【水印已去除】2019年湖南省长沙一中高考数学模拟试卷(文科)(一)(5月份)

长沙市2019届高三年级统一模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.在复平面内表示复数（，为虚数单位）的点位于第二象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.3.下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（）A. B.C. D.4.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率为（）A. B. C. D.5.设，，表示不同直线，，表示不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则.真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 46.若，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知，是双曲线的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（）A. B. C. D.8.若，，，则的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 89.已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点.若，则的图象对称中心可以是（）A. B. C. D.10.在中，，，，且是的外心，则（）A. 16B. 32C. -16D. -3211.已知抛物线的焦点为，点在上，.若直线与交于另一点，则的值是（）A. 12B. 10C. 9D. 4.512.已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设曲线在点处的切线与直线垂直，则__________．14.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________．15.在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成角的取值范围是__________．16.中，内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则面积的最大值是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列的首项，，且对任意的，都有，数列满足，.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）求使成立的最小正整数的值.18.如图，已知三棱锥的平面展开图中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的表面积和体积.19.为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据好下表：（Ⅰ）求，；（Ⅱ）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？（Ⅲ）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数.附：20.已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点为、，过、分别作轴的垂直、，椭圆的一条切线与、交于、两点，求证：的定值.21.已知函数， .（Ⅰ）试讨论的单调性；（Ⅱ）记的零点为，的极小值点为，当时，求证.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的参数方程为（为参数），过原点且倾斜角为的直线交于、两点.（Ⅰ）求和的极坐标方程；（Ⅱ）当时，求的取值范围.23.已知函数.（Ⅰ）当，求的取值范围；（Ⅱ）若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围.长沙市2019届高三年级统一模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出集合N，然后对集合M,N取交集即可得到答案.【详解】,则故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.在复平面内表示复数（，为虚数单位）的点位于第二象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算将复数化简为a+bi的形式，然后根据复数对应点位于第二象限，即可得到m范围. 【详解】,复数对应的点为（），若点位于第二象限，只需m>0,故选：C.【点睛】本题考查复数的有关概念和复数的商的运算，属于基础题.3.下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知函数为奇函数，由奇函数和单调性对四个选项逐个进行检验即可得到答案.【详解】由函数图象关于原点对称知函数为奇函数，选项B，函数定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项C，因为f(x)=f（-x）,函数为偶函数，故排除；选项A，函数为奇函数且f’(x)=cosx-1可知函数在定义域上单调递减，故排除；选项D，函数为奇函数，由指数函数单调性可知函数在定义域上单调递增，故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断方法，属于基础题.4.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由于电台的整点报时之间的间隔60分，等待的时间不多于5分钟，根据几何概型的概率公式可求．【详解】设电台的整点报时之间某刻的时间x，由题意可得，0≤x≤60，等待的时间不多于5分钟的概率为P＝＝，故选：B．【点睛】本题考查几何概型，先要判断概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于基础题．5.设，，表示不同直线，，表示不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则.真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用线面平行和线线平行的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择．【详解】对于①,由平行公理4,可知正确；对于②，若a⊂α，显然结论不成立，故②错误；对于③，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故③错误；对于④，a∥β，a⊂α，b⊂β，a与b平行或异面，故④错误；真命题的个数为1个，故选：A.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．6.若，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】根据约束条件画出可行域如图，即y=2x-z,由图得当z＝2x﹣y过点O（0，0）时，纵截距最大，z最小为0．当z＝2x﹣y过点B（1，-1）时，纵截距最小，z最大为3．故所求z＝2x﹣y的取值范围是故选：A．【点睛】本题考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值和范围，求目标函数范围的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，从而得到范围.7.已知，是双曲线的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线方程得到渐近线方程和以为直径的圆的方程，设点P坐标，根据点P在渐近线上和圆上，得点P坐标，从而可得三角形的面积.【详解】等轴双曲线的渐近线方程为，不妨设点在渐近线上，则以为直径的圆为又在圆上，解得，，故选：.【点睛】本题考查双曲线方程和渐近线的简单应用，考查三角形面积的求法，属于基础题.8.若，，，则的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式即可直接得到所求最小值.【详解】，于是或（舍），当时取等号，则a+b的最小值为4，故选.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.9.已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点.若，则的图象对称中心可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可得函数周期，从而得点B,C的坐标，，即是图象的对称中心. 【详解】因为P是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两最低点，可知|BC的周期，半个周期为3，则得，，由图像可知（-1,0），都是图象的对称中心，故选：.【点睛】本题考查函数的周期性和对称性，属于基础题.10.在中，，，，且是的外心，则（）A. 16B. 32C. -16D. -32【答案】D【解析】【分析】利用数量积公式和投影的定义计算即可得到答案.【详解】，又是的外心，由投影的定义可知则故选.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，考查投影定义的简单应用，属于基础题.11.已知抛物线的焦点为，点在上，.若直线与交于另一点，则的值是（）A. 12B. 10C. 9D. 4.5【答案】C【解析】【分析】由点A在抛物线上得点A坐标，又F(2,0)，设直线AF方程并与抛物线方程联立，利用抛物线的定义即可得到弦长.【详解】法一：因为在上，所以，解得或（舍去），故直线的方程为，由，消去，得，解得，，由抛物线的定义，得，所以.故选.法二：直线过焦点，，又，所以，故选.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查利用抛物线定义求过焦点的弦长问题，考查学生计算能力.12.已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本道题将零点问题转化成交点个数问题，利用数形结合思想，即可。

湖南省2019年高考模拟试卷含答案数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，时量120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U R =，集合{}|lg A x y x ==，集合{}|1B y y ==，那么()U A C B =（ ）A . ∅B .(]0,1C .(0,1)D .(1,)+∞2．若复数z 满足(34)5i z +=，则下列说法不正确的是 A ．复数z 的虚部为45i - B ．复数z z -为纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点位于第四象限D ．复数z 的模为13．若x y >，则下列不等式成立的是A ．ln ln x y >B ．0.50.5x y >C ．1122x y >D. 33x y >4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个数学问题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”。

