清华大学微积分7 PPT课件

v(t0)lt i0m x(t0tt)x(t0)
如果极限存在, 这个极限值就是质点的
瞬时速度.
2019/9/1
4
[例2] 曲线的切线斜率问题
设曲线 L,其方程y为 f(x)(axb) f(x)C[a,b]. x0(a, b),求曲线 L在点 M0(x0, y0)的切线 (其中 , y0 f(x0)).
[注1意 ]当 确x定 0时 ,点 微d分 f(x0)是
xxx0的线性 . 函数
[注意2] 当x很小时 ,微分df(x0)可作为 增量f (x0)的近似,值 其误差 f (x0)df(x0) 是x的高阶无穷. 小
2019/9/1 微分是增量的“线性主 部” 15
四、可导、可微与连续的关系
y

x2
si
n1 x
,
x0
0,
x0
x2 sin 1 0
则 y(0) lim
x
x0
x
limxsin 1 0
x0
x
2019/9/1
24
微分的几何意义
y
T
y f(x)
o
2019/9/1
N
P M0
x Q
y
dy
微分三角形

x 0 x0 x
2019/9/1
yx在x0不
可
导 20
y x
2019/9/1
o
x
尖点
21
[例 ] 研 究 f(x)x1 3 在 x0的 可 导
[解]
y
f(0x)f(0)
1
( x)3
1
x
x
x(x)3 2
y
1
lxi m 0xlxi m 0(x)3 2

x0
x x0
x
-1 -1.5
2020/5/11
limarctan 1 不存 在！
x0
x
9
2. 函数在无穷远的极限
定义3： 设 函数 f ( x )在 区间( a, )有 定义
若x无 限变 大时 ，f ( x )无 限趋 于某 一
常 数， 则 称当x 时, f ( x )有 极限A，
记作 lim f ( x ) A x
趋向于一点
O
x• x0 x•
x
x x0 ， x x0， x x0
趋向于无穷
x ， x ， x
2020/5/11
4
（二）函数极限的定义
1. 函数在一点的极限
定义1：
设 函 数 f ( x )在 点x0的 某 空 心 邻 域
有 定 义. 如 果 当“ x 无 限 趋 于 ” x0时 ， 其 对
x x0时, f ( x )无 限 趋 于 确 定 值A,则 称A
是f
(
x
)在x0处
的
左
极
限,
记
作
lim
x x0
f
(x)Fra bibliotekA（2） 若 f ( x )在 （x0 , x0 )内 有 定 义.当
x x0时, f ( x )无 限 趋 于 确 定 值A,则 称A
是f
(
x
)在x0处
的
右
极
限,
记
作
lim
ff((xx))存存在在,,则则当当xyx 1x x时 0 时, ,f
f(
x( x)有)有界界. .
即存即在存M在M0和 0和 0N, 使 0当, 使0 当xxx0N时,时,

3 d ) rdr 0(r 1 2
1 2
D
11
[解法2] 利用Gauss公式
补上底面 S 1:
S : z 1 x y
2
2 2
2
z 0 , x y 1
xdy ^ dz ydz ^ dx zdx ^ dy S
S
1
z
n
y
SS 1
o
n1
D xy

D xy
Z dx ^ dy 0 Z [ x ,y ,z ( x ,y )] dxdy ( 2 )
1
S3
同理可证
Z Zdx ^ dy dV 比较 ( 1 ) 式与 (2 ) 式 ,可以得到 z S
X Xdy ^ dz dV , x S
S3
n
Z [ x ,y ,z ( x ,y )] dxdy ( 1 ) 1
2018/11/16
D xy
9
另一方面,曲面积分
S外
Zdx ^ dy Zdx ^ dy Zdx ^ d Zdx^ dy
S 1 S 2 S 3
[注意] Z [x ,y ,z ( x , y )] dxdy 2
z
n
y
T 2 2 v ( x ,y , z ), dS 1 4 x 4 y d o D xdy ^ dz ydz ^ dx zdx ^ dy
S
2 2 x v ndS (x y 1 ) d

