数学分析_各校考研试题及答案

2022年华南理工数学分析考研试题及解答n例1.设f:RnRn，且fC1R，满足f某fy某y，对于任意n，都成立.试证明f可逆，且其逆映射也是连续可导的.某,yR证明显然，对于任意某,yRn，某y，有f某fy，f是单射，所以f1存在，由f1某f1y某y，知f1连续，由f某fy某y，得对任意实数t0,向量某,hRn,有f某thf某th，f某thf某h在中令t0，取极限，则有t得Jf(某)hh，任何某,hRn,从而必有|Jf(某)|0，Jf可逆，由隐函数组存在定理，所以f1存在，且是连续可微的。

例2.讨论序列fntinnt在0,上一致收敛性.nt11解方法一显然fnt，nt对任意t0,，有limfnt0，nfntinntntt，ntntt0limfnt0，关于n是一致的；对任意0，当t,时，fnt11，n于是fnt在,上是一致收敛于0的，综合以上结果，故fnt在0,上是一致收敛于0的.方法二由fntinntntinntntnt1，ntn即得fnt在0,上是一致收敛于0的例3、判断n1n在某1上是否一致收敛.某n例4.设f某在,上一致连续，且2f某d某收敛，证明limf某0.某2某yz例5.求有曲面21所围成的立体的体积其中常数a,b,c0.abc例6、设D为平面有界区域，f某,y在D内可微，在D上连续，在D的边界上f某,y0，在D内f满足方程试证：在D上f某,y0.fff.某y证明因为f某,y在D上连续，设Mma某f某,y，某,yD则M0，假若M0，则存在某0y0D，使得f某0y0M，于是有ff某0y00，某0y00，某yff这与某0y0f某0y00矛盾，某y假若M0，亦可得矛盾.同理，对mminf某,y，亦有m0，某,yD故f某,y0，某,yD.一．求解下列各题1、设，数列{某}满足lima0nn某na某na。

0，证明limn某na21、解由0lim某na2alim1，n某an某ann知lim2a1，所以lim某na.nn某anco某,当某为有理数f(某)2、设当某为无理数，0,证明f(某)在点某kk1（k为任意整数）处连续，而在其它点处不连续。

数学分析考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不一定连续D. f(x)在x=a处可微答案：A2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点为：A. 1B. 2C. 3D. 1和2答案：D4. 若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则下列说法错误的是：A. f(x)在(a,b)上必有最大值B. f(x)在(a,b)上必有最小值C. f(x)在(a,b)上可以没有最大值D. f(x)在(a,b)上可以没有最小值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2+3x+2，则f'(x)=_________。

答案：2x+32. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的切线斜率为_________。

答案：13. 设函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=_________。

答案：1/x4. 若函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处取得极小值，则c=_________。

答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。

答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+11。

令f'(x)>0，解得x<1或x>3；令f'(x)<0，解得1<x<3。

因此，函数f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减。

2. 求极限lim(x→0)(x^2sinx/x^3)。

答案：lim(x→0)(x^2sinx/x^3) = lim(x→0)(sinx/x^2) = 0。

3. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-9x+1在x=-3处取得极小值。

南开大学年数学分析考研试卷答案一、设),,(x y x y x f w -+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w .解：令u =x +y ，v =x -y ，z =x ，则z v u x f f f w ++=；)1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w二、设数列}{n a 非负单增且a a nn =∞→lim ，证明a a a a nn n n n n =+++∞→121][lim .解：因为a n 非负单增，故有nn n nnn n n n na a a a a 1121)(][≤+++≤ .由a a nn =∞→lim ；据两边夹定理有极限成立。

三、设⎩⎨⎧≤>+=0,00),1ln()(2x x x x x f α,试确定α的取值范围，使f (x )分别满足：（1） 极限)(lim 0x f x +→存在（2） f (x )在x=0连续 （3） f (x )在x=0可导 解：（1）因为)(lim 0x f x +→=)1ln(lim20xx x ++→α=)]()1(2[lim 221420n nn x x o nx x x x +-++--→+α极限存在，则 2+α0≥知α2-≥.(2)因为)(lim 0x f x -→=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α.（3）0)0(='-f 所以要使f(x)在0可导则1->α.四、设f (x )在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++⎰)(22与积分路径无关.解；令U =22y x+，则ydy xdx y x f l ++⎰)(22=21du u f l )(⎰又f (x )在R 上连续，故存在F （u ）使d F (u )=f (u )du=ydy xdx y x f ++)(22. 所以积分与路径无关。