其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”。

则该人第三天所走的路程为 A ．6里 B ．12里C ．24里D ．48里5．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为 A．B ．0CD6．已知点P 是抛物线24y x =上的一点，F 为抛物线的焦点，若侧视图5PF =，则点P 的横坐标为A ．1B ．2C ．3D ．47．为了解某城镇居民的家庭年收入与年支出的相关关系，随机抽查5户家庭得如下数据表，根据数据表可得回归直线方程为0.760.4y x =+，则m = A ．6.8 B ．7.0C ．7.1D ．7.58．cos x xx x y e e -=+的部分图像大致为A B C D9．将函数2sin 3y x =的图像向右平移12π个单位长度，得到函数()y f x =的图像，则下列说法不正确的是 A ．函数()f x 的图像关于直线4x π=对称B ．函数()f x 的一个零点为012x π=C ．函数()f x 在区间[,66ππ-上单调递增D ．函数()f x 的最小正周期为23π10 则该几何体的表面积为 A ．6+ B ．6C ．6+D ．711．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，直线:340l x y -=与双曲线的左、右两只分别交于,A B 两点，若||||4AF BF -=，且右焦点F 到直线l的距离为125，则该双曲线的离心率为A ．53B ．32CD ．212．已知在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，且PAB △三角形，底面ABCD 是边长为3的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为A ．74π B ．4π C ．7π D ．16π 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后x y O πx y O πx yO πx y O π的横线上)13．在数列{}n a 中，11n n a a +-=，n S 为{}n a 的前n 项和. 若735S =，则3a =_______.14．设,x y 满足约束条件220101x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≤≥≥，则1z x y =+-的最小值为____________.15．已知向量a=(1，2)，b=(1，1)，c=2a+k b ，若b ⊥c ，则a·c =________.16．设函数224,0()3,0x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+⎪⎩＞≤，若()(1)f a f <，则实数a 的取值范围是________.三、解答题(本大题共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）在ABC △中，,,a b c 分别是,,A B C 的对边,(sin sin )sin a A C b B +=.(Ⅰ)若c a =，求角B ； (Ⅱ)若3B π=，三角形ABC的面积为，求a .18．（本小题满分12分）甲、乙两陶瓷厂生产规格为600×600的矩形瓷砖（长和宽都约为600mm ），根据产品出厂检测结果，每片瓷砖质量X （单位：kg ）在[7.5-0.5,7.5+0.5]之间的称为正品，其余的作为废品直接回炉处理.正品瓷砖按行业生产标准分为“优等”、“一级”、“合格”三个标准，主要按照每片瓷砖的“尺寸误差”加以划分，每片价格分别为 7.5元、6.5元、5.0元. 若规定每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为a ,b (单位：mm)，则“尺寸误差”为|a -600|+|b -600|， “优等”瓷砖的“尺寸误差” 范围是[00.2],，“一级”瓷砖的“尺寸误差”范围是(0.2,0.5]，“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围是(0.51]，. 现分别从甲、乙两厂生产的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：（甲厂产品的“尺寸误差”频数表） （乙厂产品的“尺寸误差”柱状图）（Ⅰ）根据样本数据分别计算甲、乙两厂生产的正品瓷砖的“尺寸误差”的平均值； （Ⅱ）若用这个样本的频率分布估计总体分布，求乙厂所生产的正品瓷砖的平均价格； （Ⅲ）现用分层抽样的方法从甲厂生产的100片样本瓷砖中随机抽取20片，再从抽取的20片瓷砖中的“一级”瓷砖与“合格”瓷砖中随机选取2片进一步分析其“平整度”，求这2片瓷砖的价格之和大于12元的概率.519．（本小题满分12分） 如图，在五面体ABCDPQ 中，四边形ABQP 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AC ⊥CD ，E 为QD 的中点，且AE ∥平面QBC .（Ⅰ）证明：AC ⊥平面ABQP ;（Ⅱ）若QB =BC =2，ACE －ACD 的体积.20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设椭圆短轴的两个顶点为,P Q ，过椭圆的上顶点P作两条互相垂直的直线12,l l 分别与椭圆的另一个交点为,A B ，若43QA QB ⋅=-，求PAB △的面积.21．（本小题满分12分） 已知函数()ln 1f x x ax =-+()a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若对任意的0x ＞，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）求证：当0x ＞时，ln 10x e x x x -+-＞. 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），线段OD（O 为坐标原点）的中点M 在曲线1C 上，设动点D 的轨迹为曲线2C ．在以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 3ρθρθ=+.（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程.（Ⅱ）若直线l 与y 轴交于点P ，与曲线2C 交于点A 、B ，求PA PB +. 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知0,0a b >>，函数()332f x x a x b =-++ （Ⅰ）当3,1a b ==时，求不等式()6f x ≥的解集； （Ⅱ）若函数()f x 的最小值为2，求ab 的最大值.数学（文史类）参考答案一、选择题： 1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．D 7．D 8．A 9．C 10．B 11．D 12．C 二、填空题：. 13．4 14．－4 15．1 16．)1,0()1,2( -- 三、解答题：17．（本题满分12分 解：（Ⅰ）由B b C A a sin )sin (sin =+及正弦定理可得， 2)(b c a a =+，即ac a b +=22…………(2分）又a c =，所以a b 2=…………(4分）∴222c a b +=，所以2π=B …………(6分）（Ⅱ） 3π=B ，由余弦定理有，ac c a b -+=222由(Ⅰ)知ac a b +=22，∴a c 2= …………(9分）由三角形ABC 的面积为32可知，3223s i n 212==a B ac ，∴2=a …………(12分） 18．（本题满分12分）解：（Ⅰ）甲厂生产的正品瓷砖的“尺寸误差”的平均值为：（30×0.1+30×0.2+5×0.3+10×0.4+5×0.5+10×0.6）÷100=0.23 …………(2分） 乙厂生产的正品瓷砖的“尺寸误差”的平均值为：（30×0.1+25×0.2+5×0.3+10×0.4+5×0.5+5×0.6+5×0.7）÷100=0.225……(4分） （Ⅱ）乙厂所生产的正品瓷砖的平均价格为：[(15+30+25)×7.5+(5+10+5)×6.5+(5+5)×5]÷100=7.05 …………(6分）（Ⅲ）用分层抽样的方法从甲厂生产的100片样本瓷砖中随机抽取20片， 则“一级”瓷砖抽取1002020⨯=4片，记为A 、B 、C 、D ；“合格”瓷砖瓷砖抽取1002010⨯=2片，记为E 、F ；…………(8分）从中选取2片有：AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF 共15种选法；其中价格之和大于12元，即选取的2片都为“一级”瓷砖的有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共6种选法. …………(11分）所以选取的2片瓷砖的价格之和大于12元的概率52156==P. ………(12分） 19．（本题满分12分）解：（Ⅰ） AB ∥CD ，AC ⊥CD ，∴AC ⊥AB 又P A ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AC又P A AB =A ，P A ，AB ⊂平面ABQP ，∴AC ⊥平面ABQP . …………(5分）（Ⅱ） AC =3，BC =2，AC ⊥AB ，∴1222=-=AC BC AB ，即AB =1 …………(6分）取QC 的中点F ，连接EF ，FB .E ，F 分别QD ，QC 的中点，∴EF ∥CD 又AB ∥CD ，∴EF ∥AB∴E ，F ，B ，A 确定平面ABFE ， 又AE ∥平面QBC ，AE ⊂平面ABFE ，平面QBC 平面ABFE =BF ，∴AE ∥BF ，又EF ∥AB ∴ABFE 为平行四边形∴AB =EF =21CD =1. ∴CD =2 …………(9分）∴CD AC S ACD ⋅=∆21=3四边形ABQP 为矩形, P A ⊥平面ABCD , ∴QB ⊥平面ABCD ，又E 为QD 的中点∴E 到平面ABCD 的距离为21QB =1∴ACD E V -=)21(31QB S ACD ⋅⋅∆=33. …………(12分）20．（本题满分12分）解：（Ⅰ）设过椭圆右焦点且垂直于x 轴的直线为：x c =，将x c =代入椭圆方程得：22221c y a b+=，且222a b c =+，故2b y a =±，即弦长为22b a=.①又离心率为2，即2c e a == ②由①②解得1a b ==，故椭圆方程2212x y +=为所求. …………(5分） （Ⅱ）由椭圆方程2212x y +=知点(0,1)P ，设过点P 的两条直线12,l l 的方程分别为 1:1,l y kx =+，21:1l y x k =-+，联立1l 与椭圆方程，即22221(12)4012y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，故2412A kx k =-+，即222412(,)1212k k A k k--++，同理可求得22242(,)22k k B k k -++…………(8分）又(0,1)Q -,由43QA QB ⋅=-,得2242(,)1212k k k -⋅++222424(,)223k k k k =-++, 得211k k =⇒=±.…………(11分）此时4141(,),(,)3333A B ---或4141(,),(,)3333A B ---，故PAB ∆的面积为169. …………(12分）21．（本题满分12分）解：(Ⅰ)xaxa x x f -=-='11)()0(>x …………(1分） (1)若0≤a ，则0)(>'x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增；(2)若0>a ，由0)(>'x f 得a x 10<<；由0)(<'x f 得ax 1>∴函数)(x f 在)1,0(a 上单调递增；在),1(+∞a上单调递减. …………(3分）（Ⅱ）若0≤a ，则01)1(>+-=a f ，∴不满足0)(≤x f 恒成立.…………(4分）若0>a ，由(Ⅰ)可知，函数)(x f 在)1,0(a 上单调递增；在),1(+∞a上单调递减)1()(max a f x f =∴a1ln =，又0)(≤x f 恒成立0)(max ≤∴x f ，即01ln ≤a，解得：1≥a综上所述，实数a 的取值范围为),1[+∞. …………(6分）（用分离参数的方法也可以） （Ⅲ）法一:由(Ⅱ)可知，当1=a 时，0)(≤x f 恒成立，即01ln ≤+-x x∴1ln -≤x x ，又0>x ，∴x x x x +-≥-2ln所以121ln 2-+-≥-+-x x e x x x e x x…………(8分）记12)(2-+-=x x e x g x )0(>x ，则22)(+-='x e x g x记22)(+-=x ex h x,则2)(-='x e x h ，由0)(='x h 得2ln =x当)2ln ,0(∈x 时，0)(<'x h ；当),2(ln +∞∈x 时，0)(>'x h∴函数)(x h 在)2ln ,0(上单调递减；在),2(ln +∞上单调递增.………(10分）所以)2(ln )(minh x h =22ln 22ln +-=e 2ln 24-=0>∴0)(>x h ，即0)(>'x g ，故函数)(x g 在),0(+∞上单调递增01)0()(0=-=>∴e g x g 即0122>-+-x x e x 所以01ln >-+-x x x ex.…………(12分）法二：记1ln )(-+-=x x x ex g x)0(>x ，x e x g x ln )(-='记x e x h xln )(-=，xe x h x 1)(-='02)21(<-='e h ，01)1(>-='e h ，且函数)(x h '在),0(+∞上单调递增∴存在唯一的)1,21(0∈x 使得0)(0='x h ，即010x e x =…………(8分） 当),0(0x x ∈时，0)(<'x h ，当),(0+∞∈x x 时，0)(>'x h ∴函数)(x h 在),0(0x 上单调递减；在),0+∞x 上单调递增∴)()(0min x h x h =0ln 0x e x -=，又010x e x =，即00ln x x -= ∴00min 1)()(x x x h x h +==2≥，所以0)(>x h ，即0ln )(>-='x e x g x)(x g ∴在),0(+∞上单调递增 …………(10分） （1）当1≥x 时，0)1()(>=≥e g x g（2）当10<<x 时，1ln )(-+-=x x x e x g x )ln 1()1(x x e x-+-=又0110=->-e e x ，且01ln ln =<x ，∴0ln 1>-x 所以0)(>x g由（1）（2）可知当0>x 时，01ln >-+-x x x e x. …………(12分）22．（本题满分10分）（I ）直线l 的直角坐标方程为03=--y x ， …………(2分）曲线1C 的普通方程为4)122=+-y x （. …………(5分）（Ⅱ）设D(x ，y)，则由条件知M )2,2(yx 在C 1上，所以2C :4)2()1222=+-yx （, 即16)222=+-y x （. …………(7分） 易知点P )3,0(-，设直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==t y t x 22322(t 为参数)，代入2C :16)222=+-y x （得到：03252=--t t ，设)223,22(11t t A +-，)223,22(22t t B +-则2521=+t t ，321-=t t ，故PB PA +624)(2122121=-+=-=t t t t t t…………(10分）23．（本题满分10分） 解：（Ⅰ）当3,1a b ==时，()3332f x x x =-++()6fx ∴≥即33326x x -++≥1616x x >⎧⎨-≥⎩或21333326x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-++≥⎩或2333326x x x ⎧<-⎪⎨⎪---≥⎩65x ∴≥或56x ≤-解得不等式解集为5665x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或。

