数学分析考研试题 (1)

数学分析考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不一定连续D. f(x)在x=a处可微答案：A2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点为：A. 1B. 2C. 3D. 1和2答案：D4. 若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则下列说法错误的是：A. f(x)在(a,b)上必有最大值B. f(x)在(a,b)上必有最小值C. f(x)在(a,b)上可以没有最大值D. f(x)在(a,b)上可以没有最小值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2+3x+2，则f'(x)=_________。

答案：2x+32. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的切线斜率为_________。

答案：13. 设函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=_________。

答案：1/x4. 若函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处取得极小值，则c=_________。

答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。

答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+11。

令f'(x)>0，解得x<1或x>3；令f'(x)<0，解得1<x<3。

因此，函数f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减。

2. 求极限lim(x→0)(x^2sinx/x^3)。

答案：lim(x→0)(x^2sinx/x^3) = lim(x→0)(sinx/x^2) = 0。

3. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-9x+1在x=-3处取得极小值。

安徽工程大学数学分析考研真题安徽工程大学数学分析考研真题：一、选择题（共10小题，每小题2分；共20分）1. 设A是m×n（m≥n）矩阵，则“m-rank(A)=n”的正确表达是（）A. A矩阵的行秩等于nB. A矩阵的列秩等于nC. A矩阵的秩等于nD. A矩阵的空间秩等于n2. 已知向量u = (a ,b ,c)，v = (d,e,f)，w = (g,h,k)，则 (u * v)*w 的值等于（）A. ae+bf+cgB. af+bd+ceC. de+fg+hkD. ad+be+cf3. 设a、b、c、d是实数，如果空间内两个向量x = (a,b)和y = (c,d)满足|x – y| = 1，则a2 + b2 + c2 + d2的值为（）A. 2B. 4C. 8D. 164. 若函数f(x)在[2，4]上有极大值并且 f(4)=f'(4)=0，则f''(4)的值为（）A. > 0B. < 0C. = 0D. 不能确定5. 设函数f(x)在区间[-1,1]上的图形呈现凹形态，则f'(-1)=f'(1)=（）A. > 0B. < 0C. = 0D. 不能确定6. 若集合A={x∈R |x^2+x−6=0}，则A与R的交集为（）A. {-2, 0, 3}B. {-2, 2, 3}C. {-2, 2, 6}D. {-3, 0, 2}7. 设f (x ) 和g (x )为定义在R上的可导函数，若f (0 ) = g (0 ) , f' (0 ) = g' (0) , f'' (0 ) = g'' (0 )，则f (x)=g(x)成立的必要条件是（）A. f(x)和g (x )同时为奇函数B. f(x)和g (x )同时为偶函数C. f(x)和g (x )均为常函数D. 以上都不正确8.运用投影原理，若一边长a的正方形投影到直角坐标系XOY上，一条边长为4a的矩形投影到直角坐标系XOY上，则该矩形的面积为（）A. 16a2B. 12a2C. 8a2D. 4a29.若函数f(x)在区间[-1,1]上满足f(x)=2x2-1,则f(-2)的值为（）A. 15B. 7C. 5D. -310.设P={(x, y)|2x+y≤3, x≥0, y≥0}，若= (3,1)∈P，则P 的解集为（）A. {(0, 3), (1,2)}B. {(0, 2), (1,1)}C. {(0, 3), (1,1)}D. {(0, 2), (1,2)}二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11. 已知向量u=(1,2,3)，v=(-1,1,2)，则u*v的值为 _______。

华东师范大学数学分析历年考研真题（1997年-2010年）华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题一（12分）设f(x)是区间I 上的连续函数。

证明：若f(x)为一一映射，则f(x)在区间I 上严格单调。

二（12分）设1,()0x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数证明：若f(x), D(x)f(x) 在点x=0处都可导，且f(0)=0,则'(0)0f =三（16分）考察函数f(x)=xlnx 的凸性，并由此证明不等式： 2()(0,0)a b a ba b ab a b +≥>>四（16分）设级数1n a∞=∑收敛，试就1n n d ∞=∑为正项级数和一般项级数两种情况分别证明1nn a∞=∑五（20分）设方程(,)0F x y =满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数y=f(x)。

又设(,)Fx y 具有连续的二阶偏导数。

（1） 求''()f x（2）若0000(,)0,()F x y y f x ==为f(x)的一个极值，试证明：当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 同号时，0()f x 为极大值； 当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 异号时，0()f x 为极小值。

