Bode图

作业： P339 P339 16.1 a. 16.3 e.
当 k > k1时， 系统是稳定的
Im
ω =0
-1
ω=∞
Re
图.16.14
稳定系统的奈奎斯特图
例题 16.1
问题: 如图所示的系统， 画出当K=45时 的伯德图， 并确定增益裕度和相位裕度。 计算使系统稳定的最大K值， 并用劳斯阵 列验证其结果。
R +
⊕
-
C
K
1 ( s + 2)( s + 3)3
Mdb
log10 ω
GM
0db
φ
−1800
PM
log10 ω
图.16.3 增益裕度和相位裕度
系统的型和从伯德图得到 稳态误差
一般开环传递函数
Kb (1+ s / z1 )(1+ s / z2 )L(1+ s / zm ) GH(s) = n s (1+ s / p1 )(1+ s / p2 )L(1+ s / pk )
GM 1 = K1db GM 2 = K 2 db
图.16.11 系统的根轨迹图
单一频率穿越点: 增加相位 考虑下面的例子
(1+ s / 2) GH(s) =
s3
2
相位裕度是负的，表明系统是不稳定的。 增益裕度是正的，表明系统是稳定的。 考虑相位裕度，系统是稳定的。
0.1 40
1
10
100
ω
M db
伯德图中的相位裕度： - 相位裕度是使相角曲线向下移动 直到 增益和相角穿越点发生在同一频率时 的纯相角滞后量 。 - 在图16.1中
PM = 54

GM1 K1db GM 2 K 2 db
图.16.11 系统的根轨迹图
单一频率穿越点:
增加相位
2
考虑下面的例子
1 s / 2 GH s 3
s
相位裕度是负的，表明系统是不稳定的。 增益裕度是正的，表明系统是稳定的。 考虑相位裕度，系统是稳定的。
0.1 40
1
10
100

M db
0
-60
GM=K1(db) -40
-40
-40

0
-90
-180
PM
-270
图16.12
具有单一渐增相位穿越点的系统的伯德图
MATLAB 仿真
1 s / 2 GH s 3
s
sys=tf([0.25 1 1],[1 0 0 0]); bode(sys) pause
2
从根轨迹得到证实， 系统是条件稳定 的。 当k<k1时， 系统是不稳定的； 当k>k1时， 系统是不稳定的。
画出当 K=0.8时系统的伯德图， 并确定 增益裕度和相位裕度。 使系统的相位裕 度约为 60º 的K为何值? 解:
5K 1 s / 5 1.25K 1 s / 5 GH s 2 4s1 s 1 s / 4 s / 4 s1 s 1 s / 4 s 2 / 4 2
伯德图中的相位裕度： - 相位裕度是使相角曲线向下移动 直到 增益和相角穿越点发生在同一频率时 的纯相角滞后量 。 - 在图16.1中
PM 54

