2010届湖南省长沙市一中高三第七次月考 数学(理)

某某市一中2010届高三综合练习七班级：_________ 某某：_________ 学号：__________一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{|P x y ==，集合{|Q y y ==，则P 与Q 的关系是（ ）A ．P Q =B ．P Q ≠⊃C ．P Q ≠⊂D ．P Q =∅2．复数121ii++的虚部是（ ） A ．2i B ．12C ．12i D ．323．已知向量a (1,)m =-，b 2(,)m m = ，则向量a +b 所在的直线可能为（ ） A ．x 轴 B ．第一、三象限的角平分线 C ．y 轴D ．第二、四象限的角平分线4．下列函数中，在区间(0,)π上为增函数的是（ ） A ．sin y x =B ．1y x=C ．2xy =D ．221y x x =-+5．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边边长分别为3,5,6a b c ===，则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为（ ）A ．38B ．37C ．36D ．356．某设施需要加入大量抗腐蚀剂的特种混凝土预制件. 该种混凝土预制件的质量受混凝土搅拌时间的影响比较大，搅拌时间不同，混疑土预制件的强度也不同. 根据生产经验，混凝土预制件的强度是搅拌时间的单峰函数. 为了确定一个搅拌的标准时间，拟用分数法从20个试验点中找出最佳点，则需要做的试验次数至多是（ ） A ．5次 B ．6次 C ．7次 D ．8次 7．方程1()202xx --=的根所在的区间为（ ） A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)8．若,a b 在区间上取值，则函数32()f x ax bx ax =++在R 上有两个相异极值点的概率是（ ）A ．12B CD ．1-二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.将答案填写在题中的横线上. 9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25815a a a ++=，则9S =. 10．在极坐标系中，圆4ρ=被直线4πθ=分成两部分的面积之比是.11．把1，2，…，100这100个自然数任意分成10组，每组10个数，将每组中最大的数取出来，所得10个数的和的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=. 12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为.第12题 第13题13．为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生的某次数学考试成绩（这次考试试卷满分为100分），这些分数的分组区间为[45,55),[55,65),[65,75),[75,85)，[85,95]，由此得到频率分布直方图如图所示，则这些学生的平均分为.14.在如图的程序框图中，输入2010n =，按程序运行后输出的结果是.15．已知点F 、A 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点、右顶点，点(0,)B b -满足0FB AB ⋅=，则双曲线的离心率为.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知角(0,)απ∈，向量m (2,cos )α=，n 2(cos ,1)α=，且m ·n =1，()3sin cos f x x x =+.（1）求角α的大小； （2）求函数()f x α+的单调递减区间.17．（本小题满分12分）班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生，将每个人的号分别写在5X 相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一X 卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目. （1）为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2X 卡片，求取出的2人不全是男生的概率； （2）为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一X 卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二X 卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率. 18．（本小题满分12分）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面是边长为1的正方形，E 、F 分别是棱1B B 、DA 的中点. （1）求证：//BF 平面1AD E ；（2）求证：1D E ⊥平面AEC .19．（本小题满分13分）如图，ABCD 是一块边长为2a 的正方形铁板，剪掉四个阴影部分的小正方形，沿虚线折叠后，焊接成一个无盖的长方体水箱，若水箱的高度x 与底面边长的比不超过常数(0)k k >. （1）写出水箱的容积V 与水箱高度x 的函数关系式，并求其定义域；（2）当水箱高度x 为何值时，水箱的容积V 最大，并求出其最大值.20．（本小题满分13分）数列{}n a 满足121211,2,()(3,4,)2n n n a a a a a n --===+=，数列{}n b 是首项为1，公比为2-的等比数列. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记(1,2,3,)n n n c na b n ==，求数列{}n c 的前n 项和n S .高三综合练习七参考答案1．B 依题意得，{|10}P x x =+≥{|1}x x =≥-，{|0}Q y y =≥，,P Q ≠∴⊃选B.2．B12(12)(1)3311(1)(1)222i i i i i i i i ++-+===+++-，故选B.3．A a +b (1,)m =-22(,)(1,0)m m m +=+，其横坐标恒大于零，纵坐标等于零，∴向量a +b 所在的直线可能为x 轴，选A.4．C 结合函数图象知：选项A 、D 中函数在(0,)π上有增有减，选项B 中函数在(0,)π上为减函数，只有选项C 中函数在(0,)π上是增函数.5．D 由余弦定理得：cos cos cos bc A ca B ab C ++=222222222222b c a c a b a b c bcca ab bc ca ab +-+-+-++ 2222b c a +-=+22222222235222c a b a b c a b c +-+-+++==，故选D.6．B 因为7612021111F F +=-=-=-，所以用分数法安排试时，最多只需做6次试验就能找到其中的最佳点，故选B.7．A 方程1()202xx --=的根就是函数1()2xy =和2y x =+图象交点的横坐标. 在同一坐标系中画出这两个函数的图象，可知其交点在第二象限，交点的横坐标为负数，应在区间(1,0)-内，故选A.8．C 易得2()32f x ax bx a '=++，函数32()f x ax bx ax =++在R 上有两个相异极值点的充要条件是0a ≠且其导函数的判别式大于0，即0a ≠且224120b a ->，又,a b 在区间[0,3]上取值，则0,3a b a >>，点(,)a b 满足的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为32，故所求的概率是36. 9．45 由25815a a a ++=，得1111()(4)(7)1545a d a d a d a d +++++=⇒+=，9119899(4)452S a d a d ⨯∴=+=+=. 10．1:1直线4πθ=过圆4ρ=的圆心，∴直线把圆分成两部分的面积之比是1:1.11．1505 由题意知9192100955M =+++=， 102090100550N =++++=，1505M N ∴+=.12．2842+ 根据三视图可知，该几何体为正方体与三棱柱的组合体，其直观图如图所示. 正方体的棱长为2，三棱柱的侧棱长为2，底面是等腰直角三角形，且直角边长为2. 组合体的表面积等于正方体5个面的表面积与三棱柱两个侧面的面积及两个底面的面积之和，即2044422842S =+++=+.13．64 每个分组区间的组中值分别为50，60，70，80，90，故平均分为(500.020600.040700.025800.010900.005)1064⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.14．5 输入2010n =，第一次循环后，201010052n ==，1i =；第二次循环后，100535012n -==，2i =；第三次循环后，50132492n -==，3i =；第四次循环后，24931232n -==，4i =；第五次循环后，1233602n -==，5i =，此时符合60n =，故输出5i =.15．152+0FB AB ⋅=，FB AB ∴⊥，则~Rt AOB Rt BOF ∆∆，222||||||||OB OF b cb ac c a ac OA OB a b∴=⇒=⇒=⇒-=210e e ⇒--=，152e +∴=.16．解析：（1）(2,cos )α=m ，2(cos ,1)α=n ，且1⋅=m n ，22cos cos 1αα∴+=，即22coscos 10αα+-=，1cos 2α∴=或cos 1α=-.角(0,)απ∈，1cos 2α∴=，3πα=.（2）31()3sin cos 2(sin cos )2sin()226f x x x x x x π=+=+=+， ()()2sin()2sin()2cos 3362f x f x x x x ππππα∴+=+=++=+=.∴函数()f x α+的单调递减区间为[2,2]k k πππ+()k ∈Z .17．解析：(1)利用树状图我们可以列出连续抽取2X 卡片的所有可能结果(如下图所示)．由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20．因为每次都随机抽取，因此，这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A 1表示事件“连续抽取的2人中有1人是女生”，用A 2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A 1与A 2互斥，并且12A A 表示事件“连续抽取2X 卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A 1的结果有12种，A 2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得12121227()()()0.7202010P A A P A P A =+=+==，即连续抽取2X 卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7．(2)有放回地连续抽取2X 卡片，需注意同一X 卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2，4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出．1 2 3 4 5 1(1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) 5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A 表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A 的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率为51()0.2255P A ===. 18．解析：（1）取1DD 的中点G ，连接,GB GF .E 、F 分别是棱1BB 、DA 的中点，1//GF AD ∴，1//BE DG 且1BE D G =，∴四边形1BED G 为平行四边形，1//BG D E ∴.又1D E 、1D A ⊂平面1AD E ，BG 、GF ⊄平面1AD E ，//BG ∴平面1,//AD E GF 平面1AD E .BG 、GF ⊂平面BGF ，且BG GF G =，∴平面//BGF 平面1AD E .BF ⊂平面BGF ，//BF ∴平面1AD E .（2）2211111112,1,5AA A D AD AA A D ==∴=+=.同理可得：12,3AE D E ==.222111,AD D E AE D E AE =+∴⊥.同理可证得1D E CE ⊥. 又,AECE E AE =⊂平面,AEC CE ⊂平面AEC ，1D E ∴⊥平面AEC .19．解析：（1）由题知，水箱的底面边长为22a x -，高为x ，则22()(22)4()V x a x x x a x =-⋅=⋅-.第 二 次 抽 取 第 一 次 抽 取22x k a x ≤-，2012akx k∴<≤+. 又0x a <<且201212ak a a k k -=>++，2012akx k∴<≤+. ∴所求的定义域为2{|0}12akx x k<≤+.（2）2222()4()484V x x a x x ax a x =⋅-=-+，22()12164V x x ax a '∴=-+，令()0V x '=，解得3ax =或x a =（舍）. ①若2a ak ≤，即1k ≥时，∴当3x =时，()V x 取得最大值，且最大值为327a . ②若2312a ak k >+，即104k <<时，2()1216V x x ax '=-，20a >，()V x ∴在2(0,)12akk+上是增函数，∴当212akx k=+时，()V x 取得最大值，且最大值为338(12)k a k +. 综上可知，当14k ≥，3a x =时，水箱容积V 取得最大值31627a ；当104k <<，212akx k=+时，水箱容积V 取得最大值338(12)ka k +. 20．解析：（1）由121()(3)2n n n a a a n --=+≥得 11211211()()(3)22n n n n n n n a a a a a a a n -------=+-=--≥，又2110a a -=≠，∴数列1{}n n a a +-是首项为1，公比为12-的等比数列，111()2n n n a a -+∴-=-.∴当2n ≥时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-122111()111521211()()()1()122233212n n n -----=++-+-++-=+=--+，经检验它对1n =也成立，∴数列{}n a 的通项公式为1521()332n n a -=--. 数列{}n b 是首项为1，公比为2-的等比数列，111(2)(2)n n n b --∴=⨯-=-.（2）11152152[()](2)(2)33233n n n n n n n nc na b n ---==--⋅-=⋅--. 0311235[1(2)2(2)3(2)(2)]3n n n S c c c c n -∴=++++=⋅-+⋅-+⋅-++⋅-2(12)3n -+++0215(1)[1(2)2(2)3(2)(2)]33n n n n -+=⋅-+⋅-+⋅-++⋅--. 记0211(2)2(2)3(2)(2)n n T n -=⋅-+⋅-+⋅-++⋅-，①则2121(2)2(2)(1)(2)(2).n n n T n n --=⋅-+⋅-++-⋅-+⋅-②由①-②得：0211(2)31(2)(2)(2)(2)(2)(2)3nn nn n T n n ---=⋅-+-+-++--⋅-=-⋅-，1(31)(2)9nn n T -+-∴=.51(31)(2)(1)5(1)[1(31)(2)].393273n n n n n n n n S n -+-++∴=⋅-=-+⋅--。

高三月考试卷(七)(考试范围：高考理科内容(不含选修系列4))本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线x ＋y －1＝0的倾斜角是( )A.－π4B.π4C.3π4D.π22.“p ∧q 是真命题”是“p ∨q 是真命题”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A.9πB.10π 11π D.12π4.在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( )A.40B.42C.43D.455.设m >0，则直线x ＋3y ＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切6.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是( )A.y ＝sin(2x ＋π6)B.y ＝sin(2x －π6)C.y ＝cos(2x ＋π3)D.y ＝cos(2x －π6)7.函数y ＝lg x －9x的零点所在的大致区间是( )A.(6,7)B.(7,8)C.(8,9)D.(9,10)8.设m ∈N *，F (m )表示log 2m 的整数部分，则F (210＋1)＋F (210＋2)＋F (210＋3)＋…＋F (211)的值为( )A.10×210B.10×210＋1C.10×210＋2D.10×210－1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.∫10x 2d x ＝ .10.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品.产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，已知A 种型号产品共抽取了16件，那么此样本的容量n ＝ .11.如右图所示的算法流程图中，输出S 的值为 .12.设A 、B 为x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程为x －2y ＋1＝0，则直线PB 的方程是 .13.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝3|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为 .14.在△ABC 中，P 为中线AM 上的一个动点，若|AM |＝2，则PA ·(PB ＋PC )的最小值为 .15.如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点(1,0)处标数字1，点(1，－1)处标数字2，点(0，－1)处标数字3，点(－1，－1)处标数字4，点(－1,0)处标数字5，点(－1,1)处标数字6，点(0，1)处标数字7，…以此类推，①标数字50的格点的坐标为 .②记格点坐标为(m ，n)的点(m 、n 均为正整数)处所标的数字为f(m ，n)，若n>m ，则f(m ，n)＝ .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2x2cos (π4＋x)·sin x的值.17.(本小题满分12分)某旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团只能任选其中一条线路，不同的旅游团可选相同的旅游线路.(1)求3个旅游团选择3条不同的线路的概率； (2)求选择甲线路旅游团的团数的分布列和期望.18.(本小题满分12分)如右图，简单组合体ABCDPE ，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝2EC.(1)若N 为线段PB 的中点，求证：EN ⊥平面PDB ；(2)若PDAD＝2，求平面PBE 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小.19.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝12ax 2＋(1－a)x －1－ln x ，a ∈R .(1)若函数在区间(2,4)上存在．．单调递增区间，求a 的取值范围； (2)求函数的单调增区间.20.(本小题满分13分)某公园的大型中心花园的边界为椭圆，花园内种植各种花草，为增强观赏性，在椭圆内以其中心为直角顶点且关于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草(如图)，并以该直角三角形斜边开辟观赏小道(不计小道的宽度)，某园林公司承接了该中心花园的施工建设，在施工时发现，椭圆边界上任意一点到椭圆两焦点距离和为4(单位：百米)，且椭圆上点到焦点的最近距离为1(单位：百米).(1)试以椭圆中心为原点建立适当的坐标系，求出该椭圆的标准方程； (2)请计算观赏小道的长度(不计小道宽度)的最大值.21.