浙教版圆周角2

3.5 圆周角（二）1.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝40°，则∠ABD与∠AOD分别等于(B)A. 40°，80°B. 50°，100°C. 50°，80°D. 40°，100°(第1题)2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连结C D.若⊙O的半径r＝5，AC＝5 3，则∠B的度数是(D)A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°(第2题)3.如图，⊙O的直径BD＝6，∠A＝60°，则BC的长为(C)A. 3B. 3C. 3 3D. 4 3(第3题)4.如图，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC＝54°，连结AE，则∠E的度数为(A)A. 36°B. 46°C. 27°D. 63°(第4题)5.如图，△ABC 内接于⊙O ，D 是BC 上一点，将∠B 沿AD 翻折，点B 正好落在圆上的点E 处.若∠C ＝38°，则∠BAE ＝ 104° .(第5题)6.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD ⊥AB 于点E . (1)求证：∠BCO ＝∠D.(2)若CD ＝4 2，AE ＝2，求⊙O 的半径.(第6题)【解】 (1)∵OC ＝OB ， ∴∠BCO ＝∠B. 又∵∠B ＝∠D ， ∴ ∠BCO ＝∠D.(2)设⊙O 的半径为r ，则OC ＝r ，OE ＝OA －AE ＝r －2. ∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴ CE ＝12CD ＝2 2.在Rt △OCE 中，∵OC 2＝CE 2＋OE 2， ∴ r 2＝(2 2)2＋(r －2)2，解得r ＝3.∴⊙O 的半径为3.(第7题)7.如图，已知BC 为半圆O 的直径，AB ︵＝AF ︵，AC 与BF 交于点M . (1)若∠FBC ＝α，求∠ACB 的度数(用含α的代数式表示). (2)过点A 作AD ⊥BC 于点D ，交BF 于点E .求证：BE ＝EM . 【解】 (1)连结CF .∵AB ︵＝AF ︵，∴∠ACB ＝12∠BCF . ∵BC 是直径，∴∠BFC ＝90°， ∴∠BCF ＝90°－∠FBC ＝90°－α. ∴∠ACB ＝12(90°－α). (2)∵BC 是直径，∴∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝90°. 又∵AD ⊥BC ，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°. ∴∠BAD ＝∠AC B.∵AB ︵＝AF ︵，∴∠ACB ＝∠ABF . ∴∠ABF ＝∠BA D.∴BE ＝AE .∵∠BAD ＋∠EAM ＝90°＝∠ABF ＋∠BMA ， ∴∠EAM ＝∠EMA ，∴AE ＝EM . ∴BE ＝EM .8.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角尺ABC的一条直角边BC放在直线EF 上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合.将三角尺ABC沿OE方向平移，直到点B与点E重合为止.设∠POF＝x°，则x的取值范围是30≤x≤60 .(第8题)【解】当点B与点O重合时，∠POF＝∠ABC＝30°；当点B点E重合时，∠POF＝2∠ABC＝60°.∴30≤x≤60.(第9题)9.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连结OD交BE于点M，且MD＝2，则BE＝8.【解】连结A D.∵AB为直径，∴∠AEB＝∠ADB＝90°.又∵AB＝AC，∴BD＝C D.∵OA＝OB，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ，∴∠OMB ＝∠AEB ＝90°， ∴BM ＝EM ＝12BE .∵OD ＝OB ＝12AB ＝5，DM ＝2， ∴OM ＝3，∴BM ＝OB 2－OM 2＝4， ∴BE ＝2BM ＝8.10.如图，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC 于点D ，延长AD 交⊙O 于点N ，AE 平分∠BAC ，交⊙O 于点E .求证：AE 平分∠OA D.(第10题)【解】 延长AO 交⊙O 于点F ，连结BF . ∵AF 为直径，∴∠ABF ＝90°， ∴∠BAF ＋∠F ＝90°.∵AD ⊥BC ，∴∠DAC ＋∠C ＝90°. ∵∠F ＝∠C ，∴∠BAF ＝∠DA C. ∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠CAE . ∴∠OAE ＝∠EAN ， 即AE 平分∠OA D.11.如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连结AC ，OC ，B C. (1)求证：∠ACO ＝∠BC D.(2)若EB ＝8 cm ，CD ＝24 cm ，求⊙O 的直径.(第11题)【解】 (1)∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ， ∴CE ＝ED ，BC ︵＝BD ︵， ∴∠BCD ＝∠BA C.∵OA ＝OC ，∴∠CAO ＝∠ACO . ∴∠ACO ＝∠BC D.(2)设⊙O 的半径为R (cm)，则OE ＝OB －EB ＝(R －8)cm. ∵AB ⊥CD ，∴CE ＝12CD ＝12×24＝12(cm).在Rt △CEO 中，OC 2＝OE 2＋CE 2， 即R 2＝(R －8)2＋122，解得R ＝13(cm)， ∴2R ＝2×13＝26(cm)， ∴⊙O 的直径为26 cm.12.如图，C 为△ABD 外接圆上的一动点(点C 不在BAD ︵上，且不与点B ，D 重合)，∠ACB ＝∠ABD ＝45°.(第12题)(1)求证：BD 是该外接圆的直径. (2)连结CD ，求证：2AC ＝BC ＋C D.(3)若△ABC 关于直线AB 的对称图形为△ABM ，连结DM ，试探究AM ，BM ，DM 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.【解】 (1)∵∠ADB ＝∠ACB ＝45°，∠ABD ＝45°， ∴∠ABD ＋∠ADB ＝90°， ∴∠BAD ＝90°， ∴BD 是该外接圆的直径.(2)如解图①，作AE ⊥AC ，交CB 的延长线于点E . ∵∠ACB ＝45°，CA ⊥AE ， ∴△ACE 为等腰直角三角形， ∴AC ＝AE .由勾股定理，得CE 2＝AC 2＋AE 2＝2AC 2， ∴CE ＝2A C.由(1)可知AB ＝AD ，∠BAD ＝90°， 又∵∠EAC ＝90°，∴∠EAB ＋∠BAC ＝∠CAD ＋∠BAC ， ∴∠EAB ＝∠CA D. 在△ABE 和△ADC 中，∵⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠EAB ＝∠CAD ，AE ＝AC ，∴△ABE ≌△ADC (SAS ).∴BE ＝DC ， ∴CE ＝BC ＋BE ＝BC ＋DC ， 即2AC ＝BC ＋C D.(第12题解)(3)2AM 2＋BM 2＝DM 2.证明如下：如解图②，延长MB 交圆于点E ，连结AE ，DE . ∵∠AEB ＝∠ACB ＝∠AMB ＝45°， ∴AM ＝AE ，∠MAE ＝90°， ∴AM 2＋AE 2＝2AM 2＝EM 2. ∵AC ＝AM ＝AE ，∴AC ︵＝AE ︵. 又∵AD ︵＝AB ︵，∴AC ︵－AD ︵＋CE ︵＝AE ︵－AB ︵＋CE ︵， 即DE ︵＝BC ︵，∴DE ＝BC ＝BM . ∵BD 为直径，∴∠BED ＝90°， ∴在Rt △MED 中，EM 2＋DE 2＝DM 2，∴2AM 2＋BM 2＝DM 2.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

