湖南省长沙一中2015届高三月考试卷(一)数学(理)

某某省师大附中2015届高三数学第一次月考试题 理（含解析）【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．已知集合M ＝{ |x x2－2x<0}，N ＝{ |x x<a}，若M ⊆N ，则实数a 的取值X 围是()A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0] 【知识点】子集的运算.A1 【答案解析】A 解析：因为2M {|x 2x 0}|02x x x ＝－，N ＝{ |x x<a}，M ⊆N ，所以2a，故选A.【思路点拨】先化简集合M ，再利用M ⊆N 即可.【题文】2．下列四个命题p1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x < ⎝ ⎛⎭⎪⎫13xp2：∃x ∈(0，1)，log 12x>log 13x p3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 12x p4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<log 13x 其中的真命题是()A ．p1，p3B ．p1，p4C ．p2，p3D ．p2，p4【知识点】命题的真假判断与应用．A2【答案解析】D 解析：对应命题p1可，分别作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象如图：由图象 可知：∀x ∈（0，+∞），⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，所以命题p1错误．p2：作出对数函数y1＝12logx，y2＝13logx的图象，由图象知：∃x∈（0，1），使命题p2正确．p3：作出函数y1＝12logx，y2＝(12)x的图象，由图象知命题p3不正确．P4：当x∈（0，13）时，13logx＞1，(12)x＜1，所以恒有13logx＞(12)x成立，所以命题P4正确．故选D．【思路点拨】分别根据全称命题和特称命题判断真假的方法去判断四个命题．p1可利用两个指数函数的图象进行判断．p2可以利用对数的图象来判断．p3可以利用对数和指数函数的图象来判断．p4：利用指数函数和对数函数的图象来判断．【题文】3．在如右图所示的程序框图中输入10，结果会输出()A．10 B．11 C．512 D．1 024【知识点】程序框图．L1【答案解析】D 解析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，如下；n=3，s=1，k=1，k≤n，是，s=1×2=2；k=2，k≤n，是，s=2×2=4= 22；k=3，k≤n，是，s=4×2=8= 32；…k=11，k≤n，否，输出s= 102．故选：D ．【思路点拨】由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【题文】4．将函数f(x)＝sin x ＋cos x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为() A ．－π4 B.π4 C.3π4 D.5π4【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C4【答案解析】C 解析：化简得sin cos 2sin 4y x xx，根据图象平移规律可得平移后函数2sin 4yx，又所得函数图象关于原点对称，∴4k，（k ∈Z ）,∴4k（k ∈Z ），当k=1时，取最小值为34,故选C.【思路点拨】化简得sin cos 2sin 4y x xx，根据图象平移规律可得平移后函数2sin 4y x，又所得函数图象关于原点对称解得取最小值为34.【题文】5．若实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧y≥2||x －1y≤x＋1，则z ＝x ＋3y 的最大值为()A ．9B ．11C ．12D ．16 【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】B 解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+3y ，得133z y x ＝，平移直线133z y x ＝，由图象可知当133z y x ＝，经过点C 时，直线截距最大，此时z最大．由211y x yx 得23x y ，即C （2，3），此时z=x+3y=2+3×3=11， 故选：B ．【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用利用数形结合即可得到结论．【题文】6．不全相等的五个数a 、b 、c 、m 、n 具有关系如下：a 、b 、c 成等比数列，a 、m 、b 和b 、n 、c 都成等差数列，则a m ＋cn ＝()A ．－2B ．0C ．2D ．不能确定 【知识点】等差、等边数列.D2 D3【答案解析】C 解析：不妨令1,2,4,a b c 则3,32mn ，代入可得2a c m n，故选C.【思路点拨】不妨令1,2,4,a bc 则3,32mn ，代入可得结果.【题文】7．已知边长为1的正方形ABCD 位于第一象限，且顶点A 、D 分别在x 、y 的正半轴上(含原点)滑动，则OB →·OC →的最大值是() A ．1 B.22C ．2 D. 5 【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用．F3【答案解析】C 解析：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BAX=2-θ，AB=1，故xB=cosθ+cos（2-θ）=cosθ+sinθ，yB=sin （2-θ）=cosθ，故OB →=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C （sinθ，cosθ+sinθ），即OC →=（sinθ，cosθ+sinθ），∴OB →·OC →=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，故OB →·OC →的最大值是2，故答案是 2．【思路点拨】令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上，可得出B ，C 的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可． 【题文】8．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为() A.34 B.32C. 3 D ．2 3【知识点】三视图.G2【答案解析】D 解析：如图所示，四面体为棱长为2的正四面体，2142sin 60232S.【思路点拨】根据题意转化为正方体内的正四面体，可知其棱长再求面积即可.【题文】9．若曲线C1：x2＋y2－2x ＝0与曲线C2：y(y －mx －m)＝0有4个不同的交点，则实数m 的取值X 围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞【知识点】圆的一般方程；圆方程的综合应用．H3 H4【答案解析】B 解析：曲线C1：(x －1)2＋y2＝1，图象为圆心为(1，0)，半径为1的圆；曲线C2：y ＝0，或者y －mx －m ＝0，直线y －mx －m ＝0恒过定点(－1，0)，即曲线C2图象为x 轴与恒过定点(－1，0)的两条直线．作图分析：k1＝tan 30°＝33，k2＝－tan 30°＝－33，又直线l1(或直线l2)、x 轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知m ＝k∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33. 【思路点拨】由题意可知曲线C1：x2+y2-2x=0表示一个圆，曲线C2：y （y-mx-m ）=0表示两条直线y=0和y-mx-m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y-mx-m=0要有2个交点，根据直线y-mx-m=0过定点，先求出直线与圆相切时m 的值，然后根据图象即可写出满足题意的m 的X 围．【题文】10．已知集合A ＝{}x |x ＝a0＋a1×3＋a2×32＋a3×33，其中ai ∈{}0，1，2()i ＝0，1，2，3且a3≠0，则A 中所有元素之和等于()A ．3 240B ．3 120C ．2 997D ．2 889 【知识点】数列的求和;分类计数原理.J1D4【答案解析】D 解析：由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法(均可取0，1，2)，a3有2种取法(可取1，2)，由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法，∴当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有3×3×2＝18种方法，即集合A 中含有a0项的所有数的和为(0＋1＋2)×18；同理可得集合A 中含有a1项的所有数的和为(3×0＋3×1＋3×2)×18； 集合A 中含有a2项的所有数的和为(32×0＋32×1＋32×2)×18； 集合A 中含有a3项的所有数的和为(33×1＋33×2)×27； 由分类计数原理得集合A 中所有元素之和：S ＝(0＋1＋2)×18＋(3×0＋3×1＋3×2)×18＋(32×0＋32×1＋32×2)×18＋(33×1＋33×2)×27＝18(3＋9＋27)＋81×27＝702＋2 187＝2 889.故选D. 【思路点拨】由题意可知a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，利用数列求和即可求得A 中所有元素之和．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．【题文】11．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，∠A＝60°，则cos B ＝____．【知识点】正弦定理.C8【答案解析】63解析：∵在△ABC 中，a=15，b=10，A=60°，由正弦定理可得01510sin60sin B ，解得sinB=33．又因为b<a ，所以B<A，则6cos 3B，故答案为63.【思路点拨】先利用正弦定理求得sinB ，再利用平方关系解得cos B 即可.【题文】12．如右图，椭圆x216＋y212＝1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y 轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为____．【知识点】椭圆的应用；与二面角有关的立体几何综合题．H5 G11【答案解析】3 解析：连接A1O ∵A1 O ⊥y 轴，A O ⊥y 轴， ∴∠A1 O A2为两个面的二面角．|A1 O |=a=4，O F|=c=2，∴cos∠A1 O A2= 12c a ，∴∠A1 O A2= 3，故答案为3.【思路点拨】连接A1 O 根据椭圆的性质可知A1 O ⊥y 轴，A2 O ⊥y 轴，推断出∠A1 O A2为所求的二面角，利用椭圆的方程求得a 和c ，即|A1 O |和| O F|的值，进而在Rt△A1 O A2中利用求得cos∠A1 O A2进而求得∠A1 O A2． 【题文】13．若f(x)＋⎠⎛01f(x)dx ＝x ，则f(x)＝__ _．【知识点】定积分.B13【答案解析】x －14 解析：因为⎠⎛01f(x)dx 是个常数，不妨设为m ，所以f(x)＝x －m ，其原函数F(x)＝12x2－mx ＋C(C 为常数)，所以可得方程m ＝12－m ，解得m ＝14.故f(x)＝x －14.【思路点拨】根据已知条件设f(x)＝x －m 代入求出m 即可.【题文】14．在函数f(x)＝aln x ＋(x ＋1)2()x>0的图象上任取两个不同的点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，总能使得f(x1)－f(x2)≥4(x 1－x2)，则实数a 的取值X 围为__． 【知识点】函数的性质及应用；导数的概念及应用．B12【答案解析】⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：由题意f′(x)≥4对任意x>0恒成立，也就是 a≥()2x （1－x ）max ＝12.【思路点拨】由题意f′(x)≥4对任意x>0恒成立, 由此构造关于a 的不等式，可得实数a的取值X 围．【题文】15．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，图中的实心点的个数1、5、12、22、…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1＝1，第2个五角形数记作a2＝5，第3个五角形数记作a3＝12，第4个五角形数记作a4＝22，……，若按此规律继续下去，则a5＝____，若an ＝145，则n ＝___.【知识点】归纳推理．M1【答案解析】35,10解析：第一个有1个实心点， 第二个有1+1×3+1=5个实心点，第三个有1+1×3+1+2×3+1=12个实心点，第四个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22个实心点， …第n 个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3（n-1）+1=3(1)2n n +n 个实心点， 故当n=5时，3(1)2n n +n=30+5=35个实心点． 若an=145，即3(1)2n n +n=145，解得n=10故答案为：35，10．【思路点拨】仔细观察法各个图形中实心点的个数，找到个数之间的通项公式，再求第5个五角星的中实心点的个数及an=145时，n 的值即可．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【题文】16．(本题满分12分) 设f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π6－2cos2π8x ＋1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象关于直线x ＝1对称，求当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43时y ＝g(x)的最大值．【知识点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．C3 C5【答案解析】(1) 8 (2) 32解析：(1)f(x)＝sinπ4xcos π6－cos π4xsin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π3，故f(x)的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(6分)(2)法一：在y ＝g(x)的图象上任取一点(x ，g(x))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g(x))． 由题设条件，点(2－x ，g(x))在y ＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4（2－x ）－π3＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－π4x －π3＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π3，当0≤x≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3 ，因此y ＝g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43 上的最大值为ymax ＝3cos π3＝32.(12分)法二： 因区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2， 且y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，故y ＝g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为y ＝f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上的最大值．由(1)知f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x －π3.当23≤x≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6. 因此y ＝g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为ymax ＝3sin π6＝32.(12分)【思路点拨】（1）f （x ）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f （x ）的最小正周期；（2）在y=g （x ）的图象上任取一点（x ，g （x ）），根据f （x ）与g （x ）关于直线x=1对称，表示出此点的对称点，根据题意得到对称点在f （x ）上，代入列出关系式，整理后根据余弦函数的定义域与值域即可确定出g （x ）的最大值． 【题文】17．(本题满分12分)某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A 、B 、C 三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲选手通过项目A 、B 、C 测试的概率为分别为15、13、12， 且通过各次测试的事件相互独立．(1)若甲选手先测试A 项目，再测试B 项目，后测试C 项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望(用p1、p2、p3表示)；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．【知识点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．K5 K6【答案解析】(1) 即无论按什么顺序，其能通过海选的概率均为1115 (2) 按C→B→A 的顺序参加测试更有利于进入正赛．解析：(1)依题意，甲选手不能通过海选的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－12＝415， 故甲选手能通过海选的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－12＝1115.(3分)若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响，因为无论按什么顺序，其不能通过的概率均为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－12＝415，即无论按什么顺序，其能通过海选的概率均为1115.(5分)(2)依题意，ξ的所有可能取值为1、2、3.P(ξ＝1)＝p1，P(ξ＝2)＝(1－p1)p2，P(ξ＝3)＝(1－p1)(1－p2)p3. 故ξ的分布列为ξ 1 2 3Pp1(1－p1)p2(1－p1)(1－p2)p3(8分)Eξ＝p1＋2(1－p1)p2＋3(1－p1)(1－p2)p3(10分)分别计算当甲选手按C→B→A，C→A→B，B→A→C，B→C→A，A→B→C，A→C→B 的顺序参加测试时，Eξ的值，得甲选手按C→B→A 的顺序参加测试时，Eξ最小，因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手选择将自己的优势项目放在前面，即按C→B→A 的顺序参加测试更有利于进入正赛．(12分) 【思路点拨】（1）求出甲同学不能通过海选的概率，利用对立事件的概率公式，可求甲同学能通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概没有影响，因为无论按什么顺序，甲同学不能通过海选的概率不变；（2）ξ的可能取值为1，2，3，求出相应概率，可得分布列与期望；利用参加海选测试次数少的选手进入正赛，可得结论． 【题文】18．(本题满分12分)如图，△ABC 的外接圆⊙O 的半径为5，CE 垂直于⊙O 所在的平面，BD∥CE，CE ＝4，BC ＝6，且BD ＝1，cos ∠ADB ＝101101. (1)求证：平面AEC⊥平面BCED ；(2)试问线段DE 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．【知识点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．G10【答案解析】(1)见解析 (2) 存在点M ，且DM →＝13DE →时，直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121.解析：(1)证明：∵BD⊥平面ABC ∴BD⊥AB，又因为 BD ＝1，cos∠ADB＝101101. 故AD ＝101，AB ＝10＝直径长，(3分)∴AC⊥BC.又因为EC⊥平面ABC ，所以EC⊥BC.∵AC∩EC＝C ，∴BC⊥平面ACE ，又BC ⊂平面BCED ， ∴平面AEC⊥平面BCED.(6分)(2)法一：存在，如图，以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线CE 为z 轴建立空间直角坐标系，则有点的坐标，A(8，0，0)，B(0，6，0)，D(0，6，1)，E(0，0，4)． 则AD →＝(－8，6，1)，DE →＝(0，－6，3)，设DM →＝λDE →＝λ(0，－6，3)＝(0，－6λ，3λ)，0<λ<1 故AM →＝AD →＋DM →＝(－8, 6－6λ，1＋3λ) 由(1)易得平面ACE 的法向量为CB →＝(0，6，0)， 设直线AM 与平面ACE 所成角为θ，则sin θ＝|AM →·CB →||AM →|·|CB →|＝36－36λ64＋36（1－λ）2＋（1＋3λ）2·6＝22121，解得λ＝13.(10分)所以存在点M ，且DM →＝13DE →时，直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121. (12分)法二：(几何法)如图，作MN⊥CE 交CE 于N ，连接AN ，则MN⊥平面AEC ，故直线AM 与平面ACE 所成的角为∠MAN，且MN⊥AN，NC⊥AC.设MN ＝2x ，由直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121， 得AM ＝21x ，所以AN ＝17x.另一方面，作DK∥MN∥BC，得EN ＝x ，NC ＝4－x 而AC ＝8，故Rt△ANC 中，由AN2＝AC2＋NC2 得17x2＝64＋(4－x)2，∴x＝2，∴MN＝4，EM ＝2 5所以存在点M ，且EM ＝25时，直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121. (12分)【思路点拨】（1）由已知易得AB 是⊙O 的直径，则AC⊥BC 由线面垂直的判定定理可得CE⊥平面ABC ，再由面面垂直的判定定理可得平面AEC⊥平面BCDE ；（2）方法一：过点M 作MN⊥CE 于N ，连接AN ，作MF⊥CB 于F ，连接AF ，可得∠MAN 为MA 与平面ACE 所成的角，设MN=x ，则由直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121，我们可以构造关于x 的方程，解方程即可求出x 值，进而得到点M 的位置．方法二：建立如图所示空间直角坐标系C-xyz ，求出平面ABC 的法向量和直线AM 的方向向量（含参数λ），由直线AM 与平面ACE 所成角的正弦值为22121，根据向量夹角公式，我们可以构造关于λ的方程，解方程即可得到λ值，进而得到点M 的位置． 【题文】19．(本题满分13分)等比数列{an}中的前三项a1、a2、a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列．⎝ ⎛⎭⎪⎫5436108201216(1)求此数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn ＝3an －()－1nlg an ，求数列{bn}的前n 项和Sn. 【知识点】数列的求和；等比数列的性质．D3 D4【答案解析】(1) an ＝3·2n－1 (2) Sn ＝⎩⎪⎨⎪⎧9（2n －1）－n2lg 2，n 为偶数，9（2n －1）＋n －12lg 2＋lg 3，n 为奇数.解析：(1)经检验，当a1＝5或4时，不可能得到符合题中要求的等比数列；故有a1＝3，a2＝6，a3＝12，等比数列公比q ＝2， 所以an ＝3·2n－1.(5分)(2)由an ＝3·2n －1得bn ＝3an －()－1nlg an ＝9×2n －1－(－1)n []lg 3＋（n －1）lg 2.所以Sn ＝9(1＋2＋…＋2n －1)－⎣⎡⎦⎤()－1＋()－12＋…＋()－1n(lg 3－lg 2)－[]－1＋2－3＋…＋（－1）nn lg 2(9分)n 为偶数时，Sn ＝9×1－2n 1－2－n 2lg 2＝9(2n －1)－n2lg 2.n 为奇数时，Sn ＝9×1－2n 1－2＋(lg 3－lg 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－n lg 2＝9(2n －1)＋n －12lg 2＋lg 3.所以， Sn ＝⎩⎪⎨⎪⎧9（2n －1）－n2lg 2，n 为偶数，9（2n －1）＋n －12lg 2＋lg 3，n 为奇数.(13分)【思路点拨】(1)先检验再利用等比数列的通项公式即可；（2）分情况讨论即可. 【题文】20．(本题满分13分)已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆Γ∶x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点F 和上顶点B.(1)求椭圆Γ的方程；(2)如图，过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点， 求OM →·OQ →的最大值．【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题．H8 【答案解析】(1) x28＋y24＝1. (2) 2 3.解析：(1)在C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2中，令y ＝0得F(2，0)，即c ＝2，令x ＝0，得B(0，2)，b ＝2， 由a2＝b2＋c2＝8，∴椭圆Γ：x28＋y24＝1.(4分)(2)法一：依题意射线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x28＋y24＝1得：(1＋2k2)x2＝8，∴x2＝221＋2k2.(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx （x －1）2＋（y －1）2＝2得：(1＋k2)x2－(2＋2k)x ＝0，∴x1＝2＋2k 1＋k2，∴OM →·OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x12，kx12·(x2，kx2)＝12(x1x2＋k2x1x2)＝221＋k 1＋2k2(k>0). (9分)＝22（1＋k ）21＋2k2＝22k2＋2k ＋11＋2k2.设φ(k)＝k2＋2k ＋11＋2k2，φ′(k)＝－4k2－2k ＋2（1＋2k2）2，令φ′(k)＝－4k2－2k ＋2（1＋2k2）2>0，得－1<k<12.又k>0，∴φ(k)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减．∴当k ＝12时，φ(k)max＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32，即OM →·OQ →的最大值为2 3.(13分)法二：依题意射线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x28＋y24＝1得：(1＋2k2)x2＝8，∴x2＝221＋2k2.(6分)OM →·OQ →＝(OC →＋CM →)·OQ →＝OC →·OQ → ＝(1，1)·(x2，kx2)＝(1＋k)x2＝221＋k1＋2k2(k>0)(9分)＝22（1＋k ）21＋2k2.设t ＝1＋k(t>1)，则（1＋k ）21＋2k2＝t22t2－4t ＋3＝12－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －232＋23≤32.当且仅当1t ＝23时，(OM →·OQ →)max ＝2 3.(13分)【思路点拨】(1) 在圆（x-1）2+（y-1）2=2中，令y=0，得F （2，0），令x=0，得B （0，2），由此能求出椭圆方程． (2) 依题意射线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2) ，把直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系代入，再结合基本不等式即可.【题文】21．(本题满分13分)已知函数f(x)＝ex －ax2－2x －1(x∈R)． (1)当a ＝0时，求f(x)的单调区间；(2)求证：对任意实数a<0，有f(x)>a2－a ＋1a.【知识点】利用导数求函数的单调区间；利用导数结合函数的单调性证明不等式.B3 B12 【答案解析】(1) (－∞，ln 2)是f(x)的单调减区间，(ln 2，＋∞)是f(x)的单调增区间． (2)见解析。