（3）对方程2227xxy y ++=，在隐函数形式下（不解出y ）求y=f(x)的极值，并用（2）的结论判别极大或极小。

六（12分）改变累次积分4204842(4)x x xI dx y dy --=-⎰⎰的积分次序，并求其值。

七（12分）计算曲面积分222(cos cos cos )sI x y z ds αβγ=++⎰⎰其中s 为锥面z =上介于0z h ≤≤的一块，{}c o s,c o s ,c o s αβγ为s 的下侧法向的方向余弦。

华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题一． 简答题（20分） （1） 用定义验证：22323lim 212n n n n →∞+=++；（2） '2cos ,0(),()ln(1),0x x f x f x x x <⎧=⎨+≥⎩求； （3）计算3.二（12分）设f(x)有连续的二阶导函数，且''0()2,[()()]sin 5,f f x f x xdx ππ=+=⎰求f(0).三（20分）（1）已知1n n a ∞=∑为发散的一般项级数，试证明11(1)n n a n∞=+∑也是发散级数。

数学分析考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是有界函数？A. f(x) = sin(x)B. f(x) = e^xC. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x2. 函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，那么：A. f(a)存在B. f(a) = 0C. lim(x->a) f(x) = f(a)D. lim(x->a) f(x) 不存在4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/35. 函数序列fn(x) = x^n在[0, 1]上一致收敛的n的取值范围是：A. n = 1B. n > 1C. n < 1D. n = 26. 级数∑(1/n^2)是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 无界序列7. 如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么：A. f(x)在[a, b]上连续B. f(x)在[a, b]上一定有界C. f(x)在[a, b]上单调递增D. f(x)在[a, b]上无界8. 函数f(x) = |x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导9. 微分方程dy/dx + y = 0的通解是：A. y = Ce^(-x)B. y = Ce^xC. y = Csin(x)D. y = Ccos(x)10. 函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式是：A. f(x) = 1 + x + ...B. f(x) = x + ...C. f(x) = 1 + x^2 + ...D. f(x) = 1 + x^3 + ...二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x->0) (sin(x)/x) 的值是 _______。

12. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的拐点是 _______。

考研数学分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b) = 0，若f(x)在区间(a, b)内至少有一个最大值点，则下列说法正确的是（）。

A. f(x)在[a, b]上必有最大值B. f(x)在[a, b]上必有最小值C. 函数f(x)在[a, b]上单调递增D. 函数f(x)在[a, b]上单调递减2. 下列级数中，发散的是（）。

A. ∑(-1)^n / nB. ∑1/n^2C. ∑(1/n - 1/(n+1))D. ∑sin(n)3. 已知函数F(x)在点x=c处可导，且F'(c)≠0，那么下列说法中正确的是（）。

A. F(x)在x=c处连续B. 函数F(x)在x=c处一定取得最大值或最小值C. 可导性不能保证函数的连续性D. F(x)在x=c处取得极值4. 对于函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5，其在区间[1, 5]上的最大值是（）。

A. 5B. 10C. 15D. 205. 设f(x)在[a, b]上可积，若∫[a, b] f(x) dx = 10，则下列说法中错误的是（）。

A. f(x)在[a, b]上非负B. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) > 0C. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) = 10/b - aD. f(x)可以是负函数6. 函数f(x) = e^x / (1 + e^x)的值域是（）。

A. (-∞, 0)B. (0, 1/2)C. (0, 1)D. (1/2, +∞)7. 下列选项中，不是有界函数的是（）。

A. y = sin xB. y = e^xC. y = x^2D. y = 1/x8. 设函数f(x)在点x=1处可导，且f'(1) = 2，那么f(1 + h) - f(1)在h趋近于0时的表达式是（）。

A. 2hB. 2h + o(h)C. h^2D. o(h)9. 对于函数f(x) = x^2，其在区间[-1, 1]上满足拉格朗日中值定理的条件，且存在ξ∈(-1, 1)，使得（）。

第一部分　名校考研真题说明：本部分从指定伍胜健主编的《数学分析》为考研参考书目的名校历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对其进行了详细的解答。

所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。

第1章　函　数一、填空题设（ ）．[浙江大学研]A ．0 B ．1 C ． D ．【答案】B 【解析】二、解答题1．使用确界原理证明单调递减的有界数列必有极限。

[天津大学研]证明：确界原理，即有上界的非空集必有上确界，有下界的非空集必有下确界。

设为单调递减且有界的数列，则由确界原理可知，存在。

下面证该下确界就是的极限。

由下确界定义：（1）对任意的n ，有，当然成立，这ε为任意小的正数。

（2）对上述任意的ε，存在N ，当n>N 时，有。

又因为条件（1），所以成立。

2．设S 是非空集合，ξ＝infS ，试证明：若ξ∈S，则S 中必存在一个严格单调递减的，使得[北京航空航天大学研]证明：若ξ＝infS ，即（1）对任意的x∈S，有X≥ξ：（2）对任意的ε>0，存在，使得取，存在，使得。

