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弹性力学 平面问题的直角坐标解答

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弹性力学第三章_1

弹性力学第三章_1

第三章 平面问题的直角坐标解答
在x = 0，l 的次要边界（小边界）上， 3F y2 x 0, (σ x ) x 0 0, ( xy ) x 0 (1 4 2 ); 2h h 12 Fl x l, (σ x ) x l 3 y , h 3F y2 ( xy ) x l (1 4 2 ). 2h h
ax2 不计体力时， 先来看
2 2 x 2 0, y 2 2a, y x
xy
2 0 xy
如取矩形板（或无限长柱 体），则对应于两侧受拉 （a>0）或两侧受压(a<0) 的情况。
第三章 平面问题的直角坐标解答
对应于 bxy 应力分量是:
2h
o
h/2
h/2
x y l ( l >>h)
第三章 平面问题的直角坐标解答
解：按逆解法。 1. 将Φ 代入相容方程，可见 4Φ 0 是满足的。 有可能成为该问题的解。 Φ
2. 由Φ 求出应力分量,
2Φ 12 Fxy , σx 2 y h3 2Φ 0, σy 2 x y2 xy Φ 3F (1 4 2 ). xy 2h h
xy
x
xy
第三章 平面问题的直角坐标解答
其主矢量和主矩
x 0,
FN 0, M 0, FS xy x 0 dy F ;
h 2 h 2
x l , FN x x l dy 0, M x x l ydy Fl FS xy x l dy F ;
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答
一、逆解法和半逆解法

03平面问题的直角坐标解答

03平面问题的直角坐标解答
7
若取应力函数为 Φ = ax 2，则应力分量为： σ x = 0, σ y = 2a,τ xy = 0 。对应图（a）所示的矩形板； 若取应力函数为 Φ = bxy ，则应力分量为： σ x = 0, σ y = 0,τ xy = −b 。对应图（b）所示的矩形板； 若取应力函数为 Φ = cy 2，则应力分量为： σ x = 2c, σ y = 0,τ xy = 0 。对应图（c）所示的矩形板；
4
一.逆解法 所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容 方程 ∂2 ∂ 2 ∂ 2Φ ∂ 2Φ 2 + 2 2 + 2 = 0 ∂x ∂y ∂x ∂y 的应力函数 Φ 。
∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ 并根据 σ x = 2 − f x x，σ y = 2 − f y y，τ xy = − ∂y ∂x ∂x∂y
11
如当两端的面力的等效力系组成大小为ah3/2的力 偶时，该解答在离两端较远的地方，误差是可以忽略 不计的。 圣维南原理处理边界条件时，起着十分重要的作 用。处理时要分清主要边界和次要边界。
12
第四节 简支梁受均布荷载
设有矩形截面的简支梁，深度为h，长度为2l，体 力不计，受均布荷载q，由两端的反力ql维持平衡， 如图所示。这个问题用逆解法求解。 q是不随x变化的常量， 因此可假设σy不随x变 化，仅是y的函数：
第二节 矩形梁的纯弯曲
设有矩形截面的长梁，两端作用的力偶矩为M，则 矩形截面长梁发生纯弯曲。应力函数取为三次函数， 即 Φ =ay3 ，显然满足相容方程，相应的应力分量为 σx = 6ay σy =0 τxy = τyx = 0 对应下列形状的的矩形梁，对应的面力如下：
10
对应的面力在两侧必须是线性分布的，上述应力 分量才是完全精确的，如果按照其他静力等效的分布 形式，上述分量的解答不是精确的，但是，当梁的高 度较小时，梁的上下边界为主要边界，两端边界成为 次要边界，这时，根据圣维南原理，该解答在离两端 较远处仍是正确的。

弹性力学 平面问题的直角坐标解答回顾

弹性力学 平面问题的直角坐标解答回顾
y
当取为坐标x、y的三次或三次以上的多项式 时，应力分量将不是常量，而是坐标的的函 数，此时，对于同一弹性体，在不同的坐标 下，对应的应力分量不同，所解决的问题也 不同
例1、已知函数=a（x4-y4），检查能否作 为应力函数；并求图所示矩形板边界上的
面力
解：
x（1）将=a（x4-y4 ）
代如 4 0
y 能解决矩形板既受拉又受剪的情况
3、三次式 取（x，y）=ay3
无论a取何值，均能满足相容方程
4 0
应力分量：

