(最新整理)上海交通大学年数学分析考研试题

数学类考研上海交大陈纪修《数学分析》配套考研真题第一部分名校考研真题第1章集合与映射本章暂未编选名校考研真题，若有最新真题会及时更新。

第2章数列极限一、判断题1．对任意的p为正整数，如果，则存在。

（）[重庆大学研]【答案】错查看答案【解析】根据数列收敛的Cauchy收敛准则，可举出反例：，虽然对任意的但（也可说明）。

2．对数列和若是有界数列，则是有界数列。

（）[北京大学研]【答案】对查看答案【解析】设｜S n｜<M，则3．数列存在极限的充分必要条件是：对任一自然数p，都有（）[北京大学研]【答案】错查看答案【解析】反例：，但不存在．二、解答题1．[暨南大学2013研]解：利用定积分的定义求解．2．设数列满足条件：，且，证明数列无界.[华东师范大学2009研]证明：用反证法.假若数列有界，即存在，使得，则由条件知.由得，对，存在正整数，当时，有，，令，则，且，，（1）对（1）式两边取上确界，有，所以，这与矛盾，所以数列无界.3．求极限．[华中科技大学2008研]解：一方面显然，另一方面，且由迫敛性可知．注：可用如下两种方式证明．（1）令，则，所以，从而．（2）由，得．4．证明不存在．[兰州大学2009研]证明：取，则由于，所以不存在．5．（1）设数列为正的单调递减数列，且收敛，证明：．（2）设数列为正的单调递减数列，且收敛，证明：．[南开大学2011研]证明：（1）因为为正的单调递减数列，由单调有界定理得存在，由收敛，可知必有（p为任意正整数），对任意存在正整数,使得对任意正整数，成立在上式中，令，取极限，则得由的任意性，则得显然故有．（2）因为为正的单调递减数列，由单调有界定理知存在，由收敛，可知必有；对任意存在正整数,使得对任意正整数，成立在上式中，令，取极限，则得由的任意性，则得显然故有．6．设证明收敛，并求极限。

[华中科技大学2007研]证明：很明显，假设则又因为所以单调递增有上界，故极限存在。

一年就这样过去了，内心思绪万千。

一年很短，备考的经历历历在目，一年很长，长到由此改变了一个人的轨迹，并且成就一个梦想。

回忆着一年的历程，总想把它记录下来，希望可以给还在考研道路上奋斗的小伙伴们一点帮助。

考研是一个非常需要坚持的过程，需要你不断坚持和努力才能获得成功，所以你必须要想清楚自己为什么要考研，这一点非常重要，因为只有确认好坚定的动机，才能让你在最后冲刺阶段时能够坚持下来。

如果你只是看到自己周围的人都在考研而决定的考研，自己只是随波逐流没有坚定的信心，那么非常容易在中途就放弃掉了，而且现在考研非常火热，这就意味着竞争也会非常激烈，而且调剂的机会都会非常难得，所以备考时的压力也会比较大，所以大家一定要调整好心态，既不能压力太大，也不能懈怠。

既然选择了，就勇敢的走下去吧。

考研整个过程确实很煎熬，像是小火慢炖，但是坚持下来，你就会发现，原来世界真的是美好的。

文章整体字数较多，大家可视自己情况阅读，在文章末尾我也分享了自己备考过程中的资料和真题，大家可自行下载。

上海交通大学数学的初试科目为：(101)思想政治理论(201)英语一(614)数学分析和(828)高等代数参考书目为：1.《数学分析》（第二版）上、下，陈纪修等编，高等教育出版社，20042.《数学分析教程》上、下，常庚哲、史济怀著，高等教育出版社，20033.《高等代数》（第四版），北京大学数学系编，高等教育出版社，20134.《高等代数与解析几何》（第三版）上、下，孟道骥编，科学出版社，2014年先说英语吧。

词汇量曾经是我的一块心病，跟我英语水平差不多的同学，词汇量往往比我高出一大截。

从初中学英语开始就不爱背单词。

在考研阶段，词汇量的重要性胜过四六级，尤其是一些熟词僻义，往往一个单词决定你一道阅读能否做对。

所以，一旦你准备学习考研英语，词汇一定是陪伴你从头至尾的一项工作。

考研到底背多少个单词足够？按照大纲的要求，大概是5500多个。

实际上，核心单词及其熟词僻义才是考研的重点。

(完整)上海交通大学2002年数学分析考研试题上海交通大学2002年数学分析考研试题一判断题（以下个题,对的要证明，错的要举反例并说明理由，每题6分，共24分） 1． 若n n n b x a ≤≤，N n ∈而数列{}n x 收敛,()∞→→-n a b n n 0则数列{}n a ，{}n b 必都收敛。

