2017-2018年山西省运城市康杰中学高二(上)期中数学试卷及参考答案(文科)

山西省康杰中学2017届高三高考全真模拟考试数学（文科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．设集合{}{}{}1,0,1,2,3,4,5,1,23,1,0,1,2U A B =-==-，，则()U A B = ðA ．{}1,2,3B ．{}1,2C ．{}3D ．{}2 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足()z i z i =-，则复数z 所对应的点Z 在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 3．在区间[]1,3-上随机取一个数,x 若x 满足m x ≤的概率为21，则实数m 为A ． 0B ．1C ．2D ．34．在等差数列{}n a 中，已知43265,a a a a =是和的等比中项，则数列{}n a 的前5项的和为 A.15B.20C.25D.1525或5． 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()+2f x f x =对x R ∈恒成立，当[]0,1x ∈时，()2x f x =，则92f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.12B. C.2D. 16.过抛物线24y x =的焦点F 且斜率为,A B 两点(A B x x >)，则AF BF=A.32 B. 34C. 3D.27. 将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 A ．223 B ．203 C ．163D ．68．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如上图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中n 表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为 (1.732,sin150.2588,sin 7.50.1305≈≈≈ ) A ．2.598，3，3.1048B. 2.598，3， 3.1056C. 2.578，3，3.1069D.2.588，3，3.11089．关于函数()[]()22cos0,2xf x x x π=+∈下列结论正确的是 A.有最大值3，最小值1- B. 有最大值2，最小值2- C.有最大值3，最小值0 D. 有最大值2，最小值010．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，，∠ABC=90°，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为 A ．2π B. 4πC. 8πD. 16π11．点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支上一点，其左，右焦点分别为12,F F ，直线1PF 与以原点O 为圆心,a 为半径的圆相切于A 点，线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，则离心率的值为A ．32 B ．43C ．53 D ． 5412． 设函数()f x '是定义在(0,)π上的函数()f x 的导函数，有()sin f x x －()cos 0f x x '<，1()23a f π=，0b =，5()6c f π=，则 A ．a b c << B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<俯视图侧视图第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分13．已知菱形ABCD 的边长为2，=60ABC ∠，点E 满足1=2BE BC ，则AE AD =．14．若x ，y R ∈，且满足1,230,,x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则23z x y =+的最大值等于 ．15．下列命题中，正确的命题序号是 ．① 已知a R ∈，两直线1:1,l ax y += 2:2l x ay a +=，则“1a =-”是“12//l l ”的充分条件；② 命题:p “0x ∀≥，22x x >”的否定是“00x ∃≥，0202xx <”；③“1sin 2α=”是“2,6k k Z παπ=+∈”的必要条件； ④ 已知0,0a b >>，则“1ab >”的充要条件是“1a b >” ．16．已知数列{}n a 满足12a =，且31122(2)234n n aa a a a n n-+++⋅⋅⋅+=-≥，则{}n a 的通项公式为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cosC c 2b a -=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若c =B的平分线BD =，求a ．18．（本小题满分12分）某单位N 名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[)25,30，第2组[)30,35，第3组[)35,40，第4组[)40,45，第5组[)45,50，得到的频率分布直方图如图所示．BCAD（Ⅰ）求正整数,,a b N 的值；（Ⅱ）现要从年龄低于40岁的员工用分层抽样的方法抽取42人，则年龄在第1,2,3组得员工人数分别是多少？ （Ⅲ）为了估计该单位员工的阅读倾向，现对该单位所有员工中按性别比例抽查的40人是否喜欢阅读国学类书籍进行了调查，调查结果如下所示：（单位：人）根据表中数据，我们能否有99%的把握认为该位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.0.01019．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的边长为12，60BAD ∠=，AC 交BD 于点O ．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -，点,M N 分别是棱,BC AD 的中点，且DM =（Ⅰ）求证：OD ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求三棱锥M ABN -的体积.20．（本小题满分12分）已知点,A B 分别为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左，右顶点，点()0,2P -，直线BP 交E 于点Q ，32PQ QB =且ABP ∆是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过点P 的动直线l 与E 相交于,M N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数3()()x f x a bx e =-，ln ()xg x x=，且函数()f x 的图象在点(1,)e 处的切线与直线210ex y +-=平行． （Ⅰ）求,a b ；（Ⅱ）求证：当(0,1)x ∈时，()()2f x g x ->．请考生在第22, 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请在答题卡涂上题号.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，点P 在直线l ：40x y +-=上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （Ⅰ）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2OP OR OQ =⋅，求Q 点轨迹的极坐标方程．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 （Ⅰ）解不等式: 211x x --<；（Ⅱ）设2()1f x x x =-+，实数a 满足1x a -<，求证：()()2(1)f x f a a -<+．数学(文科)参考答案一、选择题（每题5分，共60分）二、填空题（每题5分，共20分）13．0 14．15 15. ①③④ 16．1n a n =+三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分） 【解析】：（Ⅰ）2a cos C －c ＝2b ，由正弦定理得 2sin A cos C －sin C ＝2sin B ， …2分2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C ) ＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ，∴－sin C ＝2cos A sinC ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝－ 12，而A ∈(0, π)，∴A ＝2π3. …………………………………………6分（Ⅱ）在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BDsin A∴ sin ∠ADB ＝AB sin A BD＝ 22， ……………………………………8分∴ ∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，AC ＝AB ＝ 2由余弦定理，a =BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ∙AC cos A ＝ 6. …………………12分18．（本小题满分12分） 【解析】：（Ⅰ）总人数：28002.0528=⨯=N ，,28=a第3组的频率是：4.0)02.006.002.002.0(51=+++⨯-所以1124.0280=⨯=b …………………………………………………4分（Ⅱ）因为年龄低于40岁的员工在第1，2，3组，共有1681122828=++（人）， 利用分层抽样在168人中抽取42人，每组抽取的人数分别为：第1组抽取的人数为71684228=⨯（人）， 第2组抽取的人数为71684228=⨯（人）， 第3组抽取的人数为2816842112=⨯（人）， 所以第1，2，3组分别抽7人、7人、28人.………………………………8分（Ⅲ）假设0H ：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”，根据表中数据，求得2K 的观测值240(141448) 6.8605 6.63522182218k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 查表得2( 6.635)0.01P K ≥=，从而能有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系…………………………12分 19．（本小题满分12分）【解析】：（Ⅰ）证明：ABCD 是菱形，∴AD DC =，OD AC ⊥在ADC ∆中，12,120AD DC ADC ==∠=， ∴6OD = 又M 是BC 中点，∴16,2OM AB MD === 222OD OM MD += ， ∴DO OM ⊥ ,OM AC ⊂面ABC ，,OM AC O =∴OD ⊥面ABC . ………………6分（Ⅱ）解：取线段AO 的中点E ，连接NE.∵N 是棱AD 的中点，∴//12NE DO =. ∵由（Ⅰ）得OD ⊥面ABC ,∴NE ⊥面ABC 在ABM ∆中，12,6,120AB BM ABM ==∠=1sin 2ABM S AB BM ABM ∆∴=⋅⋅⋅∠11262=⋅⋅=∴11112223M ABN M ABD D ABM ABM V V V S OD ---==== ……………12分20．（本小题满分12分）【解析】：（Ⅰ）由题意知ABP ∆是等腰直角三角形，2,(2,0)a B =，设00(,)Q x y ，由32PQ QB = ，则0064,55x y ==-，代入椭圆方程，解得21b =，∴椭圆方程为2214x y +=.