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作 P125
业 习题4 习题
10. 13. P134
2012-4-2
习题5 习题5
1
1. 2.
微积分(3)第一次机考 微积分 第一次机考 考试地点: 开放实验室(主楼后厅 考试地点 开放实验室 主楼后厅) 主楼后厅 进场时间: 进场时间 2003年4月5日(六) 15:00 年 月 日六 考试时间: 考试时间 15:30—16:30 注意事项: 注意事项 1.按时进场 按时进场. 按时进场 2.进场只许带文具，不得带书包. 进场只许带文具，不得带书包 进场只许带文具 3.统一发草稿纸 统一发草稿纸. 统一发草稿纸
利用极坐标
∫∫ e
D
− x2 − y2
dσ = ∫∫ e
DR
−r2
rdrdθ = ∫ dθ ∫ e
0 0
2π
R
−r 2
r dr
1 2π − r 2 R − R2 dθ = π (1 − e ) =− ∫ e 0 2 0 最后 , 将正方形域 D夹在一个小圆 Dr 与一个
大圆 D R 之间
o
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[解] 球体的质量分布关于 z轴对称 解
所以质心 ( x , y , z ) 位于 z 轴上 , 即有
x = y =0
z =
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∫∫∫ Ω
µ ( x , y , z ) zdV µ ( x , y , z ) dV
16
∫∫∫ Ω
∫∫∫ µ ( x, y, z ) zdV = ∫∫∫ ( x Ω Ω
∫∫∫ ( x Ω
2
+ y + z ) µ ( x , y , z ) dV
2 2
13
[ 例 1 ] 求球体 x + y + z ≤ a 被圆
2 2 2 2
柱面 x + y = ax 所截出的那一
2 2
部分体积
[解] 解
V .
z
z = a −r
2
2
由对称性 只需计算 第一挂限 的体积 V 1
2012-4-2
5 z= R 故 4 球体的质心坐标为 2012-4-2
5 ( 0 ,0 , R ) 4
18
[例3] 求高为 h, 半顶角为 α , 密度为 µ 的均匀 正圆锥体对位于其顶点 的一单位质点 z 的引力. [解] 取坐标系如图所示 解 h v 由对称性知 ,引力 F在 x , y轴上的 α y 分量为零 , 即有 Fx = 0 , F y = 0 o 在 z轴上的分量微元为 x v 1 ⋅ µ dV z dFz = dF cos γ = k 2 r r 2 2 2 其中 k 为引力常数 , r = x + y + z
∫
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+∞
0
e
−a 2 x 2
1 + ∞ − u2 π dx = ∫ e du = a 0 2a
8
三重积分的应用
1 .空间立体的体积
V =
∫∫∫ Ω
1 dV
2 .不均匀物体的质量
m = ∫∫∫ µ ( x , y, z )dV
Ω
2012-4-2 9
3 .不均匀物体的质心
M xy = M yz = M = zx
y
r a R
x
6
∫∫ e
Dr
− x2 − y2
dσ ≤ ∫∫ e
D
−r 2
− x2 − y2
dσ ≤ ∫∫ e
DR
2
− x2 − y2
dσ
)
⇒
π (1 − e
) ≤ (∫ e
−a
a
− x2
dx ) ≤ π (1 − e
− R2
再令 r → +∞ , R → +∞ , 则必有 a → +∞ , 得
(∫ e
a
x
因为定积分的数值与变量记号无关， 因为定积分的数值与变量记号无关，得
∫
所以， 所以，有
a −a
e
− x2
dx = ∫ e
−a
a
− y2
dy
a − x2
∫∫ e
D
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− x2 − y2
dσ = ( ∫ e
−a
dx ) 2
只要求当a → +∞ 时的极限
5
再考虑以原点为中心 , 半径为 R的圆域 D R 的圆域
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第十三讲
三重积分的应用
2012-4-2
3
泊松（Poisson） [例] 泊松（Poisson）积分的计算
∫
+∞
0
e
−a 2 x 2
dx =
π
2a
,
a>0
