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6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示知识点一平面向量的正交分解及坐标表示( 1)平面向量的正交分解□01把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解．( 2)平面向量的坐标表示知识点二平面向量加、减运算的坐标运算1．在直角坐标平面内,以原点为起点的向量OA →＝a ,点A 的位置被向量a 唯一确定,此时点A 的坐标与向量a 的坐标统一为( x ,y )．2．平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关;应把向量的坐标与点的坐标区别开来,只有起点在原点时,向量的坐标才与终点的坐标相等．3．符号( x ,y )在直角坐标系中有两重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量．为了加以区分,在叙述中,就常说点( x ,y )或向量( x ,y )．特别注意:向量a ＝( x ,y )中间用等号连接,而点的坐标A ( x ,y )中间没有等号． 4．( 1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式,只是两个基向量e 1和e 2互相垂直．( 2)由向量坐标的定义,知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等,即a ＝b ⇔x 1＝x 2且y 1＝y 2,其中a ＝( x 1,y 1),b ＝( x 2,y 2)．( 3)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关． ( 4)当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变．1．判一判( 正确的打“√”,错误的打“×”)( 1)与x 轴平行的向量的纵坐标为0;与y 轴平行的向量的横坐标为0.( ) ( 2)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同．( ) ( 3)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) ( 4)向量可以平移,平移前后它的坐标发生变化．( ) 答案 ( 1)√ ( 2)× ( 3)√ ( 4)× 2．做一做( 1)已知AB →＝( －2,4),则下列说法正确的是( ) A ．A 点的坐标是( －2,4) B ．B 点的坐标是( －2,4)C ．当B 是原点时,A 点的坐标是( －2,4)D ．当A 是原点时,B 点的坐标是( －2,4)( 2)已知AB →＝( 1,3),且点A ( －2,5),则点B 的坐标为( ) A ．( 1,8) B ．( －1,8) C ．( 3,－2) D ．( －3,2) ( 3)若a ＝( 2,1),b ＝( 1,0),则a ＋b 的坐标是( )A ．( 1,1)B ．( －3,－1)C ．( 3,1)D ．( 2,0)( 4)若点M ( 3,5),点N ( 2,1),用坐标表示向量MN →＝________. 答案 ( 1)D ( 2)B ( 3)C ( 4)( －1,－4)题型一 平面向量的正交分解及坐标表示例1 ( 1)已知向量i ＝( 1,0),j ＝( 0,1),对坐标平面内的任一向量a ,给出下列四个结论:①存在唯一的一对实数x ,y ,使得a ＝( x ,y );②若x 1,x 2,y 1,y 2∈R ,a ＝( x 1,y 1)≠( x 2,y 2),则x 1≠x 2,且y 1≠y 2; ③若x ,y ∈R ,a ＝( x ,y ),且a ≠0,则a 的始点是原点O ; ④若x ,y ∈R ,a ≠0,且a 的终点坐标是( x ,y ),则a ＝( x ,y )． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4( 2)如图所示,在边长为1的正方形ABCD 中,AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标以及AB →与AD →的坐标．[详细解析] ( 1)由平面向量基本定理,知①正确;例如,a ＝( 1,0)≠( 1,3),但1＝1,故②错误;因为向量可以平移,所以a ＝( x ,y )与a 的始点是不是原点无关,故③错误;当a 的终点坐标是( x ,y )时,a ＝( x ,y )是以a 的起点是原点为前提的,故④错误．( 2)由题知B ,D 分别是30°,120°角的终边与单位圆的交点． 设B ( x 1,y 1),D ( x 2,y 2)．