五、 设f(x)在[a,b]上可导，0)2(=+ba f 且Mx f ≤')(,证明2)(4)(a b Mdx x f b a -≤⎰ 证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在)2)(()2()(),(ba x fb a f x f b a +-'=+-∈ξξ使即有dx ba x f dx x f baba)2)(()(+-'=⎰⎰ξ222)(4])2()2([)2)((a b M dx b a x dx x b a M dx b a x f bb a ba ab a-=+-+-+≤+-'≤⎰⎰⎰++ξ六、设}{n a 单减而且收敛于0。

武汉科技大学2022年《数学分析》考研真题与答案解析一、选择题1、=（ ）.2019lim sin 2019x x x →∞A.∞B.0C.1D.2019.2、若级数和都收敛，则级数（ ）.21n n a ∞=∑21n n b ∞=∑1n n n a b ∞=∑A.一定绝对收敛B.一定条件收敛C.一定发散D.可能收敛也可能发散.3、反函数组的偏导数与原函数组的偏导数之间的关系正确的{(,)(,)x x u v y y u v =={(,)(,)u u x y v v x y ==是（ ）.A.1x u u x ∂∂⋅=∂∂B.1x u y u u x u y∂∂∂∂⋅+⋅=∂∂∂∂C.2x u x v u x v x ∂∂∂∂⋅+⋅=∂∂∂∂D..1x u x v u x v x∂∂∂∂⋅+⋅=∂∂∂∂4、设，是上的连续函数，则（ ）.22:1D x y +≤f D Df d σ=⎰⎰A.1202()f r drπ⎰B.104()rf r drπ⎰C.102()rf r drπ⎰D..1204()f r dr π⎰5、由分片光滑的封闭曲面所围成立体的体积（ ）.∑V =A.13xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰ B.13xdydz ydzdx zdxdy ∑-+-⎰⎰ C.13zdydz xdzdx ydxdy ∑++⎰⎰ D..13ydydz zdzdx xdxdy ∑++⎰⎰ 二、计算题1、求极限.135(21)lim 2462n n n →+∞⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ 2、求极限.2lim(sec tan )x x x π→-3、计算，其中是空间连接点和点的线段．(25)L xy yz ds -⎰L (1,0,1)(0,3,2)三、解答题1、已知伽马函数，证明：有.10()s x s x e dx +∞--Γ=⎰0s ∀>(1)()s s s Γ+=Γ2、求.22120lim 1dx x αααα+→++⎰3、设，求的傅里叶级数展开式．,0()0,0x x f x x ππ≤≤⎧=⎨-<<⎩()f x四、证明题设.求证：，使得，且0x >(0,1)θ∃∈0xt x e dt xe θ=⎰lim 1x θ→+∞=五、证明题设，试证方程01120112n n a a a a a n n n -+++++=+- 1201210n n n n n a x a x a x a x a ---+++++= 在0与1之间至少存在一个实数根。

华东师大数学分析《数学分析》考研2021考研真题库第一部分考研真题一、判断题1设级数收敛，则收敛。

[华东师范大学2008年研]【答案】对查看答案【解析】设b n＝1/n，则{b n}单调有界；收敛，由Abel判别法，知收敛，或者设b n＝1/n，则{b n}单调递减趋于0，收敛，有界，由Dirichlet判别法，知收敛。

2设f（x，y）在（x0，y0）的某个邻域内有定义且则f（x，y）在（x0，y0）处连续。

（）[华东师范大学2008年研] 【答案】错查看答案【解析】反例设显然有但是即是否为0还要取决于θ的值，所以f（x，y）在点（0，0）处不连续。

1数列{a n}收敛的充要条件是对任意ε＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，恒有｜a2n－a n｜＜ε。

（）[华东师范大学2008年研]【答案】错查看答案【解析】可举反例加以证明：设数列{a n}收敛，则对任意ε＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，恒有｜a2n－a n｜＜ε。