炎德英才大联考〃长沙一中2015届高三月考试卷（一）数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、若集合M ={}1,2，N ={}1,2,3，P ={},,x x ab a M b N =∈∈，则集合P 的元素个数为（ ）CA 、3B 、4C 、5D 、62、在南京青运会体操跳马比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次。

设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员没有站稳”可表示为（ ）DA 、p q ∨ Ｂ、()p q ∨⌝ C 、()()p q ⌝∧⌝ D 、()()p q ⌝∨⌝3、如右图所示方格纸中有定点O 、P 、Q 、E 、F 、G 、H ，则OP OQ + 等于（ ）DA 、OGB 、OHC 、EOD 、FO【解析】如图，以O 为坐标原点建立直角坐标系， 则OP OQ +()()()2,24,12,3=--+-=-=FO 。

4、复数()()32m i i +-+（m R ∈，i 为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于（ ）BA 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限5、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入某个正整数n 后， 输出的()31,72S ∈，则n 的值为（ ）BA 、5B 、6C 、7D 、86、若()112xf x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0x 是()0f x =的一个实根，()10,x x ∈-∞，()20,0x x ∈，则（ ）AA 、()10f x >，()20f x <B 、()10f x >，()20f x >C 、()10f x <，()20f x >D 、()10f x <，()20f x <7、若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位得到()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）CA 、8πB ．4π C 、38π D 、34π8、设,x y R ∈，p ：x y >，q ：()sin 0x y x y -+->，则p 是q 的（ ）CA 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【解析】构造函数()sin f x x x =+，则()1cos 0f x x =+≥＇恒成立，于是()f x 在R 上单调递增；而()00f =，所以()00f x x >⇔>。

湖南省长沙市一中2015届高三第二次月考高三2012-11-03 17:28湖南省长沙市一中2015届高三第二次月考语文试卷一、语言文字运用(12分，每小题3分)1．下面词语中加点的字，读音全部正确的一项是A．漂洗(piào)刷白（shuà）一丘之貉(hâ)返璞归真(pú)B．绥靖(suí)珐琅（fǎ）一哄而散(hîng)瞠目结舌(chēn)C．摒弃(bìng)坯子（pī）诘屈聱牙(jiã)拐弯抹角(mî)D．皲裂(jūn)腈纶（jīng）烜赫一时(xuǎn)唯唯诺诺(wěi)答案： D解析：A．漂洗(piǎo) ，一丘之貉(hã)；B．珐琅（fà），瞠目结舌(chēng)；C.诘屈聱牙(jí)2．下列词语中，没有错别字的一组是（）A．磕绊金刚钻崭露头角额手称庆B．英镑威摄力纠纠武夫以逸待劳C. 慈祥一滩血指手画脚真知卓见D．彗星笑咪咪关怀备至例行节约答案：A解析：B项，威慑力，赳赳武夫；C项，一摊血，真知灼见；D项，笑眯眯，厉行节约3．下列句子中加点的词语使用恰当的一项是（）A．.相比之下，中式快餐仍处于不瘟不火之状，缺乏自己严格的生产标准与特色，虽然在市场上占有一席之地，却难与自己的“洋对手”匹敌。