x

2
y 2
6ay
y

2
x 2

0
xy


2
xy

0
根据边界条件考察应力分量所对应的面力 x
y
左右两侧： m 0,l 1
l x m xy X 6ay
第三章 平面问题的直角坐标解答
3—1 逆解法与半逆解法 多项式解答
逆解法：先设定各种形式、满足相容方程的应力 函数，然后求应力分量，再根据边界条件来考察 这些应力分量对应什么样的面力，从而得知所设 定的应力函数可以解决什么样的问题
1、一次式 （x，y）=a+bx+cy
结论
（1）线性应力函数对应无体力、无面力、无应力 的情况
x l x m xy X 12ay2
y
m y l xy Y 0
下上两侧： m 1,l 0
l x m xy X 0
m y l xy Y 12ax2
思考： =bxy2； =bx2y在不同的坐标系下能 解决什么问题？
作业： P55 3-1 P56 3-2

弹性力学__徐芝纶版第三章

弹性力学__徐芝纶版第三章


4 f
y4
0
4 f 0
一、逆解法和半逆解法 （一）逆解法的基本步骤：
取满足相容方程的 f
求出应力分量 x , y , xy
根据边界条件求出面力
考察能解决什么问题
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答
（二）半逆解法的基本步骤：
根据问题的特 点设出部分应 力分量
是 结束
否
求出应力函数 f
x
§3-3 位移分量的求出
0 u0 v0 0
y
z
u P x Eh
P x
v P y
Eh
习题
[1]写出边界条件。 解：
x x0,xb g( y h1)
0 xy x0,xb y y0 gh1, xy y0 0
y


P
hE
xy 0
u P x Eh
v P
y Eh
u v 0 y x
u

P Eh
x

f1y
v


P
Eh
y

f2 x
代入第三式得： df1 y df2 x 0
dy
dx
移项得： df1 y df2 x
u yh2 0
v yh2 0
hx1
g
b
h2
bb
y 22
FN gbh1
b
下边的等效应力边界条件： 0 y yh2 dx gbh1
b
0
xy
dx 0
y h2
b 0
y
y h2

弹性力学第3章(徐芝纶第五版)

弹性力学第3章(徐芝纶第五版)

最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
4 楔形体受重力和液体压力 问题
设有楔形体， 左面垂直，顶角为α， 下端无限长，受重 力及齐顶液体压力,
fx 0, f y 1g.
o
α 2g
y
x
n
α
2
1g
用半逆解法求解。
（1）用量纲分析法假设应力: （2）由应力~Φ关系式，Φ应为x,y的三次式，
（3）Φ 满足相容方程 4Φ 0.
（4）由 Φ求应力， （5）考察边界条件——本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件:
o
M
y
h/2
h/2
x
M
l
( l >>h)
半逆解法
3.半逆解法 步骤：
⑴ 假设应力的函数形式 （根据受力情况， 边界条件等）；
⑵ 由应力(d)式，推测 的Φ 函数形式；
⑶ 代入 4Φ，解0 出 ； Φ
半逆解法
⑷ 由式（d），求出应力；
⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）. 如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。
为b,如图,水的密
度为 2 ，试求

弹性力学—平面问题的直角坐标解答

弹性力学—平面问题的直角坐标解答

次要边界
次要边界x=l 应用圣维南原理，列出三个积分条件，

h/2
h / 2 h/2 h / 2 h/2 h / 2
(σ x ) x l dy 1 0, (σ x ) x l dy 1 y 0, ( xy ) x l dy 1 ql。
由此解出H，K
另一次要边界(x=-l )的条件，自然满足。
在主要边界（大边界）y h / 2上，
σ y 0, yx 0
因此，在 y h / 2 的边界面上，无任何 面力作用，即 f x f y 0
第三章 平面问题的直角坐标解答
2Φ 12 Fxy σx 2 y h3 2Φ σy 2 0 x 2Φ 3F y2 xy (1 4 2 ) xy 2h h
第三章 平面问题的直角坐标解答
应力
最后应力解答： 2 6q 2 y y 3 2 σ x 3 (l x ) y q (4 2 ) h h h 5
M y y 3 y q (4 2 ) I h h 5
2
FS S 6q h 2 2 xy 3 x( y ) h 4 bI
梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/ 单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲 问题。 o
M
h/2 h/2
M
x
y
l
( l >>h)
第三章 平面问题的直角坐标解答
本题是平面应力问题,且为单连体，若 按 Φ 求解， Φ 应满足相容方程及s s 上的应力边界条件。 求解步骤： ⑴ 由逆解法得出，可取 Φ ay 3，且满足
2Φ 12 Fxy σx 2 y h3 2Φ σy 2 0 x 2Φ 3F y2 xy (1 4 2 ) xy 2h h