高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x（x-4）＜0}，B={-3，0，1，3}，则A∩B=（）A. {-3，-1}B. {1，3}C. {-3，-1，0}D. {0，1，3}2.已知函数f（x）=e x-（）x，则下列判断正确的是（）A. 函数f（x）是奇函数，且在R上是增函数B. 函数f（x）是偶函数，且在R上是增函数C. 函数f（x）是奇函数，且在R上是减函数D. 函数f（x）是偶函数，且在R上是减函数3.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m，记第二次出现的点数为n，则m=2n的概率为（）A. B. C. D.4.已知复数z1，z2在复平而上对应的点分别为A（1，2），B（-1，3），则的虚部为（）A. 1B. -iC. iD. -5.若双曲线的实轴长为2，则其渐近线方程为（）A. y=±xB.C.D. y=±2x6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图的面积为（）A.B.C.D.7.等比数列{a n}各项为正，a3，a5，-a4成等差数列，S n为{a n}的前项和，则=（）A. 2B.C.D.8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是( )A. A1O∥D1CB. A1O⊥BCC. A1O∥平面B1CD1D. A1O⊥平面AB1D19.已知函数f（x）=sin（ωx+θ）（ω＞0，-）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（）A. [-]B. []C. [0，]D. []10.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点M在第一象限的地物线C上，直线MF的斜率为，点M在直线l上的射影为A，且△MAF的面积为4，则p的值为（）A. 1B. 2C. 2D. 411.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推那么该数列的前50项和为（）A. 1044B. 1024C. 1045D. 102512.若不等式对成立，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D. [1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AH⊥BC于点H，若，则λ+μ=______14.已知x，y满足约束条件，则目标函数z=2x-y的最大值为______．15.若函数f（x）称为“准奇函数”，则必存在常数a，b，使得对定义域的任意x值，均有f（x）+f（2a-x）=2b，已知与为准奇函数”，则a+b=______．16.已知等△ABC的面积为4，AD是底边BC上的高，沿AD将△ABC折成一个直二面角，则三棱锥A一BCD的外接球的表面积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，M为AD上一点，AM=2MD=2，∠BMC=60°（1）若∠AMB=60°，求BC；（2）设∠DCM=θ，若MB=4MC，求tan60°．18.为推动更多人阅读，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护知识产权．为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3：1，将这200人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示，（1）求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；（2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成下面2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为阅读方式与年齡有关？参考公式：K2=19.如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且平面ABCD⊥平画DCE．AF∥DE，且AF=DE=2，BF=2．（1）求证：AC⊥BE；（2）若点F到平面DCE的距离为，求直线EC与平面BDE所成角的正弦值．20.已知圆x2+y2=9，A（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点，且∠PAQ=90°，M是PQ的中点．（1）求点M的轨迹曲线C的方程；（2）设对曲线C上任意一点H，在直线ED上是否存在与点E不重合的点下，使是常数，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由．21.已知函数f（x）＝e x＋m（1－x）＋n．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）函数，且g（2）＝0．若g（x）在区间（0，2）内有零点，求实数m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为，曲线C参数方程为为参数）：以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C1的参数方和的直角坐标方程；（2）已知P是C2上参数对应的点，Q为C1上的点，求PQ中点M到直线以的距离取得最大值时，点Q的直角坐标．23.已知函数f（x）=m-|2-x|，m∈R，且f（x-2）≥0的解集为[3，5]．（1）求m的值；（2）a，b均为正实数，，且a+b=m，求α+β的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．【解答】解：A={x|0＜x＜4}；∴A∩B={1，3}．故选：B．2.【答案】A【解析】解：f（x）的定义域为R，且；∴f（x）是奇函数；又y=e x和都是R上的增函数；∴是R上的增函数．故选：A．可看出f（x）的定义域为R，并可求出f（-x）=-f（x），从而判断出f（x）是奇函数，而根据y=e x和都是R上的增函数，即可得出f（x）是R上的增函数，从而选A．考查奇函数的定义及判断，以及指数函数的单调性，增函数的定义．3.【答案】B【解析】解：将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m，记第二次出现的点数为n，基本事件总数n=6×6=36，m=2n（k∈N*）包含的基本事件（m，n）有：（2，1），（4，2），（6，3）共3个，故m=2n的概率为=，故选：B．基本事件总数n=6×6=36，利用列举法求出m=2n包含的基本事件（m，n）有3个，由此能求出m=2n的概率．本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】D【解析】解：由题意，z1=1+2i，z2=-1+3i，∴=．∴的虚部为．故选：D．由已知求得z1，z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及基本概念，是基础题．5.【答案】A【解析】解：双曲线的实轴长为2，可得a=1，所以双曲线x2-y2=1（a＞0）的实轴长为2，则其渐近线方程为：y=±x．故选：A．直接利用双曲线的标准方程求出实轴长，即可求出a，然后求解渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.【答案】C【解析】解：由题意可知三视图的侧视图是直角三角形，高为2，底面直角边长为：，所以侧视图的面积为：=．故选：C．利用三视图的画法，说明侧视图的形状，然后求解面积．本题考查三视图求解几何体的侧视图面积，是基本知识的考查．7.【答案】D【解析】解：设{a n}的公比为q（q＞0，q≠1）∵a3，a5，-a4成等差数列，∴2a1q4=a1q2-a1q3，∵a1≠0，q≠0，∴2q2+q-1=0，解得q=或q=-1（舍去）∴==．故选：D．设{a n}的公比为q（q≠0，q≠1），利用a3，a5，-a4成等差数列结合通项公式，可得2a1q4=a1q2-a1q3，由此即可求得数列{a n}的公比，进而求出数列的前n项和公式，可得答案．本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练运用等差数列的性质，等比数列的通项是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，∴A1D∥B1C，OD∥B1D1，∵A1D∩DO=D，B1D1∩B1C=B1，∴平面A1DO∥平面B1CD1，∵A1O⊂平面A1DO，∴A1O∥平面B1CD1．故选：C．推导出A1D∥B1C，OD∥B1D1，从而平面A1DO∥平面B1CD1，由此能得到A1O∥平面B1CD1．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9.【答案】B【解析】解：函数f（x）=sin（ωx+θ）（ω＞0，-）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则：T=π，所以：ω=2将函数f（x）的图象向左平移后，得到g（x）=sin（2x++θ）是偶函数，故：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于：，所以：当k=0时．则，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），当k=0时，单调递减区间为：[]，由于[]⊂[]，故选：B．首先利用函数的图象确定函数的关系式，进一步求出函数的单调区间，再根据所求的区间的子集关系确定结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质周期性和单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】B【解析】解：如图所示，设准线l与x轴交于点N．∴S△AMF=．|MA|=|MF|=4．∴△AMF是边长为4的等边三角形．MA=2P=4，所以p=2．故选：B．设准线l与x轴交于点N．由直线MF的斜率为，可得∠AFN=60°．∠AMF=60°，利用抛物线的定义可得△AMF是等边三角形．|AF|=4．求解即可．本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、等边三角形的面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查类比推理，考查等比数列，分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：20，第二组：20，21，第三组：20，21，22，…第k组：20，21，22，…，2k-1，根据等比数列前n项和公式，能求出该数列的前50项和．【解答】解：将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：第一组：20，第二组：20，21，第三组：20，21，22，…第k组：20，21，22，…，2k-1，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21-1，22-1，23-1，…，2k-1，每项含有的项数为：1，2，3，…，k，总共的项数为N=1+2+3+…+k=，当k=9时，=45，故该数列的前50项和为S50=21-1+22-1+23-1+…+29-1+1+2+4+8+16=-9+31=1044．故选：A．12.【答案】A【解析】解：设t（x）=ln x+，t′（x）=-=，由x∈[，1]，得t（x）是单调减函数，且t（x）∈[1，e-1]；它的区间中点为=，当m≤时，|t（x）-m|max=e-1-m≤m+e，解得m≥；当m＞时，|t（x）-m|max=m-1≤m+e恒成立，综上知，m≥-时，不等式对成立，所以实数m的取值范围是[-，+∞）．故选：A．设t（x）=ln x+，利用导数判断t（x）的单调性，求出函数的值域，再讨论m的取值情况，从而去掉绝对值，求得不等式对成立时m的取值范围．本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了函数的单调性与最值问题，是中档题．13.【答案】【解析】解：∵AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AH⊥BC于点H，又，∴=（）•==0，∴，整理可得，λ=3μ，∴===，又B，H，C共线，∴2μ+μ=1，∴，λ=1，则λ+μ=，故答案为：．由已知结合向量数量积的性质可知=（）•==0，从而可得，λ=3μ，然后把，作为基底表示，结合B，H，C共线及向量共线定理即可求解．本题主要考查了向量共线定理及向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．14.【答案】3【解析】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，-1）．化目标函数z=2x-y为y=2x-z．由图可得，当直线y=2x-z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×1+1=3．故答案为：3．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】2【解析】解：根据题意，若函数f（x）称为“准奇函数”，则存在常数a，b，使得对定义域的任意x值，均有f（x）+f（2a-x）=2b，则函数f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，=1+，其图象关于点（1，1）对称，已知与为准奇函数”，则a=b=1；故a+b=2；故答案为：2．根据题意，由“准奇函数”的函数的定义分析可得函数的图象关于点（a，b）中心对称，分析的对称中心，即可得a、b的值，计算即可得答案．本题考查函数的对称性，注意由f（x）+f（2a-x）=2b分析函数的对称性，属于基础题．16.【答案】8π【解析】解：如图，设AD=a，BC=2b，则ab=4，由已知，BD⊥平面ADC，将三棱锥补形为长方体，则三棱锥A-BCD的外接球就是该长方体的外接球，且该长方体的长宽高分别为a、b，b，则球的直径2R=．∴球的表面积S=4πR2=（a2+2b2）π，∵，∴．故答案为：．由题意画出图形，设AD=a，BC=2b，则ab=4，将三棱锥补形为长方体，则三棱锥A-BCD 的外接球就是该长方体的外接球，且该长方体的长宽高分别为a、b，b，求出外接球的半径，代入球的表面积公式，结合等腰三角形△ABC的面积为4，利用基本不等式求最值．本题考查多面体外接球的表面积最值的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．17.【答案】解：（1）由∠BMC=60°，∠AMB=60°，得∠CMD=60°，在Rt△ABM中，MB=2AM=4，在Rt△CDM中，MC=2MD=2；在△MBC中，由余弦定理得，BC2=BM2+MC2-2BM•MC•cos∠BMC=12，则BC=2；（2）因为∠DCM=θ，所以∠ABM=60°-θ，0°＜θ＜60°，在Rt△MCD中，MC=，在Rt△MAB中，MB=，由MB=4MC，可得2sin（60°-θ）=sinθ，变形可得：cosθ-sinθ=sinθ，即2sinθ=cosθ，整理可得：tanθ=．【解析】（1）利用直角三角形的边角关系求得MB、MC的值，再利用余弦定理求得BC的值；（2）用∠DCM=θ，利用直角三角形的边角关系求出MC、MB的值，由MB=4MC列出关系式求得tanθ的值．本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18.【答案】解：（1）由频率分布直方图得：10×（0.01+0.015+a+0.03+0.01）=1，解得a=0.035，∴通过电子阅读的居民的平均年龄为：20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01=41.5．（2）由题意200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3：1，∴纸质阅读的人数为200×=50，其中中老年有30人，∴纸质阅读的青少年有20人，电子阅读的总人数为150，青少年人数为：150×（0.1+0.15+0.35）=90，则中老年人有60人，得2×2列联表：∴K2==≈6.061＞5.024，∴有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关．【解析】（1）由频率分布直方图能求出a的值和通过电子阅读的居民的平均年龄．（2）由题意200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3：1，纸质阅读的人数为200×=50，其中中老年有30人，纸质阅读的青少年有20人，电子阅读的总人数为150，青少年人数为：150×（0.1+0.15+0.35）=90，中老年人有60人，得2×2列联表，求出K2=≈6.061＞5.024，从而有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关．本题考查频率、平均数的求法，考查独立检验的应用，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】证明：（1）∵AF=AB=2，BF=2，∴AF2+AB2=BF2，∴∠FAB=90°，∴AF⊥AB，∵AF∥DE，AB∥CD，∴DE⊥DC，∵平面ABCD⊥平面DCE，DE⊂平面DCE，平面ABCD∩平面DCE=DC，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵DE∩BD=D，∴AC⊥平面BDE，∵BE⊂平面BDE，∴AC⊥BE．解：（2）设AC∩BD=O，连结OE，由（1）知AC⊥平面BDE，∴OE是EC在平面BDE内的射影，∴EC与平面BDE所成角为∠CEO，∵AF∥DE，AF⊄平面DCE，DE⊂平面DCE，∴AF∥平面DCE，∴点F到平面DCE的距离等于点A到平面DCE的距离，在平面ABCD作AH⊥CD，交CD延长线于H，∵平面ABCD⊥平面DCE，∴AH⊥平面DCE，∴AH=，∵AD=2，∴∠ADH=60°，∴菱形ABCD中，∠BDC=60°，∴OC=，在Rt△DEC中，EC==2，∴sin∠OEC===，∴直线EC与平面BDE所成角的正弦值为．【解析】（1）推导出AF⊥AB，DE⊥DC，从而DE⊥平面ABCD，进而DE⊥AC，推导出AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE，由此能证明AC⊥BE．（2）设AC∩BD=O，连结OE，则OE是EC在平面BDE内的射影，EC与平面BDE所成角为∠CEO，推导出AF∥平面DCE，点F到平面DCE的距离等于点A到平面DCE的距离，在平面ABCD作AH⊥CD，交CD延长线于H，由此能求出直线EC与平面BDE 所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（1）设点M（x，y），由∠PAQ=90°，得|AM|=|PQ|=|PM|=，化简得：，即；（2），直线ED的方程为y=，假设存在点F（t，）（t）满足条件，设H（x，y），则有，，．当是常数时，是常数，∴，解得t=或t=（舍）．∴存在F（）满足条件．【解析】（1）设点M（x，y），由∠PAQ=90°，得|AM|=|PM|=，代入点的坐标整理即可得到点M的轨迹曲线C的方程；（2）写出直线ED的方程为y=，假设存在点F（t，）（t）满足条件，设H（x，y），则有，分别写出|HE|2与|HF|2，得到是常数，可得，由此求得t值，可得存在F（）满足条件．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算能力，是中档题．21.【答案】解：（1）f′（x）=e x-m，当m≤0时，f′（x）＞0成立，f（x）在R上单调递增；当m＞0时，令f′（x）=0，得x=ln m，则f（x）在（-∞，ln m）单调递减，在（ln m，+∞）单调递增．综上，当m≤0时，f（x）在R上单调递增；当m＞0时，f（x）在（-∞，ln m）单调递减，在（ln m，+∞）单调递增．（2）g′（x）=e x+m（1-x）+n=f（x），设x0是g（x）在区间（0，2）内的一个零点，因为g（x0）=g（0）=0可知，g（x）在区间（0，x0）上不单调，故f（x）在区间（0，x0）存在零点x1，同理g（x0）=g（2）=0，可知f（x）在区间（x0，2）存在零点x2，即f（x）在区间（0，2）内至少有两个不同的零点x1和x2．由（1）知m＞0，ln m∈（0，2）得1＜m＜e2，此时f（x）在区间（0，ln m）单调递减，在（ln m，2）单调递增；由g（2）=0知，所以，则f（x）min=f（ln m）≤f（1）＜0；故只需解得，所以实数m的取值范围是．【解析】本题考查函数的单调性、零点的综合问题，属于中档题目．（1）先求出导数，然后对m讨论判断其单调性；（2）利用导数研究函数g（x）在区间（0，2）内的变化趋势，从而根据变化趋势建立不等式来求解．22.【答案】解：（1）∵曲线C1的普通方程为，∴曲线C1的参数方程为（β为参数），∵直线l的极坐标方程为，∴直线l的直角坐标方程为x-y=0；（2）由题设，P（-2，0），由（1）可设Q（cosβ，），于是M（-1+，），M到直线l的距离d==．∴当时，d取得最大值，此时Q的直角坐标为（，）．【解析】（1）直接由C1的普通方程写出曲线C1的参数方程，由直线l的极坐标方程写出直线l的直角坐标方程；（2）由题设得P（-2，0），由（1）可设Q（cosβ，），得到M（-1+，），由点到直线距离公式写出M到直线l的距离，利用三角函数求最值，并求得Q的直角坐标．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查点到直线的距离公式的应用，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.【答案】解：（1）f（x-2）≥0等价于m-|2-x+2|≥0等价于|x-4|≤m⇔4-m≤x≤4+m，依题意可得4-m=3，4+m=5，解m=1．（2）由（1）知a+b=1，∵α+β=a+b++=1++=3++=5，当且仅当a=b=时等号成立．【解析】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．（1）f（x-2）≥0等价于m-|2-x+2|≥0等价于|x-4|≤m⇔4-m≤x≤4+m，依题意可得4-m=3，4+m=5，解m=1．（2）利用基本不等式可得．。

