清华大学微积分课件
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清华大学微积分高等数学第讲常微分方程三精品PPT课件
[解] 取时间t为自变量，物体的温度T(t)为未知函数.
由牛顿冷却定律知
dTk(T2)0 (k0,比例)常数 dt 初始条件 T(0) 100
2020/11/28
10
另外还有一个条件: T(20)60
可用来确定比例常数k
分离变量，得
dT kdt (T 20)
两边积分，得
ln T (2)0 k tC 1
x1(Cy2 1)
2
C
2020/11/28
18
[例4] 一容器内盛有100升盐水,其中含盐
10 公斤, 今以每分钟 2 升的均匀速度把
净水注入容器, 并以同样的速度使盐水
流出, 假设容器中的溶液在每一时刻都
是均匀的, 试求容器内盐量随时间变化
的规律.
2升
2020/11/28
2升 19
[解] 列方程，确定初始条件 已知，在任何一段时间内
13
由题意得
x y x y 2
又已知曲线过点 (2, 1), 于是得到定解问题
xy 2y 0
y(2)
1
分离变量求得通解 y Cx2
由y(2)1,得C1 4
所求曲线方程 y为 1x2 4
2020/11/28
14
[例3] 试设计一反光镜, 使它能将点光源发 出的光反射成为平行光
[解] 设反光镜镜面由 y曲 y(x线 )绕x轴
h dh
o
2020/11/28
23
取时间 t 为自变量，水面高度 h(t) 为未 知函数，并取坐标系如图
从容器内流出的溶液量为 2dt
在时间 dt 内盐水的浓度近似看作不变， 看作是 t 时刻的盐水浓度
Q (t)
100
清华微积分高等数学课件第一讲函数
理等。
在清华，微积分课程是理工科学生的必修课，对于培养学生的
03
逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
课程目标
01
掌握微积分的基本概念和原理，如极限、连续性、 可微性、积分等。
02
学会运用微积分的方法解决实际问题，提高分析问 题和解决问题的能力。
03
培养学生对微积分的兴趣和热爱，为后续学习打下 坚实的基础。
通过选取一定数量的x值，计算对应的 y值，然后在坐标纸上标出这些点，再 用直线连接这些点。这种方法适用于 绘制简单的函数图像。
计算机绘制
使用数学软件或编程语言，如Matlab、 Python等，可以快速绘制函数的图像， 并可以自定义坐标轴范围、刻度等参 数。
函数图像的变换
平移变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定的距离。平移变换包括左移和右 移、上移和下移。
02 函数的基本概念
函数的定义
总结词
函数是数学中的基本概念，用于描述两个集合之间的映射关 系。
详细描述
函数是建立在两个数集之间的一种对应关系，对于数集A中的每 一个元素x，按照某种法则，数集B中都有唯一确定的元素y与之 对应。
函数的表示
总结词
函数的表示方法有多种，包括解析法、 表格法和图象法。
详细描述
解析法是用数学表达式表示函数关系， 是最常用的一种表示方法；表格法是 用表格列出函数值，便于查找和计算； 图象法则是通过绘制函数图像来表示 函数关系。
函数的性质
总结词
函数的性质包括有界性、单调性、周期性和奇偶性等。
详细描述
有界性是指函数在一定区间内的取值范围有限；单调性是指函数在某一区间内的增减性；周期性是指函数按照一 定周期重复的特性；奇偶性则是指函数图像关于原点或y轴的对称性。
