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所 走 过s的 . 路 程 (1)细分：在[a, b]区间任意插入分点:
a t 0 t 1 t k 1 t k t n b
将 [ a ,b ] 分 n 个 成 [ t k 子 1 ,t k ] ( k 1 区 ,2 , ,n )间
(2)取近似：任k 取 [tk1,tk]以匀速近似变速 s k v (k ) t k( i 1 , ,n )
则至少在一个子区间上无界，所以黎曼
和式无界，与和式极限存在相矛盾.
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定理2：
若函f(数 x)在 [a, b]上连 ,则 续 f(x)在 [a,b]上可 . 积
定理3： 若 有 界f(函 x)在 [数 a, b]上 只 有
有 限 个,则 间f(断 x)在 [点 a,b]上 可 . 积
作业
P166 习题6.2
1(1)(5). 2(2). 3(1)(3).
4(4)(5). 5(1).
复习：P158—166
预习：P168—174
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第十六讲 定积分（一）
一、两个典型例子
二、定积分的概念
三、可积性条件与可积类
四、定积分的基本性质
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一、两个典型例子 y [例1] 曲边形的面积问题
曲边梯形 y f(x)
oa
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xi1 i x i
x
3
d
(1) 细分:
在[a, b]区间任意插入分点:
a x 0 x 1 x i 1 x i x n b
将 [ a ,b ] 分 n 个 成 [ x k 子 1 ,x k ] ( k 1 区 ,2 , ,n )间
a
a
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[例2] 证 明 Diric函 hle数 t
1 D(x)0
xx为 为有 无理 理在 数 数 [0, 1]上 不 可 积
[证] 任[0 给 , 1]的 一 个 xk n k 划 0 分
任 k 取 [x k 1 ,x k ]是有 (k 1 , 理 ,n ) 数
n
性质二：关于区间的可加性
若 f R [a,b ]c , (a,b )则 , f R [a,c],
n
n
(3)求和： sskv(k)tk
k1
k1
n
(4) 取极限: 09.10.2020
sli m 0k1v(k)tk
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二、定积分的概念
（一）黎曼积分定义：
设 函 数 f :[a, b] R, 对 区 间[a, b]
作 任 意 划 分, 即 在[a, b]中 插 入 一 组 分 点:
a x0 x1 xk1 xk xn b 记 第k 个 小 区 间[ xk1 , xk ] (k 1,, n) 的
定理4：
若 函f(数 x)在 [a, b]上 单 ,则 调 f(x)在 [a,b]上 可 . 积
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四、定积分的基本性质
定积分是一种极限，因此其性质与极限 性质密切相关
性质一： 线性性质
若f,gR[a, b],则对任意 ,常 ,有数
b
b
b
a [ f(x )g (x )d ] x af(x )d x a g (x )dx
k1
n
分点越“ , 密 f(” k)xk 越接近曲边
k1
的面积
无,限 即 m 1 k 细 n x a k 分 x 0
n
如 果l极 i0m k1限 f(k)xk 存 在 n
则limf( ) 09.10.2020 0k1
k
xkA
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[例2] 变速直线运动的路程问题 已 知v速 v(度 t)求 , 在 时[间 a, b]内 间 隔
将 曲 边 梯 形n个 分小 成曲 边 梯 形
(2) 取近似：
任 k [ x k 取 1 ,x k ] 记 , :x k x k x k 1
将 第k个 曲 边 梯 形 的 面 积 形用 面矩 积 近 似
A kf(k)xk
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(3)求和:
n
n
AAkf(k)xk
(4) 取极限: k1
称 此 极 限 值 f(x为 )在[a, b]上 的 定 积 . 分
记作:
积分上限
b
n
f(x)dx limf(
a
0k1
k)
xk
积分下限
[a, b] 称为积分区间
定积分是 : 积分和式的极限
b
[例1]曲边梯形的面积 A f (x)dx a
b
[例2]变速直线运动的路程 s v(t)dt
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a
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（二）定积分的几何意义
(1)若f (x) 0, 则 b f (x)dx A, 即 a 定积分表示曲边梯面形积的
(2)若f(x)0,则 b f(x)dxA, 即 a 定 积 分 表 示 曲 边面 梯积 形的 的负 值
x
y
a
o
xi1 i x i
b
Ai f(i)xi
f (i )
y f(x)
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长 度 为 xk xk xk1 ; 任 取k [ xk1 , xk ],
n
构 造和 式:
k 1
f
( k
)xk ,
记
max
1 k n
xk
,
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n
如 果
和
式 极 l i m 限
0 k1
f (k)xk
存
在 ,则
称f 在[a, b]上 可 ,积 记f R[a, b];并 且
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[例 1]证f明 (x)C 在 [a,b]上可积
[证] 任[给 a, b]的一个 xk划 n k0 分
任取 k[xk
k1
k1
n
Cxk C(ba)
k1
n
limf( 0k1
k)
xkC (ba)
即 bf(x )d xb C d x C (b a )
n
n
D( k) xk
k1
k1
xk1li m 0k1D(k)xk
1
另 k [ 取 x k 1 ,x k ] 是 无 ( k 1 , 理 ,n )
n
n
D(k)xk 0 k1
li m 0k1D(k)xk 0
故 Diric函 hl数 e[t0,在 1]上不可积
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三、可积性条件与可积函数类
定积分作为黎曼和式的极限，其构造十分 复杂，因此想通过计算这个和式的极限来研 究定积分，实际上是不可行的. 另一途径是 先研究其存在性，得到有关可积性的理论。
定理1： 若f(x)在[a, b]上可积f(， x) 则
在[a,b]上有. 界
证明思路：反证法。假设 f(x) 在[a,b]上无界，