长沙市2019届高三年级统一模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出集合N，然后对集合M,N取交集即可得到答案.【详解】,则故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2.在复平面内表示复数（，为虚数单位）的点位于第二象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算将复数化简为a+bi的形式，然后根据复数对应点位于第二象限，即可得到m范围.【详解】,复数对应的点为（），若点位于第二象限，只需m>0,故选：C.【点睛】本题考查复数的有关概念和复数的商的运算，属于基础题.3.下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知函数为奇函数，由奇函数和单调性对四个选项逐个进行检验即可得到答案.【详解】由函数图象关于原点对称知函数为奇函数，选项B，函数定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项C，因为f(x)=f（-x）,函数为偶函数，故排除；选项A，函数为奇函数且f’(x)=cosx-1可知函数在定义域上单调递减，故排除；选项D，函数为奇函数，由指数函数单调性可知函数在定义域上单调递增，故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断方法，属于基础题.4.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由于电台的整点报时之间的间隔60分，等待的时间不多于5分钟，根据几何概型的概率公式可求．【详解】设电台的整点报时之间某刻的时间x，由题意可得，0≤x≤60，等待的时间不多于5分钟的概率为P＝＝，故选：B．【点睛】本题考查几何概型，先要判断概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于基础题．5.设，，表示不同直线，，表示不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则.真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用线面平行和线线平行的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择．【详解】对于①,由平行公理4,可知正确；对于②，若a⊂α，显然结论不成立，故②错误；对于③，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故③错误；对于④，a∥β，a⊂α，b⊂β，a与b平行或异面，故④错误；真命题的个数为1个，故选：A.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．6.若，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】根据约束条件画出可行域如图，即y=2x-z,由图得当z＝2x﹣y过点O（0，0）时，纵截距最大，z最小为0．当z＝2x﹣y过点B（1，-1）时，纵截距最小，z最大为3．故所求z＝2x﹣y的取值范围是故选：A．【点睛】本题考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值和范围，求目标函数范围的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，从而得到范围.7.已知，是双曲线的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线方程得到渐近线方程和以为直径的圆的方程，设点P坐标，根据点P在渐近线上和圆上，得点P坐标，从而可得三角形的面积.【详解】等轴双曲线的渐近线方程为，不妨设点在渐近线上，则以为直径的圆为又在圆上，解得，，故选：.【点睛】本题考查双曲线方程和渐近线的简单应用，考查三角形面积的求法，属于基础题.8.若，，，则的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式即可直接得到所求最小值.【详解】，于是或（舍），当时取等号，则a+b的最小值为4，故选.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.9.已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点.若，则的图象对称中心可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可得函数周期，从而得点B,C的坐标，，即是图象的对称中心.【详解】因为P是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两最低点，可知|BC的周期，半个周期为3，则得，，由图像可知（-1,0），都是图象的对称中心，故选：.【点睛】本题考查函数的周期性和对称性，属于基础题.10.在中，，，，且是的外心，则（）A. 16B. 32C. -16D. -32【答案】D【解析】【分析】利用数量积公式和投影的定义计算即可得到答案.【详解】，又是的外心，由投影的定义可知则故选.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，考查投影定义的简单应用，属于基础题.11.已知抛物线的焦点为，点在上，.若直线与交于另一点，则的值是（）A. 12B. 10C. 9D. 4.5【答案】C【解析】【分析】由点A在抛物线上得点A坐标，又F(2,0)，设直线AF方程并与抛物线方程联立，利用抛物线的定义即可得到弦长.【详解】法一：因为在上，所以，解得或（舍去），故直线的方程为，由，消去，得，解得，，由抛物线的定义，得，所以.故选.法二：直线过焦点，，又，所以，故选.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查利用抛物线定义求过焦点的弦长问题，考查学生计算能力. 12.已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本道题将零点问题转化成交点个数问题，利用数形结合思想，即可。