弹性力学课件第三讲平面问题的直角坐标解答

弹性力学课件第三讲平面问题的直角坐标解答

弹性力学的基本方程
03
平衡方程
平衡方程是弹性力学的基本方程之一，它描述了弹性体在力的作用下保 持平衡状态的条件。在直角坐标系中，平衡方程可以表示为
$frac{partialsigma_{x}}{partial x} + frac{partialsigma_{y}}{partial y} + frac{partialsigma_{z}}ambdafrac{partial u}{partial x} + 2mufrac{partial v}{partial x}$
$sigma_{y} = lambdafrac{partial v}{partial y} + 2mufrac{partial u}{partial y}$
弹性地基的承载问题
总结词
弹性地基的承载问题是研究地基在垂直载荷 作用下的沉降和应力分布的问题，也是平面 问题的一个应用实例。
详细描述
在建筑、道路和桥梁建设中，地基的承载能 力是关键因素。当建筑物或道路桥梁等设施 施加垂直载荷时，地基会发生沉降。利用弹 性力学中的平面问题直角坐标解答方法，可 以分析地基的沉降和应力分布，为工程设计 和安全评估提供依据。
结论与展望
06
本讲内容的总结
01
掌握了弹性力学平面问题直角坐标解答的基本原理和方法，包括应力、 应变、位移等基本概念及其计算公式。
02
理解了弹性力学平面问题直角坐标解答的步骤和流程，包括建立平衡 方程、几何方程、物理方程等。
03
学会了如何运用数值方法求解弹性力学平面问题，如有限元法、有限 差分法等。
04
掌握了弹性力学平面问题直角坐标解答的常见问题及其解决方法，如 边界条件的处理、应力集中现象等。

弹性力学第六章__平面问题直角坐标解答

弹性力学第六章__平面问题直角坐标解答
界条件即可。平面问题的静力边界条件为：
(6-13) 显然，式（6-6）、式（6-12）、式（6-13）都不含弹性常数。 因此，对于单连域物体，当边界上没有给定的位移约束 条件，且体力为常量或可忽略时，其应力状态与材料的性质 无关。这就是平面光弹性实验应力分析的理论依据。
§6-2 平面问题的应力解法 · 应力函数 （续4）
u,v
应
变
x , y , xy yz z x 0
x , y , xy
应
力
x , y , xy
yz zx 0
z 0
x , y , xy
w0 yz z x 0 z 0 yz z x 0
x、 y、 xy ，故两类问题
(4) 两类问题中的物理方程形式相同。关于平面应变问 的 E、 换成 E1、1 即可。
题的物理方程，只须将平面应力问题的物理方程中
两类平面问题及其特征
平面应力问题 名 位 称 移 平面应变问题
未知量
已知量
未知量
已知量
u, ,v u v
w0
z ( x y ) z E ( x y ) E
应力函数求解问题基本思路、基本方程和基本解
题技巧。 三：按应力求解平面问题的应用举例。
主要内容
§6-1 平面应变问题 · 平面应力问题
§6-2
§6-3 §6-4 §6-5 §6-6
平面问题的应力解法· 应力函数
用多项式解平面问题 悬臂梁一端受集中力作用 简支梁受均匀分布荷载作用 应力函数确定的“材料力学方法”
变形协调方程 为：
( x y ) 0
2
(6-12)

2019-弹性力学-03平面问题的直角坐标解答-文档资料

2019-弹性力学-03平面问题的直角坐标解答-文档资料

2M EIl2lv0 0
M l 0
EI
可求得： u0 0
v0


Ml 2 2EI
uM(l x)y EI
Ml
EI
vM(lx)2My2
2EI
2EI
uM(l x)y
EI
vM(lx)2My2
(3-4)
h/2 h/2
2EI
2EI
挠曲线方程：
v|y02M EI(lx)2 与材料力学中结果相同
（3） 由式（2-26）计算应力分量： (设 fx = fy = 0 )
x
2 y2 2cx6dy
y
2x2 6ax2by
xy
22bx2cy xy
结论： 三次多项式对应于线性应力分布。
4. 四次多项式
（1） a x 4 b x 3 y c x 2 y 2 d x y 3 e y 4
f1(y)
M x EI
f2(x)