S 2
0
2018/11/16
2若 向 向 曲 量 面 场
定1 理 ： 设 为空间有 ,其 界 边 S 是 闭 界 分 域

若fC[a,b],则 有
x
f(x)dxa f(t)d tC (x[a,b])
2020/4/28
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思考题：
1.有原函数的函数是否一定连续？ 2.有原函数的函数是否一定黎曼可积？ 3.黎曼可积的函数是否一定存在原函
数？
2020/4/28
13
二、牛顿—莱布尼兹公式 定理2：设f(x)C[a, b],F(x)是f(x)在[a, b]
2020/4/28
路程函数是速度函数的原函数4
[证] (1) 用连续定义证明
任 x [ a 取 ,b ],x x [ a ,b ]
xx
x
F (xx)F (x)f(t)d tf(t)dt
xx
a
a
a
x x
f(t)dt f(t)dt f (t )dt
a
x
x
f R [ a ,b ] M 0 ,f ( x ) M x [ a ,b ]
满足三个条件：
(1) (t) C1[ , ];
(2) a (t) b;
(3) ( ) a, ( ) b ,
则有
b
f ( x)dx
f [ (t)] (t) dt
a
2020/4/28
20
x
b
x(t)
x
b
x(t)
a o
t
a o
t
[证] 设F(x)是f(x)的一个原函数
d[F ( t) ] F ( x )( t) f( x )( t) f[( t)] ( t) dt f[(t)] (t)d tF [() ]F [()]
试比 I1与 较 I2的大小。
[解] 利用估值定理
当 x [0,]时 ,有 six n x,

函数f(x)的(n1)阶导函数 x的 在导,数
称为函f数 (x)在x的n阶导,数 记作
f(n)(x),
或y(n)(x),
或dny dxn
即 f(n )(x )lim f(n 1 )(xx )f(n 1 )(x)
16.08.2020
x 0
x
21
二阶导数的物理意义
变速直线运动s ：s(t) 一阶导数：
即 ybx 2b a
16.08.2020
10
6. 对数微分法
求 幂 指 f(x) 函 u(x)数 v(x) 的 导
方法一:
f(x)ev(x)lnu(x)
再应用复合函数微分法（链式法则）
方法二: 利用对数微分法
[lnf(x)] f(x) f(x)
f(x ) f(x )[f( lx ) n ]
16.08.2020
或 f(x0x)f(x0)f(x0)x
f(x)f(x0)f(x0)(xx0)
当x0 0时,有
f(x)f(0)f(0)x
16.08.2020
16
例 求co6s 012的近似值
[解] co6s0 12cos(12 )3 60180cos(12 )3 10800
令f(x)cox,s
x03
16.08.2020
内旋轮线
a
2
2
2
隐函数x方 3程 y3 ： a3,a0
16.08.2020
6
(2) 参数方程求导法
设函数y f (x)由参数方程：
确定
x (t)
y
(t)
0 0
1
2
设(t),(t)都存,且 在(t)0,
x(t)存在可导的t反 函 1(x)数 .

最大、最小值.
f ( 1) 2,
1 13 f( ) 2 2 8
13

2018/11/20
fmax f (0) 0,
fmin f (1) 2
[例4] 要做一个容积为V0的圆柱形无盖 铁桶,问底半径与高的比例为 多少 时, 用料最省？
[解] 设底半径为r ,高为h, 所需铁皮面积为
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f ( x ) f ( x1 ) f (1 ) x x1
f ( x ) f ( x2 ) f ( 2 ) x x2
由已知, 有f (1 ) f ( 2 )
因此有 f ( x ) f ( x1 ) f ( x ) f ( x2 ) x x1 x x2
2V0 S r (0 r ) r 3 2V0 2 r 2V0 令 S ( r ) 2 r 2 0 2 r r
2
2018/11/20
得唯一驻点 r1 3
V0