……………5分（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在，方程为2y kx =-，设1122(,),(,)M x y N x y ，则22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22(14)16120k x kx +-+=， 由韦达定理可知：1221614k x x k +=+，1221214x x k =+，……………8分 由直线l 与E 有两个不同的交点，则△＞0， 即22(16)412(14)0k k --⨯⨯+>解得：234k >，………① ……………9分由坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，则0OM ON >，即12120x x y y +>，则12121212(2)(2)x x y y x x kx kx +=+--21212222(1)2()41216(1)240,1414k x x k x x kk k k k =+-++=+-⨯+>++ 解得：24k < ，…………………………………② ……………11分 综合①②可知：34＜24k <2k <或2k -<<， 直线l 斜率的取值范围（﹣2，﹣2）∪（2，2）．……………12分21.（本小题满分12分）【解析】：(Ⅰ)因为 (1)f e =，故(),a b e e -=故1a b -=……………………① 依题意，(1)2f e '=-；又23()(32)x f x x x e '=--+,故42a b -=-…………② 联立①②解得2,1a b == ………………………………………………5分 （Ⅱ）证明：要证()()2f x g x ->，即证3ln 22xx xe e x x->+……………6分 令3()2x x h x e e x =-∴322()(32)(1)(22)x x h x e x x e x x x '=--+=-++- 故当(0,1)x ∈时，0,10;x e x -<+>令2()22p x x x =+-，因为()p x 的对称轴为-1x =，且(0)(1)0p p ⋅< 故存在0(0,1)x ∈，使得0()0p x =故当0(0,)x x ∈时，2()220p x x x =+-<，故2()(1)(22)0xh x e x x x '=-++->，即()h x 在0(0,)x 上单调递增当0(,1)x x ∈时，2()220p x x x =+->，故2()(1)(22)0xh x e x x x '=-++-< 即()h x 在0(,1)x 上单调递减又因为(0)2,(1)h h e ==故当(0,1)x ∈时，()(0)2h x h >=………………10分又当(0,1)x ∈时，ln ln 0,22x xx x <∴+<………………11分 所以3ln 22x x x e e x x->+，即()()2f x g x ->………………12分22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 【解析】：（Ⅰ）圆C 的极坐标方程2ρ=，直线l 的极坐标方程4sin cos ρθθ=+ ………………5分(Ⅱ)设,,P Q R 的极坐标分别为12(,),(,),(,)ρθρθρθ，因为124,2sin cos ρρθθ==+又因为2OP OR OQ =⋅，即212ρρρ=⋅2122161(sin cos )2ρρρθθ∴==⨯+， 81sin 2ρθ∴=+ ………………10分23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 【解析】： (Ⅰ)当0x <时，原不等式可化为20x x -+<，解得0x >，所以x 不存在；当102x ≤<时，原不等式可化为20x x --<，解得0x >，所以102x <<； 当12x ≤时，原不等式可化为211x x --<，解得2x <，所以122x ≤< 综上，原不等式的解集为{}02x x <<<.………………5分 (Ⅱ)因为22()()1f x f a x x a a x a x a -<--+=-⋅+- 12121x a x a a x a a <+-=-+-≤-+- 1212(1)a a <++=+所以()()2(1)f x f a a -<+………………10分。

康杰中学2017—2018学年度第二学期期中考试高二数学（文）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知为虚数单位，复数，则复数的虚部为A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，所以复数的虚部为．选B．2. 某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅.”结论显然是错的，是因为A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误【答案】C【解析】试题分析：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，分析的其大前提，以及小前提，不难得到结论．解：∵大前提的形式：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但是不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比．∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选：C．点评：本题考查演绎推理，主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．3. 两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是A. 48，49B. 62，63C. 75，76D. 84，85【答案】D【解析】由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数，和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D符合条件．故选D4. 用反证法证明某命题时，对结论“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为A.中至少有两个偶数或都是奇数 B. 都是奇数C.中至少有两个偶数 D. 都是偶数【答案】A【解析】用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数中恰有一个偶数”的否定为：“”中“个、个、个偶数”即中至少有两个偶数或都是奇数，故选C.5. 已知的取值如下表：与线性相关，且线性回归直线方程为，则=A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，∴样本中心为．又回归直线过点，∴，解得．选B．6. 如图是选修1－2第二章“推理与证明”的知识结构图(部分)，如果要加入知识点“分析法”，则应该放在图A. “①”处B. “②”处C. “③”处D. “④”处【答案】C【解析】试题分析：首先对所画结构的每一部分有一个深刻的理解，从头到尾抓住主要脉络进行分解．然后将每一部分进行归纳与提炼，形成一个个知识点并逐一写在矩形框内，最后按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连，分析法是直接证明的一种方法，从而可得结论．解：分析法是直接证明的一种方法故“分析法”，则应该放在“直接证明”的下位．故选C．点评：本题主要考查了结构图，解题关键是弄清分析法属于直接证明，属于基础题．7. 通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：经计算的观测值. 参照附表，得到的正确结论是附表：A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】A【解析】由列联表中的数据可得，故有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．选A．8. 下列参数方程中与方程表示同一曲线的是A. (为参数)B. (为参数)C. (为参数)D. (为参数)【答案】D【解析】选项A中，消去方程(为参数)中的参数可得，不合题意．选项B中，消去方程(为参数)中的参数可得，但，故与方程不表示同一曲线，不合题意．选项C中，消去方程(为参数)中的参数可得，但，故与方程不表示同一曲线，不合题意．选项D中，由于，故消去参数后得，且，故与方程表示同一曲线，符合题意．综上选D．9. 给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）①“若，则”类比推出“若, 则”；②“若，则”类比推出“若，则”；③“若，则复数”类比推出“若，则”；④“若，则”类比推出“若是非零向量，则”.其中类比结论正确的个数是A. B. C. D.【答案】B【解析】对于①，由复数知识可得类比正确．对于②，由于当两个复数不都为实数时，不能比较大小，故类比不正确，即②不正确．对于③，由可得，从而可得，所以类比正确，即③正确．对于④，由于表示与向量共线的向量，而表示与共线的向量，所以不一定正确，即类比不成立．综上可得①③正确．选B．10. 已知，，若复数满足，则的最大值为A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，∴，∴，解得．∴，∴复数表示的点在以为圆心，半径为的圆上，∴的最大值为．选C．点睛：（1）在复数中，只要把与向量对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．（2）解题中注意的几何意义是点z对应的点在以为圆心，半径为的圆上，故的最大值，即复数z对应的点到原点的距离是圆心到原点的距离加上半径．11. 分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设，且，求证：”“索”的“因”应是A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：因,即,故应选C．考点：分析法及推证格式．12. 已知函数, ，若对,，使成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得“对,，使成立”等价于“”．∵，当且仅当时等号成立．∴．在中，由，解得．令，则，（其中）．∴．由，解得，又，故，∴实数的取值范围是．选A．点睛：（1）对于求或型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如的函数只有最小值，形如的函数既有最大值又有最小值．（2）求函数的最值时要根据函数解析式的特点选择相应的方法，对于含有绝对值符号的函数求最值时，一般采用换元的方法进行，将问题转化为二次函数或三角函数的问题求解．二､填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分．将答案填在题中横线上．）13. 已知为虚数单位，复数在复平面内对应的点关于原点对称，且，则__________.【答案】【解析】由题意得复数对应的点为（2，-3），它关于原点的对称点为（-2,3），故，所以．答案：14. 若，则在①，②，③，④，⑤这五个不等式中，恒成立的不等式的序号是____________.【答案】②④【解析】对于①，由于同向不等式不能相减，（或举反例），故①不正确．对于②，根据同向不等式可以相加，故②正确．对于③，由于不等式不一定都为正不等式，不能两边相乘，故③不正确．对于④，由得，根据同向不等式的可加性知成立，即④正确．对于⑤，由于的符号不确定，故不等式不一定成立，即⑤不正确．综上可得②④正确．答案：②④15. 定义某种运算，运算原理如流程图所示，则式子的值为______.【答案】12【解析】由题意得，∴，∴．答案：16. 已知曲线的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.若点的极坐标分别为和，直线与曲线相交于两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，则的值为________【答案】【解析】消去参数可得曲线的普通方程为；曲线的极坐标方程是，即为，故其直角坐标方程为．由题意得为圆直径的两个端点，故由.设射线的极坐标方程为，则射线的极坐标方程为或，又曲线的极坐标方程为，即，∴，∴．答案：点睛：（1）曲线的极坐标方程的常见命题角度：①求曲线的极坐标方程；②在极坐标下求点到直线的距离；③在极坐标下求线段的长度．（2）求解与极坐标有关的问题的主要方法①直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；②转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．