反之不真，例如设显然有但{a n}发散。

2对任意给定的x0∈R，任意给定的严格增加正整数列n k，k＝1，2，…，存在定义在R上的函数f（x）使得f（k）（x0）表示f（x）在点x0处的k阶导数）。

（）[华东师范大学2008年研] 【答案】对查看答案【解析】例如函数f（x）＝（x－x0）n就满足条件。

3设f（x）在[a，b]上连续，且，则f（x）在[a，b]上有零点。

（）[华东师范大学2008年研]【答案】对查看答案【解析】因为f（x）在[a，b]上连续，所以存在ξ∈（a，b），使得即f（x）在（a，b）内有零点。

4对数列{a n}和若{S n}是有界数列，则{a n}是有界数列。

（）[北京大学研]【答案】对查看答案【解析】设｜S n｜＜M，则｜a n｜＝｜S n－S n－1｜≤2M。

数学分析考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是有界函数？A. f(x) = sin(x)B. f(x) = e^xC. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x2. 函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，那么：A. f(a)存在B. f(a) = 0C. lim(x->a) f(x) = f(a)D. lim(x->a) f(x) 不存在4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/35. 函数序列fn(x) = x^n在[0, 1]上一致收敛的n的取值范围是：A. n = 1B. n > 1C. n < 1D. n = 26. 级数∑(1/n^2)是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 无界序列7. 如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么：A. f(x)在[a, b]上连续B. f(x)在[a, b]上一定有界C. f(x)在[a, b]上单调递增D. f(x)在[a, b]上无界8. 函数f(x) = |x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导9. 微分方程dy/dx + y = 0的通解是：A. y = Ce^(-x)B. y = Ce^xC. y = Csin(x)D. y = Ccos(x)10. 函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式是：A. f(x) = 1 + x + ...B. f(x) = x + ...C. f(x) = 1 + x^2 + ...D. f(x) = 1 + x^3 + ...二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x->0) (sin(x)/x) 的值是 _______。

12. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的拐点是 _______。

考研数学分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b) = 0，若f(x)在区间(a, b)内至少有一个最大值点，则下列说法正确的是（）。

A. f(x)在[a, b]上必有最大值B. f(x)在[a, b]上必有最小值C. 函数f(x)在[a, b]上单调递增D. 函数f(x)在[a, b]上单调递减2. 下列级数中，发散的是（）。

A. ∑(-1)^n / nB. ∑1/n^2C. ∑(1/n - 1/(n+1))D. ∑sin(n)3. 已知函数F(x)在点x=c处可导，且F'(c)≠0，那么下列说法中正确的是（）。

A. F(x)在x=c处连续B. 函数F(x)在x=c处一定取得最大值或最小值C. 可导性不能保证函数的连续性D. F(x)在x=c处取得极值4. 对于函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5，其在区间[1, 5]上的最大值是（）。

A. 5B. 10C. 15D. 205. 设f(x)在[a, b]上可积，若∫[a, b] f(x) dx = 10，则下列说法中错误的是（）。

A. f(x)在[a, b]上非负B. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) > 0C. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) = 10/b - aD. f(x)可以是负函数6. 函数f(x) = e^x / (1 + e^x)的值域是（）。

A. (-∞, 0)B. (0, 1/2)C. (0, 1)D. (1/2, +∞)7. 下列选项中，不是有界函数的是（）。

A. y = sin xB. y = e^xC. y = x^2D. y = 1/x8. 设函数f(x)在点x=1处可导，且f'(1) = 2，那么f(1 + h) - f(1)在h趋近于0时的表达式是（）。

A. 2hB. 2h + o(h)C. h^2D. o(h)9. 对于函数f(x) = x^2，其在区间[-1, 1]上满足拉格朗日中值定理的条件，且存在ξ∈(-1, 1)，使得（）。

数学分析1考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是否连续？A. 是B. 否答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 以下哪个函数在x=0处不可导？A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：B4. 函数f(x) = x^2 + 3x - 4的零点个数是？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/4 + 1/9 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x的导数是________。

答案：3x^2 - 32. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。

答案：e^x + C3. 函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的定积分是________。

答案：8/34. 函数f(x) = sin(x)的原函数是________。

答案：-cos(x) + C5. 函数f(x) = ln(x)的定义域是________。

答案：(0, +∞)三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限lim(x→∞) (x^2 - 3x + 2) / (x^3 + 5x^2 - 2x)。

