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弹性力学：直角坐标解答

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弹性力学第三章_1

弹性力学第三章_1

第三章 平面问题的直角坐标解答
在x = 0，l 的次要边界（小边界）上， 3F y2 x 0, (σ x ) x 0 0, ( xy ) x 0 (1 4 2 ); 2h h 12 Fl x l, (σ x ) x l 3 y , h 3F y2 ( xy ) x l (1 4 2 ). 2h h
ax2 不计体力时， 先来看
2 2 x 2 0, y 2 2a, y x
xy
2 0 xy
如取矩形板（或无限长柱 体），则对应于两侧受拉 （a>0）或两侧受压(a<0) 的情况。
第三章 平面问题的直角坐标解答
对应于 bxy 应力分量是:
2h
o
h/2
h/2
x y l ( l >>h)
第三章 平面问题的直角坐标解答
解：按逆解法。 1. 将Φ 代入相容方程，可见 4Φ 0 是满足的。 有可能成为该问题的解。 Φ
2. 由Φ 求出应力分量,
2Φ 12 Fxy , σx 2 y h3 2Φ 0, σy 2 x y2 xy Φ 3F (1 4 2 ). xy 2h h
xy
x
xy
第三章 平面问题的直角坐标解答
其主矢量和主矩
x 0,
FN 0, M 0, FS xy x 0 dy F ;
h 2 h 2
x l , FN x x l dy 0, M x x l ydy Fl FS xy x l dy F ;
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答
一、逆解法和半逆解法

弹性力学直角坐标解答

弹性力学直角坐标解答

根据材料的本构关系， 引入物理方程来表达应 力分量与应变分量之间 的关系。
针对具体问题的边界条 件，如固定端、自由端 或受力边界等，对平衡 方程和几何方程进行适 当的处理。
根据问题的性质和复杂 程度，选择合适的求解 方法，如分离变量法、 积分变换法或数值方法 等，以求解平衡方程和 几何方程，得到应力分 量和位移分量的解答。
多场耦合问题
涉及多个物理场的相互作用，如热-力、电-力等耦 合问题，使得边界条件更加复杂。
处理复杂边界条件方法
坐标变换法
通过坐标变换将复杂边界转换为简单边界，从而简化问题的求解。
近似解法
采用近似函数逼近复杂边界条件，将问题转化为可求解的近似问题。
数值解法
利用数值计算方法（如有限元法、有限差分法等）对复杂边界条件 进行离散化处理，进而求解弹性力学问题。
直角坐标系下应力应变关系
应力分量
在直角坐标系下，一点的应力状态可以用六个应力分量来 表示，即三个正应力分量和三个剪应力分量。
应变分量
与应力分量相对应，一点的应变状态也可以用六个应变分 量来表示，即三个正应变分量和三个剪应变分量。
应力应变关系
在弹性力学中，应力和应变之间存在一定的关系，这种关 系可以用广义胡克定律来描述。对于各向同性材料，应力 应变关系可以简化为三个独立的方程。
03
空间问题直角坐标解答方 法
空间应力问题求解思路
应力分量求解
叠加原理应用
根据弹性力学基本方程，利用直角坐标 系下的应力分量表达式，通过给定的边 界条件和载荷，求解各应力分量。
对于多个载荷同时作用的情况，可利用 叠加原理将问题分解为多个简单问题分 别求解，再将结果叠加得到最终解。
应力函数引入

弹性力学 第四章 平面问题的极坐标解答

弹性力学 第四章 平面问题的极坐标解答

s = sσ
(3) 多连体中的位移单值条件
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·问题的提出
工程中有些问题, 用极坐标计算方便, 但应力分量用直角坐 标表述更直观. 反之也存在.
由此需要对应力分量进行坐标变换.
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
已知 σx、σy、τxy , 求 σρ、συ、τρυ？
y
fρ τ + ∂τρυdρ ρυ ∂ρ ∂συ dυ συ+ ∂σρ ∂υ σρ+ dρ ∂τυρ C ∂ρ dυ τυρ+ ∂υ
B
fυ
§ 4-1 极坐标中的平衡微分方程
·平衡微分方程
x
υ dυ ρ
Σ Fρ = 0 :
συ
A
σρ τρυ P τυρ
∂σρ σρ+ dρ (ρ+dρ)dυ - σρ ρdυ ∂ρ ∂συ dυ - συ+ dυ dρ sin ∂υ 2 + τυρ+ - συ dρ sin
Σ Fυ = 0 :
συ = ?
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
συ = ?
将两坐标系下微元体组合
τyx σy σx συ
τυρ τxy
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
已知 σx、σy、τxy , 求 σρ、συ、τρυ？
O x
υ
τyx
σy σx
συ y
τυρ τxy
Σ Fυ = 0 :
O h/2 h/2 lqx源自(v)x=0, l = 0
应力边界条件： ( σy ) y=-h/2 = - q (τyx ) y=-h/2 = 0 ( σy ) y= h/2 = 0 (τyx ) y= h/2 = 0