三、解答题：（本题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 为了解心脑血管疾病是否与年龄有关，现随机抽取了50人进行调查，得到下列的列联表：试问能否在犯错的概率不超过5%的前提下，认为患心脑血管疾病与年龄有关？附表：参考公式：，其中【答案】见解析【解析】试题分析：根据列联表中的数据求得的值，然后判断此值是否大于3.841即可得到结论．试题解析：由列联表可得∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为患心脑血管疾病与年龄有关．18. 随着经济的发展，某城市市民的收入逐年增长，该城市某银行连续五年的储蓄存款（年底余额）如下表：储蓄存款（I）求出关于的线性回归方程；（II）用所求的线性方程预测到2020年底，该银行的储蓄存款额为多少？参考公式：其中【答案】（I）；（II）14.2千亿元.【解析】试题分析：（I）由于条件中的数据较大，故可采用引入新变量的方法，将数据减小．故令，结合所给数据求得，和，然后根据参考公式求得回归方程，最后在代换为原变量即可得到关于的线性回归方程．（II）在（I）中的回归方程中，令，可得，即为所求的估计值．试题解析：（I）令得到下表由题意知：，，，，∴，∴，∴z关于t的回归方程为∴，整理得，∴关于的线性回归方程为．（II）当时，，∴到2020年年底，该银行的储蓄存款额可达14.2千亿元．点睛：求线性回归直线方程的步骤(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；(2)求系数：公式有两种形式，，根据题目具体情况灵活选用；(3)求：；(4)写出回归直线方程．说明：当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果可确定选用公式的哪种形式求．19. 在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线，曲线.（I）求曲线及的直角坐标方程；（II）设为曲线上的动点，求点到上的点的距离最大值.【答案】（I）的直角坐标方程为；的直角坐标方程为；（II）.【解析】试题分析：（I）根据极坐标方程和代换公式可得所求的直角坐标方程．（II）求出圆心到直线的距离，加上半径长后即可得到所求的最大距离．试题解析：（I）把代入方程，得，即．由得，即，把代入上式可得．∴的直角坐标方程为，的直角坐标方程为（II）∵点到直线的距离，∴点到上点的距离最大值为．20. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.（I）求曲线和的普通方程；（II）设，若曲线和交于两点，求及的值.【答案】（I）曲线的普通方程为；曲线的普通方程为；（II）.【解析】试题分析：（I）由参数方程消去参数可得曲线和的普通方程．（II）结合（I）中的结论，利用直线的参数方程中参数的几何意义求解即可．试题解析：（I）由消去参数可得；由消去参数得，即．∴曲线的普通方程为，曲线的普通方程为．（II）将（为参数）代入整理得，设对应参数分别为，则，∴，．点睛：（1）涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．（2）经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2．线段AB的中点为M，点M所对应的参数为．注意以下几个常用的结论：①；②；③；④．21. 已知.（I）求不等式的解集；（II）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（I）；（II）或.【解析】试题分析：（I）根据分类讨论将不等式化为三个不等式组求解即可．（II）画出函数的图象，由图象求得函数的最小值为4，解不等式可得所求范围．试题解析：（I）不等式即为，等价于①或②或③由①得；由②得；由③得此不等式组无解．综上．∴不等式的解集为．（II）由题意得，画出函数的图象如图所示：其中，由图象可得函数的最小值为4．由题意知，即，解得或．∴实数的取值范围为．22. 已知均为正实数.（I）求证：；（II）求证：.【答案】（I）见解析；（II）见解析.【解析】试题分析：（I）将分式通分后，在分子中运用基本不等式后可得不等式，，，然后求和后利用基本不等式可得结论成立．（II）在所给不等式的每个分母中利用基本不等式进行化简，然后再利用基本不等式求解．试题解析：（I），∴．同理②③由①+②+③得：，当且仅当时各个等号同时成立．∴．（II）∵，当且仅当时各个等号同时成立．∴．。

康杰中学2017-2018学年度第一学期期中考试 高二数学（文科）试题（考试时间120分钟，满分150）一、选择题：（本大题共12小题.每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 两直线03=-+a y x 与03=+y x 的位置关系是A.相交B. 平行C. 重合D. 平行或重合 2. 图1是由图2中的哪个平面图旋转而得到的3. 三个平面将空间最多能分成A. 6部分B. 7部分C. 8部分D. 9部分4. 圆4)2()2(:221=-++y x C 和圆16)5()2(:222=-+-y x C 的位置关系是 A. 外离 B . 相交 C. 内切D. 外切5. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.12 B. 18 C.27 D.546.光线从点)3,2(-A 射到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点)32,1(C ，则光线BC 所在直线的倾斜角为A.6π B. 3π C. 32π D. 65π7.将直线01:=+-y x l 绕着点)3,2(A 逆时针方向旋转090，得到直线1l 的方程是 A. 05=-+y x B. 01=-+y x C. 042=+-y x D. 072=-+y x 8. 在正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为BC AB 、中点，则异面直线EF 与1AB 所成角的余弦值为正（主）视图 侧（左）视图 俯视图第5题图A.23 B. 33C. 22D. 219. 在下列关于点P ，直线l 、m 与平面α、β的命题中,正确的是 A. 若m α⊥,l m ⊥，则l ∥α B. 若l 、m 是异面直线，mα, m ∥β, l β, l ∥α,则α∥β.C. 若αβ⊥，m =⋂βα，l P P ∈∈,α，且l m ⊥，则l β⊥D. 若αβ⊥且l β⊥,l m ⊥，则m α⊥10. 若圆02:221=-+x y x C 与直线0:=--m mx y l 有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是 A ． )33,33(-B ． )33,0()0,33( -C ．]33,33[-D ． ),33()33,(+∞--∞ 11.如图所示，平面四边形ABCD 中，2,1====BD CD AD AB ，CD BD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体BCD A -，使BCD ABD 平面平面⊥，则下列说法中不正确．．．的是 A.ABD ACD 平面平面⊥ B . CD AB ⊥ C. ACD ABC 平面平面⊥ D.ABC AD 平面⊥12.三棱锥ABC P -中，三侧棱PC PB PA ,,两两互相垂直，且三角形，PAB ∆，PAC ∆PBC ∆的面积依次为1,1,2，则此三棱锥ABC P -外接球的表面积为 A. π9B. π12C. π18D. π36二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13.如图所示，三棱锥ABC P -，ABC PA 底面⊥，090=∠ABC ， 则此三棱锥ABC P -中直角三角形有 个.14.若b a ,满足12=+b a ，则直线03=++b y ax 必过定点的坐标是 15.如果实数y x ,满足1)2()2(22=-+-y x ，则22y x +的最小值为CPAB 13题图C AAB11题图DBCD16. 下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17.（本题满分10分）圆柱内有一个直四棱柱，直四棱柱底面是圆柱底面的内接正方形．已知圆柱表面积为6，且底面圆直径与母线长相等，求此四棱柱的体积． 18.（本题满分12分）求斜率为43，且与两坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程． 19.(本题满分12分) 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，EF 与异面直线D A AC 1,都垂直相交.求证：1BD EF ∥20.（本题满分12分） 已知圆C 与x 轴相切，圆心C 在射线)0(03>=-x y x 上， 直线0=-y x 被圆C 截得的弦长为27 （1）求圆C 标准方程;(2)已知点)1,0(-Q ，经过点Q 直线l 与圆C 相切于P 点，求QP 的值.21.(本题满分12分) 如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱ABC AA 底面⊥1，且侧棱和底面边长均为2，D 是BC 的中点（1）求证:11CC BB AD 平面⊥； (2)求证:11ADC B A 平面∥；(3)求三棱锥11A D B C -的体积16题图ABCA 1C 1B 1 D D 1 AB CDA 1B 1C 1EF22.（本题满分12分）已知点A 的坐标为)0,23(，点B 在圆7:22=+y x O 上运动，以点B 为一端点作线段BM ，使得点A 为线段BM 的中点. （1）求线段BM 端点M 轨迹C 的方程；（2）已知直线0=-+m y x 与轨迹C 相交于两点Q P ,，以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，求实数m 的值：侯彦宁 审题人：秦慧明康杰中学2014-2015学年度第一学期期中考试 高二数学（文科）答案 2014.11.17 一、选择题：二、填空题：13. 4 14.)61,21(- 15. 249- 16. ①④ 三、解答题17. 解：设圆柱底面圆半径为r ，则母线长为2r ．∵圆柱表面积为6， ∴6＝2r 2＋4r 2． ∴ r ＝1． ……………………………..5分∵四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形， ∴正方形边长为2． ∴四棱柱的体积V ＝(2)2×2＝2×2＝4．………………………….10分 18. 解：设所求直线的方程为b x y +=43， 令0=x ，得b y =，所以直线与y 轴的交点为),0(b ； 令0=y ，得b x 34-=，所以直线与x 轴的交点为)0,34(b -．……………5分 由已知，得12)34(3422=-++-+b b b b ，解得3±=b ． 故所求的直线方程是343+=x y ，或343-=x y 即01243=+-y x 或01243=--y x ………………………………12分 19.证明：如图所示，连接BD C B AB ,,11 因为D 1ABC DD 平面⊥，CD C AB A 平面⊂ 所以AC DD ⊥1又因为AC D ⊥B ，D BD 1= DD 所以11B BDD 平面⊥AC 所以1BD ⊥AC 同理可证C B 11BD ⊥D 1ABC D A 1B 1C 1EF又C C B 1= AC所C AB 11BD 平面⊥ ……………………………………8分. 因为D A 1⊥EF ，又C B D A 11∥ 所以C B 1⊥EF因为AC ⊥EF ，C C B 1= AC 所以C AB 1EF 平面⊥所以1BD EF ∥ ……………………………………………12分 20.解：（1）因为圆心C 在射线)0(03>=-x y x 上， 设圆心坐标为 ),3,(a a 且0>a ， 圆心)3,(a a 到直线0=-y x 的距离为a a d 222=-=又圆C 与x 轴相切，所以半径a r 3= 设弦AB 的中点为M ，则7=AM在AMC Rt ∆中，由勾股定理，得222)3()7()2(a a =+解得1=a ，92=r故所求的圆的方程是9)3()1(22=-+-y x ………………………………8分 （2）如图，在QPC Rt ∆中，9)()()(222-=-=QC CP QC QP17412=+=QC所以229)17(2=-=QP ………………………………………..12分21.