B．分析人士认为，在这个敏感的时期，征地拆迁补偿问题被提及，是国家释放出的更为严厉的新楼市政策即将粉墨登场的信号。

C．上海城隍庙的宗教节日就是上海城市全体居民的节日……每年的“三巡日” ，即城隍神出巡的日子，上海城内居民家中十室九空。

D．不少学生在作文中有滥抒情的现象：少年老成的“庄重严正”，无病呻吟的“潜吟轻唱”，没心没肺的“风花雪月”，完全没有了属于少年的真实自我。

答案：D。

A.瘟：戏曲沉闷乏味；火：比喻紧急急促。

不瘟不火指戏曲不沉闷乏味，也不急促，恰到好处。

B.粉墨登场：比喻坏人乔装打扮登上政治舞台。

湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]2．（5分）给出下面四个命题：p1：∃x∈（0，+∞），；p2：∃x∈（0，1），，p3：∀x∈（0，+∞），；p4：∀x∈（0，），x，其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p43．（5分）在如图所示的程序框图中输入10，结果会输出（）A．10 B．11 C．512 D．1 0244．（5分）将函数f（x）=sinx+cosx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为（）A．﹣B．C．D．5．（5分）若实数x、y满足条件，则z=x+3y的最大值为（）A．9 B．11 C．12 D．166．（5分）不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下：a、b、c成等比数列，a、m、b 和b、n、c都成等差数列，则+=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．不能确定7．（5分）已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x、y的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A．1 B．C．2 D．8．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．29．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）10．（5分）已知集合A={x|x=a0+a1×3+a2×32+a3×33}，其中a i∈{1，2，3}（i=0，1，2，3}且a3≠0，则A中所有元素之和等于（）A．3 240 B．3 120 C．2 997 D．2 889二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=．12．（5分）如图，椭圆的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为．13．（5分）若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）=．14．（5分）在函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2），总能使得f（x1）﹣f（x2）≥4（x1﹣x2），则实数a的取值范围为．15．（5分）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，则a5=，若a n=145，则n=．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）设函数．（1）求f（x）的最小正周期．（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）的最大值．17．（12分）某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为、、，且通过各次测试的事件相互独立．（1）若甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；（2）若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望（用p1、p、p3表示）；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．18．（12分）如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE=4，BC=6，且BD=1，cos∠ADB=．（1）求证：平面AEC⊥平面BCED；（2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．19．（13分）等比数列a n中的前三项a1，a2，a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列．（1）求此数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=3a n﹣（﹣1）n lga n，求数列{b n}的前n项和S n．20．（13分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2经过椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求•的最大值．21．（13分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣2x﹣1（x∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；（2）求证：对任意实数a＜0，有f（x）＞．湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中不等式的解集确定出M，根据N以及M为N的子集，确定出a的范围即可．解答：解：由M中不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即M=（0，2），∵N={x|x＜a}，且M⊆N，∴a≥2，则a的范围为[2，+∞）．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）给出下面四个命题：p1：∃x∈（0，+∞），；p2：∃x∈（0，1），，p3：∀x∈（0，+∞），；p4：∀x∈（0，），x，其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4考点：命题的真假判断与应用．专题：探究型；数形结合．分析：分别根据全称命题和特称命题判断真假的方法去判断四个命题．p1可利用两个指数函数的图象进行判断．p2可以利用对数的图象来判断．p3可以利用对数和指数函数的图象来判断．p4：利用指数函数和对数函数的图象来判断．解答：解：对应命题p1可，分别作出函数的图象如图：由图象可知：∀x∈（0，+∞），，所以命题p1错误．p2：作出对数函数的图象，由图象知：∃x∈（0，1），使命题p2正确．p3：作出函数的图象，由图象知命题p3不正确．P4：当x∈（0，）时，，所以恒有成立，所以命题P4正确．故选D．点评：本题考查了全称命题和特称命题的真假判断，解决本题可以考虑使用数形结合的思想．3．（5分）在如图所示的程序框图中输入10，结果会输出（）A．10 B．11 C．512 D．1 024考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图写出每次循环s，k的取值，即可确定输出s的值．解答：解：运行程序，有s=1；k=1第1次循环：s=2，k=2第2次循环：s=4，k=3第3次循环：s=8，k=4第4次循环：s=16，k=5第5次循环：s=32，k=6第6次循环：s=64，k=7第7次循环：s=128，k=8第8次循环：s=256，k=9第9次循环：s=512，k=10第10次循环：s=1024，k=11输出s的值为1024．故答案为：D．点评：本题主要考察框图和程序算法，属于基础题．4．（5分）将函数f（x）=sinx+cosx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为（）A．﹣B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．解答：解：由题意可得，将函数f（x）=sinx+cosx=sin（x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得函数为y=sin（x++φ）为奇函数，则φ的最小值为，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的奇偶性，属于基础题．5．（5分）若实数x、y满足条件，则z=x+3y的最大值为（）A．9 B．11 C．12 D．16考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+3y，得，平移直线，由图象可知当，经过点C时，直线截距最大，此时z最大．由得，即C（2，3），此时z=x+3y=2+3×3=11，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．6．（5分）不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下：a、b、c成等比数列，a、m、b 和b、n、c都成等差数列，则+=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．不能确定考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得2m=a+b，2n=b+c，b2=ac，从而+====2．解答：解：由已知得2m=a+b，2n=b+c，b2=ac，∴+==[]===2．故选：C．点评：本题考查代数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．7．（5分）已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x、y的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A．1 B．C．2 D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．解答：解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1，故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BAx=﹣θ，AB=1，故x B=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，y B=sin（﹣θ）=cosθ．故=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴•=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，•的最大值是2，故选C．点评：本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标，属于中档题．8．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：由三视图想象出空间几何体，代入数据求值．解答：解：如图所示，四面体为正四面体．是由边长为1的正方体的面对角线围成．其边长为，则其表面积为4×（××）=2．故选D．点评：本题考查了学生的空间想象力，属于中档题．9．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）考点：圆的一般方程；圆方程的综合应用．专题：压轴题；数形结合．分析：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y﹣mx﹣m=0要有2个交点，根据直线y﹣mx﹣m=0过定点，先求出直线与圆相切时m的值，然后根据图象即可写出满足题意的m的范围．解答：解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：直线y=0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件．当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，解得m=±，而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意，则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，）．故选B．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．本题的突破点是理解曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线．10．（5分）已知集合A={x|x=a0+a1×3+a2×32+a3×33}，其中a i∈{1，2，3}（i=0，1，2，3}且a3≠0，则A中所有元素之和等于（）A．3 240 B．3 120 C．2 997 D．2 889考点：计数原理的应用；数列的求和．专题：综合题；排列组合．分析：由题意可知a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，利用数列求和即可求得A中所有元素之和．解答：解：由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法（可取1，2），由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法，∴当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有3×3×2=18种方法，即集合A中含有a0项的所有数的和为（0+1+2）×18；同理可得集合A中含有a1项的所有数的和为（3×0+3×1+3×2）×18；集合A中含有a2项的所有数的和为（32×0+32×1+32×2）×18；集合A中含有a3项的所有数的和为（33×1+33×2）×27；由分类计数原理得集合A中所有元素之和：S=（0+1+2）×18+（3×0+3×1+3×2）×18+（32×0+32×1+32×2）×18+（33×1+33×2）×27 =18（3+9+27）+81×27=702+2 187=2 889．故选D．点评：本题考查数列的求和，考查分类计数原理与分步计数原理的应用，考查分类讨论与转化思想的综合应用，属于难题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：由正弦定理可求得 sinB=，再由 b＜a，可得 B为锐角，cosB=，运算求得结果．解答：解：由正弦定理可得=，∴sinB=，再由 b＜a，可得 B为锐角，∴cosB==，故答案为：．点评：本题考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出sinB=，以及B为锐角，是解题的关键．12．（5分）如图，椭圆的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为．考点：椭圆的应用；循环结构；二面角的平面角及求法．专题：综合题；压轴题．分析：确定椭圆中的几何量，确定二面角的平面角，利用点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，可求得cos∠A2OF1=，即可求得结论．解答：解：由题意，椭圆中a=4，c=，∠A2OF1为二面角的平面角∵点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点∴在直角△A2OF1中，cos∠A2OF1=∴∠A2OF1=即二面角的大小为故答案为：点评：本题考查椭圆与立体几何的综合，考查面面角，解题的关键是确定二面角的平面角．13．（5分）若f（x）+f（x）dx=x，则f（x）=x﹣．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：利用待定系数法结合积分的基本运算即可得到结论．解答：解：因为f（x）dx是个常数，不妨设为m，所以f（x）=x﹣m，其原函数F（x）=x2﹣mx+C（C为常数），所以可得方程m=﹣m，解得m=．故f（x）=x﹣．故答案为：x﹣点评：本题主要考查函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．14．（5分）在函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2），总能使得f（x1）﹣f（x2）≥4（x1﹣x2），则实数a的取值范围为a≥．考点：导数的几何意义．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：不妨设x1＞x2，则x1﹣x2＞0，由f（x1）﹣f（x2）≥4（x1﹣x2），可得≥4，即函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2）连续的斜率不小于4，即导数值不小于4，由此构造关于a的不等式，可得实数a的取值范围．解答：解：不妨设x1＞x2，则x1﹣x2＞0，∵f（x1）﹣f（x2）≥4（x1﹣x2），∴≥4，∵f（x）=alnx+（x+1）2，（x＞0）∴f′（x）=+2（x+1）∴+2（x+1）≥4，∴a≥﹣2x2+2x∵﹣2x2+2x=﹣2（x﹣）2+≤∴a≥，故答案为：a≥点评：本题考查的知识点导数的几何意义，斜率公式，其中分析出f（x1）﹣f（x2）≥4（x1﹣x2）的几何意义，是解答的关键．15．（5分）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，则a5=35，若a n=145，则n=10．考点：归纳推理．专题：图表型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：仔细观察法各个图形中实心点的个数，找到个数之间的通项公式，再求第5个五角星的中实心点的个数及a n=145时，n的值即可．解答：解：第一个有1个实心点，第二个有1+1×3+1=5个实心点，第三个有1+1×3+1+2×3+1=12个实心点，第四个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22个实心点，…第n个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3（n﹣1）+1=+n个实心点，故当n=5时，+n=+5=35个实心点．若a n=145，即+n=145，解得n=10故答案为：35，10．点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察每个图形并从中找到通项公式．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）设函数．（1）求f（x）的最小正周期．（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）的最大值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）f（x）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），根据f（x）与g（x）关于直线x=1对称，表示出此点的对称点，根据题意得到对称点在f（x）上，代入列出关系式，整理后根据余弦函数的定义域与值域即可确定出g（x）的最大值．解答：解：（1）f（x）=sin xcos﹣cos xsin=sin x﹣cos x=（sin x ﹣cos x）=sin（x﹣），∵ω=，∴f（x）的最小正周期为T==8；（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x）），由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上，从而g（x）=f（2﹣x）=sin[（2﹣x）﹣]=sin[﹣x﹣]=cos（x+），当0≤x≤时，≤x+≤，则y=g（x）在区间[0，]上的最大值为g max=cos=．点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．17．（12分）某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为、、，且通过各次测试的事件相互独立．（1）若甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；（2）若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望（用p1、p、p3表示）；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）先求出甲选手不能通过海选的概率，再由对立事件概率计算公式能求出甲选手能通过海选的概率．（2）依题意，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和期望．解答：解：（1）依题意，甲选手不能通过海选的概率为：（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，故甲选手能通过海选的概率为：1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）=．若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响，因为无论按什么顺序，其不能通过的概率均为（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，故无论按什么顺序，其能通过海选的概率都是．（2）依题意，ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ=1）=p1，P（ξ=2）=（1﹣p1）p2，P（ξ=3）=（1﹣p1）（1﹣p2）×1，∴ξ的分布列为：ξ 1 2 3P p1（1﹣p1）p2（1﹣p1）（1﹣p2）Eξ=p1+2（1﹣p1）p2+3（1﹣p1）（1﹣p2）p3，分别计算当甲选手按C→B→A，C→A→B，B→A→C，B→C→A，A→B→C，A→C→B的顺序参加测试时，Eξ的值几时甲选手按C→B→A的顺序参加测试时，Eξ最小，因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手将自己的优势项目放在前面，即按C→B→A的顺序参加测试更有利用于进入正赛．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．18．（12分）如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE=4，BC=6，且BD=1，cos∠ADB=．（1）求证：平面AEC⊥平面BCED；（2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得BD⊥AB，AD=，AB=10=直径，由此能证明平面AEC⊥平面BCED．（2）以C为原点，直线CA为x轴，CB为y轴，CE这z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段DE上存在点M，且时，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为．解答：（1）证明：∵BD⊥平面ABC，∴BD⊥AB，又∵BD=1，cos，∴AD=，AB=10=直径，∴AC⊥BC，又EC⊥平面ACE，BC⊂平面BCED，∴平面AEC⊥平面BCED．（2）解：存在．如图，以C为原点，直线CA为x轴，CB为y轴，CE这z轴，建立空间直角坐标系，则A（8，0，0），B（0，6，0），D（0，6，1），E（0，0，4），=（﹣8，6，1），=（0，﹣6，3），设=λ=（0，﹣6λ，3λ），0＜λ＜1，故=+=（﹣8，6﹣6λ，1+3λ），由（1）得平面ACE的法向量为=（0，6，0），设直线AM与平面CE所成角为θ，则sinθ===，解得．∴线段DE上存在点M，且时，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为．点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（13分）等比数列a n中的前三项a1，a2，a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列．（1）求此数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=3a n﹣（﹣1）n lga n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得a1=3，a2=6，a3=12，公比q=2，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由，得b n=3a n﹣（﹣1）n lga n=9×2n﹣1﹣（﹣1）n[lg3+（n﹣1）lg2]，由此能求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）经检验，当a1=5或a1=4时，不可能得到符合题意的等比数列，∴a1=3，a2=6，a3=12，公比q=2，∴．（2）由，得b n=3a n﹣（﹣1）n lga n=9×2n﹣1﹣（﹣1）n[lg3+（n﹣1）lg2]，∴S n=9（1+2+…+2n﹣1）﹣[（﹣1）+（﹣1）2+…+（﹣1）n]（lg3﹣lg2），n为偶数时，S n=9×+（lg3﹣lg2）﹣（）lg2=9（2n﹣1）+．n为奇数时，=9（2n﹣1）+．∴S n=．点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．20．（13分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2经过椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求•的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）在圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，令y=0，得F（2，0），令x=0，得B（0，2），由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设点Q（x0，y0），x0＞0，y0＞0，则==x0+y0，又，设b=x0+y0，与联立，得：，由此能求出的最大值．解答：解：（Ⅰ）在圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，令y=0，得F（2，0），即c=2，令x=0，得B（0，2），即b=2，∴a2=b2+c2=8，∴椭圆Γ的方程为：．（Ⅱ）设点Q（x0，y0），x0＞0，y0＞0，则==（1，1）•（x0，y0）=x0+y0，又，设b=x0+y0，与联立，得：，令△≥0，得16b2﹣12（12b2﹣8）≥0，解得﹣2．又点Q（x0，y0）在第一象限，∴当时，取最大值2．点评：本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、化归转化及函数与方程等数学思想．21．（13分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣2x﹣1（x∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；（2）求证：对任意实数a＜0，有f（x）＞．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：证明题；导数的综合应用．分析：（1）求出函数f（x）的导函数f′（x），解出f′（x）＞0和f′（x）＜0，从而求出函数f（x）的单调区间；（2）构造新的函数，判断函数的单调性求出函数的最值，从而证明不等式．解答：解：（1）当a=0时，f（x）=e x﹣2x﹣1（x∈R），∵f′（x）=e x﹣2，且f′（x）的零点为x=ln2，∴当x∈（﹣∞，ln2）时，f′（x）＜0；当x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0即（﹣∞，ln2）是f（x）的单调减区间，（ln2，+∞）是f（x）的单调增区间．（2）由f（x）=e x﹣ax2﹣2x﹣1（x∈R）得，f′（x）=e x﹣2ax﹣2，记g（x）=e x﹣2ax﹣2（x∈R），∵a＜0，∴g′（x）=e x﹣2a＞0，即f′（x）=g（x）是R上的单调递增函数，又f′（0）=﹣1＜0，f′（1）=e﹣2a﹣2＞0，故R上存在唯一的x0∈（0，1），使得f′（x0）=0，且当x＜x0时，f′（x）＜0；当x＞x0时，f′（x）＞0，即f（x）在（﹣∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，则f（x）min=f（x0）=ex0﹣ax0﹣1，再由f′（x0）=0得ex0=2ax0+2，将其代入前式可得，f（x）min =，又令h（x0）==﹣a，由于﹣a＞0，对称轴，而x0∈（0，1），∴h（x0）＞h（1）=a﹣1，又＞0，∴h（x0）＞，故对任意实数a＜0，都在f（x ）＞．点评：本题是一道导数的综合题，考查了，利用导数求函数的单调区间，等价转化思想，不等式的证明．难度中等．- 21 -。

高一数学12月月考试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1.已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝(B)A．{0}B．{－1,0} C．{0,1} D．{－1,0,1}2．lg5＋lg20的值为（ C ）A.lg7B.lg25C.1D.lg2lg5⨯3. 下图中，能表示函数y＝f(x)的图像的是(D)4．下列函数是偶函数的是：（Ｂ）A．xy= B．322-=xy C．21xy= D．]1,0[,2∈=xxy5．函数f(x)＝x＋1x的零点个数为(A)A．0B．1C．2D．36. 设αβ、是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（C）A．若lα⊥,αβ⊥，则lβ⊂B．若//lα,//αβ，则lβ⊂C．若lα⊥,//αβ，则lβ⊥D．若//lα,αβ⊥，则lβ⊥7．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是(A)A．(－∞，－4hslx3y3h∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－4，34C.⎝⎛⎦⎤－∞，－14∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤－34，48. 某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为( B ).A.16B.13C.12D. 19.函数2|log|2xy=的图像大致是( Ｃ)10. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且2EF =则下列结论中错误．．的是 （ D ） A ．AC BE ⊥ B ．//EF ABCD 平面C ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．异面直线,AE BF 所成的角为定值 二、填空题（每小题5分） 11. 函数213-=x y 的定义域为 ，值域为 .12．当a 为任意实数时，直线ax －y ＋1－3a ＝0恒过定点__(3,1)___．13.一条光线从点(6,4)P 射出，与x 轴相较于点(2,0)Q ，经x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为2y x =-+14.如图，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是34. 15.已知一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是(写出所有正确结论的编号) ①③④⑤ . ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体； ④每个面都是等腰三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体.三、解答题：16. 已知函数1()f x x x=+，(Ⅰ) 证明()f x 在[1,)+∞上是增函数； (Ⅱ) 求()f x 在[1,4]上的最大值及最小值． 解：(Ⅰ) 设12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <,则21212111()()()()f x f x x x x x -=+-+122112(1)()x x x x x x -=- 121x x ≤< ∴210x x -> ∴121x x >，∴1210x x ->∴122112(1)()0x x x x x x --> ∴21()()0f x f x ->，即12()()f x f x <∴()y f x =在[1,)+∞上是增函数.。

