当前位置：文档之家 › 弹性力学-4-平面问题的极坐标解答

弹性力学-4-平面问题的极坐标解答

  • 格式：ppt
  • 大小：2.46 MB
  • 文档页数：12

下载文档原格式

  / 12

合集下载

弹性力学有限元第四章 平面问题的的极坐标解答

弹性力学有限元第四章 平面问题的的极坐标解答
2 2 整理后得： r x cos j y sin j 2 xy sin j cosj
Fj 0
பைடு நூலகம்
r j ( y x ) sin j cosj xy (cos2 j sin 2 j)
第四章 平面问题的极坐标解答
§4-3 极坐标中的应力函数与相容方程
根据上式，得到拉普拉斯算子：
2Φ 2Φ 2Φ 1 Φ 1 2Φ 2 2 2 2 x y r r r r j 2
第四章 平面问题的极坐标解答
§4-3 极坐标中的应力函数与相容方程
坐标变换式
O
(5) 应力的变换
1已知x,y,xy,求r,j,rj。
切应变： g rj
y
B C B'
b
1 u r b r j
第四章 平面问题的极坐标解答
§4-2 极坐标中的几何方程和物理方程
极坐标中的几何方程
O
(1) 只有环向位移ur的情况 径向PAP”A” 环向PBP”B”
j r P dr A dj
P" B uj
x
径向PA的正应变 er 0
坐标变换式
O x
(5) 应力的变换
采用与前面类似的方法：
j
yx
y x
Fj 0
y
j
单位厚度
jr
xy
j x sin 2 j y cos2 j 2 xy sin j cosj
2已知r,j,rj,求x,y,xy。 采用相似的方法，直接给出结果：
x r cos2 j j sin 2 j 2 rj sin j cosj y r sin 2 j j cos2 j 2 rj sin j cosj xy ( r j ) sin j cosj rj (cos2 j sin 2 j )

弹性力学第四章平面问题的极坐标解答

弹性力学第四章平面问题的极坐标解答

圆环或圆筒受均布压力（1）
q2 q1
边界条件：
圆环或圆筒受均布压力（2）
q2
q1
两个方程三个未知数，不能求解A，B，
C。因此，需引入位移单值条件：
该项必须为零，否则在环上同一点有两 个不同的位移，故B=0
圆环或圆筒受均布压力（3）
பைடு நூலகம்q2
q1 因此，得到圆筒受均匀压力的拉梅 （ me,1795—1870 ，法国）解答：
小孔口问题的特点：
1.集中性，孔附近的应力远大于较远处的应力。
2.局部性，孔口附近的应力扰动主要发生在距孔 边1.5倍孔口尺寸的范围内。在此区域外，由于开 孔引起的应力扰动一般小于5%，可以忽略不计。
注：圆孔的应力集中程度较低，有凹尖角的孔口 应力集中程度较高，因此，在设计结构时应尽量 避免有凹尖角的孔口。
o
x 在仅有径向位移的情况下，段
P P’ A
PA没有转动，因此：
A’
B
C
y
B’
极坐标中的几何方程（5）
— 纯环向位移下的线应变
o
x
很小，导致P’’A’’与PA
P P’’
的差别可以忽略，因此：
A
B B’’
D
D’
A’’
y
极坐标中的几何方程（6）
— 纯环向位移下的切应变
o
x
P
P’’
A
B B’’
D
D’
A’’
阶，因此假定：
半面体在边界上受集中力（2）
F
ao
c
ρ
代入极坐标中的相容方程：
b
得到：
半面体在边界上受集中力（3）
代入：
F
ao

