弹性力学-03平面问题的直角坐标解答
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03平面问题的直角坐标解答
7
若取应力函数为 Φ = ax 2，则应力分量为： σ x = 0, σ y = 2a,τ xy = 0 。对应图（a）所示的矩形板； 若取应力函数为 Φ = bxy ，则应力分量为： σ x = 0, σ y = 0,τ xy = −b 。对应图（b）所示的矩形板； 若取应力函数为 Φ = cy 2，则应力分量为： σ x = 2c, σ y = 0,τ xy = 0 。对应图（c）所示的矩形板；
4
一.逆解法 所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容 方程 ∂2 ∂ 2 ∂ 2Φ ∂ 2Φ 2 + 2 2 + 2 = 0 ∂x ∂y ∂x ∂y 的应力函数 Φ 。
∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ 并根据 σ x = 2 − f x x，σ y = 2 − f y y，τ xy = − ∂y ∂x ∂x∂y
11
如当两端的面力的等效力系组成大小为ah3/2的力 偶时，该解答在离两端较远的地方，误差是可以忽略 不计的。 圣维南原理处理边界条件时，起着十分重要的作 用。处理时要分清主要边界和次要边界。
12
第四节 简支梁受均布荷载
设有矩形截面的简支梁，深度为h，长度为2l，体 力不计，受均布荷载q，由两端的反力ql维持平衡， 如图所示。这个问题用逆解法求解。 q是不随x变化的常量， 因此可假设σy不随x变 化，仅是y的函数：
第二节 矩形梁的纯弯曲
设有矩形截面的长梁，两端作用的力偶矩为M，则 矩形截面长梁发生纯弯曲。应力函数取为三次函数， 即 Φ =ay3 ，显然满足相容方程，相应的应力分量为 σx = 6ay σy =0 τxy = τyx = 0 对应下列形状的的矩形梁，对应的面力如下：
10
对应的面力在两侧必须是线性分布的，上述应力 分量才是完全精确的，如果按照其他静力等效的分布 形式，上述分量的解答不是精确的，但是，当梁的高 度较小时，梁的上下边界为主要边界，两端边界成为 次要边界，这时，根据圣维南原理，该解答在离两端 较远处仍是正确的。
若取应力函数为 Φ = ax 2，则应力分量为： σ x = 0, σ y = 2a,τ xy = 0 。对应图（a）所示的矩形板； 若取应力函数为 Φ = bxy ，则应力分量为： σ x = 0, σ y = 0,τ xy = −b 。对应图（b）所示的矩形板； 若取应力函数为 Φ = cy 2，则应力分量为： σ x = 2c, σ y = 0,τ xy = 0 。对应图（c）所示的矩形板；
4
一.逆解法 所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容 方程 ∂2 ∂ 2 ∂ 2Φ ∂ 2Φ 2 + 2 2 + 2 = 0 ∂x ∂y ∂x ∂y 的应力函数 Φ 。
∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ 并根据 σ x = 2 − f x x，σ y = 2 − f y y，τ xy = − ∂y ∂x ∂x∂y
11
如当两端的面力的等效力系组成大小为ah3/2的力 偶时，该解答在离两端较远的地方，误差是可以忽略 不计的。 圣维南原理处理边界条件时，起着十分重要的作 用。处理时要分清主要边界和次要边界。
12
第四节 简支梁受均布荷载
设有矩形截面的简支梁，深度为h，长度为2l，体 力不计，受均布荷载q，由两端的反力ql维持平衡， 如图所示。这个问题用逆解法求解。 q是不随x变化的常量， 因此可假设σy不随x变 化，仅是y的函数：
第二节 矩形梁的纯弯曲
设有矩形截面的长梁，两端作用的力偶矩为M，则 矩形截面长梁发生纯弯曲。应力函数取为三次函数， 即 Φ =ay3 ，显然满足相容方程，相应的应力分量为 σx = 6ay σy =0 τxy = τyx = 0 对应下列形状的的矩形梁，对应的面力如下：
10
对应的面力在两侧必须是线性分布的，上述应力 分量才是完全精确的，如果按照其他静力等效的分布 形式，上述分量的解答不是精确的，但是，当梁的高 度较小时，梁的上下边界为主要边界，两端边界成为 次要边界，这时，根据圣维南原理，该解答在离两端 较远处仍是正确的。