弹性力学徐芝纶版第4章

弹性力学徐芝纶版第4章

第四章 平面问题的极坐标解答
比 较
1 f 0。 (a) x yx fx 0 x y
式(a)中第一、二、 四项与直角坐标的方 方程相似; 而第三项 分别由PB、AC面不 相等和PA、BC面不平 行引起。
为边界上已知的面力分量。
常数，或 常数,
故边界条件形式简单。
第四章 平面问题的极坐标解答
例：写出应力边界条件（集中力偶作用处为小边界） b a 0 d 0 0 a 0
a
b 0 b 0
0
q
2
2
0
0 0

l
q0
0
0
0
0
2
2
0
0
第四章 平面问题的极坐标解答
PB线应变 PB PB PC PB (ρ u ρ ) d υ ρ d υ u ρ ευ PB PB ρdυ ρ
第四章 平面问题的极坐标解答
PA转角 0, PB转角
O

d

x P
d
P
A
u
B C
u
A
u
d
y B ( u )d CB β tan u PC u d u ρ u ρ (u d υ) u ρ dυ υ υ ∴切应变为 ρ u d υ d
1.只有径向位移 u ，求形变。 P,A,B 变形后为 P', A', B'， 在小变形假定 O x β 1 下， u P d d

弹性力学 直角坐标解答

弹性力学 直角坐标解答

（b） ）
对（b）式的（1）、（2）式积分可得： 式的（ ）、（2 式积分可得：
M u= xy + f 1 ( y ) EI
2012-3-24
v=−
µM
2 EI
y 2 + f 2 (x )
15
第三章 平面问题的直角坐标解答
为了求解 f 1 ( y ) 和 f 2 (x ) ，再将 u， v代入几何 方程的第三式， 方程的第三式，即：
2012-3-24
8
第三章 平面问题的直角坐标解答
3.2矩形梁的纯弯曲 3.2矩形梁的纯弯曲
1.建模 1.建模
梁的纯弯曲问题，是指梁的两端只受z向的单位宽度上的 梁的纯弯曲问题，是指梁的两端只受z 外力矩作用， 外力矩作用，在梁中只有弯曲应力 x 及弯曲变形，如图 σ 及弯曲变形， 3-2所示。 所示。
图 3-3
2.设定应力分量的函数形式 2.设定应力分量的函数形式
根据载荷特性，由材料力学知识，假定 根据载荷特性，由材料力学知识， σ y = f (y)
2012-3-24 18
第三章 平面问题的直角坐标解答
3.推出应力函数的形式 3.推出应力函数的形式
在无体力下，将 σ y 代入（2-24）有 代入（ 24） 在无体力下，
2012-3-24
1
第三章 平面问题的直角坐标解答
3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答 1.当体力为常量时，用应力函数按应力求解平 1.当体力为常量时 当体力为常量时， 面问题时的解题步骤: 面问题时的解题步骤:
（1）在区域内的相容方程
∂ 4Φ ∂ 4Φ ∂ 4Φ +2 2 2 + 4 =0 4 ∂x ∂x ∂y ∂y
2012-3-24 5

第六章_弹性力学平面问题的直角坐标系解答

第六章_弹性力学平面问题的直角坐标系解答

x2(y)
n
F
3. 取
Φ为三次项：
3
2
例题2 无体力作用的悬臂梁，在端部受集中力P 作用。

本题采用应力函数的半逆解法。

半逆解法思路：
1. 根据受力情况和求解经验，包括材料力学的解，定性估计应力分量的变化，并根据应力分量与应力函数关系，反推出 Φ
函数的主要项。

2.
将所设Φ 代入∇ 4Φ =0和力的边界条件进行检验，如果不满足则进
行修正（适当增加项），再代入∇
4
Φ =0和力的边界条件进行检验，直
至满足所有方程为止。

