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2015年北京大学702数学基础全套资料点击蓝色字体查看原文按住Ctrl+H搜索所需科目本专业课考试科目的全套资料主要包括：1．历年真题本全套资料提供北京大学1996—2001、2005—2010年数学分析考研真题，供参考。
·北京大学2010年数学分析考研真题·北京大学2009年数学分析考研真题·北京大学2008年数学分析考研真题·北京大学2007年数学分析考研真题·北京大学2006年数学分析考研真题·北京大学2005年数学分析考研真题（含答案）·北京大学1996—2001年数学分析考研真题注：考研真题或答案如有补充，会第一时间予以上传，并在详情中予以标注，请学员留意。
2．指定教材配套资料北京大学702数学基础近年不指定参考书目，但根据往年指定教材情况，建议参考书目为：①《数学分析新讲》（张筑生，北京大学出版社）；②《数学分析》（一、二、三册）（方企勤等，北京大学出版社）。
·教材：方企勤《数学分析（第一册）》（PDF版）·教材：方企勤《数学分析（第三册）》（PDF版）·《数学分析习题集》(林源渠方企勤等著)·教材：张筑生《数学分析新讲》（第一、二、三册）（PDF版）3．北京大学老师授课讲义（含指定教材高校老师授课讲义）本全套资料提供北京大学老师的授课资源，及建议参考书目的相关课件。
具体包括：·北京大学彭立中老师《数学分析》教学资源汇总（含电子教案、例题习题等，仅提供免费浏览网址）·《数学分析》教学课件（上册）4．兄弟院校考研真题详解本全套资料提供的兄弟院校历年考研真题（含详解）部分，提供其他同等高校历年考研真题详解，以便学员复习备考。
所列的高校考研真题非常具有参考性！这部分内容包括：·中山大学数学分析与高等代数考研真题：2011 2010 2009 2008 2006 2005 2004 2003·华东师范大学数学分析与高等代数考研真题：2005 2004·华东师范大学数学分析考研真题：2010 2009 2008（含答案） 2007（含答案） 2006 2005（含答案） 2004 2003（含答案） 2002 2001（含答案） 2000（含答案） 1999 1998 1997·华东师范大学高等代数考研真题：2008（含答案） 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000·北京师范大学数学分析与高等代数考研真题：2007 2006·浙江师范大学数学分析与高等代数考研真题：2011 2006 2005 2004整理：夺魁考研网5．其他相关精品资料·数学分析同步辅导及习题全解（华东师大第三版）（上、下册）（PDF版，586页）附注：全套资料尤其是真题会不断更新完善，待更新完善后会及时上传并予以说明标注，学员可下载学习！2015年北京大学664行政学原理全套资料◇资料构成说明：北京大学664行政学原理中664是2013年的学科代码，2012年之前的几年学科代码为659。
北京大学2001年研究生入学考试试题
考试科目：数学分析
一、（10分）求极限：22lim 1n
n
n a a →∞+。
二、（10分）设()f x 在点a 可导，()0f a ≠，求极限：1()lim ()n n f a n f a →∞ + 。
三、（10
分）证明函数()f x x =在[1,)+∞上一致连续。
四、（10分）设D 是包含原点的平面凸区域，(,)f x y 在D 上可微，0f f x
y x y ∂∂+=∂∂，证明：(,)f x y 在D 上恒为常数。
五、（10分）计算第一型曲面积分d x S Σ∫∫，其中Σ
是锥面z
=
被柱面22x y ax +=
(0)a >割下的部分。
六、（10
分）求极限22224
01
lim d d t x y z t f x y z t →+++≤∫∫∫，其中f 在[0,1]上连续，
(0)0,(0)1f f ′==。
七、（10分）求常数λ，使得曲线积分22d d 0L
x x r x r y y y λλ−
∫(r =对上半平面的任何光滑闭曲线L 成立。
八、（10分）证明函数1
1()x n f x n ∞==∑在(1,)∞上无穷次可微。
九、（10分）求广义积分220arctan()arctan()d bx ax x x
∞
−∫，0b a >>。
十、（10分）设()f x 是以2π为周期的周期函数，且(),f x x x ππ=−≤<，求()f x 与|()|f x 的Fourier 级数，它们的Fourier 级数是否一致收敛（给出证明）？。