由三角函数的定义,得 x 1＝cos30°＝32,y 1＝sin30°＝12,∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.x 2＝cos120°＝－12,y 2＝sin120°＝32, ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. ∴AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12,AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.[答案] ( 1)A ( 2)见详细解析求点和向量坐标的常用方法( 1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． ( 2)在求一个向量时,可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．( 1)如图,{e 1,e 2}是一个正交基底,且e 1＝( 1,0),e 2＝( 0,1),则向量a 的坐标为( )A ．( 1,3)B ．( 3,1)C ．( －1,－3)D ．( －3,－1)( 2)已知O 是坐标原点,点A 在第一象限,|OA →|＝43,∠xOA ＝60°, ①求向量OA →的坐标;②若B ( 3,－1),求BA →的坐标． 答案 ( 1)A ( 2)见详细解析详细解析 ( 1)由图可知a ＝e 1＋3e 2,又e 1＝( 1,0),e 2＝( 0,1), 则a ＝( 1,3)．故选A.( 2)①设点A ( x ,y ),则x ＝43cos60°＝23, y ＝43sin60°＝6,即A ( 23,6),故OA →＝( 23,6)． ②BA →＝( 23,6)－( 3,－1)＝( 3,7). 题型二 平面向量加、减运算的坐标表示例2 ( 1)已知三点A ( 2,－1),B ( 3,4),C ( －2,0),则向量AB →＋CA →＝________,BC →－AB →＝________;( 2)已知向量a ,b 的坐标分别是( －1,2),( 3,－5),求a ＋b ,a －b 的坐标． [详细解析] ( 1)∵A ( 2,－1),B ( 3,4),C ( －2,0), ∴AB →＝( 1,5),CA →＝( 4,－1),BC →＝( －5,－4)．∴AB →＋CA →＝( 1,5)＋( 4,－1)＝( 1＋4,5－1)＝( 5,4)．BC →－AB →＝( －5,－4)－( 1,5)＝( －5－1,－4－5)＝( －6,－9)． ( 2)a ＋b ＝( －1,2)＋( 3,－5)＝( 2,－3), a －b ＝( －1,2)－( 3,－5)＝( －4,7)．[答案] ( 1)( 5,4) ( －6,－9) ( 2)见详细解析平面向量坐标运算的技巧( 1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． ( 2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算．( 3)向量加、减的坐标运算可完全类比数的运算进行．( 1)已知a ＝( 1,2),b ＝( －3,4),求向量a ＋b ,a －b 的坐标;( 2)已知A ( －2,4),B ( 3,－1),C ( －3,－4),且CM →＝CA →,CN →＝CB →,求M ,N 及MN →的坐标．解 ( 1)a ＋b ＝( 1,2)＋( －3,4)＝( －2,6), a －b ＝( 1,2)－( －3,4)＝( 4,－2)． ( 2)由A ( －2,4),B ( 3,－1),C ( －3,－4), 可得CA →＝( －2,4)－( －3,－4)＝( 1,8), CB →＝( 3,－1)－( －3,－4)＝( 6,3), 设M ( x 1,y 1),N ( x 2,y 2),则CM →＝( x 1＋3,y 1＋4)＝( 1,8),x 1＝－2,y 1＝4; CN →＝( x 2＋3,y 2＋4)＝( 6,3),x 2＝3,y 2＝－1, 所以M ( －2,4),N ( 3,－1),MN →＝( 3,－1)－( －2,4)＝( 5,－5).题型三 平面向量加、减坐标运算的应用例3 如图所示,已知直角梯形ABCD ,AD ⊥AB ,AB ＝2AD ＝2CD ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ,用向量的方法证明:DE ∥BC .[证明] 如图,以E 为原点,AB 所在直线为x 轴,EC 所在直线为y 轴建立直角坐标系,设|AD →|＝1,则|DC →|＝1,|AB →|＝2. ∵CE ⊥AB ,而AD ＝DC , ∴四边形AECD 为正方形,∴可求得各点坐标分别为E ( 0,0),B ( 1,0),C ( 0,1),D ( －1,1)． ∵ED →＝( －1,1)－( 0,0)＝( －1,1), BC →＝( 0,1)－( 1,0)＝( －1,1),∴ED →＝BC →,∴ED →∥BC →,即DE ∥BC .通过建立平面直角坐标系,可以将平面内的任一向量用一个有序实数对来表示;反过来,任一有序实数对都表示一个向量．因此向量的坐标表示实质上是向量的代数表示,引入向量的坐标后,可使向量运算代数化,将数和形结合起来,从而将几何问题转化为代数问题来解决．