改变n 的值，有依次类推，有而且满足很明显，为一个严格单调递减的数列，且3．设{xy}为所有xy 乘积的集合，其中，且x≥0及y≥0．证明：[武汉大学研]证明：设 ①②又，可取．且使③由，∴存在由③有 ④由②，④得证4．设．[同济大学研]解：当当－1≤x＜0时，当x＜－1时，5．证明：函数为R上的有界函数．[湖北大学2001研]证：∴取ε＝1，存在N＞0，当又f （x ）在内连续．从而有界，即综上两式知f （x ）在R 上有界．6．设，求f （x ）的定义域和f （f （－7））．[中国人民大学研]解：由3－x ＞0，3－x≠1，49－x 2≥0，解得，从而f （x ）的定义域为又第2章　序列的极限1．求下列极限：（1）．[北京大学研]（2）f （x ）在[－1，1]上连续，恒不为0，求．[华中师范大学研]解法1：①由①式及两边夹法则，．（2）故解法2：f 在[－1，1]上连续；因而f （x ）有界2．设数列单调递增趋于 ①证明：（1）（2）设 ②证明：，并利用（1），求极限．[中国人民大学研]证明：（1）（i ）先设，由①式，，存在N>0，当n>N 时有特别取n＝N＋1，N ＋2，……将这些式子统统相加得此即 ③而由于以及③式，（ii ）再当时．由①有 ④ ⑤下证递增趋于，由④知，．当n>N 1时，有 ⑥，即单调递增．由⑥式有，。

欢迎报考广东财经大学硕士研究生，祝你考试成功！（第 1 页 共 1 页） 广东财经大学硕士研究生入学考试试卷考试年度：2018年 考试科目代码及名称：614-数学分析(自命题)适用专业：071400 统计学［友情提醒：请在考点提供的专用答题纸上答题，答在本卷或草稿纸上无效！］ 《数学分析》 [共150分]一、计算题（6题，每题10分，共60分）1.求极限()21sin 1lim 1x x x →-- 。

2.设函数()f x 在a 可导，求极限()()02lim 2t f a t f a t t →+-+ 。

3.求不定积分 。

4.求极限230lim 1nn x dx x→∞+⎰ 。

5.判别级数12!n n n n n ∞=∑的敛散性。

6.求复合函数的偏导数：(),,,u f x y x s t y st ==+= 。

二、应用题（4题，每题15分，共60分）1.已知圆柱形罐头盒的体积是V （定数），问它的高与底半径多大才能使罐头盒的表面积达到最小？2.求一条平面曲线方程，该曲线通过点(1,0)A ，并且曲线上每一点(,)P x y 的切线斜率是22,x x R -∈。

3.求以下曲线绕指定轴旋转所成旋转体的侧面积：2,06y x x =≤≤，绕x 轴。

4.已知矩形的周长为24cm ，将它绕其一边旋转而成一圆柱体，试求所得圆柱体体积最大时的矩形面积。

三、证明题（2题，每题15分，共30分）1.证明：若存在常数c ，n N ∀∈，有21321||||||n n x x x x x x c --+-++-< ，则数列{}n x 收敛。

2.证明：方程2sin (0)x x a a -=>至少有一个正实根。

欢迎报考广东财经大学硕士研究生，祝你考试成功！（第 1 页 共 1 页）广东财经大学硕士研究生入学考试试卷考试年度：2019年 考试科目代码及名称：601-数学分析(自命题) 适用专业：071400 统计学［友情提醒：请在考点提供的专用答题纸上答题，答在本卷或草稿纸上无效！］一、计算题（6题，每题10分，共60分）1.求数列极限();!)!2(!)!22(lim 1n n n n n -+++∞→2.求函数极限 ();sin 1ln sin tan lim 20x x x x x +-→3.设是可微函数，由所确定函数.求φ0),=--bz cy az cx （φ),(y x f z =. yz b x z a ∂∂+∂∂4.求函数级数的和函数和收敛域.∑+∞=-12n nx xe 5.设，确定使得满足方程 y x ex y x f 42),(-=ααf .122⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂x f x x x y f 6.设.求全微分xyz u =.3u d 二、应用题（4题，每题15分，共60分）1.已知满足求的取值范围.,x y ()22+21.x y -=w =2.曲线在点处得切线与轴得正向所夹得角度是多⎪⎩⎪⎨⎧=+=4222y y x z )5,4,2(x 少？3.求由方程确定的隐函数的二阶导数012=-+y x e xy )(x y y =).(''x y 4.求不定积分.⎰xdx e x sin 三、证明题（2题，每题15分，共30分）1. 已知在区间上连续. 求证)(x f ],[b a ().)()()(2122⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰-b a n n b a dx x f a b dx x f n2. 已知证明存在唯一使得 .,0为自然数n x >），（10∈θ.11lim 00+==+→⎰n xe dt e x x x t n n θθ且。