答案：02. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1在区间[1, 3]上的定积分。

答案：-43. 求函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的极值点。

答案：x = 3/4四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是单调递增的。

答案：略2. 证明函数f(x) = x^3在x=0处连续。

数学分析各校考研试题与答案2003南开⼤学年数学分析⼀、设),,(x y x y x f w-+=其中),,(z y x f 有⼆阶连续偏导数，求xy w解：令u=x+y,v=x-y,z=x 则z v u x f f f w ++=；)1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w⼆、设数列}{n a ⾮负单增且a a nn =∞→lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞→121][lim解：因为an ⾮负单增，故有n n n nnn n n n na a a a a 1121)(][≤+++≤由a a n n =∞→lim ；据两边夹定理有极限成⽴。

三、设?≤>+=0,00),1ln()(2x x x x x f α试确定α的取值围，使f(x)分别满⾜：（1）极限)(lim 0x f x +→存在（2） f(x)在x=0连续（3） f(x)在x=0可导解：（1）因为)(lim 0x f x +→=)1ln(lim 20x x x ++→α=)]()1(2[lim 221420n nα极限存在则2+α0≥知α2-≥(2)因为)(lim 0x f x -→=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α（3）0)0(='-f 所以要使f(x)在0可导则1->α四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径⽆关解；令U=22y x+则ydy xdx y x f l ++?)(22=21du u f l )(?⼜f(x)在R 上连续故存在F （u ）使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22所以积分与路径⽆关。

（此题应感⼩毒物提供思路）五、设f(x)在[a,b]上可导，0)2(=+ba f 且Mx f ≤')(,证明2)(4)(a b Mdx x f b a -≤?证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗⽇中值定理，存在)2)(()2()(),(ba x fb a f x f b a +-'=+-∈ξξ使即有dx ba x f dx x f ba)(()(+-'=??ξ222)(4])2()2([)2)((a b M dx b a x dx x b a M dx b a x f bb a ba a ba-=+-+-+≤+-'≤++ξ六、设}{n a 单减⽽且收敛于0。

数学分析-考研真题详解1．单调序列中有一个子序列收敛，则收敛．（）[武汉大学研]【答案】对查看答案【解析】不妨设单增，即又设则可证：用反证法，若．那么这与①式矛盾，因此单调递增有上界a，从而有极限，即证收敛．事实上还可证时，有再由，对上述ε，存在N2，当时有再令，当n>N时2．序列的子序列和收敛，则收敛．（）[武汉大学研] 【答案】错查看答案【解析】举反例：数列，和都收敛，但不收敛．3．序列收敛，则序列收敛，其逆命题也成立．（）[武汉大学研] 【答案】错查看答案【解析】举反例：收敛，但不收敛．4．收敛，则．（）[武汉大学研]【答案】错查看答案【解析】举反例：收敛，但5．函数序列，满足对任意自然数p及，有，则一致收敛．（）[武汉大学研] 【答案】错查看答案【解析】比如在上满足条件，但在[0，1]上不一致收敛．二、解答题1．用极限定义证明，当a>1时，，并讨论当0＜a≤1时，极限是否存在。

如果存在，极限是多少。

[上海理工大学研] 证明：当a>1时，令，则。

由得对于任意给定的ε>0，取，则当n>N时，就有，即，所以当0＜a＜1时，；当a＝1时，2．叙述发散的定义，证明{cosn}，{sinn}发散。

[大连理工大学研、武汉大学2006研]证明：设不以a为极限。

存在，对任意的N，有，使得，下证{sinn}不收敛。

存在，对任意的N，有，则有所以。

（柯西（Cauchy）收敛准则）3．证明：若数列无上界，则必有严格单调增加且趋于＋∞的子列。

[上海理工大学研] 证明：因为数列无上界，所以存在。

同样因为数列无上界，所以存在。

依次类推，可得到的子列满足显然是的严格单调增加且趋于＋∞的子列。

4．设定义证明：（1）（2）[四川大学、天津大学研] 证明：（1），由L’Hospital法则（2）当x→＋∞时，令则由两边夹法则可知：。

大连理工大学硕士研究生测验数学分析试题及解答————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：大连理工大学2005硕士研究生考试试题数学分析试题及解答一、计算题1、求极限：1222 (i),lim nnn na a na a an其中解：1212222...(1)(1)limlimlim()(1)212nn n nnna a na n a n a a Stolz nn nn 利用公式2、求极限：21lim (1)xxxe x解：2222221(1)1lim (1)lim()1111(1)(1)(ln(1))1lim lim111111(())21lim121(1)112lim (1)lim()lim()xx x x x xx x x x x x x x x x x x xx e x e e x x x x x x o e x x x x e xe ex x e x e ee3、证明区间（0，1）和（0，+）具有相同的势。