（1）证明：因为ABC CC 平面⊥1，又ABC AD 平面⊂，所以AD CC ⊥1因为ABC ∆是正三角形，D 是BC 的中点， 所以AD BC ⊥，又C CC BC =1 ， 所以11CC BB AD 平面⊥……………………………………4分（2）证明：如图，连接C A 1交1AC 于点O ，连接OD 由题得四边形11A ACC 为矩形，O 为C A 1的中点，又D 为BC 的中点，(第20题)QPlABCA 1C 1B 1D O所以OD B A ∥1因为1ADC OD 平面⊂，11ADC B A 平面⊄所以11ADC B A 平面∥ ………………………………8分 (3)解：因为1111D C B A AD B C V V --=， 因为2222111=⨯⨯=∆DC B S ，3=AD ， 所以332323131111111=⨯⨯=⨯==∆--AD S V V DC B DC B A ADB C …………12分 22.解：(1)设点),(y x M ，),(11y x B ,由题得⎩⎨⎧-=-=y y xx 003又点B 在圆7:22=+y x O 上运动，即72020=+y x 所以7)()3(22=-+-y x ，即7)3(22=+-y x故线段BM 端点M 轨迹C 的方程是 ……………………………6分（2）设),(),,(2211y x Q y x P ，则由方程组⎩⎨⎧=+-+=-+026022x y x m y x消去y 得02)3(2222=+++-m x m x ，由韦达定理得………………………………………9分 因为以PQ 为直径的圆经过坐标原点O所以OQ OP ⊥，所以0=⋅→→OQ OP ，即02121=⋅+⋅y y x x所以0)(2))((2212121212121=++-⋅=--+⋅=⋅+⋅m x x m x x x m x m x x y y x x 即0)3(222=++-+m m m m 所以0232=+-m m⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-+=∆+=⋅+=+0)2(8)3(42232222121m m m x x m x x解得：1=m 或2=m经检验，这两个m 值均满足0>∆，所以1=m 或2=m …………………………..12分。

康杰中学2017-2018学年度第一学期期末考试高二数学（理）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列说法正确的是A ．平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面D.空间的任意三个向量都共面2. 已知命题p ，q ，若命题“非p ”与命题“p 或q ”都是真命题，则A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假3. 平面内到两定点)4,3(),0,0(B A 距离之和为5的点的轨迹是A.椭圆B. 双曲线C. 抛物线 D ．线段4. “0,0<<b a ”的一个必要不充分条件为A. 0<+b aB. 0>-b aC.1>baD. 1ab >5. 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面正方形ABCD 的对角线交点，则直线O A 1 与1BC 所成角的余弦值为A ．63-B ．63C ．33-D ．33 6.方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图可能是（ ）7．下列说法错误．．的是（ ） A ．0,3<∈∃x R xB ．一个命题的逆命题为真，则它的否命题也一定为真 C. “3≠x ”是“3≠x ”成立的必要条件D ．“若βαsin sin =，则βα=”的逆否命题是真命题8．与曲线1492422=+y x 共焦点，且与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为( ） A ．191622=-x y B ．191622=-y x C ．116922=-x y D ．116922=-y x 9．已知→a ＝（2，－1，3），→b ＝（－1，4，－2），→c ＝（7，5，λ），若→→→c b a ,,三向量共 面，则实数λ等于( )A.762B.763C.764D.765 10．已知点A,B 分别是椭圆C:1122=++my m x 的长轴的两个端点，P 是椭圆C 上的动点， 且APB ∠的最大值是32π，则实数m 的值为( ) A.21B. 32C. 31D.2311．抛物线2y x =上到直线24x y -=距离最小的点的坐标是（ ） A ．11,24⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1C ．39,24⎛⎫⎪⎝⎭D ．()2,4 12．已知点 21,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点，若△2ABF 为锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A. )3,1(B. )22,3(C. ),21(+∞+D. )21,1(+二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13．命题“∃x R ∈，2250x x ++=”的否定是14． 设平面α的一个法向量为（1,2，-2）,直线l 的一个方向向量为),4,2(k --，若α∥l ， 则实数k 的值为15．焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为16. 若点21,F F 分别是双曲线1922=-my x 的左、右焦点，点P 为双曲线上一点且满足,021=⋅→→PF PF △21PF F 的面积为5，则双曲线左焦点1F 到其中一条渐近线l 的距离为三、解答题：（本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17.（本小题满分10分） 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+-==]2,43[,1232x x x y y A ，{}12≥+=m x x B ．若“A a ∈”是“B a ∈”的充分条件，求实数m 的取值范围． 18.（本小题满分12分）长方体1111ABCD A BC D -中，12,1,1AB BC AA === （1）求直线11AD B D 与所成角的大小；（2）求直线111AD B BDD 与平面所成角的正弦值. 19.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y x C 4:2=（Ⅰ）若直线l 过抛物线的焦点，且与抛物线C 相交于不同的两点B A ,，求→→⋅OB OA 的值； （Ⅱ）已知点)3,1(Q ，F 为抛物线C 的焦点，在抛物线C 上求一点P ，使得PQ PF +取得最小值，并求最小值.20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点为F 1，F 2（0，），且离心率（I ）求椭圆C 的方程；（II ）已知直线l （与坐标轴不平行）过点（0,3）且与椭圆C 交于不同的两点B A ,， 若线段AB 中点的横坐标为，求AB 的值.21．（本小题满分12分）如图1所示的梯形BCDE 中，BC∥DE，BA⊥DE，且EA=DA=AB=2CB=2，沿AB 将四边形ABCD 折起，使得平面ABCD 与平面ABE 垂直，M 为CE 的中点，如图2所示 （1）求证：AM⊥BE；1A ABDC（2）求二面角M —BD —A 的余弦值.22．（本小题满分12分）已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．：张爱红 审题人：侯彦宁DAEBC图12014-2015学年度第一学期期末测试高二理科数学答案 一．选择题：二．填空题：13. ∀x R ∈，2250x x ++≠ 14．-5 15．216y x =或y x 122-= 16．5 三、解答题：17．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪716≤y ≤2. ………………………3分 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}． ...........................5分 ∵“A a ∈”是“B a ∈”的充分条件∴B A ⊆， (7)分∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. ………………………10分18．解：如图所示以D 为原点DA,DC,DD 1为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系。

康杰中学2017—2018学年度第二学期月考高二数学（文）试题2018.5一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集{0,1,2,3,4,5,6}U =,集合{2,4,5}A =,{1,3,4,6}B =,则()U C A B 为（ ）A ．{0,1,3,6}B ．{0,2,4,6}C ． {1,3,6}D ．{0,1,6}2．已知2ii(,i )ia b a,b -=+∈R 为虚数单位,则a b -=（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-33．“1010a b >”是“lg lg a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是（ ） A ．),100(+∞ B ．(]10,1 C ．(]1,0D ． (]100,105．已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m R ∈）为偶函数，记0.5(log 3),a f =2(log 5),(2)b f c f m ==，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<6．已知)(x f ，)(x g 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则)1()1(g f +-＝( )A ．－3B ．－1C ．3D ．17．如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（ ） A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤8．设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ） A. 奇函数，且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数9. 已知函数21,0()(1),0x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A. (],0-∞B. [)0,1C. (,1)-∞D. [)0,+∞10. 设函数21()122x xf x =-+，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[()]y f x =的值域是（ ） A. {}0,1B. {}1,0-C. {}1,1-D. {}111. 函数ln x x x xe e y e e---=+的图象大致为（ ）12.设函数()y f x =的图象与2x ay +=的图象关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =（ ） A. 4B. 2C. 1D. -1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数)1lg(11)(++-=x xx f 的定义域是 . 14．定义在R 上的函数()f x 满足：(6)()6f x f x +=-+，且函数(1)y f x =+的图象关于直线1x =-对称，则(2019)f = .15. 已知函数)(x f ])2,2[(-∈x 的值域为]4,0[，函数1)(-=ax x g ，若对任意的]2,2[1-∈x ，总存在]2,2[2-∈x ，使得)()(12x f x g =成立，则实数a 的取值范围是 ．16. 设函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，若123,,x x x 均不相等，且123()()()f x f x f x ==，则123x x x 的最大值为 .三、解答题：共70分。

