2021年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学二模考前热身试卷

无锡市锡山区天一中学2021届高考数学二模考前热身试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设，已知集合，，且，则实数的取值范围是()A. B. C. D.2.设i是虚数单位，若复数z满足z(1−i)=i，则复数z对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.由所确定的平面区域内整点的个数是()A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个4.函数y=a−x与y=log a(−x)的图象可能是()A. B.C. D.5.在中，，，则的面积为()A. B. C. D.6.《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长六百里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．根据该问题设计程序框图，若输人a=103，b=97，则输出n的值是()A. 5B. 6C. 7D. 87.已知双曲线：x 2−y 24=1上一点P 到它的一个焦点的距离为2，则它到另一个焦点的距离为( ) A. 3B. 4C. 6D. 2+2√58.已知f(x)=x 3−6x 2+9x −abc ，a <b <c ，且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论：①f(0)f(1)>0； ②f(0)f(1)<0； ③f(0)f(3)>0； ④f(0)f(3)<0； ⑤abc <4； ⑥abc >4．其中正确结论的序号是( )A. ①③⑤B. ①④⑥C. ②③⑤D. ②④⑥二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =√2，CC 1=1，点D 为BC 中点，则以下结论正确的是( ) A. A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. 三棱锥D −AB 1C 1的体积为√36C. AB 1⊥BC 且AB 1//平面A 1C 1DD. △ABC 内到直线AC.BB 1的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分10. 已知(x +2)7=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+a 3(x +1)3+⋯+a 6(x +1)6+a 7(x +1)7，则( )A. a 5=21B. ∑(7i=0−1)ia i =0C. ∑i 7i=1a i =448D. a 0，a 1，a 2，…，a 7这8个数中a 6最大11. 已知点P 是双曲线E ：x 216−y 29=1的右支上一点，F 1、F 2是双曲线E 的左、右焦点，△PF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的有( )A. 点P 的横坐标为203 B. △PF 1F 2的周长为803 C. ∠F 1PF 2大于π3D. △PF 1F 2的内切圆半径为3212. 在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，P 分别是线段C 1D 1，线段C 1C ，线段A 1B 上的动点，且MC 1=NC 1≠0，则下列说法正确的有( )A. 三棱锥P −B 1BM 的体积为定值B. 异面直线MN 与BC 1所成的角为60°C. AP +PC 1的长的最小值为√2+√6D. 点B 1到平面BCD 1的距离为2√23三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知二项式的各项系数和为，则的常数项为 ．14. 已知两条直线和互相垂直，则等于15. 底面是正方形，容积为16的无盖水箱，它的高为______时最省材料．16. 一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB =√3b ． (1)求角A 的大小；(2)若a =6，b +c =8，求△ABC 的面积． (3)若b =6，求CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影．18. 已知等差数列{a n }中，a 3a 7=−16，a 4+a 6=0 (1)求{a n }的通项公式；(2)若a 3<a 2，S n 是数列{a n }的前n 项和，求{Snn}的前n 项和．19. 如图，已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB =1． (1)求证：平面AB 1D ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：A 1C//平面AB 1D ； (3)求二面角B −AB 1−D 的正切值．20. 北京时间3月10日，CBA 半决赛开打，采用7局4胜制(若某对取胜四场，则终止本次比赛，并获得进入决赛资格)，采用2−3−2的赛程，辽宁男篮将与新疆男篮争夺一个决赛名额，由于新疆队常规赛占优，决赛时拥有主场优势(新疆先两个主场，然后三个客场，再两个主场)，以下是总决赛赛程：(1)若考虑主场优势，每个队主场获胜的概率均为23，客场取胜的概率均为13，求辽宁队以比分4：1获胜的概率；(2)根据以往资料统计，每场比赛组织者可获得门票收入50万元(与主客场无关)，若不考虑主客场因素，每个队每场比赛获胜的概率均为12，设本次半决赛中(只考虑这两支队)组织者所获得的门票收入为X ，求X 的分布列及数学期望．21. 已知函数f(x)=(x 2+mx +m)√1−2x ，(m ∈R)(1)当m =4时，求f(x)的极值．(2)若f(x)在区间(0,14)上单调递增，求m 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线l′：x =4的距离的比是常数12．(1)求点M 的轨迹C 方程；(2)设过点A(2,0)的直线l 与曲线C 交于点B(B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点P ，与y 轴交于点D ，若BF ⊥DF ，且∠POA ≤∠PAO ，求直线l 斜率的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：因为，所以，要使，只需．考点：集合的运算．2.答案：B解析：解：由z(1−i)=i，得z=i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+i2．∴复数z对应的点的坐标为(−12,12)，在第二象限．故选：B．把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：A解析：解：由题意画图如下阴影部分，所以阴影部分内部的整数点只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)(2,1)，(3,1)六个．故选：A．4.答案：C解析：解：∵在y=log a(−x)中，−x>0，∴x<0；∴图象只能在y轴的右侧，故排除A、D；当a>1时，y=log a(−x)是减函数，y=a−x=(1a)x是减函数，故排除B；当0<a<1时，y=log a(−x)是增函数，y=a−x=(1a)x是增函数，∴C满足条件；故选：C．用排除法，根据对数的真数大于0，排除A、D；讨论a的取值，排除B；从而得到正确答案．本题考查了函数的图象与对应函数之间的关系，是基础题．5.答案：C解析：试题分析：根据题意，由于，，那么，那么可知则根据三角形的正弦定理，，然后结合三角形的面积公式可知，故选C．考点：解三角形点评：解决的关键是利用正弦定理和余弦定理来求解三角形的面积，属于基础题。

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( )A ．52B ．1C ．2D ．02．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ） A ．12B ．1-C ．±1D ．12±3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“1322a a a +<”是“210n S -<”的（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要4．执行如图所示的程序框图，若输入的3t =，则输出的i =( )A ．9B ．31C ．15D ．635．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则3=3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．22B ．12C ．3log 2-D ．3log 26．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．2430x y --= B ．2430x y +-=C ．4230x y +-=D ．2430x y -+=7．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( )A ．②③B ．②③④C ．①④D ．①②③8．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是（ ） A ．2B 15C ．3D ．39．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）A ．33B ．22C ．32D ．23310．已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象，对于函数()y f x =有如下结论：①()f x 在()+-∞∞，上单调递减；②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点；③()y f x =的最大值为1；④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则()y g x =由方程1y y x x +=所确定；则正确命题序号为( ) A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④11． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．912．在满足04i i x y <<≤，i i y xi i x y =的实数对(),i i x y (1,2,,,)i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，使得1213n n x x x x -++⋅⋅⋅+<成立的正整数n 的最大值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届全国天一大联考新高考模拟考试数学试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集{1,2,3,4,5,6{1,3,4}{2,3,4}, }U M N ===，，则集合U U C M C N 等于（ ）A. {5,6}B. {1,5,6}C. {2,5,6}D. {1256}，，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集、并集的定义计算即可；【详解】解：因为{1,2,3,4,5,6{1,3,4}{2,3,4}, }U M N ===，， 所以{}2,5,6U C M =，{}1,5,6U C N = 所以()(){}1,2,5,6U U C N M C =故选：D【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.已知实数x ，y 满足1,0,x y >>则“x y <是log 1x y >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由对数的性质分析可得“若x y <，则log log 1x x y x >=”和“若log 1x y >，即log log 1x x y x >=，必有x y <”，结合充分、必要条件的定义分析可得答案.【详解】根据题意，实数,x y 满足1,0xy ，若x y <，即1x y <<，则log log 1x x y x >=，则“x y <”是“log 1x y >”的充分条件，反之若log 1x y >，即log log 1x x y x >=，由1x >，则必有x y <，则“x y <”是“log 1x y >”的必要条件， 故“x y <”是“log 1x y >”的充要条件； 故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查对数函数的单调性，属于基础题.3.欧拉公式cos sin i e i θθθ=+，把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z 满足()1i e z i i π-⋅=+则 | z | =（ ）A.B.C. D. 3【答案】A 【解析】 【分析】由新定义将i e π化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出z 后再求模． 【详解】由欧拉公式cos sin i e i θθθ=+有：cos sin 1i e i πππ=+=-. 由()1i e z i i π-⋅=+，即(1)1z i i --⋅=+ 所以111iz i i+--==-，即2z i =-+所以z ==故选：A【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的除法运算和求复数的模，解题关键是由新定义化i e π为代数形式，然后求解．属于中档题.4.设()1,3a =-，()1,1b =，c a kb =+，若b c ⊥，则a 与c 的夹角余弦值为（ ）【答案】B 【解析】 【分析】根据()1,3a =-，()1,1b =，表示c 的坐标，再由b c ⊥建立方程求得k ，得到c 的坐标，然后利用夹角公式求解.【详解】因为()1,3a =-，()1,1b =， 所以()1,3c a kb k k =+=-++， 因为b c ⊥，所以()()11310k k -+⨯++⨯=， 解得1k =-， 所以()2,2c =-，因为8,10,22a c a c ⋅===，所以cos ,5102a c a c a c⋅===⋅⋅，所以a 与c . 