14
从问题的实际意义知道 , S ( r )的最小值 必存在.
又
r 0
lim S ( r ) ,
2 d , 所以有 3
d : h : b 3 : 2 :1
这就是说, 把直径三等分, 在 等分点作垂线交圆于一 点, 作 这点与直径两端点的连 线, 即为
2018/11/20
所求.
18
二、函数的凸性
（一） 凸性定义及性质
设函数 f ( x ) : [a , b] R. 如果 x1 , x 2 [a , b], 不等式 f (1 x1 2 x 2 ) 1 f ( x1 ) 2 f ( x 2 ) 对于满足 1 2 1 的任意非负实数1和 2 都成立, 则称 f 在 [a , b] 上为下凸 函数. 如果 f (1 x1 2 x 2 ) 1 f ( x1 ) 2 f ( x 2 ) 则称 f 在 [a , b] 上为上凸函数.

0
0
0
2 2sin32 R5co5sd
0
5
6 54 R 50 2co 5sid n 1 35 2 R 5
故 z5R
4
球体的质心坐 (0,标 0, 5为 R)
24.11.2019
4
18
[例3]求 高h为 ,半 顶 角,密 为度为 的 均 匀
正 圆 锥 体 对 位的 于一 其单 顶位 点质
a ya
先考虑以原点为中心，对称于坐标轴，边长
为2a的正方形域 D
24.11.2019
4
e d x2y2

a
a
dx
ex2
ey2dy
a a
y
D
a ex2 dx a ey2 dy
a
a
oa
x
因为定积分的数值与变量记号无关，得
a ex2 dx a ey2 dy
0
2
令ua,x则 dx 1d,u得 a
e a2x2dx1 e u2du
0
a0
2a
24.11.2019
8
三重积分的应用
1.空间立体的体积
V 1dV
2.不均匀物体的质量
m (x, y,z)dV
24.11.2019
9
3.不均匀物体的质心

13
[例1]求 球 体 x2 y2 z2 a2被 圆
柱 面x2 y2 ax所 截 出 的 那
部 分 体 积 V.
[解 ]
由对称性
z z a2 r2
只需计算
第一挂限 的体积 V 1
o
y
racos
24.11.2019

而 在( x0 , x0 )内 f ( x) 0,则 f 在 x0 取 得
极 大 值;
2019/5/13
3
[证] (1) 若 0, 使 在( x0 , x0 )内 f ( x) 0 在( x0 , x0 )内, f ( x) x ( x0 , x0 ) , f ( x) f ( x0 )
在 ( x0 , x0 )内, 有 f ( x) 0 在 ( x0 , x0 )内, 有 f ( x) 0
根 据 定 理1 知, f 在 x0 取 得 极 小 值.
2019/5/13
6
[例1] 求 f ( x) ( x 1)3 x2 的极值.
[解]先 求 可 能 的 极 值 点(驻 点 和 不 可 导 点)
2
4
10
（二）函数的最大、最小值
( A ) 闭区间上连续函数的最大、最小值
设 f : [a, b] R, 欲求其最大、最小值
方法如下:
(1) 求 f 在 (a, b)上的所有驻点和 不可导点: xi (i 1, 2, , n)
(2) max f ( x) x[a, b]
2019/5/13
max
f (a),
f (b),
f ( xi ), i
1, 2, , n 11
( B ) 最大、最小值应用问题
(1) 如 果 在(a, b)内 f ( x) 有 唯 一 的 驻 点x0 , 而 且 是 极 值 点.则 f ( x0 )就 是 所 要 求 的 最 大 值 或 最 小 值.
(2)如果在(a, b)内 f ( x) 有唯一的驻点x0 , 又从实际问题本身可以知道, f ( x)的