弹性力学与有限元程序设计--第三章
—— 对应于矩形梁的纯弯曲问题。
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-2 矩形梁的纯弯曲
应力函数取三次多项式
ay
3
M
h
M
2 2
对应的应力分量：
x 6ay y 0 xy yx 0
（a）
x
x
图
y
y
l
h
x
1
h
结论：应力函数（a）能解决 矩形梁受纯弯曲的问题。 如图，取单位宽度的梁来考察，并命每单位宽度上力偶的矩为 M 。这 里 M 的因次是[力][长度]/[长度]，即[力]。 边界条件： 上下(主要)边界：
h 2 h 2
h 2 h 2
前一式总能满足，而后一式要求：
a 2M h3
代入式（a），得：
x
12 M y y 0 xy yx 0 3 h
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-3 位移分量的求出
1. 形变分量与位移分量
（1）形变分量 由前节可知，其应力分量为：
x M y
u x l 0, v x l 0
y 0 y 0
v x
x l y 0
0
o
l
x
y
（中点不动）
u0 0
M 2 l l v0 0 2 EI
（轴线在端部不转动）
u0 0
v0 Ml 2 EI
2
代入式（f），有
代回式（f），有
u M (l x) y EI
2 x 2 fx x y
(2-25)
2 y 2 fy y x
(2-24)
（b）边界条件
弹性力学__徐芝纶版第三章
4 f
y4
0
4 f 0
一、逆解法和半逆解法 （一）逆解法的基本步骤：
取满足相容方程的 f
求出应力分量 x , y , xy
根据边界条件求出面力
考察能解决什么问题
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答
（二）半逆解法的基本步骤：
根据问题的特 点设出部分应 力分量
是 结束
否
求出应力函数 f
x
§3-3 位移分量的求出
0 u0 v0 0
y
z
u P x Eh
P x
v P y
Eh
习题
[1]写出边界条件。 解：
x x0,xb g( y h1)
0 xy x0,xb y y0 gh1, xy y0 0
y
P
hE
xy 0
u P x Eh
v P
y Eh
u v 0 y x
u
P Eh
x
f1y
v
P
Eh
y
f2 x
代入第三式得： df1 y df2 x 0
dy
dx
移项得： df1 y df2 x
u yh2 0
v yh2 0
hx1
g
b
h2
bb
y 22
FN gbh1
b
下边的等效应力边界条件： 0 y yh2 dx gbh1
b
0
xy
dx 0
y h2
b 0
y
y h2
弹性力学第3章(徐芝纶第五版)
最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
4 楔形体受重力和液体压力 问题
设有楔形体， 左面垂直，顶角为α， 下端无限长，受重 力及齐顶液体压力,
fx 0, f y 1g.
o
α 2g
y
x
n
α
2
1g
用半逆解法求解。
（1）用量纲分析法假设应力: （2）由应力~Φ关系式，Φ应为x,y的三次式，
（3）Φ 满足相容方程 4Φ 0.
（4）由 Φ求应力， （5）考察边界条件——本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件:
o
M
y
h/2
h/2
x
M
l
( l >>h)
半逆解法
3.半逆解法 步骤：
⑴ 假设应力的函数形式 （根据受力情况， 边界条件等）；
⑵ 由应力(d)式，推测 的Φ 函数形式；
⑶ 代入 4Φ，解0 出 ； Φ
半逆解法
⑷ 由式（d），求出应力；
⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）. 如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。
为b,如图,水的密
度为 2 ，试求
弹性力学第三章
第三章 平面问题的直角坐标解答
多项式解答 位移分量的求出 简支梁受均布荷载 楔形体受重力和液体压力
1 多项式解答
按Φ 求解
1. 当体力为常量，按应力函数Φ求解平面应 力问题时， 应Φ满足
⑴ A内相容方程 4Φ 0.