(本小题满分13分)顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过A 0(1,1)，过A 0作抛物线的切线交x 轴于B 1，过B 1点作x 轴的垂线交抛物线于A 1，过A 1作抛物线的切线交x 轴于B 2，…，过A n (x n ，y n )作抛物线的切线交x 轴于B n ＋1(x n ＋1,0)(1)求{x n }，{y n }的通项公式；(2)设a n ＝11＋x n ＋11－x n ＋1，数列{a n }的前n 项和为T n .求证：T n >2n －12.(3)设b n ＝1－log 2y n ，若对任意正整数n ，不等式(1＋1b 1)(1＋1b 2)…(1＋1b n)≥a 2n ＋3成立，求正数a 的取值范围.数 学(理科) 答案 选择题答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案CADBCDDB二、填空题：9.∫10x 2d x ＝ 13 . 10. 80 11. 52 .12. x ＋2y －5＝0 . 13. 2 . 14.－2 .15.① (4,2) .② (2n ＋1)2＋m －n －1，(n>m) .【解析】f(1,0)＝12，f(2,1)＝32，f(3,2)＝52，…，f(n ＋1，n)＝(2n ＋1)2. ∵n>m ，∴n ≥m －1，∴当n>m 时，f(m ，n)＝(2n ＋1)2＋m －n －1. 三、解答题：17.解：(1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为P 1＝A 3443＝38.(4分)(2)设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ＝0,1,2,3，(5分)P(ξ＝0)＝3343＝2764，P(ξ＝1)＝C 13·3243＝2764，P(ξ＝2)＝C 13·343＝964，P(ξ＝3)＝C 3343＝164.(9分)∴ξ的分布列为ξ 01 2 3 P27642764964164(10分)∴期望Eξ＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.(12分)18解：(1)证法1：连结AC 与BD 交于点F ，连结NF ，∵F 为BD 的中点，∴NF ∥PD 且NF ＝12PD.又EC ∥PD ，且EC ＝12PD ，(2分)∴NF ∥EC ，且NF ＝EC ，∴四边形NFCE 为平行四边形， ∴NE ∥FC.(4分)∵DB ⊥AC ，PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，∴AC ⊥PD. 又PD∩BD ＝D ，∴AC ⊥面PBD ，∴NE ⊥面PDB.(6分)证法2：以点D 为坐标原点，以AD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如图所示：设该简单组合体的底面边长为1，PD ＝a ，则B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0，a)，E(0,1，a 2)，N(12，12，a2)，∴EN ＝(12，－12，0)，PB ＝(1,1，－a)，DB ＝(1,1,0).∵EN ·PB ＝12×1－12×1－a×0＝0，EN ·DB ＝12×1－12×1＋0×0＝0，∴EN ⊥PB ，EN ⊥DB.∵PB 、DB ⊂面PDB ，且PB∩DB ＝B ，∴NE ⊥面PDB.(6分)(2)解法1：连结DN ，由(1)知NE ⊥面PDB ，∴DN ⊥NE.∵PDAD＝2，DB ＝2AD ，∴PD ＝DB ，∴DN ⊥PB ，∴DN 为平面PBE 的法向量. 设AD ＝1，则N(12，12，22)，∴DN ＝(12，12，22).∵DP 为平面ABCD 的法向量，DP ＝(0,0，2)，(10分) 设平面PBE 与平面ABCD 所成的二面角为θ，则cos θ＝DN ·DP|DN |·|DP |＝12＝22，∴θ＝45°，即平面PBE 与平面ABCD 所成的锐二面角为45°.(12分) 解法2：延长PE 与DC 的延长线交于点G ，连结GB ，则GB 为平面PBE 与平面ABCD 的交线.(8分) ∵PD ＝2EC ，∴CD ＝CG ＝CB ，∴D 、B 、G 在以C 为圆心、以BC 为半径的圆上， ∴DB ⊥BG.(9分)∵PD ⊥平面ABCD ，BG ⊂面ABCD ， ∴PD ⊥BG ，且PD∩DB ＝D ，∴BG ⊥面PDB. ∵PB ⊂面PDB ，∴BG ⊥PB ，∴∠PBD 为平面PBE 与平面ABCD 所成的锐二面角的平面角.(10分) 在Rt △PDB 中，∵PD ＝DB ，∴∠PBD ＝45°，即平面PBE 与平面ABCD 所成的锐二面角为45°.(12分)19.解：(1)因为函数定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝ax ＋1－a －1x ，(2分)已知函数在区间(2,4)上存在单调递增区间，由f ′(x )＝(ax ＋1)(x －1)x ≥0，得ax ＋1≥0，a ≥－1x >－12，故a 的取值范围是(－12，＋∞).(6分)(2)f ′(x )＝ax ＋1－a －1x ＝ax 2＋(1－a )x －1x ＝(ax ＋1)(x －1)x，①当a <－1时，由f ′(x )≥0得－1a ≤x ≤1，f (x )的单调增区间为[－1a，1]；(7分)②当a ＝－1时，f ′(x )＝－(x －1)2x≤0，f (x )无单调增区间；(8分)③当－1<a <0时，由f ′(x )≥0得1≤x ≤－1a ，f (x )的单调增区间为[1，－1a ]；(9分)④当a ＝0时，由f ′(x )＝x －1x ≥0得x ≥1，f (x )的单调增区间为[1，＋∞)；(10分)⑤当a >0时，由f ′(x )＝(ax ＋1)(x －1)x≥0得x ≥1，f (x )的单调增区间为[1，＋∞).(12分)综上所述当a <－1时，f (x )的单调增区间为[－1a ，1]；当a ＝－1时，f (x )无单调增区间；当－1<a <0时，f (x )的单调增区间为[1，－1a ]；当a ≥0时，f (x )的单调增区间为[1，＋∞).(13分)20. 解：(1)如图，以两焦点连线为x 轴，中心为坐标原点建立直角坐标系；设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知，2a ＝4，a －c ＝1，a ＝2，c ＝1，∴b ＝3，故椭圆的标准方程x 24＋y 23＝1.(4分)(2)①若该直角三角形斜边斜率存在且不为0，设直角三角形斜边所在直线方程为y ＝kx ＋m ，斜边与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程组 y=kx+mx 24＋y 23＝1得3x 2＋4(kx ＋m )2＝12，即(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，(6分)则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝48(4k 2－m 2＋3)>0， 即4k 2－m 2＋3>0.(7分) x1+ x 2= - 8km3＋4k 2x 1 x 2=4m 2－123＋4k 2y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 24m 2－123＋4k 2－8k 2m 23＋4k 2＋m2＝3m 2－12k 23＋4k2， 要使△AOB 为直角三角形，需使x 1x 2＋y 1y 2＝0，即4m 2－123＋4k 2＋3m 2－12k 23＋4k 2＝0，所以7m 2－12k 2－12＝0，(9分) 即m 2＝12k 2＋127，故4k 2－m 2＋3＝4k 2＋3－12k 2＋127＝16k 2＋97>0，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝16(1＋k 2)4k 2m 2－(m 2－3)(3＋4k 2)(3＋4k 2)2＝487·16k 4＋25k 2＋916k 4＋24k 2＋9＝487[1＋k 216k 4＋24k 2＋9](10分) ＝487[1＋116k 2＋9k 2＋24]≤eq \r(\f(48,7)(1＋\f(1,48)))＝7.(11分) 当仅当16k 2＝9k 2，k ＝±32时，等号成立.②若该直角三角形斜率不存在或斜率为0，则斜边长为4217.(12分)综上可知，观赏小道长度的最大值为27(百米).(13分) 21.解：(1)由已知得抛物线方程为y ＝x 2，y ′＝2x ，(2分) 则设过点A n (x n ，y n )的切线为y －x 2n ＝2x n (x －x n ).令y ＝0，x ＝x n 2，故x n ＋1＝x n2.又x 0＝1，∴x n ＝12n ，y n ＝14n .(4分)(2)证明：由(1)知x n ＝(12)n ，所以a n ＝11＋(12)n ＋11－(12)n ＋1＝2n2n ＋1＋2n ＋12n ＋1－1＝2n ＋1－12n ＋1＋2n ＋1－1＋12n ＋1－1＝1－12n ＋1＋1＋12n ＋1－1＝2－(12n ＋1－12n ＋1－1).(6分)由12n ＋1<12n ，12n ＋1－1>12n ＋1得12n ＋1－12n ＋1－1<12n －12n ＋1，所以a n ＝2－(12n ＋1－12n ＋1－1)>2－(12n －12n ＋1)，(7分)从而T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n >[2－(12－122)]＋[2－(122－123)]＋…＋[2－(12n －12n ＋1)]＝2n －[(12－122)＋(122－123)＋…＋(12n －12n ＋1)]＝2n －(12－12n ＋1)>2n －12，即T n >2n －12.(9分)(3)由于y n ＝14n ，故b n ＝2n ＋1，对任意正整数n ，不等式(1＋1b 1)(1＋1b 2)…(1＋1b n)≥a 2n ＋3成立，a ≤12n ＋3(1＋1b 1)(1＋1b 2)…(1＋1b n)恒成立.设f (n )＝12n ＋3(1＋1b 1)(1＋1b 2)…(1＋1b n)，(10分)∴f (n ＋1)＝12n ＋5(1＋1b 1)(1＋1b 2)…(1＋1b n)(1＋1b n ＋1)，∴f (n ＋1)f (n )＝2n ＋32n ＋5·(1＋1b n ＋1)＝2n ＋32n ＋5·2n ＋42n ＋3＝2n ＋42n ＋5·2n ＋3＝4n 2＋16n ＋164n 2＋16n ＋15>1，∴f (n ＋1)>f (n )，故f (n )为递增，(12分) ∴f (n )min ＝f (1)＝15·43＝4515， ∴0<a ≤4515.(13分)。

湖南省长沙市一中2011届高三月考试卷(七)数 学(理科)长沙市一中高三理科数学备课组组稿 命题人：李湘斌 审题人：赵意扬 (考试范围：高考理科内容(不含选修系列4))本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线x ＋y －1＝0的倾斜角是( )A.－π4B.π4C.3π4D.π22.“p ∧q 是真命题”是“p ∨q 是真命题”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A.9πB.10πC.11πD.12π4.在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A.40 B.42 C.43 D.455.设m >0，则直线x ＋3y ＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切6.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是( )A.y ＝sin(2x ＋π6)B.y ＝sin(2x －π6)C.y ＝cos(2x ＋π3)D.y ＝cos(2x －π6)7.函数y ＝lg x －9x的零点所在的大致区间是( )A.(6,7)B.(7,8)C.(8,9)D.(9,10)8.设m ∈N *，F (m )表示log 2m 的整数部分，则F (210＋1)＋F (210＋2)＋F (210＋3)＋…＋F (211)的值为( )A.10×210B.10×210＋1C.10×210＋2D.10×210－1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.∫10x 2d x ＝ .10.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品.产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，已知A 种型号产品共抽取了16件，那么此样本的容量n ＝ .11.如右图所示的算法流程图中，输出S 的值为 .12.设A 、B 为x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程为x －2y ＋1＝0，则直线PB 的方程是 .13.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝3|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为 .14.在△ABC 中，P 为中线AM 上的一个动点，若|AM |＝2，则PA ·(PB ＋PC )的最小值为 .15.如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标数字0，点(1,0)处标数字1，点(1，－1)处标数字2，点(0，－1)处标数字3，点(－1，－1)处标数字4，点(－1,0)处标数字5，点(－1,1)处标数字6，点(0，1)处标数字7，…以此类推，①标数字50的格点的坐标为 .②记格点坐标为(m ，n)的点(m 、n 均为正整数)处所标的数字为f(m ，n)，若n>m ，则f(m ，n)＝ .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2x2cos (π4＋x)·sin x的值.17.(本小题满分12分)某旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团只能任选其中一条线路，不同的旅游团可选相同的旅游线路.(1)求3个旅游团选择3条不同的线路的概率； (2)求选择甲线路旅游团的团数的分布列和期望.如右图，简单组合体ABCDPE ，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝2EC.(1)若N 为线段PB 的中点，求证：EN ⊥平面PDB ；(2)若PDAD ＝2，求平面PBE 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小.19.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝12ax 2＋(1－a)x －1－ln x ，a ∈R .(1)若函数在区间(2,4)上存在．．单调递增区间，求a 的取值范围； (2)求函数的单调增区间.20.(本小题满分13分)某公园的大型中心花园的边界为椭圆，花园内种植各种花草，为增强观赏性，在椭圆内以其中心为直角顶点且关于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草(如图)，并以该直角三角形斜边开辟观赏小道(不计小道的宽度)，某园林公司承接了该中心花园的施工建设，在施工时发现，椭圆边界上任意一点到椭圆两焦点距离和为4(单位：百米)，且椭圆上点到焦点的最近距离为1(单位：百米).(1)试以椭圆中心为原点建立适当的坐标系，求出该椭圆的标准方程； (2)请计算观赏小道的长度(不计小道宽度)的最大值.顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过A 0(1,1)，过A 0作抛物线的切线交x 轴于B 1，过B 1点作x 轴的垂线交抛物线于A 1，过A 1作抛物线的切线交x 轴于B 2，…，过A n (x n ，y n )作抛物线的切线交x 轴于B n ＋1(x n ＋1,0)(1)求{x n }，{y n }的通项公式；(2)设a n ＝11＋x n ＋11－x n ＋1，数列{a n }的前n 项和为T n .求证：T n >2n －12.(3)设b n ＝1－log 2y n ，若对任意正整数n ，不等式(1＋1b 1)(1＋1b 2)…(1＋1b n)≥a 2n ＋3成立，求正数a的取值范围.炎德·英才大联考长沙市一中2011届高三月考试卷(七)数 学(理科) 教师用卷长沙市一中高三理科数学备课组组稿 命题人：李湘斌 审题人：赵意扬 (考试范围：高考理科内容(不含选修系列4))本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

湖南省长沙市一中-高三第七次月考理科数学命题：卿 科 审卷：卿 科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式如果事件A 、B 互斥，那么 cl S 21=锥侧 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互，那么 其中，c 表示底面周长、l 表示斜高或 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 母线长如果事件A 在1次实验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次重复实验中恰好发生k 334R V π=球 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径第I 卷(共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． １．复数2(1)z i i =-⋅等于Ａ．2- Ｂ．2 Ｃ．2i Ｄ．2i - ２．设全集Ｉ是实数集R. 22{|4}{|1}1M x x N x x =>=≥-与都是Ｉ的子集（如图所示， 则阴影部分所表示的集合为 Ａ．{}2x x <Ｂ．{}21x x -≤<Ｃ．{}22x x -≤≤ Ｄ．{}12x x <≤３．函数x x x f 44cos sin )(+=的最小正周期是Ａ．4π Ｂ．2πＣ．3πＤ．π ４．设等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则下列结论正确的是Ａ．()12--=n n na S n nＢ．()12-+=n n na S n n Ｃ．()1--=n n na S n nＤ．()1-+=n n na S n n５．抛物线x y 82-=的准线与双曲线12822=-y x 的两条渐近线所围成的三角形的面积为 Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．4 Ｄ．2 ６．已知b a <<0，且a+b=1，则下列不等式中，正确的是Ａ．0log 2>aＢ．212<-ba Ｃ．2log log 22-<+b aＤ．212<+abb a ７．在空间给出下列四个命题：①如果平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β； ②如果直线a 与平面β内的一条直线平行，则a ∥β； ③如果直线a 与平面β内的两条直线都垂直，则a ⊥β；④如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则a ∥β．其中正确的个数是 Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4８．已知点(3,3)A ，O 是坐标原点，点(,)P x y 的坐标满足303200x y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩，设z 为OA在OP 上的投影，则z 的取值范围是Ａ．[3,3]- Ｂ．[3,3]- Ｃ．[33]Ｄ．[3,3]-９．把半径都为1的四个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值为 Ａ．261+Ｂ．231+ Ｃ．62+ Ｄ．3321+ 10．设点P 是函数),0(,sin )(π∈=x x x f 图象上的任意一点．点A 的坐标为)0,(π，O 为坐标原点，则使得OAP ∆为直角三角形的点P 的个数是Ａ．0 Ｂ．2 Ｃ．4 Ｄ．6第II 卷二．填空题：本大题共５小题，每小题5分（第14、15题第一空２分，第二空3分），共25分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．11．二项式92()2x x-展开式中1x的系数为252-． 12．若311x b x →=-，则=+b a 2．13．在1,2,3,4,5五个数字组成没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有24． 14．已知⊙1:22=+y x O 及直线052:=+-y x l ．点),(00y x P 是直线l 上的任意一点．过),(00y x P 作⊙O 的两条切线PB PA ,，B A ,为切点．（i ）当20=x 时，则直线AB 的方程为0192=-+y x ；（ii ）OB OA ⋅的最大值为53-． 15．已知函数|37||37|)(-++=x x x f ．（i ）函数)(x f 的对称中心为)0,0(；（）若函数a x x a x a x x g 42|)3||1)(|()(+--+-++=的图象有对称中心，则=a 32-．