2003南开大学年数学分析一、设),,(x y x y x f w-+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w解：令u=x+y ，v=x-y ，z=x 则z v u x f f f w ++=；)1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w二、设数列}{n a 非负单增且a a nn =∞→lim ,证明a a a a n n n n n n =+++∞→121][lim解：因为an 非负单增，故有n n n nnn n n n na a a a a 1121)(][≤+++≤由a a nn =∞→lim ；据两边夹定理有极限成立。

三、设⎩⎨⎧≤>+=0,00),1ln()(2x x x x x f α试确定α的取值范围，使f(x ）分别满足：（1） 极限)(lim 0x f x +→存在（2） f(x ）在x=0连续 （3） f （x ）在x=0可导 解：(1）因为)(lim 0x f x +→=)1ln(lim 20x x x ++→α=)]()1(2[lim 221420n nn x x o nxx x x +-++--→+α极限存在则2+α0≥知α2-≥（2）因为)(lim 0x f x -→=0=f(0）所以要使f(x)在0连续则2->α（3）0)0(='-f 所以要使f （x ）在0可导则1->α四、设f （x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++⎰)(22与积分路径无关解;令U=22y x+则ydy xdx y x f l ++⎰)(22=21du u f l )(⎰又f （x ）在R 上连续故存在F(u ）使dF （u ）=f(u ）du=ydy xdx y x f ++)(22所以积分与路径无关。

（此题应感谢小毒物提供思路）五、设f(x)在［a,b ］上可导，0)2(=+b a f 且M x f ≤')(，证明2)(4)(a b M dx x f b a-≤⎰证：因f(x)在[a ，b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在)2)(()2()(),(ba x fb a f x f b a +-'=+-∈ξξ使即有dx ba x f dx x f bab a)2)(()(+-'=⎰⎰ξ222)(4])2()2([)2)((a b M dx b a x dx x b a M dx b a x f bb a ba a ba-=+-+-+≤+-'≤⎰⎰⎰++ξ六、设}{n a 单减而且收敛于0。