2． 若函数()x f 在R 上连续且有界，则()x f 在R 上必一致连续.3． 若函数()x f 恒正连续,且无穷积分()⎰+∞a dx x f 收敛，则必有()0lim =+∞→x f x 。

4． 若函数列(){}x f n ，(){}x g n 均在区间I 上一致收敛，则(){}x f n ,(){}x g n 必在I 上一致收敛。

二（10分）设()x f 在[)+∞,a 上连续,()x g 在[)+∞,a 上一致连续，且()()[]0lim =-+∞→x g x f x 证明()x f 在[)+∞,a 上一致连续。

三(10分）设()x f 在R 上二次可导，()0 x f ''。

又存在一点0x 使()00 x f ，且 ()0lim a x f x ='-∞→ , ()0lim b x f x ='+∞→ 证明()x f 在R 上有且仅有两个零点.四（10分)设()x f 在R 上连续，又()()()dt t f x f x x⎰⋅=0ϕ单调递减,证明()0=x f ,R x ∈ 五（16分）讨论级数（1）p n n n e n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∑∞=1111，R p ∈ （2）n nx n n sin 1...2111∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++，()π x 0的敛散性. 七（10分）称()x f 在点0x 处严格递增，是指00 δ∃，()0000,δδ+-∈∀x x x ,0x x 时，()()0x f x f 而当0x x 时()()0x f x f 。

上海交通大学1999年硕士研究生入学考试试题试卷名称：高等代数1．（10分）设P 为数域。

()()[]x P x g x f ∈,令()()()()()x g x x x f x X F 1122++++=；()()()()x g x x xf x G 1++=。

证明：若()x f 与()x g 互素，则()x F 与()x G 也必互素。

2．（10分）设J 为元素全为1的阶方阵。

（1） 求J 的特征多项式与最小多项式；（2） 设()x f 为复数域上多项式。

证明()J f 必相似于对角阵。

3．（10分）（1） 设n 阶实对称矩阵()ij x A =，其中1+=j i ij a a x 且0...21=+++n a a a ，求A 的n 个特征值。

（2） 设A 为复数域上n 阶方阵。

若A 的特征根全为零，证明：1=+E A 。

此处E 为n 阶单位阵。

4（10分）设()x f 是数域F 上的二次多项式，在F 内有互异的根21,x x ，设A 是F 上线性空间L 的一个线性变换且I x A 1≠，I x A 2≠（I 为单位变换）且满足()0=A f ，证明21,x x 为A 的特征值；且L 可以分解为A 的属于21,x x 的特征子空间的直和。

5（10分）用正交线性变换将下列二次型化为标准形，并给出所施行的正交变换：32312123222184422x x x x x x x x x ++---6（10分）对的不同取值，讨论下面方程组的可解性并求解：7（10分）假设A 为n m ⨯实矩阵，B 为1⨯n 实矩阵，TA 表示A 的转置矩阵。