(e)
式中：ω为常数。 积分上式，得
f1(y)yu0
f2(x)2M EIx2xv0
将上式代入式（d），得
uE MIxyyu0
(f)
v2 E MyI22 M ExI2xv0
（2）位移分量
M
uE MIxyyu0
y y)
0
x2
2
y
0
(x,y)0xy
（1） a x3 b x2y cxy2 d y3其中: a、b、c 、d 为待定系数。
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有
4x 4 0,4y 4 0,x24 y2 0
4 0 (可作为应力函数 )
由式（f）可知，此边界条件无法满足。

弹性力学简明教程(第四版)第三章课后习题答案

弹性力学简明教程(第四版)第三章课后习题答案

③在 x=0，x=l 的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式： x=0 上 x=l 上
x向主矢：FN1 = y向主矢：FS1 = 主矩：M 1 =
h/2 -h/2
h/2
h / 2 h/2
f x dy 0, f y dy F ,
FN2 FS2
h/2
h / 2 h/2

h / 2
④在次要边界 x l 上，分布面力为
f x x l x x l f y x l xy
主矩： 弹性体边界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如图所示
M'
x x l ydy h / 2 2blydy 0 h / 2
（3） cxy
3
将应力函数代入公式（2-24） ，得应力分量表达式
x 6cxy, y 0, xy yx 3cy 2
考察应力边界条件，主要边界,由公式（2-15）得
y
在
h h h f x y bh, f y y 0 2 2 2 主要边界，上边界上，面力为
在
y
h h h f x y bh, f y y 0 2 2 2 ，下边界上，面力为
面力的主矢、主矩为 x 向主矢
Fx
x x l dy h / 2 6clydy 0 h / 2
h/2 h / 2
h/2
h/2
y 向主矢：
Fy
h/2

y x l
dy
h/2
h/2
h / 2
ch 3cy dy 1 4
2
3
主矩：

弹性力学-平面问题的直角坐标解答

弹性力学-平面问题的直角坐标解答

0
Ml
2EI
将其代回(f)式，有
u M (x l )y
EI 2
(3-3)
v M (l x)x M y2
2EI
2EI
梁的挠曲线方程：
v M (l x)x y0 2EI
—— 与材力中结果相同
（2）悬臂梁
边界条件
u 0 xl
h y h
v 0 2
2
xl
由式（f）可知，此边界条件无法满足。
位移单值条件。 —— 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。
位移分量求解：
（1） 将已求得的应力分量 x , y , xy 代入物理方程，求得应变分量 x , y , xy
（2） 将应变分量 x , y , xy 代入几何方程，并积分求得位移分量
表达式； （3） 由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。
1
2v x2
M EI
—— 材料力学中挠曲线微分方程
2. 位移边界条件的利用
（1）两端简支
其边界条件：
u
M EI
xy y
u0
(f)
v
M
2EI
y2
M 2EI
x2
x v0
u x0 0 v x0 0 v xl 0
y0
y0
y0
将其代入(f)式，有
u0 0 v0 0
Ml 2 2EI
l
v0
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有
4 4
4
x4 0, y4 0, x2y2 0
4 0 (可作为应力函数 )
（3） 由式（2-26）计算应力分量： (假定：X =Y = 0)
x
2

弹性力学第三章用直角坐标解平面问题

弹性力学第三章用直角坐标解平面问题

弹性力学第三章用直角坐标解平面问题第三章用直角坐标解平面问题3.1多项式解答逆解法要求首先选择能够满足双调和方程的函数，然后再考察他们能够解决什么问题。

在所研究的函数中最简单、最常用的就是多项式。

从另一种意义上说，不管弹性力学问题的解多么复杂，大多数可以展开成级数的形式，而最简单的形式就是幂级数。

多项式可以视为幂级数的一种简单的近似。

为此，我们从一次函数开始，按照逆解法的步骤给出一些问题的多项式解答。

3.1.1.一次函数c by ax ++=Φ，不计体积力，考察它能解决的问题。

①检查Φ是否满足协调方程（2.33）0ΦΦ2Φ4422444=??++??yy x x （2.33）能被满足。

②根据（2.30）式求出应力分量{}σ0Φ22=-??=x f yx x σ，0Φ22=-??=y f x y y σ，0Φ2=-=y x xy τ。

③考察边界条件：无面力。

④结论：线性函数对应于无荷载的情况，应力函数Ф的线性项不影响弹性体内的应力分布，研究问题时可以舍去。

3.1.2. 二次函数（1）2Φax =，不计体积力，考察它能解决的问题①检查Φ是否满足相容方程（2.33）0ΦΦ2Φ4422444=??++??y y x x （2.33）能被满足。