2024年浙教版数学九年级上册3.5《圆周角》教学设计一. 教材分析《圆周角》是浙教版数学九年级上册第三章第五节的内容，主要讲述了圆周角定理及其推论。

本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、圆的性质、弧、弦等知识的基础上进行学习的，是进一步研究圆的性质和解决与圆相关问题的重要基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对于圆的相关知识也有一定的了解。

但在学习圆周角定理时，需要学生能够理解和证明圆周角定理，并能够运用到实际问题中。

因此，在教学过程中，需要关注学生的理解程度和接受能力，引导学生通过观察、思考、推理等方式掌握圆周角定理。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握圆周角定理，能够运用圆周角定理解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、思考、推理等过程，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.圆周角定理的证明。

2.圆周角定理在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.引导发现法：通过引导学生观察、思考、推理，发现圆周角定理。

2.小组合作法：让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题。

3.实例讲解法：通过具体实例，讲解圆周角定理的应用。

六. 教学准备1.教学PPT：制作包含圆周角定理内容的教学PPT。

2.实例素材：准备一些与圆周角相关的实例，用于讲解和练习。

3.练习题：准备一些有关圆周角的练习题，用于巩固和拓展。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些与圆周角相关的实例，引导学生思考圆周角的特点，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）通过PPT呈现圆周角定理的内容，让学生观察和思考，引导学生发现圆周角定理。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实例，运用圆周角定理进行解释。

然后，各组汇报交流，互相评价。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些有关圆周角的练习题，巩固所学知识。