清华大学微积分课件(全)x66_ppt课件
3 d ) rdr 0(r 1 2
1 2
D
11
[解法2] 利用Gauss公式
补上底面 S 1:
S : z 1 x y
2
2 2
2
z 0 , x y 1
xdy ^ dz ydz ^ dx zdx ^ dy S
S
1
z
n
y
SS 1
o
n1
D xy
D xy
Z dx ^ dy 0 Z [ x ,y ,z ( x ,y )] dxdy ( 2 )
1
S3
同理可证
Z Zdx ^ dy dV 比较 ( 1 ) 式与 (2 ) 式 ,可以得到 z S
X Xdy ^ dz dV , x S
S3
n
Z [ x ,y ,z ( x ,y )] dxdy ( 1 ) 1
2018/11/16
D xy
9
另一方面,曲面积分
S外
Zdx ^ dy Zdx ^ dy Zdx ^ d Zdx^ dy
S 1 S 2 S 3
[注意] Z [x ,y ,z ( x , y )] dxdy 2
z
n
y
T 2 2 v ( x ,y , z ), dS 1 4 x 4 y d o D xdy ^ dz ydz ^ dx zdx ^ dy
S
2 2 x v ndS (x y 1 ) d
S 2
0
2018/11/16
2若 向 向 曲 量 面 场
定1 理 ： 设 为空间有 ,其 界 边 S 是 闭 界 分 域
清华大学微积分高等数学课件第讲常微分方程二 共32页
29.07.2019
10
给 y(x0)y0 得 C y0
特解
x
x
yex0p(x)d(xy0xx0q(非x)齐e次x0特p(x解)dd x )x
非齐次通解的结构：
设y是y'p(x)y0 (2)的通 解 ,
y(x)是y'p(x)yq(x) (1)的 一 个 ,
则(1)的 通 解 为 y(x)yy(x)
代入方程并计算化简
yC (y) C (y) C (y) yye
C(y)ey
积分得 C(y)eyd yeyC
通解 xCyyey
29.07.2019
14
[例 3]设 a0,f(x)在 [0, )连 续,证 有明 界 方程
dxaxf(t) (t0) dt
每个[0 解 , 在 )有.界
x2 ydx x2ydyd(x2y2) 2
29.07.2019
23
[ 例 1 ]解(x 方 2 y ) d 程 ( x x y ) d 0 y
[解] 凑微分
x 2 d x (xd yyd )x yd 0 y
d(x3)d(x)yd(y2)0
3
2
d(x3 xyy2)0
3
2
通解
x3 xy y2 C
3
2
29.07.2019
24
[例 2] 解方 yd 程 x(y3ln x)d y0
x
[解] 改写为
(ydx lnxd) yy3dy 0 x
(yld n x ln x) d y y 3 d y 0
d(ylnx)d(y4)0 4
通解为
yl nx1 y4 C 4
例如 xd ydx d(x)y
清华大学微积分高等数学课件第讲简单常微分方程一 共40页
y,
dy dx
,,
dny dx n ) 0
y
x x0
y0
dy
dx
x x0
y1
有n个
定解条件
d n1 y
y n 1
n1
dx 29.07.2019
x x0
13
定义5: ( 积分曲线 与积分曲线族)
常微分方程的每一个都 解是一个 一元函数y f (x) 或是F(x, y) 0 ( 隐式解), 它的图形称为该常微分 方程的一条积分曲.线
(分离变量时,这个解被丢掉了!)
