弹性力学第三章 用直角坐标解平面问题

第三章 用直角坐标解平面问题3.1多项式解答逆解法要求首先选择能够满足双调和方程的函数，然后再考察他们能够解决什么问题。

在所研究的函数中最简单、最常用的就是多项式。

从另一种意义上说，不管弹性力学问题的解多么复杂，大多数可以展开成级数的形式，而最简单的形式就是幂级数。

多项式可以视为幂级数的一种简单的近似。

为此，我们从一次函数开始，按照逆解法的步骤给出一些问题的多项式解答。

3.1.1.一次函数c by ax ++=Φ，不计体积力，考察它能解决的问题。

①检查Φ是否满足协调方程（2.33）0ΦΦ2Φ4422444=∂∂+∂∂∂+∂∂yy x x （2.33） 能被满足。

②根据（2.30）式求出应力分量{}σ0Φ22=-∂∂=x f yx x σ，0Φ22=-∂∂=y f x y y σ，0Φ2=∂∂∂-=y x xy τ。

③考察边界条件：无面力。

④结论：线性函数对应于无荷载的情况，应力函数Ф的线性项不影响弹性体内的应力分布，研究问题时可以舍去。

3.1.2. 二次函数（1）2Φax =，不计体积力，考察它能解决的问题 ①检查Φ是否满足相容方程（2.33）0ΦΦ2Φ4422444=∂∂+∂∂∂+∂∂y y x x （2.33） 能被满足。

②根据（2.30）式求出应力分量{σ}；0Φ22=-∂∂=x f yx x σ，a y f xy y 2Φ22=-∂∂=σ，图3.1二次函数能解决的问题0Φ2=∂∂∂-=yx xyτ。

③考察边界条件a y s y 2)(==σ，0)()(==s xy s x τσ。

④结论：2Φax =可用来解图3.1（a ）所示y 向均匀拉伸问题。

同理可知2b Φy =用来解图3.1（b ）所示x 向均匀拉伸问题。

(2)xy c Φ=，不计体积力，考察它能解决的问题按照以上步骤很容易得到结论，bxy =Φ能满足相容方程，求得的应力分量为0=x σ，0=y σ，c xy -=τ。

这些应力分量能满足的边界条件为0)(.===x c x x f σ，c f y c x xy -===.)(τ；0)(.===y c y y σ，c x c y yx -===.)(τ。

由此得出结论，bxy =Φ可以解决图3.1（c ）所示边界切向力分布集度为c ±的纯剪切问题。

3.1.３．三次函数3Φay =，无体积力，考察它能解决的问题①检查Φ是否满足相容方程（2.33）0ΦΦ2Φ4422444=∂∂+∂∂∂+∂∂yy x x （2.33） 代入计算后可以知道3Φay =能满足相容方程。

②根据（2.30）式求出应力分量{}σay x f yx x 6Φ22=-∂∂=σ，0Φ22=-∂∂=y f x y y σ，0Φ2=∂∂∂-=y x xy τ。

③根据应力边界条件（2.16）式，确定相对应的面力分量（图3.2）a ） 考察上、下边界（主要边界）2hy ±=，0=l ，1±=m ，代入方程（2.16）有： 0)(2==±=y h y y f σ，0)(2==±=x h y xy f τ。

说明上、下边界没有面力。

b ）检查左、右边界（次要边界）左边界0=x ，-1=l ，0=m ，代入（2.17a ）式有ay f x x x 6)(0-=-==σ，0)(0=-==x xy y f τ；右边界L x =，1=l ，0=m ，代入（2.17b ）式有ay f L x x x 6)(===σ，0)(=-==L x xy y f τ。

④结论：3Φay =能解决左、右两个端部的面力呈线性分布的矩形截面梁纯弯曲问题（图3.2）。

3.1.4.四次函数432234Φey dxy y cx y bx ax ++++=，无体积力，考察它能解决的问题。

①),Φ(y x 必须满足协调方程这个函数较为复杂，只有当各系数满足—定的关系时它才能满足相容方程（2.33）式。

把四次函数求导得到a x 24Φ44=∂∂，c y x 4Φ224=∂∂∂，e y 24Φ44=∂∂，把它们代入相容方程0Φ4=∇得出0244224=+⨯+e c a ，即有)3(ca e +-=。

于是应力函数应为432234)3(Φy ca dxy y cx y bx ax +-+++=。

这样，四个系数不论为何值，)Φ(x,y 都能满足相容方程（3.33）式，因此可以作为应力函数。

为了简单起见，我们仅研究只有0≠d 的情况，即用3Φdxy =研究一块矩形板的受力情况，如图3.3所示。

②根据（2.30）求出应力分量{}σ 求得各应力分量是dxy x f yx x 6Φ22=-∂∂=σ，0Φ22=-∂∂=y f xy y σ，2xy y 3d -=τ③根据应力边界条件（2.16）确定相对应的面力分量图3-3 四次函数3Φdxy =解决的问题这样的应力状态对应物体表面所受的作用力情形较为复杂。

按照现在的坐标系，上式在物体左边界（0=x ），正应力0=x σ，剪应力随坐标y 成二次抛物线变化，并对称于x 轴。

而且当0=y 时，剪应力为零。

当y 取最大值(2hy ±=)时，上、下两边的剪应力为最大；在上、下两个边上(2hy ±=)，正应力0=y σ，此时剪应力为常数。

在右边界(L x =)，正应力x σ随坐标y 成直线变化，并反对称于x 轴，剪应力仍与左端的(0=x )相同。

④结论：3Φdxy =能解决整个矩形板上、下主要边界表面仅受切向力作用，而且均匀分布，左端部仅受到按抛物线分布的切向力作用，而另一端不仅受与左端相同的切向力作用，还受线性分布的法向力作用，表面力具体的作用情况如图3.3所示。

