在以下三方面 (1) 输入信号经A/D变换而产生的量化误差。
(2) 滤波器的系数量化误差。
(3) 运算误差。
截尾和舍入效应
定点二进制数的表示
量化及量化误差
一、定点二进制数的表示
定点二进制数x有原码、反码和补码三种表示形式 若x=0.X1 X2 Xb，则其原码、反码和补码分别定义为
1 a k z k a k z k 0
k 1 N
为了保持稳定，设极点在单位圆内接近z=1
a k 1 a k
k 1
N
保持稳定性的IIR DF系数的最小字长
ak q 2 (b1) max{ ak } 2
系统对系数量化的灵敏度
将系数量化误差所造成的零、极点位置误差作为 对系数量化灵敏度的度量。 量化后极点
ea[k] b0 eb[k]
x[k]
ˆ[ k ] y
a1 a2
z1 b 1 z1 b2


aN


z1 bM

直接II型结构乘积量化误差联合噪声源模型
2b 2 ea[k]和eb[k]通过系 2 v N 统的输出噪声方差 12