②根据（2.30）式求出应力分量{σ}；0Φ22=-??=x f yx x σ，a y f xy y 2Φ22=-??=σ，图3.1二次函数能解决的问题0Φ2=-=yx xyτ。

③考察边界条件a y s y 2)(==σ，0)()(==s xy s x τσ。

④结论：2Φax =可用来解图3.1（a ）所示y 向均匀拉伸问题。

同理可知2b Φy =用来解图3.1（b ）所示x 向均匀拉伸问题。

(2)xy c Φ=，不计体积力，考察它能解决的问题按照以上步骤很容易得到结论，bxy =Φ能满足相容方程，求得的应力分量为0=x σ，0=y σ，c xy -=τ。

这些应力分量能满足的边界条件为0)(.===x c x x f σ，c f y c x xy -===.)(τ；0)(.===y c y y σ，c x c y yx -===.)(τ。

弹性力学平面问题的直坐标系解答

弹性力学平面问题的直坐标系解答

物理方程描述了应力与应变之 间的关系，它是通过材料的弹 性常数建立的。在直坐标系中 ，物理方程可以表示为
03
直坐标系中的弹性力学平面问题
直坐标系中的平衡方程
80%
平衡方程概述
在直坐标系中，弹性力学平面问 题的平衡方程描述了物体在受力 作用下的静力平衡状态。
100%
平衡方程的推导
通过分析物体的受力情况，结合 牛顿第二定律，可以推导出平衡 方程的具体形式。
弹性力学的基本概念
应力和应变
在弹性力学中，物体在外力作用下会发生形变，这 种形变程度可以用应力和应变来描述。
胡克定律
胡克定律指出，在弹性范围内，物体的应力和应变 之间存在线性关系，即应力与应变成正比。
边界条件和初始条件
在弹性力学问题中，物体边界上的条件和问题开始 前的初始状态对于确定物体的应力和应变是必要的 。
总结词
考虑弹性体在平面内受拉伸的情况， 分析其应力分布和变形。
详细描述
在直坐标系中，设弹性体受到沿x轴方 向的拉伸力作用，根据弹性力学基本 方程，可以求出弹性体内各点的应力 和应变分布，以及位移场。
圆盘受压问题
总结词
研究圆盘在受到垂直向下的均匀 压力作用下的应力分布和变形。
详细描述
在直坐标系中，设圆盘中心位于 原点，半径为R。根据弹性力学基 本方程，可以求出圆盘内各点的 应力和应变分布，以及位移场。
弹性力学平面问题的直坐标系 解答
目
CONTENCT
录
• 引言 • 弹性力学平面问题的基本方程 • 直坐标系中的弹性力学平面问题 • 解法举例 • 结论
01
引言
主题简介
弹性力学平面问题
在弹性力学中，平面问题指的是应变和应力分量在空间中仅随两 个坐标变量变化的情形。

弹性力学-平面问题的直角坐标解答.

弹性力学-平面问题的直角坐标解答.
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
弹性力学平面问题的基本方程
（1）平衡方程： （3）物理方程：
x yx fx 0 x y xy y fy 0 x y
（2）几何方程：
u x x v y y v u xy x y
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
按应力求解平面问题的基本方程
（1）平衡方程
x xy fx 0 x y yx y fy 0 x y
常体力下可以简化： （ 1）
结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。 2a 2c 2c x y 2a
0
xy b
x

0
2
y2
y
试求图示板的应力函数。 例：
0
0
x
x
y
( x, y )
0
2
x
2
y
0
( x, y) 0 xy
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY

h 2 h 2
x y dy M

h 2 h 2
6dy dy M
2
2M d 3 ( 或 d ) h M 3 h 2
M 12 M x 6dy 3 y (h3 / 12) y h
可见：此结果与材力中结果相同，
说明
M x y I
(1) 组成梁端力偶 M 的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精 确的。 (2) 若按其它形式分布，如： 则此结果不精确，有误差；