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）一袋中装有分别标记着1、2、3、4数字的4个球, 从这只袋中每次取出1个球, 取出后放回, 连续取三次, 设三次取出的球中数字最大的数为ξ. （１）求3ξ=时 的概率；（２）求ξ的概率分布列及数学期望. 解：（１）3ξ=表示取出的三个球中数字最大者为3．①三次取球均出现最大数字为3的概率311()4P =②三取取球中有2次出现最大数字3的概率2223126()()4464P C ==③三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率12331212()()4464P C == ∴12319(3)64P P P P ξ==++=． …………………………………………………6分 （２）在k ξ=时, 利用（１）的原理可知：2322123311111331()()()()()()4444464k k k k P k C C ξ---+==++=,(k =1,2,3,4)ξ的概率分布为：ξ １ ２ ３ ４P641647 6419 6437E =1×164＋2×764＋3×1964＋4×3764 = 5516．………………………………………………12分17．（本小题满分12分）如图, 在正方体ABCD —1111D C B A 中, E 为AB 的中点．（１）证明：平面D EB 1⊥平面CD B 1；（２）求CE 与平面DE B 1所成角的大小的正弦值． 解：（１）取C B 1的中点,F D B 1的中点,G 连结.GF ,EG ,BF⊥CD 平面11B BCC , B F DC ⊥∴.又C B BF 1⊥, ,C C B DC 1=⋂⊥∴B F 平面CD B 1．……………………………3分 GFBE ,CD 21,CD 21B E∴GF ,∴四边形B FGE 是平行四边形, .//EG BF ∴⊥∴EG 平面.CD B 1又⊂EG 平面D EB 1, ∴平面⊥D EB 1平面.CD B 1 ………………………………6分 （２）过C 作D B CH 1⊥于H ，连结EH ．由（１）中的平面D EB 1⊥平面CD B 1知⊥CH 面D EB 1，所以CE 在面DE B 1上的射影为HE ，所以CEH ∠就是所求的角． …………………………………………9分 令正方体的棱长为1，所以36,25==CH CE ，所以15302sin =∠CEH ． 即CE 与平面DE B 1所成角的大小的正弦值为15302． …………………………12分 18．（本小题满分12分）已知函数xe xf =)(，过该函数图象上任意一点b kx xg x f x +=)())(,(00的切线为（１）证明：)(x f y =图象上的点总在)(x g y =图象的上方； （２）若R x ax e x∈≥在上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（１）000000)(,)(x x xxe ex x e x g e x f +-==，设))()()(0000x x x x e e x x e e x f x f x h +--=-=)(,0)(,)(00x h x h x x e e x h x x >>-=∴时，当为增，当0)()()(,0)(000==<<x h x h x x x h x h x x 取最小值时，为减，当时，)()(,0)()()(,0)()(0x g x f x g x f x h x h x h ≥≥-==≥，所以)(x f y =图象上的点总在)(x g y =图象的上方． …………………………6分（２）当2')1()(,)(0xx e x F x e x F x x x -==≠时，令． x （－∞，0） （0，1）1 （1，+∞）F ‘（x ） － － 0 + F （x ） 减 减 e增①当x ＞0时，F （x ）在x=1时有最小值e ，e a a ax e a xe x x≤≥≥∴的范围是恒成立的即,．②当x ＜0时，F （x ）为减函数，0),0,()(,0)()(0<-∞∈∴→-∞→→xe x F x F x F x x，，，0,≥≥≤∴a a ax e a xe x x的范围是恒成立的即．③当x =0时，a ∈R ．由①②③，ax e x≥恒成立的a 的范围是],0[e ． ……………………………………12分 19．（本小题满分13分）如图，一船在海上由西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进4km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围5.3km 范围内有暗礁，现该船继续东行． （１）若0602==βα，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自B 处向东航行多少距离会有触礁危险？ （２）当α与β满足什么条件时，该船没有触礁危险？解：（１）作AB MC ⊥，垂足为C ，由已知060=α，030=β，所以0120=∠ABM ，030=∠AMB 所以4==AB BM ，060=∠MBC ，所以5.33260sin 0<=⋅=BM MC ，所以该船有触礁的危险． 设该船自B 向东航行至点D 有触礁危险，则5.3=MD ， 在△MBC 中，4=BM ，2=BC ，32=MC ，5.0)32(5.322=-=CD ，所以，5.1=BD （km ）．所以，该船自B 向东航行5.1km 会有触礁危险． ……6分 （２）设x CM =，在△MAB 中，由正弦定理得，MABBMAMB AB ∠=∠sin sin ，β 北 MABCα β北 MAB Cα D即αβαcos )sin(4BM =-，)sin(cos 4βαα-=BM ， 而)sin(cos cos 4cos sin βαβαβ-=⋅=∠⋅=BM MBC BM x ，所以，当5.3>x ，即27)sin(cos cos 4>-βαβα，即87)sin(cos cos >-βαβα时，该船没有触礁危险． …………13分20．（本小题满分13分）在直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，平面内两点M G ,同时满足下列条件：①0=++GC GB GA MC MB MA ==GM ∥AB ． （１）求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程；（２）过点)0,3(P 的直线l 与（１）中轨迹交于不同的两点F E ,，求OEF ∆面积的最大值．解：（１）设).,( , ),( , ),(00M M y x M y x G y x C MB MA = ，M ∴点在线段AB 的中垂线上．由已知(1,0) , (1,0) ,0M A B x -∴=． …………1分又GM ∥AB ，0y y M =∴．又0=++GC GB GA ，()()()()0,0,,1,1000000=--+--+---∴y y x x y x y x ，33 , 300y y y y x x M =∴==∴． ………………………………………………3分MC MB = ，()()2222300310⎪⎭⎫⎝⎛-+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+-∴y y x y ， 1322=+∴y x ()0≠y ，∴顶点C 的轨迹方程为1322=+y x ()0≠y ． …5分（２）设直线l 方程为：)0)(3(≠-=k x k y ，),(11y x E ，),(22y x F ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=13)3(22yx x k y 消去y 得：()039632222=-+-+k x k x k ①362221+=+∴k k x x ， 3392221+-=k k x x ． ………………………………………7分由方程①知()()()393462222-+-=∆k k k ＞0，2k ∴＜83，0≠k ，0∴＜2k ＜83． …………………………………………9分而2122121214)(2||3||||23||321x x x x k x x k y y S ABC -+=-⋅⨯=-⨯⨯=∆9624939636)3(2||3244222++-=-+=k k k k k k k ．………………………………………11分 令t k =2，则)83,0(∈t ，=∆ABC S 96249322++-t t t t ．记)830()3(249)(22<<+-=t t t t t f ， 求导易得当173=t 时有OEF ∆面积的最大值23． ……………………13分21．（本小题满分13分）已知数列}{n a 满足：))()(1(*12N n a a n a n n n ∈++=++，且1,021==a a ．求证：（１）数列})1({1n n a n a +-+为等比数列；（２）2)1(1!98nn n a -++⨯<．解：（１）由))(1(12n n n a a n a ++=++得1112)2())(1()2(+++++-++=+-n n n n n a n a a n a n a])1([)1(11n n n n a n a a n a +--=++-=++．而01212≠=-a a ，所以11)1()1(++-=+-n n n a n a ，所以数列})1({1n n a n a +-+为等比数列． …………………………………………4分（２）由（１）有)2(!)1()!1(!1≥-=---n n n a n a nn n ． ……………………………………6分 所以)!12(1)!22()!12(2212--=-----n n a n a n n ，)!22(1)!32()!22(3222-=-----n n a n a n n ，……，)!2(1)!1()!2(12=-a a ，累和得!21!31)!22(1)!12(1)!12(12+-++-+--=-- n n n a n )!12(22!54!32))!12(1)!22(1()!51!41()!31!21(--+++=---++-+-=n n n n ． …8分因为1223)1(!-≥⨯⨯⨯-⨯=n n n n ，………………………………………………9分所以)1)((21232221)!12(*325312也成立检验=∈-++++≤---n N n n n a n n ．记325321232221--++++=n n S ，用错位相减法得 1212134])41(1[98---⨯--=n n n S ，所以98<S ．所以2)1(1)!12(98)!12(981212---++-⨯=-⨯<n n n n a ． 即当n 为奇数时命题成立．……………………………………………………………11分 又)!2(198!21!31)!22(1)!12(1)!2(1)!2(2n n n n n a n +<+-++-+--+= ， 所以2)1(1)!2(981)!2(9822nnn n a -++⨯=+⨯<．即当n 为偶数时命题成立． 综合以上得2)1(1!98nn n a -++⨯<．………………………………………………13分。

长沙市一中、雅礼中学高三联考试卷理科数学命题:长沙市一中高三理科数学备课组一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设U 为全集，M 、P 是U 的两个非空子集，且(),U M P P M P = 则ð等于（ ）A ．MB ．PC ．U P ðD ．∅2．A =2{||1|1,},{|log 1,},x x x B x x x -≥∈=>∈R R 则“x ∈A ”是“x ∈B ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3．如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ） A ．i ≤5B ．i ≤4C ．i ＞5D ．i ＞44．如图表示甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是（ ） A ．56分B ．57分C ．58分D ．59分5．如左图，在平面内两两等距离的一簇平行直线，任意相邻两平行直线间的距离为d (d ＞0)，向平面内任意抛掷一枚长为l (l ＜d )的小针，已知小针与平行线相交的概率P 等于右图中阴影部分面积与矩形的面积之比，则P 的值为（ ） A ．2ld πB ．2d l πC ．4l dπ D ．3l d π甲 乙 40 8 44 1 258 54 2 365 9566213 234 95416．若函数||3([,])x y x a b =∈的值域为[1，9]，则a 2 + b 2 – 2a 的取值范围是（ ）A ．[8，12]B ．C ．[4，12]D ．[2，7．已知m ，n ，s ，t ∈R +，m + n = 2，9m n s t +=，其中m 、n 是常数，当s + t 取最小值49时，m 、n 对应的点(m ，n )是双曲线22142x y -=一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．230x y +-=D ．230x y +-=8．在△ABC 中，若I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交BC 于D ，则AB : AC = BD : DC ，称为三角形的角平分线定理，已知AC = 2，BC = 3，AB = 4．且AI xAB yAC =+，利用三角形的角平分线定理可求得x + y 的值为（ ） A ．13B ．49C ．23D ．59二、填空题（本大题共7小题；每小题5分，共35分，将每小题的答案填在题中的横线上．）9．直线l 过点2)-及圆2220x y y +-=的圆心，则直线l 的倾斜角大小为 ．10．若12z =i ，且443201234(),x z a x a x a x a x a -=++++则a 2等于 ．11．下图是一个物体的三视图，已知俯视图中的圆与三角形内切，根据图中尺寸（单位：cm ），可求得a 的值为 cm ，该物体的体积为 cm 3．12．如图，AC 为⊙O 的直径，BD ⊥AC 于P ，PC = 2，PA = 8，则CD 的长为 ，cos ∠ACB = ．（用数字表示） 13．已知点A (1，0)，P 是曲线1x >上任一点，设P 到直线l ：12y =-的距离为d ，则|PA | + d 的最小值是 ．14．已知函数()f x 的定义域为{|,1}x x R x ∈≠且，(1)f x +为奇函数，当1x <时，2()21f x x x =-+，则当1x >时，()f x 的递减区间是 ．15．下面的数组均由三个数组成，它们是：(1，2，3)，(2，4，6)，(3，8，11)，(4，16，20)，(5，32，37)，…，(a n ，b n ，c n )．（1）请写出c n 的一个表达式，c n = ；（2）若数列{c n }的前n 项和为M n ，则M 10 = ．（用数字作答） 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量(2,),(cos ,cos ),p c a b q B C =-= p q ⊥ 且．（1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 面积的最大值．17．（本小题满分12分）如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC =，M 为BC 的中点． （1）证明AM ⊥PM ；并求二面角P —AM —D 的大小； （2）求点D 到平面AMP 的距离．18．（本小题满分12分）一只口袋中装有标号为1、2、3、4的大小与重量相同的4个小球，从该口袋中每次取出1球，记下标号后再放回口袋，连续取三次．（1）求三次取出的小球的标号之和为5的概率；（2）设三次取出的小球的标号中最大的数字为X，求随机变量X的布分列和数学期望．19．（本小题满分13分）某市电信宽带网用户收费标准如下表：（假定每月初均可以和电信部门约定上网方案）有限包月制（限（1）若某用户某月上网时间为T小时，当T在什么范围内时，选择甲方案最合算？请说明理由（2）王先生因工作需要需在家上网，他一年内每月的上网时间T（小时）与月份n的函数关系为T = f (n) =3237(112,)4nn n+≤≤∈N．若公司能报销王先生全年的上网费用，问公司最少为此花费多少元？20．（本小题满分13分）如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，过点A 且与A F 1垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P 、Q 两点，满足85AP PQ =．（1）求椭圆的离心率；（2）若过A 、Q 、F 1三点的圆恰好与直线l ：30x +=相切，求椭圆方程．（3）在（2）的条件下，过F 2的直线l 与椭圆相交于异于椭圆左、右顶点的M ，N 两点，B 为椭圆的左顶点，求BM BN的取值范围．21．（本小题满分13分）已知函数f (x ) = ln (2 + 3x ) 23.2x -（1）求f (x )在[0，1]上的最大值；（2）若对11[,],|ln |ln[()3]062x a x f x x '∀∈-++>不等式恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若关于x 的方程f (x ) = –2x + b 在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围．长沙市一中、雅礼中学高三联考试卷理科数学答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设U 为全集，M 、P 是U 的两个非空子集，且(),U M P P M P = 则ð等于（ ）A ．MB ．PC ．U P ðD ．∅【解析】D 由(),.U UM P P P M P P =⊆=∅ 知,所以痧故选D ．2．A =2{||1|1,},{|log 1,},x x x B x x x -≥∈=>∈R R 则“x ∈A ”是“x ∈B ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件【解析】B 由已知得(,0][2,),(2,),A B =-∞+∞=+∞ 若“x ∈B ”则必有“x ∈A ”，反之不成立，即得“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，故选B ． 3．如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ） A ．i ≤5B ．i ≤4C ．i ＞5D ．i ＞4【解析】D ；(11111)(2) = 1 + 2 + 22 + 23 + 24，（*） 在程序框图中，当i = 1时，S = 1 + 2×1 = 1 + 2，当i = 2时，S = 1 + 2 (1 + 2) = 1 + 2 + 22，…，由(*)式知i = 4时已完成计算，∴应填入条件i ＞4．∴故选D ．4．如图表示甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是（ ） A ．56分B ．57分C ．58分D ．59分【解析】B 由图可知甲的中位数为32，乙的中位数为25，故和为57．故选B ．5．如图，在平面内两两等距离的一簇平行直线，任意相邻两平行直线间的距离为d (d ＞0)，向甲 乙 40 8 44 1 258 54 2 365 9566213 234 9541平面内任意抛掷一枚长为l (l ＜d )的小针，已知小针与平行线相交的概率P 等于阴影面积与矩形的面积之比，则P 的值为（ ） A ．2l d πB ．2d l πC ．4l dπ D ．3l d π【解析】A 先求阴影部分的面积，22022sin (cos ),.2224ll l l l S d P d d ππαααππ==-===⎰所以故选A ．6．若||3([,])x y x a b =∈的值域为[1，9]，则a 2 + b 2 – 2a 的取值范围是（ ）A ．[8，12]B．C ．[4，12]D ．[2，【解析】C 由于||3([,])x y x a b =∈的值域是[1，9]，由指数函数的单调性．所以0≤|x |≤2，若a = –2，则b ∈[0，2]从而a 2 + b 2 – 2a ∈[8，12]，若b = 2，则a ∈[–2，0]．从而a 2 + b 2 – 2a ∈[4，12]．因此a 2 + b 2 – 2a ∈[4，12]．故选C ． 7．已知m ，n ，s ，t ∈R +，m + n = 2，9m n s t +=，其中m 、n 是常数，当s + t 取最小值49时，m 、n 对应点(m ，n )是双曲线22142x y -=一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．230x y +-=D ．230x y +-=【解析】A由已知得111()()(999m n mt ns s t s t m n m n s t s t ⎛⎫+=++=+++≥++= ⎪⎝⎭21,9由于s + t 的最小值是4,9因此214289=，又m + n = 2，所以m = n = 1．设以点(m ，n )为中点的弦的两个端点的坐标分别是1122(,),(,)x y x y ，则有121212121,222x x y y x x y y ++==+=+=即①．