1康杰中学2017—2018学年度第一学期第二次月考高二数学（文）试题2018.1一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.）1. 命题“若x 2>y 2,则x >y ”的逆否命题是 A ．“若x <y ,则x 2<y 2” B ．“若x >y ,则x 2>y 2” C ．“若x ≤y ,则x 2≤y 2”D ．“若x ≥y ,则x 2≥y 2”2. 抛物线x 2＝y 的准线方程是A ．4x +1=0B ．4y +1=0C ．2x +1=0D ．2y +1=03. 已知p ：1<m <3，q ：m 满足方程x 2m －1+y 23-m＝1表示椭圆，那么p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，动点P 满足|PF 1|-| PF 2|=8，则动点P 的轨迹方程是 A ．x 216＋y 29＝1B ．x 216－y 29＝1C ．x 216－y 29＝1(x <0)D ．x 216－y 29＝1(x >0) 5. 已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x”，命题q ：“∃x ∈R，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．[e,4]B ．[1,4]C ．(4,＋∞)D ．(－∞,1]6. 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为A ．x y 41±= B ．x y 31±= C ．x y 21±= D ．x y ±= 7. 抛物线24y x =«Skip Record If...»上一点P 到直线1x =-«Skip Record If...»的2距离与到点()2,2Q «Skip Record If...»的距离之差的最大值为 A ．3 B 3C ．5D 58. 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆E 的离心率等于A ．12B ．22C ．32D ．339. 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且倾斜角为 60的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于B A ,两点,则BFAF 的值等于A ．5B ．4C ．3D ．210. 已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14C ．12D ．1011. 设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0，1]∪[9，+∞)B ．(0，3]∪[9，+∞)C ．(0，1]∪[4，+∞)D ．(0，3]∪[4，+∞)12. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，A 1，A 2是实轴的顶点，F 是右焦点，B (0,b )是虚轴的一个顶点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点P i （i =1，2），使得△P i A 1A 2（i =1，2）构成以A 1 A 2为斜边的直角三角形，则双曲线的离心率e 的取值范围是A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+235,2 B ．()2,1 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+,215 D ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+215,23二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.）13. 已知命题p ：1)1(,0>+>∀xe x x ，则¬ p 为_________.14. 右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，当水面下降1 m 后，水面宽________m. 15. 已知正方形ABCD ，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的离心率为_________.16. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py （p >0）交于A ，B 两点，若|AF |+|BF |=4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为____________________.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）已知p ：2131≤--x ，q ：)0(01222>≤-+-m m x x ，若 ¬ p 是¬ q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18. （本小题满分12分）已知命题p ：]1,1[-∈∀m ，不等式8322+≥--m a a 恒成立；命题q ：关于x 的一元二次方程：x 2-4ax +2a +6=0无负根，若“q p ∧”为假，“q p ∨”为真，求实数a 的取值范围19. （本小题满分12分）已知动点P 到定点F (1，0)的距离与到定直线l ：x =－1的距离相等，设动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点F 且倾斜角为135°的直线交曲线C 于A ，B 两点，求|AB |.420. （本小题满分12分）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1、F 2，椭圆E 上的点到点F 1距离的最大值是3+2，短轴一个顶点到F 2的距离为 3.（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点F 1且斜率为1的直线l 与椭圆E 交与A ，B 两点，求△ABF 2的面积21. （本小题满分12分）设A ，B 为曲线C ：42x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4（1）求直线AB 的斜率.（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.22. （本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 过点3(1,)2A ，且离心率e 为12（1）求椭圆C 的方程；（2）E 、F 是椭圆上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.高二数学（文）答案一、选择题1. C2. B3. B4. D5. A6. C7. D8. B 9. C 10. A11. A 12. D 二、填空题13. 0x ∃≤，(1)1xx e +≤（或0000,(1)1x x x e∃≤+≤）14. 62116. 22y x =±5三、解答题 17. 解析： 由1:123x p --≤得2010-≤≤由22:210q x x m -+-≤ 得22(1)x m -≤∵0m > ∴11m x m -≤≤+ …………………………4分 ∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件 ∴q p ⌝⇒⌝ 且p q ⌝⇒⌝ ∴p q ⇒ 且q p ⇒即p 是q 的充分不必要条件 ……………………………………7分 ∴12110m m -≤-⎧⎨+≥⎩（等号不能同时成立）∴9m ≥………………………………………10分18. 解析： ∵[]1,1m ∈-2822,3m ⎡⎤+⎣⎦∵[]1,1m ∀∈-，不等式2238a a m --≥+∴233a a --≥得2a ≤-或3a ≥∴命题p 为真命题时，2a ≤-或3a ≥……………………3分命题q ：关于x 的一元二次方程：24260x ax a -++=无负根 ①方程无实根：2164(26)0a a ∆=-+< 得312a -<<②方程有实根且均为非负根∴2164(26)040260a a a a ⎧∆=-+≥⎪≥⎨⎪+≥⎩得32a ≥………………7分 ∴命题q 为真命题时，1a >-……………………8分∵“p q ∧”为假，“p q ∨”为真 ∴,p q 一真一假∴p 真q 假时：231a a a ≤-≥⎧⎨≤-⎩设2a ≤-或6p 假q 真时：231a a -<<⎧⎨>-⎩设13a -<< ………………11分综上：实数a 的取值范围是：2a ≤-或13a -<< …………12分19. 解析：（1）设点(,)P x y由题曲线C 是以(1,0)F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线 ∴曲线C 的方程是：24y x =…………………………4分（2）直线AB 的方程为：1y x =-+ …………………………5分 设11(,)A x y22(,)B x y则1212112AB AF BF x x x x =+=+++=++ ………………7分由214y x y x=-+⎧⎨=⎩设2610x x -+=∴126x x +=……………………10分 ∴12||28AB x x =++=……………………12分20. 解析：（1）由题222323a c a a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得3,1,2a b c === …………………………6分设11(,)A x y 22(,)B x y由22213y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得246230x x ++=∴12322x x +=-1234x x ⋅=……………………9分 ∴2ABF ∆的面积121212S F F y y =⨯⨯-712122||2x x =⨯⨯- 212122()4x x x x =+-3232== ……………………12分或：弦长22121212(11)()2[()4]3AB x x x x x x =+-=⨯+-=点2F 到直线AB 的距离2222d == ∴2ABF ∆的面积132S AB d =⨯⨯=21. 解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y由题12x x ≠，22121212,,444x x y y x x ==+=2221212121214414ABx x y y x x k x x x x --+====-- ∴直线AB 的斜率为1 …………………………4分（2）由题设曲线C 在点M 处的切线方程为y x m =+由24y x m x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩得2440x x m --=∴16160m ∆=+= ∴1m =-∴点M(2, 1) ………………………………6分 设直线AB 的方程：y x t =+由24y x t x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩ 得2440x x t --=16160t ∆=+> 设1t >-12124,4x x x x t +=⋅=-…………………………8分1212(2)(2)(1)(1)MA MB x x y y ⋅=--+--81212122()4(1)(1)x x x x x t x t =-++++-+- 212122(3)()4(1)x x t x x t =+-+++-284(3)4(1)0t t t =-+-++-=解得7t =或1t =-（舍去）…………………………11分 ∴直线AB 的方程为7y x =+ …………………………12分文22. 解析：（1）由题：22222914112a bc e a a b c ⎧⎪+=⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎪⎪⎩解得2,3,1a b c ===∴椭圆C 的方程为：22143x y += ……………………4分（2）法一：设直线AE 的方程为：3(1)2y k x -=- 由223(1)2143y k x x y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得222(34)4(23)41230k x k k x k k +--+--=∴2222412312129,342(34)k k k k E kk ⎛⎫+---+ ⎪++⎝⎭ ………………9分由题直线AF 的方程为3(1)2y k x -=-- ∴2222412312129,342(34)k k k k F k k ⎛⎫+---+ ⎪++⎝⎭………………9分9∴2222222212129121291212(34)2(34)412341232423434EFk k k k k k k k k k k k k k k -++--+-++===+----++ …………11分∴直线EF 的斜率为定值，且这个定值为12………………12分法二：设直线EF 的方程为1122,(,)(,)y kx m E x y F x y =+由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=122834kmx x k+=-+ 212241234m x x k-⋅=+ ……………………6分∴12122112123333()(1)()(1)2222011(1)(1)AE AF y y kx m x kx m x k k x x x x --+--++--+=+==----…………………………7分∴122133(+)(1)()(1)22kx m x kx m x --++--121232()()232kx x m k x x m =+--+-+222412382()2334234m km k m k m k k -=⋅---⋅-+++ 22212241263(21)(232)03434k k km m k k m k k -+---+===++得12k = 或 322km -= ……………………10分 322k m -=时 33(1)22y kx k k x =+-=-+过定点3(1,)2A ,舍去 …………11分∴直线EF 的斜率为定值，且这个定值为12……………………12分。