(a)
⑵ S = S上应力边界条件,
l x m yx s f x , m y l xy s f y . (b)
水平截面上的应力分布如图所示。 σx σy
yx
楔形体解答的应用: 作为重力坝的参考解答, 分缝重力坝接近于平面应力问题， 在坝体中部的应力，接近于楔形体的解答。 重力坝规范规定的解法
——材料力学解法（重力法）。 重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。
例题1 已知
(a) Φ Ay 2 (a2 x2 ) BxyC(x2 y2 ); (b) Φ Ax 4 Bx3 yCx2 y2 Dxy2 Ey4 , 试问它们能否作为平面问题的应力函数？
最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
的应力和边界面力。如图示。
2a
o
2a y
b
xo
b
x
o
x
b
y b 2c y 2c
多项式解答 位移分量的求出 简支梁受均布荷载 楔形体受重力和液体压力
1 多项式解答
按Φ 求解
1. 当体力为常量，按应力函数Φ求解平面应 力问题时， 应Φ满足
⑴ A内相容方程 4Φ 0.
(a)
⑵ S = S上应力边界条件,
l x m yx s f x , m y l xy s f y . (b)
水平截面上的应力分布如图所示。 σx σy
yx
楔形体解答的应用: 作为重力坝的参考解答, 分缝重力坝接近于平面应力问题， 在坝体中部的应力，接近于楔形体的解答。 重力坝规范规定的解法
——材料力学解法（重力法）。 重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。
例题1 已知
(a) Φ Ay 2 (a2 x2 ) BxyC(x2 y2 ); (b) Φ Ax 4 Bx3 yCx2 y2 Dxy2 Ey4 , 试问它们能否作为平面问题的应力函数？
最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
的应力和边界面力。如图示。
2a
o
2a y
b
xo
b
x
o
x
b
y b 2c y 2c
弹性力学第三章
• Select satisfying the compatibility equation
设定 ，并 满足相容方程 4 =0 (2.12.11)
• find the stress components by 由下式求出应力分量
x=2/y2-Xx y= 2/x2-Yy xy=-2/xy
(2.12.10)
compression (c<0) of a rectangular plate in x
direction. P41 Fig.3.1.1(c)
弹性力学 第三章
8
C. =cy2 ,
• 满足相容方程 4 =0
X=0, Y=0
• 由下式求出应力分量 x=2/y2= 2c y= 2/x2=0 xy=-2/xy=0
the coordinate axes, find the surface force
components by
(lx+m yx)s=X
(my+lxy)s =Y
• the stress function =cy2 can solve the problem
of uniform tension (c>0) or uniform
x=2/y2=0 y= 2/x2=2a xy=-2/xy=0
• 对于具有平行于坐标轴的边缘的矩形板，求出
其表面力分量
(lx+m yx)s=X
(my+lxy)s =Y
• 对和坐标轴平行的矩形板求出面力分量知
=ax2 能解决矩形板y向受均匀拉力(a>0)或 均
匀压力(a<0)的问题。P41 Fig.3.1.1(a)
of uniform tension (a>0) or uniform
弹性力学课件第三讲平面问题的直角坐标解答
弹性力学的基本方程
03
平衡方程
平衡方程是弹性力学的基本方程之一，它描述了弹性体在力的作用下保 持平衡状态的条件。在直角坐标系中，平衡方程可以表示为
$frac{partialsigma_{x}}{partial x} + frac{partialsigma_{y}}{partial y} + frac{partialsigma_{z}}ambdafrac{partial u}{partial x} + 2mufrac{partial v}{partial x}$