又该两点在双曲线上，则有22111,42x y -= 22221,42x y -=两式相减得12121212()()()()042x x x x y y y y +-+--=②，把①代入②得121212y y x x -=-，即所求直线的斜率是12，所求直线的方程是11(1),2y x -=-210x y -+=即．故选A ．8．在△ABC 中，若I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交BC 于D ，则AB : AC = BD : DC ，称为三角形的角平分线定理，已知AC = 2，BC = 3，AB = 4．且A I xA B yA C =+，利用三角形的角平分线定理可求得x + y 的值为（ ）A ．13B ．49C ．23D ．59【解析】C 在△ABC 中，I 为内心，联结AI 并延长交BC 于点D ．则BD ABDC AC=4122..233AD AB AC ===+ 故又BC = 3，则BD = 2，DC = 1．在△ABC 中，422422,..23993A I AB A I A D A B AC x y ID B D =====++= 即故故选C ． 二、填空题（本大题共7小题；每小题5分，共35分，将每小题的答案填在题中的横线上．） 9．直线l过点2)-及圆2220x y y +-=的圆心，则直线l 的倾斜角大小为 ． 【解析】120° 依题意得，圆2220x y y +-=的圆心为(0，1)，过点2)(0,1)-与的直线的斜率k =∴直线l 的倾斜角大小为120°．10．若12z =i ，且443201234(),x z a x a x a x a x a -=++++则a 2等于 ．【解析】3-+i 414(),r r r r T C x z -+=- 依题意4 – r = 2，即r = 2，222241()632a C z ⎛⎫∴=-=⨯-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭11．下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm ），可求得实数a 的值为 ，该物体的体积为 cm 3．6π+ 该物体为正三棱柱与球的组合体，可知324123326a v ππ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭12．如图，AC 为⊙O 的直径，BD ⊥AC 于P ，PC = 2，PA = 8，则CD 的长为 ，cos ∠ACB = ．（用数字表示）【解析】 由射影定理得CD 2 = CP ·CA = 2×10， ∴CDcos ∠ACB = sin ∠D=CP CD ==a13．已知点A (1，0)，P 是曲线2cos ()1cos 2x y θθθ=⎧∈⎨=+⎩R 上任一点，设P 到直线l ：12y =-的距离为d ，则|PA | + d 的最小值是 ．221cos 22cos ,2(02).y x y y θθθ=+==≤≤消去得其图象是一段抛物线，F 10,2⎛⎫⎪⎝⎭是其的焦点，l 是其准线，d = |PF |当A 、P 、F 三点共线时，|PA | + d 最小，其值是||AF =14．已知函数()f x 的定义域为{|,1}x x R x ∈≠且，(1)f x +为奇函数，当1x <时，2()21f x x x =-+，则当1x >时，()f x 的递减区间是 7[,)4+∞ ．15．下面的数组均由三个数组成，它们是：(1，2，3)，(2，4，6)，(3，8，11)，(4，16，20)，(5，32，37)，…，(a n ，b n ，c n )．（1）请写出c n 的一个表达式，c n = ；（2）若数列{c n }的前n 项和为M n ，则M 10 = ．（用数字作答）【解析】c n = n + 2n ；2101 由1，2，3，4，5，……猜想a n = n ；由2，4，8，16，32，……猜想b n = 2n ；由每组数都是“前两个之和等于第三个”猜想c n = n + 2n ．从而M 10 = (1 + 2 + … + 10) + (2 + 22+ … + 210) =1010(101)2(21)2101.221⨯+-+=-三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量(2,),(cos ,cos ),p c a b q B C =-= p q ⊥且．（1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 面积的最大值．【解析】（1）p q ⊥ 由，可得(2)cos cos 0p q c a B b c =-+=，由正弦定理：sin cos 2sin cos sin cos 0,sin()2sin cos .C B A B B C C B A B -+=+=从而（3分） 又B + C =π– A ，sin(C + B ) = sin A ，且sin A ＞0，故1cos ,(0,),23B B B ππ=∈∴=又（6分）（2）由余弦定理b 2 = a 2 + c 2 – 2ac cos B = a 2 + c 2 – ac ≥ac ，又b =ac ≤12（9分）故11sin 1222ABC S ac B =≤⨯= ，因此当a = c =ABC 的面积最大且最大值为（12分）17．（本小题满分12分）如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC =，M 为BC 的中点． （1）证明AM ⊥PM ；并求二面角P —AM —D 的大小； （2）求点D 到平面AMP 的距离．【解析】（1）取CD 的中点E ，连接PE 、EM 、EA ，∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD∴PE ⊥AM（3分）∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE 、△ECM 、△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得2223,,90,EM AM AE EM AM AE AME ===∴+=∴∠=︒AM EM ∴⊥ （4分）∴AM ⊥平面PME ，∴PM ⊥AM ，∴∠PME 是二面角P —AM —D 的平面角， （6分）PE = PD sin60°，∴tan 1,45,PE PME PME EM ∠===∴∠=︒ ∴二面角P —AM —D 为45°． （8分）（2）设点D 到平面PAM 的距离为d ，连接DM ，则V P —ADM = V D —PAM ，111,332ADM PAM ADM S PE S d S AD CD ∴=== 而在Rt △PEM 中，由勾股定理可求得PM =1113(10)3,233PAM S AM PM d d ∴==∴⨯⨯⨯= 分即点D 到平面PAM （12分）另解（1）以D 点为原点，分别以直线DA 、DC 为x 轴、y 轴，建立如图所示的这空间直角坐标系D —xyz ，依题意，得D (0，0，0)，P (0，1，C (0，2，0)，A 0，0)，M 2，0)（2分）(0,1,(PM AM ∴=-==-=,(0,,.PM AM PM AM AM PM ∴==⊥∴⊥ 即（4分）设n = (x，y，z)，且n⊥平面PAM，则0,(,,),0,0,(,,)(0 PM x y zAM x y z⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩即nn0,,20,,y zy x⎧+==⎪∴⎨+=⎪⎪⎩⎩取y = 1，=得n（7分）取P = (0，0，1)，∵P⊥平面ABCD，∴cos<n，p>=||||==n Pn P结合图形可知，二面角P—AM—D为45°（9分）（2）设点D到平面PAM的距离为d，由（1）可知=n，与平面PAM垂直，则d=||||DA nn==（12分）18．（本小题满分12分）一只口袋中装有标号为1、2、3、4的大小相同的4个小球，从该口袋中每次取出1球，记下标号后再放回口袋，连续取三次．（1）求三次取出的小球的三个标号之和为5的概率；（2）设三次取出的小球的标号中最大的数字为X，求随机变量X的布分列和数学期望．【解析】由题设每次取出的小球的标号为i (i = 1、2、3、4)其概率14P=（1分）（1）记取出的小球的标号组合为(1，1，3)和(1，2，2)为事件A，B且A、B互斥，（2分）则所求事件的概率P1 = P (A + B) = P (A) + P (B) =22113311113444432C C⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4分）（2）X的可知取值为1、2、3、4 （5分）311(1)464P X⎛⎫===⎪⎝⎭（6分）33312331117(2)44464P X C C⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（7分）333333111133333311111119(3).44444464P X C C C C A⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（9分）333133311137(4)63.44464P X C A⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（10分）则X的分布列如下表EX = 1×164+ 2×764+ 3×1964+ 4×3764= 5516． （12分）19．（本小题满分13分）某市电信宽带网用户收费标准如下表：（假定每月初均可以和电信部门约定上网方案）有限包月制（限（1）若某用户某月上网时间为T 小时，当T 在什么范围内时，选择甲方案最合算？并说明理由（2）王先生因工作需要需在家上网，他一年内每月的上网时间T （小时）与月份n 的函数关系为T = f (n ) =3237(112,)4n n n +≤≤∈N ．若公司能报销王先生全年的上网费用，问公司最少会为此花多少元？【解析】（1）当T ≤30时，选择丙方案合算；当T ＞30时，由30 + 3 (T – 30)≤50，得30＜T ≤2363，此时选择丙方案合算；（2分）当2363≤T ≤60时，选择乙方案合算；（4分）当T ＞60时，由50 + 3 (T – 60)≤70，得60＜T ≤2663，此时选择乙方案合算；当T ≥2663，选择甲方案合算．（6分） 综上可得，当T 2(66,)3∈+∞时，选择甲方案合算．（7分）（2）因为3(1)(),4f n f n +-=所以{f (n )}为首项f (1) = 60，公差d =34的等差数列，且每月上网时间逐月递增．令32372866,9439n T n +=≥≥得，可知前9个月选择乙方案，最后3个月选择甲方案上网花费最少．（9分）此时，一年的上网总费用为991132379[503(60)]370450(1)44n n n n ==++-+⨯=+-+∑∑21045081210741(=++=元)即一年内公司最少会为王先生花费上网费741元（13分）20．（本小题满分13分）如图设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，过点A 与A F 1垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P 、Q 两点，且85AP PQ =．（1）求椭圆的离心率；（2）若过A 、Q 、F 1三点的圆恰好与直线l：30x +=相切，求椭圆方程．（3）过F 2的直线l 与椭圆相交于异于椭圆左、右顶点的M ，N 两点，B 为椭圆的左顶点，求BM BN 的取值范围． 【解析】（1）设点Q (x 0，0)，F 1(–c ，0)， 其中c(0,).A b 85AP PQ =，得222000285853,,1.131313132x P x b x a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①而22000(,),(,),,0,0,.b FA c b AQ x b FA AQ FA AQ cx b x c==-⊥∴=∴-==②由①②知2b 2 = 3ac ，∴2c 2 + 3ac – 2a 2 = 0．∴2e 2 + 3e – 2 = 0，∴1.2e =（4分）（2）满足条件的圆心2222222,0,,(,0)222b c b c a c c O c O c c c c ⎛⎫----''==∴ ⎪⎝⎭ 圆半径222.22b a c r a c+=== 由圆与直线l：|3|30,,2c x a ++==相切得又a = 2c ， ∴c = 1，a = 2，b221.43x y +=（8分）（3）（i ）当MN ⊥x 轴时()33331,,1,,2,0,3,,3,,2222M N B BM BN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--∴==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭27.4BM BN ∴=（ii ）当MN 与x 轴不垂直时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)l 的方程为y = k (x – 1) (k ≠0)代入椭圆方程得()22222212122284124384120,,,4343k k k x k x k x x x x k k -+-+-=+==++则12y y =2221212121122(1)(1)(),(2,),(2,),x k x x k x x k x x k BM x y BN x y --=-++=+=+此时BM BN = 222212121212122272()4(1)(2)()443k x x x x y y k x x k x x k k ++++=++-+++==+22727344k<+．从而2704BM BN <≤ （13分）21．（本小题满分13分）已知函数f (x ) = ln (2 + 3x ) 23.2x -（1）求f (x )在[0，1]上的最大值；（2）若对11[,],|ln |ln[()3]062x a x f x x '∀∈-++>不等式恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若关于x 的方程f (x ) = –2x + b 在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围．【解析】（1）33(1)(31)1()3,()01().23323x x f x x f x x x x x -+-''=-====-++令得或舍去（1分） ∴当110,()0,()1,()0,()33x f x f x x f x f x ''≤<><≤<时单调递增;当时单调递减． （3分）11ln336f ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭为函数f (x )在[0，1]上的最大值．（4分） （2）由33|ln |ln[()3]0ln lnln ln ,2323a x f x x a x a x x x'-++>>-<+++得或① （5分）设232333()ln ln ln ,()ln ln ln ,2332323x x xh x x g x x x x x+=-==+=+++依题意知a ＞h (x )或a ＜g (x )在x ∈11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，222233(23)3323126()0,()(26)0,3(23)3(23)2323x x x xg x h x x x x x x x x x x ++-+''==>=+=>++++ （6分） ∴g (x )与h (x )都在11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，要使不等式①成立，当且仅当1171,ln ln .26125a h a g a a ⎛⎫⎛⎫><>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或即或（9分）（3）由2233()2ln(23)20.()ln(23)2,22f x x b x x x b x x x x b ϕ=-+⇒+-+-==+-+-令2379()32,,()0,()2323x x x x x x x x ϕϕϕ⎡-''=-+=∈>⎢++⎣⎦令当时于是在上递增；,()0,()x x x ϕϕ⎤⎤'∈<⎥⎥⎣⎦⎣⎦当时于是在上递减.（11分）而(0),(1),()2()0[0,1]f x x b x ϕϕϕϕϕ>>∴=-+=⎝⎭⎝⎭即在上恰有两个不同实根等价于(0)ln 20717ln(20,ln 5ln(26261(1)ln 502b b b b ϕϕϕ⎧⎪=-≤⎪⎪=+->∴+≤<-⎨⎪⎝⎭⎪⎪=+-≤⎩ （13分）。

湖南省长沙市第一中学2010-2011学年高三12月考数学（文）命题人：王 辉 审题人：陈 震(考试范围：集合、逻辑用语、函数、导数、三角函数、 平面向量与复数、数列、不等式、概率统计、立体几何)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知命题p ：“ x ∈R ，x 2＋1>0”；命题q ：“ x ∈R ，sin x ＝2”则下列判断正确的是 ( )A.p 或q 为真，非p 为真B. p 或q 为真，非p 为假C.p 且q 为真， 非p 为真D.p 且q 为真，非p 为假 2.要得到一个奇函数，只需将函数f (x )＝sin(x －π3)的图象 ( )A.向右平移π6个单位B.向右平移π3个单位C.向左平移π6个单位D.向左平移π3个单位3.函数f (x )＝2x －3x的零点所在区间为 ( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4.甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列判断正确的是 ( )A. x 甲>x 乙， 且乙比甲成绩稳定B. x 甲>x 乙，且甲比乙成绩稳定C.x 甲<x 乙， 且乙比甲成绩稳定D.x 甲<x 乙， 且甲比乙成绩稳定5.如右图是一个简单空间几何体的三视图，其主视图 与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为 正方形，则其体积是 ( ) A.36 B.43 C.433 D.836.设α、β为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，则以下判断不正确．．．的是 ( ) A.若α∥β，m ⊥α，则m ⊥βB.若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC.若α⊥β，α∩β＝n ，m α，m ⊥n ，则m ⊥βD.若m α，n α，m ∥β，n ∥β，则α∥β7.下列图象中有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A.13B.－13C.53D.－538.已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.32 B.53 C.256D.不存在选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.函数y ＝2－x ＋log 3(1＋x)的定义域为 .10.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为100的样本，其频率分布直方图如图所示，则据此估计支出在[50,60)元的同学的概率为.11.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知B ＝π3，a ＝3，c ＝2，则△ABC 的面积为______.12.若向量a 、b 满足a ＋b ＝(2，－1)，a ＝(1,2)，则向量a 与b 的夹角等于 .13.如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，异面直线BD 与B ′C 所成角为 ；直线A ′C 与平面ABCD 所成角的正弦值为 .x-y ≥014.满足约束条件 x+y ≤2 的点P (x ，y )所在区域的面积等于 .x+2y ≥215.若函数y ＝f (x )(x ∈D )同时满足下列条件：(1)f (x )在D 内为单调函数；(2)f (x )的值域为D 的子集，则称此函数为D 内的“保值函数”.已知函数f (x )＝a x ＋b －3ln a，g (x )＝ax 2＋b .①当a ＝2时，f (x )＝a x ＋b －3ln a 是[0，＋∞)内的“保值函数”，则b 的最小值为 ；②当－1≤a ≤1，且a ≠0，－1≤b ≤1时，g (x )＝ax 2＋b 是[0,1]内的“保值函数”的概率为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分)已知sin(π－α)＝45，α∈(0，π2).