已知平行四边形ABCD 的四个顶点A ,B ,C ,D 的坐标依次为( 3,－1),( 1,2),( m,1),( 3,n )．求m sin α＋n cos α的最大值．解 ∵四边形ABCD 为平行四边形,则AD →＝BC →,即( 3－3,n ＋1)＝( m －1,1－2),即⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝0，n ＋1＝－1，得m ＝1,n ＝－2,得m sin α＋n cos α＝sin α－2cos α＝5sin( α＋φ),其中tan φ＝－2,故m sin α＋n cos α的最大值为 5.1．设平面向量a ＝( 3,5),b ＝( －2,1),则a ＋b ＝( ) A ．( 1,6) B ．( 5,4) C ．( 1,－6) D ．( －6,5)答案 A详细解析 a ＋b ＝( 3,5)＋( －2,1)＝( 3－2,5＋1)＝( 1,6)． 2．已知向量OA →＝( 1,－2),OB →＝( －3,4),则AB →＝( ) A ．( －4,6) B ．( 2,－3) C ．( 2,3) D ．( 6,4) 答案 A详细解析 AB →＝OB →－OA →＝( －3,4)－( 1,－2)＝( －4,6)． 3．如图,向量a ,b ,c 的坐标分别是________,________,________.答案 ( －4,0) ( 0,6) ( －2,－5)详细解析 将各向量分别向基底i ,j 所在直线分解,则a ＝－4i ＋0·j ,∴a ＝( －4,0);b ＝0·i ＋6j ,∴b ＝( 0,6);c ＝－2i －5j ,∴c ＝( －2,－5)．4．在平面直角坐标系中,|a |＝22,a 的方向相对于x 轴正方向的逆时针转角为135°,则a 的坐标为________．答案 ( －2,2)详细解析 因为|a |cos135°＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2,|a |·sin135°＝22×22＝2,所以a 的坐标为( －2,2)．5．在平面直角坐标系xOy 中,向量a ,b 的位置如图所示,已知|a |＝4,|b |＝3,且∠AOx ＝45°,∠OAB ＝105°,分别求向量a ,b 的坐标．解 设a ＝( a 1,a 2),b ＝( b 1,b 2),由于∠AOx ＝45°, 所以a 1＝|a |cos45°＝4×22＝22, a 2＝|a |sin45°＝4×22＝2 2.由已知可以求得向量b 的方向相对于x 轴正方向的逆时针转角为120°, 所以b 1＝|b |cos120°＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32,b 2＝|b |sin120°＝3×32＝332. 故a ＝( 22,22),b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332.。
“平面直角坐标系”一：学生情况及其分析：人教版的小朋友现在学到了轴对称图形，很多题目都和平面直角坐标系相关，而基础不是很好的同学对这部分知识大多遗忘了。
这份讲义是按照平面直角坐标系中常考的集中题型进行分类复习的，知识点和考点一目了然。
二：教学目的：回顾平面直角坐标系的基础知识和基本题型，综合目前学到的轴对称图形等，也再次强调数形结合的直观性和重要性。
三：教学设计：（每一个知识点的回顾和例题的讲解，教师都要或是要求学生亲自动笔画出平面直角坐标系，结合图形具体理解每一个知识点的内容和题目的解答。
）知识点回顾1：1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、已知点的坐标找出该点的方法：分别以点的横坐标、纵坐标在数轴上表示的点为垂足，作x 轴y 轴的的垂线，两垂线的交点即为要找的点。
3、已知点求出其坐标的方法：由该点分别向x 轴y 轴作垂线，垂足在x 轴上的坐标是改点的横坐标，垂足在y 轴上的坐标是该点的纵坐标。
4、各个象限内点的特征:第一象限：（+，+） 点P （x,y ），则x ＞0,y ＞0； 第二象限：（-，+） 点P （x,y ），则x ＜0,y ＞0； 第三象限：（-， -） 点P （x,y ），则x ＜0,y ＜0； 第四象限：（+，-） 点P （x,y ），则x ＞0,y ＜0；例题1：象限内的点的特征1、原点O 的坐标是 ，点M （a ，0）在 轴上。
2、已知0 mn ，则点（m ，n ）在 。
易错点分析：漏掉另一种情况。
既然mn=0，则m 或是n 的值为0，那么点就可能是横坐标为0，或是纵坐标为零，再或是横纵坐标同时为0，则点就应该在y 轴或是x 轴上。
3、若点B(a ，b)在第三象限，则点C(－a+1，3b －5) 在第 象限。
4、如果点A 的坐标为（a 2+1，－1－b 2），那么点A 在第几象限？为什么?知识点回顾2：5、坐标轴上点的坐标特征： x 轴上的点，纵坐标为零；y 轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。