弹性力学 第四章 平面问题的极坐标解答

弹性力学 第四章 平面问题的极坐标解答

s = sσ
(3) 多连体中的位移单值条件
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·问题的提出
工程中有些问题, 用极坐标计算方便, 但应力分量用直角坐 标表述更直观. 反之也存在.
由此需要对应力分量进行坐标变换.
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
已知 σx、σy、τxy , 求 σρ、συ、τρυ？
y
fρ τ + ∂τρυdρ ρυ ∂ρ ∂συ dυ συ+ ∂σρ ∂υ σρ+ dρ ∂τυρ C ∂ρ dυ τυρ+ ∂υ
B
fυ
§ 4-1 极坐标中的平衡微分方程
·平衡微分方程
x
υ dυ ρ
Σ Fρ = 0 :
συ
A
σρ τρυ P τυρ
∂σρ σρ+ dρ (ρ+dρ)dυ - σρ ρdυ ∂ρ ∂συ dυ - συ+ dυ dρ sin ∂υ 2 + τυρ+ - συ dρ sin
Σ Fυ = 0 :
συ = ?
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
συ = ?
将两坐标系下微元体组合
τyx σy σx συ
τυρ τxy
§ 4-4 应力分量的坐标变换式
·坐标变换
已知 σx、σy、τxy , 求 σρ、συ、τρυ？
O x
υ
τyx
σy σx
συ y
τυρ τxy
Σ Fυ = 0 :
O h/2 h/2 lqx源自(v)x=0, l = 0
应力边界条件： ( σy ) y=-h/2 = - q (τyx ) y=-h/2 = 0 ( σy ) y= h/2 = 0 (τyx ) y= h/2 = 0

弹性力学：第四章 平面问题的极坐标解答

弹性力学：第四章 平面问题的极坐标解答
两 面面积不等，分别为 ρd φ ， ρ d ρ d φ 。
从原点出发为正， 从 x 轴向 y 轴方向 转动为正。
微分体上的作用力有：
体力-- f ρ , fφ ， 以坐标正向为正。 应力-- ρ面， φ面分别表示应力及其 增量。
应力同样以正面正向，负面负向的应力为正，反 之为负 。
平衡条件：
(b)
u u sin v cos。
导数的变换：
将对 x, y 的导数，变换为对 , 的导数：
F (x, y) 可看成是 F (, )，而 , 又是 x, y
的函数，即 F 是通过中间变量 , 为 x, y
的复合函数。
有: F
Φ Φ ρ Φ φ , x ρ x φ x
Φ y
Φ ρ
ρ y
d
2
f ρ ρddρ
0
上式中一阶微量相互抵消，保留到二阶微量，得
1
f
0。
(a)
式( a )中 1、2、4 项与直角坐标的方向相似; 而
σρ
ρ -- 是由于 面ρ面积大于 面的ρ面
积而引起的，
σφ ρ
-- 是由于 面上的
在C点的
向有 投影。
Fφ 0 --通过形心C的 φ向合力为0，
故物理方程形式相似。
平面应力问题的物理方程：
1 E
(
),
1 E
(
),
2(1 E
)
。
对于平面应变问题，
只须作如下同样变换，
E
1
E
2
,
。 1
泰勒展开
Exercise : Chap 4
Today: 4-1， 4-2 End of Lecture 9
边界条件

弹性力学徐芝纶版第4章

弹性力学徐芝纶版第4章

第四章 平面问题的极坐标解答
比 较
1 f 0。 (a) x yx fx 0 x y
式(a)中第一、二、 四项与直角坐标的方 方程相似; 而第三项 分别由PB、AC面不 相等和PA、BC面不平 行引起。
为边界上已知的面力分量。
常数，或 常数,
故边界条件形式简单。
第四章 平面问题的极坐标解答
例：写出应力边界条件（集中力偶作用处为小边界） b a 0 d 0 0 a 0
a
b 0 b 0
0
q
2
2
0
0 0

l
q0
0
0
0
0
2
2
0
0
第四章 平面问题的极坐标解答
PB线应变 PB PB PC PB (ρ u ρ ) d υ ρ d υ u ρ ευ PB PB ρdυ ρ
第四章 平面问题的极坐标解答
PA转角 0, PB转角
O

d

x P
d
P
A
u
B C
u
A
u
d
y B ( u )d CB β tan u PC u d u ρ u ρ (u d υ) u ρ dυ υ υ ∴切应变为 ρ u d υ d
1.只有径向位移 u ，求形变。 P,A,B 变形后为 P', A', B'， 在小变形假定 O x β 1 下， u P d d

弹性力学简明教程-第四章_平面问题的极坐标解答习题详解

弹性力学简明教程-第四章_平面问题的极坐标解答习题详解

第四章 平面问题的极坐标解答典型例题讲解例4-1 如图所示，矩形薄板在四边受纯剪切力作用，切应力大小为q 。

如果离板边较远处有一小圆孔， 试求孔边的最大和最小正应力。

例4-1图【解】（1）根据材料力学公式，求极值应力和量大正应力的方位角α0max min 2x y σσσσ+⎫=⎬⎭ 其中0,,x y x q σστ===得max min ,q q σσ==-。