故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5.已知α终边与单位圆的交点3,-5P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且sin cos 0αα⋅>的值等于（ ） A.95B.75C.65D. 3【答案】A【解析】 【分析】先根据三角函数的定义得sin ,cos αα的值，再利用正、余弦二倍角公式化简所求式子，即可求解. 【详解】因为α终边与单位圆的交点3,5P x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且sin cos 0αα⋅>，所以3sin 5α=-，4cos 5α=-，则 1sin 222cos 2αα-++()12sin cos 21cos 2ααα=-⋅++()22sin cos 4cos ααα=-+189sin cos 2cos 555ααα=-+=+=.故选：A.【点睛】本题考查了正弦函数的定义以及二倍角公式进行化简求值，属于较易题.6.某中学共有1000人,其中男生700人,女生300人,为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关（经常进行体育锻炼是指：周平均体育锻炼时间不少于4小时）,现在用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时）,其频率分布直方图如图.已知在样本数据中,有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,根据独立性检验原理（ ）附：()()()()()22n ad bc K a c b d a d b c -=++++,其中n a b c d =+++. ()20P K k ≥ 0.100.050.010.0050k2.7063.8416.6357.879A. 有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”B. 有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”C. 有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”D. 有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关” 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样以及频率分布直方图列联表,再计算2K ,结合表中的数据判断即可.【详解】由频率分布直方图可知, 平均体育锻炼时间不少于4小时的频率为()20.150.1250.0750.0250.75⨯+++=,故经常进行体育锻炼的学生2000.75150⨯=人.又其中有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,故有15040110-=位男生经常锻炼.根据分层抽样的方法可知,样本中男生的人数为700200140⨯=,女生有30020060⨯=.列出22⨯列联表有：故()22200110203040 3.171406015050K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,因为2.706 3.17 3.841<<.故有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”. 故选：B【点睛】本题主要考查了分层抽样以及频率分布直方图的运用,同时也考查了独立性检验在实际情景中的运用.属于中档题.7.25()x x a --的展开式的各项系数和为32-，则该展开式中含9x 项的系数是（ ） A. 15- B. 5-C. 5D. 15【答案】B【解析】 【分析】因为25()x x a --的展开式的各项系数和为32-，令1x =，可得25(11)32a --=-，解得2a =，结合二项式展开通项公式，即可求得答案. 【详解】25()x x a --的展开式的各项系数和为32-令1x =，可得25(11)32a --= 故：5()32a -=- 解得：2a =故：()()552525()(2)21x x a x x x x --=--=-+设()52x -展开通项公式为：()5152ii ii T C x -+=- 设()51x +展开通项公式为：()5151rr r r M C x -+=则()()5521x x -+展开通项公式为展开式中含9x即()()()()5555105555552122iriii i r r i r r i i r i r C x C x C C x x C C x ------⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅中x 的幂是9故109i r --=，可得1i r += 又05,05i r ≤≤≤≤且,i r N ∈可得01i r =⎧⎨=⎩或10i r =⎧⎨=⎩当01i r =⎧⎨=⎩，由()()01001995555225i i r i r C C x C C x x --⋅⋅-⋅=⋅⋅-⋅= 当10i r =⎧⎨=⎩，由()()110109955552210i i r i r C C x C C x x --⋅⋅-⋅=⋅⋅-⋅=- 该展开式中含9x 项的系数为1055-+=- 故选：B.【点睛】本题主要考查了根据二项式展开式求指定项的系数问题，解题关键是掌握二项式展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.8.已知函数f （x ）的定义域为R ，且()()()1,02f x f x f '+<=，则不等式()13x f x e +>解集为（ ）A. (1,)+∞B. (,1)-∞C. (0,)+∞D. (,0)-∞【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()()1xf xg x e+=,再分析()g x 的单调性以及()0g 求解()13x f x e +>即可. 【详解】构造函数()()1xf xg x e+=,则()()()10x f x f x e g x '--=>',故()g x 在R 上为增函数. 又()()00103f g e+==,故()13xf x e +>即()13x f x e +>,即()()0g x g >.解得0x >. 故选：C【点睛】本题主要考查了构造函数求解不等式的问题,需要根据题中所给的导数不等式或者所求的不等式,构造合适的函数,再根据函数的单调性求解.属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.若正实数a ，b 满足1a b +=则下列说法正确的是（ ）A. ab 有最大值14B.C.11a b+有最小值2 D. 22a b +有最大值12【答案】AB 【解析】 【分析】对A,根据基本不等式求ab 的最大值；对B,对C,根据()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭再展开求解最小值； 对D,对1a b +=平方再根据基本不等式求最值.【详解】对A,2211224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确.对B, 22a b a b a b =++≤+++=,≤,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确.对C,()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b +有最小值4.故C 错误.对D, ()()2222222121a b a ab b a a bb+=⇒++=≤+++,即2212a b +≥,故22a b +有最小值12.故D 错误. 故选：AB【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利用基本不等式.属于中档题.10.直线1y kx =-与圆C ：()()223336x y ++-=相交于A 、B 两点,则AB 长度可能为（ ） A. 6 B. 8C. 12D. 16【答案】BC 【解析】 【分析】先求得圆心到直线1y kx =-的距离最大值,再利用垂径定理求得弦长AB 的范围即可.【详解】因为直线1y kx =-过定点()0,1-,故圆C 的圆心()3,3-到直线1y kx =-的距离的最大值为5=.又圆C 的半径为6,故弦长AB 的最小值为=.又当直线1y kx =-过圆心时弦长AB 取最大值为直径12,故AB ⎡⎤∈⎣⎦.故选：BC【点睛】本题主要考查了直线过定点以及垂径定理的运用,需要根据定点求出圆心到直线的距离最值,进而得出弦长的最值与范围.属于中档题.11.CPI 是居民消费价格指数(comsummer priceindex )的简称.居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标.如图是根据国家统计局发布的2019年4月——2020年4月我国CPI 涨跌幅数据绘制的折线图（注：2019年6月与2018年6月相比较，叫同比；2019年6月与2019年5月相比较，叫环比），根据该折线图，则下列结论正确的是（ ）A. 2019年4月至2020年4月各月与去年同期比较，CPI 有涨有跌B. 2019年4月居民消费价格同比涨幅最小，2020年1月同比涨幅最大C. 2020年1月至2020年4月CPI 只跌不涨D. 2019年4月至2019年6月CPI 涨跌波动不大，变化比较平稳 【答案】BD 【解析】 【分析】根据同比和环比的概念结合折线图，对各选项逐一分析，即可得到正确选项. 【详解】根据同比折线图可知：2019年4月至2020年4月各月与去年同期都是涨，只是涨的幅度有大有小，其中，2019年4月居民消费价格同比涨幅最小为2.5%，2020年1月同比涨幅最大为5.4%， 故A 错误，B 正确； 根据环比折线图可知：2020年1月至2020年4月CPI 有跌有涨，故C 错误；2019年4月至2019年6月CPI 涨跌波动不大，变化比较平稳，故D 正确. 故选：BD.【点睛】本题主要考查统计中的折线图，同时考查对图表的分析与数据处理能力，属于基础题.12.抛物线24C x y =：的焦点为F ，P 为其上一动点，设直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，点()22,M ，下列结论正确的是（ ） A. |PM | +|PF |的最小值为3B. 抛物线C 上的动点到点()0,3H 的距离最小值为3C. 存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称D. 若过A 、B 的抛物线的两条切线交准线于点T ，则A 、B 两点的纵坐标之和最小值为2【答案】AD 【解析】 【分析】根据抛物线的性质对每个命题进行判断．【详解】A ．设l 是抛物线的准线，过P 作PN l '⊥于N ，则3PM PF PM PN +=+≥，当且仅当,,P M N 三点共线时等号成立．所以PM PF +最小值是3，A 正确；B ．设(,)P x y 是抛物线上任一点，即24x y =，2222(3)4(3)(1)8PH x y y y y =+-=+-=-+1y =时，min 822PH ==B 错误；C ．假设存在直线l ，使得A ，B 两点关于30x y +-=对称，设l 方程0x y m -+=，由240x yx y m ⎧=⎨-+=⎩得2440x x m --=，所以16160m ∆=+>，1m >-，设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x +=，AB 中点为00(,)Q x y ，则12022x x x +==，002y x m m =+=+，Q 必在直线30x y +-=上， 所以2230m ++-=，1m =-，这与直线l 抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C 错误；D ．设1122(,),(,)A x y B x y ，由24x y =即214y x =，得12y x '=，则切线AT 方程为1111()2y y x x x -=-，即2111124y x x x =-，同理BT 方程是2221124y x x x =-，由21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得12121()214x x x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由题意T 在准线1y =-上，所以12114x x =-，124x x =-，所以22221212121212111()[()2]()2444y y x x x x x x x x +=+=+-=++， 所以120x x +=时，122y y +=为最小值．D 正确． 故选：AD ．【点睛】本题考查抛物线的性质，涉及抛物线的定义，抛物线上的点到定点距离的最值，抛物线上的点关于定直线的对称性，抛物线的切线问题，难度较大．第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线C 过点()1,-且与双曲线221126x y -=有相同的渐近线，则双曲线C 的标准方程为______. 【答案】221105x y -=【解析】 【分析】设所求双曲线方程为22126x y k -=，代入所过点的坐标，可求解．【详解】由题意设所求双曲线方程为22126x y k -=，因为双曲线过点()1,-所以121126k -=，56k =，所以双曲线方程为2251266x y -=，即221105x y -=． 故答案为：221105x y -=．【点睛】本题考查求共渐近线的双曲线方程，掌握渐近线的定义是解题关键是．与双曲线22221x y a b-=共渐近线的双曲线方程可设为2222x y m a b-=．14.已知) (f x 为奇函数，当0x <时3,()2, x f x ex e -=+则曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程是______.【答案】2y ex e =- 【解析】【分析】利用奇函数的性质，求出0x >时，函数的解析式，求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程． 