湖南省长沙市2019届上学期统一模拟考试高三文数试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】C【解析】错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

,故选C.2. 复数错误！未找到引用源。

的实部和虚部分别为（）A. 3，3B. -3，3C. 3，错误！未找到引用源。

D. -3，错误！未找到引用源。

【答案】B【解析】错误！未找到引用源。

，实部是-3，虚部是3，故选B.3. 错误！未找到引用源。

图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 2D. 错误！未找到引用源。

【答案】A4. 椭圆错误！未找到引用源。

的焦点在错误！未找到引用源。

轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆错误！未找到引用源。

的标准方程为（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】C【解析】由条件可知错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，所以椭圆方程为错误！未找到引用源。

，故选C.5. 已知函数错误！未找到引用源。

，则（）A. 错误！未找到引用源。

，使得错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

，使得错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

使得错误！未找到引用源。

【答案】B6. 下图是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为直径为2的半圆，俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为（）A. 3错误！未找到引用源。

B. 4错误！未找到引用源。

C. 5错误！未找到引用源。

D. 12错误！未找到引用源。

2019年湖南省长沙市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合M {x R|3x 1}，N {x Z|1剟x2}，则M N ()A．{0}B．{1，0}C．{1，0，1}D．{2，1，0，1，2}i2．（5分）在复平面内表示复数(m R，i为虚数单位）的点位于第二象限，则实数m的取值范围是(m i)A．(,1)B．(,0)C．(0,)D．(l,)3．（5分）下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是( )A．f(x)sin x x B．f(x)ln(x 1)ln(x 1)C．f(x)e x e2xD．f(x)e xe2x4．（5分）某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率是( )A．16B．112C．160D．1725．（5分）设a，b ，c表示不同直线，，表示不同平面，下列命题：①若a/ /c，b//c，则a//b；②若a/ /b，b//，则a//；③若a/ /，b//，则a//b；④若a ，b ，//真命题的个数是()，则a/ /b A．1B．2C．3D．46．（5分）若x A．[0，3]，y满足x y 0x y…0，则z 2x y 的取值范围是(x (1)B．[1，3]C．[3，0])D．[3，1]7．（5分）已知F ，F是双曲线C:y122x 1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以F F 为直径1 2的圆经过点P，则△PF F 的面积为()1 2A．2B．22C．2D．18．（5分）若a 0，b 0，a b ab ，则a b的最小值为( ) A．2B．4C．6D．829．（5 分）已知 P ( 12， 2) 是函数 f ( x ) A sin(x )(A 0 ， 0) 图象的一个最高点， B ， C 是与 P 相邻的两个最低点．若 | BC |6 ，则 f ( x ) 的图象对称中心可以是 ()A ． (0,0)B ． (1,0)C ． (2,0)D ． (3,0)10．（5 分）在 ABC 中， AB 10 ， BC 6 ， CA 8 ，且 O 是 ABC 的外心，则 CA AO ()A ．16B ．32C ． 16D ． 3211．（5 分）已知抛物线 C : y 8x 的焦点为 F ，点 a (1， a )(a 0) 在 C 上， | AF |3 ．若直线 AF 与 C 交于另 一点 B ，则 | AB | 的值是 ()A ．12B ．10C ．9D ．4.512．（5 分）已知 f ( x )|e x1| 1，若函数 g ( x ) [ f ( x )]2(a 2) f ( x ) 2a 有三个零点，则实数 a的取值范围是 ()A ． (2, 1)B ． (1,0)C ． (0,1)D ． (1,2)二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．13．（5 分）设曲线 yax 2在点 (1,a ) 处的切线与直线 x2 y 6 0 垂直，则 a．14．（5分）在平面直角坐标系 xOy 中，角的顶点在原点，始边与 x轴的非负半轴重合，终边过点 (1 3， ) ，2 2则 sin2．15．（5 分）在正方体 ABCD A B C D 中，点 P 在线段 A B 上运动，则异面直线 DP 与 CB 所成角的取值范围1 1 1 111是．16．（5 分） ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 aABC 面积的最大值是．， b ， c，已知 a b cos C c sin B ，且 b 2 ，则三、解答题：本大题共 7 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共 60 分．17．（12 分）已知数列{a }的首项 a3 ， a7 ，且对任意的 n N * ，都有 a2a n13n足 ba， n N * ．n 1n2n 1an 20 ，数列{b }满n（Ⅰ）求数列 {a }， {b }的通项公式；nn（Ⅱ）求使 bbb2018 成立的最小正整数 n 12n的值．18．（12 分）已知三棱锥 P ABC （如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形A BCD 为边长等于 2 的正 方形， ABE 和 BCF 均为正三角形，在三棱锥 P ABC 中：2（Ⅱ）求三棱锥 P ABC 的表面积和体积．19．（12 分）为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生 960 人，其中男生 560 人，从全校学生中抽取了容量为n 据如表：超过 1 小时 不超过 1 小时的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数男生女生20128m（Ⅰ）求 m ， n ；（Ⅱ）能否有 95% 的把握认为该校学生一周参加社区服务时问是否超过 1 小时与性别有关？（Ⅲ）以样本中学生参加社区服务时间超过 1 小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调査 6 名学生，试估计这 6 名学生中一周参加社区服务时间超过 1 小时的人数．附：P (K2…k)k0.0503.8410.0106.6350.00110.828K 2n(ad bc)2(a b)(c d )(a c)(b d )20．（12 分）已知椭C : x 2 y 2 a 2 b 211(a b 0) 的离心率为 ，左、石焦点分别为F 、 F ， A 为椭圆 C 上一点，1 2A F 2F F ，且 |AF | 12 2 83 ．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的左、石顶点为 A 、 A ，过 A 、 A 分别作 x 1212l 、 l 交于 M 、 N 两点，求证： MF N 为定值．121轴的垂线 l 、l ，椭圆 C 的条切线 l :y kx m 与 1221．（12 分）已知函数 f(x) lnx ax（Ⅰ）试讨论 f(x)的单调性；11 ， g(x) xlnx (a 1)x xx．3（Ⅱ）记 f ( x ) 的零点为 x 0， g ( x ) 的极小值点为 x 1，当 a (1,4) 时，求证： xx 01．（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 M 的x 1 cos参数方程为 (为参数），过原点 O 且倾斜角为 的直线 l y 1 sin交 M 于 A ， B 两点．（Ⅰ）求 l和 M 的极坐标方程；（Ⅱ）当 (0 ， ] 4时，求 | OA | | OB | 的取值范围．[选修 4-5：不等式选讲]23．已知函数 f ( x ) x | x a | ， a R ．（1）若 f （1） f (1) 1 ，求 a的取值范围；（2）若 a 0 ，对 x ， y (，a ] ，都有不等式 f ( x ) | y5 4| | y a | 恒成立，求 a的取值范围．2019 年湖南省长沙市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目 要求的．【解答】解：由集合 N {x Z | 1剟x 2} ，得到集合 N {1，0，1， 2} ，又集合 M{x R | 3x 1} ，则 MN {1， 0} ．故选： B ．【解答】解： 表示复数i i (m i )1mi 的点位于第二象限，m i (m i )(m i )m 21 m 2110 ，解得 m 0 ．mm 21实数 m 的取值范围是 (0,)．故选： C ．【解答】解：根据题意，若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，依次分析选项：对于 A ， f ( x ) sin x x ，有 f (x )(sin x x ) f ( x ) ，为奇函数，其导数 f (x) cos x 1 0 ，则 f ( x ) 在其定义域上为减函数，不符合题意；对于 B ， f (x ) ln (x 1) ln ( x 1) ，其定义域为 (1,)，不是奇函数，不符合题意；e xe x e x e x e x e x对于 C ， f ( x )，有 f (x ) f ( x ) ，为偶函数，不符合题意； 2 2 2 e x e x e x e x e x e x 对于 D ， f ( x ) ，有 f (x ) (2 2 2) f ( x ) ，为奇函数，其导数 f (x) e x e 2 x0 ，则 f ( x ) 在其定义域上为增函数，符合题意．故选： D ．【解答】解：设电台的整点报时之间某刻的时间 x 由题意可得， 0剟x 60 ，，等待的时间不多于 5 分钟的概率为 P 故选： B ．5 1，60 12 【解答】解：由 a， b ， c表示不同直线， ， 表示不同平面，知：在①中，若 a / / c ， b / /c ，则由平行公理得 a / /b ，故①正确；m 2 1在②中，若a//b，b//，则a//或a ，故②错误；在③中，若a//，b/ /，则a与b相交、平行或异面，故③错误；在④中，若a ，b ，//故选：A．，则a与b平行或异面，故④错误．【解答】解：不等式组x y 0x y...0表示的可行域如图所示：x (1)x y 0联立方程组，解得A(0,0)；x y 0x 1联立方程组，解得B(1,1)；x y 0化目标函数z 2x y 为y 2x z，由图可知，当直线y 2x z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为2000；当直线y 2x z过点B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为21(1)3；z 2x 3y的取值范围是[0，3]．