弹塑性力学-第六章 弹性力学平面问题的直角坐标解答

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第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
平面问题 二
平面应力问题 平面应变问题
维 柱形杆扭转
问 题
轴对称问题
平板弯曲问题
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§6-1平面问题的分类
▪ 平面问题在工程中极为常见，而且平面 问题的解析解在整个弹性力学解析解中占有 较大比重。因此必须给予足够的重视。
或求
x yx 0, xy y 0 的通解
x y
x y
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§6-3 平面问题的基本解法
同时通解还需要满足相容方程：
2(x+y )=0
对于上面三个齐次微分方程要求出其通解， 仍是一个较复杂、困难的问题。
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§6-3 平面问题的基本解法
1862年Airy提出将满足三个齐次微分方程 的3个应力分量的齐次解由一个函数（应力函
y
2 x 2
xy
2 xy
（a）
应力函数 (x,y) 与待求应力分量齐次解
之间的微分关系是由两个齐次平衡微分方程 导出的：
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§6-3 平面问题的基本解法
x
x
yxyA yx
A x
xy
y
y
xxyB xy
得 ABA
x y
y
B y
xy
B x
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§6-3 平面问题的基本解法
x
y 2
fx x,
y
x2
fy
y,
xy
2 xy
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§6-3 平面问题的基本解法
在边界上应力分量满足力的边界条件 （在S上），用应力函数表示：
Xl(2y 2 fxx)m(x2 y)
Yl(x2 y)m(2x 2 fyy)
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§6-3 平面问题的基本解法
对于单连域，应力函数 (x,y) 满足双调 和方程 4= 0，且在S上满足用应力函数二 阶偏微分表示的边界条件，则由 (x,y) 导出
平面应变问题待求未知函数仍然八个：
3应力＋3应变＋2位移。
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§6-2平面问题的基本方程和边界条件
2.1 平衡微分方程（2个）
两个平面问题一致： ,+f=0, , =1,2
x yx X0 xy y Y 0
x y
x y
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§6-2平面问题的基本方程和边界条件
2.2 几何方程（3个）
y F
B oA
x
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§6-3 平面问题的基本解法
B
B
B A A (x x B ) Y d S A (y y B )X d S M B
(对B点取矩)逆时针为正。
下面推导一下
y F
B A
o x
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§6-3 平面问题的基本解法
对于无体力时 fx=fy= 0； 力的边界条件为
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类 §6-2平面问题的基本方程和边界条件 §6-3平面问题的基本解法 §6-4多项式应力函数运用举例
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第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
▪ 在第五章讨论了弹性力学问题的基本解法： 位移法和应力法，并结合简单的三维问题， 根据问题的特点，猜想问题的应力解或位移 解，并验证猜想的解是否满足应力法或位移 法的基本方程和边界条件，满足则为问题真 解。
数）的二阶微分来表示，使之自然满足齐次平 衡微分方程
, =0
这样应力法的齐次基本方程仅为用应力函数
表示的相容方程，使未知函数和基本方程
数均减为一个。
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§6-3 平面问题的基本解法
Airy提出应力函数 (x,y) 与齐次微分方程
中待求应力分量之间满足如下微分关系：
x
2 y 2
不考虑。
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§6-2平面问题的基本方程和边界条件
2.4 本构方程（3个）
平面应力问题
x E1 (x y),
xy 2(1E)xy
y E1 (y x),
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§6-2平面问题的基本方程和边界条件
2.4 本构方程（3个）
平面应变问题
x(1E2)(x1y),y (1E2)(y1x),
F
d dxC( Y)d SdyC(X)dSB C
dSdS A
dS A
oA
x
上式对s 积分得
B AA B d d
x C ( Y)d Sd
S A
d
S y A CX d d SS
采用分部积分
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2(x+y ) = 0
(x+y )为调合函数，与弹性系数无关，不
管是平面应力（应变）问题，也不管材料如何， 只要方程一致，应力解一致，有利实验。
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§6-3 平面问题的基本解法
3.2 应力函数解法 当体力为常量或为零时，按应力法解的
基本方程（共三个）为
,+f=0 , 2=0
1.1 平面应力问题
由物体几何特点和受力特点知：
在z
t 2处，XYZ0
z=zx=zy=0。
▪ 由于薄板很薄，表面三个应力分量为零，则
近似认为在 V 内
z=zx=zy=0。
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§6-1平面问题的分类
1.1 平面应力问题
▪ 应 力 分 量 仅 存 三 个 : x=x(x,y), y=y(x,y),xy=xy(x,y),均为x,y的函数。
u u , v v 在Su上
力的边界
Xlx myx
Y lxymy （在S 上）
（应力需要用位移微分表示）
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§6-3 平面问题的基本解法
3.2 应力法
基本未知函数（3个）：x , y ,xy=yx
基本方程（3个）：2个平衡微分方程
, + f= 0
1个相容方程：
2(xy)(1) (fxx fyy)
应力法基本方程的前两个为非齐次方程，所 以根据微分方程理论，非齐次微分方程的通 解等于其特解加上齐次微分方程的通解。
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§6-3 平面问题的基本解法
非齐次方程特解可以选
x= -fx x, y= - fyy ,xy= 0;
（特解还可以选其它形式）
下面工作求齐次微分方程 , =0 的通解，
两平面问题一致： 12(u, u,)
x
u x
,
y
v y
,
xy
u y
v x
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§6-2平面问题的基本方程和边界条件
2.3 相容方程（1个）
两平面问题一致：
2x
y2
2x2y
2xy
xy
对于平面应力问题还应有
2 z 0, x2
2 z y2
0,
2 z 0 xy
但对于薄板厚度尺寸远此三个方程可以
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第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
弹性体都是三维的，而受力（外力）一般 也是空间力系，但如果所研究弹性体具有某 种特殊形状，并且承受某种特殊规定的外力 和约束 。
弹性力学三维问题可以近似的简化为二 维问题处理，这将使分析和计算大大简化， 而所得结果也能满足工程上对精度的要求。
2. 无体力作用时，应力函数及其一阶偏导数 的边界值可分别由边界的面力的主矩和主矢 量来确定。
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§6-3 平面问题的基本解法
B
B
( x)B ( x)A A F y d S A Y d S R y
( y)B( y)AA BF xd SA BX d SR x
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§6-1平面问题的分类
1.2 平面应变问题 形状特点：物体一个方向尺寸（z 或x3）比其 它两个方向（x,y 或 x1 ,x2 ）大的多，如水坝、 涵洞。
x1 (x)
x3 (z)
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x2 (y)
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§6-1平面问题的分类
1.2 平面应变问题
▪ 受 体 = 力力conf和3s=t约f面z束=均情0可，况看面：成力沿对zX称(3或面x，Z3）对轴称0，方结这向构样无受x变对3 =化称z，
▪ 存在四个应变分量(待求量)：x , y , xy ,z （其中 z 不独立）
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§6-1平面问题的分类
1.1 平面应力问题 ▪ 位移分量待求量： u(x,y) , v(x,y)（考虑 平面内位移）. ▪ 平面应力问题待求未知函数一共八个：
3个应力＋3个应变＋2个位移
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应力分量为真解，对于复连域，还要考虑位移 的单值条件.