【详解】) (f x 为奇函数，当0x <时3,()2, x f x ex e -=+可得0x >，30,()()2,xx f x e x e -<-=-+ 根据奇函数性质()()f x f x -=- 可得：3()()2xf x e x e -=-+∴3()2x f x ex e =-，可得1(1)2=f e e e =--故：2()32xf x ex e '=-∴(1)32f e e e '=-=∴曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程是：()1y e e x +=-整理可得：2y ex e =- 故答案为：2y ex e =-【点睛】本题考查奇函数的性质，考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．15.声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，已知函数()()()2cos 2f x x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移3π个单位后，与纯音的数学模型函数2sin 2y x =图象重合，则ϕ=______，若函数()f x 在[],a a -是减函数，则a 的最大值是______. 【答案】 (1). 6π (2). 12π 【解析】 【分析】将函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位后可得到函数()y f x =的图象，结合诱导公式可求得ϕ的值，求得函数()y f x =的单调递减区间，由0x =属于该区间求得k 的值，再由区间的包含关系可求得a 的最大值.【详解】将函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位后可得到函数()y f x =的图象，则()22sin 22sin 22sin 22cos 233626f x x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 又()()()2cos 2f x x ϕπϕπ=+-≤≤，6πϕ∴=，令()2226k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以，函数()y f x =的单调递减区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 由()50,1212k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，可得0k =， 由于函数()y f x =在区间[],a a -上单调递减，则[]5,,1212a a ππ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦， 所以，12512a a a a ππ⎧-≥-⎪⎪⎪≤⎨⎪-<⎪⎪⎩，解得012a π<≤，则a 的最大值为12π.故答案为：6π；12π. 【点睛】本题考查利用三角函数图象平移求参数，同时也考查了利用余弦型函数的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.16.《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，12,4,BB BC AB AC ====且有鳖臑C 1-ABB 1和鳖臑1C ABC -，现将鳖臑1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，与鳖臑11C ABB -拼接成的几何体的外接球的表面积是______.【答案】1003π【解析】 【分析】当1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，A 点翻折到E 点，,A E 关于B 对称，所拼成的几何体为三棱锥11C AEB -，根据外接球的性质及三棱锥性质确定球心，利用勾股定理求出半径即可求解.【详解】当1C ABC -沿线BC 1翻折，使点C 与点B 1重合，则鳖臑1C ABC -经翻折后，A 点翻折到E 点，,A E 关于B 对称，所拼成的几何体为三棱锥11C AEB -,如图，由123,2,4,BB BC AB AC ==== 可得22114AB BB AB =+=,22114B E BB BE =+=,即1B AE △为正三角形，所以外接圆圆心为三角形中心1O ，设三棱锥外接球球心为O ，连接1O O ，则1O O ⊥平面1AB E ，连接1OC ,1OB ,在11OB C 中作11OM B C ⊥,垂足为M ，如图，因为11OC OB R ==,11OM B C ⊥,所以M 是11B C 的中点，由矩形11MOO B 可知11111322OO B C BC ===, 因为1O 为三角形1AB E 的中心， 所以111224323333B O B B ==⨯=在11Rt B OO 中，22111165333R OO B O =+=+=, 所以210043S R ππ==, 故答案为：1003π【点睛】本题主要考查了几何体的翻折问题，三棱锥的外接球，球的表面积公式，考查了空间想象力，属于难题.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知D 是ABC ∆边AC 上的一点,ABD ∆面积是BCD ∆面积的3倍，22.ABD CBD θ∠=∠= （1）若∠ABC =2π，求sin sin A C 的值；（2）若BC 2，AB =3，求边AC 的长. 【答案】（13217 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式以及题设条件，求解即可； （2）由题设条件结合三角形面积公式得出2cos 2θ=，进而得出334ABC πθ∠==，最后由余弦定理求解即可.【详解】解：（1）因为2ABC π∠=，22ABD CBD θ∠=∠=，所以6πθ=.所以11sin 3sin 2326AB BD BC BD ππ⋅=⨯⋅，所以sin 3sin 3BC A AB C ==；（2）因为11sin 23sin 22AB BD BC BD θθ⋅=⨯⋅，即2cos 3AB BC θ= 所以2cos 2θ=,所以4πθ=，334ABC πθ∠==2292232172AC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以17AC =.【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题. 18.给出以下三个条件:①数列{}n a 是首项为 2，满足142n n S S +=+的数列；②数列{}n a 是首项为2，满足2132n n S λ+=+（λ∈R ）的数列； ③数列{}n a 是首项为2，满足132n n S a +=-的数列.. 请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 与n S 满足______，记数列21222log log log n n b a a a =+++，21++=n n n n n c b b ，求数列{n c }的前n 项和n T ；（注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据所填条件求出数列{}n a 的通项公式，再依次求{}n b ，{}n c 的通项公式，由111(1)1n c n n n n ==-++，用裂项相消求数列{n c }的前n 项和n T 即可.【详解】选①，由已知142n n S S +=+（1）， 当2n ≥时，142n n S S -=+（2），（1）-（2）得：()1144n n n n a S S a +-=-=，即14n n a a +=，当1n =时，2142S S =+，由12a =，所以22422a +=⨯+， 所以28a =，满足214a a =，故{}n a 是以2为首项4为公比的等比数列，所以212n na -=.()21222212log log log log n n n b a a a a a a =++⋅⋅⋅+=213(21)n n =++⋅⋅⋅+-=，2221(1)111(1)(1)1n n n n n n n c b b n n n n n n +++====-+++，所以111111112231n n T c c c n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++. 选②，由已知2132n n S λ+=+（1）， 当2n ≥时，21132n n S λ--=+（2），（1）-（2）得，21212132232n n n n a +--=-=⋅，即212n n a -=，当1n =时，12a =满足212n na -=，故{}n a 是以2为首项4为公比的等比数列，所以212n n a -=.下同选①；选③，由已知132n n S a +=-（1）， 则2n ≥时，132n n S a -=-（2），（1）-（2）得13n n n a a a +=-，即14n n a a +=，当1n =时，1232a a =-，而12a =，得28a =，满足214a a =， 故{}n a 是以2为首项4为公比的等比数列，所以212n n a -=.下同选①.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，以及用裂项相消法求数列前n 项和.19.如图，已知平面BCE ⊥平面ABC ，直线DA ⊥平面ABC ，且DA AB AC ==.（1）求证：//DA 平面EBC ； （2）若3BAC π∠=，PE ⊥平面BCE ，求二面角A BD E --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）15【解析】 【分析】（1）过点E 作EH BC ⊥于点H ，推导出EH ⊥平面ABC ，利用线面垂直的性质定理可得出//AD EH ，再由线面平行的判定定理可证得//DA 平面EBC ；（2）推导出四边形DAHE 为矩形，然后以点H 为坐标原点，分别以HB 、HA 、HE 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2DA a =，利用空间向量法可求得二面角A BD E --的余弦值.【详解】（1）证明：过点E 作EH BC ⊥于点H ， 因为平面BCE ⊥平面ABC ，又平面BCE 平面ABC BC =，EH ⊂平面BCE ，所以EH ⊥平面ABC ，又因为DA ⊥平面ABC ，所以//AD EH ，因为EH ⊂平面BCE ，DA ⊄平面BCE ，所以//DA 平面EBC ；（2）因为DE ⊥平面BEC ，所以2DEB DEC π∠=∠=，由AB AC =可知DB DC =，DE DE =，DEB DEC ≅△△，则BE CE =， 所以点H 是BC 的中点，连接AH ，则AH BC ⊥， 所以AH ⊥平面EBC ，则//DE AH ，AHEH ⊥，所以四边形DAHE 是矩形.以H 为坐标原点，分别以HB 、HA 、HE 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2DA a =，则()0,0,2E a 、()3,0A a 、(),0,0B a 、()3,2D a a . 设平面ABD 的一个法向量为()111,,m x y z =， 又(),3,0AB a a =-，()0,0,2AD a =.由00m AB m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1113020ax ay az ⎧=⎪⎨=⎪⎩，取11y =，得()3,1,0m =.设平面BDE 的一个法向量为()222,,n x y z =， 因为(),3,2BD a a a =-，(),0,2BE a a =-.由00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2222232020ax ay az ax az ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，取21z =，得()2,0,1n =；设二面角A BD E --的平面角为θ，则15cos cos ,m n m n m nθ⋅=<>==⋅， 由题知二面角A BD E --是钝角，则二面角A BD E --的余弦值为15【点睛】本题考查利用线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，涉及面面垂直和线面垂直的性质定理的应用，考查推理能力和计算能力，属于中等题.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>与圆22243x y b +=相交于M ，N ，P ，Q 四点，四边形MNPQ 为正方形，△PF 1F 2的周长为()221.+（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点(),0,1,D -若直线AD 与直线BD 的斜率之积为16，证明：直线恒过定点.【答案】（1）2212x y +=（2）见解析【解析】 【分析】（1）根据四边形MNPQ 为正方形，可得到关于,a b 的一个方程，由△PF 1F 2的周长为()221+得到关于,a b的另一个方程，联立方程，解方程组，即可得到椭圆C 的方程.（2）对直线l 的斜率存在与否进行讨论，当斜率不存在时，结合条件容易排除，当斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，得到两根之和、两根之积，将条件直线AD 与直线BD 的斜率之积为16转化为韦达定理的形式，代入化简即可证明结论. 【详解】解：（1）如图所示，设点()00,N x y ，由题意四边形MNPQ 为正方形，所以00x y =，即()00,N x x ， 因为点()00,N x x 在圆22243x y b +=上，所以2220043x x b +=，即22023x b =，又点()00,N x x 在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，所以2200221x x a b+=，即2222133b a +=，所以2212b a =①，又△PF 1F 2的周长为)21，即)2221a c +=②，由①②解得22a =，21b =，所以椭圆C 的方程为：2212x y +=.