泊松积分在概率论与数学物理方法中有重要应用 泊松积分在概率论与数学物理方法中有重要应用 可以利用二重积分的方法算出泊松积分 可以利用二重积分的方法算出泊松积分 二重积分的方法
−∞ ∞ − x2
dx ) = π
2
即
∫
∞ −∞
e
− x2
dx = π
因为上述广义积分收敛， 因为上述广义积分收敛，且被积函数为偶函 数，所以有
∫
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∞ −∞
e
− x2
dx = 2 ∫ e
0
∞
− x2
dx = π
7
于是， 于是，有
∫
∞
0
e
− x2
dx =
π
2
1 令 u = ax , 则 dx = du, 得 a
先考虑以原点为中心，对称于坐标轴， 先考虑以原点为中心，对称于坐标轴，边长 2a的正方形域 为2a的正方形域 D
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∫∫ e
D
− x2 − y2
= ∫ dx ∫ e − x ⋅ e − y dy dσ −a −a
2 2
a
a
y
=∫ e
−a
a
− x2
dx ⋅ ∫ e
−a
a
− y2
dy
o
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∫∫∫ Ω ∫∫∫ Ω
z µ ( x , y , z ) dV
∫∫∫ x µ ( x , y , z ) dV Ω
y µ ( x , y , z ) dV
10
物体的质心坐标
x=
∫∫∫ xµ( x, y, z)dV Ω
µ ( x, y, z)dV ∫∫∫
Ω
y=
∫∫∫ yµ( x, y, z)dV Ω ∫∫∫ µ( x, y, z)dV Ω
x , y , z 轴的转动惯量
∫∫∫ Ω ∫∫∫ Ω ∫∫∫ Ω
( y 2 + z 2 ) µ ( x , y , z ) dV ( z + x ) µ ( x , y , z ) dV
2 2
( x 2 + y 2 ) µ ( x , y , z ) dV
物体对原点的转动惯量
JO =
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o
x
y
r = acosθ
14
V1 = ∫∫∫ dV
Ω
利用柱坐标计算
V1 = ∫∫∫ dV = ∫∫∫ rd θ drdz
= =
∫
π
2 0
Ω
Ω*
dθ ∫
a cos θ 0
rdr ∫
2
a2 −r 2
0
dz
π
∫
π
2 0
dθ ∫
a cos θ 0
1 3 2 3 a − r rdr = a ∫0 (1 − sin θ ) dθ 3
首先证明
∫
+∞ −∞
e
−x
2
dx = π
∫∫
a ++ a + a − x − y+ a −− x 2 − x 2 + a −− y 2 x2 2x 2 a a −− a− a ≤ x ≤ a −a −− a −a ≤ y≤a
2 2
d ee∫∫ ee ⋅ ⋅∫ dx )σ dx ( ∫ dx ee dy dx ∫
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于是
Fz = kµ ∫∫∫
Ω
2π
z (x + y + z )
2 2 2 3 2
dV
= kµ ∫ dθ ∫ dϕ ∫
0 0
α
0
α
h cosϕ 0
ρ cos ϕ 2 ρ sin ϕdρ 3 ρ
= 2 k µπ h ∫ sin ϕ d ϕ
= 2kµπ h(1 − cos α )
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2
1 π 2 3 = ( − ) a 所以 V = 4V1 = 4 (π − 2)a3 3 2 3 3 2 315 2012-4-2
[例 2 ]设球体 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 Rz 上任一点 ( x , y , z )处的密度等于该点到坐 标 原点距离的平方 , 求该球体的质心 .
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∫∫∫ µ ( x, y, z )dV = ∫∫∫ ( x Ω Ω
=∫
2π 0
2
+ y + z )dV
2 2
d ϕ ∫ dθ ∫
2 0
π
2 R cos θ 0
ρ ⋅ ρ sin θdρ
2 2
= 2π ∫
π
2 0
32 5 5 sin θ R cos θ dθ 5
π
64 32 5 5 5 2 = π R ∫ cos θ sin θ dθ = πR 0 5 15