弹性力学第3章平面问题的直角坐标解答课件

弹性力学第3章平面问题的直角坐标解答课件

x)
1 2
q(l
x)2 , 所以可假设
σx
x2
f1( y)
xf2 ( y)
f3( y);
因为 xy Fs ql q(l x), 所以可假设 xy xf1( y) f2 ( y);
因为 σ y q 常数, 所以可假设 σ y f ( y)。
现采用此假设。
q
⑵ 由应力分量推出应力函数的形式。
（2）若为平面应变问题，则将材料常数E、μ作相应替换。
问题
§3-4 简支梁受均布荷载
。
简支梁 2l h 1，受均布荷载 q及两端支撑反
力ql 。
q
ql
o
h/2
x
h/2 ql
l yl
按半逆解法求解。
半逆解法
⑴ 假设应力分量。由材料力学 σx M , τ Fs , σ y q,
因为
σx
M
q(l
⑵ S =S上 应力边界条件,
l x m yx s fx,
m y l xy
s
fy.
(b)
⑶ 多连体中的位移单值条件。 (c) 说明(1：)对于,式(c)通常是自然满足
2Φ
σ x
y 2
fx x,
的。只须满足式(a)与式(b)。
σ y
2Φ x 2
f y y,
d
(2)由 Φ求应力的公式是:
y)
2
d
2 f (y) dy2
)
0.
相容方程对于任何x,y均满足,故x2 , x1, x0的系数均应等于0 ，得三个常微分方程。
解出，
f Ay3 By2 Cy D,
f1 Ey3 Fy2 Gy,
(b)

弹性力学第六章平面问题的直角坐标解

弹性力学第六章平面问题的直角坐标解

弹性⼒学第六章平⾯问题的直⾓坐标解第六章平⾯问题的直⾓坐标解知识点平⾯应变问题应⼒表⽰的变形协调⽅程应⼒函数应⼒函数与双调和⽅程平⾯问题应⼒解法逆解法简⽀梁问题矩形梁的级数解法平⾯应⼒问题平⾯应⼒问题的近似性应⼒分量与应⼒函数应⼒函数与⾯⼒边界条件应⼒函数性质悬臂梁问题楔形体问题⼀、内容介绍对于实际⼯程结构的某些特殊形式，经过适当的简化和⼒学模型的抽象处理，就可以归结为弹性⼒学的平⾯问题，例如⽔坝，受拉薄板等。

这些问题的特点是某些基本未知量被限制在平⾯内发⽣的，使得数学上成为⼆维问题，从⽽简化了这些问题的求解困难。

本章的任务就是讨论弹性⼒学平⾯问题：平⾯应⼒和平⾯应变问题。

弹性⼒学平⾯问题主要使⽤应⼒函数解法，因此本章的⼯作从推导平⾯问题的基本⽅程⼊⼿，引⼊应⼒函数并且通过例题求解，熟悉和掌握求解平⾯问题的基本⽅法和步骤。

本章学习的困难是应⼒函数的确定。

虽然课程讨论了应⼒函数的相关性质，但是应⼒函数的确定仍然没有普遍的意义。

这就是说，应⼒函数的确定过程往往是根据问题的边界条件和受⼒等特定条件得到的。

⼆、重点1、平⾯应变问题；2、平⾯应⼒问题；3、应⼒函数表达的平⾯问题基本⽅程；4、应⼒函数的性质；5、典型平⾯问题的求解。

§6.1 平⾯应变问题学习思路:对于弹性⼒学问题，如果能够通过简化⼒学模型，使三维问题转化为⼆维问题，则可以⼤幅度降低求解难度。

平⾯应变问题是指具有很长的纵向轴的柱形物体，横截⾯⼤⼩和形状沿轴线长度不变；作⽤外⼒与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束的弹性体。

这种弹性体的位移将发⽣在横截⾯内，可以简化为⼆维问题。

根据平⾯应变问题定义，可以确定问题的基本未知量和基本⽅程。

对于应⼒解法，基本⽅程简化为平衡微分⽅程和变形协调⽅程。

学习要点：1、平⾯应变问题；2、基本物理量；3、基本⽅程；4、应⼒表⽰的变形协调⽅程1、平⾯应变问题部分⼯程构件，例如压⼒管道、⽔坝等，其结构及其承载形式⼒学模型可以简化为平⾯应变问题，典型实例就是⽔坝，如图所⽰这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截⾯⼤⼩和形状沿轴线长度不变；作⽤外⼒与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。