（2）①当直线l 斜率不存在时，设l ：x m =，(),A A m y ，(),A B m y -，因为点(),A A m y 在椭圆2212x y +=上，所以2212A y m +=，即2212A y m =-， 所以22111A A AAD BDy y y k k m m m+-+-⋅=⋅=2211226m m ==≠不满足题意. ②当直线l 斜率存在时，设l ：()1y kx b b =+≠-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立22220y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩， 整理得()222124220kxkbx b +++-=，所以122412kb x x k -+=+，21222212b x x k -⋅=+，则121211AD BD y y k k x x ++⋅=⋅ ()()()12211221kx b kx b k x x b x x ++++++⎡⎤⎣⎦=()22121212()21k x x kb k x x b b x x ++++++=，将122412kb x x k -+=+，21222212b x x k -⋅=+代入上式化简得： 121211AD BDy y k k x x ++⋅=⋅2(1)12(1)(1)6b b b +==+-.即1113b b +=-，解得，2b =-， 所以直线l 恒过定点()0,2-.【点睛】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的综合，椭圆中直线恒过定点问题，属于中档题.21.已知函数()()21ln 204f x x ax a x a =-+≠ （1）若0a <时()f x 在[1,]e 上的最小值是5ln 24-，求a ；（2）若a e ≥，且x 1，x 2是()f x 的两个极值点，证明：()()()221212122f x f x x x e +<+-（其中e 为自然对数的底数, 2.71e ≈）【答案】（1）1a =-（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数得出函数()f x 的单调性，再由最值，解出a 的值；（2）由题意结合韦达定理得出122x x a +=，122x x a =，2221244x x a a +=-，将()()()221212122f x f x x x e +-++化简为2ln832a a a a e -++，构造函数2()ln 832()g a a a a a e a e =-++≥，利用导数得出其最大值，进而得出()()()221212122f x f x x x e +<+-. 【详解】解：（1）()f x 定义域是0,，222'()22a x x ax af x a x x-+=-+=. 令2()22g x x ax a =-+，对称轴00x a =<因为1a >，()110g =>，所以当[]1,x e ∈时，()0g x >，即()()'02g x f x x=> 所以()f x 在[]1,e 上单调递增.min 15()(1)ln 2ln 244f x f a a ==-+=- 解得1a =-.（2）由()f x 有两个极值点1x ，2x ，则()'0f x =在0,有2个不等的实根即2220x ax a -+=在0,有2个不等的实根，则2480a a a ⎧∆=->⎨>⎩，解得2a >.122x x a +=，122x x a =，()2222121212244x x x x x x a a +=+-=-当a e ≥时，()()()221212122f x f x x x e +-++()()221212121ln 424a x x a x x x x e =-+-++ ()()2221ln82442ln8324a a a a a e a a a a e a e =---+=-++≥ 令2()ln 832()g a a a a a e a e =-++≥，'()ln862()g a a a a e =-+≥ 令()'()ln862h a g a a a ==-+116'()6ah a a a-=-=，当a e ≥时，()'0h a <，所以()h a 在[),e +∞单调递减. 所以()()h a h e ≤即'()'()ln862(13ln 2)62g a g e e e e ≤=-+=+-+3ln 263363660e e e =-+<-+=-< 所以()g a 在[),e +∞单调递减22()()ln833(13ln 2)33g a g e e e e e e e e ≤=-+=+-+ (3ln 234)(334)(73)0e e e e e e =-+<-+=-<所以()0g a <所以原式成立. 即()()()221212122f x f x x x e +<+-. 【点睛】本题主要考查了已知函数的最值求参数，利用导数证明不等式，将不等式的恒成立问题转化为求最值的问题是解题的关键，属于较难题.22.新能源汽车已经走进我们的生活，逐渐为大家所青睐.现在有某品牌的新能源汽车在甲市进行预售，预售场面异常火爆，故该经销商采用竞价策略基本规则是：①竞价者都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与竞价的总人数；②竞价采用“一月一期制”，当月竞价时间截止后，系统根据当期汽车配额，按照竞价人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2020年6月份的汽车竞价，他为了预测最低成交价，根据网站的公告，统计了最近5个月参与竞价的人数（如下表）（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞价人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：ˆ bt y a =+，并预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2020年6月份汽车竞价人员的报价进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：（i ）求这200位竞价人员报价的平均值x 和样本方差s 2（同一区间的报价用该价格区间的中点值代替） （ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布()2,,N μσ且μ与σ2可分别由（i ）中所示的样本平均数x 及s 2估计.若2020年月6份计划提供的新能源车辆数为3174，根据市场调研，最低成交价高于样本平均数x ，请你预测（需说明理由）最低成交价. 参考公式及数据：①回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yb ay bx xnx ==-⋅==--∑∑ ②5521155, 2.6;ii i i i tx y ====≈∑∑③若随机变量X 服从正态分布()2,,N μσ则()()0.6826,220.9544,P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+= ()330.9974P X μσμσ-<<+=.【答案】（1）ˆ0.320.08y t =+，20000人.（2）（i ）11万元，6.8（ii ）13.6万元【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法得出回归方程，并将6t =代入回归方程，即可预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数；（2）（i ）由频数表中数据，利用平均数和方差的求解方法求解即可；（ii ）由题意得出竞拍成功的概率，根据正态分布的性质，即可确定最低成交价. 【详解】解：（1）根据题意，得：3t =， 1.04y =52155ii t==∑，5118.8i i i t y ==∑5152221518.853 1.040.3255535i ii ii t y t yb tt ==-⋅-⨯⨯∴===-⨯-∑∑则ˆ 1.040.3230.08a y bt =-=-⨯=从而得到直线的回归方程为ˆ0.320.08yt =+ 当6t =时，2y =.所以预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数为20000人. （2）（i ）根据表中给的数据求得平均值和方差为206060302010791113151711200200200200200200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）. 2222222060302010(4)(2)0246 6.8200200200200200s =⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=.（ii ）竞拍成功的概率为31740.158720000P == 由题意知()~11,6.8X N所以()0.6826P X μσμσ-<<+= 所以()10.68260.15872P X μσ-≥+== 所以2020年6月份的预测的最低成交价13.6μσ+=万元.【点睛】本题主要考查了求线性回归方程，正态分布的实际应用，计算平均数和方差，属于中档题.。

江苏省无锡市2021届新第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>【答案】C 【解析】 【分析】根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，33log log 222+>，即可判断出结果． 【详解】 ∵236a b ==；∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；()()()()2322223211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；∵()()()22232223log log 2log 2323log 2a b =+++++23232324log log l 23og log 82>+⋅+=⋅，故D 正确故C ． 【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：2a b ab +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题2．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．282【答案】B 【解析】 【分析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长BE 交DF 于A 点，其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =， 所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题3．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，25SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．643π B ．2563π C ．4363π D 2048327π 【答案】B 【解析】由题，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，则根据余弦定理可得2215825872BC =+-⨯⨯⨯= ，ABC 的外接圆圆心2sin 332BC r r B ===三棱锥的外接球的球心到面ABC 的距离15,2d SA == 则外接球的半径()22764533R ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，则该三棱锥的外接球的表面积为225643S R ππ== 点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R 公式是解答的关键． 4．已知(1,3),(2,2),(,1)a b c n ===-，若()a c b -⊥，则n 等于（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】 【分析】先求出(1,4)a c n -=-，再由()a c b -⊥，利用向量数量积等于0，从而求得n . 【详解】由题可知(1,4)a c n -=-，因为()a c b -⊥，所以有()12240n -⨯+⨯=，得5n =， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.5．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l ∥β”的充分不必要条件． 故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．6．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （c,0）（c ＞0）的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为 ）A ．221205x y -=B ．22125100x y -=C ．221520x y -=D ．221525x y -=【答案】C 【解析】 【分析】由题得ca =b ==222+=a bc ，联立解方程组即可得25a =，220b =，进而得出双曲线方程. 【详解】由题得ce a== ①又该双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，且被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为b == ②又222+=a b c ③ 由①②③可得：25a =，220b =，所以双曲线的标准方程为221520x y -=.故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.7．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】计算31cossin 332πππ=+=i ei ，得到答案. 【详解】根据题意cos sin ix e x i x =+，故31cossin 3322πππ=+=+i e i ，表示的复数在第一象限. 故选：A . 【点睛】本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.8．已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ）A ．23B ．29C ．13-D ．