$sigma_{y} = lambdafrac{partial v}{partial y} + 2mufrac{partial u}{partial y}$
弹性地基的承载问题
总结词
弹性地基的承载问题是研究地基在垂直载荷 作用下的沉降和应力分布的问题，也是平面 问题的一个应用实例。
详细描述
在建筑、道路和桥梁建设中，地基的承载能 力是关键因素。当建筑物或道路桥梁等设施 施加垂直载荷时，地基会发生沉降。利用弹 性力学中的平面问题直角坐标解答方法，可 以分析地基的沉降和应力分布，为工程设计 和安全评估提供依据。
结论与展望
06
本讲内容的总结
01
掌握了弹性力学平面问题直角坐标解答的基本原理和方法，包括应力、 应变、位移等基本概念及其计算公式。
02
理解了弹性力学平面问题直角坐标解答的步骤和流程，包括建立平衡 方程、几何方程、物理方程等。
03
学会了如何运用数值方法求解弹性力学平面问题，如有限元法、有限 差分法等。
04
掌握了弹性力学平面问题直角坐标解答的常见问题及其解决方法，如 边界条件的处理、应力集中现象等。
弹性力学平面问题的直坐标系解答
物理方程描述了应力与应变之 间的关系，它是通过材料的弹 性常数建立的。在直坐标系中 ，物理方程可以表示为
03
直坐标系中的弹性力学平面问题
直坐标系中的平衡方程
80%
平衡方程概述
在直坐标系中，弹性力学平面问 题的平衡方程描述了物体在受力 作用下的静力平衡状态。
100%
平衡方程的推导
通过分析物体的受力情况，结合 牛顿第二定律，可以推导出平衡 方程的具体形式。
弹性力学的基本概念
应力和应变
在弹性力学中，物体在外力作用下会发生形变，这 种形变程度可以用应力和应变来描述。
胡克定律
胡克定律指出，在弹性范围内，物体的应力和应变 之间存在线性关系，即应力与应变成正比。
边界条件和初始条件
在弹性力学问题中，物体边界上的条件和问题开始 前的初始状态对于确定物体的应力和应变是必要的 。
总结词
考虑弹性体在平面内受拉伸的情况， 分析其应力分布和变形。
详细描述
在直坐标系中，设弹性体受到沿x轴方 向的拉伸力作用，根据弹性力学基本 方程，可以求出弹性体内各点的应力 和应变分布，以及位移场。
圆盘受压问题
总结词
研究圆盘在受到垂直向下的均匀 压力作用下的应力分布和变形。
详细描述
在直坐标系中，设圆盘中心位于 原点，半径为R。根据弹性力学基 本方程，可以求出圆盘内各点的 应力和应变分布，以及位移场。
弹性力学平面问题的直坐标系 解答
目
CONTENCT
录
• 引言 • 弹性力学平面问题的基本方程 • 直坐标系中的弹性力学平面问题 • 解法举例 • 结论
01
引言
主题简介
弹性力学平面问题
在弹性力学中，平面问题指的是应变和应力分量在空间中仅随两 个坐标变量变化的情形。
河南理工弹性力学-节楔形体受重力和液体压力
半逆解法的求解步骤
根据弹性体的边界形状 和受力情况
假定部分或全部应力 分量的函数形式
反推应力函数的函数 形式 由相容方程求解应力 函数 考察边界条件
根据应力分量与应力函数之 间的关系式
求出全部应力分量的 具体表达式
确定待定常数
本讲结束！
y 应力分量变为：
x y xy 2gy
6ax 2by 2bx
1gy
b
3.5 楔形体受重力和液体压力
（2）右边斜边界的边界条件 O
fy 0
2g
x
x y tan ; 面力： f x 边界线方程：
l
x x y tan
1g
m
xy x y tan
0
2gy
n
2
l
xy x y tan
针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况， 假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函 数的函数形式，然后代入相容方程，求出含有待定常数的应力 函数的表达式，再根据应力分量与应力函数之间的关系，求出 其余的应力分量，并考察这些应力分量是否满足全部的应力边 界条件（对于多连体，还需满足位移单值条件）。如果所有的 条件都能满足，自然就得出正确的解答；如果某一方面的条件 不能满足，就要另作假设，重新进行求解。
2 g
2
cot 2
将系数a，b代入到(b)式中
3.5 楔形体受重力和液体压力
应力分量变为： x 2 gy 3 2 g cot 2 g cot x g cot 1g y y 1 2 2 2 gx cot 2 xy yx
1g
2
O
弹性力学简明教程(第四版)第三章课后习题答案
③在 x=0，x=l 的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式： x=0 上 x=l 上