长沙市一中2015届高三第四次月考试卷高三2009-12-11 16:56长沙市一中2015届高三第四次月考试卷语文命题：长沙市一中高三语文备课组时量：150分钟满分：150分一、语言知识及运用（共15分，每小题3分）1．下列词语中加点的字，读音全都正确的一组是A、力能扛(káng)鼎果脯(fǔ)量(liàng)体裁衣悭(qiān)吝B、芟(shān)夷大难沏(qī)茶拾(shí)级而上埋(mán)怨C、荷(hâ)枪实弹犒(kào)劳韦(wãi)编三绝症(zhēng)结D、牵强(qiǎng)附会分娩(miǎn)宵衣旰(gàn)食盘桓(yuán)2．下列句子中没有错别字的一句是A、南方，没有强烈的紫外线幅射，没有弥漫天际的黄沙烟尘，没有能冻断狗尾巴的酷寒。

B、16岁的邓森山、14岁的姚健两学生相继被“拯救训练营”殴打至死，让我们反思，急待拯救的，究竟是“坏”的孩子，还是坏的教育。

C、往事是一祯用岁月底片洗出的黑白相片，有着“只能意会”的内涵；是心香一瓣，散发着淡淡持久的幽香。

D、“不管前面是地雷阵还是万丈深渊，都将一往无前，义无反顾，鞠躬尽瘁，死而后已！”朱镕基的话语掷地有声。

3．依次填入下列各句横线处的词语，最恰当的一项是①、2009年7月10日在长沙举行的两岸经贸论坛将进一步巩固、深化、发展两岸党际交流。

②、交通肇事后报警并在现场等候处理的行为是否为自首，浙江省、北京市给出了两种截然不同的司法判决结果，这两个互相矛盾的认定，会混淆视听。

③、刚一入夏，蚂蚁就开始为遥远的冬天储备食物，以便在万物凋敝的冬季，同样可以丰衣足食。

，这就是蚂蚁的智慧。

A、机制必然未雨绸缪B、体制必定防患未然C、机制必定防患未然D、体制必然未雨绸缪4．下列各句中没有语病的一句是A、国庆60年盛典吸引了海外网民的广泛关注，他们通过中国网、国际在线、中国日报网等网站，纷纷对新中国成立60周年庆典活动的称赞和对新中国60岁生日的祝福。

2014-2015学年湖南省长沙一中高三（上）第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=（）A． {0} B． {0，1} C． {1，2} D． {0，2}2．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A． 7 B． 15 C． 20 D． 253．从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A． 480 B． 481 C． 482 D． 4834．曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积是（）A． 4 B． 2 C． D． 35．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A． 15 B． 105 C． 120 D． 7206．已知命题p：函数y=2﹣a x+1恒过（1，2）点；命题q：若函数f（x﹣1）为偶函数，则f （x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A． p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D． p∧￢q7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）A． 12π B． 4π C． 3π D． 12π8．已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（）A． B． C． D．（0，2]9．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=010．已知函数g（x）=x|a﹣x|+2x，若存在a∈[﹣2，3]，使得函数y=g（x）﹣at有三个零点，则实数t的取值范围是（）A．（，） B．（2，） C．（2，） D．（2，）一、填空题：每小题5分，共25分.选做题：请在11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分．11．在极坐标系中，圆ρ=4sinθ与直线ρ（sinθ+cosθ）=4相交所得的弦长为．一、选做题：12．若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是．一、选做题：13．（2014秋•长沙校级月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交⊙O于点E，连结BE，若∠D=35°，则∠ABE的大小为．14．已知函数f（x）=，则不等式1＜f（x）＜4的解集为．15．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调组，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有．16．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为．三、解答题：共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）（2015•衡阳三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A ﹣cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．18．（12分）（2015•惠州模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．19．（12分）（2014•厦门二模）自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段，假设这三条路段堵车与否相互独立，这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．表1：CD段 EF段 GH段堵车概率 x y平均堵车时间（单位：小时） a 2 1经调查发现，堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．表2：堵车时间（单位：小时）频数[0，1] 8（1，2] 6（2，3] 38（3，4] 24（4，5] 24（Ⅰ）求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．20．（13分）（2014•深圳一模）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y2=2px（p＞0），已知点P（2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为．（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（13分）（2014•广东二模）已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由．（3）令c n=，记数列{c n}的前n项和为S n（n∈N*），证明：≤S n＜．22．（13分）（2014秋•长沙校级月考）设函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R），g（x）=．（Ⅰ）当a=b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=h（x）；并证明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，若f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．2014-2015学年湖南省长沙一中高三（上）第五次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=（）A． {0} B． {0，1} C． {1，2} D． {0，2}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：集合N的元素需要运用集合M的元素进行计算，经过计算得出M的元素，再求交集解答：解：由题意知，N={0，2，4}，故M∩N={0，2}，故选D．点评：此题考查学生交集的概念，属于基础题2．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A． 7 B． 15 C． 20 D． 25考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的性质，可得a2+a4=a1+a5=6，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，∴a2+a4=a1+a5=6，∴S5=（a1+a5）=故选B．点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，熟练运用性质是关键．3．从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A． 480 B． 481 C． 482 D． 483考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论．解答：解：∵样本中编号最小的两个编号分别为007，032，∴样本数据组距为32﹣07=25，则样本容量为，则对应的号码数x=7+25（n﹣1），当n=20时，x取得最大值为x=7+25×19=482，故选：C．点评：本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决本题的关键，比较基础．4．曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积是（）A． 4 B． 2 C． D． 3考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：根据图形的对称性，可得曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积等于曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积的3倍，故可得结论．解答：解：根据图形的对称性，可得曲线y=cosx，与坐标轴围成的面积S=3=3故答案为：3点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题的关键是利用余弦函数的对称性，属于基础题．5．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A． 15 B． 105 C． 120 D． 720考点：程序框图．专题：计算题；图表型．分析：根据题中的流程图，依次求出p和k的值，根据k的值判断是否符合判断框中的条件，若不符合，则结束运行，输出p．解答：解：输入N=6，则k=1，p=1，第一次运行p=1×1=1，此时k=1＜6，第二次运行k=1+2=3，p=1×3=3；第三次运行k=3+2=5，p=3×5=15；第四次运行k=5+2=7，P=15×7=105；不满足条件k＜6，程序运行终止，输出P值为105，故选B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，利用程序框图中框图的含义运行解答．6．已知命题p：函数y=2﹣a x+1恒过（1，2）点；命题q：若函数f（x﹣1）为偶函数，则f （x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A． p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D． p∧￢q考点：复合命题的真假．专题：阅读型．分析：复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．解答：解：函数y=2﹣a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），所以函数y=2﹣a x+1恒过（﹣1，1）点，所以命题p假，则￢p真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x﹣1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题￢p∧￢q为真命题．故选B点评：复合命题的真值表：7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（）A． 12π B． 4π C． 3π D． 12π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原几何体是四棱锥，扩展为正方体，它的体对角线，就是球的直径，求出半径，解出球的表面积．解答：解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S﹣ABCD，其中SA⊥面ABCD．面ABCD为正方形，将此四棱锥还原为正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=．∴S球=4πr2=4π×=3π．答案：C点评：本题考查三视图求表面积，几何体的外接球问题，是基础题．8．已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（）A． B． C． D．（0，2]考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；压轴题．分析：法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．解答：解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选A．点评：本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．9．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，解答：解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选C点评：本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题10．已知函数g（x）=x|a﹣x|+2x，若存在a∈[﹣2，3]，使得函数y=g（x）﹣at有三个零点，则实数t的取值范围是（）A．（，） B．（2，） C．（2，） D．（2，）考点：绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析： g（x）=x|a﹣x|+2x=，易分析a≥﹣2时，g（x）在[a，+∞）递增；a≤2时，g（x）在（﹣∞，a）递增；于是得当﹣2≤a≤2时，g（x）在R上是增函数，则函数y=g（x）﹣at不可能有三个零点，故只需考虑a∈（2，3]的情形．当x≥a时，利用二次函数的单调性与最值可求得g（x）的值域为[2a，+∞）；若x＜a，g（x）的值域为（﹣∞，]，依题意ta∈（2a，]，即存在a∈[﹣2，3]，使得t∈（2，]即可．解答：解：∵g（x）=x|a﹣x|+2x=，若x≥a，对称轴x=≤a，即a≥﹣2时，g（x）在[a，+∞）递增；若x＜a，对称轴x=≥a，即a≤2时，g（x）在（﹣∞，a）递增；∴当﹣2≤a≤2时，g（x）在R上是增函数，则函数y=g（x）﹣at不可能有三个零点；因此，只需考虑a∈（2，3]的情形．当a∈（2，3]时，g（x）=x|a﹣x|+2x=，若x≥a，g（x）=x2+（2﹣a）x，对称轴，则g（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时g（x）的值域为g（x）∈[g（a），+∞）=[2a，+∞）；若x＜a，g（x）=﹣x2+（2+a）x，对称轴x=＜a，则g（x）在x∈（﹣∞，]为增函数，此时g（x）的值域为（﹣∞，]；g（x）在[，a]为减函数，此时g（x）的值域为（2a，]；由存在a∈[﹣2，3]，使得函数y=g（x）﹣at有三个零点，则ta∈（2a，]，即存在a∈[﹣2，3]，使得t∈（2，]即可，令h（a）=≥=2，只要使t＜[h（a）]max即可，而h（a）在a∈[﹣2，3]上是增函数，∴[h（a）]max=h（3）=，故实数t的取值范围是（2，）；故选：B．点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想的应用，突出函数单调性与值域的探索与分析，考查创新思维、逻辑思维、抽象思维及综合运算、分析的能力，属于难题．一、填空题：每小题5分，共25分.选做题：请在11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分．11．在极坐标系中，圆ρ=4sinθ与直线ρ（sinθ+cosθ）=4相交所得的弦长为2．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求得弦心距，再利用弦长公式求得弦长．解答：解：圆ρ=4sinθ即ρ2=4ρsinθ，即 x2+（y﹣2）2=4，表示以（0，2）为圆心、半径r等于2的圆．直线ρ（sinθ+cosθ）=4，即 x+y﹣4=0，由于弦心距d==，故弦长为2=2，故答案为：2．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．一、选做题：12．若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是[﹣2，4]．．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：利用绝对值的几何意义，可得到|a﹣1|≤3，解之即可．解答：解：在数轴上，|x﹣a|表示横坐标为x的点P到横坐标为a的点A距离，|x﹣1|就表示点P到横坐标为1的点B的距离，∵（|PA|+|PB|）min=|a﹣1|，∴要使得不等式|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，只要最小值|a﹣1|≤3就可以了，即|a﹣1|≤3，∴﹣2≤a≤4．故实数a的取值范围是﹣2≤a≤4．故答案为：[﹣2，4]．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义，得到|a﹣1|≤3是关键，也是难点，考查分析问题、转化解决问题的能力，属于中档题．一、选做题：13．（2014秋•长沙校级月考）如图，⊙O是△A BC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交⊙O于点E，连结BE，若∠D=35°，则∠ABE的大小为35°．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：利用等腰三角形的性质、圆的同弧所对的圆周角相等性质即可得出．解答：解：∵AC=CD，∠D=35°，∴∠CAD=35°，∠ACB=70°．∴∠CBE=35°．∵AB=AC，∴∠ABC=70°，∴∠ABE=35°．故答案为：35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质、圆的同弧所对的圆周角相等性质，属于基础题．14．已知函数f（x）=，则不等式1＜f（x）＜4的解集为（0，1]∪（3，4）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由已知可得，不等式1＜f（x）＜4即为或，运用指数函数的单调性和二次不等式的解法，分别解出它们，再求并集即可．解答：解：由已知可得，不等式1＜f（x）＜4即为或即或，解得，0＜x≤1或3＜x＜4．则解集为（0，1]∪（3，4）．故答案为：（0，1]∪（3，4）．点评：本题考查分段函数的运用：解不等式，考查指数函数的单调性，及二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．15．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调组，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有216 ．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，分2步进行分析：1、将6列列车分成两组，在除甲与乙两列列车之外的4列列车中抽出2列，与甲一组，剩余的2列与乙一组即可，由组合数公式可得其分组方法；2、甲所在小组先开出，乙所在小组随后开出，由排列的性质可得列车开出的不同顺序；由分步计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，分2步进行分析：1、将6列列车分成两组，在除甲与乙两列列车之外的4列列车中抽出2列，与甲一组，剩余的2列与乙一组即可，则有C42=6种分组方法，2、甲所在小组先开出，三列列车全排列，有A33=6种顺序，同理乙所在小组随后开出，三列列车全排列，有A33=6种顺序，则共有6×6×6=216种不同的顺序，故答案为216．点评：本题考查分步计数原理的运用，涉及排列、组合的运用，解题时注意首先要满足“两列列车不在同一小组”的分组要求．16．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，求出向量=（，﹣λ+μsinθ）=（1，1），用cosθ，sinθ表示λ和μ，根据cosθ，sinθ的取值范围，再结合λ+μ的单调性，求出λ+μ=的最小值．解答：解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0）．设 P（cosθ，sinθ），∴=（1，1）．再由向量=λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（，﹣λ+μsinθ），∴，∴，∴λ+μ===﹣1+．由题意得0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．求得（λ+μ）′==＞0，故λ+μ在[0，]上是增函数，故当θ=0时，即cosθ=1，这时λ+μ取最小值为=，故答案为：．点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，根据cosθ，sinθ的取值范围求三角函数式的最值，利用导数研究函数的单调性．用cosθ，sinθ表示λ和μ是解题的难点，属于中档题．三、解答题：共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）（2015•衡阳三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A ﹣cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简可得 2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，求得cos2B的值，可得cosB的值，从而求得B的值．（2）由b=≤a，可得B=60°．再由正弦定理可得．解答：解：（1）在△ABC中，∵cos2A﹣cos2B==2（cosA+sinA）（cosA﹣sinA）=2（cos2A﹣sin2A）=cos2A﹣sin2A=﹣2sin2A．又因为 cos2A﹣cos2B=1﹣2sin2A﹣（2cos2B﹣1）=2﹣2sin2A﹣2cos2B，∴2﹣2sin2A﹣2cos2B=﹣2sin2A，∴cos2B=，∴cosB=±，∴B=或．（2）∵b=≤a，∴B=，由正弦====2，得a=2sinA，c=2sinC，故a﹣c=2sinA﹣sinC=2sinA﹣sin（﹣A）=sinA﹣cosA=sin（A﹣），因为b≤a，所以≤A＜，≤A﹣＜，所以a﹣c=sin（A﹣）∈[，）．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换，属于中档题．18．（12分）（2015•惠州模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．（2）连接CD，由已知条件得∠AC D即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED即为二面角A ﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．解答：（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…（1分）因AA1=AB，则AD⊥A1B…（2分）由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，…（3分）得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC．…（4分）因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．…（7分）（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…（8分）在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点∴，且，∴…（9分）过点A作AE⊥A1C于点E，连DE由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…（10分）且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…（14分）点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（12分）（2014•厦门二模）自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段，假设这三条路段堵车与否相互独立，这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．表1：CD段 EF段 GH段堵车概率 x y平均堵车时间（单位：小时） a 2 1经调查发现，堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．表2：堵车时间（单位：小时）频数[0，1] 8（1，2] 6（2，3] 38（3，4] 24（4，5] 24（Ⅰ）求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．考点：几何概型；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：综合题；概率与统计．分析：（Ⅰ）利用组中值，可求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）求出走乙路线花汽油费的数学期望是40y+550元，可得选择走甲线路应满足（550+4y）﹣[500（1﹣x）+（500+60）x]≥0，即6x﹣4y﹣5≤0，利用面积之比，求出选择走甲线路的概率．解答：解：（Ⅰ）a=++2.5×+3.5×+4.5×=3；（Ⅱ）在EF路段多花汽油费的数学期望是20×2y=40y元，在GH路段多花汽油费的数学期望是20×1×=5元，∵EF，GH路段堵车与否相互独立，∴走乙路线多花汽油费的数学期望是40y+5元，∴走乙路线花汽油费的数学期望是40y+550元，∴选择走甲线路应满足（550+4y）﹣[500（1﹣x）+（500+60）x]≥0，即6x﹣4y﹣5≤0，∵x在（，1）上变化，y在（0，）上变化，∴选择走甲线路的概率为=点评：本题考查概率的计算，考查面积的计算，属于中档题．20．（13分）（2014•深圳一模）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y2=2px（p＞0），已知点P（2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为．（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程；抛物线的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用点P（2，2）在抛物线C上，可求抛物线方程，求出与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程，利用两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，可得直线l的方程；（2）直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），与抛物线联立，消去x，利用韦达定理、斜率公式，求出k1+k2，再由得，y M=，求出k3，即可得出结论．解答：解：（1）∵点P（2，2）在抛物线C上，∴p=1，∴y2=2x．…（2分）设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程为y=x+m，代入抛物线方程可得x2+（2m﹣2）x+m2=0，∴△=（2m﹣2）2﹣4m2=4﹣8m=0，得m=，则直线l′方程为y=x+．∵两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，∴有，解得b=2或b=﹣1（舍去）．∴直线l的方程为y=x+2，抛物线C的方程为y2=2x．…（6分）（2）由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），与抛物线联立，消去x得ky2﹣2y﹣4k+2=0，设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，∵k1=，k2=，…（9分）∴．…（10分）由得，y M=，∴k3==，…（13分）∴k1+k2=2k3．因此，存在实数λ，使得k1+k2=λk3成立，且λ=2．…（14分）点评：本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系，切线方程，点到直线距离，最值问题等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．21．（13分）（2014•广东二模）已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由．（3）令c n=，记数列{c n}的前n项和为S n（n∈N*），证明：≤S n＜．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件推导出数列{a n}是公比为2的等比数列．由此能求出，n∈N*．（2）=，若b1，b m，b n成等比数列，则．由此能求出当且仅当m=2，n=12．使得b1，b m，b n成等比数列．（3）=[]，由此利用裂项求和法能证明．解答：（1）解：∵a n+12=2a n2+a n a n+1，∴（a n+1+a n）（2a n﹣a n+1）=0，又a n＞0，∴2a n﹣a n+1=0，即2a n=a n+1，∴数列{a n}是公比为2的等比数列．由a2+a4=2a3+4，得2a1+8a1=8a1+4，解得a1=2．∴数列{a n}的通项公式为，n∈N*．（2）解：=，若b1，b m，b n成等比数列，则（）2=，即．由，得，∴﹣2m2+4m+1＞0，解得：1﹣．又m∈N*，且m＞1，∴m=2，此时n=12．故当且仅当m=2，n=12．使得b1，b m，b n成等比数列．（3）证明：==[]=[]，∴[]==，∵（）n+1•递减，∴0＜（）n+1•≤∴，∴．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的成立的条件的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．22．（13分）（2014秋•长沙校级月考）设函数f（x）=e x+ax+b（a，b∈R），g（x）=．（Ⅰ）当a=b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程y=h（x）；并证明f（x）≥h（x）（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，若f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=b=0代入函数解析式，求y=f（x）在点（0，f（0））处的导数，得到切线方程y=h（x）然后构造函数F（x）=f（x）﹣h（x），利用导数求其最小值为F（0），则结论即可证明；（Ⅱ）当b=﹣1时，f（x）≥g（x）等价于，构造函数G（x）=，求其导函数，分a≥﹣1和a＜﹣1讨论，讨论可知a≥﹣1时f（x）≥g（x）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，a＜﹣1时不合题意；（Ⅲ）把要证的结论转化为证，然后结合（Ⅱ）与（Ⅰ）中的结论采用换元的办法证得，故（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．解答：解：（Ⅰ）当a=0，b=0时，f（x）=e x，f′（x）=e x，∴f′（0）=1，f（0）=1，∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1=1（x﹣0），即：y=h（x）=x+1；证明：令F（x）=f（x）﹣h（x）=e x﹣x﹣1，∴F′（x）=e x﹣1≥0，∴F（x）=e x﹣x﹣1单调递增，又F（0）=0，∴F（x）≥F（0），即e x≥x+1（x≥0）恒成立；（Ⅱ）当b=﹣1时，f（x）≥g（x）等价于，令G（x）=，∴G′（x）=e x﹣x+a，当a≥﹣1时，由（1）知G′（x）=e x﹣x+a≥e x﹣x﹣1≥0，∴G（x）=单调递增，又G（0）=0，∴．当a＜﹣1时，G′′（x）=e x﹣1＞0，∴G′（x）=e x﹣x+a单增，又G′（0）=1+a＜0，∴存在x0∈[0，+∞），使G′（x0）=0，即，∴G（x）在（0，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增，又∵G（0）=0，∴x∈（0，x0）时，G（x）＜0不合题意，故a≥﹣1；（Ⅲ）要证：（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1），即证，也就是．由（Ⅱ），令a=﹣1可知：，令，则，∴，又由（Ⅰ）可知：e x＞1+x（x＞0），∴x＞ln（1+x），令，∴，∴，∴，即，故（e+ln2﹣2g（））＞2n+2ln（n+1）（n∈N+）．点评：本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论、数学转化等数学思想方法，综合考查了学生的推理运算，逻辑思维等能力，是难度较大的题目．。

湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设复数e iθ=cosθ+isinθ，则复数e的虚部为（）A．B．C．i D．i2．（5分）已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题不正确的是（）A．α∥β，m⊥α，则m⊥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．n∥α，n⊥β，则α⊥βD．m∥β，m⊥n，则n⊥β4．（5分）函数的单调增区间是（）A．k∈Z B．k∈ZC．（2kπ，π+2kπ）k∈Z D．（2kπ+π，2kπ+2π）k∈Z5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8C．4D．26．（5分）已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有（）A．0个B．1个C．2个D．3 个7．（5分）已知两不共线向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（）A．||=||=1B．（+）⊥（﹣）C．与的夹角等于α﹣βD．与在+方向上的投影相等8．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，公比为q，前n项和为S n．若对∀n∈N*，有S2n ＜3S n，则q的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2）C．∪D．上的零点．18．（12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行，但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如表所示：组别候车时间（单位：min）人数一∴复数e的虚部为．故选：B．点评：本题考查了复数的基本概念，考查了三角函数的求值，是基础题．2．（5分）已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：命题的否定；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：由p∧q为真命题，知p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．由此可知“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分不必要条件．解答：解：∵p∧q为真命题，∴p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．∴“p∧q是真命题”推出“¬p是假命题”，反之不能推出．则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分而不必要条件．故选A．点评：本题考查复合命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细求解．3．（5分）已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题不正确的是（）A．α∥β，m⊥α，则m⊥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．n∥α，n⊥β，则α⊥βD．m∥β，m⊥n，则n⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．分析：A、用线面垂直的性质定理判断；B、用线面垂直的性质定理判断；C、用面面垂直的判定定理证明D、通过空间几何体模型观察．解答：解：A、由一条直线垂直平行平面中的一个，则垂直于另一个正确；B、由平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面得正确；C、过n作平面γ，γ∩α=m，∵n∥α∴n∥m，又因为n⊥β，∴m⊥β，又因为m⊂α，∴α⊥β正确；D、m∥β，m⊥n，则n⊥β，或n⊂β，n∥β不正确．故选D点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化．4．（5分）函数的单调增区间是（）A．k∈Z B．k∈ZC．（2kπ，π+2kπ）k∈Z D．（2kπ+π，2kπ+2π）k∈Z考点：余弦函数的单调性．专题：计算题．分析：利用诱导公式、二倍角公式化简函数的表达式，然后求出函数的单调增区间，即可得到选项．解答：解：函数=cos2x，因为y=cosx的单调减区间为：k∈Z，函数的单调增区间是k∈Z．故选A点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，函数的单调性，注意正确应用基本函数的单调性是解题的关键，考查计算能力．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8C．4D．2考点：程序框图．专题：计算题．分析：已知b=8，判断循环条件，i＜8，计算循环中s，i，k，当x≥8时满足判断框的条件，退出循环，输出结果s即可．解答：解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：点评：本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．6．（5分）已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有（）A．0个B．1个C．2个D．3 个考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：本题由三视图可知原几何体是一个四棱锥，由线面垂直的判定，可证AB⊥AP，故△PAB为直角三角形，同理，△PCD也为直角三角形，故可得答案．解答：解：由三视图可知原几何体是一个四棱锥，并且顶点P在下底面的射影点为正方形边AD的中点O，所以PO⊥底面ABCD，可得PO⊥AB，又AB⊥AD，AB∩PO=O，由线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，可证AB⊥AP，故△PAB为直角三角形，∵CD∥AB，∴CD⊥平面PAD，CD⊥PD，即△PCD也为直角三角形．故左右侧面均为直角三角形，而前后侧面PBC与PAD均为非直角的等腰三角形．所以侧面中直角三角形个数为2个，故选C点评：本题为三视图的还原问题，只要作出原几何体，理清其中的线面关系即得的答案，属于基础题．7．（5分）已知两不共线向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（）A．||=||=1B．（+）⊥（﹣）C．与的夹角等于α﹣βD．与在+方向上的投影相等考点：平面向量数量积的运算；向量的模；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由模长公式可得==1，故A正确；由数量积为0可得向量垂直，故B正确；由夹角公式可得向量夹角的余弦值，但角的范围不一定，故C错误；而D由投影相等可与模长相等等价，结合A可知正确，故可得答案．解答：解：由模长公式可得==1，==1，即=，故A正确；∵（）•（）=||2﹣||2=0，∴（）⊥（），故B正确；由夹角公式可得．当α﹣β∈时，＜＞=α﹣β；当α﹣β∉时，＜＞≠α﹣β，故C不正确；由投影相等可得，故D正确．故选C点评：本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的模长和投影及夹角，属中档题．8．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，公比为q，前n项和为S n．若对∀n∈N*，有S2n ＜3S n，则q的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2）C．∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，是中档题．10．（5分）已知函数y=f（x）为定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=lg（x2﹣ax+10），若函数y=f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪D．所以：a的取值范围为：故选：D点评：本题考查的知识要点：函数的恒成立问题，基本不等式的应用，及相关的运算问题．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分25分）11．（4分）已知曲线C：（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρsinθ+3=0（以直角坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系），则C被l截得弦长为2．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把曲线C的参数方程化为普通方程，直线l的极坐标方程化为普通方程，两方程联立，求得弦长|AB|的端点坐标，即得|AB|的大小．解答：解：把曲线C的参数方程化为普通方程，得（x﹣2）2+（y+2）2=4…①；把直线l的极坐标方程化为普通方程，得y+3=0…②；由①、②解得x1=2+，x2=2﹣，∴弦长|AB|=|x1﹣x2|=|（2+）﹣（2﹣）|=2．故答案为：2．点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应先把参数方程与极坐标化为普通方程，再来解答，是基础题．12．（4分）如图，已知在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，则BC的长为3．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：连OD，根据切线的性质得到OD⊥AC，在Rt△ADO中，设OD=R，AD=2，AE=1，利用勾股定理可计算出r=，再利用勾股定理，即可求出BC的长．解答：解：连接OD、DE、DB，设⊙O半径为r，∵CD为⊙O切线，∴∠ODA=90°，∵BE为⊙O直径，∴∠BDE=90°，∴∠ADE=∠BDO，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵∠DAE=∠BAD，∴△ADE∽△ABD，∴，∵AD=2，AE=1，∴，∴r=，∵∠B=90°，∴CB为⊙O切线，∴CB2+AB2=AC2，∴CB2+42=（2+CB）2，∴CB=3．故答案为：3．点评：本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线；过圆心垂直于切线的直线必过切点，考查了勾股定理以及三角形相似的判定与性质．13．（4分）若A，B，C为△ABC的三个内角，则的最小值为．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：先根据A+B+C=π和基本不等式求出的最小值，进而可得到的最小值．解答：解：A+B+C=π，且，因此，当且仅当，即A=2（B+C）时等号成立．故答案为：．点评：本题主要考查基本不等式的用法，应用基本不等式时一定要注意“一正、二定、三相等”．14．（4分）|x2﹣1|dx=2．考点：定积分．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先根据定积分的几何意义，将原式化成（1﹣x2）dx+（x2﹣1）dx，再利用定积分的运算法则，找出被积函数的原函数，进行计算即可．解答：解：原式=（1﹣x2）dx+（x2﹣1）dx=（x﹣x3）+（x3﹣x）==2．故答案为：2．点评：本题主要考查定积分的基本运算，解题关键是找出被积函数的原函数，利用区间去绝对值符号也是注意点，属于基础题．15．（4分）已知双曲线=1（b＞0，a＞0）的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F作垂直l1的直线交l1，l2于A，B两点，若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．解答：解：双曲线=1（b＞a＞0）的两条渐近线方程分别为y=±x，不妨设，同向，则渐近线的倾斜角为（0，），∴渐近线斜率k′＜1，∴=e2﹣1＜1，∴1＜e2＜2，若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则|OA|+|OB|=2|AB|，∵|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）2|AB|，∴|AB|=2（|OB|﹣|OA|），∵|OA|+|OB|=2|AB|，∴|OA|=|AB|，∴=，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=而由对称性可知：OA的斜率为k=tan∠AOB，∴=，∴2k2+3k﹣2=0，∴k=（k=﹣2舍去）；∴=，∴=，即c2=a2，∴e==．故答案为：．点评：本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，由=联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．16．（5分）若，z=x+2y，则z的取值范围是．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图所示的阴影部分．将直线l：z=x+2y 进行平移并加以观察，可得当直线ly经过原点时，z达到最小值0；当直线l与余弦曲线相切于点A时，z达到最大值，用导数求切线的方法算出A的坐标并代入目标函数，即可得到z的最大值．由此即可得到实数z的取值范围．解答：解：作出可行域如图所示，可得直线l：z=x+2y与y轴交于点．观察图形，可得直线l：z=x+2y经过原点时，z达到最小值0直线l：z=x+2y与曲线相切于点A时，z达到最大值．∵由得，∴代入函数表达式，可得，由此可得z max==．综上所述，可得z的取值范围为．故答案为：点评：本题给出约束条件，求目标函数z=x+2y的取值范围．着重考查了简单线性规划和运用导数求函数图象的切线的知识，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）已知向量=（cos，﹣1），=（sin，cos2），设函数f（x）=•．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在x∈上的零点．考点：正弦函数的单调性；函数的零点；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由条件利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换求得函数的解析式，再根据正弦函数的增区间，求出f（x）的单调递增区间．（2）由f（x）=0求得sin（x﹣）=，可得x﹣=2kπ+，或x﹣=2kπ+，由此求得x的值，从而得到函数f（x）在x∈上的零点．解答：解：（1）函数f（x）=•=sin cos﹣=sinx﹣=sin（x﹣）﹣，令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，k∈z，可得函数的增区间为，k∈z．（2）由f（x）=sin（x﹣）﹣=0，求得sin（x﹣）=，∴x﹣=2kπ+，或x﹣=2kπ+，即x=2kπ+或x=2kπ+π，∴函数f（x）在x∈上的零点为和π．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、三角恒等变换、正弦函数的增区间、函数的零点，属于中档题．18．（12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行，但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如表所示：组别候车时间（单位：min）人数一②当k为偶数时，同理可得集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为．综上，当k为奇数时，集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为；当k为偶数时，集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为．点评：本题是等差数列和等比数列的综合题，考查了等差关系与等比关系的确定，训练了二项式定理的应用，是中档题．21．（13分）已知点D（0，﹣2），过点D作抛物线C1：x2=2py（p＞0）的切线l，切点A 在第二象限，如图（Ⅰ）求切点A的纵坐标；（Ⅱ）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k1，k2，若k1+2k2=4k，求椭圆方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题．分析：（Ⅰ）设切点A（x0，y0），且，由切线l的斜率为，得l的方程为，再由点D（0，﹣2）在l上，能求出点A的纵坐标．（Ⅱ）由得，切线斜率，设B（x1，y1），切线方程为y=kx﹣2，由，得a2=4b2，所以椭圆方程为，b2=p+4，由，由此能求出椭圆方程．解答：解：（Ⅰ）设切点A（x0，y0），且，由切线l的斜率为，得l的方程为，又点D（0，﹣2）在l上，∴，即点A的纵坐标y0=2．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，切线斜率，设B（x1，y1），切线方程为y=kx﹣2，由，得a2=4b2，…（7分）所以椭圆方程为，且过，∴b2=p+4…（9分）由，∴，…（11分）=将，b2=p+4代入得：p=32，所以b2=36，a2=144，椭圆方程为．…（15分）点评：本题考查切点的纵坐标和椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．22．（13分）已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，利用函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，可得f′（e）=3，从而可求实数a的值；（2）构造g（x）==，求导函数，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），确定h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），进而可得g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，求出最小值，即可得出结论．解答：解：（1）求导数可得f′（x）=a+lnx+1∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，令g（x）==，则g′（x）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则h′（x）=＞0，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．…（7分）因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，…（9分）所以函数g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．所以min=g（x0）=x0，因为k＜对任意x＞1恒成立，所以k＜x0∈（3，4），所以k的最大值为3．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题时构造函数是关键．。