(1)求sin2α－cos 2α2的值；(2)求函数f (x )＝56cos αsin2x －12cos2x 的单调递增区间.17. (本小题满分12分)为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”， “街舞”， “动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表(单位：人)(1)求a ，b ，c 的值；(2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率.18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD. (1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：PA ⊥平面PCD.19. (本小题满分13分)某造船公司年造船量最多20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋500(单位：万元).(1)求利润函数p (x )；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ (3)在经济学中，定义函数f (x )的边际函数Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x ).求边际利润函数Mp (x )，并求Mp (x )单调递减时x 的取值范围；试说明Mp (x )单调递减在本题中的实际意义是什么？(参考公式：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3)20.(本小题满分13分)已知点列B 1(1，b 1)，B 2(2，b 2)，…，B n (n ，b n )，…(n ∈N )顺次为抛物线y ＝14x 2上的点，过点B n (n ，b n )作抛物线y ＝14x 2的切线交x 轴于点A n (a n,0)，点C n (c n,0)在x 轴上，且点A n ，B n ，C n 构成以点B n 为顶点的等腰三角形.(1)求数列{a n }，{c n }的通项公式；(2)是否存在n 使等腰三角形A n B n C n 为直角三角形，若有，请求出n ；若没有，请说明理由.(3)设数列{1a n ·(32＋c n )}的前n 项和为S n ，求证：23≤S n <43.21.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝x (x －a )(x －b )，点A (s ，f (s ))，B (t ，f (t )).(1)若a ＝0，b ＝3，函数f (x )在(t ，t ＋3)上既能取到极大值，又能取到极小值，求t 的取值范围； (2)当a ＝0时，f (x )x ＋ln x ＋1≥0对任意的x ∈[12，＋∞)恒成立，求b 的取值范围；(3)若0<a <b ，函数f (x )在x ＝s 和x ＝t 处取得极值，且a ＋b <23，O 是坐标原点，证明：直线OA 与直线OB 不可能垂直.数 学(文科)答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知命题p ：“ x ∈R ，x 2＋1>0”；命题q ：“ x ∈R ，sin x ＝2”则下列判断正确的是 (B)A.p 或q 为真，非p 为真B. p 或q 为真，非p 为假C.p 且q 为真， 非p 为真D.p 且q 为真，非p 为假 2.要得到一个奇函数，只需将函数f (x )＝sin(x －π3)的图象(D)A.向右平移π6个单位B.向右平移π3个单位C.向左平移π6个单位D.向左平移π3个单位3.函数f (x )＝2x －3x的零点所在区间为 (B)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4.甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列判断正确的是 (C)A. x 甲>x 乙， 且乙比甲成绩稳定B. x 甲>x 乙，且甲比乙成绩稳定C.x 甲<x 乙， 且乙比甲成绩稳定D.x 甲<x 乙， 且甲比乙成绩稳定5.如右图是一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是(C) A.36B.4 3C.433D.836.设α、β为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，则以下判断不正确．．．的是 (D) A.若α∥β，m ⊥α，则m ⊥β B.若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n C.若α⊥β，α∩β＝n ，m α，m ⊥n ，则m ⊥βD.若m α，n α，m ∥β，n ∥β，则α∥β7.下列图象中有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝(B)A.13B.－13C.53D.－538.已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为(A)A.32B.53C.256D.不存在 选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.函数y ＝2－x ＋log 3(1＋x)的定义域为 (－1,2] .10.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为100的样本，其频率分布直方图如图所示，则据此估计支出在[50,60)元的同学的概率为 0.30.11.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知B ＝π3，a ＝3，c ＝2，则△ABC 的面积为 32.12.若向量a 、b 满足a ＋b ＝(2，－1)，a ＝(1,2)，则向量a 与b 的夹角等于 135° . 13.如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，异面直线BD 与B ′C 所成角为 π3 ；直线A ′C 与平面ABCD 所成角的正弦值为33.x-y ≥014.满足约束条件 x+y ≤2 的点P (x ，y )所在区域的面积等于 13.x+2y ≥215.若函数y ＝f (x )(x ∈D )同时满足下列条件：(1)f (x )在D 内为单调函数；(2)f (x )的值域为D 的子集，则称此函数为D 内的“保值函数”.已知函数f (x )＝a x ＋b －3ln a，g (x )＝ax 2＋b .①当a ＝2时，f (x )＝a x ＋b －3ln a是[0，＋∞)内的“保值函数”，则b 的最小值为 2 ；②当－1≤a ≤1，且a ≠0，－1≤b ≤1时，g (x )＝ax 2＋b 是[0,1]内的“保值函数”的概率为 14 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知sin(π－α)＝45，α∈(0，π2).(1)求sin2α－cos 2α2的值；(2)求函数f (x )＝56cos αsin2x －12cos2x 的单调递增区间.解：(1)∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45，又∵α∈(0，π2)，∴cos α＝35， (2分)∴sin2α－cos 2α2＝2sin αcos α－1＋cos α2＝2×45×35－1＋352＝425，(6分)(2)f (x )＝56×35sin2x －12cos2x ＝22sin(2x －π4)，(9分)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .(11分)∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π8，k π＋3π8]，k ∈Z .(12分)17. (本小题满分12分)为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”， “街舞”， “动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表(单位：人)(1)求a ，b ，c 的值；(2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率.解：(1)由表可知抽取比例为16，故a ＝4，b ＝24，c ＝2. (4分)(2)设“动漫”4人分别为：A 1，A 2，A 3，A 4；“话剧”2人分别为：B 1，B 2.则从中任选2人的所有基本事件为：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 3，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)， (B 1，B 2)共15个， (8分)其中2人分别来自这两个社团的基本事件为：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)共8个， (10分)所以这2人分别来自这两个社团的概率P ＝815. (12分)18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD.(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：PA ⊥平面PCD.解：(1)证明：连结AC ，则F 是AC 的中点，E 为PC 的中点 故在△CPA 中， EF//PA ， (3分) 且PA 平面PAD ，EF 平面PAD ，∴EF ∥平面PAD. (6分)(2)证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD∩平面ABCD ＝AD ， 又CD ⊥AD ，所以，CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA ， (9分) 又PA ＝PD ＝22AD ，所以△PAD 是等腰直角三角形， 且∠APD ＝π2， 即P A ⊥PD ， (11分)又CD ∩PD ＝D ， ∴P A ⊥平面PCD . (12分)19. (本小题满分13分)某造船公司年造船量最多20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋500(单位：万元).(1)求利润函数p (x )；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ (3)在经济学中，定义函数f (x )的边际函数Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x ).求边际利润函数Mp (x )，并求Mp (x )单调递减时x 的取值范围；试说明Mp (x )单调递减在本题中的实际意义是什么？(参考公式：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3)解：(1)p (x )＝R (x )－C (x )＝3700x ＋45x 2－10x 3－460x －500 ＝－10x 3＋45x 2＋3240x －500，(x ∈N ，1≤x ≤20) (3分)(2)p ′(x )＝－30x 2＋90x ＋3240＝－30(x －12)(x ＋9)， (6分)∴当0<x <12时，p ′(x )＞0，当x ＜12时，p ′(x )＜0.∴x ＝12时，p (x )有最大值. 即年造船量安排12 艘时，可使公司造船的年利润最大. (8分) (3)∵Mp (x )＝p (x ＋1)－p (x )＝－10(x ＋1)3＋45(x ＋1)2＋3240(x ＋1)－500－(－10x 3＋45x 2＋3240x －500) ＝－30x 2＋60x ＋3275＝－30(x －1)2＋3305，(x ∈N *,1≤x ≤19)所以，当x ≥1时，Mp (x )单调递减，x 的取值范围为[1,19]，且x ∈N . (11分) Mp (x )是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少.(13分)20.(本小题满分13分)已知点列B 1(1，b 1)，B 2(2，b 2)，…，B n (n ，b n )，…(n ∈N )顺次为抛物线y ＝14x 2上的点，过点B n (n ，b n )作抛物线y ＝14x 2的切线交x 轴于点A n (a n,0)，点C n (c n,0)在x 轴上，且点A n ，B n ，C n 构成以点B n 为顶点的等腰三角形.(1)求数列{a n }，{c n }的通项公式；(2)是否存在n 使等腰三角形A n B n C n 为直角三角形，若有，请求出n ；若没有，请说明理由.(3)设数列{1a n ·(32＋c n )}的前n 项和为S n ，求证：23≤S n <43.解：(1)∵y ＝14x 2，∴y ′＝x 2， y ′|x ＝n ＝n 2， 则点B n (n ，b n )作抛物线y ＝14x 2的切线方程为：y －n 24＝n 2(x －n )，令y ＝0，则x ＝n 2，即a n ＝n2；(3分)∵点A n ，B n ，C n 构成以点B n 为顶点的等腰三角形，则：a n ＋c n ＝2n ，∴c n ＝2n －a n ＝3n2 (5分)(2)若等腰三角形A n B n C n 为直角三角形，则|A n C n |＝2b n n ＝n 22 n ＝2，∴存在n ＝ 2，使等腰三角形A 2B 2C 2为直角三角形 (9分)(3)∵1a n ·(32＋c n )＝1n 2(32＋3n 2)＝134n (n ＋1)＝43(1n －1n ＋1)(11分) ∴S n ＝43(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝43(1－1n ＋1)<43又1－1n ＋1随n 的增大而增大，∴当n ＝1时S n 的最小值为：43(1－11＋1)＝23，∴23≤S n <43(13分)21.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝x (x －a )(x －b )，点A (s ，f (s ))，B (t ，f (t )).(1)若a ＝0，b ＝3，函数f (x )在(t ，t ＋3)上既能取到极大值，又能取到极小值，求t 的取值范围；(2)当a ＝0时，f (x )x ＋ln x ＋1≥0对任意的x ∈[12，＋∞)恒成立，求b 的取值范围；(3)若0<a <b ，函数f (x )在x ＝s 和x ＝t 处取得极值，且a ＋b <23，O 是坐标原点，证明：直线OA 与直线OB 不可能垂直.解：(1)当a ＝0，b ＝3时f (x )＝x 3－3x 2，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，∴f (x )在(－∞，0)和(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减， (2分) 所以f (x )在0和2处分别达到极大和极小，由已知有t <0且t ＋3>2，因而t 的取值范围是(－1,0). (4分)(2)当a ＝0时，f (x )x ＋ln x ＋1≥0即x 2－bx ＋ln x ＋1≥0可化为x ＋ln x x ＋1x ≥b ，记g (x )＝x ＋ln x x ＋1x (x ≥12)，则g ′(x )＝1＋1－ln x x 2－1x 2＝x 2－ln xx 2.(6分)记m (x )＝x 2－ln x ，则m ′(x )＝2x －1x ，∴m (x )在(12，22)上递减，在(22，＋∞)上递增.∴m (x )≥m (22)＝12－ln 22>0 从而g ′(x )>0，∴g (x )在[12，＋∞)上递增因此g (x )min ＝g (12)＝52－2ln2≥b ，故b ≤52－2ln2. (9分)(3)假设OA ⊥OB ，即OA ·OB ＝(s ，f (s ))·(t ，f (t ))＝st ＋f (s )f (t )＝0 故(s －a )(s －b )(t －a )(t －b )＝－1，[st －(s ＋t )a ＋a 2][st －(s ＋t )b ＋b 2]＝－1 由s ，t 为f ′(x )＝0的两根可得，s ＋t ＝23(a ＋b )，st ＝ab3，(0<a <b )从而有ab (a －b )2＝9 (11分) (a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ＝9ab＋4ab ≥236＝12即a ＋b ≥23，这与a ＋b <23矛盾.故直线OA 与直线OB 不可能垂直. (13分)。

3)(1,]0-．下列命题中，为真命题的是（，使得0e xM4M N4N25414满 20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在△2112e 的取值范围是（C ．1(9,+∞][,)1+∞．已知向量,a b 满足||2a =，()3a b a -=-，则向量b 在a 方向上的投影为)0,0()ax x e a b b=->>的图象在处的切线与圆x218100中，sin (a b =co )s C ，sin sin (cos B C +0,π(C ∈又cos sin B B =0,π()B ∈又π4B =又∵BDC S =△ABDC =四边形2B，(3,)5∥又HF AC则(1,,0),(0,,1),11,(BQ t EQ t AF =-=-=-设平面BQE 的法向量为(,,)n x y z =，则由0n BQ =，且0n EQ =，得，则(,1,)n t t =，∥平面BEQ ，则须(,1,n AF t t =上存在一点1(0,3Q 的法向量为(,n x y =，则由10n AB =，且10n AE =，得，则(1,1,1)n =11153333113339,n n ++<>=为锐二面角，所以其余弦值为533331211211(MA MBy y kx k x x ++==+MA ⊥MB ，即MD ⊥ME ．2211121111111|||1||1||22||k MA MB k k k k k +=++-=得22480()1k x k x +-=．121|4)|)k +．湖南省长沙一中高三上学期月考数学试卷（理科）（五）解析1．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，结合共轭复数的概念得答案．【解答】解：由（3-4i）z=1+2i，得=，∴．2．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x+3）≥0，解得：x≥-1或x≤-3，即A=（-∞，-3]∪[-1，+∞），由B中不等式变形得：2x<1=20，即x<0，∴B=（-∞，0），则A∩B=（-∞，-3]∪[-1，0），3．【分析】根据指数函数的性质，可判断A；求出的范围，可判断B；举出反例x=2，可判断C；写出原命题的否定，可判断D．【解答】解：恒成立，故A错误；，故B错误；当x=2时，2x=x2，故C错误；若命题p：∃x0∈R，使得，则￢p：∀x0∈R，都有x2-x+1≥0，则D正确；4．【分析】在△ABC中，“A<B<C”⇔a<b<c，再利用正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．【解答】解：在△ABC中，“A<B<C”⇔a<b<c⇔sinA<sinB<sinC⇔sin2A<sin2B<sin2C⇔1-2sin2A>1-2sin2B>1-2sin2C⇔“cos2A>cos2B>cos2C”．∴在△ABC中，“A<B<C”是“cos2A>cos2B>cos2C”的充要条件．5．【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于2000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为2000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．6．【分析】由题意，函数y=f（t）=ae nt满足f（5）=a，解出n=ln．再根据f（k）=a，建立关于k的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k的值，由m=k-5即可得到．【解答】解：∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y=f（t）=ae nt，满足f（5）=ae5n= a可得n=ln，因此，当kmin后甲桶中的水只有升，即f（k）=a，即ln•k=ln，即为ln•k=2ln，解之得k=10，经过了k-5=5分钟，即m=5．7．【分析】利用函数的奇偶性以及三角函数的诱导公式化简，然后回代验证求解即可．【解答】解：函数f（x）=是偶函数，x=0时，sinα=cosβ，…①可得sin（x+α）=cos（-x+β）=sin（x+-β），…②，选项代入验证，所以C正确．8．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O-ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O-ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2-x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2-x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，9．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是绘制满足条件的图形，数形结合找出满足条件的△APC的面积大小与△ABC面积的大小之间的关系，再根据几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：如图示，取BC的中点为D，连接PA，PB，PC，则，又P点满足，故有，可得三点A，P，D共线且，即P点为A，D的中点时满足，此时S△APC=S△ABC故黄豆落在△APC内的概率为，10．