3.2 梁的纯弯曲我们以求解梁的纯弯曲问题作为用应力函数求解弹性力学平面问题的实例，以了解逆解法的求解过程。

跨度为2L 、高度为h 的单位厚度矩形截面梁，两端受相等的集中力偶矩作用（图3-4）。

不计体积力，在如图坐标系下我们用逆解法求解梁内的应力与位移。

3．1 纯弯曲梁的应力 在上一节中我们讨论了三次式能解决截面上应力成线性分布的问题。

取3ay Φ=，按（2.30）式，求得梁的正应力ay x 6=σ，0=y σ，0=xy τ （a ）利用x =L 的边界条件()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===-±=-±=-±=0d )(d 0d )(222222y M y y y hh L x xy h h L x x hh L x x τσσ （b ） 面力的合力矩为单位宽度上力矩M ，其量纲与力相同,由随着坐标y 增加而增加的应力组成M ，其符号为正值，反之为负。

（b ）式中的第一和第三式自然满足。

由（b ）式中的第二式得到32h Ma =。

纯弯曲梁的应力解为 312hMyx =σ0=y σ，0=xy τ （c ）我们把这一结果和材料力学结果做个比较。

由于截面是单位厚度，截面惯性矩为3121h I =，梁的应力解可以写为y IMx =σ，0=y σ，0=xy τ (3.1) 可见弹性力学解（3.1）式和材料力学解完全相同。

应该指出，只有梁两端的力偶矩由线性分布的面力形成，而且x 轴上的正应力为零这一解答才是完全正确的。

如果不按这一规律分布，那么这一解答只能是近似的，梁内在离开端部一定距离的区域，这一解才接近真实结果。

也就是说梁的高跨Lh2比足够小，材料力学的解才有实用价值。

3.2 纯弯曲梁的位移下面由求得的应力计算纯弯曲梁的位移。

由物理方程（2.6）式，可得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==0xy yxEI My EIMy γμεε （d ） 把（d ）式带入几何方程（2.3）得到 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-∂∂+∂∂-=∂∂=∂∂0y ux v EI Myy v EI Myx u μ （e ） 由（e ）式的第一式和第二式得到)(1y f EI Myx u +=，)(222x f EIMy v +-=μ （f ）把（f ）式代入（e ）式第三式得到 0d )(d d )(d 21=++xx f y y f EI Mx 即yy f x x f EI Mx d )(d d )(d 12-=+ （e ） 由于x 和y 是独立变量，使方程恒成立的条件是方程两边为同一个常数ω=+x x f EI Mx d )(d 2，ω-=yy f d )(d 1 （f ） 由（f ）式得到01)(u y y f +-=ω， 0222)(v x EIMx x f ++-=ω （g ） 式中0u 、0v 和ω是由梁的约束所确定的待定常数。

所以纯弯曲梁的位移为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++--=+-=022022v x EI Mx EI My v u y EIMyx u ωμω (3-2) 由（3-2）式的第一式看，横截面各点沿x 向的位移是y 的一次函数。

不论梁是何种约束，对于任一个确定的x 截面，各点位移后的新位置都在倾角为定值的斜线上。

按2.3节的（d ）Ly图3-5 简支梁的纯弯曲式计算 ωβ-=∂∂=EIMx y u 这说明对于纯弯曲梁来说，材料力学所做的平截面假设是正确的。

在小变形的前提下，由（3-2）式的第二式可以得到近似的曲率表达式EI Mx v -=ℑ∂=221ρ (3-3) 这就是材料力学计算梁的变形所依据的基本方程。

3.3 简支梁和悬臂梁的位移要根据梁的约束条件确定（3-2）式中待定常数0u 、0v 和ω。

如果纯弯曲梁两端受铰支座约束（图3-4），由纯弯曲梁的位移解（3-2）式可以看出，对于0=x 的截面，u 和v都是y 的函数。

所以它只能满足对梁线端点的约束。

其约束条件为000===y x u ， 000===y x v ，00===y L x v即有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++--==+-==+-=======022002000022020v x EI ML EI My v v EI My v u y u y L x y x y x ωμμω 解之得到00=u 、00=v 、EIML2=ω 把它们代入（3-2）式得到纯弯曲简支梁的位移解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=22)(2)2(y EI M x x L EI M v y L x EI M u μ （3-5） 由y =0得到梁的轴线方程为x x L EIMv y )(20-== （h ） 和材料力学结果完全一致。

如果纯弯曲梁一端为固定支座约束（图3-5），由纯弯曲梁的位移解（3-2）式可以看出，对于L x =的截面，u 和v 都是y 的函数，也无法满足整个端部被固定的约束状态，所以它只能满足对梁线端点的约束。

其约束条件为M图3-6 悬臂梁的纯弯曲00===y L x u ， 00===y L x v ，0)(=∂∂==y L x x v即有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=∂∂=++-=========0)02)0)002000ωωEI MLx v v L EI ML v u u y L x y L x y L x （g ） 解之得到00=u 、EIML v 220-=、EI ML =ω 悬臂梁的位移解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=--=222)(2)(y EI M x L EI M v y x L EIM u μ （3-6） 由y =0得到梁的轴线方程为20)(2x L EIMv y --== （3-7） 这一结果也和材料力学相同。