康杰中学2015—2016学年度第一学期期中考试高二数学（理）试题2015.11一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1. 直线013=-+y x 的斜率是A.6πB.6π-C.33 D. 33- 2. 在空间直角坐标系中,点)9,1,4(---A 与点)6,1,10(--B 的距离是 A. 5 B. 6 C. 7 D. 83. 设n m ,是两条直线，βα,是两个平面，给出四个命题①,,//,//m n m n αββα⊂⊂βα//⇒ ②,//m n m n αα⊥⊥⇒ ③αα////,//n n m m ⇒ ④,m m αβαβ⊥⊂⇒⊥ 其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.3 4. 某几何体的三视图如图所示,它的体积为A. π57B. π58C. π59D. π605. 直线052:=++y x l 上的点与原点的距离的最小值是A. 2B. 5C. 10D. 52 6. 点)3,4(P 关于直线01=+-y x 的对称点Q 的坐标是A. )4,2(B. )4,3(C. )5,2(D. )5,3(7. 点P 是正方形ABCD 所在平面外的一点，PD ⊥平面ABCD ，AD PD =，则PA 与BD 所成角的大小为 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8. 已知三棱柱111C B A ABC -中,⊥A A 1平面ABC ,并且1AA CA BC AB ===,那么直线1AB 与侧面A ACC 1所成角的正弦值等于A.36B.46C.56 D. 66 9. 已知三棱锥ABC D -的四个顶点都在球O 的表面上,若3=AB ，4=AC ,AB AC ⊥,⊥DB 平面ABC ，12=DB ，则球O 的半径为A ．2B ．C ．132D ．10. 在平面直角坐标系中,已知)1,2(),4,3(---B A ,如果直线2:++=k kx y l 与线段AB 总是相交,那么实数k 的取值范围是A.]3,1[-B.]3,0()0,1[Y -C.[1,0][3,)-+∞UD.),3[]1,(∞+--∞Y11. 在平面直角坐标系xOy 中, 直线2:+-=k kx y l 与x 轴正半轴以及y 轴正半轴的交点分别是B A ,，那么AOB ∆面积的最小值是A. 4B. 5C. 6D. 712. 在三棱柱111C B A ABC -中,⊥1AA 平面ABC ,且AB AA 21=,BC AC =,E 为BC 中点, 则点D 在线段AB 上运动时, 可能出现 A. //1E B 平面DC A 1 B. //1BC 平面DC A 1 C. ⊥1AB 平面DC A 1D. ⊥C B 1平面DC A 1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 若直线02:1=+y ax l 与直线()011:2=+++y a x l 垂直，则=a . 14. 长方体1111D C B A ABCD -中，4==AD AB ,21=AA ,则点1A 到平面11D AB 的距离等于 .15. 已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别是)0,43(),0,1(),3,3(C B A -,则ABC ∆的内角A 的平分线所在的直线方程是 .16. 在边长为2的正方形ABCD 中,F E ,分别是BC AB ,的中点,沿DF DE ,以及EF 把CDF ADE ∆∆,和BEF ∆都向上折起,使C B A ,,三点重合,设重合后的点为P ,那么对于四面体DEF P -中的下列命题:①点P 在平面DEF 上的射影是DEF ∆的垂心； ②四面体DEF P -的外接球的表面积是π6. ③在线段DE 上存在一点G ,使得直线FG 与直线EP 所成的角是o60；其中正确命题的序号是 .三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算过程） 17.（本小题满分10分，（I ）小问5分，（II ）小问5分. ）如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD . （I ）求证：EF ∥平面PAD ； （II ）求证：平面PAB ⊥平面PCD .18.（本小题满分12分，（I ）小问6分，（II ）小问6分. ）在平面直角坐标系中, 已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别是)3,1(),3,1(),2,1(n C n B A ---.（I ）如果A ∠是直角，求实数n 的值；（II ）求过坐标原点，且与ABC ∆的高AD 垂直的直线l 的方程.19.（本小题满分12分.）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，o60=∠DAB ，⊥PD 平面ABCD ，1==AD PD ，点,E F 分别为AB 和PD 中点. 求PC 与平面PAB 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分．）已知一几何体如图所示，正方形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，//BE CF ，3AB =，2EF =，4CF =，90BCF CEF ∠=∠=o .（Ⅰ）求证：//AE 平面DCF ；（Ⅱ）求该几何体的体积.21.（本小题满分12分，（I ）小问6分，（II ）小问6分. ） 如图，四棱锥ABCD P -的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面⊥PAD 底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点.（I ）求证：⊥AE 平面PCD ；（II ）若AB AD =，试求二面角D PC A --的余弦值.22.（本小题满分12分，（I ）小问6分，（II ）小问6分.）在平面直角坐标系xOy 中，OBC ∆的边BC 所在的直线方程是03:=--y x l ， （I ）如果一束光线从原点O 射出，经直线l 反射后，经过点)3,3(，求反射后光线所在直线的方程；（II ）如果在OBC ∆中，BOC ∠为直角，求OBC ∆面积的最小值.2015-2016第一学期期中高二数学试题答案1-6 DCBABC 7-12 CBCDAB 13. 32-14. 362 15. x y = 16. ①②③17. 证明：（I ） 连接AC ，则F 是AC 的中点，又ΘE 为PC 的中点， ∴在△CPA 中，EF ∥PA ，又⊄EF Θ平面PAD ，⊂PA 平面PAD∴EF ∥平面PAD . 5分（II ）∵ 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ⊂CD 平面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴ CD ⊥平面PAD ， 又⊂PA Θ平面PAD ， ∴CD ⊥PA .Θ PA ＝PD ＝22AD ，∴△PAD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝π2，即PA ⊥PD .又∵CD ∩PD ＝D ， ∴PA ⊥平面PCD . 又∵PA ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD . 10分18. 解：（I ）因为A ∠是直角，所以1-=⋅AC AB k k ，即12231123-=--⋅----n n ，解得，35=n 6分（II ）因为直线l 与ABC ∆的高AD 垂直，所以直线l 与直线BC 平行，所以直线l 的斜率1)1(1)3(3=-----==n n k k BC l .又因为直线l 过原点，所以直线l 的方程为x y =. 12分19. 解：连接DE .60DAB ∠=oQ ，ABCD 是菱形，∴DC DE ⊥.以点D 为坐标原点, 直线DP DC DE ,,分别为x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系.则 )1,0,0(P ，)0,1,0(C ，)0,21,23(-A ，)0,21,23(B . 3分∴1(,1)2AP =u u u r ，()0,1,0AB =u u u r ，)1,1,0(-=PC . 5分 设平面PAB 的一个法向量为),,(z y x =n .则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧==++-002123y z y x ，取1x =，得)23,0,1(=n . 9分 设直线PC 与平面PAB 所成角为)20(πθθ<<，∴144224723|||||,cos |sin =⨯-=⋅=><=n n PC PC θ. ∴PC 平面PAB 所成角的正弦值为14. 12分 注:用等体积法,酌情给分.20.（Ⅰ）证明：ΘABCD 为正方形，∴//AB CD ，∴//AB 平面DCF . Θ //BE CF ，∴//BE 平面DCF . 又ΘB BE AB =I ,∴平面//ABE 平面DCF .又ΘAE ⊂平面ABE ,∴//AE 平面DCF . 6分 （Ⅱ）解：连接AC ，AF .Θ平面ABCD ⊥平面BEFC ，BC FC ⊥，AB BC ⊥，∴AB BCFE ⊥面，CF ABCD ⊥面.Θ2EF =，4CF =，90CEF ∠=o，∴CE =ΘAB =ABCD，∴BC =，∴3BE =. ∴该几何体的体积为A BEFC F ACD V V V --=+111111[(34)]4(32322=++⨯⨯=. 12分 21．（I ）证明： AD CD ⊥Θ，侧面⊥PAD 底面ABCD ，侧面I PAD 底面AD ABCD =，∴⊥CD 侧面PAD ，∴AE CD ⊥ 3分 Θ侧面PAD 是正三角形， E 为PD 的中点， ∴PD AE ⊥，又ΘD PD CD =I ，⊥∴AE 平面PCD . 6分（II ）解：设N 为AD 中点，Q 为BC 中点，则因为PAD ∆是正三角形，底面ABCD 是矩形.所以，AD QN AD PN ⊥⊥,，又因为侧面⊥PAD 底面ABCD ，所以⊥PN 面ABCD ，⊥QN 面PAD ，以N 为坐标原点，NP NQ NA 、、所在直线分别为z y x ,,，建立空间直角坐标系。