【分析】可先画出x、y满足的平面区域，而为可行域内的点与原点连线的斜率，求出的范围；进一步用换元法求出u的范围即可．【解答】解：作出x，y满足的可行域，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是，即，令，则，又在上单调递增，得．11．【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m>n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5-c，（c<5），运用三角形的三边关系求得c 的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m>n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m-n=2a2，即有a1=5+c，a2=5-c，（c<5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c>10，可得c>，即有<c<5．由离心率公式可得e1•e2===，由于1<<4，则有>．则e1•e2的取值范围为（，+∞）．12．【分析】利用换元法设m=f（x），将方程转化为关于m的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求即可．【解答】解：设m=f（x），作出函数f（x）的图象如图：则m≥1时，m=f（x）有两个根，当m<1时，m=f（x）有1个根，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则等价为m2+m+t=0有2个不同的实根，且m≥1或m<1，当m=1时，t=-2，此时由m2+m-2=0得m=1或m=-2，满足f（x）=1有两个根，f（x）=-2有1个根，满足条件当m≠1时，设h（m）=m2+m+t，则h（1）<0即可，即1+1+t<0，则t<-2，综上t≤-2，13．【分析】根据题意，先求出n的值，再求出展开式中的常数项是什么值即可．【解答】解：∵n=10sinxdx=-10cosx=-10（cos-cos0）=10，∴展开式中通项T r+1=••=（-1）r••，令5-=0，解得r=6，∴展开式中的常数项为T6+1=（-1）6•==210．14．【分析】根据平面向量的数量积运算性质计算，得出cos<>，再代入投影公式计算．【解答】解：∵=4，（）=-=-3，∴=1，∴cos<>==，∴在方向上的投影为||cos<>=．15．【分析】求导数，求出切线方程，利用切线与圆x2+y2=1相切，可得a2+b2=1，利用基本不等式，可求a+b的最大值．【解答】解：求导数，可得f′（x）=-令x=0，则f′（0）=-又f（0）=-，则切线方程为y+=-，即ax+by+1=0∵切线与圆x2+y2=1相切，∴=1∴a2+b2=1∵a>0，b>0∴2（a2+b2）≥（a+b）2∴a+b≤∴a+b的最大值是．16．【分析】对任意n∈N*，，可得=，可得：-=-，于是=-=3-．由，a2<1，a3<1，a4>1，可得n≥4时，∈（0，1），即可得出．【解答】解：∵对任意n∈N*，，∴=，可得：-=-，∴=---…-=-=3-．∵a 2==，a 3==，a 4==>1，∴n ≥4时，∈（0，1），∴3-∈（2，3）．∴的整数部分是2．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC 2=12+22-2×1×2×cosD=5-4cosD ，由已知及（Ⅰ）可知，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC 面积的最大值．中，sin (a b =)C ，… sin cos C C +0,π(C ∈又cos sin B B =0,π()B ∈又π4B =．又∵BDC S =△ABDC =四边形4418995%100km/h （Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率，X 可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可． 2\(3,)5B ，又HF AC ∥∴EF ⊥平面（Ⅱ）以则(1,,0),(0,,1),11,(BQ t EQ t AF =-=-=-设平面BQE 的法向量为(,,)n x y z =，则由0n BQ =，且0n EQ =，得，则(,1,)n t t =，∥平面BEQ ，则须(,1,n AF t t =上存在一点1(0,3Q 的法向量为(,n x y =，则由10n AB =，且10n AE =，得，则(1,1,1)n =111553333113339,n n ++<>=21211211(MA MBy y kx k x x ++==+MA ⊥MB ，即MD ⊥ME ．2211121111111|||1||1||22||k MA MB k k k k k +=++-=得22480()1k x k x +-=． 121|4)|)k +．21．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出g （x ）的导数，构造函数u （x ）=xe x-2m ，求出M ，N 的表达式，构造函数h （x ）=xlnx+-（ln2+1）-1，根据函数的单调性证出结论．222m x -．【分析】（）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=-t，又直线l过C（-1，），圆C的半径是2，可得结论．π。

湖南省长沙市重点中学2014届下学期高三年级第七次月考数学试卷（理科） 有答案考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1、若集合{1234}A =，，，，{2478}{1,3,4,5,9}B C ==，，，，，则集合()A B C 等于（ D ） A. {2,4} B. {1,2,3,4} C. {2,4,7,8} D. {1,3,4}2、复数i z +=31，i z -=12，则复数12z z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、若向量(12)=，a ，(3,4)-b =，则()()⋅a b a +b 等于（ ） A.20 B.(10,30)- C.54 D.(8,24)-4、若3tan 4α=，且sin cot 0αα⋅<，则sin α等于（ ） A. 35-B. 35 C. 45-D. 455、已知命题0,:;25sin ,:2>+∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使R ，.01,:25sin ,:2>++∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使01,:;5sin ,:2>++∈∀=∈∃x x R q x R x p 都有命题使R ，.01,;25sin ,2>+∈=∈x R q x R x 都有命题使给出下列结论： ①命题“q p ∧”是真命题 ②命题“q p ⌝∧”是假命题③命题“q p ∨⌝”是真命题 ④命题“q p ⌝∨⌝”是假命题 其中正确的是（ ） A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③6. 分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道. 要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ） A. 34A 种 B. 3133A A 种C. 2343C A 种 D. 113433C C A 种7、设F 1，F 2是椭圆1649422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为 （ ）A ．4B ．24C ．22D ． 6 8、若nxx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ．10 B ．20C ．30D ．1209、数列{}n a 满足2113,1()2n n n a a a a n N ++==-+∈，则122014111m a a a =+++的整数部分是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 10、在平面直角坐标系中，(){}(){}22,1,,4,0,340A x y xy B x y x y x y =+≤=≤≥-≥则()()(){}12121122,,,,,,P x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为（ ） A ．6 B ．6π+C ．12π+D ．18π+二．填空题：共25分。

长沙市一中2007届高三第一次模拟试题理科数学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在各小题所给的四个选项中只有一个符合题目要求）1．已知复数1z =2+i ，2z =3 – i ，其中i 是虚数单位，则复数21z z 的实部与虚部之和为（ ） A ．0B ．12C ．1 D. 22．在一次运动员的选拔中，测得到7名选手身高（单位：cm ）分布的茎叶图如图．已知记录的平均身高为177cm ，但有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 的值为 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．某化工产品的产量受A 、B 、C 三个因素的影响，每个因素有两个水平，分别用A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2表示．分析如右正交试验结果表，得到最佳因素组合（最佳因素组合是指实验结果最大的因素组合）为（ ） A ．(A 1，B 2，C 1)B ．(A 2，B 1，C 2) C ．(A 2，B 1，C 1)D ．(A 2，B 2，C 2)4．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积（单位：cm 3）是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数y = x 2图像下方的点构成的区域．在D 内随机取一点，则该点在E 中的概率为（ ）0 1 0 3 x 8 9 1817A ．15B ．14C ．13D ．126．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开了三个班．选课结束后，有四名选修英语的同学要求改修数学，但数学选修每班至多可再接收两名同学，那么安排好这四名同学的方案有（ ） A ．72种B ．54种C ．36种D ．18种7．已知函数f (x ) = 25,036102,35x xx x x ⎧+≤≤⎪⎨⎪-<≤⎩，若存在实数,[0,5],,m n m n ∈<且使得f (x )在区间[m ，n ]上的值域为[m ，n ]，则这样的实数对（m ，n ）共有（ ） A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 8．已知a 、b 是关于x 的方程2sin cos 04x x πθθ+-=的两根，则过两点A (a 2，a )，B (b 2，b )的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相离C ．相切D ．不能确定二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分；将各小题的最后结果填在题中相应的横在线）9．如果执行的程序框图如右图所示，那么输出的S = .10．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，20,||||,OA AB AC OA AB ++==且则BC BA ⋅= .11．已知直线l 的极坐标方程是sin()13πρθ+=，若直线l 与双曲线2221(0)6x y a a-=>的一条渐近线平行，则实数a = ．12．不等式12x x a -+->对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 . 13．某研究机构为了研究人脚的大小与身高之间的关系，随机抽测了105人，并规定：身高大于175cm 的为“高个”，小于或等于175cm 的为“非高个”；脚长大于42码的为“大脚”，小于或等于42码的为“非大脚”．根据测得结果得到一个2×2列联表．根据该表信息，能够以 的把握认为“脚的大小与身高有关系”．（填百分比）．附：2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n = a + b + c + d ．14．已知函数f (x ) = 2log 3sin(2),x x π-则函数y = f (|x |)的零点个数为 ．15．给定项数为m (m ∈N*，m ≥3)的数列{a n }，其中a i ∈{0，1}(i= 1，2，3，…，m ),这样的数列叫”0-1数列”.若存在一个正整数k (2≤k ≤m – 1)，使得数列{a n }中某连续k 项与该数列中另一个连续k 项恰好按次序对应相等，则称数列{a n }是“k 阶可重复数列”．例如数列{a n }:0，1，1，0，1，1，0，因为a 1，a 2，a 3，a 4与a 4，a 5，a 6，a 7按次序对应相等，所以数列{a n }是“4阶可重复数列”.（1）已知数列{b n }：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0，则该数列 “5阶可重复数列”（填“是”或“不是”）；（2）要使项数为m 的所有”0-1数列”都为 “2阶可重复数列”，则m 的最小值是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.已知向量(8cos ,2),(sin cos ,3),()a b f a b αααα==-=⋅ 设函数．（1）求函数()f α的最大值；（2）在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()6,f A =且△ABC 的面积为3，2+=+b c 求a 的值．17. “上海世博会”将于2010年5月1日至10月31日在上海举行。

长沙市一中2023届高三月考试卷（七）数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}213M x x =+<，{}N x x a =<，若M N N ⋂=，则实数a 的取值范围为（）A.[)1,+∞ B.[)2,+∞ C.(],1-∞ D.(),1-∞2.若实数x ，y 满足(i)(3i)24i x y ++=+，则xy =（）A.1- B.1C.3D.3-3.1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考1.7783≈）（）A.5.4倍B.5.5倍C.5.6倍D.5.7倍4.已知函数()2sin f x x x =+，设1x ，2x R ∈，则()()12f x f x >成立的一个必要不充分条件是（）A.12x x >B.21x x >C.120x x +> D.12x x >5.如图，圆()2221x y M -+=：，点()1,P t -为直线1l x -=：上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为,A B ；若两条切线,PA PB 与y 轴分别交于,S T 两点，则ST 的最小值为（）A.12B.22C.1D.26.某旅游景区有如图所示A 至H 共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（）A.288B.336C.576D.16807.在平面直角坐标系xOy 中，已知过抛物线24y x =焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，以AF ，BF 为直径的圆分别与x 轴交于异于F 的P ，Q 两点，若2PF FQ =，则线段AB 的长为（）A.52B.72C.92D.1328.若正实数a ，b 满足a b >，且ln ln 0a b ⋅>，则下列不等式一定成立的是（）A.log 0a b < B.11a b b a->- C.122ab a b++< D.11b a a b --<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知随机变量X 服从正态分布()0,1N ，定义函数()f x 为X 取值不超过x 的概率，即()()f x P X x =≤.若0x >，则下列说法正确的有（）A.()()1f x f x -=-B.()()22f x f x =C.()f x 在()0,∞+上是增函数D.()()21P X x f x ≤=-10.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数()()*πsin ,,3f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+∈< ⎪⎝⎭N 的图像，而破碎的涌潮的图像近似()f x '（()f x '是函数()f x 的导函数）的图像．已知当2πx =时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（）A.2ω= B.π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.π4f x ⎛⎫'- ⎪⎝⎭是偶函数 D.()f x '在区间π,03⎛⎫-⎪⎝⎭上单调11.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，1B D 与平面1ACD 相交于点E ，P 为1ACD △内一点，且1113PB D ACD S S =△△，设直线PD 与11A C 所成的角为θ，则下列结论正确的是（）A.1B D PE ⊥B.点P 的轨迹是圆C.点P 的轨迹是椭圆D.θ的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎣⎦12.已知数列{}n a 满足1e e 1n n a a n a +⋅=-，且11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（）A.0n a > B.1n n a a +>C.2021202320222a a a +> D.20232S >三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设平面向量a ，b 的夹角为60︒，且2a b == ，则a 在b上的投影向量是______.14.若直线l ：y kx b =+为曲线()e xf x =与曲线()2e ln g x x =⋅的公切线（其中e 为自然对数的底数，e 2.71828≈⋯），则实数b=___________.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若3PD =，π3APD BAD ∠=∠=，则三棱锥P AOD -的外接球的体积为______.16.已知双曲线()222210x y a b a bE -=>>：的左、右焦点分别为()13,0F -，()23,0F 、两条渐近线的夹角正切值为，则双曲线E 的标准方程为______；若直线:30l kx y k --=与双曲线E 的右支交于,A B 两点，设1F AB 的内心为I ，则1F AB 与IAB △的面积的比值的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知6a c +=，()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+.（1）求边b 的大小；（2）求ABC 的面积的最大值.18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12n n S n S n++=，11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 为等比数列，数列{}n c 满足112nn n n n a c a a b +++=⋅⋅，若22b =，10123452b b b b b =，求证：121n c c c ++⋅⋅⋅+<.19.在直角梯形11AA B B 中，11//A B AB ，1AA AB ⊥，11126AB AA A B ===，直角梯形11AA B B 绕直角边1AA 旋转一周得到如下图的圆台1A A ，已知点,P Q 分别在线段1CC ，BC 上，二面角111B AA C --的大小为θ.（1）若120θ=°，123CP CC =，⊥AQ AB ，证明：//PQ 平面11AA B B ；（2）若90θ=︒，点P 为1CC 上的动点，点Q 为BC 的中点，求PQ 与平面11AA C C 所成最大角的正切值，并求此时二面角Q AP C --的余弦值.20.