证明： （1） AB=0的充要条件是0=AB A T； （2） 矩阵A A T与矩阵A 有相同的秩。

8（10分）设p A A A ,...,,21均为n 阶矩阵且0...21=p A A A 。

证明这p 个矩阵的秩之和小于等于()n p 1-，并举例说明等式可以达到。

2004年上海交通大学 数学分析一（14）设lim n n a a →∞=，证明22lim221anna a a n n =+++∞→ 证 因2n x n =∞ ，故利用Stolz 公式，11limlim n n n n n n n ny y yx x x +→∞→∞+-=-，得12112222(1)1limlim lim lim (1)212n n n n n n n a a na n a n aa n n n n ++→∞→∞→∞→∞+++++===+-+ 二（14）证明2sin()x 在[)+∞,0上不一致连续.证因n x =n y =22sin sin 1n n x y -=，0n n x y -=-=→，故2sin()x 在[)+∞,0上不一致连续.三（14）设)(x f 在[]a 2,0上连续，且)0(f ＝)2(a f ，证明∃0x ∈[]a ,0，使)(0x f ＝)(0a x f +证 作()()()g x f x a f x =+-（[]0,x a ∈），则()g x 在[]0,a 上连续，因)0(f ＝)2(a f ，故(2)(0)g a g =-，情形1 若(0)0g =，则取00x =，则)(0x f ＝)(0a x f +， 情形2 若(0)0g ≠，则因2(2)(0)(0)0g a g g =-<，故由介值定理知，存在[]00,x a ∈，使得0()0g x =，即)(0x f ＝)(0a x f +.四（14）证明不等式x π2＜x sin ＜x ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx证 作sin ()x f x x =，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则因22cos sin cos ()(tan )0x x x xf x x x x x-'==-<，故sin ()x f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上严格单调减少，而0lim ()1x f x →=，π22lim ()πx f x →=， 因此，在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，有2sin ()1πx f x x <=<，即x π2＜x sin ＜x .五 (14) 设()d af x x +∞⎰收敛,且)(x f 在[)+∞,a 上一致连续，证明)(lim x f x +∞→= 0.证 因)(x f 在[)+∞,a 上一致连续，故0ε∀>，0δ∃>，使得当[)12,,t t a ∈+∞且12t t δ-<时，有12()()2f t f t ε-<，令(1)()d a n n a n u f x x δδ++-=⎰，则由积分第一中值定理得，[](1),n x a n a n δδ∃∈+-+，使得(1)()d ()a n n n a n u f x x f x δδδ++-==⎰.因()d af x x +∞⎰收敛，故级数1n n u ∞=∑收敛，从而0n u →，即()0n f x δ→，也即()0n f x →，故对上述的ε，存在N +∈ ，使得当n N >时，()2n f x ε<.取X a N δ=+，则当x X >时，因[)[)0,(1),k x a a k a k δδ∞=∈∞=+-+故存在惟一的k +∈ ，使得[)(1),x a k a k δδ∈+-+，易见k N >，且k x x δ-<，从而()()()()22k k f x f x f x f x εεε≤+-<+=六（14）设211n x n -=，121d n n n x x x +=⎰，1,2,n = ，证明级数()∑∞=--111n nn x 收敛.解. 11211d ln |ln(1)n n n n nx x x x n ++===+⎰，因2121n nS S k+=+，故只要证 ()1211111ln(1)nnk n k k k S x kk -==⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦∑∑22111()2n k k k =⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑ 收敛即可.七（14）设)(x f 在[]1,0上连续，)1(f = 0 ,n n x x f x g )()(= ，1,2,n = ， 证明)}({x g n 在[]1,0上一致收敛.八（12）设()f x 在[]1,0上连续，证明10lim ()d n n n x f x x →∞⎰＝)1(f .证 （1）（令n t x =，则10()d n n x f x x ⎰111()d n nt f t t =⎰，（2）因()f x 在[]1,0上连续，故0M ∃>，使得()f x M ≤，[]0,1x ∈，（3）0ε∀>，记3a Mε=，不妨设01a <<，则11110()d ()d d 3aa an nnnt f t t t f t t M t Ma ε≤≤==⎰⎰⎰，（4）111111111()d (1)[()(1)]d ()(1)d n nnnnnaa at f t t f tf t f t t f t f t -=-≤-⎰⎰⎰11111()(1)(1)(1)d nnnnat f t t f t f f t =-+-⎰1111()(1)d (1)1d nnaaf t f t f t t ≤-+-⎰⎰（5）因()f x 在[]1,0上连续，故()f x 在[]1,0上一致连续，故对上述的正数ε，0δ∃>，当[]12,0,1x x ∈且12x x δ-<时，有12()()3(1)f x f x a ε-<-（6）因1lim 1nn a →∞=，记min{,}3(1)M a εεδ*=-，则存在正整数N ，使得当n N >时，有11na ε*-<，（7）当(,1)t a ∈时，有111111nnnt t a -=-≤-，从而当n N >时，有1111()(1)d (1)1d 33nnaaf t f t f t t εε-+-<+⎰⎰（8）由（3）和（7）知，当n N >时，有1110()d (1)nnt f t t f -⎰1111102()d ()d (1)33an n n na t f t t t f t t f εεε≤+-<+=⎰⎰九（12）设1a >0，1+n a ＝n a ＋n a 1，证明n ＝1证 （1）要证n ＝1 ，只要证2lim 12nn a n →∞=，即只要证221lim 1(22)2n nn a a n n +→∞-=+-，即证221lim()2n n n a a +→∞-= （2）因1+n a ＝n a ＋n a 1，故110n n n a a a +-=>，1211n n na a a +=+ 2211112211()()112n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a +++++-=-+==++=+ 因此只要证21lim0n na →∞=，即只要证lim n n a →∞=∞ （3）由110n n na a a +-=>知，{}n a 单调增加，假如{}n a 有上界，则{}n a 必有极限a ，由1+n a ＝n a ＋n a 1知，a ＝a ＋1a，因此10a =，矛盾. 这表明{}n a 单调增加、没有上界，因此lim n n a →∞=∞. （证完）十（28）计算下述积分：1．d x y ⎰⎰，其中D 是矩形区域x 1≤，20≤≤y解 记21{(,)|1,02,0}D x y x y y x =≤≤≤-≤22{(,)|1,02,0}D x y x y y x =≤≤≤≤-，2d d d DD D x y x y x y =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2112221122211d ()d d ()d x x x x y y x y x y --=-+-⎰⎰⎰⎰332211221122()d (2)d 33x x x x --=+-⎰⎰ 332211220044()d (2)d 33x x x x =+-⎰⎰ π143400416d cos d 33x x t t =+⎰⎰()x t =这里 π2401161cos2d 332t t +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰ π40141cos412cos2d 332t t t +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰ π40143sin 4sin 23328t t t ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦ 143ππ5133823⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭ 2．22d d ()d d d d Syz y z x z y z x xy x y +++⎰⎰，其中S 是曲面224z x y +=-上0≥y 的那部分正侧.解 记22{(,,)|4,0}x y z x z y ∑=+≤=（取下侧），22{(,,)|04}V x y z y x z =≤≤--，则V S ∂=+∑，由高斯公式知，2222d d ()d d d d ()d d d 0SS Vyz y z x z y z x xy x y x z x y z +∑∑+++=-=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2242222()d d d d ()d d Vx z x z x y z yx z x z +=+=+⎰⎰⎰⎰42012π(4)d 4y y =-⎰ 430π32π(4)63y ⎡⎤=--=⎣⎦。