x向主矢：FN1 = y向主矢：FS1 = 主矩：M 1 =
h/2 -h/2
h/2
h / 2 h/2
f x dy 0, f y dy F ,
FN2 FS2
h/2
h / 2 h/2
h / 2
④在次要边界 x l 上，分布面力为
f x x l x x l f y x l xy
主矩： 弹性体边界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如图所示
M'
x x l ydy h / 2 2blydy 0 h / 2
（3） cxy
3
将应力函数代入公式（2-24） ，得应力分量表达式
x 6cxy, y 0, xy yx 3cy 2
考察应力边界条件，主要边界,由公式（2-15）得
y
在
h h h f x y bh, f y y 0 2 2 2 主要边界，上边界上，面力为
在
y
h h h f x y bh, f y y 0 2 2 2 ，下边界上，面力为
面力的主矢、主矩为 x 向主矢
Fx
x x l dy h / 2 6clydy 0 h / 2
h/2 h / 2
h/2
h/2
y 向主矢：
Fy
h/2
y x l
dy
h/2
h/2
h / 2
ch 3cy dy 1 4
2
3
主矩：
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第三章 平面问题的直角坐标解答
要点 —— 用逆解法、半逆解法求解平面弹性
力学问题。
主要内容
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答 §3-2 矩形梁的纯弯曲 §3-3 位移分量的求出 §3-４ 简支梁受均布载荷 §3-５ 楔形体受重力和液体压力
应力函数法求解平面问题的基本步骤 （常体力情形）
（1） 先由方程（2-27）求出应力函数： (x, y)
f
( y)
积分得：
x xf ( y) f1( y)
(a)
x2 2
f ( y) xf1( y)
f2 ( y)
(b)
f ( y), f1( y), f2 ( y) —— 待定函数
x
xf
(y)
f1( y)
1 (a)
ql
q
ql
x2 2
f ( y) xf1( y) f2 ( y) (b)
x
M I
y
y 0 xy 0
(a)
l
y
x
1 E
My I
y
E
My I
（2）位移分量
1
xy 0
(b)
平面应力情况下的物理方程：
将式（b）代入几何方程得：
x
1 E
(
x
y)
y
1 E
(
y
x)
xy
xy
G
将式（a）代入得：
x
u x
1 E
My I
y
v y
E
My I
(c)
xy
u y
v x
0
（2）位移分量
（2） 将应变分量 x , y , xy 代入几何方程，并积分求得位移分量的
表达式；
（3） 由位移边界条件确定表达式中的常数，得最终结果。
§3-3 位移分量的求出
以纯弯曲梁为例，说明如何由 x , y , xy 求出形变分量、位移分量？
1. 形变分量与位移分量
M
（1）形变分量
M xh
由前节可知，其应力分量为：
l
v0
0
Ml 0
EI
求得：
u0 0
Ml 2 v0 2EI
Ml
EI
此结果与前面情形相同。
u
M EI
xy y
u0
（为什么？）
v
M
2EI
y2
M 2EI
x2
x v0
半逆解法思路：
（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），
假设部分应力分量 x , y , xy 的某种函数形式 ； （2）根据 x , y , xy 与应力函数φ(x,y)的关系及 4 0，求
x2
x v0
（2）位移分量
M
u
M EI
xy y
u0
(f)
v
M
2EI
y2
M 2EI
x2
x v0
y
l
M xh
1
式中：u0、v0、ω 由位移边界条件确定。 讨论：
（1） u M x 当 x = x0 =常数 u
y EI
y
M EI
x0
常数
u
x x0
——即铅垂方向微段 dy 的转角。
y
u |xx0 y
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程
4 x4
24a
4 2 x2y2 8c
4 y4 24e
代入：4 0
得 24a 8c 24e 0
3a c 3e 0
可见，对于函数：
ax4 bx3 y cx2 y2 dxy3 ey4
其待定系数须满足下述关系才能作为应力函数：