最大正应力σmax 所在截面的方位角为α0max 0max 0tan 104yqq τασσπα=-=-=-→--=-qqx若在该纯剪切的矩形薄板中，沿与板边成π4方向截取矩形ABCD ，则在其边界上便承受集度为q 的拉力和压力，如图所示。

这样就把受纯剪切作用的板看作与一对边受拉，另一对边受压的板等效。

（2）取极坐标系如图。

由2222442222cos 2(1)(13),cos 2(13),(4-18)sin 2(1)(13).ρφρφr r σq φρρr σq φρr r τq φρρ⎫=--⎪⎪⎪⎪=-+⎬⎪⎪=--+⎪⎪⎭得矩形薄板ABCD 内的应力分量为()()()2222442222cos 2(1)(13)cos 2(13)sin 2(1)(13)ρφρφa a σq φa ρρa σq φb ρa a τq φc ρρ=--=-+=--+ 其中α为小孔的半径，而孔边最大与最小正应力由式（b ），在ρ=α处得到44cos 2(13)4cos 2,φa σq φaϕ=-+=-当φ=0，π时，孔边最小正应力为(σφ)min=−4q ，当φ=±π2时，孔边最大正应力为(σφ)max=4q 。

分析：矩形板ABCD 边界上各点的应力状态与板内无孔时的应力状态相同。

也可以应用叠加法，求解薄板的各种较复杂的平面应力（应变）问题。

习题全解4-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。

弹性力学第4章-平面问题的极坐标解答


两面不平行, d 夹角为 φ; 两
ρ 面面积不等,分别为 ρdφ, ( ρ + d ρ) dφ. ρ从原点出发为正, 从 x 轴向 y 轴方向转动为正.
微分体上的作用力有: 微分体上的作用力有
体力-- f ρ , f φ , 以坐标正向为正. -应力---
作用力
±ρ
面, φ 面分别表示应力及其增量. ±
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程及物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移
第六节 第七节 第八节 第九节 第十节 例题
圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞 圆孔的孔口应力集中 半平面体在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力
基本方程的区别. 对于圆形,弧形,扇形及由径向线和环向围成的物 体,宜用极坐标求解.用极坐标表示边界简单,使边界条 件简化.
在A内任一点(ρ, )取出一个微分体,考虑其平 衡条件. 微分体:由夹 角为d φ的两 径向线和距离 为d ρ的两环 向线围成.
§4-1 极坐标中的平衡微分方程
注意: 注意:
即 Φ是通过中间变量 ρ,φ ,为 x, y 的复合函数. 有: Φ = Φ ρ + Φ φ, Φ=Φρ +Φφ. 而
ρ x φ x y ρ y φ y sin cos ρ ρ = , = sin; = cos, . = ρ x y ρ y x x
代入,即得一阶导数的变换公式,
Φ sin Φ sinφ Φ=cosφ =(cosφ )Φ x ρ ρ φ ρ ρ φ
u = uρ cos u sin, v = uρ sin + u cos.
(c) (d)

弹性力学-平面问题的极坐标解答


l r
s
m
s
k
ur , u 为边界上已知位移， kr , k 为边界上已知的面力分量。
（位移单值条件）
r
r
r
0
r l
q0
r 0 0
0 r 0
r ra 0 r ra 0
r rb 0 r rb 0
b
a 0 dr 0
b
a r 0 dr 0
b
a 0 rdr M
d
r
P
ur
B
B
ur d
x
dr ur
A
P
A
1
(r ur )d
ur r
dr
径向线段PA的转角： 1 0
线段PB的相对伸长： 1
（b）
PB PB (r ur )d rd
PB
rd
ur （c） r
环向线段PB的转角：
tan 1 1
BB PP PB
(ur
ur
d )
ur
rd
1 ur
2
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
极坐标下的相容方程为：
22
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
0
4
22
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2
0
说明： 方程（4－6）为常体力情形的相容方程。
（4－6）
结论： 弹性力学极坐标求解归结为
（1） 由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数 (r, )

弹性力学-04(习题答案)