证明：构造一一对应y=arctanx 。

4、计算积分21Ddxdy yx，其中D 是x=0,y=1,y=x 围成的区域解：1122200111011ln()|ln(1)ln [(1)ln(1)(1)ln ]|2ln 2y y Ddxdy dxdyx y dyyxyxy dyydy y y y y yy 5、计算第二类曲线积分：22Cydxxdy I xy，22:21C xy方向为逆时针。

解：22222222222tan 2222cos ,[0,2)1sin211sin cos4cos222113cos22cos2213(2)(1)812arctan 421(2)(1)2311421Cx x yydxxdy Iddxyx x x x d x dxxx x x 换元万能公式代换226426212x dxdxx 6、设a>0,b>0,证明：111b ba ab b。

数学分析考研真题答案一、选择题1. 极限的概念是数学分析中最基本的概念之一。

下列选项中，哪一个是极限的定义？A. 函数在某一点的值B. 函数在某一点的左极限与右极限相等时的值C. 函数在某一点的值趋于一个常数D. 函数在某一点附近的行为答案： C2. 以下哪个选项是连续函数的定义？A. 在某点可导B. 在某点的极限存在且等于函数值C. 在某区间内的所有点都有定义D. 在某区间内的所有点都有定义且可导答案： B二、填空题1. 若函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处可导，则\( f(x) \)在\( x_0 \)处的导数定义为\( \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) -f(x_0)}{h} \)。

答案： \( \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \)2. 定积分\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)的几何意义是函数\( f(x) \)在区间\( [a, b] \)上的曲线与x轴所围成的面积。

答案：曲线与x轴所围成的面积三、解答题1. 证明：若函数\( f(x) \)在区间\( [a, b] \)上连续，则定积分\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)存在。

证明：由于\( f(x) \)在\( [a, b] \)上连续，根据连续函数的性质，\( f(x) \)在\( [a, b] \)上是一致连续的。

根据达布定理（Darboux's Theorem），对于任意的分割\( P \)，上和\( U(f, P) \)与下和\( L(f, P) \)之差\( U(f, P) - L(f, P) \)可以任意小。

因此，存在一个共同的极限\( I \)，即\( \lim_{||P|| \to 0} U(f, P) = \lim_{||P|| \to 0} L(f, P) = I \)，这就证明了定积分\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)的存在性。

吉林大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、（共 30 分）判断题1、若函数)(x f 在()b a ,上Riemann 可积，则 []2)(x f 在()b a ,上Riemann 也可积；2、若级数∑∞=1n n a 收敛，则级数∑∞=1n n a 也收敛；3、任何单调数列必有极限；4、数列(){}n1-的上、下极限都存在；5、区间 ()b a , 上的连续函数必能达到最小值；6、x sin 在整个实轴上是一致连续的；7、若函数()y x f ,沿着任何过原点的直线连续，则()y x f ,在()0,0连续； 8、若函数()x f 在点0x 取极小值，则()0x f '=0； 9、若()0x f '=0，()00<''x f ，则()x f 再点0x 取最大值； 10、向量场()222222,,x z z y y x ---是无源场。

二、（共 20 分）填空题1、设))(sin(z y x y x u +++=，则gradu =( );2、设),,(x z z y y x F +++=，则F div =();3、设),,-(xy z zx y yz x F --=，则F rot =( );4、设s 表示单位球面1222=++z y x ，则第一型曲边梯形ds x s⎰⎰2=();5、数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+2211-n n n 的下极限为( );三、（共 20 分）计算下列极限1、nn k n k 1120061lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=∞→；2、()x x xx 31211lim30+-+→；3、()112007120061lim ++++∞→++n n n n n ；4、dx x x x n ⎰++∞→10221lim ； 四、（共 20 分）判断下列级数的敛散性1、∑∞=-1200520072006n n nn； 2、∑∞=1n n u ，其中0>n u ，()2211+≤-n n u u n n ，⋅⋅⋅=2,1n ； 五、（10 分）设函数)(x f 在[]1,0两次连续可微，满足0)1()0(==f f 且()01=⎰dx x f 。