2015年湖南省长沙市雅礼中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），是z的共轭复数，则||的值为（）A．1B．C．D．2．（5分）命题“存在x≥2，使x2≥4”的否定是（）A．对任意x≥2，都有x2＜4B．对x＜2，都有x2≥4C．存在x≥2，使x2＜4D．存在x＜2，使x2≥43．（5分）设随机变量ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）＝P（ξ＞2）＝0.3，则P （ξ＜2μ+1）＝（）A．0.4B．0.5C．0.6D．0.74．（5分）已知x，y满足，且z＝2x+y的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（）A．B．C．D．45．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个顶点到一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（）A．12B．24C．36D．487．（5分）如图所示的程序框图运行结束后，输出的集合中包含的元素个数为（）A．3B．4C．5D．68．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且a2013+a2015＝dx，则a2014（a2012+2a2014+a2016）的值为（）A．π2B．2πC．πD．4π29．（5分）某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝，则函数g（x）＝f（x）﹣e x+a的零点个数不可能是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.（一）选做题：在11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分. 11．（5分）如图，圆A与圆B交于C、D两点，圆心B在圆A上，DE为圆B 的直径．已知CE＝1，DE＝4，则圆A的半径为．12．（5分）极坐标系下，P为曲线r sin（θ﹣）＝a（a＞0）上的动点，Q 为曲线r＝2sinθ上的动点，若线段PQ长度的最小值为﹣1，则a的值为．13．（5分）关于x的不等式|x﹣1|﹣|x|﹣|m+1|＞0的解集非空，则实数m的取值范围是．三、必做题（14～16题）14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，＝2，则的值是．15．（3分）某商品一直打7折出售，利润率为47%，购物节期间，该商品恢复了原价，并参加了“买一件送同样一件”的活动，则此时的利润率为．（注：利润率＝（销售价格﹣成本）÷成本）16．（3分）等腰△ABC中，AB＝AC，D为AC中点，BD＝1，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）如图是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）图象的一部分．（1）求出A，ω，φ的值；（2）当x∈（0，）时，求不等式f（x﹣）＞f2（﹣）﹣2的解集．18．（12分）甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是，规定有一方累计2胜或者累计2和时，棋局结束．棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军；若一方累计2胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军．设结束时对弈的总局数为X．（1）设事件A：“X＝3且甲获得冠军”，求A的概率；（2）求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图1，在边长为12的正方形AA′A A1中，BB1∥CC1∥AA1，且AB＝3，且BC＝4，AA分别交BB1，CC1于点P，Q，将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得A′A与AA1重合，构成图2所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1，在图2中：（1）求证：AB⊥PQ；（2）在底边AC上有一点M，使得BM∥平面APQ，求点M到平面P AQ的距离．20．（13分）如图，抛物线C1：y2＝2px（p＞0）与椭圆C2：+＝1（a＞2）交于第一象限内一点M，F为抛物线C1的焦点，F1，F2分别为椭圆C2的上下焦点，已知|﹣||＝1，|﹣|＝．（1）求抛物线C1和椭圆C2的方程；（2）是否存在经过M的直线l，与抛物线和椭圆分别交于非M的两点P，Q，使得+＝2？若存在请求出直线的斜率，若不存在，请说明理由．21．（14分）数列{a n}满足a1∈（0，1），a n+1＝﹣a+a n+c（n∈N*）（1）证明：“对任意a1∈（0，1），a n∈（0，1）”的充要条件是“c∈[0，）”（2）若a1＝，c＝0，数列{b n}满足b n＝，设T n＝b1+b2+…+b n，R n＝b1•b2…b n，若对任意的n≥10，n∈N*，不等式kn﹣n2（5R n﹣T n）≥2015的解集非空，求满足条件的实数k的最小值．22．（13分）已知函数f（x）＝ln|x|﹣x2+ax，其中a∈R．（1）当a＝1时，求函数的单调增区间．（2）l为f（x）在x＝x0处的切线，且f（x）图象上的点都不在l的上方，求x0的取值范围．2015年湖南省长沙市雅礼中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），是z的共轭复数，则||的值为（）A．1B．C．D．【解答】解：复数z＝1﹣i（i为虚数单位），是z的共轭复数，则||＝＝＝．故选：B．2．（5分）命题“存在x≥2，使x2≥4”的否定是（）A．对任意x≥2，都有x2＜4B．对x＜2，都有x2≥4C．存在x≥2，使x2＜4D．存在x＜2，使x2≥4【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在x≥2，使x2≥4”的否定是：对任意x≥2，都有x2＜4．故选：A．3．（5分）设随机变量ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）＝P（ξ＞2）＝0.3，则P （ξ＜2μ+1）＝（）A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）＝P（ξ＞2）＝0.3，∴曲线关于x＝0.5对称，∵P（ξ＞2）＝0.3，∴P（ξ＜2μ+1）＝P（ξ＜2）＝0.7，故选：D．4．（5分）已知x，y满足，且z＝2x+y的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（）A．B．C．D．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（1，1），此时z＝2×1+1＝3，当直线y＝﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（a，a），此时z＝2×a+a＝3a，∵目标函数z＝2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3＝4×3a，即a＝．故选：B．5．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个顶点到一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为，渐近线方程不妨为：bx+ay＝0，顶点（a，0）∴，∴3b2＝a2，可得3c2＝4a2∴e＝＝．故选：D．6．（5分）五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（）A．12B．24C．36D．48【解答】解：根据题意，甲乙必须相邻，将甲乙看成一个元素，考虑其顺序，有A22＝2种情况，将甲乙与剩余的3个人进行全排列，有A44＝24种情况，则甲和乙坐在一起有2×24＝48种不同的排法，其中，如果乙和丙坐在一起，则必须是乙在中间，甲和丙在乙的两边，将3个人看成一个元素，考虑其顺序，有A22＝2种情况，将甲乙丙与剩余的2个人进行全排列，有A33＝6种情况，则甲乙相邻且乙和丙坐在一起的排法有2×6＝12种；故甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起排法有48﹣12＝36种；故选：C．7．（5分）如图所示的程序框图运行结束后，输出的集合中包含的元素个数为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：第一次执行循环体后，A＝{1，3}，B＝{1，2，9}，i＝2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3，4，9}，i＝3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，A＝{1，3，5，7}，B＝{1，2，3，4，5，6，9}，i＝4，满足退出循环的条件；故A∩B＝{1，3，5}共3个元素，故选：A．8．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且a2013+a2015＝dx，则a2014（a2012+2a2014+a2016）的值为（）A．π2B．2πC．πD．4π2【解答】解：由定积分的几何意义可得dx表示圆x2+y2＝4在第一象限的图形的面积，即四分之一圆，故可得a2013+a2015＝dx＝×π×22＝π，∴a2014（a2012+2a2014+a2016）＝a2014•a2012+2a2014•a2014+a2014•a2016＝+2a2013•a2015＝（a2013+a2015）2＝π2故选：A．9．（5分）某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据三棱锥的正视图如图所示，第一个图是选项A的模型；第二个图是选项B的模型；第三个图是选项D的模型．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）＝，则函数g（x）＝f（x）﹣e x+a的零点个数不可能是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：函数g（x）＝f（x）﹣e x+a的零点个数可化为函数f（x）与函数y＝e x+a的交点的个数；作函数f（x）＝与函数y＝e x﹣a的图象如下，结合图象可知，当a＝2，0，﹣2时，函数g（x）＝f（x）﹣e x+a的零点个数分别是2，1，0；故选：D．二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.（一）选做题：在11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分. 11．（5分）如图，圆A与圆B交于C、D两点，圆心B在圆A上，DE为圆B 的直径．已知CE＝1，DE＝4，则圆A的半径为4．【解答】解：连接CD，AB，交于O，则AB⊥CD，CE⊥CD，∴OB∥CE，OB＝CE，∵CE＝1，DE＝4，DE为圆B的直径，∴OB＝，CD＝，设圆A的半径为r，则r2＝（）2+（r﹣）2，∴r＝4．故答案为：4．12．（5分）极坐标系下，P为曲线r sin（θ﹣）＝a（a＞0）上的动点，Q 为曲线r＝2sinθ上的动点，若线段PQ长度的最小值为﹣1，则a的值为．【解答】解：由r sin（θ﹣）＝a，得，即x ﹣y+a＝0．由r＝2sinθ，得r2＝r sinθ，即x2+y2﹣y＝0，化为标准方程得：．由题意可知，线段PQ长度的最小值为（a＞0）．解得：a＝．故答案为：．13．（5分）关于x的不等式|x﹣1|﹣|x|﹣|m+1|＞0的解集非空，则实数m的取值范围是（2，0）．【解答】解：由题意可得|x﹣1|﹣|x|＞|m+1|的解集非空．由于|x﹣1|﹣|x|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到0对应点的距离，故|x﹣1|﹣|x|的最大值为1，故有1＞|m+1|，即﹣1＜m+1＜1，解得﹣2＜m＜0，故答案为：（﹣2，0）．三、必做题（14～16题）14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，＝2，则的值是22．【解答】解：∵＝3，∴＝+，＝﹣，又∵AB＝8，AD＝5，∴•＝（+）•（﹣）＝||2﹣•﹣||2＝25﹣•﹣12＝2，故•＝22，故答案为：22．15．（3分）某商品一直打7折出售，利润率为47%，购物节期间，该商品恢复了原价，并参加了“买一件送同样一件”的活动，则此时的利润率为5%．（注：利润率＝（销售价格﹣成本）÷成本）【解答】解：设商品的成本为x，销售价格为y，则＝47%，即y﹣x＝0.47x，则y＝1.47x，则产品定价为1.47x÷0.7＝2.1x，若参加了“买一件送同样一件”的活动，则此时商品销售价格为2.1x，此时的利润率＝（2.1x﹣2x）÷2x＝0.1÷2＝0.05＝5%，故答案为：5%16．（3分）等腰△ABC中，AB＝AC，D为AC中点，BD＝1，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：cos A＝＝﹣，△ABC面积S＝b2•＝≤，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）如图是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）图象的一部分．（1）求出A，ω，φ的值；（2）当x∈（0，）时，求不等式f（x﹣）＞f2（﹣）﹣2的解集．【解答】解：（1）由函数的图象知A＝2，＝＝∴函数的周期T＝π．即＝π，解得ω＝2，即f（x））＝2sin（2x+φ），由五点对应法得×2+φ＝，解得φ＝，∴f（x））＝2sin（2x+）．即A＝2，ω＝2，φ＝．（2）由f（x﹣）＞f2（﹣）﹣2得2sin2x＞4sin2x﹣2，即sin2x+cos2x＞0，即sin（2x+）＞0，∵x∈（0，），∴2x+∈（，），∴＜2x+＜π，解得0＜x＜，即不等式的解集为（0，）．18．（12分）甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是，规定有一方累计2胜或者累计2和时，棋局结束．棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军；若一方累计2胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军．设结束时对弈的总局数为X．（1）设事件A：“X＝3且甲获得冠军”，求A的概率；（2）求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设A1：甲恰胜2局；A2：和2局；则P（A）＝P（A1∪A2）＝P（A1）+P（A2）＝（2）X可能取得值为2，3，4P（X＝2）＝；P（X＝3）＝3×；P（X＝4）＝分布列为：数学期望：．19．（12分）如图1，在边长为12的正方形AA′A A1中，BB1∥CC1∥AA1，且AB＝3，且BC＝4，AA分别交BB1，CC1于点P，Q，将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得A′A与AA1重合，构成图2所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1，在图2中：（1）求证：AB⊥PQ；（2）在底边AC上有一点M，使得BM∥平面APQ，求点M到平面P AQ的距离．【解答】（1）∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB；由勾股定理得AB⊥BC，∵BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，BB1∩BC＝B∴AB⊥平面BCC1B1，∵PQ⊂平面BCC1B1，∴AB⊥PQ（2）如图建系，由条件得BP＝3，CQ＝7，可求得平面APQ的一个法向量为＝（1，﹣1，1）．设＝λ，则＝+＝（3﹣3λ，4λ，0），由题意有•＝0，解得λ＝，则d＝＝．20．（13分）如图，抛物线C1：y2＝2px（p＞0）与椭圆C2：+＝1（a＞2）交于第一象限内一点M，F为抛物线C1的焦点，F1，F2分别为椭圆C2的上下焦点，已知|﹣||＝1，|﹣|＝．（1）求抛物线C1和椭圆C2的方程；（2）是否存在经过M的直线l，与抛物线和椭圆分别交于非M的两点P，Q，使得+＝2？若存在请求出直线的斜率，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，由||﹣||＝1，|﹣|＝即||＝，由题意得，解得x M＝1，y M＝3，分别代入抛物线和椭圆方程得：C1：y2＝9x，C2：+＝1．（2）斜率不存在时显然不合题意，假设存在经过M的直线l，与抛物线和椭圆分别交于非M的两点P，Q，使得+＝2．由M（1，3），可设l：y＝k（x﹣1）+3，直线与抛物线联立得：k2x2+（﹣2k2+6k﹣9）x+（3﹣k）2＝0，由韦达定理可得x M+x P＝，及x M＝1可得x P＝；直线与椭圆联立得：（3+k2）x2+2k（3﹣k）x+（k2﹣6k﹣3）＝0，由韦达定理可得x M•x Q＝．及x M＝1可得x Q＝．由+＝2可得x P+x Q＝2x M，可得4k3﹣k2+6k﹣9＝0，可得（k﹣1）（4k2+3k+9）＝0，解得k＝1，经检验符合题意．则存在符合题意的直线，其斜率为1．21．（14分）数列{a n}满足a1∈（0，1），a n+1＝﹣a+a n+c（n∈N*）（1）证明：“对任意a1∈（0，1），a n∈（0，1）”的充要条件是“c∈[0，）”（2）若a1＝，c＝0，数列{b n}满足b n＝，设T n＝b1+b2+…+b n，R n＝b1•b2…b n，若对任意的n≥10，n∈N*，不等式kn﹣n2（5R n﹣T n）≥2015的解集非空，求满足条件的实数k的最小值．【解答】解（1）必要性：，由a1∈（0，1），可得a2∈，由⊆（0，1），得c∈．充分性：用数学归纳法证明．①n＝1成立，n＝2时，，由a1∈（0，1），c∈，得a2∈（0，1）；②设n＝k时，a k∈（0，1），则当n＝k+1时，a k+1＝﹣+c+，由a k∈（0，1），c∈，得a k+1∈（0，1）；从而，对任意n∈N*，a n∈（0，1）．综上，原题充要性得证．（2）由（1）知a n∈（0，1），∴b n＝＝＝，∴R n＝b1•b2…b n＝•…•＝＝．又b n＝＝＝＝﹣，T n＝﹣+…+＝﹣＝﹣5．∴5R n﹣T n＝5，∴kn﹣n2（5R n﹣T n）≥2015，化为k≥5n+，由于对任意n≥10，n∈N*有解，当n＝20，5n+＝；当n＝21，5n+＝200+＞200+．∴k min＝200.75．22．（13分）已知函数f（x）＝ln|x|﹣x2+ax，其中a∈R．（1）当a＝1时，求函数的单调增区间．（2）l为f（x）在x＝x0处的切线，且f（x）图象上的点都不在l的上方，求x0的取值范围．【解答】解：（1）定义域为{x|x≠0，x∈R}，当x＞0⇒；当x＜0⇒．故⇒，从而f（x）的单调递增区间为．（2），l：y＝f'（x0）（x﹣x0）+f（x0）令g（x）＝f（x）﹣f'（x0）（x﹣x0）﹣f（x0），由题意，g（x）≤0恒成立．g'（x）＝f'（x）﹣f'（x0）＝﹣x0＞0时：若x＞0，则g（x）max＝g（x0），若x＜0，则x0＜0时：若x＞0，则，若x＜0，则g（x）max＝g（x0）综上，原条件等价于g（x0）≤0且，易得g（x0）＝0符合题意．故⇒．令t＝⇒设h（t）＝ln（2t）+t﹣⇒⇒h（t）↑，又∴⇔⇒。