本题求解的基本情况： 基本方程 ∇ 4Φ =0， 边界条件为混合边界条件：
x
y P
ql
ql
q
常微分方程积分，可得到f2 (y)的表达式。

所有待定系数由边界条件定。

例题4 楔形体受重力和液体压力作用，楔形体下端无限长。

弹性力学 第六章 平面问题的直角坐标解

第六章平面问题的直角坐标解知识点平面应变问题应力表示的变形协调方程应力函数应力函数与双调和方程平面问题应力解法逆解法简支梁问题矩形梁的级数解法平面应力问题平面应力问题的近似性应力分量与应力函数应力函数与面力边界条件应力函数性质悬臂梁问题楔形体问题一、内容介绍对于实际工程结构的某些特殊形式，经过适当的简化和力学模型的抽象处理，就可以归结为弹性力学的平面问题，例如水坝，受拉薄板等。

这些问题的特点是某些基本未知量被限制在平面内发生的，使得数学上成为二维问题，从而简化了这些问题的求解困难。

本章的任务就是讨论弹性力学平面问题：平面应力和平面应变问题。

弹性力学平面问题主要使用应力函数解法，因此本章的工作从推导平面问题的基本方程入手，引入应力函数并且通过例题求解，熟悉和掌握求解平面问题的基本方法和步骤。

本章学习的困难是应力函数的确定。

虽然课程讨论了应力函数的相关性质，但是应力函数的确定仍然没有普遍的意义。

这就是说，应力函数的确定过程往往是根据问题的边界条件和受力等特定条件得到的。

二、重点1、平面应变问题；2、平面应力问题；3、应力函数表达的平面问题基本方程；4、应力函数的性质；5、典型平面问题的求解。

§6.1 平面应变问题学习思路:对于弹性力学问题，如果能够通过简化力学模型，使三维问题转化为二维问题，则可以大幅度降低求解难度。

平面应变问题是指具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束的弹性体。

这种弹性体的位移将发生在横截面内，可以简化为二维问题。

根据平面应变问题定义，可以确定问题的基本未知量和基本方程。

对于应力解法，基本方程简化为平衡微分方程和变形协调方程。

学习要点：1、平面应变问题；2、基本物理量；3、基本方程；4、应力表示的变形协调方程1、平面应变问题部分工程构件，例如压力管道、水坝等，其结构及其承载形式力学模型可以简化为平面应变问题，典型实例就是水坝，如图所示这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。

弹性力学第3章(徐芝纶第五版)


最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
4 楔形体受重力和液体压力 问题
设有楔形体， 左面垂直，顶角为α， 下端无限长，受重 力及齐顶液体压力,
fx 0, f y 1g.
o
α 2g
y
x
n
α
2
1g
用半逆解法求解。
（1）用量纲分析法假设应力: （2）由应力~Φ关系式，Φ应为x,y的三次式，
（3）Φ 满足相容方程 4Φ 0.
（4）由 Φ求应力， （5）考察边界条件——本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件:
o
M
y
h/2
h/2
x
M
l
( l >>h)
半逆解法
3.半逆解法 步骤：
⑴ 假设应力的函数形式 （根据受力情况， 边界条件等）；
⑵ 由应力(d)式，推测 的Φ 函数形式；
⑶ 代入 4Φ，解0 出 ； Φ
半逆解法
⑷ 由式（d），求出应力；
⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）. 如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。
为b,如图,水的密
度为 2 ，试求

弹性力学第三章

第三章 平面问题的直角坐标解答
多项式解答 位移分量的求出 简支梁受均布荷载 楔形体受重力和液体压力
1 多项式解答
按Φ 求解
1. 当体力为常量，按应力函数Φ求解平面应 力问题时， 应Φ满足
⑴ A内相容方程 4Φ 0.
(a)
⑵ S = S上应力边界条件,
l x m yx s f x , m y l xy s f y . (b)
水平截面上的应力分布如图所示。 σx σy
yx
楔形体解答的应用: 作为重力坝的参考解答, 分缝重力坝接近于平面应力问题， 在坝体中部的应力，接近于楔形体的解答。 重力坝规范规定的解法
——材料力学解法（重力法）。 重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。
例题1 已知
(a) Φ Ay 2 (a2 x2 ) BxyC(x2 y2 ); (b) Φ Ax 4 Bx3 yCx2 y2 Dxy2 Ey4 , 试问它们能否作为平面问题的应力函数？
最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
的应力和边界面力。如图示。
2a
o
2a y
b
xo
b
x
o
x
b
y b 2c y 2c