▽
在伯德图中获得增益裕度和相位裕 度:
增益裕度是通过相角穿越频率得出的。 它是该频率处的幅值分贝值与0dB线之间 的差值(用分贝表示) 。

Maya：一汇报人：
稳定性分析
稳定性定义：系统 在受到扰动后能够 恢复到其原始状态 的能力
稳定性分类：稳定、 不稳定、临界稳定
稳定性分析方法： 伯德图分析、奈奎 斯特图分析、根轨 迹分析等
伯德图分析：通过绘制 伯德图，观察系统在不 同频率下的增益和相位 变化，判断系统的稳定 性。
动态性能分析
伯德图：描述系统动态性能的图形工具 频率响应：系统对不同频率信号的响应 相位裕度：系统稳定性的指标 增益裕度：系统放大能力的指标 动态性能分析方法：如根轨迹法、频率响应法等
MATLAB还提供了丰富的函数库，可以方便地进行各种数学计算和仿真。
Simulink软件介绍
软件名称： Simulink
开发商： MathWorks
公司
软件功能：用 于建模、仿真 和分析动态系
统
应用领域：广 泛应用于控制 工程、信号处 理、通信等领
域
软件特点：图 形化界面，易 于操作，支持 多种编程语言
软件版本：最 新版本为 Simulink 2022a
其他绘制软件介绍
AutoCAD：一款专业的CAD软件，可以绘制 各种类型的伯德图
SolidWorks：一款三维设计软件，可以绘制 伯德图
Inventor：一款三维设计软件，可以绘制伯 德图
SketchUp：一款三维设计软件，可以绘制伯 德图
Blender：一款三维设计软件，可以绘制伯德 图
幅频特性的分析
幅频特性的定义：描述信号在频率域上的分布特性 幅频特性的表示方法：通常采用伯德图或奈奎斯特图 幅频特性的应用：用于分析信号的频率响应、滤波器设计等 幅频特性的测量方法：通过频谱分析仪或示波器等仪器进行测量
相频特性的分析
相频特性的定义：描述信号频率与相位之间的关系 相频特性的表示方法：通常用相频特性曲线表示 相频特性的应用：在信号处理、通信等领域有广泛应用 相频特性的测量方法：通过实验或仿真进行测量

jθ 1
aTs1 + 1 M 0 e jθ 0 = 1 ⋅ e jπ ， G0 ( s1 ) = M 0 e jθ 0 Ts1 + 1
表示，那么
a ⋅ T ⋅ M 1 e jθ 1 + 1 =
1 ⋅ e jπ (T ⋅ M 1e jθ1 + 1) jθ 0 ′ K ⋅ M 0e
3、利用上述方程可分为实部、虚部，通过方程组求解来确定未知数 a, T ：
函数 bpts2s ： 。 ②s=kw2s(kosi,wn) 根据阻尼比 kosi、无阻尼自振频率 wn，求解闭环主导极点 s，函数 kw2s（）参 ③[kosi,wn]=s2kw(s) 根据闭环极点 s，求解阻尼比 kosi 和无阻尼自振频率 wn，函数 s2kw（） 。 ④[pos,tr,ts,tp]=stepchar(g,delta) 求解系统单位阶跃响应的特征量，即系统的时域性能指标。其中，g 为系统的闭 环传递函数,delta 为调整时间误差范围，pos 为超调量，tr 为上升时间，ts 为过渡过 程时间，tp 为峰值时间，函数 stepchar
如果原系统具有满意的动态响应特性，但是其稳态特性不能令人满意，我们可以通过 在前向通道中串联一个适当的滞后校正装置来解决，并采用增大开环增益，同时又使动态 响应特性不发生明显变化的方法来实现。 为了避免根轨迹的显著变化，滞后校正产生的相角应当限制在 0 ~ 5 的范围内，为 此我们将滞后校正装置的零极点配置的相距很近，并靠近 s 平面上的原点。这样，校正后 系统的闭环极点将稍稍偏离原来的位置（准确地说，稍偏右下侧） 。因此动态响应特性将 变化很小。 下面讨论采用根轨迹法设计近似 PI 控制器的问题，校正装置的传递函数为：
i =1 i =1 m
n −ν

G( j ) G1 ( j )G2 ( j )Gn ( j ) G( j ) G1 ( j ) G2 ( j ) Gn ( j ) L( ) 20 lg G( j) 20 lg G1 ( j) 20 lg G2 ( j ) 20 lg Gn ( j)
G( j ) 00
（5-63） （5-64）
100 00
900 1800
10 100 1000
图5-11 放大环节的Bode图
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G( j) 1 j 1 1 e j90 j
7
当有n个积分环节串联时，即
dB L()
G(
j
)

(
1
j
)n
其对数幅频特性为
20 lg
G(
j )