长郡中学2015届高三月考试卷(一)数 学(理科)总分:150分 时量:120分钟一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.1.如果复数212bii-+(其中i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b = ( )A. B. 23 C. 23- D. 2【解】选由222(4)125bi b b i i ---+=+,依题有2240b b ---=,即23b =-. 2.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体m 被抽到的概率为( )A.1100 B.120 C.199D.150 【解】选 由抽样的公平性可知,每个个体入样的概率均为5110020P ==. 3.设偶函数满足()24(0)xf x x =-≥,则{|()0}x f x >=( ) A. {|24}x x x <->或 B. {|04}x x x <>或 C. {|22}x x x <->或D. {|06}x x x <>或【解】选 当0x ≥时,由()240x f x =->,得2x >,由图象对称性可知选C. 4.若21()n x x-展开式中的所有二项式系数之和为512,则该开式中常数项为( )A. 84-B. 84C. 36-D. 36 【解】选 由二项式系数之和为2512n =,即9n =,又18319(1),r r r r T C x -+=- 令1830r -=,则6r =故常数项为784T =.5.设条件:|2|3p x -<,条件:0q x a <<,其中a 为正常数.若p 是q 的必要不充分条件,则a 的取值范围是( ) A. (0,5]B. (0,5)C.[5,+∞)D. (5,+∞) 【解】选 由条件p 对应的集合为(1,5)A =-, 条件q 对应(0,)(0)B a a =>.且依题意A B =≠=⊃,可知5a ≤,又0a >,故05a <≤.6.按照如图所示的程序运行,已知输入的x 的值为21log 3+, 则输出y 的值为( )A. 112B. 38C. 712D. 1124【解】选由于输入的初始值为21log 34+<,故221log 312log 3x =++=+,即2log 3211111()()224312y =⨯=⨯=.故选A.7.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的体积为( )A.B.C.D.【解】选由该几何体的为直观图如右所示,(由简到繁)由俯视图→侧视图→正视图→直观图, 其为四棱锥P ABCD -,所以13P ABCD ABCD V S -==矩,选B.8.设2(),0,()1,0x a x f x x a x x -≤⎧⎪=⎨++>⎪⎩,若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围为( ) A. [-1,2]B. [-1,0]C. [1,2]D. [0,2]【解】选 当0a <时,显然(0)f 不是()f x 的最小值,当0a ≥时,可知0x ≤时,2()(0)f x f a ≥=,而当0x >时,1()2f x x a a x=++≥+,依题意22a a +≥,得12a -≤≤,所以02a ≤≤即求.9.已知锐角A 是ABC ∆的一个内角,,,a b c 是三角形中各角的对应边,若221sin cos 2A A -=,则下列各式正确的是( ) A. 2b c a += B. 2b c a +< C. 2b c a +≤ D. 2b c a +≥【解】选 由221sin cos 2A A -=得,1cos22A =-,又A 为锐角,故02A π<<,于是223A π=,即3A π=.于是由余弦定理有2222()3a b c bc b c bc =+-=+-,即22223()()()44b c a b c b c +≥+-+=,解得2a b c ≥+,选C.【一点开心】事实上在ABC ∆中,如果三边,,a b c 成等差或等比数列,即22b a c b ac =+=或, 那么我们都可以结合重要不等式知识得到60B ≤.10.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线 OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示 为x 的函数()f x ,则()y f x =在[0,]π上的图象大致为( )正视图 1 1222 2 侧视图 俯视图【解】选由OP HM PM OM ⋅=⋅,于是HM PM OM =⋅,由三角函数线有, 1|s i n ||c o s ||s i n 2|2H M x x x =⋅=,于是1()|sin2|2f x x =的最大值为1,22T π=,故选C.二、填空题:本大题共5小题,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11.已知直线的极坐标方程为sin()4πρθ+=则极点到直线的距离为 .由sin()4πρθ+=1x y +=,于是极点 (0,0)O 到该直线的距离为d ==即求. 12.设,,x y z 均为正数,满足230x y z -+=,则2y xz的最小值是 .由230x y z -+=可化为23y x z =+,得224(3)43y x z x z =+≥⋅, 其中运用了重要不等式的变形式2()4,,a b ab a b R +≥∈,故23y xz≥(当3x z =时取等号). 13.数列{}a 的前n 项和为n S ,若*111,3,n n a a S n N +==∈,则2014a = .若填为201234⋅形式则视为错误,得分为0.*3,n S n N =∈……①,可推出,21133,3,2n n a a a S n -===≥……②①-②式得,14,2n n a a n +=≥,于是224n n a a -=⨯,2n ≥,故2012201434a =⨯.注意定义域了吗?14.若,x y 满足约束条件0,22,2y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪≤,且z kx y =+取得最小值的点有无数个,则k = .首先作出可行域如右图: 0k -≠,所以①当0k ->,即0k <时,依题意有目标直线//l BC 时,当其运动至与BC 重合时,最优解有无数个,符合题意,即2k -=,即2k =-; ②同理当0k -<,即0k >时,必有//l AB ,即1k -=-,即1k =, 综上①②可知,1k =或 2-为所求.15.已知椭圆22221(0)x y ab a b +=>>过椭圆上一点M 作直线MA MB 、分别交椭圆于A B 、两点,且斜率为12k k 、,若点A B 、【解】填13- 由222619b e a =-=,得2213b a =,如右图所示 取BM 中点D ,连结OD ,,2213O D B Mb k k a ⋅=-=-,又//OD AM ,故1OD k k =,即1213k k ⋅=- 【一点开心】显然,本题有一般性结论,即过椭圆2222:1(x ya bΓ+= l 交椭圆Γ于A B 、两点,P 是椭圆Γ上异于A B 、的任意一点,且当PA PB k k 、都存在时,则有22PA PB b k k a⋅=-.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)2014年巴西世界杯的志愿者中有这样一组志愿者:有几个人只通晓英语,还有几个人只通晓俄语,剩下的人只通晓法语,已知从中任抽一人恰是通晓英语的概率为12,恰是通晓俄语的人的概率为310,且通晓法语的人数不超过3人.(Ⅰ)求这组志愿者的人数; (Ⅱ)现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1人,若甲通晓俄语,乙通晓法语,求甲和乙不全被选中的概率; (Ⅲ)现从这组志愿者中抽取3人,求3人所会的语种数X 的分布列. 【解】(Ⅰ)设通晓英语、俄语、法语人分别有,,x y z 人,且*,,,3x y z N z ∈≤;则依题意有1,23,10x x y z y x y z ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪++⎩,即,733,x y z y x z =+⎧⎨=+⎩…………………………………………2分消去x 得,*32zy N =∈,当且仅当2z =时,3y =符合正整数条件,所以5x =,也即这组志愿者有10人;………………………………………………………3分 (Ⅱ)记事件A 为“甲、乙不全被选中”,则A 的对立事件A 表示“甲、乙全被选中”,于是1155()1()15326P A P A ⨯⨯=-=-=⨯⨯;…………………………………………………7分(Ⅲ)随机变量X 的可能取值为1,2,3,且由古典概型知33212121535537283310101179(1),(2)120120C C C C C C C C P X P X C C +++====== 11153231030(3)120C C C P X C ===.………………………………………………………………11分:. ……………………………………………………………12分 17.(本小题满分12分)如图,点A 是单位圆与x 轴的正半轴的交点,点1(2B -. (Ⅰ)若AOB α∠=,求sin 2α; (Ⅱ)设点P 为单位圆上的动点,点Q 满足,OQ OA OP =+2(),62AOP ππθθ∠=≤≤()f OB OQ θ=⋅,求()f θ的取值范围.【解】(Ⅰ)由三角函数定义可知31sin ,cos 22y x r r αα====-, 所以313sin 22sin cos 2()222ααα==⨯⨯-=-,即求…………………………………5分 (Ⅱ)由三角函数定义知(cos2,sin 2)P θθ,所以(1cos2,sin2),OQ OA OP θθ=+=+所以131()(1cos 2)sin 2sin(2)2262f OB OQ πθθθθ=⋅=-++=--, 又因62ππθ≤≤,故52666πππθ≤-≤,即1sin(2)126πθ≤-≤,于是10()2f θ≤≤,所以()f θ的取值范围是1[0,]2.……………………………………12分18.(本小题满分12分)直三棱柱111ABC A B C -中,5,4,3,AB AC BC ===14AA =,点D 在AB 上. (Ⅰ)若D 是AB 中点,求证:1//AC 平面1B CD ;(Ⅱ)当13BD AB =时,求二面角1B CD B --的余弦值.【解】(Ⅰ)连接1BC 交1B C 于点E ,连接DE , 因为直三棱柱中侧面11BCC B 为矩形,所以 E 为1BC 的中点,又D 是AB 中点,于是1//DE AC ,且D E ⊂面1B CD ,1AC ⊄面1B CD , 所以1//AC 平面1B CD ;…………………………6分 (Ⅱ)由5,4,3,AB AC BC ===知90ACB ∠=,即AC CB ⊥, 又直三棱柱中1AA ⊥面ABC ,于是以C 为原点建立空间 直角坐标系C xyz -如右图所示,于是1(3,0,0),(3,0,4)B B 又13BD AB =,由平面几何易知4(2,,0)3D ,显然平面BCD 的一个法向量为1(0,0,1)=n ,又设平面1B CD 的一个法向量为2(,,)x y z =n ,则由212(3,0,4),4(2,,0),3CB CD ⎧⊥=⎪⎨⊥=⎪⎩n n ,得340,4203x x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩, 解得4,23x y =-=,取1z =,则24(,2,1)3=-n ,设二面角1B CD B --的平面角为θ,则1212||3361|cos |||||61θ⋅===⨯n n n n ,又由图知θ为锐角, 361…………………………………………………………………12分A C DB C 1 A 1B 1AC D C 1 A 1B 1 E y x z A CDB C 1 A 1B 119.(本小题满分13分)在数列{}n a 中,已知*111,21,n n a a a n n N +=-=-+∈. (Ⅰ)求证:{}n a n -是等比数列;(Ⅱ)令,2nn n na b S =为数列{}n b 的前n 项和,求n S 的表达式. 【解】(Ⅰ)证明:由*111,21,n n a a a n n N +=-=-+∈ 可得11(1)2(),120n n a n a n a +-+=--=-≠所以数列{}n a n -以是-2为首项,以2为公比的等比数列………………………………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)得:1222n n n a n --=-⨯=-,所以2n n a n =-,12n n nb =-所以12221212(1)(1)(1)()222222n n n n n nS b b b n =+++=-+-++-=+++-令212222n n n T =+++,则2311122222n n n T +=+++,两式相减得2311111111122222222n n n n n n nT ++=+++-=--, 所以222n n n T +=-,即222n n n S n +=--…………………………………………………13分20.(本小题满分13分)已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -,焦点在x 轴上.若右焦点到直线0x y -+的距离为3. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设椭圆与直线(0)y kx m k =+≠相交于不同的两点M N 、.当||||AM AN =时,求m 的取值范围.【解】(Ⅰ)依题意可设椭圆方程为2221x y a+=,右焦点22(,0),1F c c a =-,3=,得c 故2213a c =+=;故椭圆的方程为2213x y +=………5分化简得2231m k =+1>,得12m >,又代入②式得,22m m <,解得02m <<, 综上可得122m <<,即为所求...…………………………………………………………13分 21.(本小题满分13分)已知函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45,对于任意的[1,2]t ∈,函数32()[()]2mg x x x f x '=++在区间(,3)t 上总不是单调函数,求m 的取值范围; (Ⅲ)求证:*ln2ln3ln4ln 1(2,)234n n N n n⨯⨯⨯⨯<≥∈. 【解】(Ⅰ)由(1)()(0)a x f x x x-'=>,.………………………………………………………1分①当0a >时,显然01x <<时,()0f x '>,当1x >时,()0f x '<, 所以此时()f x 的单调递增区间为(0,1),递减区间为(1,)+∞,②同理当0a <时, ()f x 的单调递增区间为(1,)+∞,递减区间为(0,1),③当0a =时,()3f x =-不是单调函数;.……………………………………………………4分(Ⅱ)由题知,(2)12af '=-=,得2a =-,所以()2ln 23f x x x =-+-.所以32()(2)2,02mg x x x x x =++->,且2()3(4)2,0g x x m x x '=++->,……………6分令()0g x '=时,可知2(4)240m ∆=++>恒成立,即()0g x '=一定有两个不等实根12,x x ,且注意到12203x x =-<,所以不妨设120x x <<,又0x >,于是可知20x x <<时,()0g x '<,又2x x >时,()0g x '>即()g x 在2(0,)x 上递减,在2(,)x +∞上递增,依题意可知2(,3)x t ∈,于是只须2()03(4)20(3)03370g t t m t g m '<++-<⎧⎧⇔⎨⎨'>+>⎩⎩,…………………………………………7分 又以上事实对[1,2]t ∈恒成立.故(1)50(2)21803370g m g m m '=+<⎧⎪'=+<⎨⎪+>⎩,得3793m -<<-;……………9分(Ⅲ)分析:要证*ln2ln3ln4ln 1(2,)234n n N n n⨯⨯⨯⨯<≥∈成立, 即证ln 2ln3ln 4ln 123(1),2n n n ⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯-≥,ln 1,n n n <-≥2成立,下面用综合法证明. 由(Ⅰ)知当1a =-时,()f x =-在上递增,所以)ln 3(1)2ln 1,1x x f x x x =-+->=-⇔<->………………………………11分 也所以在上式中分别令2,3,4,,x n =得, ln 21,ln32,ln 43,,ln 1,2n n n <<<<-≥,ln 2ln3ln 4ln 123(1),2n n n ⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯-≥两边同除以!n 得,*ln2ln3ln4ln 1(2,)234n n N n n⋅⋅⨯⨯<≥∈,即证.…………………13分。