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§6-3 平面问题的基本解法
3.4 应力函数的特性
1. 应力函数加上一个线性函数 a+bx+cy，并 不影响应力，换句话说，某问题的应力函数为
，则 1=+a+bx+cy 也是问题的应力函数。
应力函数可确定到只差一个线性函数。
l 2y2 mx2y X l x2ym2x2 Y
l cosn(,e1)ddSy
mcosn,(e2)ddSx
y e2 dy
n ds
代入边界条件，得
o -dx e1
x
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§6-3 平面问题的基本解法
2y 2 ddSyx2yddSxX
d () X dS y
(x2 yddSy2x 2 ddSx)Y
▪ 平面问题分为平面应力问题和平面应变问 题两类。
▪ 下面将它们分类简要说明一下。
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§6-1平面问题的分类
1.1 平面应力问题
固体的形状特点：
物体一个方向尺 寸 比 其 它 两 个 方 向 x2
尺寸小的多（等厚
度薄板）。
o
x1
x2
x3
t
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§6-1平面问题的分类
1.1 平面应力问题 ▪ 受力和约束特点：沿厚度（x3方向）均匀分
布，体力 f3 = fz = 0 , 面力 X3 Z 0 ，在薄
板表面无面力，坐标系（x1 , x2 , x3）放在板 厚中间平面——中平面，以z(或x3）轴垂直板
面。满足上述条件的问题称为平面应力问题
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§6-1平面问题的分类
荷载和约束，则此对称面处的位移和变形为 零，即
w=0(z=0), zx=zy=0
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§3-1平面问题的分类
1.2 平面应变问题
平面应变问题：
应变分量仅有三个 x ,y , xy=yx
位移分量两个：u(x,y) , v(x,y)
应力分量：x , y ,xy , z（其中 z 不独立）
（平面应力问题时）
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§6-3 平面问题的基本解法
3.2 应力法
1个相容方程：2(xy)1 1( fxx fyy)
（平面应变问题时 ）
力边界条件： X n 在S =S上
Xlx myx Ylxymy
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§6-3 平面问题的基本解法
当体力为常数或体力为零时，两个平面问题 的相容方程一致
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§6-3 平面问题的基本解法
根据函数的求导公式 ddxdy dS x dS y dS
d dxC( Y)d SdyC(X)dSy
dSdS A
dS A
BC
F
而C为边界上动点
oA x
( x)B( x)AA BYd sR y
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§6-3 平面问题的基本解法 y
从而导出(a)式。则 (a) 式使得齐次的平衡微分 方程自然满足，将(a) 式代入相容方程，得
2( 2 y 2 2 x 2) 2 2 40
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§6-3 平面问题的基本解法 4 0
上式称为应力函数解法的基本方程（一个）
基本方程为由应力函数 满足的双调合方程
最后应力分量解为其特解加通解：
d ()Y dS x
积分得
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§6-3 平面问题的基本解法 y
F
d ( ) X , dS y
d ()Y B
dS x
o
A
积分得
x
( y)B ( y)AA B d d S ( y)d sA B X d s R x
( x)B( x)AA BYd sR y
基本方程两个：用 u , v 表示的平衡微分方程。 平面应力问题：
G 2uG 1 1 u, f0
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§6-3 平面问题的基本解法
其中 2 2 2 x2 y2
平面应变问题：
G 2uG 1 12u, f0
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§6-3 平面问题的基本解法
边界条件：位移边界
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§6-2平面问题的基本方程和边界条件
2.5 边界条件
位移边界条件：u u (=1,2）
u u , vv （在Su上）
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§6-2平面问题的基本方程和边界条件
力的边界条件： X n Xlx myx
Ylxymy （在S上）
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§6-3 平面问题的基本解法
3.1 位移法 基本未知函数：u(x,y) , v(x,y)
xy 2(1E)xy
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§6-2平面问题的基本方程和边界条件
两个平面问题的基本方程仅物理方程有所
不同，将平面应力物理方程中弹性系
数
E
E
1
2
，
1
，则平面应力问题的物理
方程变为平面应变问题的物理方程。所以按
平面应力问题求解的结果中弹性系数也如此
替换，则可得到平面应变问题解。
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