故C也可以等于零
于是得到Байду номын сангаас程 dy 2xy dx
通解 yCx e2 (CR)
29.07.2019
19
(2) [解]
1y2 3x2ydy dx
分离变量
ydy 1 y2
dx 3x2
两端积分, 得 121y21C
2
3x
通解 1y2 1 C
16
(一) 分离变量法
[例1] 解方程 这两个方程的共同特点
(1) dy 2xy
是变量可分离型
dx
(2) 1y2 3x2ydy dx
dy
f(x)(y)
分离变量
g(y)dyf(x)dx
dx
两边积分 g(y)dyf(x)dx 通解
29.07.2019
17
(1) [解]
dy 2xy dx
15
(一) 变量可分离型 dy f(x)g(y)
dx
或f(x)d xg(y)dy
清华大学微积分课件(全)x58
曲面分别是 1 2 2 2 2 z1 = ( x + y ), z2 = 4 − x − y 3 其交线在 xoy 平面上的投影 x 2 + y2 = 3 曲线为： 曲线为：
2012-4-2
o
x
3 2
z = 0
1 2 2 z1 = ( x + y ) 3
4
用什麽坐标系计算较好
积分区域 方程分别是
D
= 4 ∫∫ dxdy
D1
= 4 ∫ 4 dθ ∫
0
2012-4-2
π
a
2 cos 2 θ
0
rdr
2
15
= 4a
2
∫
π
4
0
cos 2θ d θ = 2a
[例2] 求由两个半径相等且其 对称轴垂直 相交的圆柱面所围立体 的体积 V
[解 ] 设两圆柱面 解
z
z= a −x
2
2
的方程为
x + y =a
2
z
∆S v P1 v
1
P 3
v
P
M
M1
y
o
u
u + ∆u
u x
o
∂x ∂y ∂z T v v1 = ( , , ) ∆u ∂u ∂u ∂u
∂x ∂y ∂z T v v 2 = ( , , ) ∆v ∂v ∂v ∂v 2012-4-2
v v ∆ S = v1 × v 2
20
v i ∂x v v v1 × v 2 = ∂u ∂x ∂v
dθ ∫ dϕ ∫ ρ ⋅ ρ sin ϕ d ρ
2 2 0
π 4 0
R
∫
d θ ∫ sin ϕ d ϕ ∫ ρ d ρ
清华大学微积分高等数学课件第13讲不定积分一43页PPT
(2) 求f(x)过(0, 1)点的积分曲 . 线
[解] (1) 不是！
因为 g(x)在点 x0处不连续
02.04.2020
10
(2) 首先要f求 (x)的积分曲线族
分段积分，得 G(x)c12ox2sxCC21
x0 x0
若G(x)是f(x)在R上的原函数
G(x)在x0连续
x l 0 i G m (x ) x l 0 i G m (x ) G (0 ) C21C1
记作:
积 分 号
被积函数
积
分
f(x)dx F (x)C常数
积分变量
02.04.2020
8
积分曲线与积分曲线族
y
yF(x)
积分曲线
yF(x)C 积分曲线族
o
02.04.2020
x
x9
[例3] 设f(x) sxinx
x0 x0
co sxC g(x)12x2 C
x0 x0
(1) 问：g(x)是f(x)的不定积分吗
(3) sinxdx coxsC
(4) coxsdxsinxC
02.04.2020
17
(5) axdx 1 a x C ln a
(6) exdxex C (7) se2cxdxtan xC
(8) cs2cxdxcoxtC
(9) shxdxchxC
(10) chxdxshxC
02.04.2020
02.04.2020
k1 f1(x)d xk2 f2(x)dx
15
怎样计算不定积分？
不定积分计算的基本思想：
求不定积分是求导的逆运算
导数基本公式——积分基本公式
微分法——积分法
清华大学微积分高等数学课件第讲常微分方程二市公开课金奖市赛课一等奖课件
dy p( x) y 0 dx
齐次 非齐次
(1) 如何解齐次方程？
dy p( x) y 0 dx
可什分麽类离型型？！
10/10/
6
第6页
分离变量
dy p( x)dx y
解得 y ce p( x )dx 齐次通解
注意： 齐次通解结构：
是p(x)一个原函数 不是不定积分！
设 y1( x) 是 y' p( x) y 0的 一个非
则 (1) 的通解为 y( x) y y( x)
10/10/
11
第11页
[例1] 求y' y 1 (1)的通解。 [解] 易知y' y 0 (2)的一个解
y1( x) e x , (2)的通解 y Ce x . 观察出 y( x) 1 是(1)的一个解. (1)的通解 y( x) Ce x 1
性质5：
如果 y*( x) 是非齐次方程 (1)的一个解， y( x)是齐次方程 (2)的一个解,则 y*( x) y( x) 是非齐次方程(1)的解.