故选：A．【解答】解：F，F是双曲线C:y122x21的上、下焦点，F(0,2)，F (0,2) ，一条渐近线方程为y x，1 2设点P(m,m)，PF (m,2m)，PF (m,2m)，1 2以F F为直径的圆经过点P，1 2PF P F，1 2PF PF m1 22m222m220，解得m 1，即点P到y轴的距离为1，△PF F 的面积S12故选：A．11|F F ||x |221222，【解答】解：在等式a b ab两边同时除以ab，得111a b，11b a b a由基本不等式可得a b (a b)()2…224，a b a b a b当且仅当b a 时，即当a b时，等号成立，a b所以，a b的最小值为4．故选：B．【解答】解：由题意有T 6，当x12时函数取最大值，即1T kTf(x)的图象对称中心为(，0)，242即f(x)的图象对称中心为：(3k 2,0)，k Z，当k 0时，f(x)的图象对称中心可以是(2,0)，故选：C ．【解答】解：AB 2 BC 2 CA 2 ABC是以AB为斜边的直角三角形，外心O是AB的中点，11CA AO CA ( AB)CA (CB CA)22112CA CB CA22182322故选：D．【解答】解：因为A(1，a)(a 0)在C上，所以a解得a 22或a 22（舍去），故直线AF的方程为y 22(x 2)，28，1 2P由y 22( x 2)y 28x消去 y ，得 x 25x 4 0 ，解得 x1 ， x4 ，12B (4, 4 2)则 | AB | (4 1)2(4 2 22) 29 ．故选： C ．【解答】解：若 g ( x ) [ f ( x )]2(a 2) f ( x ) 2a [ f ( x ) 2][ f ( x ) a ] 有三个零点，即 g ( x ) [ f (x ) 2][ f ( x ) a ] 0 有三个根， 即 f ( x ) 2 或 f ( x )a ．当 f ( x )2 时，由 | e x1| 12 ，即 | e x1| 1 ，则 e x 1 1 或 e x 1 1，即 e x2 或 e x0 ，则 x ln 2 或 x无解，此时方程只有一个解， 则 f (x )a ．有两个不同的根，作出 f ( x ) 的图象如图：由图象知，则1a 2 ，即 2 a1，即实数 a 的取值范围是 (2, 1) ， 故选：A ．二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．【解答】解：由 y ax2，得 y 2ax ，y |x 12a ，曲线 y ax 在点 (1,a ) 处的切线与直线 x 2 y 6 0 垂直，22a 2 ， a 1 ．故答案为：1．【解答】解： 角 的顶点在原点，始边与 x轴的非负半轴重合，终边过点 ( 1 3 ， ) ，而点 ( 2 21 3， ) 在2 2 单位圆上，sin32， cos1 ， 2s in 22sincos3 2，故答案为：3 2． 【解答】解： CB / / D A ，A DP 为异面直线 DP 与 CB 所成角，1111当 P 与 A 重合时， A DP14，以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，1设正方体 ABCD A B C D 中棱长为 1，1 1 1 1则 D (0 ，0， 0) ， A (1，0， 1) ， B (1，1， 1) ，11当 P 与 B 重合时， DA(1 ，0， 1) ， DP (1 ，1， 1) ，11cos A DP 1DA DP1| DA | | DP |12 2 363，当 P 是 AB 中点时， P (1 ， 11 1， ) 2 21 1 ， DP (1, , )2 2，3 DA DPcos A DP 1| DA | | DP |1223 23 2，A DP ，6异面直线 DP 与 CB 所成角的取值范围是 [1， ] 64．故答案为： [， ] 6 4．11【解答】解：由正弦定理得到：s in A sin C sin B sin B cos C，在ABC中，sin Asin[(B C)]sin(B C)，s in(B C)sin B cos C cos B sin C sin C sin B sin B cos C，c os B sin C sin C sin B，C (0,)，sin C 0，c os B sin B，即tan B 1，B (0,)，B4，由余弦定理得到：b2a2c22a c cos B，即2a2c22a c，22ac a2c2…2ac，即ac…22222，当且仅当a c，即a c 22时取“”，SABC 12ac sin B ac，24ABC面积的最大值为：1 21．故答案为：1 21．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a }满足a 2an n n 1an 20，即a an n 22an1，则数列{a}为等差数列，又由a 3，a 7，则数列{a }的公差d n1 3 n则a a (n 1)d 2n 1；n 1a a3 1 2，2b an2n 12n 1，（Ⅱ）根据题意，设S b b b，n 1 2 n由（Ⅰ）的结论，ban2n 12n 1，则S b b b (21n 1 2 n1)(221)(2n 1)(2122232n)n 2n 1n 2，若b b b 2018，则21 2 nn 1n 2020，且n N，则n…10 ，即使b b b 2018成立的最小正整数n1 2 n【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点O，连结OP，OB，由题意得PA PA，BA B C，PC PA PB BC AC 2，OA OC OP OB 1，PO A C，BO A C，POB是二面角P AC B的平面角，的值为10．PO2BO2PB2，PO B O，POB90，平面PAC 平面ABC；解：（Ⅱ）三棱锥P ABC的表面积为：S SABCSPABSPACSPBC1111AB BC PA PB sin 60PA PC PB PC sin6022221131132 2 2222222222224 3．三棱锥P ABC的体积为：1111VS PO 221．3323ABC【解答】解：（Ⅰ）根据分层抽样法，抽样比例为n 48 ；m 48 20 8 12 8 ；（Ⅱ）根据题意完善 2 2 列联表，如下；n 20 8960 560 ，男生女生合计超过 1 小时201232不超过 1 小时8816合计282048计算 K 248 (20 8 12 8)2 32 16 20 280.6857 3.841 ，所以没有 95% 的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过 1 小时与性别有关；32 2（Ⅲ）参加社区服务时间超过 1 小时的频率为 ，48 3用频率估计概率，从该校学生中随机调査 6 名学生，估计这 6 名学生中一周参加社区服务时间超过 1 小时的人数为 6234 （人 ) ．【解答】解：（Ⅰ）椭圆 C :xy 1 c 11(a b 0) 的离心率为 ，即 ， a 2b 2 3 a 3| PF | | PF |2a ， | AF |1 2 2 83， AFF F ，2 1 2| PF 1| 2|P F |22| F F | 1 22，8 88 2a 即 (2 a )2 ( )2 (2 c )2( )2 ( ) 3 333解得 a 3 ， c 1，2 ， b 2a 2c 28 ，椭圆方程为x 2y 2 1 ，98（Ⅱ）证明：由题设知 l : x3， l : x 3 ，12l与 C 的方程联立可得x 2 y 2 19 8，消去 y 可得 (19k 2 ) x 2 18kmx 9(m 2 8) 0 ， (*) ，y kx ml与 C 相切，“ * ”中△ 18 k m36(19k )(m8) 0 ，m 29k 28 ，2 2 2 2222l 与 1 ， l 12联立得 M (3, 3k m ) ， N (3,3k m ) ，又 F (1,0) 1，MF NF(2 ， 3k m ) (4 ， 3k m ) 8m 9k 88 011M FN F ，11即 MF N 12，故 MF N 为定值，定值为 12 ．1 1ax 2x 1 【解答】解：（Ⅰ） f (x) ax x 2 x 2若 a …0 ，则 f (x) 0 ， f ( x ) 在 (0,)递增；( x 0) ，若 a 0 ，则 ax 2x 1 0 一正一负两根，且正根是1 1 4a 2a，当 x (0, 1 1 4a 2a) 时， f (x) 0 ， f ( x ) 递增，x (1 1 4a 2a，)时， f (x) 0 ， f ( x ) 递减；综上， a …0 时， f ( x ) 在 (0,)递增；a 0 时， f ( x ) 在 (0,1 1 4a1 1 4a) 递增，在 (2a2a， )递减；（Ⅱ） g ( x ) xlnx (a 1)x 11 ， g (x) lnxa ( x 0) x x 2， 故 g (x) 在 (0,)递增，1又 g （1）a 1 0 ， g ( )l n 2 4 a 0 ，2故 g (x) 存在零点 1x ( ， 1) ，且 g ( x ) 在 (0, x ) 递减，在 ( x ，)递增，2x 即是 g ( x ) 的极小值点，2故 xx ，21由 g (x ) 0 知， lnx 1 1 1x 21a 0 ，故 f ( x ) lnx ax1 11 111lnxx ( lnx )(1x )lnx ，xx 2x111又 xx( 1212， 1) ，故 f ( x ) (1 x )lnx 0 f ( x ) 1 1 1 0 ，由（Ⅰ）知， a 0 时， f ( x ) 在 (0,)递增，故 xx ．1（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]2 2 2 2 2 1 1 1 1 1【解答】解：（Ⅰ）过原点 O 且倾斜角为 的直线 l 的方程为 y tan x ，直线 l的极坐标方程为sintan cos，即．曲线 M 的参数方程为x 1 cosy 1 sin(为参数）， 曲线 M 的普通方程为 ( x 1)即 x 2y 2 2 x 2 y 1 0 ，( y 1)21 ，曲线 M 的极坐标方程为22cos2sin10 ．（2）当 0 时，直线 l的直线坐标方程为 x 0 ，直线 l 与圆 M 相切， | OA ||O B |1 ，不成立；当4时， | OA | | OB | 1 2 1 2 1 1 2 ，当 (0 ，4] 时， | OA || OB | 的取值范围是 (2 ， 1 2] ．[选修 4-5：不等式选讲]【解答】解：（1） f （1） f (1) |1 a | |1 a |1 ，若 a …1，则 1 a 1 a 1 ，得 2 1 ，即 a … 1时恒成立，11 若 1a 1 ，则 1 a (1a ) 1 ，得 a，即 1a ， 22若 a …1 ，则 (1a ) (1a ) 1 ，得 2 1 ，即不等式无解，综上所述， a1的取值范围是 (, ) 2．（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需[ f ( x )] max… [| y5 4| | y a |] min，当 x (，a ] 时， f ( x ) x 2 ax ,[ f ( x )] max a a 2 f ( ) ，2 45 5 5 5 5 5 因为 | y | | y a | …| a | ，所以当 y [ , a ] 时， [| y | | y a |] |a |a ，4 4 4 4 4 42mina25a，解得1剟a5，结合a0，所以a 44的取值范围是(0，5]．即。