精品K12教育教学资料康杰中学2017—2018学年度第一学期第二次月考高二数学（理）试题2018.1一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.）1. 命题“若x 2>y 2,则x >y ”的逆否命题是 A ．“若x <y ,则x 2<y 2” B ．“若x >y ,则x 2>y 2” C ．“若x ≤y ,则x 2≤y 2”D ．“若x ≥y ,则x 2≥y 2”2. 抛物线x 2＝y 的准线方程是A ．4x +1=0B ．4y +1=0C ．2x +1=0D ．2y +1=03. 已知p ：1<m <3，q ：m 满足方程x 2m －1+y 23-m＝1表示椭圆，那么p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，动点P 满足|PF 1|-| PF 2|=8，则动点P 的轨迹方程是 A ．x 216＋y 29＝1B ．x 216－y 29＝1C ．x 216－y 29＝1(x <0)D ．x 216－y 29＝1(x >0) 5. 已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x”，命题q ：“∃x ∈R，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．[e,4]B ．[1,4]C ．(4,＋∞)D ．(－∞,1]6. 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为A ．x y 41±= B ．x y 31±= C ．x y 21±= D ．x y ±= 7. 抛物线24y x =上一点P 到直线1x =-的距离与到点()2,2Q 的距离之差的最大值为精品K12教育教学资料A ．3 BC ．5D8. 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆E 的离心率等于A ．12B ．22C ．32D ．339. 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且倾斜角为 60的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于B A ,两点,则BFAF 的值等于A ．5B ．4C ．3D ．210. 已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14C ．12D ．1011. 设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0，1]∪[9，+∞)B ．(0，3]∪[9，+∞)C ．(0，1]∪[4，+∞)D ．(0，3]∪[4，+∞)12. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，A 1，A 2是实轴的顶点，F 是右焦点，B (0,b )是虚轴的一个顶点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点P i （i =1，2），使得△P i A 1A 2（i =1，2）构成以A 1 A 2为斜边的直角三角形，则双曲线的离心率e 的取值范围是A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛+235,2 B ．()2,1 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+,215 D ． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+215,2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.）精品K12教育教学资料13. 已知命题p ：1)1(,0>+>∀xe x x ，则¬ p 为_________. 14. 右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，当水面下降1 m 后，水面宽________m. 15. 已知正方形ABCD ，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的离心率为_________.16. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py （p >0）交于A ，B 两点，若|AF |+|BF |=4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为____________________.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）已知p ：2131≤--x ，q ：)0(01222>≤-+-m m x x ，若 ¬ p 是¬ q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.18. （本小题满分12分）已知命题p ：]1,1[-∈∀m ，不等式8322+≥--m a a 恒成立；命题q ：关于x 的一元二次方程：x 2-4ax +2a +6=0无负根，若“q p ∧”为假，“q p ∨”为真，求实数a 的取值范围19. （本小题满分12分）已知动点P 到定点F (1，0)的距离与到定直线l ：x =－1的距离相等，设动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点F 且倾斜角为135°的直线交曲线C 于A ，B 两点，求|AB |.20. （本小题满分12分）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1、精品K12教育教学资料F 2，椭圆E 上的点到点F 1距离的最大值是3+2，短轴一个顶点到F 2的距离为 3.（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点F 1且斜率为1的直线l 与椭圆E 交与A ，B 两点，求△ABF 2的面积21. （本小题满分12分）设A ，B 为曲线C ：42x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4（1）求直线AB 的斜率.（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.22. （本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x ，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,13P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,14P 中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点，若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率和为－1，证明：l 过定点.高二数学（理）答案一、选择题1. C2. B3. B4. D5. A6. C7. D8. B 9. C 10. A11. A 12. D 二、填空题13. 0x ∃≤，(1)1xx e +≤（或0000,(1)1xx x e ∃≤+≤）14.116. 2y x =±三、解答题精品K12教育教学资料17. 解析： 由1:123x p --≤得2010-≤≤由22:210q x x m -+-≤ 得22(1)x m -≤∵0m > ∴11m x m -≤≤+ …………………………4分 ∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件 ∴q p ⌝⇒⌝ 且p q ⌝⇒⌝ ∴p q ⇒ 且q p ⇒即p 是q 的充分不必要条件 ……………………………………7分 ∴12110m m -≤-⎧⎨+≥⎩（等号不能同时成立）∴9m ≥………………………………………10分18. 解析： ∵[]1,1m ∈-⎡⎤⎣⎦∵[]1,1m ∀∈-，不等式23a a -- ∴233a a --≥得2a ≤-或3a ≥∴命题p 为真命题时，2a ≤-或3a ≥……………………3分命题q ：关于x 的一元二次方程：24260x ax a -++=无负根 ①方程无实根：2164(26)0a a ∆=-+< 得312a -<<②方程有实根且均为非负根∴2164(26)040260a a a a ⎧∆=-+≥⎪≥⎨⎪+≥⎩得32a ≥………………7分 ∴命题q 为真命题时，1a >-……………………8分∵“p q ∧”为假，“p q ∨”为真 ∴,p q 一真一假∴p 真q 假时：231a a a ≤-≥⎧⎨≤-⎩设2a ≤-或精品K12教育教学资料p 假q 真时：231a a -<<⎧⎨>-⎩设13a -<<………………11分综上：实数a 的取值范围是：2a ≤-或13a -<< …………12分19. 解析：（1）设点(,)P x y由题曲线C 是以(1,0)F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线 ∴曲线C 的方程是：24y x =…………………………4分（2）直线AB 的方程为：1y x =-+ …………………………5分 设11(,)A x y22(,)B x y则1212112AB AF BF x x x x =+=+++=++ ………………7分由214y x y x=-+⎧⎨=⎩设2610x x -+=∴126x x +=……………………10分 ∴12||28AB x x =++=……………………12分20. 解析：（1）由题222a c a a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得1,a b c ==…………………………6分设11(,)A x y22(,)B x y由2213y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得2430x ++=∴122x x +=-1234x x ⋅=……………………9分 ∴2ABF ∆的面积121212S F F y y =⨯⨯-精品K12教育教学资料121||2x x =⨯-=== ……………………12分或：弦长AB ===点2F 到直线AB的距离2d == ∴2ABF ∆的面积12S AB d =⨯⨯=21. 解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y由题12x x ≠，22121212,,444x x y y x x ==+=2221212121214414ABx x y y x x k x x x x --+====-- ∴直线AB 的斜率为1 …………………………4分（2）由题设曲线C 在点M 处的切线方程为y x m =+由24y x m x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩得2440x x m --=∴16160m ∆=+= ∴1m =-∴点M(2, 1) ………………………………6分 设直线AB 的方程：y x t =+由24y x t x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩ 得2440x x t --=16160t ∆=+> 设1t >-12124,4x x x x t +=⋅=-…………………………8分1212(2)(2)(1)(1)MA MB x x y y ⋅=--+--精品K12教育教学资料1212122()4(1)(1)x x x x x t x t =-++++-+-212122(3)()4(1)x x t x x t =+-+++- 284(3)4(1)0t t t =-+-++-=解得7t =或1t =-（舍去）…………………………11分 ∴直线AB 的方程为7y x =+ …………………………12分22. （1）解：由于34,P P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过34,P P 两点，又∵22221113,4a b a b +>+∴C 不经过点1P ∴点2P 在C 上∴222111314b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴C 的方程为：2214x y += ……………………4分2P A 与直线2P B 的斜率分别为12,k k直线l 斜率不存在时，l x ⊥轴，设:l x t = 由题：22t -<<，且0t ≠∴((,A t B t∴121k k +==- 解设2t =，不合题意直线l 斜率存在时，设1122:,(1),(,),(,)l y kx m m A x y B x y =+≠由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(41)8440k x kmx m +++-=精品K12教育教学资料2222226416(41)(1)16(41)0k m k m k m ∆=-+-=-+>2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++………………8分12121211y y k k x x --+=+211212(1)(1)x kx m x kx m x x +-++-=1212122(1)()1kx x m x x x x +-+==-∴1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=即：222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++ 解得12m k +=-由0∆> 得1m >-且直线1:2m l y x m +=-+即：11(2)2m y x ++=-- ……………………12分∴直线l 过定点(2,1)-。