北大数学考研真题
在北大数学考研真题中，有一道关于微积分的题目，要求计算定积分∫[0,1] (x^2 - 2x + 1) dx。
这道题目考察的是对函数的积
分运算和求解定积分的技巧。
另外一道题目是关于线性代数的，要求求解线性方程组
⎧ 2x - y + z = 1
⎪ 3x + y + z = 2
⎪ x - 3y + 2z = -3
通过高斯消元法或矩阵的逆运算等方法，得出方程组的解。
此外，还有一道题目涉及到概率论，要求计算一个朴实的概率，例如一个正六面的骰子掷出的点数等等。
需要注意的是，在北大数学考研真题中，题目的标题是不会重复出现的，每一道题目都有独立的题目描述和要求。
因此，同一篇文章中不会存在相同的标题相同的文字。
2011年北京大学研究生入学考试数学分析试题解答SCIbird说明：印象中根据当初论坛上的讨论，北大2011年试题的回忆版与原题多少有些出入，这里根据自己的理解来确定试题。
因为对试卷回忆版第5题搞不清楚，所以略去此题。
其它试题解答，比较基础的试题就写得相对简略一些，难一些的试题就写得详细一些。
试题后的评注是个人对试题的看法。
1. 用确界存在定理证明，如果函数()f x 是区间I 上的连续函数，则()f I 是一个区间。
证明：为证明()f I 是一个区间，实际上只需要证明连续函数具有价值性质即可。
不妨只考虑()()f a f b <情形，其它情况同理。
任取实数c ，满足()()f a c f b <<下面利用确定存在定理证明(,)a b ξ∃∈，使得()f c ξ=. 所用方法非常经典，读者最好熟记此方法。
记集合[,]:{()}S t f a b t c ∈=<，因为()f a c <，所以a S ∈，因此如此定义的集合非空。
由确界存在定理知，上确界sup S ξ=存在且。
由()f x 连续函数，所以()f c ξ≤且a b ξ<<. 下证()f c ξ=：采用反证法。
假设()f c ξ<，因为ξ是内点，所以由连续函数的局部保号性可知存在ξ的一个邻域(,)[,]U a b ξδξδ=−+⊂，使得在U 上满足()f x c <，特别地12()f c ξδ+<，这与sup S ξ=是上确界的定义矛盾！所以()f c ξ=.评注：上面的证明是标准的，读者应该熟练掌握“连续函数取上确界”这种技巧，2009年北大数学分析压轴题的证明方法也取上确界。
印象中北大考研的数学分析试题必有一道试题涉及实数系那几个基本定理的等价性证明或者应用，属于送分题，但前提是你认真准备过。
实数系基本定理有好几个，但在解题或科研中，最常用的是确界存在原理和闭区间套定理。
特别在处理涉及连续函数的1维问题时，确界存在原理往往起到奇兵作用。
判断无穷积分1sin sin()xdx x +∞⎰的收敛性。
解 根据不等式31|sin |||,||62u u u u π-≤≤，得到 33sin sin 1sin 11|sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x xdx x x +∞-⎰绝对收敛，因而收敛，再根据1sin xdx x +∞⎰是条件收敛的，由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+， 可知积分1sin sin()xdx x+∞⎰收敛，且易知是是条件收敛的。
例5.3.39 设2()1...2!!nn x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞=-∞。
证明 （1）任意*m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>；当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在，又212()()0m m P x P x +'=>，21()m Px +严格递增，所以根唯一，0m x <。
（2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0xn n P x e →+∞=>，所以21()m P x +的根m x →-∞，（m →∞）。
因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。
则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）；21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞→+∞<=-≤=，矛盾。