49-【答案】C 【解析】 【分析】22sin αα=可得cos α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 【详解】因为cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以cos α=所以221cos22cos 1133αα=-=-=-. 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题. 9．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】C 【解析】 【分析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.10．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，18【答案】A 【解析】 【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数． 【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为：15024040%18.150250400⨯⨯=++故选A ． 【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若11||2||A KB K =，则直线l 的斜率为 A ．1 B ．2C ．22D 3【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】根据抛物线定义，可得1||||AF AA =，1||||BF BB =， 又11AA FK BB ∥∥，所以11||||2||||A K AF B K BF ==，所以1111||||2||||A K AAB K BB ==， 设1||(0)BB m m =>，则1||2AA m =，则111||||21cos cos ||23AA BB m m AFx BAA AB m m --∠=∠===+，所以22sin AFx ∠=，所以直线l 的斜率tan 22k AFx =∠=C ．12．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是()A 33263cm B 36463cm C 33223cm D 36423cm 【答案】B 【解析】设折成的四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则3h =，故由题设可得12124222a a a +=⨯⇒=所以四棱锥的体积2313646=(42)423V =，应选答案B ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届高三新高考统一适应性考试江苏省天一中学考前热身模拟试题高三英语本试卷满分150分考试时间120分钟注意事项1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第一部分听力(共两节，满分30分)第一节(共5小题;每小题1.5分，满分7.5分)请听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一个小题，每段对话读一遍。

1.How does the woman's father go to work?A. By bus.B. By subway.C. On foot.2.Where does the man probably stop the car?A. At a parking lot.B. At a gas station.C. On the way.3.What's the weather normally like in Chicago?A. Cold.BWarm.C.Rainy.4.What does the man think about the boating race?A. Disappointing.petitive.C.Meaningful.5.What does the man want to donow?A. Return a ticket.B. Deal with an emergency.C. Catch a train.第二节（共15小题；每小题1. 5分，满分22. 5分）听下面5段对话或独白。

绝密★启用前2021届八省市高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{15}A x x =-<<，{}0B x x =≥，则A B =（）A ．{5}x x <B ．{05}x x <<C ．{05}x x ≤<D ．{1}x x >-答案：C【分析】直接由交集的定义求解即可解：解：因为{15}A x x =-<<，{}0B x x =≥， 所以{05}A B x x ⋂=≤<， 故选：C 2．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（） A ．复数z 的实部为3 B ．复数z 的虚部为425i C ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1答案：C【分析】直接利用复数的基本概念得选项.解：1343434252525i z i i -===-+， 所以z 的实部为325，虚部为425-，z 的共轭复数为342525i +15=， 故选C.点评：该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目. 3．将函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移4π个单位长度后得到函数π()sin(2)6g x x =+的图象，则函数()f x 的一个单调减区间可以为（）A ．π5π[,]1212-B ．π5π[,]66-C ．π5π[,]36-D ．π2π[,]63答案：A【分析】先利用三角函数的平移变换的应用得2()sin(2)3f x x π=+，再利用正弦型函数单调减区间的整体思想的应用求出结果即可．解：把()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移4π个单位长度后，得到()sin(2)2g x x ϕπ=-+=sin(2)6x π+的图象， 0ϕπ<<，23πϕ∴=，即2()sin(2)3f x x π=+.令2222,232k x k k ππ3ππ+≤+≤π+∈Z ， 解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，可得函数()f x 的一个单调减区间为,]1212π5π[-. 故选：A ．4．设()(3lg f x x x =+，则对任意实数a b 、，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的（）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 答案：C【分析】先判断函数为奇函数且单调递增，再分别判断充分性和必要性得到答案.解：()(3lg f x x x =+定义域为R ，()(3lg f x x x -=-+-()()((33lg lg lg10f x f x x x x x +-=+-+-==，函数为奇函数易知：3,lg y x y x y x ===在()0,∞+上单调递增，且()(300lg 00f =+=故()f x 在R 上单调递增当0a b +≥时，()()()()()0a b f a f b f b f a f b ≥-∴≥-=-∴+≥，充分性； 当()()0f a f b +≥时，即()()()0f a f b f b a b a b ≥-=-∴≥-∴+≥，必要性； 故选：C点评：本题考查了函数的奇偶性，单调性，充分必要条件，意在考查学生的综合应用能力.5．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（） A ．乙分8两，丙分8两，丁分8两 B ．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C ．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D ．乙分9两，丙分8两，丁分7两 答案：C【分析】根据题意，设五人所得的钱数等差数列{}n a ，设公差为d ，根据110.4a =，5 5.6a =，得到d ，从而得到234,,a a a ，得到答案.解：由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列{}n a ， 则110.4a =，5 5.6a =，设公差为d ，所以514 5.6a a d =+=， 即10.44 5.6d +=，解得 1.2d =-， 可得2110.4 1.29.2a a d =+=-=；31210.4 1.228a a d =+=-⨯=； 41310.4 1.23 6.8a a d =+=-⨯=，所以乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱， 故选：C.点评：本题考查等差数列的通项中基本量的计算，求等差数列中的某一项，属于简单题..6．函数()f x =A ．B ．C ．D ．答案：C【分析】判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，利用排除法进行求解即可．解：f （﹣x ）2x x1x e e--+==-+f （x ），即f （x ）是奇函数，图象关于原点对称， 排除B ，当x ＞0时，f （x ）＞0恒成立，排除A ，D 故选C ．点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数值的对应性利用排除法是解决本题的关键．7．已知点P 为函数()ln f x x =的图象上任意一点，点Q 为圆2211x e y e ⎡⎤⎛⎫-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦上任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（）A 21e e+-B 221e e +-C 21e e --D ．11e e+- 答案：A【分析】将PQ 的最小值，转化为P 到圆心的最小距离再减去半径来求得PQ 的最小值.设出函数ln x 上任意一点的坐标，求得圆心C 的坐标，利用两点间的距离公式求得PC 的表达式，利用导数求得这个表达式的最小值，再减去1求得PQ 的最小值. 解：依题意，圆心为1,0C e e ⎛⎫+⎪⎝⎭，设P 点的坐标为(),ln x x ，由两点间距离公式得()222222111ln 2ln PC x e x x e x e xe e e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，设()222112ln f x x e x e xe e ⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，。

无锡市天一中学2021-2022学年度高二上学期第一次教学质量监测数学试题注意事项：1.本试卷共5页，包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分，本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置.3.作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合{}25A x x =-<<，{}123B x x =->，则A B = （）A.()2,1-- B.()2,1- C.()1,5 D.()1,5-2.不等式101xx+≥-的解集为（）A.{|1x x ≥或1}x ≤- B.{}11xx -≤≤∣ C.{|1x x ≥或1}x <- D.{|11}x x -≤<3.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在（0，＋∞）上为单调函数，则满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为（）A.－6B.6C.8D.－84.已知函数()2cos f x x x =，则函数()f x 的部分图象可以为（）A. B. C. D.5.黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，12BC AC -=，根据这些信息，可得sin126︒=（）A.14- B.38+ C.14D.486.设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan 2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（）．A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形7.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（）A.B.C.1+D.38.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916-，则椭圆的离心率为（）A.34B.74C.916D.32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.空间四个点O ，A ，B ，C ，OA ，OB ，OC为空间的一个基底，则下列说法正确的是（）A.O ，A ，B ，C 四点不共线B.O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线C.O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D.O ，A ，B ，C 四点不共面10.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个顶点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，P ，Q 的坐标分别为()0,b ，()0,b -，且四边形12A PA Q 的面积为22，四边形12A PA Q 内切圆的周长为26π3，则双曲线C 的方程可以为（）A.2212x y -= B.2212y x -=C.22142x y -= D.22122x y -=11.