第六章_弹性力学平面问题的直角坐标系解答

第六章_弹性力学平面问题的直角坐标系解答

x2(y)
n
F
3. 取
Φ为三次项：
3
2
例题2 无体力作用的悬臂梁，在端部受集中力P 作用。

本题采用应力函数的半逆解法。

半逆解法思路：
1. 根据受力情况和求解经验，包括材料力学的解，定性估计应力分量的变化，并根据应力分量与应力函数关系，反推出 Φ
函数的主要项。

2.
将所设Φ 代入∇ 4Φ =0和力的边界条件进行检验，如果不满足则进
行修正（适当增加项），再代入∇
4
Φ =0和力的边界条件进行检验，直
至满足所有方程为止。

本题求解的基本情况： 基本方程 ∇ 4Φ =0， 边界条件为混合边界条件：
x
y P
ql
ql
q
常微分方程积分，可得到f2 (y)的表达式。

所有待定系数由边界条件定。

例题4 楔形体受重力和液体压力作用，楔形体下端无限长。

弹性力学—平面问题的直角坐标解答共111页

弹性力学—平面问题的直角坐标解答共111页
弹性力学—平面问题的直角坐标解答
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
111
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4Φ 4Φ 4Φ 0, 4 0, 2 2 0 4 x y x y
4Φ 0
(可作为应力函数 )
（ 3） 由式（2-24）计算应力分量： (假定：X =Y = 0)
2Φ 2Φ 2Φ x 2 2cx 6dy y 2 2by 6ax xy 2bx 2cy y xy x
结论：三次多项式对应于线性应力分布。
弹性力学 平面问题的直角坐标解答 8
一 逆解法与半逆解法 多项式解答
4. 四次多项式
（ 1） Φ
ax 4 bx3 y cx 2 y 2 dxy3 ey 4 （2） 检验 Φ 是否满足双调和方程
4Φ 24a 4 x
4Φ 2 2 2 8c x y
Φ0
4
(可作为应力函数 )
（3） 由式（2-24）计算应力分量： (假定：X =Y = 0 ; a >0 , b >0, c >0)
2c
2Φ 2Φ 2Φ b x 2 2c y 2 2a xy xy y x 2a 0
2c
0
x
x y
合肥工业大学本科生教学
《弹性力学》
第三章
平面问题的直角坐标解答
授课班级：勘查11级
周道祥
主讲教师：袁海平 (副教授、博士后)
第三章
本章要点
平面问题的直角坐标解
—— 用逆解法、半逆解法求解平面弹性力
学问题。
徐芝纶院士(1911-1999)
弹性力学简明教程(第三版)
Hale Waihona Puke 第三章内容提要平面问题的直角坐标解答
常数 a 与弯矩 M 的关系：
由梁端部的边界条件： (1)
(2)