例、 设(1)ln(1)nn p a n -=+，讨论级数2n n a ∞=∑的收敛性。
解 显然当0p ≤时，级数2nn a∞=∑发散；由 20011ln(1)1limlim 2x x x x x xx→→--++=011lim 21x x →=+ 12=，得221ln(1)4x x x x ≤-+≤，（x 充分小），于是2211(1)14n n p p pa n n n-≤-≤，（n 充分大） （1） 当1p >时，221p n n ∞=∑，2(1)npn n ∞=-∑收敛， 2(1)n n p n a n ∞=--∑收敛，(1)1n n np pa a n n -≤-+， 2nn a∞=∑收敛，2nn a∞=∑绝对收敛；（2） 当112p <≤时，221p n n ∞=∑收敛，2(1)n pn n ∞=-∑收敛， 于是2(1)nn pn a n ∞=--∑收敛，从而2(1)()n n p n a n ∞=--∑收敛，2n n a ∞=∑收敛， 而21p n n ∞=∑发散，由1(1)n n n p pa a n n -≤-+，得2(1)(||)nn n p n a a n ∞=--+∑发散，所以2n n a ∞=∑发散， 故此时2nn a∞=∑条件收敛。
（3） 当102p <≤时，2(1)()n n p n a n ∞=--∑发散，而2(1)n pn n ∞=-∑收敛，此时2n n a ∞=∑发散。
北京大学2007年数学分析考研试题及解答1、 用有限覆盖定理证明连续函数的介值定理。
证明 这里只证明连续函数的零点定理，由此即可推证介值定理。
命题：若()f x 在[,]a b 上连续，且()()0f a f b <，那么必然存在一点(,)a b ξ∈， 满足()0f ξ=。
采用反正法，若对于任意点(,)x a b ∈，有()0f x ≠，那么显然对于任意[,]x a b ∈，仍然有()0f x ≠。
由于f 的连续性，我们对于任意一点[,]x a b ∈，可以找到一个邻域()x O x δ，使得()f x 在()[,]x O x a b δ⋂中保号，那么[,]a b 区间被以上形式的()x O x δ，[,]x a b ∈开区间族所覆盖，由有限覆盖定理，可得存在有限个开区间1212(),(),...,()x x x nn O x O x O x δδδ就能覆盖闭区间[,]a b ，再由覆盖定理的加强形式可得，存在0ε>，满足当12,[,]y y a b ∈，12y y ε-<时，存在1212(),(),...,()x x x nn O x O x O x δδδ中的某个开集同时覆盖12,y y 。
那么我们就证明了当12y y ε-<时，有12(),()f y f y 同号；现取正整数m ，满足b a m ε-<，令()i b a iz a m-=+，0,1,...,i m =，那么我们有1i i z z ε+-<，()i f z 与1()i f z +同号，从而证明了0()f z 与()m f z 同号，即()f a 与()f b 同号，这与题目中的()()0f a f b <矛盾，证明完毕。
2、 设(),()f x g x 在有限区间(,)a b 内一致连续，证明：()()f x g x 也在(,)a b 内一致连续。
证明 首先证明(),()f x g x 都在(,)a b 上有界，因为()f x 在有限区间(,)a b 内一致连续，从而存在10δ>，满足当此12,(,)x x a b ∈，121x x δ-<时，有 12()()1f x f x -<， 现取正整数m ，满足1b a m δ-<，令()i b a iz a m-=+，1,2,...,1i m =-； 对任意(,)x a b ∈，存在j z ，使得 1j b ax z mδ--<<， ()()()()j j f x f x f z f z ≤-+1()j f z ≤+ 111max ()i i m f z ≤≤-≤+，即得()f x 在(,)a b 上是有界的； 同理()g x 在(,)a b 上也是有界的；下面证明，若(),()f x g x 在区间I 上有界，且都一致连续，则()()f x g x 在区间I 上一致连续。
设0M >，满足(),()f x M g x M ≤≤，x I ∈; 那么由(),()f x g x 得一致连续性得到，对于任意0ε>，存在0δ>，使得当,x y I ∈，x y δ-<时，有 ()()f x f y ε-<，()()g x g y ε-<从而()()()()f x g x f y g y -()()()()()()()()f x g x f x g y f x g y f y g y =-+- ()()()()()()f x g x g y f x f y g y ≤-+- 2M ε≤，即得()()f x g x 在I 上一致连续。