3a c 3e 0
x x0
M EI
x0
常数
说明： 同一截面上的各铅垂 线段转角相同。
横截面保持平面 —— 材力中纯弯曲“平面假设”成立。
u
M EI
xy y
u0
v
M
2EI
y2
M 2EI
x2
x v0
（2） 将 v 对 x 求二阶导数得：
2v x2
M EI
—— 材料力学中的挠曲线近似微分方程
2. 位移边界条件的利用
2EI
2EI
u M (l x) y
EI
(3-4)
h/2
v M (l x)2 M y2
h/2
2EI
2EI
挠曲线方程：
v
|y0
M 2EI
(l
x)2
与材料力学中结果相同
说明：（1） 求位移的过程：
（a）将应力分量代入物理方程：
x
1 E
( x
y)
y
1 E
(
y
x)
xy
xy
G
（b）再将应变分量代入几何方程积分求位移；
x
u x
y
v y
xy
u y
v x
（c）最后利用位移边界条件，确定积分常数。
（2） 若为平面应变问题，则将材料常数E、μ作相应替换。
（3） 若取固定端边界条件为：
u xl 0, v xl
y0
y0
（中点不动）
0
u y
xl y0
0
h/2 h/2
（中点处竖向线段转角为零）
得到：
u0 0
Ml 2 2EI
0
y
2 x2
fy y
0
xy
2 xy
0
即有： x y xy 0
结论：（1）一次多项式对应于无体力、无面力、无应力状态；
（2）在应力函数上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。
2. 二次多项式
（1） ax2 bxy cy2 其中： a、b、c 为待定系数。
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有
出φ(x,y) 的形式；
（3）最后利用式（2-26）计算出 x , y , xy 并让其满足边界条件和
位移单值条件（多连体问题）。
x
2 y2
fxx
y
2 x2
fy y
xy
2 xy
4
4 4
2
0
x4 x2y2 y4
4 0
(2-26) (2-27)
下面用逆解法，将应力函数φ(x,y)取为一些简单的多项式函数，
4
4 4
x4 2 x2y2 y4 0
4 0
(2-27)
（2）然后将 (x, y) 代入式（2-26）求出应力分量： x , y , xy
x
2 y2
fxx
y
2 x2
fy y
xy
2 xy
(2-26)
x
2 y2
2 y x2
xy
2 xy
(2-28)
（无体力情形）
（3） 再让 x , y , xy 满足边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
0
2
a
2M h3
x
12M h3
y
x
M I
y
其中： I 1 h3 12
可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。
说明：
(1) 仅当梁端的法向面力线性分布， 且在端面形心处为零，而切向面 力亦为零时，结果才是精确解。
(2) 若按其它形式分布，如： 则按圣维南原理，此结果 仅在两端误差较大，而离 端部较远处误差较小。为 “圣维南意义下的精确 解”。
考察能解决什么样的问题。
1. 一次多项式
（1） (x, y) ax by c 其中： a、b、c 为任意常数。
（2）
检验φ(x,y)
是否满足双调和方程： 4
4 x4
2
4 x2y2
4 y4
0
显然φ(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。
（3） 对应的应力分量（设体力为零）：
x
2 y2
fxx
4 4
4
0, 0,
0
x4
y4
x2y2
4 0 (可作为应力函数 )
（3） 由式（2-26）计算应力分Hale Waihona Puke ： （设 fx = fy = 0 ）
x
2 y2
2c
y
2 x2
2a
xy
2 xy
b
2a
2c
2c
结论： 二次多项式对应于均匀应力分布。
x
y 2a xy b
假设：a >0 , b >0, c >0
应力函数的求解方法： （1）逆解法； （2）半逆解法。
§3-1 逆解法和半逆解法 多项式解答
（1）逆解法 应力函数 (x求, 解y)方法
（1）先设定各种形式的、满足相容方程（2-27）的应力函数φ(x,y) ；
（2）然后利用应力分量计算式（2-26），求出 x , y , xy ；