弹性力学课件第三讲平面问题的直角坐标解答


弹性力学的基本方程
03
平衡方程
平衡方程是弹性力学的基本方程之一，它描述了弹性体在力的作用下保 持平衡状态的条件。在直角坐标系中，平衡方程可以表示为
$frac{partialsigma_{x}}{partial x} + frac{partialsigma_{y}}{partial y} + frac{partialsigma_{z}}ambdafrac{partial u}{partial x} + 2mufrac{partial v}{partial x}$
$sigma_{y} = lambdafrac{partial v}{partial y} + 2mufrac{partial u}{partial y}$
弹性地基的承载问题
总结词
弹性地基的承载问题是研究地基在垂直载荷 作用下的沉降和应力分布的问题，也是平面 问题的一个应用实例。
详细描述
在建筑、道路和桥梁建设中，地基的承载能 力是关键因素。当建筑物或道路桥梁等设施 施加垂直载荷时，地基会发生沉降。利用弹 性力学中的平面问题直角坐标解答方法，可 以分析地基的沉降和应力分布，为工程设计 和安全评估提供依据。
结论与展望
06
本讲内容的总结
01
掌握了弹性力学平面问题直角坐标解答的基本原理和方法，包括应力、 应变、位移等基本概念及其计算公式。
02
理解了弹性力学平面问题直角坐标解答的步骤和流程，包括建立平衡 方程、几何方程、物理方程等。
03
学会了如何运用数值方法求解弹性力学平面问题，如有限元法、有限 差分法等。
04
掌握了弹性力学平面问题直角坐标解答的常见问题及其解决方法，如 边界条件的处理、应力集中现象等。
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3－3位移分量的求出
例1：两边简支梁（如图） 位移边界条件
M
o
xALeabharlann M u xy00 0 ; v xy00 0 ; v xyl0 0
把位移边界条件带入（d） M u xy y u0 EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI
3－3位移分量的求出
例2：悬臂梁（如图） 位移边界条件（近似）
v 0, 0 x x l0 y
M
u0 xyl0 0 , v0 xyl0
把位移边界条件带入（d），求得
Ml Ml , u 0 0 , v0 EI 2 EI
ql
q
o
l l
h/2 h/2
ql
x
Fs x qx ;
2）求应力 My Iz 3）求挠度
M
q 2 l x2 2
y
图 3－5
Fs S z* I zb
1 ql 3 q 4 ql 3 w x x EI 12 24 24
x
Northeastern university
Northeastern university
3-1逆解法与半逆解法
ay3 例5 （1）设：
（体力不计）
多项式解答
考察是否满足相容方程（2-25），－－满足 !!!!!!! （2）由（2-24）式求得应力分量
x 6ay y 0 xy yx 0
（3）根据应力边界条件
M M 2 u xy f1 y ; v y f2 x EI 2 EI
（c）
Northeastern university
3－3位移分量的求出
把（c）带入（b）的最后一式
df 2 x M df y x 1 0 dx EI dy
用分离变量法
f1 y y u0 ,
多项式解答
1）针对所要求解的问题，根据边界形状和受力情况，假设部分或全部应力 分量的函数形式；
2）推出应力函数的形式；
3）代入相容方程，求出应力函数的具体表达形式； 4）再按（2-24）式由应力函数求得应力分量； 5）考查应力分量是否满足全部边界条件（多连体还要满足位移单值）； 6）满足是问题的解，不满足重新假设求解。
3－2 矩形梁的纯弯曲
检验能否满足边界条件及利用边界条件确定常数a （1）上下两个主要边界：

y y h 2
0,

xy y h 2
0
满足
（2）左右两个次要边界切应力：

h 2 h 2
xy x 0
0,

xy x l
0
满足 引入圣维南原理
（3）左右两个次要边界正应力：
fx f y 0
（1）线性应力函数对应于无体力、无面力、无应力的状态； （2）把平面问题的应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。
Northeastern university
3-1逆解法与半逆解法
ax2 例2 （1）设：
（体力不计）
多项式解答
考察是否满足相容方程（2-25），－－满足 !!!!!!! （2）由（2-24）式求得应力分量
（3）相对于材料力学而言，弹性力学的位移分量更全面的表 示了梁的变形情况；
E , （4）对于平面应变情况，只要 E 。 2 1 1
Northeastern university
3－4简支梁受均布载荷
Northeastern university
3-4 简支梁受均布载荷
（I）材料力学怎样解决简支梁受均布 载荷的问题？可以求解那些量？ 1）求内力