10/10/
5
第5页
一阶线性微分方程
a( x) dy b( x) y c( x) 0 dx
原则形式：
dy p( x) y q( x) dx
n
4
4
y 3 y'
2
1
y3
3x2
3
x
令
z
1 4
y 3
1
y3
z'
1
4
y3
y'
3
将原方程化为 3z' 2 z 3x2 x
10/10/
19
第19页
解线性方程 z' 2 z x2 (1)
清华大学微积分课件(全x5
11
f ( x0 x ) f ( x0 ) 左导数 lim f ( x0 ) x 0 x f 在 x0 左可导 f ( x0 x ) f ( x0 ) 右导数 lim f ( x0 ) x 0 x f 在 x0 右可导 定理： 函数 f 在点 x 0 可导 f 在 x0 的
即 f ( x )在点 x0 可微, 且A( x0 ) f ( x0 )
2013-7-28 17
[证] (2) 设函数 f ( x )在点 x0可微
f ( x0 ) A( x0 ) x o(x )
(x 0)
f ( x 0 ) f ( x0 ) lim x 0 x A( x0 )x o( x ) lim A( x0 ) x 0 x
0
[注意1] 当确定点 x0 时, 微分df ( x0 )是
x x x0 的线性函数 .
[注意2] 当x很小时, 微分df ( x0 ) 可作为 增量f ( x0 ) 的近似值, 其误差
f ( x0 ) df ( x0 )
是x的高阶无穷小.
2013-7-28
微分是增量的“线性主部”
20
y x
o
2013-7-28
尖点
x
21
[例] 研究 f ( x ) x 在 x 0 的可导性
y f ( 0 x ) f ( 0) ( x ) 1 [解] x x x ( x ) y 1 lim lim 2 x 0 x x 0 ( x ) 3
当 x 很小时,
y dy 即
在点x 0附近 , 用切线近似代替 曲线 — “以直代曲” .
2013-7-28 26
清华大学微积分课件984868
(3)lim f(x)A (或 ),则有 x a g(x)
2019/7/24
lim f(x)lim f(x)A(或 ) x ag(x) x ag(x)
12
四、其他未定型极限
(1)“ 0 ” “ ”
化 为0“ ” 或“ ” 型
0
(2)“ 1” “ 00” “ 0”
因F 为 (a)0,G (a)0,又x当 a时 ,
F(x)f(x)G ,(x)g(x)于 , 是 有
g f( (x x ) )G F ( (x x ) )G F ( ( ) )g f( ( ) ) (a x )
2019/7/24
7
令xa,则a,在上式两
邻 域 U0(a,)内 有 定,且义满 足 条 件
(1 )lif m (x ) 0 , lig m (x ) 0 ;
x a
x பைடு நூலகம்a
( 2 ) 在 U 0 ( a ,) 内 ,f ( x ) 和 g ( x ) 存 ,且 g ( x 在 ) 0 ;
(3)lim f(x)A (或 ),则有 x a g(x)
2019/7/24
lim f(x)lim f(x)A(或 ) x ag(x) x ag(x)
5
[证] 首先证li明 mf(： x)A
xa g(x)
利用柯西定理证明. 引入辅助函数
f(x) 当xa时
F(x)
0
当xa时
G(x)g(0x)
当xa时 当xa时
x
x
( 2 ) 在 ( c , ) 内 , f( x ) 和 g ( x ) 存 ,且 g ( 在 x ) 0 ;
(3)limf(x)A (或 )则 , 有 x g(x)
清华大学微积分高等数学课件第4讲不定积分二市公开课金奖市赛课一等奖课件
e
x
x
ln
1 e2x C
10/10/
29
第29页
[例10] 求
x2e x ( x 2)2 dx
[解]
(
x2e x x 2)2
dx
x2ex d( 1 ) x2
x2e x ( 1 ) 1 (2x x2 )e x dx
x2 x2
x2e x xe x dx
x2
x2e x ( x 1)e x c 10/10/ x 2
x
a2(
1 x
)2
1
x
