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多元统计分析均值向量和协方差阵检验课件

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多元正态总体均值向量与协差阵的假设检验模版(PPT33张)

多元正态总体均值向量与协差阵的假设检验模版(PPT33张)

接受原假设。
统计量的选取：当
未知时，用
的无偏估计
1 n 1
S
来
代替，而样本离差阵
n
S (X() X )(X() X ) Wp(n 1,) 1
ｎ（X－0） Np(0,)
T 2 (n 1) n(X 0)S1 n(X 0)
T（2 p,n p）
且 两 组 样 本 相 互 独 立 ， 1 0， 2 0
H 0 ： 1 =2 H 1 :12
分两种情况：
⑴ ｎ＝ｍ
令 Z (i) X (i) Y(i) i 1, , n
1 n
Z n i1 Z (i) X Y
n
S (Z( j) Z )(Z( j) Z ) j 1 n
m
S2 (Y() Y )(Y() Y ), Y (Y1, ,Yp ) 1
给定检验水平，做出判断
下述假设检验统计量的选取和前面的思路是一样的，只给出统计量 和分布。
4 协差阵不等时，两个正态总体均值向量的检验
设 X ()(X 1, ,X p) N p(1, ) ＝ １ ， ， ｎ Y ()(Y 1, ,Y p) N p(1, ) ＝ １ ， ， ｍ
F( p, n p 1)
n p 1 ( p, n, 2) F (2 p, 2(n p))
p
( p,n,2)
当 p 1时 有 ：
n1 1 (1, n1 , n 2 ) n 2 (1, n1 , n 2 )
当 p 2时 有 ：
F (n2 , n1 )
n1 -1 1 ( 2 , n1 , n 2 )
其 中 ： （ 在 H 0 成 立 时 ）
T
2
(n
m
2)
nm nm

3.均值向量和协方差阵的检验

3.均值向量和协方差阵的检验

检验假设：
H 0 : μ1 μ 2 μ r
H1 : μi i 1,2,, r 不完全相同
2）多元方差分析的离差矩阵的分解
总离差矩阵
SST ( x
k 1 i 1 r nk (k ) i
x )( x
(k ) i
x )
( xi(k ) x (k ) x (k ) x )( xi(k ) x (k ) x (k ) x )
(k)
x )
结论： 总离差阵＝组内离差阵＋组间离差阵 SST =SSE+ SS(TR) 分析：当SSE在SST中占有较大的份额时， 可以认为随机因素影响过大；反之SSE所占 份额小，SS（RT）所占份额就大，不同试验 组间的观测值会有显著性差异。
k 1 i 1 r nk
r
nk
( xi(k ) x (k ) )( xi(k ) x (k ) ) nk ( x (k ) x )( x (k ) x )
k 1 i 1 k 1
r
＋ ( xi(k ) xi(k ) )( x (k ) x ) ( x (k ) x )( xi(k ) x )
i 1
n
n ( xi1 X 1 )2 i 1
( xi1 X 1 )( xi 2 X 2 )
i 1
n
( xi 2 X 2 ) 2
i 1
n
( xi1 X 1 )( xip X p ) i 1 n ( xi 2 X 2 )( xip X p ) i 1 n ( xip X p ) 2 i 1
2、多元方差分析

第三章多元正态均值向量和协方差矩阵的检验

第三章多元正态均值向量和协方差矩阵的检验

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3
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1、总体协方差矩阵已知时
由于 x1, x2,是, xn来自多元正态总体的简单随机样本 x1 (x11, x21,, xp1)
x2 (x12 , x22 ,, xp2 ) xn (x1n , x2n ,, xpn )
(1, 2 ,, p )
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T 2 n(Cx)CSC1 (Cx)
S
1 (n 1)
n i1
(xi
x)(xi
x)
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在例中，假定人类的体形有这样一个一般规 律的身高、胸围和上臂围平均尺寸比例为6:4:1。 检验比例是否符合这一规律。检验：
H0
:
1 6
1
1 4
2
3
H1
:
1 6
1,
1 4
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6
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当T02 2 ( p)时，接受原假设； 当T02 2 ( p)时，拒绝原假设。
p P{ 2 ( p) 所计算出的样本统计量值 ,则拒绝原假设； p P{ 2 ( p) 所计算出的样本统计量值 ,则接受原假设。
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由于 0 ，所以统计量取值在0到1之间。
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由极大似然比原理，如果取值太小，说 明H0为真的时观测到此样本的概率要小得多 ，故有理由认为假设H0不成立。
可以证明当样本容量很大时
-2 ln
-2 ln
max
θ0
max θ
（L x(1) , x(2) ,..., x(n);θ) （L x(1) , x(2) ,..., x(n);θ)