长沙市一中#$%&届高考模拟卷一 数学 文科 参考答案一 选择题题!号%#"'&()*+%$答!案,-./-//,--二 填空题%%!!%!&#0!%#!槡&!%"!&!%'!槡"#'!%&!)#!三 解答题%(! 解析 % 如图 过"作"#"$%于# 则%#1$#1"#所以#$"%1+$2 即"%"$"!又&""底面"'%$ "%$平面"'%$ 所以"%"&"!因为&" "$$平面&"$ 且&"%"$1" 所以"%"平面&"$!而"%$平面"(% 所以平面"(%"平面&"$!(分# 连接'$交"%于点) 连接() 因为&$&平面"(% &$$平面&'$ 平面&'$%平面"(%1() 所以&$&()!则&(3('1$)3)' 而$)3)'1$%3"'1#所以&(3('1#!%#分%)! 解析 % *1%4#4"4'4&&1" +1#4"4&4)4*&1&#分 5回归直线,+1-,*4.过点 * + 5.1+!-*1&!%!(6"1$!#!"分 7,+1%!(,*4$!#当,*1(时 ,+1%!(6(4$!#1+!*'%$!估计该公司第(个月在/中学的销售量为%$套!(分 # 设第一个月在该学校销售的两套软件为.% .# 第个二月销售的三套为-% -# -" 该班两位学生购买的所有情况为.% .# .% -% .% -# .% -" .# -% .# -# .# -" -% -# -% -" -# -" 共%$种情况 其中至少有一套需升级的结果有.% . # .% - % .% - # .% - " .# - % .# - # .# -"共)种!%$分 7两套中至少有一套为第一个月销售的概率为&1)%$!!即该班有软件需升级的概率为)%$!%#分 %*! 解析 % 5011"4 !% 1#7.110%40#40"4 40#11"6#1#1"1!"分 因为-# -'为方程*#!#$*4('1$的两个不相等的实数根!!!!!所以-#4-'1#$ -# -'1('!'分 解得 -#1' -'1%( 所以 -11#1!(分 # 由题知将数列- 1中的第"项 第(项 第+项 删去后构成的新数列21中的奇数列与偶数列仍成等比数列 首项分别是-%1# -#1' 公比均是* +分 3#$%&1 2%42"42&4 42#$%& 4 2#42'42(4 42#$%'1#6 %!*%$$* %!*4'6 %!*%$$) %!*1#$6*%$$)!()!%#分 %+! 解析 % 由条件 得"1# 3'1"!531# 7 1 (!7曲线段#'%的解析式为+1#809 (*4# !""&*(*!'&$+'分 当*1$时&+1)%槡1"!又%$槡1"&7#%)$1 '&即#$)(1 '!(分 !#"由!%"&可知)$槡1(!)分 又易知当,矩形区域-的面积最大时&点&在弧$(上&故)&槡1(!*分设#&)(1 &$) ) '&,矩形区域-的面积为/槡1(809 !槡(:;8 槡!(809 "1(!809 :;8 !809#"1(%#809# 4%#:;8# !!"%#槡1"#809# 4 !"'!"!%$分 5$) ) '&故# 4 '1 #时& 1 *时&/取得最大值!故当,矩形区域-的面积取最大值时 的值 *!%"分 #$!$解析%!%"由题意可得点4!*&+"到两定点#%!$&槡""###!$&槡!""的距离和为'&故轨迹%是以#%###为焦点的椭圆&其方程为*#4+#'1%!'分 !#"设&!5&5#46"&由+71#*&抛物线%#在点&处的切线的斜率为81+7**151#5&所以49的方程为+1#5*!5#46&&分代入椭圆方程得'*#4!#5*!5#46"#!'1$&化简得'!%45#"*#!'5!5#!6"*4!5#!6"#!'1$又49与椭圆%%有两个交点&故1%(*!5'4#!64#"5#!6#4'++$! 设4!*%&+%"&9!*#&+#"&49中点横坐标为*$&则*$1*%4*##15!5#!6"#!%45#"&*分 设线段&"的中点横坐标为*"1%45#&由已知得*$1*"即5!5#!6"#%45#1%45#&! %$分 显然5,$&61!54%5!"4%! 当5+$时&54%5-#&当且仅当51%时取得等号&此时6.!"不符合 式&故舍去.当5)$时&!!5"4!%!"5-#&当且仅当51!%时取得等号&此时6-%&满足 式!综上&6的最小值为%!%"分#%!$解析%!%":!*"的定义域为!$&4<"&其导数:7!*"1%*!.!%分 当..$时&:7!*"+$&函数在!$&4<"上是增函数.#分 当.+$时&在区间$&%!".上&:7!*"+$.在区间%.&4<!"上&:7!*")$!所以:!*"在$&%!".上是增函数&在%.&4<!"上是减函数!'分 !#" 由!%"知&当..$时&函数:!*"在!$&4<"上是增函数&不可能有两个零点&当.+$时&:!*"在$&%!".上是增函数&在%.&4<!"上是减函数&此时:%!".为函数:!*"的最大值&当:%!"..$&:!*"最多有一个零点&所以:%!".1=9%.+$&解得$).)%!(分 此时&%>)%.)>#.#&且:%!">1!%!.>4%1!.>)$&:>#.!"#1#!#=9.!>#.4%1"!#=9.!>#.!$).)%"令#!."1"!#=9.!>#.&则#7!*"1!#.4>#.#1>#!#..#+$&所以#!."在!$&%"上单调递增&所以#!.")#!%"1"!>#)$&即:>#.!"#)$所以.的取值范围是!$&%"!*分.1%4=9*%*%1%4=9*#*#!设;!*"1%4=9**!*+$"&;7!*"1!=9**#!当$)*)%时&;7!*"+$.当*+%时&;7!*")$.所以;!*"在!$&%"上是增函数&在!%&4<"上是减函数!;!*"最大值为;!%"1%!由于;!*%"1;!*#"&且$).)%&所以$)%4=9*%*%1%4=9*#*#)%&所以%>)*%)%!下面证明)当$)*)%时&=9*)*#!%*#4%!设6!*"1=9*!*#!%*#4%!*+$"&则67!*"1!*#!%"#*!*#4%"#+$!6!*"在!$&%"上是增函数&所以当$)*)%时&6!*")6!%"1$!即当$)*)%时&=9*)*#!%*#4%!由$)*%)%得6!*%")$!所以=9*%)*#%!%*#%4%!所以%4=9*%*%)#*%*#%4%&即.)#*%*#%4%&*%#.!*!"%+%&=9*%4=9#.!*!"%+$!又.*%1%4=9*%&所以.*%!%4=9#.!*!"%+$&.*%4=9#.!*!"%+%!所以:#.!*!"%1=9#.!*!"%!.#.!*!"%4%1=9#.!*!"%4.*%!%+$!即:#.!*!"%+:!*#"!由$)*%)%.)*#&得#.!*%+%.!所以#.!*%)*#&*%4*#+#.+#!%"分。

2015-2016学年湖南省长沙一中高三（下）月考数学试卷（理科）（七）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合U=R，A={x|0≤x≤2}，B={y|y=2x，x∈R}，则（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，2]D．（2，+∞）2．（5分）“（m﹣1）（a﹣1）＞0”是“log a m＞0”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）若复数z满足z2+2z=﹣10，则|z|=（）A．B． C．3 D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．5．（5分）展开式中除常数项外的其余项的系数之和为（）A．5377 B．﹣5377 C．5375 D．﹣53756．（5分）已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若∀x1∈[，1]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥27．（5分）将函数向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）与，，x轴围成的图形面积为（）A．B．C．D．8．（5分）已知不等式组表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时，•的值为（）A．2 B．C．D．39．（5分）已知向量满足：，则在上的投影长度的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点F1、F2，点P为双曲线C与椭圆的一个交点，且满足|PF1|=2|PF2|，则双曲线C的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x11．（5分）已知函数y=f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有，则函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．312．（5分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，公比为q，数列{c n}中，c n=a n b n，S n是数列{c n}的前n项和，若S m=7，S2m=﹣201（m为正偶数），则S4m的值为（）A．﹣1601 B．﹣1801 C．﹣2001 D．﹣2201二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．（5分）5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为．14．（5分）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量=（m，n），=（3，6），则向量与共线的概率为．15．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是．16．（5分）数列{a n}中，已知a1=5，a2=19，a3=41，当n≥3时，3（a n﹣a n﹣1）=a n+1﹣a n﹣2，则a10=．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x ∈R）在x=处取得最大值．（1）当时，求函数f（x）的值域；。