如图，在三棱锥-P ABC 中，,,PA PB PB PC PA PC ⊥⊥⊥，点M 是ABC ∆内的一点，若PM 与平面,,PAB PAC PBC 所成的角分别是α，βγ，，PAB,PAC ,PBC ,ABC ∆∆∆∆的面积分别为PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆，，，，则以下说法正确的是：（）A.222sin sin sin 1αβγ++=B.2221co s co s co s αβγ++=C.PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆++>D.ABC ∆是锐角三角形12.设1e ，2e为单位向量，满足1222e e -≤12a e e =+ ，123b e e =+，则a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的可能取值为（）A.1920 B.2029C.2829D.1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则至少取得一个红球的概率为___________.14.若复数z 满足32i 1z -+=，则62i z --的最小值为__________．15.已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2S .若131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，则22S x -的最大值为__________．16.在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，O 为ABC 的外心，且有233AB BC AC +=，sin (cos 3)cos sin 0C A A A +=，若AO x AB y AC =+，,x y R ∈，则2x y -=________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知圆C 的方程：22-x +y 2x-4y+m=0，（Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）当圆C 与圆D ：()()22x+3+y+1=16相外切时，求直线l :x+2y-4=0被圆C ，所截得的弦MN 的长.18.已知向量(1,2)=-a ，||b = .（1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+ 的值.19.已知等差数列{}n a ，14a =，前n 项和为n S ，各项为正数的等比数列{}n b 满足：112b =，5342b b b =-，949S b =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，存在一系列的点()2,,1nn n n P a c +-，(),1,1n n Q b -，若n n OP OQ ⊥，求数列{}n c 的前n 项和n T .20.“绿水青山，就是金山银山.”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展.计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同.设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元.（Ⅰ）设第n 年的投入为a n 万元，旅游业收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式；（Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）21.如图，已知三棱锥M ABC -中，MA MB MC AC ====，2AB BC ==，O 为AC 的中点，点N 在边BC 上，且23BN BC =．（1）证明：BO ⊥平面AMC ；（2）求二面角N AM C --的正弦值．22.已知圆22:4O x y +=和定点()1,0A ，平面上一动点P 满足以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，动点P 的轨迹记为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）直线:(4)(0)l y k x k =-≠与曲线C 交于不同两点M 、N ，直线AM ，AN 分别交y 轴于P ，Q 两点．求证：AP AQ =．无锡市天一中学2021-2022学年度上学期第一次教学质量监测高二数学试题注意事项：1.本试卷共5页，包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分，本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置.3.作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合{}25A x x =-<<，{}123B x x =->，则A B = （）A.()2,1-- B.()2,1- C.()1,5 D.()1,5-【答案】A 【解析】【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由题意可得{}1B x x =<-，则{}()212,1A B x x ⋂=-<<-=--.故选：A 2.不等式101xx+≥-的解集为（）A.{|1x x ≥或1}x ≤- B.{}11xx -≤≤∣ C.{|1x x ≥或1}x <- D.{|11}x x -≤<【答案】D 【解析】【分析】不等式等价于101x x +≤-，即(1)(1)0x x +-≤，且10x -≠，由此求得不等式的解集．【详解】不等式等价于101x x +≤-，即(1)(1)0x x +-≤，且10x -≠，解得11x -≤<，故不等式的解集为{|11}x x -≤<，故选：D ．3.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在（0，＋∞）上为单调函数，则满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为（）A.－6B.6C.8D.－8【答案】A 【解析】【分析】根据函数()f x 是定义在R 上的偶函数，由2()(3x f x f x +=+，得到2()()3x f x f x +=+，再由函数在（0，＋∞）上为单调函数，得到23x x x +=-+或23x x x +=+求解.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()=()f x f x f x -=，又函数的图象是连续不断的，且在（0，＋∞）上为单调函数，2()()3x f x f x +=+，所以2()()3x f x f x +=+，所以23x x x +=-+或23x x x +=+，即()24203x x x ++=≠-或()22203x x x +-=≠-，设()24203x x x ++=≠-的两个根为m ，n ，则4m n +=-，()22203x x x +-=≠-的两个根为a ，b ，则2a b +=-，所以所有实数x 的和为-6.故选：A4.已知函数()2cos f x x x =，则函数()f x 的部分图象可以为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】由奇偶性可排除BD ，再取特殊值4f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断AC ，从而得解【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 为奇函数，故BD 错误；当0x >时，令()2cos 0f x x x ==，易得cos 0x =，解得()2x k k Z ππ=+∈，故易知()f x 的图象在y 轴右侧的第一个交点为,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，又2cos 04444f πππ⎛⎫=⨯⨯=>⎪⎝⎭，故C 错误，A 正确；故选：A5.黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC中，12BC AC -=，根据这些信息，可得sin126︒=（）A.14-B.38+C.14D.48【答案】C 【解析】【分析】结合已知条件以及诱导公式、二倍角公式求得正确结果.【详解】依题意可知112sin184BCAC︒==，所以()2sin126sin 9036cos3612sin 18︒=︒+︒=︒=-︒2131121444⎛⎫--+=-⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C6.设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan 2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（）．A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【答案】D 【解析】【分析】若三角形各边长为a 、b 、c 且内切圆半径为r ，法一：由内切圆的性质有tan2A a b c =+、tan 2B ba c=+，根据边角关系可得a b =或222+=a b c ，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；法二：利用万能公式、余弦定理可得222a c b +=或222+=a b c ，结合已知进一步讨论所得结论，判断三角形的形状；法三：由半角正切公式、正弦定理可得A B =或π2A B +=，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状.【详解】设()12P a b c =++，△ABC 的内切圆半径为r ，如图所示，法一：∴tan2A r a p a b c ==-+①；tan 2B r b p b a c==-+②.①÷②，得：p b a a cp a b c b-+=⋅-+，即()()()()22p b a a c p a b b c -+=-+．于是()()()()b b c c a b a a c b c a ++-=++-，232232ab b bc a b a ac -+=-+，()()2220a b a b c -+-=，从而得a b =或222+=a b c ，∴A B ∠=∠或90C ∠=︒．故△ABC 为等腰三角形或直角三角形，（1）当a b =时，内心I 在等腰三角形CAB 的底边上的高CD上，12ABCS AB CD c =⋅=△，从而得2S r a b c ==++．又()1122p a b c a c -=+-=，代入①式，得()122a abc a ca c c ==+++⋅，即42a a c a c=++，上式两边同时平方，得：()2222a c a a c a c -=++，化简2220c a -=，即c =．即△ABC 直角三角形，∴△ABC 为等腰直角三角形．（2）当222+=a b c 时，易得()12r a b c =+-．代入②式，得()()1212a b c bb c a c b +-=++-，整理得()()0a b a b c -+-=，又a b c +>，∴0a b -=，即a b =，因此，△ABC 为等腰直角三角形．法二：由万能公式，得：221tan 2cos 1tan 2AA A-=+，221tan 2cos 1tan 2BB B -=+．又tan 2A a b c =+，tan 2B b b c=+，由余弦定理得：222cos 2b c a A bc+-=，222cos 2a c b B ac +-=，从而可得22222121a b c a b c bc a b c ⎛⎫- ⎪+-+⎝⎭=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭①，22222121b a c b b c ac b b c ⎛⎫- ⎪+-+⎝⎭=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭②，由①式，得()()22222222b c ab c a bc b c a+-+-=++，利用等比定理，得()()()222222222222b c a b c a b c abcb c a bc+--+-+-=++-．即22222222b c a bcbc b c a +-=++，进而得()2224224b c a b c +-=，即()2224b c a -=．∴222b c a -=或222b c a -=-，即222a c b +=或222+=a b c ，（l）若222a c b +=，可知②式不成立；（2）若222+=a b c ，②式可化为()()22222222b c b a c bacb c b+-+-=++，即()()()()222222b c c a a c b c c a +--=++-，从而得()()()()222222a b c a c a c b c c c a ++-=+--，进而得()()()()2220b c a c c a a c +-+-+=，于是()()()20a c b a b a c --++=，∵20b a c ++>，c a >（由222+=a b c 即可推得），∴a b =．因此，△ABC 为等腰直角三角形．法三：利用sin tan21cos A A A =+，sin tan 21cos B B B =+及正弦定理和题设条件，得sin sin 1cos 1cos A BA B =++①，sin sin 1cos sin sin B BB A C=++②.∴1cos sin sin A B C +=+③；1cos sin sin B A C +=+④.由③和④得：1cos sin 1cos sin A B B A +-=+-，即sin cos sin cos A A B B +=+，ππsin sin 44A B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ππ44A B +=+或πππ44A B +=--，即A B =或π2A B +=．（1）若A B =，代入③得：1cos sin sin A A C +=+⑤又ππ2C A B A =--=-，将其代入⑤，得：1cos sin sin 2A A A +=+．变形得()()2sin cos sin cos 0A A A A ---=，即()()sin cos sin cos 10A A A A ----=⑥，由A B =知A 为锐角，从而知sin cos 10A A --≠．