1 )
(sin
22
sin
21)
y
q0
2
2(2
1) (sin
22
sin
21)
xy
q0
2
(cos 22
cos 21)
aa q
证法1:（叠加法）
y
1
O 2
P
x
证法1:（叠加法） 分析思路：
aa q
y
1
O 2
P
x
aa
q
y
O
P x
q
aa
y
O
P x
求解步骤： 由楔形体在一面受均布压力问题的结果：
刚体
r
a2b2
(1 2)b2
a2
q(
1 b2
1
r
2
2
)
a2b2
(1 2)b2
a2
q(
1 b2
1
2
r2
)
ra
r
a2b2
(1 2)b2
a2
q(
1 b2
1
2
a2
)
q
a2b2
(1 2)b2
a2
q(
1 b2
1
2
a2
)
习题4-4 矩形薄板受纯剪，剪力集度为q，如图所示。如果离板边较 远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。
解：由图（a）给出的孔 边应力结果：
q
q(1 2cos 2 )
得：
q
x
q
r
q
q
x
r
q 1 2cos 2( 45)
y (a)
q1 2cos 2( 45)
q1 2sin 2 q1 2sin 2

弹性力学--平面问题的极坐标解答2


§4-5 轴对称应力和相应的位移 如果物体的形状或某物理量是绕一轴对 称的，通过对称轴的任何面都是对称面，称 为轴对称问题。如果应力绕Z 轴对称，应力 分量仅是径向坐标的函数，与环向坐标无关, 切应力为零。例如受内、外压的圆筒。
即:轴对称应力问题 应力数值轴对称—仅为 ρ 的函数
τ ρφ τφρ 0
（a2）

u 1 u u 1 u u u 0
（a3）

1 u u u
积分式（a）中的第一式，有
1 A u (1 ) 2(1 ) B (ln 1) (1 3 ) B E 2(1 )C f ( )
(5) 轴对称应力及位移的通解，可以用于求 解应力或位移边界条件下的任何轴对称问 题。
(6) 对于平面应变问题，只须将 E, μ换为
E , 。 2 1 1
具体说明： （1）在轴对称应力条件下，上面几个表达式 为应力函数、应力和位移的通解，适用 于任何轴对称应力问题。 （2）在轴对称应力条件下，形变也是轴对称 的，但位移不是轴对称的。 （3）实现轴对称应力的条件是，物体形状、 体力和面力为轴对称。
(4) 轴对称应力及对应的位移的通解已满足 相容方程，它们还必须满足边界条件及多连 体中的位移单值条件，并由此求出其系数 A、B及C。