复旦大学 数学分析考研真题一．填空题（1）0lim x →ln(1)1cos x x x+-=_____(2)微分方程'y =(1)y x x-的通解是____,这是变量可分离方程（3）设∑是锥面z=22x y +(0≤z ≤1)的下侧，则23(1)x d y d z y d z d x z d x d y ++-=∑⎰⎰____(4)点（2，1，0）到平面3x+4y+5z=0的距离d=____ (5)设A=2112⎛⎫⎪-⎝⎭,2阶矩阵B 满足BA=B+2E,则B =____(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{m a x (,)1}P x y ≤=____一、 选择题（1） 设函数()y f x =具有二阶导数，且'()0f x >，''()0f x >，x 为自变量x 在x，处的增量，y 与dy 分别为()f x 在点x处对应的增量与微分，若0x >，则（ ）（A ）0dx y << （B ）0y dy << （C ）0y dy << （D ）0dy y << （2）设(,)f x y 为连续函数，则41(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（ ）（A ）2210(,)xx dx f x y dy -⎰⎰（B ）22100(,)xdx f x y dy -⎰⎰（C ）2210(,)yydy f x y dx -⎰⎰（D ）2210(,)ydy f x y dx -⎰⎰（3）若级数1nn a∞-∑收敛，则级数（ ）（A ）1nn a∞-∑收敛 （B ）1(1)n nn a ∞--∑收敛（C ）11n n n a a ∞+-∑收敛 （D ）112n n n a a ∞+-+∑收敛（4）设(,)f x y 和(,)x y ϕ均为可微函数，且'(,)y x y ϕ≠0，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（ ） （A ）若'00(,)0x f x y =，则'00(,)0y f x y = （B ）若'00(,)0x f x y =，则'00(,)0y f x y ≠ （C ）若'00(,)0x f x y ≠，则'00(,)0y f x y = （D ）若'00(,)0x f x y ≠，则'00(,)0y f x y ≠ （5）设12,,,s ααα都是n 维向量，A 是m n ⨯矩阵，则（ ）成立（Ａ）若12,,,s ααα线性相关，则12,,s A A A ααα线性相关 （Ｂ）若12,,,s ααα线性相关，则12,,s A A A ααα线性无关 （Ｃ）若12,,,s ααα线性无关，则12,,s A A A ααα线性相关 （Ｄ）若12,,,s ααα线性无关，则12,,s A A A ααα线性无关（６）设Ａ是３阶矩阵，将A 的第2列加到第1列上得B ，将B 的第一列的1-倍加到第2列上得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（ ）（A ）1C P AP -= （B ）1C PAP -= （C ）TC P AP = （D ）TC PAP =（7）设A ，B 为随机事件，()0P B >，()|1P A B =,则必有（ ） （A ）()()P A B P A ⋃> （B ）()()P A B P B ⋃> （C ）()()P A B P A ⋃= （D ）()()P A B P B ⋃=（8）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且12{1}{1}P X P Y μμ-<>-<，则（ ）（A ）12σσ< （B ）12σσ> （C ）12μμ< （Ｄ）12μμ>三、简答题（1） 设区域22{(,)|1,0}D x y x y x =+≤≥，计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰ （2） 设数列{}n x 满足110,sin n n x x x π+<<=（n=1,2）,求：（I ）证明lim n x x →∞存在，并求之（II ）计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭（3） 设函数()f u 在（0，∞）内具有二阶导数，且22()z f x y =+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂ （I ）验证'''()()0f u f u u+= （II ）若'(1)0,(1)1f f ==，求函数()f u 的表达式（4） 设在上半平面{(,)|0}D x y y =>内，函数(,)f x y 是有连续偏导数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y =证明：对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线Ｌ，都有(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰（5）已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有３个线性无关的解（Ｉ）证明方程组系数矩阵Ａ的秩 ()2r A = （II ）求 a , b 的值及方程组的通解（6）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量1(1,2,1)T α=--，2(0,1,1)T α=-实线性方程组0Ax =的两个解，（I ）求A 的特征值与特征向量（II ）求：正交矩阵Ｑ与对角矩阵Ａ，使得TQ AQ A =（7）随机变量X 的概率密度为1,1021(),0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他令2,(,)y x F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数（Ｉ）求Ｙ的概率密度()Y f y (II)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭(8)设总体X 的概率密度,01(,0)1,120,x F X x θθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他其中θ实未知参数（01θ<<），12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随即样本，记N 为样本值12,,,n x x x 中小于1的个数，求θ的最大似然估计。

x n a z ) d x d y d z 考试科目：数学分析一、（10 分）将函数 f (x ) = arctan2x1- x 2在 x = 0 点展开为幂级数，并指出收敛区间。

+∞ ln(1+ x )二、（10 分）判别广义积分的收敛性： ⎰0 d x 。

x p 三、（15 分）设 f (x ) 在(-∞, +∞) 上有任意阶导数 f (n ) (x ) ，且对任意有限闭区间[a , b ] ，f (n ) (x ) 在[a , b ] 上一致收敛于φ(x )(n → +∞) ，求证：φ(x ) = ce x ， c 为常数。

四、（15 分）设 x n > 0( n = 1, 2 ⋅⋅⋅) 及 lim x n = a ，用ε - N 语言证明： lim= 。

n →+∞n →+∞五、（15 分）求第二型曲面积分⎰⎰ (x d y d z + cos y d z d x + d x d y ) ，其中S 为Sx 2 + y 2 + z 2 = 1的外侧。

∂f ∂g 六、（20 分）设 x = f (u , v ) ， y = g (u , v ) ，w = w (x , y ) 有二阶连续偏导数，满足 ∂u = ∂v，∂f = - ∂g∂v ∂u ∂2w ， ∂x 2 ∂2w + = 0 ，证明： ∂y 2（1） ∂2( fg ) ∂u 2∂2( fg ) + = 0 ， ∂v 2（2） w (u , v ) = w ( f (u , v ), g (u , v )) 满足 ∂2w ∂u 2 ∂2w+ = 0 。

∂v 2七、（15 分）计算三重积分⎰⎰⎰Ω:x 2+ y 2 + z 2 ≤2 z(x 2 + y 2 +25/ 2。

n 1+ a nx ∞∑ ⎰ y+ x = = = 考试科目：数学分析 一、（26 分）选一个最确切的答案，填入括号中：1.设 f (x ) 定义在[a , b ] 上，若对任意的 g ∈ R ([a , b ]) ，有 f ⋅ g ∈ R ([a , b ]) ，则（ ）A. f ∈ R ([a , b ]) ，B. g ∈ C ([a , b ]) ，C. f 可微，D. f 可导。