2003南开大学年数学分析一、设),,(x y x y x f w-+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w解：令u=x+y ,v=x-y ,z=x 则z v u x f f f w ++=；)1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w二、设数列}{n a 非负单增且a a nn =∞→lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞→121][lim解：因为an 非负单增，故有n n n nnn n n n na a a a a 1121)(][≤+++≤由a a n n =∞→lim ；据两边夹定理有极限成立。
三、设⎩⎨⎧≤>+=0,00),1ln()(2x x x x x f α试确定α的取值范围，使f(x)分别满足：（1） 极限)(lim 0x f x +→存在（2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为)(lim 0x f x +→=)1ln(lim 20x x x ++→α=)]()1(2[lim 221420n nn x x o nx x x x +-++--→+α极限存在则2+α0≥知α2-≥(2)因为)(lim 0x f x -→=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α（3）0)0(='-f 所以要使f(x)在0可导则1->α四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++⎰)(22与积分路径无关解；令U=22y x+则ydy xdx y x f l ++⎰)(22=21du u f l )(⎰又f(x)在R 上连续故存在F （u ）使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22所以积分与路径无关。
（此题应感谢小毒物提供思路） 五、设f(x)在[a,b]上可导，0)2(=+ba f 且Mx f ≤')(,证明2)(4)(a b Mdx x f b a -≤⎰ 证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在)2)(()2()(),(ba x fb a f x f b a +-'=+-∈ξξ使即有dx ba x f dx x f bab a)2)(()(+-'=⎰⎰ξ222)(4])2()2([)2)((a b M dx b a x dx x b a M dx b a x f bb a ba a ba-=+-+-+≤+-'≤⎰⎰⎰++ξ六、设}{n a 单减而且收敛于0。
∑n a n sin 发散a) 证明∑收敛n an sinb) 证明1lim=∞→n nn v u 其中)sin sin (k ak k a u k n +=∑；)sin sin (k ak k ak v n -=∑证：（1）因为21sin 1sin ≤∑k 而}{n a 单减而且收敛于0据狄利克莱判别法知∑收敛n an sin（2）因为正项级数∑n a n sin 发散则∑∞→∞→)(sin n k ak 又由上题知∑有界k ak sin 故有1lim=∞→nnn v u七、设dx xxe t F txsin )(1⎰∞+-= 证明 （1）dx xxe tx sin 1⎰∞+-在),0[+∞一致收敛 （2）)(t F 在),0[+∞连续证：（1）因dx xx ⎰∞+1sin 收敛（可由狄利克莱判别法判出）故在t>=0上一致收敛；又txe -在x>=1,t>=0 单调且一致有界)0,1(10≥≥∀≤≤-t x e tx由阿贝尔判别法知一致收敛（2）],[0,),,0[00βαβα∈≥∃+∞∈∀t t 使由上题知，F （t ）在],[βα一致收敛，且由xxetxsin -在（x,t ）],[),1[βα⨯+∞∈上连续知F （t ）在],[βα连续所以在0t 连续，由0t 的任意性得证八、令)}({x f n 是[a,b]上定义的函数列，满足 （1）对任意0x ],[b a ∈)}({0x f n 是一个有界数列 （2）对任意>ε，存在一个εδδ<-<-∈>)()(,],[,,0y f x f n ，y x b a y x n n 有对一切自然数时且当求证存在一个子序列)}({x f kn在[a,b]上一致收敛证：对任意x ],[b a ∈，)}({x f n 是一个有界数列故由致密性定理存在一收敛子列，设为)}({x f kn ，又令U=]},[),({b a x x u x ∈δ则U 为[a,b]的一个开覆盖集，由有限覆盖定理，存在有限个开区间覆盖[a,b]，不妨设为),(),(11mx m x x u x u δδ于是对N能找到一,0>∀ε>0，),,2,1(,,21m i x N ，n n i k k =∀>∀有3)()(22ε<-i n i n x f x f k k 令},,min{1mx x δδδ =则由条件（2）知对上述0>∀ε3)()(,],,[,0εδδ<-<-∃∈∀>∃l n n l l x f x f n ，x x x b a x 有对一切自然数使于是有有],[],,[,,,,0,0b a x b a x N n n K t k K l t k ∈∃∈∀>>∀>∃>∀ε)()()()()()()()(x f x f x f x f x f x f x f x f kkklttktn l n l n l n l n n n n -+-+-=-≤)()(l n n x f x f tt-+)()(l n l n x f x f kl-+)()(x f x f kkn l n -ε<由柯西准则得证。