∴由⑥，得：sin cos 0A A -=，即π4A =，从而π4B =，π2C =．因此，△ABC 为等腰直角三角形．（2）若π2A B +=，代入③得π1cos sin sin 2A A C ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，即sin 1C =，∴π2C =，把π2C =代入④，得cos sin B A =，∴π4A B ==，△ABC 为等腰直角三角形．故选：D7.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（）A.B.C.1+D.3【答案】B 【解析】【分析】连接1BC ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC V 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，判断出当A P C '、、三点共线时，则AC '即为1AP PC +的最小值.分别求出1120AA C '∠=︒,111,2AA A C '==,利用余弦定理即可求解.【详解】连接1BC ，得11A BC V ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC V 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则有1AC AP PC +'≥.当A P C '、、三点共线时，则AC '即为1AP PC +的最小值.在三角形ABC 中，3AB BC ==1cos 3ABC ∠=，由余弦定理得：2212cos 332323AC AB BC AB BC B =+-+-⨯⨯,所以112A C =，即12A C '=在三角形1A AB 中，11AA =，3AB =，由勾股定理可得：2211132A B AA AB =+=+,且160AA B ∠=︒.同理可求：12C B =因为11112A B BC A C ===，所以11A BC V 为等边三角形，所以1160BA C ∠=︒，所以在三角形1AAC '中，111120AA C AA B BA C ''∠=∠+∠=︒,111,2AA A C '==,由余弦定理得：11421272AC ⎛⎫'=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭故选B.【点睛】（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.8.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916-，则椭圆的离心率为（）A.34B.4C.916D.2【答案】B 【解析】【分析】分别设内外层椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>、22221(1)()()x y m ma mb +=>，进而设切线AC 、BD 分别为1()y k x ma =+、2y k x mb =+，联立方程组整理并结合0∆=求1k 、2k 关于a 、b 、m 的关系式，再结合已知得到a 、b 的齐次方程求离心率即可.【详解】若内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由离心率相同，可设外层椭圆方程为22221(1)()()x y m ma mb +=>，∴(,0),(0,)A ma B mb -，设切线AC 为1()y k x ma =+，切线BD 为2y k x mb =+，∴12222()1y k x ma x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22223224222111()20a k b x ma k x m a k a b +++-=，由0∆=知：32222224222111(2)4()()0ma k a k b m a k a b -+-=，整理得2212211b k a m =⋅-，同理，222221y k x mb x yab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22222(1)b k m a =⋅-，∴4221249()()16b k k a ==-，即22916b a =，故4c e a ===.故选：B.【点睛】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合0∆=及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.空间四个点O ，A ，B ，C ，OA ，OB ，OC为空间的一个基底，则下列说法正确的是（）A.O ，A ，B ，C 四点不共线B.O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线C.O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D .O ，A ，B ，C 四点不共面【答案】ACD 【解析】【分析】根据OA ，OB ，OC 为空间的一个基底，由基底的定义逐项判断.【详解】因为OA，OB，OC为空间的一个基底，所以OA ，OB ，OC不共面，即O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线，且四点不共面，故选：ACD10.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个顶点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，P ，Q 的坐标分别为()0,b ，()0,b -，且四边形12A PA Q 的面积为，四边形12A PA Q 内切圆的周长为π3，则双曲线C 的方程可以为（）A.2212x y -= B.2212y x -=C.22142x y -= D.22122x y -=【答案】AB 【解析】【分析】由四边形12A PA Q 的面积为ab =，又由内切圆的周长可以求出内切圆的半径，从而利用内切圆半径×周长÷2=四边形12A PA Q 的面积可求出c ，进而得到关于a ，b 的两个方程，联立求解即可得答案．【详解】解：因为四边形12A PA Q的面积为所以1222a b ⨯⨯=ab =，记四边形12A PA Q 内切圆半径为r ，则262ππ3r =，得63r =．又142cr ⨯=，所以c =又2223c a b =+=，联立可得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线C 的方程为2212x y -=或2212y x -=．故选：AB.11.如图，在三棱锥-P ABC 中，,,PA PB PB PC PA PC ⊥⊥⊥，点M 是ABC ∆内的一点，若PM 与平面,,PAB PAC PBC 所成的角分别是α，βγ，，PAB,PAC ,PBC ,ABC ∆∆∆∆的面积分别为PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆，，，，则以下说法正确的是：（）A.222sin sin sin 1αβγ++=B.2221co s co s co s αβγ++=C.PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆++>D.ABC ∆是锐角三角形【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ，B ，以PM 为体对角线构造如图所示的长方体DEMI PHGF -，可判断；选项C ，作PO ⊥平面ABC 于O ，PN AB ⊥于N ，连结MN ，可得PAB OAB S S ∆∆>，同理,PAC OAC PBC OBC S S S S ∆∆∆∆>>，可判断；选项D ，设,,PA x PB y PC z ===，在ABC ∆中，利用余弦定理表示三个角的余弦，可判断.【详解】如图所示，以PM 为体对角线构造如图所示的长方体DEMI PHGF -，则PM 与平面,,PAB PAC PBC 所成的角分别是α，βγ，，即分别为IPM ∠，EPM ∠，GPM ∠，不妨设,,DE a DI b DP c ===则222222sin sin sin 1αβγ++=++=，故选项A 正确；222222cos cos 2cos αβγ++=++=，故选项B 不正确；如图所示，作PO ⊥平面ABC 于O ，PN AB ⊥于N ，连结MN 由三垂线定理可得，MN AB⊥由于PON ∆为以O ∠为直角的直角三角形，因此PN ON>故PAB OAB S S ∆∆>，同理,PAC OAC PBC OBCS S S S ∆∆∆∆>>PAB PAC PBC ABC OBC OAC OABS S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∴++>=++故选项C 正确；不妨设,,PA x PB y PC z ===，则AB AC BC ===在ABC ∆中，222cos 0,cos 0,cos 0A B C ===因此ABC ∆为锐角三角形，故选项D 正确.故选：ACD【点睛】本题考查了空间图形的综合问题，考查了学生空间想象，构造，综合分析，数学运算等能力，属于较难题12.设1e ，2e 为单位向量，满足122e e -≤ 12a e e =+ ，123b e e =+，则a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的可能取值为（）A.1920 B.2029C.2829D.1【答案】CD 【解析】【分析】设单位向量1e ，2e的夹角为α，根据已知条件122e e -≤，求出3cos 14α≤≤，然后利用夹角公式可将2cos θ表示成关于cos α的函数，利用不等式的性质求出其值域即可.【详解】设单位向量1e ，2e的夹角为α，由122e e -≤，两边平方得54cos 2α-≤，解得3cos 14α≤≤，又12a e e =+ ，123b e e =+ ，||a ∴==r，同理||b =r 且44cos a b α=+⋅r rcosb b a a θ∴==⋅⋅rr r r =244cos cos 53cos αθα+∴=+，令2cos t θ=，则844cos 4353cos 353cos t ααα+==-++3cos 14α≤≤Q ，2953cos 84α∴≤+≤，81323,53cos 387α⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦所以84283,1353cos 29α⎡⎤-∈⎢⎥+⎣⎦，即2cos θ的取值范围为28,129⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：CD【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积的性质，运算及夹角公式，及利用不等式的性质求函数的最值，解题的关键是将2cos θ表示成关于cos α的函数，再利用不等式的性质求值域，对运算要求很高，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则至少取得一个红球的概率为___________.【答案】1415【解析】【分析】“至少取得一个红球”与“取得两个绿球”为对立事件，利用对立事件的概率公式求出概率.【详解】由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为114()1()11515P A P B =-=-=.故答案为：1415.14.若复数z 满足32i 1z -+=，则62i z --的最小值为__________．【答案】4【解析】【分析】根据复数模的几何意义得出复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心，半径为1的圆，然后再根据62i z --的几何意义求最小值即可.【详解】因为复数z 满足32i 1z -+=，则复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心，半径为1的圆，又62i z --表示复数z 对应的点Z 与点()6,2P 之间的距离，所以62i z --的最小值为11514PC -=-=-=．故答案为：4．15.已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2S .若131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，则22S x -的最大值为__________．【答案】-1【解析】【分析】设新数据的平均数为1x ，方差为21S ，可得131x x =+，2219S S =，由新数据的平均数比方差大4可得23194x S +=+，可得21133S x =-，代入22S x -可得其最大值.【详解】解：设新数据131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数为1x ，方差为21S ，可得：131x x =+，2219S S =，由新数据平均数比方差大4，可得23194x S +=+，可得21133S x =-，可得：222211111(63336S x x x x -=-=----，由211033S x =-≥，可得1x ≥，可得当1x =时，可得22S x -的最大值为：2111(11636---=-，故答案为：1-.【点睛】本题主要考查数据的平均数、方差及其计算，属于中档题.16.在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，O 为ABC 的外心，且有3AB BC AC +=，sin (cos cos sin 0C A A A +=，若AO x AB y AC =+，,x y R ∈，则2x y -=________．【答案】3-或4333-【解析】【分析】由边角互化可得,(cos cos 03c a b c A a A +=-+=,所以2cos 3b A c =，即2222b a c =+，联立解得,a c b ==，或5,a c b ==.分两种情况将AO x AB y AC =+两边分别同乘以向量得方程组，解得结果.【详解】由正弦定理得(cos cos 0c A a A +=，所以2cos 3b A c =，即2222b a c =+，由条件得233c a b +=，联立解得,a c b ==，或5,a c b ==.