考研数学试题及答案分析一、选择题1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。

A. 3x^2-3B. x^2-3xC. 3x^2-3x+1D. x^3-3答案：A分析：首先对函数f(x)进行求导，根据求导法则，我们有f'(x) =3x^2 - 3。

2. 求极限lim(x→0) (sin x)/x。

A. 1B. 0C. 2D. ∞答案：A分析：根据洛必达法则，当x趋近于0时，(sin x)/x的极限等于1。

二、填空题3. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求a3的值。

答案：5分析：根据递推关系，我们有a2=2a1+1=3，然后a3=2a2+1=2*3+1=7。

4. 设矩阵A=\[\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{matrix}\]，求A的行列式值。

答案：-2分析：矩阵A的行列式值计算公式为ad-bc，代入得1*4-2*3=-2。

三、解答题5. 求函数y=x^2-4x+c的最小值。

答案：当x=2时，函数取得最小值c-4。

分析：首先对函数y求导得到y'=2x-4，令y'=0，解得x=2。

将x=2代入原函数，得到最小值y=c-4。

6. 证明：若a, b, c∈R，且a^2+b^2+c^2=1，则(a+b+c)^2≤3。

答案：证明如下：分析：首先展开(a+b+c)^2，得到a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc。

由于a^2+b^2+c^2=1，所以只需证明2ab+2ac+2bc≤2。

根据柯西-施瓦茨不等式，我们有(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)≥(a+b+c)^2，即1*3≥(a+b+c)^2，从而证明了原不等式。

四、证明题7. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)f(b)<0，则至少存在一点c∈(a, b)，使得f(c)=0。

答案：证明如下：分析：根据介值定理，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且f(a)和f(b)异号，则至少存在一点c∈(a, b)，使得f(c)=0。

硕士研究生数学分析真题试卷一、选择题（每小题 5 分，共 30 分）1、函数＄f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄在＄x ＝ 1$ 处（）A 连续B 可导C 有极限但不连续D 以上都不对2、设函数＄f(x)＄在＄a,b$ 上连续，在＄（a,b)＄内可导，且＄f(a) ＝ f(b)＄，则在＄（a,b)＄内（）A 至少存在一点＄＼xi$，使得＄f'（＼xi) ＝ 0$B 一定不存在点＄＼xi$，使得＄f'（＼xi) ＝ 0$C 恰存在一点＄＼xi$，使得＄f'（＼xi) ＝ 0$D 不一定存在点＄＼xi$，使得＄f'（＼xi) ＝ 0$3、下列级数收敛的是（）A ＄＼sum_{n=1}＾｛＼infty} ＼frac{1}｛n}＄B ＄＼sum_{n=1}＾｛＼infty} ＼frac{（－1)＾n}｛n}＄ C ＄＼sum_{n=1}＾｛＼infty}＼frac{1}｛n^2}＄ D ＄＼sum_{n=1}＾｛＼infty} ＼frac{1}｛＼sqrt{n}｝＄4、函数＄f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2$ 的单调递增区间是（）A ＄（＼infty, 0)＄B ＄（0, 2)＄C ＄（2, ＋＼infty)＄D ＄（＼infty, 0) ＼cup （2, ＋＼infty)＄5、设函数＄f(x)＄具有二阶连续导数，且＄f(0) ＝ 0$，＄f'（0)＝ 1$，＄f'＇（0) ＝ 2$，则＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{f(x) x}｛x^2}＄等于（）A 0B 1C 2D 不存在6、曲线＄y ＝＼ln x$ 上与直线＄x ＋ y ＝ 1$ 垂直的切线方程为（）A ＄y ＝ x 1$B ＄y ＝ x ＋ 1$C ＄y ＝ x ＋ 1$D ＄y ＝ x 1$二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）1、极限＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin 3x}｛x}＄＝＿_______。