（3）再利用应力边界条件，来考察这些应力函数φ(x,y) 对应什么样 的边界面力，从而得知所设应力函数φ(x,y) 可以求解什么问题。
x4
y4
x2y2
4 0 (可作为应力函数 )
（3） 由式（2-26）计算应力分量： (设 fx = fy = 0 )
x
2 y2
2cx
6dy
y
2 x2
6ax
2by
xy
2 2bx 2cy xy
结论： 三次多项式对应于线性应力分布。
4. 四次多项式
（1） ax4 bx3 y cx2 y2 dxy3 ey4
φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。
（3） 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。
要点 —— 用逆解法、半逆解法求解平面弹性
力学问题。
主要内容
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答 §3-2 矩形梁的纯弯曲 §3-3 位移分量的求出 §3-４ 简支梁受均布载荷 §3-５ 楔形体受重力和液体压力
应力函数法求解平面问题的基本步骤 （常体力情形）
（1） 先由方程（2-27）求出应力函数： (x, y)
f
( y)
积分得：
x xf ( y) f1( y)
(a)
x2 2
f ( y) xf1( y)
f2 ( y)
(b)
f ( y), f1( y), f2 ( y) —— 待定函数
x
xf
(y)
f1( y)
1 (a)
ql
q
ql
x2 2
f ( y) xf1( y) f2 ( y) (b)
x
M I
y
y 0 xy 0
(a)
l
y
x
1 E
My I
y
E
My I
（2）位移分量
1
xy 0
(b)
平面应力情况下的物理方程：
将式（b）代入几何方程得：
x
1 E
(
x
y)
y
1 E
(
y
x)
xy
xy
G
将式（a）代入得：
x
u x
1 E
My I
y
v y
E
My I
(c)
xy
u y
v x
0
（2）位移分量
（2） 将应变分量 x , y , xy 代入几何方程，并积分求得位移分量的
表达式；
（3） 由位移边界条件确定表达式中的常数，得最终结果。
§3-3 位移分量的求出
以纯弯曲梁为例，说明如何由 x , y , xy 求出形变分量、位移分量？
1. 形变分量与位移分量
M
（1）形变分量
M xh
由前节可知，其应力分量为：
l
v0
0
Ml 0
EI
求得：
u0 0
Ml 2 v0 2EI
Ml
EI
此结果与前面情形相同。
u
M EI
xy y
u0
（为什么？）
v
M
2EI
y2
M 2EI
x2
x v0
半逆解法思路：
（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），
假设部分应力分量 x , y , xy 的某种函数形式 ； （2）根据 x , y , xy 与应力函数φ(x,y)的关系及 4 0，求
x2
x v0
（2）位移分量
M
u
M EI
xy y
u0
(f)
v
M
2EI
y2
M 2EI
x2
x v0
y
l
M xh
1
式中：u0、v0、ω 由位移边界条件确定。 讨论：
（1） u M x 当 x = x0 =常数 u
y EI
y
M EI
x0
常数
u
x x0
——即铅垂方向微段 dy 的转角。
y
u |xx0 y
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程
4 x4
24a
4 2 x2y2 8c
4 y4 24e
代入：4 0
得 24a 8c 24e 0
3a c 3e 0
可见，对于函数：
ax4 bx3 y cx2 y2 dxy3 ey4
其待定系数须满足下述关系才能作为应力函数：
3a c 3e 0
x x0
M EI
x0
常数
说明： 同一截面上的各铅垂 线段转角相同。
横截面保持平面 —— 材力中纯弯曲“平面假设”成立。
u
M EI
xy y
u0
v
M
2EI
y2
M 2EI
x2
x v0
（2） 将 v 对 x 求二阶导数得：
2v x2
M EI
—— 材料力学中的挠曲线近似微分方程
2. 位移边界条件的利用
2EI
2EI
u M (l x) y
EI
(3-4)
h/2
v M (l x)2 M y2
h/2
2EI
2EI
挠曲线方程：
v
|y0
M 2EI
(l
x)2
与材料力学中结果相同
说明：（1） 求位移的过程：
（a）将应力分量代入物理方程：
x
1 E
( x