当x 0时, 令 x 1 t
11
1
t
I
d( )
dt
x
a2(
1 x
)2
1
x
a2t2 1
1
10/10/
a
2
a
2t
2
1
c
1 a2
a2 x2 c
x
12
第12页
二、分部积分法
d (uv) vdu udv
d (uv) vdu udv
容易求 ！ 难求 ！
例如：n 2
1x
1 dx
I2 2a 2 x 2 a 2 2a 2 x 2 a 2
1 x1
x
2a2 ( x2 a2 a arctan a ) C
10/10/
26
第26页
[小结]: 下列积分能够用分部积分法
Pn( x)eaxdx Pn( x)sin axdx Pn( x)cos axdx
1
1
x
dx
2t 1
t
dt
2
(1
1
t) t
1 dt
清华大学微积分(高等数学)课件第16讲_定积分(一)
a
c
14
[注意1] 定积分的值只依赖于被积函数和积分的上、 下限，而与积分变量用什麽字母表示无关。即
b
b
b
af(x)d xaf(t)d taf(u)du
[注意2] 定积分的定义中，下限a小于上限b，否则， 做如下规定:
当 ab 时 ,规 : 定 bf(x )d x af(x )dx
a
b
关于区间可加性的推广
(2) 取近似：
任 k [ x k 取 1 ,x k ] 记 , :x k x k x k 1
将第k个曲边梯形的面积 形用 面矩 积近似
A kf(k)xk
2021/4/28
4
(3)求和:
n
n
AAkf(k)xk
(4) 取极限: k1
k1
n
分 点 越 “ , 密 f(” k)xk 越 接 近 曲 边
li m 0k1D(k)xk 0
故 Diric函 hl数 e[t0,在 1]上不可积
2021/4/28
11
三、可积性条件与可积函数类
定积分作为黎曼和式的极限，其构造十分 复杂，因此想通过计算这个和式的极限来研 究定积分，实际上是不可行的. 另一途径是 先研究其存在性，得到有关可积性的理论。
定理1： 若f(x)在[a, b]上 可 积f(， x) 则
b
g(x)dx
a
a
2021/4/28
18
y
y f(x)
f ()
f()b1aabf(x)dx函平数均平高均度值
o
2021/4/28
a
bx
19
[证] 不g 妨 (x ) 0 设 (a x b )
f(x)C[a, b]
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x0
x x0
x
-1 -1.5
2020/5/11
limarctan 1 不存 在！
x0
x
9
2. 函数在无穷远的极限
定义3： 设 函数 f ( x )在 区间( a, )有 定义
若x无 限变 大时 ，f ( x )无 限趋 于某 一
常 数， 则 称当x 时, f ( x )有 极限A，
记作 lim f ( x ) A x
趋向于一点
O
x• x0 x•
x
x x0 ， x x0， x x0
趋向于无穷
x ， x ， x
2020/5/11
4
（二）函数极限的定义
1. 函数在一点的极限
定义1：
设 函 数 f ( x )在 点x0的 某 空 心 邻 域
有 定 义. 如 果 当“ x 无 限 趋 于 ” x0时 ， 其 对
x x0时, f ( x )无 限 趋 于 确 定 值A,则 称A
是f
(
x
)在x0处
的
左
极
限,
记
作
lim
x x0
f
(x)Fra bibliotekA（2） 若 f ( x )在 （x0 , x0 )内 有 定 义.当
x x0时, f ( x )无 限 趋 于 确 定 值A,则 称A
是f
(
x
)在x0处
的
右
极
限,
记
作
lim
ff((xx))存存在在,,则则当当xyx 1x x时 0 时, ,f
f(
x( x)有)有界界. .
即存即在存M在M0和 0和 0N, 使 0当, 使0 当xxx0N时,时,
就有就f有( x)f (xM) . M .
2020/5/11
13
性质3:（保号性）
设 lim f ( x) A 存在 x x0 (1) 如果A 0, 则 0, 使当
作业
P34习题2.1 3(2)(3).