平面直角坐标系-位置认识1．小义同学给如图建立平面直角坐标系，使医院的坐标为（0，0），火车站的坐标为（2，2）．（1）写出体育场、文化馆、超市、宾馆、市场的坐标；（2）在图中标出小义家（3，﹣1），小锐家（﹣1，﹣1）和学校（﹣1，1）的位置．（3）小义从家途径小锐家到学校最近的路是个单位长度．平面直角坐标系-密码组合1．如图是一组密码的一部分，为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学的知识找到破译密码的“钥匙”．目前，已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”，若“今”所处的位置是（x，y），你找到的密码钥匙是（，），破译“正做数学”的真实意思是“”．平面直角坐标系-诗词调整1．如图，我们从唐代诗人韩愈的《早春呈水部张十八员外》和刘禹锡的《浪淘沙•其一》中各选取一句整齐排列放在平面直角坐标系中，“浪”的坐标是（1，1）．（1）“曲”和“酥”的坐标依次是和．（2）将第2行与第3行对调，再将第4列与第7列对调，“河”由开始的坐标最终变换为．（3）“雨”开始的坐标是，使它的坐标变换到（5，3），应该哪两行对调，同时哪两列对调？1．如图是一个平面直角坐标系．（1）请在图中描出以下6个点：A（0，2）、B（4，2）、C（3，4）A′（﹣4，﹣4）、B'（0，﹣4）、C′（﹣1，﹣2）（2）分别顺次连接A、B、C和A′、B'、C'，得到三角形ABC和三角形A′B′C′；（3）观察所画的图形，判断三角形A′B′C′能否由三角形ABC平移得到，如果能，请说出三角形A′B′C′是由三角形ABC怎样平移得到的；如果不能，说明理由．1.如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B 与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：（1）分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；（2）若点P（a+3，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a、b的值．平面直角坐标系-面积求解1．△ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图．（1）分别写出下列各点的坐标：A'；B'；C'；（2）说明△A'B'C'由△ABC经过怎样的平移得到？．（3）若点P（a，b）是△ABC内部一点，则平移后△A'B'C'内的对应点P'的坐标为；（4）求△ABC的面积．1.已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．（1）写出A′、B′、C′的坐标；（2）求出△ABC的面积；（3）点P在y轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．1．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3b，0）为x轴负半轴上一点，点B（0，4b）为y轴正半轴上一点，其中b满足方程3（b+1）＝6．（1）求点A，B的坐标；（2）点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；1．已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．（1）点P在x轴上；（2）点P在y轴上；（3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；（4）点P到x轴、y轴的距离相等．1．已知，点P（2m﹣6，m+2）．（1）若点P在y轴上，P点的坐标为；（2）若点P的纵坐标比横坐标大6，求点P在第几象限？（3）若点P和点Q都在过A（2，3）点且与x轴平行的直线上，PQ＝3，求Q点的坐标．平面直角坐标系-文字叙述求解3 1．已知在平面直角坐标系中有一点M（2m﹣1，m﹣3）．（1）当点M到y轴的距离为1时，求点M的坐标；（2）当点M到x轴的距离为2时，求点M的坐标．1．在平面直角坐标系中，已知点M（m，2m+3）．（1）若点M在x轴上，求m的值；（2）若点M在第二象限内，求m的取值范围；（3）若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值．1．已知点P（3m﹣6，m+1），试分别根据下列条件，求出点P的坐标．（1）点P在y轴上；（2）点P在x轴上；（3）点P的纵坐标比横坐标大5；（4）点P在过点A（﹣1，2），且与x轴平行的直线上．1．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a，b满足|a+2|+＝0，点C的坐标为（0，3）．（1）求a，b的值及SABC；△（2）若点M在x轴上，且SACM＝S△ABC，试求点M的坐标．△1．如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝3．（1）求点B的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．