2019年湖南省长沙市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合M＝{x∈R|﹣3＜x＜1}，N＝{x∈Z|﹣1≤x≤2}，则M∩N＝（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．（5分）在复平面内表示复数（m∈R，i为虚数单位）的点位于第二象限，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（l，+∞）3．（5分）下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（）A．f（x）＝sin x﹣x B．f（x）＝ln（x﹣1）﹣ln（x+1）C．f（x）＝D．f（x）＝4．（5分）某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，下列命题：①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．46．（5分）若x，y满足，则z＝2x﹣y的取值范围是（）A．[0，3]B．[1，3]C．[﹣3，0]D．[﹣3，﹣1] 7．（5分）已知F1，F2是双曲线C：y2﹣x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．2D．18．（5分）若a＞0，b＞0，a+b＝ab，则a+b的最小值为（）A．2B．4C．6D．89．（5分）已知P（，2）是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．若|BC|＝6，则f（x）的图象对称中心可以是（）A．（0，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（3，0）10．（5分）在△ABC中，AB＝10，BC＝6，CA＝8，且O是△ABC的外心，则＝（）A．16B．32C．﹣16D．﹣3211．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点a（1，a）（a＞0）在C上，|AF|＝3．若直线AF与C交于另一点B，则|AB|的值是（）A．12B．10C．9D．4.512．（5分）已知f（x）＝|e x﹣1|+1，若函数g（x）＝[f（x）]2+（a﹣2）f（x）﹣2a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．13．（5分）设曲线y＝ax2在点（1，a）处的切线与直线x+2y﹣6＝0垂直，则a＝．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点（，﹣），则sin2θ＝．15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段A1B上运动，则异面直线DP与CB1所成角的取值范围是．16．（5分）△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝b cos C+c sin B，且b＝，则△ABC面积的最大值是．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的首项a1＝3，a3＝7，且对任意的n∈N*，都有a n﹣2a n+1+a n+2＝0，数列{b n}满足b n＝a，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求使b1+b2+…+b n＞2018成立的最小正整数n的值．18．（12分）已知三棱锥P﹣ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P﹣ABC中：（Ⅰ）证明：平面P AC⊥平面ABC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC的表面积和体积．19．（12分）为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如表：（Ⅰ）求m，n；（Ⅱ）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时问是否超过1小时与性别有关？（Ⅲ）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调査6名学生，试估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数．附：K2＝20．（12分）已知椭C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，左、石焦点分别为F1、F2，A为椭圆C上一点，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的左、石顶点为A1、A2，过A1、A2分别作x轴的垂线l1、l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx+m与l1、l2交于M、N两点，求证：∠MF1N为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax﹣，g（x）＝xlnx+（a﹣1）x+．（Ⅰ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）记f（x）的零点为x0，g（x）的极小值点为x1，当a∈（1，4）时，求证：x0＞x1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M的参数方程为（φ为参数），过原点O且倾斜角为α的直线l交M于A，B两点．（Ⅰ）求l和M的极坐标方程；（Ⅱ）当α∈（0，]时，求|OA|+|OB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣1）＞1，求a的取值范围；（2）若a＞0，对∀x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a 的取值范围．2019年湖南省长沙市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：由集合N＝{x∈Z|﹣1≤x≤2}，得到集合N＝{﹣1，0，1，2}，又集合M＝{x∈R|﹣3＜x＜1}，则M∩N＝{﹣1，0}．故选：B．2．【解答】解：∵表示复数＝的点位于第二象限，∴，解得m＞0．∴实数m的取值范围是（0，+∞）．故选：C．3．【解答】解：根据题意，若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，依次分析选项：对于A，f（x）＝sin x﹣x，有f（﹣x）＝﹣（sin x﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，其导数f′（x）＝cos x﹣1≤0，则f（x）在其定义域上为减函数，不符合题意；对于B，f（x）＝ln（x﹣1）﹣ln（x+1），其定义域为（1，+∞），不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）＝，有f（﹣x）＝＝＝f（x），为偶函数，不符合题意；对于D，f（x）＝，有f（﹣x）＝＝﹣（）＝﹣f（x），为奇函数，其导数f′（x）＝＞0，则f（x）在其定义域上为增函数，符合题意．故选：D．4．【解答】解：设电台的整点报时之间某刻的时间x，由题意可得，0≤x≤60，等待的时间不多于5分钟的概率为P＝＝，故选：B．5．【解答】解：由a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，知：在①中，若a∥c，b∥c，则由平行公理得a∥b，故①正确；在②中，若a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，故②错误；在③中，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故③错误；在④中，若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故④错误．故选：A．6．【解答】解：不等式组表示的可行域如图所示：联立方程组，解得A（0，0）；联立方程组，解得B（1，﹣1）；化目标函数z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为2×0﹣0＝0；当直线y＝2x﹣z过点B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×1﹣（﹣1）＝3；∴z＝2x﹣3y的取值范围是[0，3]．故选：A．7．【解答】解：F1，F2是双曲线C：y2﹣x2＝1的上、下焦点，∴F1（0，），F2（0，﹣），一条渐近线方程为y＝x，设点P（m，m），∴＝（﹣m，﹣m），＝（﹣m，﹣﹣m），∵以F1F2为直径的圆经过点P，∴⊥，∴•＝m2+m2﹣2＝2m2﹣2＝0，解得m＝±1，即点P到y轴的距离为1，∴△PF1F2的面积S＝|F1F2|×|x P|＝×2×1＝，故选：A．8．【解答】解：在等式a+b＝ab两边同时除以ab，得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当a＝b时，等号成立，所以，a+b的最小值为4．故选：B．9．【解答】解：由题意有T＝6，当x＝时函数取最大值，即f（x）的图象对称中心为（++，0），即f（x）的图象对称中心为：（3k+2，0），k∈Z，当k＝0时，f（x）的图象对称中心可以是（2，0），故选：C．10．【解答】解：∵AB2＝BC2+CA2∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，∴外心O是AB的中点，•＝•（）＝•（﹣）＝•﹣2＝﹣×82＝﹣32故选：D．11．【解答】解：因为A（1，a）（a＞0）在C上，所以a2＝8，解得a＝2或a＝﹣2（舍去），故直线AF的方程为y＝﹣2（x﹣2），由消去y，得x2﹣5x+4＝0，解得x1＝1，x2＝4，∴B（4，﹣4）则|AB|＝．故选：C．12．【解答】解：若g（x）＝[f（x）]2+（a﹣2）f（x）﹣2a＝[f（x）﹣2][f（x）+a]有三个零点，即g（x）＝[f（x）﹣2][f（x）+a]＝0有三个根，即f（x）＝2或f（x）＝﹣a．当f（x）＝2时，由|e x﹣1|+1＝2，即|e x﹣1|＝1，则e x﹣1＝1或e x﹣1＝﹣1，即e x＝2或e x＝0，则x＝ln2或x无解，此时方程只有一个解，则f（x）＝﹣a．有两个不同的根，作出f（x）的图象如图：由图象知，则1＜﹣a＜2，即﹣2＜a＜﹣1，即实数a的取值范围是（﹣2，﹣1），故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．13．【解答】解：由y＝ax2，得y′＝2ax，y′|x＝1＝2a，∵曲线y＝ax2在点（1，a）处的切线与直线x+2y﹣6＝0垂直，∴2a＝2，a＝1．故答案为：1．14．【解答】解：∵角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点（，﹣），而点（，﹣）在单位圆上，∴sinθ＝﹣，cosθ＝，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝﹣，故答案为：﹣．15．【解答】解：∵CB1∥DA1，∴∠A1DP为异面直线DP与CB1所成角，当P与B重合时，∠A1DP＝，当P与A1重合时，∠A1DP＝0，当P是A1B中点时，∠A1DP＝，∴异面直线DP与CB1所成角的取值范围是[0，]．故答案为：[0，]．16．【解答】解：由正弦定理得到：sin A＝sin C sin B+sin B cos C，∵在△ABC中，sin A＝sin[π﹣（B+C）]＝sin（B+C），∴sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C＝sin C sin B+sin B cos C，∴cos B sin C＝sin C sin B，∵C∈（0，π），sin C≠0，∴cos B＝sin B，即tan B＝1，∵B∈（0，π），∴B＝，由余弦定理得到：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即2＝a2+c2﹣ac，∴2+ac＝a2+c2≥2ac，即ac≤＝2+，当且仅当a＝c，即a＝c＝时取“＝”，∵S△ABC＝ac sin B＝ac，∴△ABC面积的最大值为：．故答案为：．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n}满足a n﹣2a n+1+a n+2＝0，即a n+a n+2＝2a n+1，则数列{a n}为等差数列，又由a1＝3，a3＝7，则数列{a n}的公差d＝＝2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝2n+1；b n＝＝2n+1，（Ⅱ）根据题意，设S n＝b1+b2+…+b n，由（Ⅰ）的结论，b n＝＝2n+1，则S n＝b1+b2+…+b n＝（21+1）+（22+1）+……+（2n+1）＝（21+22+23+……+2n）+n＝2n+1+n﹣2，若b1+b2+…+b n＞2018，则2n+1+n＞2020，且n∈N，则n≥10，即使b1+b2+…+b n＞2018成立的最小正整数n的值为10．18．【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点O，连结OP，OB，由题意得P A⊥P A，BA⊥BC，PC＝P A＝PB＝BC＝AC＝，OA＝OC＝OP＝OB＝1，PO⊥AC，BO⊥AC，∴∠POB是二面角P﹣AC﹣B的平面角，PO2+BO2＝PB2，∴PO⊥BO，∴∠POB＝90°，∴平面P AC⊥平面ABC；解：（Ⅱ）三棱锥P﹣ABC的表面积为：S＝S△ABC+S△P AB+S△P AC+S△PBC＝+++＝+++＝2+．三棱锥P﹣ABC的体积为：V＝＝＝．19．【解答】解：（Ⅰ）根据分层抽样法，抽样比例为＝，∴n＝48；∴m＝48﹣20﹣8﹣12＝8；（Ⅱ）根据题意完善2×2列联表，如下；计算K2＝≈0.6857＜3.841，所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关；（Ⅲ）参加社区服务时间超过1小时的频率为＝，用频率估计概率，从该校学生中随机调査6名学生，估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数为6×＝4（人）．20．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，即＝，∵|PF1|+|PF2|＝2a，|AF2|＝，AF2⊥F1F2，∴|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2，即（2a﹣）2＝（）2+（2c）2＝（）2+（）2，解得a＝3，c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝8，∴椭圆方程为+＝1，（Ⅱ）证明：由题设知l1：x＝﹣3，l2：x＝3，l与C的方程联立可得，消去y可得（1+9k2）x2+18kmx+9（m2﹣8）＝0，（*），∵l与C相切，∴“*”中△＝182k2m2﹣36（1+9k2）（m2﹣8）＝0，∴m2﹣9k2＝8，l与11，l2联立得M（﹣3，﹣3k+m），N（3，3k+m），又F1（﹣1，0），∴•＝（﹣2，﹣3k+m）•（4，3k+m）＝﹣8+m2﹣9k2＝﹣8+8＝0∴MF1⊥NF1，即∠MF1N＝，故∠MF1N为定值，定值为．21．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝+a+＝（x＞0），若a≥0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增；若a＜0，则ax2+x+1＝0一正一负两根，且正根是，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）递增，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减；综上，a≥0时，f（x）在（0，+∞）递增；a＜0时，f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；（Ⅱ）g（x）＝xlnx+（a﹣1）x+，g′（x）＝lnx﹣+a（x＞0），故g′（x）在（0，+∞）递增，又g′（1）＝a﹣1＞0，g′（）＝﹣ln2﹣4+a＜0，故g′（x）存在零点x2∈（，1），且g（x）在（0，x2）递减，在（x2，+∞）递增，x2即是g（x）的极小值点，故x2＝x1，由g′（x1）＝0知，lnx1﹣+a＝0，故f（x1）＝lnx1+ax1﹣＝lnx1+x1（﹣lnx1）﹣＝（1﹣x1）lnx1，又x1＝x2∈（，1），故f（x1）＝（1﹣x1）lnx1＜0＝f（x0），由（Ⅰ）知，a＞0时，f（x）在（0，+∞）递增，故x0＞x1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）过原点O且倾斜角为α的直线l的方程为y＝tanαx，∴直线l的极坐标方程为ρsinθ＝tanα•ρcosθ，即θ＝α．∵曲线M的参数方程为（φ为参数），∴曲线M的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，即x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，∴曲线M的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ+1＝0．（2）当α＝0时，直线l的直线坐标方程为x＝0，直线l与圆M相切，|OA|＝|OB|＝1，不成立；当时，|OA|+|OB|＝+＝2，∴当α∈（0，]时，|OA|+|OB|的取值范围是（2，2]．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）f（1）+f（﹣1）＝|1﹣a|﹣|1+a|＞1，若a≤﹣1，则1﹣a+1+a＞1，得2＞1，即a≤﹣1时恒成立，若﹣1＜a＜1，则1﹣a﹣（1+a）＞1，得，即，若a≥1，则﹣（1﹣a）﹣（1+a）＞1，得﹣2＞1，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是．（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当x∈（﹣∞，a]时，，因为，所以当时，，即，解得﹣1≤a≤5，结合a＞0，所以a的取值范围是（0，5]．。