h 2 h 2
x y dy M
12 M x 3 y h

h 2 h 2
6ay dy M
h 2 h 2 2
x dy 6ay dy 0
2M a 3 h M (或a 3 ) h 2
2

h 2 h 2
x dy
12kly dy 0 3 h

h 2 h 2
x ydy
h 2 h 2
12kly 2 12kly dy 3 h 3h 3
h 2
h 3 2 h 2
kl

h 2 h xy 弹性力学 2
dy
6ky2 3k 2ky3 3ky dy 3 k h 3 2h 平面问题的直角坐标解答 2h h h
h 2 h 2
可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。
弹性力学
平面问题的直角坐标解答
M x 3 y (h / 12)
M x y I
15
二 矩形梁的纯弯曲
说明：
(1) 组成梁端力偶 M 的面力须线性 分布，且中心处为零，结果才 是精确的。
l
l
M min 3ah
平面问题的直角坐标解答
（2）在该函数 Φ 上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。
一 逆解法与半逆解法 多项式解答
2. 二次多项式
结论：二次多项式对应于均匀应力分布。 2 2 其中： a、b、c 为待定系数。 （1）Φ ax bxy cy
（2） 检验 Φ 是否满足双调和方程，显然有
4Φ 4Φ 4Φ 0, 4 0, 2 2 0 4 x y x y
—— 应力分量为 x、y 的二次函数。
Φ ax 4 ey 4 （须满足：a + e =0）
y 12ax 2 x 12ey 2
xy 0
弹性力学 平面问题的直角坐标解答 10
一 逆解法与半逆解法 多项式解答
总结： （多项式应力函数
Φ 的性质）
4Φ 0。
多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 4Φ 0 。 （1） 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。 （2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加 上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 （3） 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。 （4） 用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法（只能解决简单直 线应力边界问题）。
x dy
12kxy dy 0 3 h 12kxy dy 0 3 h
2
k O
l
h
kl k
x
y
结论：可解决悬臂梁左端受集中力问题。
h 2
x ydy
h 2 h 2
h 2 h 2
xy dy
右边界
xl:
h 2 h 2
h 2 h 2
6ky2 3k 2ky3 3ky h 3 2h dy h 3 2h h k
一、逆解法与半逆解法 多项式解答 二、矩形梁的纯弯曲 三、位移分量的求出
徐芝纶院士(1911-1999)
四、简支梁受均布荷载 五、楔形体受重力和液体压力
弹性力学简明教程(第三版)
一 逆解法与半逆解法 多项式解答
当体力为常量，按应力求解归结为求解一个应力函数Φ ( x, y )， 必须满足下列条件:
x, y 的形式；
（2）然后利用应力分量计算式（2-24），求出 定系数）；
x , y , xy（具有待
（2）半逆解法
（3）再利用应力边界条件式（2-15），来考察这些应力函数 Φ 对应 什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数 Φ 可以求解什 么问题。 —— 主要适用于简单边界条件的问题。 （1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等）， （2）根据 x , y , xy 与应力函数 求出 Φ 的形式； 假设部分应力分量
第三章
内容提要
平面问题的直角坐标解答
一、逆解法与半逆解法 多项式解答 二、矩形梁的纯弯曲 三、位移分量的求出
徐芝纶院士(1911-1999)
四、简支梁受均布荷载 五、楔形体受重力和液体压力
弹性力学简明教程(第三版)
三 位移分量的求出
以纯弯曲梁为例，说明如何由
x , y , xy求出形变分量、位移分量。
9
一 逆解法与半逆解法 多项式解答
（3） 应力分量：
（4） 特例：
2Φ x 2 2cx 2 6dxy 12ey 2 y 2Φ y 2 2cy 2 6bxy 12ax 2 x 2Φ 2 2 3 bx 4 cxy 3 dy xy xy
2
13
第三章
内容提要
平面问题的直角坐标解答
一、逆解法与半逆解法 多项式解答 二、矩形梁的纯弯曲 三、位移分量的求出
徐芝纶院士(1911-1999)
四、简支梁受均布荷载 五、楔形体受重力和液体压力
弹性力学简明教程(第三版)
二 矩形梁的纯弯曲
x 6ay y 0 xy 0
梁对应的边界条件：
l
l
取Φ ay 3 , ( X Y 0) 可得：
M min 3ah
h 2
M
x
x l : x 6ay, xy 0
可见： Φ
h y : 2
y 0, xy 0
1
max 3ah
y
h 2
ay 3 —— 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。
x , y , xy
的某种函数形式 ；
Φ
的关系及 4Φ 0 ，
（3）最后利用相容方程计算出 x , y , xy 并让其满足边界条件和位 5 弹性力学 移单值条件。 平面问题的直角坐标解答 —— 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。
一 逆解法与半逆解法 多项式解答
适用性： 由一些直线边界构成的弹性体。 目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数 Φ ，能解决什么样的力学问题。
1. 一次多项式
（2） 检验
（1） Φ( x, y ) ax by c
其中： a、b、c 为待定系数。
Φ是否满足双调和方程： 显然 Φ 满足双调和方程，因而可作为应力函数。
2
4 4 4 Φ Φ Φ 4 Φ 4 2 2 2 4 0 x x y y
M M
l
1. 形变分量与位移分量 （1）形变分量
由前节可知，其应力分量为：
x
1
h
y 0 xy 0
My M x y 3 I h / 12


(a)
1 My My xy 0 x y E I E I
(b)
y
（2）位移分量
将式（b）代入几何方程得：
平面应力情况下的物理方程：
（3） 对应的应力分量：
Φ x 2 Xx 0 Xx Xx y
2Φ y 2 Yy 0 Yy Yy x
y xy 0
6
2Φ xy 0 xy
若体力：X = Y =0，则有： x
结论： 弹性力学
（1）一次多项式对应于无体力和无应力状态；
1.相容方程
4Φ 4Φ 4Φ 2 2 2 4 0 4 x x y y
2.应力边界条件：
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
3.对多连体，还须满足位移单值条件 求出应力函数后，可按下式求应力分量，再求形变分量和位移分 2 量 2 2