1．如图在直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）C（3，c）三点，若a，b，c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+＝0．（1）求a，b，c的值．（2）求四边形AOBC的面积．（3）是否存在点P（x，﹣x），使△AOP的面积为四边形AOBC 的面积的两倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．1．已知：如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0）、B（﹣2，3）、C（﹣3，0）．（1）求△ABC的面积是多少？（2）若点A、C的位置不变，当点P在y轴上时，且SACP＝2S△ABC，△求点P的坐标？（3）若点B、C的位置不变，当点Q在x轴上时，且SBCQ＝2S△ABC△求点Q的坐标？1．已知点A（a，0）和B（0，b）满足（a﹣4）2+|b﹣6|＝0，分别过点A、B作x轴、y轴的垂线交于点C，如图所示，点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着O﹣B﹣C﹣A﹣O的路线移动．（1）写出A、B、C三点的坐标；A，B，C；（2）点P在运动过程中，当△OAP的面积为6时，求点P的坐标；（3）当P运动14秒时，连接O、P两点，将线段OP向上平移h个单位（h＞0），得到O'P'，若O'P'将四边形OACB的面积分成相等的两部分，求h的值．1.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，（c﹣4）2≤0（1）求a、b、c的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）．（1）直接写出点B和点C的坐标B（，）、C（，）；（2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围；（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使SAPD＝S四边形ABOC，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．△1.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2022的坐标为．2.在平面直角坐标系中，点A1（1，0），A2（2，3），A3（3，8），A4（4，15），…，用你发现的规律确定点A n的坐标为．1.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位长度，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，-1），P5（2，-1），P6（2，0）…，则P2020的坐标是2.如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（﹣1，1），第2次接着运动到点（﹣2，0），第3次接着运动到点（﹣3，2），…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是1.点A在y轴正半轴上，OA＝a，点B位于第二象限，且点B到两坐标轴的距离均为b，其中a、b满足b＝++4．（1）a＝，b＝；（2）点C在x轴的负半轴上，射线CD∥AB．①如图1，过C作射线CE交y轴于点E，使∠DCE＝3∠ECO，过A作射线AF交CE于点F，使∠BAF＝3∠OAF，求∠AFE的度数；1.如图，在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（0，a），C（b，0）满足+|b﹣2|＝0．（1）直接写出A、C两点的坐标．（2）如图2，点G是第二象限上的点，连OG，且OG∥AC，点F是线段AC上一点，满足∠AOG＝∠AOF．点E是射线OA上一动点，连CE交直线OF于点H，当点E在射线OA上运动的过程中，请确定∠OHC，∠ACE 和∠OEC的数量关系，并说明理由．平面直角坐标---动点和面积压轴1.如图，在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（0，a），C（b，0）满足+|b﹣2|＝0．（1）直接写出A、C两点的坐标．（2）如图1，已知坐标轴上有两动点P、Q同时从O点出发，P点沿x轴正方向以2个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点以1个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点D（1，2）为线段AC上一点，设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使SDPC＝S三角形DQO，若存在，请求出t的值；三角形若不存在，请说明理由．。