3、 已知()f x 在[,]a b 上有四阶导数，且有(4)(3)()0,()0,(,)ff a b βββ≠=∈，证明：存在12,(,)x x a b ∈，使得1212()()()()f x f x f x x β'-=-。
证明 不妨设()()0f f ββ'==（这是因为否则可以考虑()()()()()g x f x f f x βββ'=---，而()g x 的三、四阶导数与()f x 的相同）。
从而我们要证明存在12,(,)x x a b ∈，使得12()()0f x f x -=。
下面分两种情形来证明之，（1）()0f β''≠，当()0f β''>，由带Peano 余项的Taylor 展开式，我们得到 22()()()()(())2f f x f x o x ββββ''=+-+-， 那么在β足够小的邻域内有()0f x >，取12y y β<<，满足12()0,()0f y f y ><，不妨设12()()f y f y <，由于()0f β=，那么存在22(,)x y β∈，使得21()()f x f y =，从而取1122,x y x x ==，12()()0f x f x -=； 当()0f β''<时，同理可得； （2）()0f β''=，那么有(3)()0fβ=，(4)()0f β≠，可以同样Taylor 展开，(4)44()()()()(())4!f f x f x o x ββββ=+-+-， 做法与（1）相同，证毕。
4 、构造一个函数在R 上无穷次可微，且(21)(0)n f n +=，(2)(0)0n f =，0,1,2,...,n =并说明满足条件的函数有任意多个。
解 构造函数项级数()1(0)!n n n f x n ∞=∑211(21)!n n nx n ∞+==+∑，显然此幂级数的收敛半径为+∞，从而可以定义函数： 211()(21)!n n nf x xn ∞+==+∑，容易验证此函数满足：(21)(2)(0),(0)0n n fn f +==，0,1,2,...n =，考虑到函数21,0()0,0x e x g x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩，由我们熟知的结论知，()g x 在R 上无穷次可微，且()(0)0n g=，(0,1,2,...)n =，对任意()h x 在R 上无穷次可微的函数，从而()()()f x h x g x +也满足题目要求条件， 结论得证。
5 、设[0,1][0,1]D =⨯，(,)f x y 是D 上的连续函数，证明满足(,)(,)Df x y dxdy f ξη=⎰⎰的(,)ξη点有无穷多个。
证明 设 11min{(,):(,)}(,)m f x y x y D f x y =∈=，22max{(,):(,)}(,)M f x y x y D f x y =∈= 。
那么我们有(,)Dm f x y dxdy M ≤≤⎰⎰，(,)m f x y M ≤≤，(,)x y D ∈， 下面分两种情况讨论： （1） 若(,)Dm f x y dxdy =⎰⎰或(,)D f x y dxdy M =⎰⎰有一个成立时，当(,)Dm f x y dxdy =⎰⎰，我们有((,))0Df x y m dxdy -=⎰⎰，(,)0f x y m -≥，从而有(,)0f x y m -=，(,)x y D ∈，从而(,)f x y m =为常数，此时结论显然成立； 当(,)Df x y dxdy M =⎰⎰时，我们有((,))0DM f x y dxdy -=⎰⎰，(,)0M f x y -≥，从而(,)f x y M =为常数，此时结论显然成立； （2）(,)Dm f x y dxdy M <<⎰⎰我们可以选取无穷多条连接11(,)x y 和22(,)x y 的不相交的连续曲线12(),(),x x t y y t t t t ==≤≤，((),())x t y t D ∈；显然()((),())F t f x t y t =连续，111222()(,),()(,)F t f x y F t f x y ==，由连续函数的介值定理，存在12(,)t t τ∈，((),())(,)x y ττξη=，使得 ()(,)DF f x y dxdy τ=⎰⎰，即(,)(,)Df f x y dxdy ξη=⎰⎰，结论得证。