P39习题2.2 1(2)(3). 2(2)(6)(9)(13). 3(1)
预习：P40—49
2020/5/11
1
第二讲 函数极限
一、函数极限 二、函数极限的性质 三、函数极限的运算法则
四、两个重要极限
五、无穷小量与无穷大量
2020/5/11
2
极限的重要性 （1） 极限是一种思想方法
类似的可定义 lim f ( x ) A x
或 lim f ( x ) A
x
2020/5/11
10
例如 f ( x) arctan 1 x
lim f ( x) 0
x
lim f ( x) 0
x
-20
lim f (x) 0
x
1.5 1
0.5
-10 -0.5 -1 -1.5
2020/5/11
x x0
f(
x
)
A
2020/5/11
8
问题：
一点极限与单侧极限有什麽关系？
[例] 设 y arctan 1 ，研究x 0的情况
1.5
x
1
lim arctan
x0
x2
1
观察图形0.5
1
lim arctan
x0
x2
-20
-10
-0.5
10 20 lim arctan 1 lim arctan 1
[例1]
x1
lim
x1
x2
1
?
lim
x1
x 1 x2 1
lim
x1
x
1
1
1 2
2020/5/11
6
[例2]
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x0
1 , x 0
lim f ( x ) 0
x0
2020/5/11
7
定义2： （左、右极限）
（1） 若 f ( x )在 （x0 , x0 )内 有 定 义.当
0 x x0 时, 就有f ( x) 0. (2) 如果 0, 使当0 x x0 时,
有 f ( x) 0, 则有 A 0.
性质4
lim f ( x) 存在的充分必要条件是
x x0
lim f ( x)与 lim f ( x) 都存在且相等.
x
2020/5/11
x0
x x0
14
三、极限的运算法则
或 称 当x x0 时, f ( x)趋 向 于A.
记作
2020/5/11
lim f ( x) A 或 f ( x) A
x x0
( x x0 )
12
二、函数极限的性质 性质1:（唯一性） 函数极限如果存在，则一定是唯一的.
性质2:（有界性）
函数极限如果存在，则函数一定有界.
设
lliimm
xx0
（一）四则运算定理
设 lim f ( x) A, lim g( x) B, 则 有
x
x
(1) lim [c f ( x)] c A x
(2) lim[ f ( x) g( x)] A B x
(3) lim[ f ( x) g( x)] A B x
(4) lim f ( x) A ( g( x) 0, B 0 )
应 的 函 数 值f ( x“) 无 限 趋 于 ” 一 个 确定
的 常 数A， 则 称A是 当x 趋 于x0 时,函 数
f ( x )的 极 限, 记作 lim f ( x ) A x x0
或 f ( x ) A ( x x0 )
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[注意] 考虑空心邻域，是什麽意思？
考虑函数在一点的极限时，不考虑函数 在该点处是否有定义，定义的值是什麽， 但是，在附近必须要有定义。
例如：
f
(
x)
1, 0,
x0 ,
x0
g(t
)
t
1 sin
t
t 0时,
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lim f ( x) 1, lim g(t) 0
x0
t 0
{g(tn )}： 各 项 均 为 零 f [g(tn )] 0
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20
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3. 函数极限的精确定义 定义
定义4：设 函 数 f ( x)在 点x0的 某 空 心 邻 域 有 定 义. 如 果 A R, 0, 0,
使 得 所 有 满 足 不 等 式0 x x0 的 动点x, 都有 f (x) A
则 称 当x x0 时, f ( x)有 极 限A ,
从认识有限到把握无限
从了解离散到理解连续
（2）极限是一种概念
微积分中许多概念是用极限定义的
（3） 极限是一种计算方法
许多物理、几何量需要用极限来求
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一、函数的极限
函数极限问题是研究当自变量 x 趋向于 x0
或趋向于无穷大时，函数 f ( x ) 的变化趋势
(一)自变量的变化（ 两种基本变化趋势）
x g( x) B
注：x 表示 x 的任一种趋向.
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（二）复合函数的极限定理
设 lim g(t) tt0
x0
,
lim
x x0
f (x)
A.且
当t
t0时,
g(t )
x0
,
则
lim
tt0
f
( g(t ))
A.
[注意] 条 件:“t t0时, g(t) x0”不 能 少 ！