20 lg
1
பைடு நூலகம்n
40
（ 5-70 ）
0
(5-71)
0.01 0.1
40 dB / dec
1
10
n 20 lg
G( j ) n 900
（5-72） 度 （）
6
设 ' 10 ，则有
20lg ' 20lg 10 20 20lg
dB L()
可见，其对数幅频特性是一条在
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ω 轴），且以每增加十倍频降 低20分贝的速度（-20dB/dec ） 变化的直线。
40
20dB / dec
1
L() dB

j?
??
其幅频特性为
1
G ( j? ) ? ?
对数幅频特性是
（5-65） （5-66）
1
20 lg G ( j? ) ? 20 lg ? ? 20 lg ? ?
（5-67）
当 ? ? 0 . 1 时，20 lg G ( j 0 . 1 ) ? ? 20 lg 0 . 1 ? 20 ( dB ) ； 当 ? ? 1 时，20 lg G ( j1) ? ? 20 lg 1 ? 0 ( dB ) ；
当 ? ? 10 时，20 lg G ( j10 ) ? ? 20 lg 10 ? ? 20 ( dB ) 。
6
设 ? ' ? 10 ? ，则有
? 20 lg ? ' ? ? 20 lg 10 ? ? ? 20 ? 20 lg ?
可见，其对数幅频特性是一条 在
dB L(? )
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线
(5-73) (5-74)
? ? 20 lg 1 ? T 2? 2
当 ? ?? 1 时， 20 lg G ( j ? ) ? ? 20 lg 1 ? T 2 ? 2 ? 0 ( dB ) ，
T
当 ? ?? 1 时，20 lg G ( j ? ) ? ? 20 lg 1 ? T 2 ? 2 ? ? 20 lg T ? ( dB )
40
（ω 轴），且以每增加十倍频降
20
? 20 dB / dec
低20分贝的速度（ -20dB/dec ）
0
0.01
0.1
1
10
?
变化的直线。
? 20
积分环节的相频特性是
? G ( j ? ) ? ? 90 0

Lω 20lg1 ＝0 dB
——低频渐近线为一条0dB的水平直线。
15
Lω 20lg 1 Tn ω
2

2 2
2ζ T ω
n
2
高频段，即ωTn>>1时
L() 20lg( Tn ) 40lg(Tn )
2 2
当ω增加10倍
ωTn 40 40lgωTn L() 40lg10
2
伯德图表示频率特性的优点： 把频率特性的乘除运算转变为加减运算； 在对系统作近似分析时，一般只需要画出 对数幅频特性曲线的渐近线，从而大大简 化了图形的绘制； 用实验方法，将测得系统频率响应的数据 画在半对数坐标纸上。根据所作出的曲线， 估计被测系统的传递函数。

3
二 典型因子的伯德图
5-2 对数坐标图
表示系统频率特性的图形有三种： 对数坐标图 极坐标图 对数幅相图

1
一、对数坐标图
1. 对数幅频特性图： 横坐标：用频率ω 的对数lgω 分度。 纵坐标：L(ω)= 20lg|G(jω)| （dB）， 采用线性分 度；
2.相频特性图 横坐标：用频率ω 的对数lgω 分度。 纵坐标：频率特性的相角，以度为单位，采用线性 分度；
20lg 1 jω T 20lg 1 ω 2 T 2
ωT ω arct an
13
L ( )
dB
20
20 0
( )
90
1 10T
1 T
10 T

45 0
1 10T
1 T
10 T

一阶微分环节高频渐近线的斜率是+20dB/dec，其 相位变化范围由0°（ω=0）经+45°至90°（ω=∞）

20 lg 10 20(dB)
。
6
设 ' 10 ，则有
20 lg 20 lg 10 20 20 lg
'
(5-68)
dB L( )
可见，其对数幅频特性是一条在 ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ ω 轴），且以每增加十倍频降 低 20 分贝的速度（ -20dB/dec ） 变化的直线。 积分环节的相频特性是
对数幅频特性为
20 lg G( j ) 20 lg K
（5-61）
当K>1时，20lgK>0，位于横轴上方；
当K=1时，20lgK=0，与横轴重合；
当K<1时，20lgK<0，位于横轴下方。
4
放大环节的对数幅频特性如图5-11所示，它是一条与角频 率ω 无关且平行于横轴的直线，其纵坐 标为20lgK。
0
100
1000