陈纪修《数学分析》（第2版）（下册）名校考研真题-曲线积分、曲面积分与场论（圣才出品）第14章曲线积分、曲面积分与场论1．计算为取逆时针方向．[南开大学2011研]解：记因为P与Q在点（0，0）处都无定义，则不能直接应用格林公式．在L围成的区域内取一闭曲线L1:（取逆时针方向）,则在L与L1围成是区域内可以应用格林公式．由于则由Green公式知，则2．求第一型曲面积分其中h≠R．[浙江大学研]解：令其中且3．计算其中[湖南大学研]解：令所以4．求常数λ，使得曲线积分对上半平面内任何光滑闭曲线L成立．[北京大学研]解：记由题设知，所考虑积分在上半平面内与路径无关，所以，即即即所以λ=．5．设为xy平面上具有光滑边界的有界闭区域且u为非常值函数及证明[武汉大学研]证明：因在上，u=0．故所以又u为非常值函数，故再注意到的连续性，所以6．计算其中∑为圆柱面被z=0，z=3截的部分外侧．[北京航空航天大学研]解：分别补充圆柱体的交面记P=x，Q=y，R=z，由奥高公式而平面，yz平面；平面，yz平面，所以从而7．计算为[南开大学2011研]解：(对称性)8．计算曲线积分其中L是从（2a，0）沿曲线到点（0，0）的一段．[兰州大学2009研]解：曲线即记则所以所以由Green公式得9．计算，其中为圆柱面的部分，它的法线与ox轴正向成锐角；为xoy平面上半圆域：的部分，它的法线与oz轴正向相反．[上海交通大学研]解：如图14-1所示，补充则构成封闭曲面的外侧，由奥高公式其中则又，从而平面，平面，从而图14-110．计算曲线积分其中C是从A（－a，0）经上半椭圆到B（a，0）的弧段．[湖北大学研]解：记则所以此积分在上半平面内与路径无关，如图14-2所示取以（0，0）为心，a为半径的上半圆周，则。

上交考研数学分析真题试卷一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2在区间(-1,1)上的极限是：A. 1B. 0C. -1D. 不存在2. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1 + 1/2 + 1/3 + ...C. 1 - 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + ...D. 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...3. 函数f(x)=sin(x)在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x)=x^2B. f(x)=e^xC. f(x)=sin(x)D. f(x)=ln(x)二、填空题（每题3分，共15分）5. 若函数f(x)=x^3+2x^2-x+3，则f'(x)=________________。

6. 函数f(x)=x^2+1在x=2处的值是________________。

7. 函数f(x)=ln(x)在x=e处的导数值是________________。

8. 函数f(x)=x+1/x在x=1处的导数是________________。

9. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是________________。

三、解答题（每题10分，共30分）10. 证明函数f(x)=x^3在R上是单调递增的。

11. 求函数f(x)=x^2-4x+4在区间[0,6]上的最大值和最小值。

12. 求函数f(x)=e^x的n阶导数。

四、证明题（每题15分，共30分）13. 证明函数f(x)=x^2在R上是连续的。

14. 证明函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间(1,2)内存在零点。

五、综合题（每题25分，共25分）15. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求其在区间[1,3]上的定积分，并讨论其几何意义。

参考答案：一、选择题1. B2. C3. B4. C二、填空题5. 3x^2+4x-16. 57. 1/e8. -19. 2π三、解答题10. 证明略11. 最大值f(2)=1，最小值f(6)=512. f^(n)(x)=e^x四、证明题13. 证明略14. 证明略五、综合题15. 定积分值为-2，几何意义为曲线y=x^2-4x+3与x轴在区间[1,3]上所围成的面积。

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