3.5__圆周角__第2课时 圆周角定理的推论1．下列命题是假命题的是( ) A ．同弧或等弧所对的圆周角相等 B ．平分弦的直径垂直于弦 C ．两条平行线间的距离处处相等 D ．正方形的两条对角线互相垂直平分2．如图3－5－20，DC 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于F ，连接BC ，DB .则下列结论错误的是( )3－5－20A.AD ︵＝ BD ︵B ．AF ＝BFC ．OF ＝CFD ．∠DBC ＝90°3．如图3－5－21，已知AB ，CD 是⊙O 的两条直径，∠ABC ＝20°，那么∠BAD ＝( )图3－5－21A．45°B．60°C．30°D．20°4．如图3－5－22，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD 等于( )3－5－22A．116° B．32° C．58° D．64°5．如图3－5－23，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O 于点D，则∠BAD的度数是( )图3－5－23A．45° B．85° C．90° D．95°6．如图3－5－24，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，垂足为E，若∠AOD＝52°，则∠DCB＝__ __．3－5－247．如图3－5－25，弦AB，CD相交于点O，连接AD，BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是_ _.3－5－258．如图3－5－26，海边有两座灯塔A，B，暗礁分布在经过A，B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内，∠AOB＝90°，为了避免触礁，轮船P与A，B的张角∠APB的最大值为__ __．图3－5－269．如图3－5－27，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，连结CA，CB，DC，DB.已知∠D＝30°，BC＝3，则AB的长是__ __．图3－5－2710．如图3－5－20，AB 是半圆的直径，点D 是AC ︵的中点，∠ABC ＝50°，则∠DAB 等于3－5－2011．如图3－5－29，已知AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝45°.图3－5－29(1)求∠EBC的度数；(2)求证：BD＝CD.12．如图3－5－34，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE.(1)求证：∠B＝∠D；(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．3－5－3413．如图3－5－35，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD.图3－5－3514．如图3－5－36所示，AB 是⊙O 的直径，C 是BD ︵的中点，CE ⊥AB 于点E ，BD 交CE 于点F . (1)求证：CF ＝BF ；(2)若CD ＝6，AC ＝8，求⊙O 的半径及CE 的长．图3－5－3615.如图14，A ，B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点(点P 不与点A ，B 重合)，我们称∠APB 是⊙O 上关于点A ，B 的滑动角．(1)已知∠APB 是⊙O 上关于点A ，B 的滑动角， ①若AB 是⊙O 的直径，则∠APB ＝________； ②若⊙O 的半径是1，AB ＝2，求∠APB 的度数．(2)已知O 2 是⊙O 1 外一点，以O 2 为圆心作一个圆与⊙O 1 相交于A ，B 两点，∠APB 是⊙O 1 上关于点A ，B 的滑动角，直线PA，PB分别交⊙O2 于点M，N(点M与点A，点N与点B均不重合)，连结AN，试探索∠APB 与∠MAN，∠ANB之间的数量关系．图14第2课时 圆周角定理的推论1． B 2． C 3． D 4． B 5． B【解析】 ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°.∵∠C ＝50°，∴∠BAC ＝40°.∵∠ABC 的平分线BD 交⊙O 于点D ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝45°，∴∠CAD ＝∠DBC ＝45°，∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝40°＋45°＝85°. 6． __26°__． 7． __∠A ＝∠C __. 8． __45°__ 9． __6__． 10． ∠DAB ＝65°.11．解：(1)∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C . 又∵∠BAC ＝45°，∴∠C ＝∠ABC ＝12(180°－∠BAC )＝67.5°.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°， ∴∠ABE ＝∠A ＝45°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝67.5°－45°＝22.5°. (2)证明：连结AD . ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC . ∵AB ＝AC ， ∴BD ＝CD .12．解：(1)证明∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴AC ⊥BC ， ∵DC ＝CB ∴AD ＝AB ， ∴∠B ＝∠D .(2)设BC ＝x ，则AC ＝x －2.在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴(x －2)2＋x 2＝42，解得x 1＝1＋7，x 2＝1－7(舍去)， ∵∠B ＝∠E ，∠B ＝∠D ， ∴∠D ＝∠E ， ∴CD ＝CE ， ∵CD ＝CB∴CE ＝CB ＝1＋7. 13．第17题答图解：(1)证明：∵∠APC ＝60°，∠APC ＝∠ABC ， ∴∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝180°－∠BAC －∠ABC ＝180°－60°－60°＝60°，∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ， ∴△ABC 是等边三角形． (2)如图，连结OB ，OC ，∵∠BAC ＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°. ∵OB ⊥OC ，OD ⊥BC ，∴∠BOD ＝12∠BOC ＝60°，∴∠OBD ＝90°－∠BOD ＝30°， ∴OD ＝12OB ＝12×8＝4.14．第18题答图解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠A ＝90°－∠ABC .又∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝90°，∴∠2＝90°－∠ABC ，∴∠2＝∠A .又∵C 是BD ︵的中点，∴CD ︵＝CB ︵，∴∠1＝∠D ＝∠A ，∴∠1＝∠2，∴CF ＝BF .(2)∵BC ︵＝CD ︵，∴BC ＝CD ＝6.∵∠ACB ＝90°，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝62＋82＝10，∴⊙O 的半径为5.∵S △ABC ＝12AB ·CE ＝12BC ·AC ， ∴CE ＝BC ·AC AB ＝6×810＝245. 15.变形2答图(1)解：(1)①90°②如图(1)，连结OA ，OB ，AB .∵⊙O 的半径是1，即OA ＝OB ＝1，AB ＝2，∴由勾股定理的逆定理可得△OAB 为直角三角形，∠AOB ＝90°，∴∠APB ＝12∠AOB ＝45°. (2)①当点P 在优弧AB 上时，如左图，∠APB ＝∠MAN －∠ANB ； ②当点P 在劣弧AB 上时，如右图，∠APB ＝∠MAN ＋∠ANB .变形2答图(2)初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