（5-63）
180
0
放大环节的相频特性是
G( j ) 0
0
图5-11 放大环节的Bode图
（5-64） 如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G ( j ) 1 j j 1


1

e
j 90
2 2 2
（5-85）
相频特性是
G ( j ) arctg 2 1
2 2
dB
40
（5-86）20
0
1 1 10
0
精确特性
40dB / dec
二阶微分环节与振荡节的Bode
1
图关于ω 轴对称，如图5-21 。

• 当阻尼系数接近1时，振荡环节具有低通滤波的作用； • 而随着减小，=n=1/T处的幅值迅速增大，表明其对输
入信号中该频率附近分量的放大作用逐渐加强，此时，振
荡环节具有选频作用。
6.4 系统开环频率特性-典型环节的伯德图
40
Bode Diagram
二阶微分环节:
30
20
转折频率 渐近线
L() /(dB)
10 /T
1) 将乘除运算转化为加减运算，因而可通过简单的图像叠加 快速绘制高阶系统的伯德图 ；如 G( j) A1()e j1() A2 ()e , j2 () 则20lgA1()A2()=20lgA1()+20lgA2()
2) 伯德图还可通过实验方法绘制，经分段直线近似整理后， 很容易得到实验对象的频率特性表达式或传递函数.
i 1
i m1 1
v n1
v n1 nv n1 2
( jTl 1)
(1 Tl2 2 2 j lTl )
l v 1
l v n1 1
(6 - 17)
其 中 ，K ,0 i 1,0 l 1, i 0,Tl 0都 为 常 数 。
除此外，也存在某个Tl<0,开环不稳定，但闭环可能仍然 稳定的情况。
1
A(ω)
1 ωT 2 2 2ζωT 2
L() /(dB)
10
0
-10 -20
(1 T 22
j2T)1
0.05 0.1 0.3
-30
0.7
1 -40
180
转折频率 渐近线
135
(ω)
arctan
1
2ζωT
ωT
2
90 45
0
() /()

分度；
3
伯德图表示频率特性的优点：
把频率特性的乘除运算转变为加减运算； 在对系统作近似分析时，一般只需要画出
对数幅频特性曲线的渐近线，从而大大简 化了图形的绘制； 用实验方法，将测得系统频率响应的数据 画在半对数坐标纸上。根据所作出的曲线， 估计被测系统的传递函数。
4
二 典型因子的伯德图
如果开环传递函数以时间常数形式表示，则与 之相对应的开环频率特性 G jH j 一般由下列五 种典型因子组成。
arctan
2Tn 1 T 2
n
2
相角 是ω和ζ的函数。在ω= 0，
ω 0
当 ω ωn 时，不管ζ值的大小， ω 90o；当ω=∞ 时，ω 180o 。相频曲线对-90°的弯曲点是斜对称
22
7 滞后因子 Gj e jω T
幅频特性 Lω 20lgGjω 20lg1 0 dB 相频特性
L2 ω 20lg 1 ω T2 2 20lg 1 ω T1 2 2 ω arctanωT1 arctanωT2
L( )
dB 0
( )
0o
90o
180o
1
1 T1
20
2
1 T2
G1 G2
33
L( )
dB
1
1 T1
2
1 T2
0
20
( ) 0o
90o
G1
180o
G2
显然,两个系统的幅频特性一样，但相频特性不同。由 图可见，2 ω 的变化范围要比 1ω 大得多。
说明积分环节的对数幅频曲线是一条经过横轴 上ω=1这一点，且斜率为-20的直线。
7
相频与ω无关，值为-90°且平行于横轴的直线。
L( )