c
a
x
A
y


b
xy
x
图4-4
如图4-4，在弹性体中取微小三角板A， 各边上的应力如图所示。三角板的厚度取为 一个单位。令bc边的长度为ds，则ab边及ac 边的长度分别为 ds sin 及 ds cos 。
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
弹性力学
洛阳理工学院 土木工程系
2020/7/16
第四章 平面问题的极坐标解答
本章学习指南
本章将系统地平面问题极坐标解答的基 本理论。主要内容如下：
1、极坐标系下平面问题的基本方程； 2、极坐标系下按应力求解的方法； 3、极坐标系下典型问题的求解；
2020/7/16
本章学习指南
为了牢固地掌握极坐标系下平面问题的 基本理论，要求理解：
力，用sj表示；切应力用trj及tjr 表示
➢正负号规定：正坐标面上以沿正坐标方向为正，负向为负
；负坐标面上以沿负坐标方向为正，正向为负；
➢径向及环向的体力分量分别用fr和fj表示，以沿正坐标方向
202为0/7正/16 ，负向为负。
§4.1 极坐标中的平衡微分方程 ➢ 考虑问题的基础知识：平面上的静力学知识 ➢ 分析问题方法：平面力系和力矩的平衡条件 ➢ 分析手段：微分单元体（微分） ➢ 意义：平面区域内任一点的微分体的平衡条件
2020/7/16
主要内容
极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移 圆环或圆筒受均布压力 圆孔的孔口应力集中 半平面体在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力
2020/7/16
§4.2 极坐标中的几何方程与物理方程
绪论 ➢ 采用极坐标系求解的优点：对于由由径向线或圆弧线所围
成的圆形、圆环形、楔形、扇形等弹性体，由于用极坐标表示 其边界线非常方便，从而使得边界条件的表示和基本方程的求 解得到很大的简化，宜用极坐标求解。
➢ 极坐标系中任一点用径向坐标 r 和
环向坐标 f 表示，与直角坐标系相比： 相同点：均为正交坐标系； 不同点：直角坐标系中两坐标线均
➢ 极坐标系中的应变分量：
径向线应变er ：径向线段的线应变 环向线应变ej ：环向线段的线应变 切应变grj ：径向和环向两线段间直角的改变
➢ 极坐标系中的位移分量：
径向位移ur ：径向方向的位移 环向位移uj ：环向方向的位移
➢ 为了推导方便，先分别考虑只有径向位移和只有环
向位移的情形，然后根据弹性力学的叠加原理，得到
er
ur
r
ej
ur
r
+
1
r
uj
j
（4-2）
g rj
1
r
ur
j
+ uj
r
uj
r
➢应用了两个基本假设：连续性假设和小变形假
设，这也是其适用的条件；
2020/7/16
M 0
2020/7/16
t rj tjr
2020/7/16
极坐标中的平衡微分方程
➢力系平衡条件：
将微分体所受各力分别投影 到微分体中心的径向轴和环向 轴上，可分别列出径向和环向 的平面平衡方程，即
Fr 0 Fj 0
s r r
+
1
r
t rj j
+sr
sj r
+
fr
0
t rj r
+
1
r
s j j
径向和环向位移都发生时极坐标系中的几何方程。
2020/7/16
极坐标中的几何方程
➢首先，假定只有径向位移，图中P、A和B点的位移分别为：
➢径向线段PA的线应变和转角分别为
er
PA PA PA
ur
r
0
➢环向线段PB的线应变和转角分别为
PP ur
AA
ur
+
ur
r
dr
BB
2020/7/16
ur
+
+
2t rj r
+
fj
0
❖ 径向的平衡方程
s
r
+
s r r
(r
+
dr )dj
s r rdj
s j
+
s j j
dj
dr
sin
dj
2
sj dr
sin
dj
2
+
t rj
+
t rj j
dr
cos dj
2
t rj dr
cos dj
2
+
fr j
0
PB及AC的面积分别为：rdj和(r + dr )dj PA及BC的面积为： dr
2020/7/16
极坐标中的平衡微分方程
➢径向面PB和AC的面积不相同，
分别为 rdf×1 和 (r+dr )df ×1， 环向面PA和BC的面积均为dr ×1 ，但两者不平行。
与直角坐标中相似，利用 级数展开，可求出各微面 上的应力。
➢力矩平衡条件：
由通过中心点并平行于Z轴的直 线为转轴，根据力矩的平衡条件， 可推导出“切应力互等定理”，即
AA PP uj
PA
r
➢环向线段PB的线应变和转角分别为
PP uj
AA uj
+
uj
r
dr
BB uj
2020/7/16
+
uj
j
dj
ej
PB PB PB
1
r
uj
j
POP uj r
➢切应变为
g rj
+
uj
r
uj
r
极坐标中的几何方程
➢根据叠加原理，当同时发生径向和环向位移时，
极坐标中的几何方程为上述两种情形结果的叠加：
ur
j
dj
( ) ej
PB PB PB
r + ur dj rdj ur
rdj
r
BB PP ur
+ ur
j
dj ur
1
ur
PB
rdj
r j
➢切应变为
g rj
+
1
r
ur
j
极坐标中的几何方程
➢其次，假定只有环向位移，图中P、A和B点的位移分别为：
➢径向线段PA的线应变和转角分别为
er 0
1、极坐标系求解的适用对象； 2、极坐标系下基本未知函数的表示方法 及与直角坐标表示法的异同； 3、极坐标系下基本方程和按应力求解方 法，并比较与直角坐标系的基本方程和解法 的异同；
2020/7/16
主要内容
2020/7/16
极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移 圆环或圆筒受均布压力 圆孔的孔口应力集中 半平面体在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力
由于dj是微小的，所以sin dj dj , cos dj 1
22
2
2020/7/16
平衡微分方程：注意事项
➢列平衡条件时，应力和体力应分别乘以其作用
面积和体积，才能得到合力；
➢应用了两个基本假设：连续性假设和小变形假
设，这也是其适用的条件；
➢平衡微分方程表示了平面区域内任一点的平衡条件 ➢平面应力问题和平面应变问题的平衡微分方程相同
为直线，有固定方向，量纲均为L；而 极坐标系中径向坐标线为直线，环向坐 标线则为圆弧曲线，不同点有不同方向 ，量纲分别为L和一。
➢2020/上7/16述区别会引起弹性力学基本方程的差异。
绪论
➢应力分量的定义：
选取由两条径向线和两条环向
线所围成的微分体PACB，厚度 为1。沿r方向的正应力称为径向 正应力，用sr表示；沿j方向的正 应力称为环向正应力或切向正应