2019届湖南省长沙市高考模拟一文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三四五总分得分一、选择题1. 已知集合，，则（_________ ）A．______________ B．______________ C．______________ D．2. 如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则（）A．___________ B． ______________ C．________ ________ D．3. 在等差数列中，，前7项和，则其公差是（_________ ） A．_________ ________ B．__________________________ C．___________________________ D．4. 若满足约束条件，则的最大值为（________ ）A． 2________________________ B．____________________________C． 3______________________________ D． 15. 已知，，向量与垂直，则实数的值为（）A．____________________ B．________________________ C．____________________________ D．6. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为98，则判断框内可填入的条件为（________ ）A．______________ B．______________ C．______________ D．7. 函数的图象可能是（_________ ）8. 如图所示，三棱锥中，平面，为正三角形，，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（________ ）A．________________________ B．________________________ C．________________________ D．9. 已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则的值分别为（_________ ）A．____________________ B．____________________ C．____________________ D．10. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（_________ ）A． ____________________ B． ________________________C． ____________________________ D．11. 已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（_________ ） A． 1 ______________ B． ___________ C． ______________ D．12. 函数为定义在上的减函数，函数的图象关于点对称，满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为（_________ ）A． _________ B．___________ C． ___________ D．二、填空题13. 某种产品的广告费支出与销售额之间有如下对应数据（单位：百万元）.根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则表中的值为________________________ .14. 过原点的直线与双曲线交于两点，是双曲线上异于，的一点，若直线与直线的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为______________________________ .15. 已知函数，正项等比数列满足，则______________________________ .16. 中，角所对的边分别为，下列命题正确的是______________________________ .①若最小内角为，则；②若，则；③存在某钝角，有；④若，则的最小值小于．三、解答题17. 已知函数 .（1）求函数的最小正周期；（2）在中，若，边，求边的长及的值.四、填空题18. 某学校高三年级学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×２列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？五、解答题19. 如图甲，圆的直径，圆上两点在直径的两侧，使，，沿直径折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），为的中点，根据图乙解答下列各题：（1）求点到平面的距离；（2）如图：若的平分线交弧于一点，试判断是否与平面平行？并说明理由.20. 已知椭圆过点，离心率为 .（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，直线分别交直线于两点，线段的中点为 . 记直线的斜率为，求证：为定值.21. 已知函数 .（1）当时，讨论的单调区间；（2）设，且有两个极值点为，其中，求的最小值.22. 如图，是圆的一条切线，切点为，直线都是圆的割线，已知 .（1）若，求的值；（2）求证： .23. 已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数）.（1）写出点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；（2）若为曲线上的动点，求中点到直线的距离的最小值.24. 已知函数 .（1）解不等式；（2）若，求证： .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

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高三数学（文）试题（第1页共12页）高三数学（文）试题 （第2页 共12页）2019年高考数学模拟试卷（一)（文科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}2,1{-=A ，{|02}B x Z x =∈≤≤，则=B A A ．}0{B ．}2{C ．}4,3,1,0{D ．∅2．已知i 为虚数单位，复数)2(i i z -=，则=||z A ．1B ．3C ．5D ．33．长方体内部挖去一部分的三视图如图所示,则此几何体的体积为A ．4163π-B ．403C ．8163π-D ．3234．若)1,1(=a ,)1,1(-=b ,)4,2(-=c ，则以a 、b 为基底表示的c 等于4高三数学（文）试题 （第3页 共12页）A ．b a 3-B ．b a 3+-C ．b a -3D ．b a +-35．已知y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，则y x z +=2的最小值为A ．32B ．12-C ．3D ．3-6．已知某程序框图如图所示,A ．1-B ．21C ．1D ．27．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人，次日转多七人,每人日支米三升”。

普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷（一）文科数学本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无．．．．．．．．效．。

3．第I卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、设集合M＝{x|x2－2x<0}，N＝{x|y＝lg(4－x2)}，则()A．M∪N＝M B．(∁R M)∩N＝R C．(∁R M)∩N＝∅D．M∩N ＝M2、若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、某流程如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1x C ．f (x )＝ln x ＋2x －6D ．f (x )＝sin x4、函数y ＝lg|x |x的图象大致是 ( )5、、等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则 ( )A ．a 1＝1B ．a 3＝1C ．a 4＝1D ．a 5＝16、已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ)的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值可以是 ( )A.π2B.π3C.π4D.π67、若|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a ，b 的夹角为 ( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°8、设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ( )（A ）4π（B ）22π- （C ）6π（D ）44π- 9、在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) ． A.53B.54C.109D.15810若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 ( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 11、设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A .12或32B .23或2C .12或2D .23或3212、已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是( )． A.⎣⎡⎦⎤－32，3B.⎣⎡⎦⎤32，6 C ．[3,12]D.⎣⎡⎦⎤－32，12第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

科目：数学（文科）（试题卷）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。

2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。

考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3. 本试题卷共5页。

如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。

4. 考试结束后，将本试题卷和答题一并交回。

姓名准考证号数学绝密★启用前高考湘军年长沙市高考模拟试卷（一）2019（文科）长沙市教科院组织名优教师联合命制时量：120分钟满分：150分.说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符5分，共45一、选择题（本大题共9小题，每小题合题目要求的）??zi1?z的对应的复数是模等于是虚数单位，i2在复平面中对应的点为P，若1．已知P是复数，?z负实数，那么i?i?1?i??i1?1B．A．D C．．2?x2am3am b=是的等比中项，那么->0的解集为(2．已知不等式1，2)，和33bax?b2?a1D．-1 B．-3A．3C．22yx??x24x??fn项3．以双曲线的离心率为首项，以函数的零点为公比的等比数列的前1??54 的和?S n3n1n?24322???3 C．．A．B．D???1?3n2???xfy?一定是增函数。

是下列的( )时，f 4．当′(x) B．反比例函数C．对数函数n233233D．指数函数A．二次函数?的半圆，俯视图是正三角形，那么这个几何体的表面积的正视图是一个面积为2．已知几何体5M和体积为视正3834侧视????3+4和A．6 和6 B．334334????33 )和D．4(C．6+4+和33俯视4950．C．5050DA．9900 B．10100y x l02135两7．与抛物线B相切倾斜角为，那么过A的直线与、轴和B轴的交点分别是A和xy8?2的准线所得的弦长为点的最小圆截抛物线x?8y22．．4B．2 C．2DA0??lll60。