康杰中学2017—2018学年度第二学期期中考试高二数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 是虚数单位，＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：；应选B.考点：复数的运算.2. 设若，则＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,解得,故选B.3. 用反证法证明命题：“若，且，则中至少有一个负数”的假设为（）A. 中至少有一个正数B. 全都为正数C. 全都为非负数D. 中至多有一个负数【答案】C【解析】试题分析：根据命题的否定可知，所以用反证法证明命题：“,且，则中至少有一个负数”时的假设为“全都大于等于”故选C.考点：反证法.4. 已知为函数的极小值点，则＝（）A. －9B. －2C. 4D. 2【答案】D【解析】∵，∴，∴当或时，单调递增；当时，单调递减．∴当时，有极小值，即函数的极小值点为2．选D．5. 函数在[0，2]上的最大值是（）A. B. C. 0 D.【答案】A【解析】∵，∴，∴当时，单调递增；当时，单调递减．∴．选A．6. 观察，由归纳推理可得：若定义在R上的函数满足，记为的导函数，则＝（）A. B. － C. D. －【答案】D【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D。

视频7. 某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁4名大学生安排到该市三所不同的学校任教，每校至少安排一人，其中甲、乙不能安排在同一学校，则不同的安排方法种数为（）A. 18B. 24C. 30D. 36【答案】C【解析】四名学生中有两名分在一所学校的种数是，顺序有种，而甲、乙被分在同一所学校的有种，故不同的安排方法种数是－＝30.8. 直线过抛物线的焦点且与轴垂直，则与C所围成的图形的面积等于（）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】试题分析：抛物线的焦点为，直线与抛物线的交点为，因此．考点：积分的几何意义．视频9. 若函数在上的最大值为，则＝（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，∴当时，单调递增；当时，单调递减．①当，即时，．令，解得，不合题意．②当，即时，在上单调递减，故．令，解得，符合题意．综上．点睛：（1）求函数最值时，要注意函数单调性的运用．对于函数不单调的问题，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过对极值和区间端点值的比较才能下结论．（2）当含有参数的问题涉及函数的最值或单调性的逆向应用等问题时，求解时注意分类讨论思想的运用，对于参数的讨论要做到不重不漏．10. 若数列是等差数列，，则数列也为等差数列，类比这一性质可知，若是正项等比数列，且也是等比数列，则的表达式应为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】将等差数列中的加法和除法分别类比成等比数列中的乘法和开方，可得在等比数列中的表达式应为．选D．11. 在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数中第2014个数是（）A. 3965B. 3966C. 3968D. 3989【答案】A【解析】由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前次共取了个数，且第次取的最后一个数为．当时，，故第63次取时共取了2016个数，都为奇数，并且最后一个数为，即第2016个数为，所以第2014个数为3965．选A．点睛：解答本题时要用归纳推理的方法从中找出数字递增的规律，第n组有连续个奇数或偶数构成，其中每组中数的奇偶性与组数n的奇偶性相同，然后确定出第n次取后得到的数的总数及每组数的最后一个数的规律性，然后通过尝试的方法并利用所得规律解题．12. 若函数在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，则的取值范围（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得（），∴ 在上单调递减，在上单调递增，由于，∴要使函数在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，需满足，即，解得或，又，∴或．选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 复数，其中为虚数单位，则的实部为__________.【答案】5【解析】试题分析：．故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数的相关概念，如复数的实部为，虚部为，模为，共轭为14. 从8名女生和4名男生中抽取3名学生参加某娱乐节目，若按性别进行分层抽样，则不同的抽取方法数为_________.【答案】112【解析】由分层抽样可得，应从8名女生中抽取2人，从4名男生中抽取1人，所以不同的抽取方法共有种．答案：11215. 设点P、Q分别是曲线和直线上的动点，则P、Q两点间距离的最小值为_________.【答案】【解析】试题分析：，令，即，，令，显然是增函数，且，即方程只有一解，曲线在处的切线方程为，两平行线和间的距离为.考点：导数与切线，方程的解，平行线间的距离.视频16. 有粒球，任意将它们分成两堆，求出两堆球的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球的乘积，直到每堆球都不能再分为止，记所有乘积之和为.例如对4粒有如下两种分解：(4)→(1,3) →(1,1,2) →(1,1,1,1)，此时＝1×3+1×2+1×1=6; (4)→(2,2) →(1,1,2) →(1,1,1,1)，此时＝2×2+1×1+1×1=6.于是发现为定值，请你研究的规律，归纳＝__________.【答案】【解析】由题意得，此时；，此时；，此时；，此时；……由此可猜想：．答案：点睛：破解归纳推理的思维步骤(1)发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；(2)归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)；(3)检验，得结论，对所得的一般性命题进行检验．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 设z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．（2）若ω＝，求证：ω为纯虚数．【答案】（1）|z1|＝1，z1的实部的取值范围是；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）设，则，由是实数，得，由此求出的实部的取值范围；（2），由此能证明是纯虚数.试题解析：设z1=a+bi(a,b∈R,且b≠0).(1)z2=z1+=a+bi+=+i.因为z2是实数,b≠0,于是有a2+b2=1,即|z1|=1,所以z2=2a.由-1≤z2≤1,得-1≤2a≤1,解得-≤a≤,即z1的实部的取值范围是.(2)ω====-i.因为a∈,b≠0,所以ω为纯虚数.点睛：本题考查了复数的实部的取值范围的求法，考查纯虚数的证明，解答时要注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运算法则的合理运用，其中正确把握复数的运算法则，合理运算时解答的关键.18. 已知曲线C：，点，求过P的切线与C围成的图形的面积. 【答案】.【解析】试题分析：先根据导数的几何意义求得曲线在点P处的切线，然后画出草图，结合图形得到被积函数和积分区间，最后由定积分求得图形的面积．试题解析：∵，∴．设切点为，则，∴所求切线方程为，即，∵切线过点P（），∴ ，整理得，解得，∴，∴点．故切线方程为，即．由，解得．∴点B的坐标为（）．画出图形如图所示．........................∴切线与C围成的图形的面积．点睛：利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差；(4)计算定积分得出答案．19. 已知.证明：（1）；（2）.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论，注意向靠拢；（2）利用均值不等式的结论结合题意证得即可得出结论．试题解析：（1）（2）因为所以，因此a+b≤2.点睛:利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．20. 已知函数，（1）当时，在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）m≤e；（2）(2－2ln 2,3－2ln 3].【解析】试题分析：（1）由，由在（上恒成立，得到，即在（1，+∞）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可得到实数的取值范围；（2）当时，易得函数的解析式，由方程的根与对应函数零点的关系，易转化为在上恰有两个相异实根，利用导数分析函数的单调性，然后根据零点存在定理，构造关于的不等式组，解不等式组即可得到答案．试题解析：（1）当时，由得，∵，∴，∴有在上恒成立，令，由得，当，∴在上为减函数，在上为增函数，∴，∴实数的取值范围为；（2）当时，函数，在上恰有两个不同的零点，即在上恰有两个不同的零点，令，则，当，；当，，∴在上单减，在上单增，，又，如图所示，所以实数的取值范围为(]【点睛】本题以函数为载体，考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，具有一定的难度，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件．其中（1）的关键是构造函数，将问题转化为函数恒成立问题，（2）的关键是利用导数分析函数的单调性后，进而构造关于的不等式组．21. 是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】见解析.【解析】假设存在，使得所给等式成立．令代入等式得解得以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立．①当时，由以上可知等式成立；②假设当时等式成立，即，当时，．即时等式成立．由①②知等式对于一切正整数都成立．点睛：（1）用数学归纳法证题的步骤：①明确初始值n0的取值并验证n＝n0时命题的真假(必不可少)．②“假设n＝k (k∈N*，且k≥n0)时命题正确”，然后证明当n＝k＋1时命题成立，最后得出结论．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．（2）数学归纳法证明的关键点：注意“n＝k＋1”时与“n＝k”时命题形式的差别，弄清等式（或不等式）左端应增加的项，明确左端变形的目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．22. 已知函数（1）求函数的单调区间和极值；（2）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，；（3）如果，且，证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】本试题主要是考查了运用导数研究函数的性质的综合运用。