某学校为了弘扬中华传统文化，组织开展中华传统文化活动周，活动周期间举办中华传统文化知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛，每班通过中华传统文化知识竞答活动，择优选拔5人代表班级参加年级比赛.年级比赛分为预赛与决赛二阶段进行，预赛阶段的赛制为：将两组中华传统文化的们答题放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个班级代表队在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个班级代表队先抽取一题作答，答完后试题不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个试题放回原纸箱中.（1）若1班代表队从甲箱中抽取了2个试题，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着2班代表队答题，2班代表队抽取第一题时，从乙箱中抽取试题.已知2班代表队从乙箱中取出的是选择题，求1班代表队从甲箱中取出的是2个选择题的概率；（2）经过预赛，成绩最好的6班代表队和18班代表队进入决赛，决赛采用成语接龙的形式进行，采用五局三胜制，即两班代表队中先胜三局的代表队赢得这场比赛，比赛结束.已知第一局比赛6班代表队获胜的概率为35，18班代表队胜的概率为25，且每一局的胜者在接下来一局获胜的概率为25，每局必分胜负.记比赛结束时比赛局数为随机变量X，求随机变量X的数学期望()E X.21.已知双曲线C ：2213x y -=.（1）若点P 在曲线C 上，点A ，B 分别在双曲线C 的两渐近线1l 、2l 上，且点A 在第一象限，点B 在第四象限，若AP PB λ= ，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB 面积的最大值；（2）设双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过左焦点1F 作直线l 交双曲线的左支于G 、Q 两点，求2GQF △周长的取值范围.22.已知函数()()ln f x x n x =+.（1）若1n =，求函数()()()()12g x f x k x k =-->的零点个数，并说明理由；（2）当0n =时，若方程()f x b =有两个实根12,x x ，且12x x <，求证：213e 2e 123b x x b-+<-<++.长沙市一中2023届高三月考试卷（七）数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}213M x x =+<，{}N x x a =<，若M N N ⋂=，则实数a 的取值范围为（）A.[)1,+∞B.[)2,+∞ C.(],1-∞ D.(),1-∞【答案】C 【解析】【分析】先求出集合M ，根据M N N ⋂=得出N 为M 的子集，结合集合间的关系可得答案.【详解】{}{}2131M x x x x =+<=<，因为M N N ⋂=，所以N 为M 的子集，所以1a ≤.故选：C.2.若实数x ，y 满足(i)(3i)24i x y ++=+，则xy =（）A.1-B.1C.3D.3-【答案】B 【解析】【分析】根据复数的乘法运算和复数相等的定义求解.【详解】(i)(3i)3(3)i 24i x y x y xy ++=-++=+，所以3234x y xy -=⎧⎨+=⎩，则1xy =，故选:B.3.1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考1.7783≈）（）A.5.4倍B.5.5倍C.5.6倍D.5.7倍【答案】C 【解析】【分析】利用幂的运算性质去求解即可解决【详解】设该哺乳动物原体重为1M 、基础代谢率为1F ，则34101F c M =，经过一段时间生长，其体重为110M ，基础代谢率为2F ，则()3420110F c M ⋅=则()33334444201011101010F c M c MF =⋅=⋅⋅=，则3234110 1.7783 5.6F F ≈=≈故选：C4.已知函数()2sin f x x x =+，设1x ，2x R ∈，则()()12f x f x >成立的一个必要不充分条件是（）A.12x x >B.21x x >C.120x x +>D.12x x >【答案】D 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性可知函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，结合()()12f x f x >可得2212x x >，举例说明即可判断选项A 、B ，将选项C 、D 变形即可判断.【详解】函数()f x 的定义域为R ，则函数22()sin )sin =()(f x x x x x f x -=-+=+-，所以函数()f x 是偶函数，当0x >时，2()sin f x x x =+，2()12sin cos (sin cos )0f x x x x x =+'=+≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减.若()()12f x f x >，则12x x >，即2212x x >.A ：若1212x x ==-，，满足12x x >，但(1)(2)(2)f f f <-=，反之也不成立，故选项A 错误；B ：若1245x x ==，，满足21x x >，则(4)(5)f f <，反之，若()()12f x f x >，不一定21x x >，故选项B 错误；C ：由120x x +>可得12x x >-，但不一定有()()12f x f x >，所以充分性不成立，故选项C 错误；D ：由12x x >可得()()12f x f x >，但由()()12f x f x >不一定能推出12x x >，故D 正确.故选：D.5.如图，圆()2221x y M -+=：，点()1,P t -为直线1l x -=：上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为,A B ；若两条切线,PA PB 与y 轴分别交于,S T 两点，则ST 的最小值为（）A.12B.2C.1D.【答案】B 【解析】【分析】利用M 到切线的距离等于1列方程，结合根与系数关系，求得ST 的表达式，进而求得ST 的最小值.【详解】解：由题知，切线的斜率存在，设切线方程为()1y k x t =++，即0kx y k t -++=.设圆心M 到切线的距离为d ，则1d ==，化简得228610k tk t ++-=，则2Δ4320t =+>，设两条切线,PA PB 的斜率分别为,PA PB k k ，则34PA PBk k t +=-，21·8PA PB t k k -=.在切线()1y k x t =++中，令0x =，解得y k t =+，所以()()PA PB PA PBST k t k t k k =+-+=-84===，即84ST =，所以min22ST =，此时0.t =故ST 的最小值为2.故选：B.6.某旅游景区有如图所示A 至H 共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（）A.288B.336C.576D.1680【答案】B 【解析】【分析】根据题意,分2步进行分析,由分步计数原理计算可得答案.【详解】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有43224⨯⨯=种,第二步,排黑车,若白车选AF ,则黑车有,,,,,,BE BG BH CE CH DE DG 共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有2714⨯=种，根据分步计数原理,共有2414336⨯=种,故选：B7.在平面直角坐标系xOy 中，已知过抛物线24y x =焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，以AF ，BF 为直径的圆分别与x 轴交于异于F 的P ，Q 两点，若2PF FQ =，则线段AB 的长为（）A.52B.72C.92D.132【答案】C 【解析】【分析】设2,AF m BF m ==，通过几何分析可求得tan BEAFP AE∠==AB 的方程，联立AB 的方程和抛物线方程即可求弦长AB .【详解】如图，过点,A B 分别作准线=1x -的垂线，垂足为,C D ,过B 作AC 的垂线，垂足为E ，因为AF ，BF 为直径的圆分别与x 轴交于异于F 的P ，Q 两点，所以90APF BQF ∠=∠= ,且AFP BFQ ∠=∠,所以QFB △与PFA 相似，且相似比为:1:2FQ PF =，所以2AFBF=,设2,AF m BF m ==，所以CE BD BF m ===，则AE m =，所以BE ==，tan BE AEBAE ∠==tan BEAFP AE∠==,所以直线AB 的斜率为，所以AB 的方程为1)y x =-，联立21)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩可得22520x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有1252x x +=，所以1292AB x x p =++=，故选:C.8.若正实数a ，b 满足a b >，且ln ln 0a b ⋅>，则下列不等式一定成立的是（）A.log 0a b <B.11a b b a->- C.122ab a b++< D.11b a a b --<【答案】D 【解析】【分析】根据函数单调性及ln ln 0a b ⋅>得到1a b >>或01b a <<<，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A 选项可以用对数函数单调性得到，B 选项可以用作差法，C 选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D 选项，需要构造函数进行求解.【详解】因为0a b >>，ln y x =为单调递增函数，故ln ln a b >，由于ln ln 0a b ⋅>，故ln ln 0a b >>，或ln ln 0b a <<，当ln ln 0a b >>时，1a b >>，此时log 0a b >；()11110a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫---=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11a b b a ->-；()()()1110ab a b a b +-+=-->，122ab a b ++>；当ln ln 0b a <<时，01b a <<<，此时log 0a b >，()11110a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫---=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11b aa b -<-；()()()1110ab a b a b +-+=-->，122ab a b ++>；故ABC 均错误；D 选项，11b a a b --<，两边取自然对数，()()1ln 1ln b a a b -<-，因为不管1a b >>，还是01b a <<<，均有()()110a b -->，所以ln ln 11a b a b <--，故只需证ln ln 11a ba b <--即可，设()ln 1xf x x =-（0x >且1x ≠），则()()211ln 1x x f x x --'=-，令()11ln g x x x =--（0x >且1x ≠），则()22111x g x x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，所以()()10g x g <=，所以()0f x '<在0x >且1x ≠上恒成立，故()ln 1xf x x =-（0x >且1x ≠）单调递减，因为a b >，所以ln ln 11a ba b <--，结论得证，D 正确故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知随机变量X 服从正态分布()0,1N ，定义函数()f x 为X 取值不超过x 的概率，即()()f x P X x =≤.若0x >，则下列说法正确的有（）A.()()1f x f x -=- B.()()22f x f x =C.()f x 在()0,∞+上是增函数D.()()21P X x f x ≤=-【答案】ACD 【解析】【分析】根据正态分布的性质和()()f x P X x =≤逐个分析判断即可.【详解】对于A ，因为随机变量X 服从正态分布()0,1N ，()()f x P X x =≤，所以()()1()f x P X x f x -=>=-，所以A 正确，对于B ，因为()2(2)f x P X x =≤，()22()f x P X x =≤，所以B 错误，对于C ，因为随机变量X 服从正态分布()0,1N ，()()f x P X x =≤，所以当0x >时，随x 的增大，()P X x ≤的值在增大，所以()f x 在()0,∞+上是增函数，所以C 正确，对于D ，因为()()1f x f x -=-，所以()()()[]12121()2()1P X x P x X x f x f x f x ≤=-≤≤=--=--=-，所以D 正确，故选：ACD10.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数()()*πsin ,,3f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+∈< ⎪⎝⎭N 的图像，而破碎的涌潮的图像近似()f x '（()f x '是函数()f x 的导函数）的图像．已知当2πx =时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（）A.2ω= B.π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.π4f x ⎛⎫'- ⎪⎝⎭是偶函数 D.()f x '在区间π,03⎛⎫-⎪⎝⎭上单调【答案】BC 【解析】【分析】由()f x ，求得()f x '，由题意得()(2ππ)2f f '=，由*N ω∈，π3ϕ<，解出,ϕω，由破碎的涌潮的波谷为-4，解得A ，得到()f x 和()f x '解析式，逐个判断选项.【详解】()()sin f x A x =+ωϕ，则()()cos f x A x ωωϕ'=+，由题意得()(2ππ)2f f '=，即sin cos A A ϕωϕ=，故tan ϕω=，因为*N ω∈，π3ϕ<，所以tan ϕω=<，所以π,14ϕω==，则选项A 错误；因为破碎的涌潮的波谷为4-，所以()f x '的最小值为4-，即4A ω-=-，得4A =，所以()π4sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则πππππππ14sin 4sin cos cos sin 433434342222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选项B 正确；因为()π4sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π4cos 4f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，所以π4cos 4f x x ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭为偶函数，则选项C正确；()π4cos 4f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，由π03x -<<，得πππ1244x -<+<，因为函数4cos y x =在π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x '在区间π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，则选项D 错误.故选：BC11.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，1B D 与平面1ACD 相交于点E ，P 为1ACD △内一点，且1113PB D ACD S S =△△，设直线PD 与11A C 所成的角为θ，则下列结论正确的是（）A.1B D PE ⊥B.点P 的轨迹是圆C.点P 的轨迹是椭圆D.θ的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意可得结合线面垂直的判定定理和性质定理可证得1B D ⊥平面1ACD ，分析可得点E 即为1ACD △的中心，结合1113PB D ACD S S =△△可得13PE a =，从而可得点P 的轨迹是以E 为圆心，半径为13a 的圆，转化为PD 是以底面半径为13a ，高为33a 的圆锥的母线，分析求得θ的范围即可得出结果.【详解】如图所示，1B D 与平面1ACD 相交于点E ，连接BD 交AC 于点O ，连接11B D ；由题意可知1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1BB AC ⊥；又因为AC BD ⊥，11,BB BD B BB BD ⋂=⊂，平面11BDD B ，所以AC ⊥平面11BDD B ，又1B D ⊂平面11BDD B ，所以1AC B D ⊥；同理可证11AD B D ⊥，又1AD AC A = ，1,AD AC ⊂平面1ACD ，所以1B D ⊥平面1ACD ；又因为111111AC AD CD AB B D B C =====，由正三棱锥性质可得点E 即为1ACD △的中心，连接1OD ；因为O 为AC 的中点，1OD 交1B D 于点E ，连接PE ，由1B D ⊥平面1ACD ，PE ⊂平面1ACD ，则1B D PE ⊥，所以选项A 正确；即PE 为1PB D 的高，设PE d =，由正方体棱长为a 可知，1,B D AC ==，且1ACD △的内切圆半径66r OE a ==；所以112111,22222PB D ACD S PE ad S B D a ⋅===⨯=V V ；又1113PB D ACD S S =△△，即可得13d a r =<，所以点P 的轨迹是以E 为圆心，半径为13a 的圆，所以B 正确，C 错误；由1B D ⊥平面1ACD ，1OD ⊂平面1ACD ，则11B D OD ⊥，所以33DE a ==，因此PD 是以底面半径为13a ，高为3a 的圆锥的母线，如图所示:设圆锥母线与底面所成的角为α，则33tan 13a a α==，所以π3α=；即直线PD 与平面1ACD 所成的角为π3，又因为异面直线所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，直线AC 在平面1ACD 内，所以直线PD 与AC 所成的角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为11//AC A C ，所以直线PD 与11A C 所成的角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎣⎦，即ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎣⎦；即D 正确；故选：ABD【点睛】关键点点睛：（1）通过比较PE 与1ACD △的内切圆半径的大小，得出动点P 的轨迹；（2）将直线PD 与11A C 所成的角的最小值转化为圆锥母线与底面所成的角.12.已知数列{}n a 满足1e e 1n n a a n a +⋅=-，且11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（）A.0n a > B.1n n a a +>C.2021202320222a a a +> D.20232S >【答案】ACD 【解析】【分析】对于选项A ，B 证明数列{}n a 为单调递减数列即得解；对于选项C ，证明随着n a 减小，从而1n n a a +-增大，即得解；对于选项D ，证明112+>n n a a ，即得解.