x
x 0,l
dy 0,

x
h 2 h 2
x 0,l
ydy M
前式自动满足，后式导出 a
2M h3
Northeastern university
3－2 矩形梁的纯弯曲
因此，应力分量为：
12M x 3 y y 0 xy yx 0 h 讨论：
3-4 简支梁受均布载荷
（2）半逆解法怎样求解这个问题？
半逆解法的基本思路：
1）针对所要求解的问题，根据边界形状和受力情况，假设部分或全部应力
分量的函数形式；
2）推出应力函数的形式； 3）代入相容方程，求出应力函数的具体表达形式； 4）再按（2-24）式由应力函数求得应力分量； 5）考查应力分量是否满足全部边界条件（多连体还要满足位移单值）； 6）满足是问题的解，不满足重新假设求解。
简支梁的位移分量：
y
l
（d）
M l M M 2 u y （3-3） l x x x y, v EI 2 2 EI 2 EI
令 y 0 简支梁的挠度方程 v y 0
M l x x 2 EI
Northeastern university
3
可以解决矩形梁受纯弯曲的问题。
问题 应力分量能否满足边界条件？ 怎样导出应力分量？（即怎样确定常数a？？？？？？） 怎样导出位移分量？
x 6ay y 0 xy yx 0
M
0
h/2 y h/2
M
利用边界条件确定常数a
x
1
h

l
y
Northeastern university
Northeastern university
3-1逆解法与半逆解法
逆解法的基本思路：
（1）设定各种形式的应力函数
多项式解答

，要求：满足相容方程
4 4 4 2 2 2 4 0 4 x x y y
（2）由（2-24）式求得应力分量
4 0
（2-25）
2 x 2 fx x y
4
4）由应力函数求解应力分量
Northeastern university
3-1逆解法与半逆解法
例1 （1）设： a bx cy
多项式解答
（体力不计）
考察是否满足相容方程（2-25），－－满足 !!!!!!! （2）由（2-24）式求得应力分量
x 0 y 0 xy yx 0
（3）根据应力边界条件
x 0 y 2a xy yx 0
2a
（3）根据应力边界条件，在上下边界上分别 受到向上和向下的均布面力2a。
0
2a
x
y
Northeastern university
3-1逆解法与半逆解法
例3 （1）设： bxy
（体力不计）
多项式解答
考察是否满足相容方程（2-25），－－满足 !!!!!!! （2）由（2-24）式求得应力分量
x 0 y 0 xy yx b
b
（3）根据应力边界条件，在左右两边分别 有向下和向上的均布面力；在上下两 边分别有向右和向左的均布面力。
b 0
x
y
Northeastern university
3-1逆解法与半逆解法
cy2 例4 （1）设：
（体力不计）
多项式解答
2）几何方面：
y

3）物理方面：
My Iz
Ey

4）静力学方面：
5）挠曲线的近似微分方程：
M x d 2w dx 2 EI
Northeastern university
3－2 矩形梁的纯弯曲
（2）弹性力学怎么解决矩形梁的纯弯曲问题？？？？？ 上节讨论了，应力函数 ay
2
o
x
l
y
（3－4）
悬臂梁的位移分量： M M M 2 2 u l x y , v y l x EI 2 EI 2 EI
梁轴线的挠度方程
v y 0
M 2 l x 2 EI
Northeastern university
3－3位移分量的求出
Northeastern university
3-4 简支梁受均布载荷
1）假设应力分量的函数形式
q
ql
y f y
2）根据应力分量导出应力函数的表达式
将 y f y 带入（2－24）式
o
l l
h/2 h/2
ql
x
y
图 3－5
2 f y 2 x
x2 f y xf1 y f 2 y （b） 2
3）由相容方程求解应力函数（将（b）带入相容方程）
4 4 d 4 f2 y d 2 f y 1 d f y 2 d f1 y x x 2 0 4 4 4 2 2 dy dy dy dy
Northeastern university
3-4 简支梁受均布载荷
x2 A By Ay3 By 2 Cy D x Ey 3 Fy 2 Gy y 5 Hy 3 Ky 2 （e） 2 10 6
3－3位移分量的求出
（1）把应力分量带入物理方程（2-12）求得应变分量；
M M x y, y y, xy 0 EI EI
u M v M v u y, y, 0 x EI y EI x y
前两式积分
（a）
（2）把应变分量带入几何方程（2-8）得到用应变分量表示的位移方程组； （b）
Northeastern university
第三章
平面问题的直角坐标解答
Northeastern university
第三章
平面问题的直角坐标解答