3.5圆周角（2）教学目标:一.知识技能1.掌握圆周角的另一个推论;3.能灵活运用圆周角的相关性质解决问题;二.解决问题1.发现和证明圆周角的另一个推论;2.会用圆周角定理及推论解决问题.教学重点: 发现和证明圆周角的另一个推论.教学难点: 发现和证明圆周角的另一个推论.教学过程:探究圆周角的性质.（1）分别量一量图中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化. 你发现其中有什么规律吗？结论：圆周角的度数没有变化（2）分别量出图中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？我们可以发现，圆周角的度数没有变化. 并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.例1 已知：如图，△ABC内接于圆O，∠ACB=2∠ABC，点D平分弧AB.求证：AC=BD.解：连结CD∵∠ACB∴∠ACD=∠BCD=12∵∠ABC=1∠BCD2∴∠ABC=∠BCD∴∴AC=BD例2 如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠C=50°.问：船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？【解析】由于暗礁区的圆心位置没有标明，怎样避开暗礁，可以从测量船到两个灯塔的张角去考虑，船与暗礁区的相对位置可以通过∠ASB与∠ACB的大小关系来确定.解：如图，∠ASB交圆于点E，点F，连接EB，由圆周角定理知，∠AEB=∠ACB=50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区．所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜∠ACB．应用迁移，巩固提高.求图中x的度数.解：（1）x=60°（2）x=20°+30°=50°2. 如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．解：∵AB是直径∴∠ACB=∠ADB=90°在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=10cm，AC=6cm∴BC2=AB2﹣AC2=102﹣62=64∴BC==8（cm）又CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∴AD=BD又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2∴AD2+BD2=102∴AD=BD==5（cm）．课堂小结:本节课你认识了什么?掌握了哪些定理?有什么收获?。

3.4圆周角1.圆周角的定义圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的叫做圆周角。

【注意】（1）圆周角必须具备两个特征：①顶点在圆周上；②除顶点外，角的两边分别与圆还有另一个交点，不能仅从顶点是否在圆上来判断圆周角，如图1中的∠ABC 是圆周角。

例1 如图2所示，指出图中的圆周角。

图22.圆周角定理及其证明（1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

【注意】①定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等圆心角的一半；②不能丢掉“同一条弧所对的”这个条件而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”。

【说明】圆的任意一条弧所对的圆心角只有一个，但圆的任意一条弧所对的圆周角从位置上看有无数个，从数值上看只有一个。

（2）定理证明：因为在O 中，同一条弧所对的圆周角和圆心角的位置关系有（如图3所示）三种情况：圆心在圆周角的“一边上”“内部”“外部”，证明时应分三种情况进行讨论，在这三种情况下，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以圆周角的顶点为端点的直径作为辅助线。

(3)(2)(1)B图3已知：如图3所示，在O 中， BC所对的圆周角是∠BAC ，圆心角是∠BOC 。

求证：∠BAC=12∠BOC 。

图1(3)(2)(1)【说明】①定理的证明方法叫做枚举法，它体现了两种数学思想：分类讨论思想和由特殊到一般的思想；②因为圆心角的度数等于它所对的弧的度数，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

例2 如图4所示，AB 为半圆O 的直径，OC ⊥AB ，OD 平分∠BOC ，交半圆于点D ，AD 交OC 于点E ，则∠AEO 的度数是 。

AB图4例3 如图5所示，在O 中，∠ACB=34°，则∠AOB 的度数是（ ）A 、17°B 、34° C、56° D 、68°图5图6例4 如图6所示，在O 中，弦AB 、CD 相交于点P ，若∠A=30°，∠APD=70°，则∠B 等于（ ）A 、30°B 、35°C 、40°D 、50° 3.圆周角定理的推论推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。