【详解】解：对于选项A 、B ，因为11a =，0n a ∴≠，所以11n n a a ne e a +-=，设()e 1e xxg x x =--，g ()e e e e x x x xx x x ∴='=---当0x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0x <时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()(0)0g x g <=，则e e 1x x x >-，所以ee 1nn a a n a >-，当0n a >时，1e 1e e n nn a a a na +->=，1n n a a +∴>，当0n a <时，1e 1e e n nn a a a na +-<=，1n n a a +∴<，因为11a =，所以这种情况不存在，则数列{}n a 满足当0n a >时，1n n a a +>，为单调递减数列，故A 选项正确，B 选项错误；对于选项C ，()1ln 1ln ena n n n na a a a +-=---令,(0,1]n x a x =∈，设()()ln 1ln ,(0,]e 1xf x x x x =---∈则e 111()10e 1e 1x x x f x x x'=--=-<--，所以函数()f x 单调递减，所以随着n a 减小，从而1n n a a +-增大，所以2023202220222021->-a a a a ，即2021202320222a a a +>，所以C 选项正确，对于选项D ，由前面得101n n a a +<≤<，下面证明112+>n n a a ，只需证明112e 1ln 11e 111ln e 2e 22n n n n a a a a n n n nn n na a a a a a a +--->⇔>⇔>⇔>，令e na b =，则1e b <≤，所以1112221ln 0ln b b b b b b-->⇔-->，令1122()ln ,(1,e]m b b bb b -=--∈，则1()202m b b ⎫'=>⎪⎭，m()m(1)0b ∴>=成立，则112+>n n a a 所以2023122212202120211112222S a a a a a a ⎛⎫>++++=+- ⎪⎝⎭ ()()2021112ln e 1ln e 122=+--->所以D 选项正确；故选：ACD.【点睛】易错点睛：本题主要考查函数、不等式与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：（1）数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；（2）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（3）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设平面向量a ，b 的夹角为60︒，且2a b == ，则a 在b上的投影向量是______.【答案】12b【解析】【分析】根据题意，求得cos 601a =，进而求得a 在b 上的投影向量，得到答案.【详解】由题意知，平面向量a ，b的夹角为60︒，且2a b == ，则cos 601a =，所以则a 在b 上的投影向量为112b b b ⨯=.故答案为：12b14.若直线l ：y kx b =+为曲线()e xf x =与曲线()2e ln g x x =⋅的公切线（其中e 为自然对数的底数，e 2.71828≈⋯），则实数b=___________.【答案】0或2e -##2e -或0【解析】【分析】设切点坐标，求导，根据切线方程的求解，分别得到()f x ，()g x 的切线方程，由两条切线方程相同可联立方程即可求出切点横坐标，进而可求解.【详解】根据切线方程的求解，联立方程即可解得切点，进而可求b .设l 与()f x 的切点为()11,x y ，则由()e x f x '=，有()111:e 1e x xl y x x =+-.同理，设l 与()g x 的切点为()22,x y ，由()2e g x x '=，有()2222e :e ln 1l y x x x =+-.故()()1122212e e 1e e ln 1,x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩②由①式两边同时取对数得：12212ln ln 1=1x x x x =-⇒--③，将③代入②中可得：()()121e 01e x x --=，进而解得121,e x x =⎧⎨=⎩或122,1x x =⎧⎨=⎩.则:e l y x =或22e e .y x =-故0b =或2e -.故答案为：0或2e -15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若3PD =，π3APD BAD ∠=∠=，则三棱锥P AOD -的外接球的体积为______.【答案】36π【解析】【分析】根据棱锥的性质，证明PA 的中点就是三棱锥P AOD -的外接球球心，得出半径后可求体积．【详解】取PA 中点M ，DA 中点E ，连接,ME EO ，则//ME PD ，因为PD⊥底面ABCD ，所以ME ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 是菱形，则AO OD ⊥，所以E 是AOD △的外心，又PD⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，所以M 到,,,P A D O 四点距离相等，即为三棱锥P AOD -的外接球球心．又3PD =，π3APD ∠=，所以36πcos 3PA ==，所以3MA MP ==，所以三棱锥P AOD -的外接球体积为34π336π3V =⨯=．故答案为：36π．16.已知双曲线()222210x y a b a bE -=>>：的左、右焦点分别为()13,0F -，()23,0F 、两条渐近线的夹角正切值为，则双曲线E 的标准方程为______；若直线:30l kx y k --=与双曲线E 的右支交于,A B 两点，设1F AB 的内心为I ，则1F AB 与IAB △的面积的比值的取值范围是______.【答案】①.22163x y -=②.()2,6【解析】【分析】设双曲线E 的一条渐近线b y x a =的倾斜角为π,0,2θθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，进而结合题意得2tan 2b a θ==，进而结合2223,c b a c =+=即可求得双曲线方程，再根据三角形内切圆的性质得2F 为1F AB 的内切圆与边AB 的切点，进而将问题转化为12IA F AB BS ABS += △，最后联立方程，求解弦长AB 的范围即可得答案.【详解】解：设双曲线E 的一条渐近线b y x a =的倾斜角为π,0,2θθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由0a b >>得10b a >>，π20,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，22tan tan 21tan θθθ==-，解得tan 2θ=或tan θ=所以，22b a =，即a =，因为2223,c b a c =+=，所以223,6b a ==，即双曲线E 的标准方程为22163x y -=；由:30l kx y k --=得():3l y k x =-，故直线l 过点()23,0F ，所以，如图，设1F AB 的内切圆与11,,AF BF AB 分别切于D C E ,,点，则11,,AD AE BC BE F C F D ===，1111,AD F D AF BC F C BF +=+=，由双曲线的定义得1212AF AF BF BF -=-=所以1122AF BF AF BF AD BC AE BE -=-=-=-，即22AF BF AE BE -=-，所以，点2,E F 重合，即2F 为1F AB 的内切圆与边AB 的切点，所以，2IF 为1F AB 的内切圆半径，因为()121112F AB S IF AF BF AB =⋅++ ，212IAB S IF AB =⋅△所以1112IABF AB S BAF BF ABS ABA +==++=△，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程()223163y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得()222212121860k x k x k -+--=，所以，()()()42221444121862410k kkk ∆=----=+>且2120-≠k ，即22≠±k ，22121222121860,02121k k x x x x k k ++=>=>--，即2210k ->所以()222132136222121k AB k k ⨯-+====+>--，所以，()14622,6I B ABF A S S AB=+∈ △故1F AB 与IAB△的面积的比值的取值范围是()2,6.故答案为：22163x y -=；()2,6.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合内切圆的性质得到2F 为1F AB 的内切圆与边AB 的切点，进而根据面积公式求解即可.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知6a c +=，()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+.（1）求边b 的大小；（2）求ABC 的面积的最大值.【答案】（1）2b =；（2）.【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换化简得3sin sin sin B A C =+，再利用正弦定理化简即得解；（2）先利用基本不等式求出9ac ≤，再利用余弦定理求出cos B 得到sin B ，即得解.【小问1详解】()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+ ，则3sin sin sin cos cos sin sin sin()B A A B A B A A B =++=++，A +B +C =π，∴3sin sin sin B A C =+，∴由正弦定理可得36b a c =+=，∴2b =.【小问2详解】6a c +=，6a c ∴=+≥9ac ≤（当且仅当3a c ==时等号成立），2222()2416cos 22a c b a c ac acB ac ac ac +-+---∴===，可得sin B ===，11sin 22S ac B ac ∴==⨯=≤=3a c ==时等号成立）.∴ABC的面积的最大值为.18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12n n S n S n++=，11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 为等比数列，数列{}n c 满足112nn n n n a c a a b +++=⋅⋅，若22b =，10123452b b b b b =，求证：121n c c c ++⋅⋅⋅+<.【答案】（1）n a n =，n *∈N （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先由累乘法求得n S ，再根据n a 与n S 的关系即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）先由条件求得数列{}n b 的通项公式，即可得到n c ，然后根据裂项相消法即可证明.【小问1详解】因为12n n S n S n ++=，则3124123213451,,,,,12321n n n n S S S S S n n S S S S n S n ---+=====-- ，累乘可得，()113451123212n n n S n n S n n ++=⨯⨯⨯⨯⨯=-- ，2n ≥所以()1,22n n n S n +=≥，又111S a ==符合式子，所以()1,2n n n S n *+=∈N ，当2n ≥时，()()2211122n n n n n S--+--==，所以两式相减可得1n n n a S S n -=-=，2n ≥，又11a =符合上式，所以n a n =，n *∈N 【小问2详解】因为数列{}n b 为等比数列，22b =，且10123452b b b b b =，设数列{}n b 的公比为q ，则()51022b q =，即()51022q =，所以2q =，则12n n b -=所以()()121112212n n n nn c n n n n -+==-+⋅⋅+⋅，即()1211111111144121232212n n n c c c n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()11112nn =-<+⋅19.在直角梯形11AA B B 中，11//A B AB ，1AA AB ⊥，11126AB AA A B ===，直角梯形11AA B B 绕直角边1AA 旋转一周得到如下图的圆台1A A ，已知点,P Q 分别在线段1CC ，BC 上，二面角111B AA C --的大小为θ.（1）若120θ=°，123CP CC = ，⊥AQ AB ，证明：//PQ 平面11AA B B ；（2）若90θ=︒，点P 为1CC 上的动点，点Q 为BC 的中点，求PQ 与平面11AA C C 所成最大角的正切值，并求此时二面角Q AP C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）PQ 与平面11AA C C 所成最大角的正切值为2，此时二面角Q AP C --的余弦值为28989【解析】【分析】（1）由已知可建立以A 为原点，1,,AB AQ AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算，即可证明线面平行；（2）根据已知可建立以A 为原点，1,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设[]10,1CP CC λλ=∈，，根据线面关系求得PQ 与平面11AA C C 所成最大角的正切值，即得λ的值，利用空间向量坐标运算即可求得此时二面角Q AP C --的余弦值.【小问1详解】因为1AA AB ⊥，所以1AA AC ⊥，所以111120BAC B A C θ∠=∠==︒，又,,AB AC A AB AC =⊂ 平面ABC ，所以1AA ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以1AA AQ ⊥，又⊥AQ AB ，如图，以A 为原点，1,,AB AQ AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由于11126AB AA A B ===，所以AQ =，则()()130,,,,,622Q C C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，又123CP CC = ，所以()()233,,,61,4322P P P x y z ⎛⎫+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，则()2,4P -，所以()2,0,4PQ =-- ，又y ⊥轴平面11AA B B ，故()0,1,0n =可为平面11AA B B 的一个法向量，又0000PQ n ⋅=++=，且PQ ⊄平面11AA B B ，所以//PQ 平面11AA B B ；【小问2详解】因为1AA AB ⊥，所以1AA AC ⊥，所以11190BAC B A C θ∠=∠==︒，如图，以A 为原点，1,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()()()()16,0,0,0,6,0,0,3,6,3,3,0B C C Q ，设[]10,1CP CC λλ=∈ ，，则()()0,3,60,3,6CP λλλ=-=-，则()()()3,3,00,3,63,33,6PQ CQ CP λλλλ=-=---=-+- ，又x ⊥轴平面11AA C C ，所以()1,0,0m = 可作为平面11AA C C 的一个法向量，设PQ 与平面11AA C C 所成角为α，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos ,PQ m PQ m PQ mα⋅===⋅，又函数sin y α=与tan y α=均在π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当15λ=时，sin α=有最大值为53，此时tan α也取到最大值，又2cos 3α==，则()max 5tan 2α=；设此时平面APQ 的法向量为(),,p x y z =，又()()1262763,3,0,3,3,03,,0,,5555AQ AP AQ PQ ⎛⎫⎛⎫==-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以3300276200559x y x y AQ p y z y z AP p +==-⎧⎧⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+==-⋅=⎪⎪⎪⎩⎩⎩，令9z =，则()2,2,9p =- ，()1,0,0m =是平面APC 的一个法向量，所以289cos ,89m pm p m p ⋅===⋅，由图可知二面角Q AP C --为锐角，即二面角Q AP C --的余弦值为28989.所以PQ 与平面11AA C C 所成最大角的正切值为52，此时二面角Q AP C --的余弦值为28989.20.某学校为了弘扬中华传统文化，组织开展中华传统文化活动周，活动周期间举办中华传统文化知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛，每班通过中华传统文化知识竞答活动，择优选拔5人代表班级参加年级比赛.年级比赛分为预赛与决赛二阶段进行，预赛阶段的赛制为：将两组中华传统文化的们答题放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个班级代表队在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个班级代表队先抽取一题作答，答完后试题不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个试题放回原纸箱中.（1）若1班代表队从甲箱中抽取了2个试题，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着2班代表队答题，2班代表队抽取第一题时，从乙箱中抽取试题.已知2班代表队从乙箱中取出的是选择题，求1班代表队从甲箱中取出的是2个选择题的概率；（2）经过预赛，成绩最好的6班代表队和18班代表队进入决赛，决赛采用成语接龙的形式进行，采用五局三胜制，即两班代表队中先胜三局的代表队赢得这场比赛，比赛结束.已知第一局比赛6班代表队获胜的概率为35，18班代表队胜的概率为25，且每一局的胜者在接下来一局获胜的概率为25，每局必分胜负.记比赛结束时比赛局数为随机变量X ，求随机变量X 的数学期望()E X .【答案】（1）2049（2）()537125E X =.【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式、全概率公式可得2班代表队从乙箱中取出1个选择题的概率，然后根据条件概率公式计算即可；（2）由题意知：X 的可能取值为3，4，5，分别计算对应的概率，利用数学期望的公式计算()E X .【小问1详解】设事件A 为“2班代表队从乙箱中取出1个选择题”，事件1B 为“1班代表队从甲箱中取出2个都是选择题”，事件2B 为“1班代表队从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件3B 为“I 班代表队从甲箱中取出2个题都是填空题”则1B 、2B 、3B 彼此互斥，且123=B B B Ω ，因为25128C 5()C 14P B ==，1153822C C 15()C 28P B ==，22338C 3()C 28P B ==所以16(|)9P A B =，25(|)9P A B =，34(|)9P A B =，()()()()()()()1122335615534714928928912P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=⨯+⨯+⨯=，所求概率即是A 发生的条件下1B 发生的概率：111156()()(|)20149(|)7()()4912P B A P B P A B P B A P A P A ⨯====.【小问2详解】由题意知：X 的可能取值为3、4、5，两班代表队打完三局恰好结束比赛的基本事件有{三局6班胜}，{三局18班胜}，而第一局比赛6班获胜的概率为35，则第一局比赛18班获胜的概率为25，又胜者在接下来一局获胜的概率为25，所以3222221284(3)55555512512525P X ==⨯⨯+⨯⨯=+=，当4X =时，前三局{两局6班胜，一局18班胜，最后6班胜}，{两局18班胜，一局6班胜，最后18班胜}，最后6班胜概率为1232233323233132++555555555555625P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，最后18班胜概率为2332223322233108++555555555555625P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，所以13210848(4)625625125P X ==+=，则有57(5)1(4)(3)=125P X P X P X ==-=-=，综上，44857537()34525125125125E X =⨯+⨯+⨯=.21.已知双曲线C ：2213x y -=.（1）若点P 在曲线C 上，点A ，B 分别在双曲线C 的两渐近线1l 、2l 上，且点A 在第一象限，点B 在第四象限，若AP PB λ=，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB 面积的最大值；。