y)
y
1 E
(
y
x)
xy
xy
G
（b）再将应变分量代入几何方程积分求位移；
x
u x
y
v y
xy
u y
v x
（c）最后利用位移边界条件，确定积分常数。
（2） 若为平面应变问题，则将材料常数E、μ作相应替换。
（3） 若取固定端边界条件为：
u xl 0, v xl
y0
y0
（中点不动）
0
u y
xl y0
0
h/2 h/2
（中点处竖向线段转角为零）
得到：
u0 0
Ml 2 2EI
0
y
2 x2
fy y
0
xy
2 xy
0
即有： x y xy 0
结论：（1）一次多项式对应于无体力、无面力、无应力状态；
（2）在应力函数上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。
2. 二次多项式
（1） ax2 bxy cy2 其中： a、b、c 为待定系数。
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有
出φ(x,y) 的形式；
（3）最后利用式（2-26）计算出 x , y , xy 并让其满足边界条件和
位移单值条件（多连体问题）。
x
2 y2
fxx
y
2 x2
fy y
xy
2 xy
4
4 4
2
0
x4 x2y2 y4
4 0
(2-26) (2-27)
下面用逆解法，将应力函数φ(x,y)取为一些简单的多项式函数，
4
4 4
x4 2 x2y2 y4 0
4 0
(2-27)
（2）然后将 (x, y) 代入式（2-26）求出应力分量： x , y , xy
x
2 y2
fxx
y
2 x2
fy y
xy
2 xy
(2-26)
x
2 y2
2 y x2
xy
2 xy
(2-28)
（无体力情形）
（3） 再让 x , y , xy 满足边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
0
2
a
2M h3
x
12M h3
y
x
M I
y
其中： I 1 h3 12
可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。
说明：
(1) 仅当梁端的法向面力线性分布， 且在端面形心处为零，而切向面 力亦为零时，结果才是精确解。
(2) 若按其它形式分布，如： 则按圣维南原理，此结果 仅在两端误差较大，而离 端部较远处误差较小。为 “圣维南意义下的精确 解”。
考察能解决什么样的问题。
1. 一次多项式
（1） (x, y) ax by c 其中： a、b、c 为任意常数。
（2）
检验φ(x,y)
是否满足双调和方程： 4
4 x4
2
4 x2y2
4 y4
0
显然φ(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。
（3） 对应的应力分量（设体力为零）：
x
2 y2
fxx
4 4
4
0, 0,
0
x4
y4
x2y2
4 0 (可作为应力函数 )
（3） 由式（2-26）计算应力分Hale Waihona Puke ： （设 fx = fy = 0 ）
x
2 y2
2c
y
2 x2
2a
xy
2 xy
b
2a
2c
2c
结论： 二次多项式对应于均匀应力分布。
x
y 2a xy b
假设：a >0 , b >0, c >0
应力函数的求解方法： （1）逆解法； （2）半逆解法。
§3-1 逆解法和半逆解法 多项式解答
（1）逆解法 应力函数 (x求, 解y)方法
（1）先设定各种形式的、满足相容方程（2-27）的应力函数φ(x,y) ；
（2）然后利用应力分量计算式（2-26），求出 x , y , xy ；
（3）再利用应力边界条件，来考察这些应力函数φ(x,y) 对应什么样 的边界面力，从而得知所设应力函数φ(x,y) 可以求解什么问题。
x4
y4
x2y2
4 0 (可作为应力函数 )
（3） 由式（2-26）计算应力分量： (设 fx = fy = 0 )
x
2 y2
2cx
6dy
y
2 x2
6ax
2by
xy
2 2bx 2cy xy
结论： 三次多项式对应于线性应力分布。
4. 四次多项式
（1） ax4 bx3 y cx2 y2 dxy3 ey4
φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。
（3） 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。