2004年南开大学数学分析试题答案1. 1lim )()(lim )()(')()(ln1===⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→-→a f a f ax a f x f ax ax a x eea f x f2.y x f xyy f x z 2-=∂∂, yy yx y xy xx x f x y f x y f x f x y yxf f y x z 3221---++=∂∂∂=yy y xx x f xyf x yxf f 321--+ 3.即证明x x x ++<+111)1ln(2，即证xx x +-+<+111)1ln(2 设=)(x f xx x ++--+111)1ln(2，0)0(=f ，2)1(1112)('x x x f +--+=0)1(22<+-=x x ，0)0()(=<f x f ，证完。
4.⎰⎰+Ddxdyy x y x )ln(2222=⎰⎰1252022ln cos sin drr r d πθθθ=⎰⎰15222ln cos sin 8rdr r d πθθθ= 72π-5.设P=22y x -，Q=xy 2-，yPy x Q ∂∂=-=∂∂2，积分与路径无关，则 ⎰==ππ0323dx x J6.ααnen n nnn1ln 1-=-1ln +≈αn n,又当0>α时，∑∞=+11ln n n n α收敛，当0≤α时，级数∑∞=+11ln n n n α发散，原题得证 7.由拉格朗日定理，nf n f n f n )(')()2(ξ=-，其中n n n 2<<ξ0)()2(lim)('lim =-=∞→∞→nn f n f f n n n ξ，原题得证 8.（1）应用数学归纳法，当1=n 时命题成立， 若当kn =时命题也成立，则当1+=k n 时，2)(},min{1111++++--+==k k k k k k k f F f F f F F ，由归纳假设1+k F 连续。
（2） （3）由)}({1x F k +单调递减趋于)(x F ，)}({1x F k +与)(x F 都连续，由地尼定理，该收敛为一致收敛。
9.(1)证明：2100),,(x x x b a x <<∀∈∀取02210201,,x x x x x x x x ==--=λ，代入式中得，)]()([)()(02020101x f x f x x x x x f x f ---+≤即02020101)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--，所以函数0)()()(x x x f x f x g --=单调递增有下界，从而存在右极限，则=+)(0'x f 00)()(lim0x x x f x f x x --+→；4321x x x x <<<∀，由题设可得32322121)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--4343)()(x x x f x f --≤，即2121)()(x x x f x f --4343)()(x x x f x f --≤从而2121)()(lim 12x x x f x f x x --→4343)()(lim 34x x x f x f x x --≤→，所以导函数递增。
(2)参考实变函数的有关教材。
2005年南开大学数学分析试题答案0D .1为成奇函数，所以该积分轴对称，被积函数关于关于由于y x2.x z f x y f f dx du z y x ∂∂+∂∂+=，其中xz x y ∂∂∂∂,由=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+xz h x y h h x z g x y g g z y x z yx 求出 =∂∂--=∂∂x z h g h g g h g h x y y z z y x z z x ,y z z y xy y x h g h g g h g h -- 3.⎰∑+=-=-=∞→12123234)(411lim πx dx nkn nk n 4.tx dt t M+≤⎰1,2sin 0在),0(+∞∈x 上单调一致趋于0，则)(x f 在),0(+∞∈x 上一致收敛，又tx t+sin 在),0(+∞∈x 上连续，则)(x f 在),0(+∞∈x 上连续。
5.由泰勒公式)!1(!1!21!111+++++=n e n e ξ，则)!1()!1(!1!21!111+≤+=+++-n en e n e ξ ，后者收敛，则原级数收敛。
6.由拉格朗日中值定理，,)('1)(122n Mn Mx nx f n n xf n ≤≤=ξ后者收敛，由魏尔特拉斯定理，原级数一致收敛。
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