当,a c b ==时，23cos 2AB AC bc A c⋅== 由AO x AB y AC =+ ，得2AO AB xAB y AC AB ⋅=+⋅ ，即2221322c x c y c =⋅+⋅，所以231x y +=.——————————————①同理，由AO x AB y AC =+ ，得2AO AC xAB AC y AC ⋅=⋅+ ，即2221322b x c y b =⋅+⋅，即2221122b x b y b =⋅+⋅，所以21x y +=.——————————————②联立①②解得1,1x y =-=.故23x y -=-.当5,a c b ==时，同理可得231x y +=——③，189x y +=——④解得43233x y -=-.故答案为：3-或4333-.【点睛】（1）三角形中的边角关系为条件时，常用正余弦定理统一化边或化角；（2）若O 为ABC 的外心，则有221122AO AB AB c ×==，221122AO AC AC b ×==；（3）此题的关键是找出三边关系和将向量转化为边长，得,x y 的关系式.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知圆C 的方程：22-x +y 2x-4y+m=0，（Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）当圆C 与圆D ：()()22x+3+y+1=16相外切时，求直线l :x+2y-4=0被圆C ，所截得的弦MN 的长.【答案】（Ⅰ）5m <;（Ⅱ）455MN =.【解析】【详解】试题分析；(Ⅰ)根据圆的一般方程表示圆的条件即可求m 的取值范围;(Ⅱ)根据圆与圆相切的等价条件求出m 的值,结合直线的弦长公式进行求解即可.试题解析：（Ⅰ）圆C 的方程可化为()()22x 1y 25m-+-=-令5m 0->,所以m 5<（Ⅱ）圆()()22C :x 1y 25m -+-=-,圆心()C 1,2,半径r =圆()()22D :x 3y 116+++=圆心()C 1,2,半径r 4=因为圆C 与圆D 相外切4=+解得m 4=圆心()C 1,2到直线l :x 2y 40+-=的距离为d 5==所以MN 5==18.已知向量(1,2)=-a ，||b = .（1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+ 的值.【答案】（1）(2,4)-；（2）5-.【解析】【分析】（1）设(),b x y =r ，结合已知条件，解得,x y 即可；（2）先求a =r 5a b ⋅=- ，化简22()(2)2a b a b a a b b -⋅--⋅+= 计算即可.【详解】（1）设(),b x y =r ， ||b = ，2220x y ∴+=①，且(1,2)=- a ，若b a λ= ，得()(),1,2x y λ=-，,2x y λλ∴==-②，联立①②，解得2520,0,2λλλ=<∴=- ，2,4x y ∴=-=，即()2,4b =-.（2） (1,2)=- a ，∴a ==，且||b = ，若a 与b的夹角为23π，∴21cos 532a b a b π⎛⎫⋅==-=- ⎪⎝⎭，∴()22()(2255205)2a b a b a a b b -⋅+-⋅-=⨯--=--= .【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，向量的数量积的性质的简单应用，属于基础题．19.已知等差数列{}n a ，14a =，前n 项和为n S ，各项为正数的等比数列{}n b 满足：112b =，5342b b b =-，949S b =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，存在一系列的点()2,,1nn n n P a c +-，(),1,1n n Q b -，若n n OP OQ ⊥，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）31n a n =+.12n n b =（2）3772nnn T +=-【解析】【分析】(1)由5342b b b =-列出方程求出q ，即可求得{}n b 的通项公式，由949S b =，利用等差数列的性质可求出516a =，从而求得d ，最后得到等差数列{}n a 的通项公式；(2)由n n OP OQ ⊥可得210n n n n n a b b c +--=，将{}n a 和{}n b 的通项公式代入上式求出{}n c 的通项公式，用错位相减法即可求出n T .【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，∵5342b b b =-，∴221q q =-，得12q =，1q =-（舍），因为112b =，所以1112n n n b b q -==.∵949S b =，∴541992a ⨯=，解得516a =，又14a =，∴51123514a a d -===-，∴()41331n a n n =+-⨯=+.（2）由（1）得31n a n =+，12n nb =.∵n n OP OQ ⊥ ，∴210nn n n n a b b c +--=，∴312n nn c +=.234710312222n n n T +=++++ ，①①式等号两边同乘以12，得234147103122222n n T n ++=+++⋅⋅⋅+，②①-②得231433*********n n n T n ++=+++⋅⋅⋅+-23111111313222222n n n ++⎛⎫=++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭111113122312212n n n +⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+⨯--173722n n ++=-.∴3772n nn T +=-.【点睛】本题考查等差数列、等比数列的基本量的求解与通项公式，垂直向量的数量积关系，错位相减法求和，属于中档题.20.“绿水青山，就是金山银山.”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展.计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同.设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元.（Ⅰ）设第n 年的投入为a n 万元，旅游业收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式；（Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）【答案】（Ⅰ）1412005n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，154004n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）6年.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意知{a n }，{b n }均为等比数列，根据条件中的数列{a n }的首项和公比直接写出通项公式，设数列{b n }的公比为q ，根据三年内旅游业总收入求得q ，从而求得{b n }的通项公式；（Ⅱ）设至少经过n 年，旅游业的总收入才能超过总投入.分别计算出经过n 年，总投入和旅游业总收入，根据不等关系列出表达式，解得n 的最小值即可.【详解】解：（Ⅰ）由题意知{a n }，{b n }均为等比数列，数列{a n }的首项为1200，公比为4120%5-=，所以1412005n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，设数列{b n }的公比为q ，显然q >0，q ≠1.所以三年内旅游业总收入为()3400115251q q-=-，即261116q q ++=，所以21616450q q +-=，解得54q =或49q =-（舍去），所以154004n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）设至少经过n 年，旅游业的总收入才能超过总投入.则经过n 年，总投入为41200154600014515n n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，经过n 年，旅游业总收入为5400145160015414n n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，所以54160016000145n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫->-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，化简得4515419054n n ⎛⎫⎛⎫+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设4(01)5nt t ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，代入上式得2151940t t -+>，解此不等式，得t >1（舍去）或t <415，即44515n⎛⎫< ⎪⎝⎭，解得454lg 42lg 2(lg 3lg 5)3lg 2lg 3115log 5.94152lg 2lg 53lg 21lg 5n -+-->===≈--由此得n ≥6.所以至少经过6年，旅游业的总收入才能超过总投入.21.如图，已知三棱锥M ABC -中，MA MB MC AC ====，2AB BC ==，O 为AC 的中点，点N 在边BC 上，且23BN BC = ．（1）证明：BO ⊥平面AMC ；（2）求二面角N AM C --的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）27979.【解析】【分析】（1）先在等腰三角形ABC 中证OB AC ⊥，然后在MOB △中根据勾股定理证OB OM ⊥，从而结论得证；（2）用向量法求两个面的法向量，根据向量的夹角公式来求二面角的余弦值.【详解】（1）连接OM ，在ABC 中，因为2AB BC ==，2AC =，O 为AC 的中点，所以OB AC ⊥，且2OB =；在MAC △中，因为2M A M C A C ===，O 为AC 的中点，所以OM AC ⊥，且6OM =；在MOB △中，因为2OB =，6OM =，2MB =，所以222BO OMMB +=，所以OB OM ⊥，又AC OM O = ，,AC OM ⊂平面AMC ，所以OB ⊥平面AMC ．（2）因为OB ，OC ，OM 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为MA MB MC AC ====，2AB BC ==，所以(0,A，B，C，M，AM =，(BC = ，由23BN BC = ，得222(,,0)33N ，则252,,0)33AN = ，设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z =，则2520330AN m x y AM m ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令y =(1)m =-- ，因为BO ⊥平面AMC，所以OB =为平面AMC 的一个法向量，设二面角N AM C --为θ，则cos cos ,m OB θ=〈〉=因为[]0,θπ∈，所以二面角的正弦值sin 79θ==．22.已知圆22:4O x y +=和定点()1,0A ，平面上一动点P 满足以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，动点P 的轨迹记为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）直线:(4)(0)l y k x k =-≠与曲线C 交于不同两点M 、N ，直线AM ，AN 分别交y 轴于P ，Q 两点．求证：AP AQ =．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由两圆内切的条件和椭圆的定义，可得所求轨迹方程；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立直线l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理，计算MA NA k k +，可判断三角形APQ 的形状，即可得到证明．【详解】解：（1）设以线段AP 为直径的圆的圆心为C ，取()1,0A '-．依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，因为O 为AA '的中点，C 为AP 中点，所以2A P OC'=所以2222242PA PA OC AC OC CD OD AA ''+=+=+===＞，所以动点P 的轨迹是以A ，A '为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为()222210x y a b a b+=>>，则24a =，22c =，所以2a =，1c =，所以2223b a c =-=，所以动点P 的轨迹方程为22143x y +=;（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，（11x ≠且21x ≠）．由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222433264120k x k x k +-+-=，依题意()()()2222Δ3244364120k k k =--⋅+⋅->，即2104k <<，则212221223243641243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为()()()()()1212121212121225844111111MF NF k x x x x k x k x y y k k x x x x x x ⎡⎤-++--⎣⎦+=+=+=------()()2222126412322584343011k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦==--，所以直线MF 的倾斜角与直线NF 的倾斜角互补，即OAP OAQ ∠∠=．因为OA PQ ⊥，所以AP AQ =．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。