第四讲均值向量和协方差阵的检验

第四讲均值向量和协方差阵的检验
n1n2 ( X Y )1 ( X Y ) ~ 2 ( p) n1 n2
2
若两总体协差阵相等且未知时，
n1n2 ˆ 1 ( X Y ) ~ T 2 ( p, n n 2) T ( X Y )' 1 2 n1 n2
2
根据两个样本可得μ1和μ2的无偏估计量为
1 n1 x xi n1 i 1 1 n2 y yi n2 i 1 1 1 X Y ~ N p 0,( ) n21 n2 n1n2 X Y ~ N p 0, n1 n2

L1 L2 ˆ 又 ~ Wp (n1 n2 2, ) n1 n2 2
检验原k个观测指标向量之间的互协方差阵是否为零，就是要 检验如下的假设：
H0 : ij 0, i j, i, j 1, 2,, k
若对此p维观测指标向量进行了n次观测，得到了一个容量 为n的样本 x(1) , x(2) , x(n )

并已计算出了样本叉积矩阵向量，则可将此样本叉积 矩阵按原k个观测指标向量进行分块，得到如下的分块 叉积矩阵为：
方差分析表
协方差阵的检验
单个总体协方差阵相等的检验

总体协方差阵是否等于已知常数矩阵的检验
H0 : 0 , H1 : 0

总体协方差阵是否等于已知常数矩阵倍数的 检验
H0 : 0 , H1 : 0
2 2
多总体协方差阵相等的检验


假设有k个多元正态总体，它们的分布分别 为 N p (1, 1 ),, N p (k , k ) 。现从每个总体中分别 随机抽取了一个样本，要根据这些样本，对于 这些总体的协方差阵是否相同进行检验。 首先，列出原假设和备择假设。它们分别为：

多元统计分析(何晓群 中国人民大学) 第二章

多元统计分析(何晓群 中国人民大学) 第二章

2021/1/28
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
因为T 2的值与总体均值的马氏距离 (X Y)'Σˆ 1 (X Y) 成 正比例，此值愈大，说明两总体的均值很接近的可能性就愈小，
因而拒绝域可以取为F 值较大的右侧区域，即当给定显著性水
平 的值时，若
F F ( ) p,n1n2 p1
(2.12)
时，拒绝 H 0 ，否则没有足够理由拒绝H 0。
本，且两样本之间相互独立，n1 p, n2 p假定两总体 协方差阵相等，但未知，现对假设
H0 : 0 , 0
(2.9)
进行检验。与前面类似的统计量的形式是：
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§2.1.3 两总体均值的比较
T 2 n1n2 (X Y)/ Σˆ 1(X Y) n1 n2
多元统计分析
何晓群
中国人民大学出版社
2021/1/28
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
1
第二章 均值向量和协方差阵的检验
•§2.1 均值向量的检验 •§2.2 协方差阵的检验 •§2.3 形象分析 •§2.4 有关检验的上机实现
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2
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0
f
p fp
1
T
2
近似遵从第一自由度为
p、第二自由度为
f p 1的F分布，即
((
f
f
p 1))T 2 p
~
Fp, f p1
(2.14)
当min( n1, n2 ) 时,T 2近似于2p

均值向量和协方差阵的检验

均值向量和协方差阵的检验
与一元随机变量的情形相同，常常我们需要检验两个 总体的均值是否相等。
设从总体 Np(1,)和Np(2,)中各自独立地抽取样本 x (x (1 ),x (2 ), ,x (n 1 ))和 y (y (1 ),y (2 ), ,y (n 2 ))， 0。
考虑假设 H0:12 H1:12
统 计 量 T 2n 1 n 2 (x y )' ˆ 1(x y ) n 1n 2
825.1429 自由 n1度 2 1 1 ： 20
组间离差平方和(条件误差)SSA
i k1ni(yi y)2 7 ( 3 4 . 7 1 4 4 1 . 5 7 1 ) 2 7 ( 4 9 . 5 7 1 4 1 . 5 7 1 ) 2
7(4.4 02 4 9.5 17 )2178.2686
这里，现欲检验
H0:0
H1:0
1、协方差阵 已知：
T 0 2 n (X 0 ) 1 (X 0 )~p 2
其中：
n
X
i1
i=1 n
X
1
1 n
n i 1
(i)
1 n
i=1
Xi2
X2
n X p
i=1
X ip
拒 绝 域 :T 0 2 n ( X 0 ) 1 ( X 0 ) p 2 ()
S yn 2(y(i)y)(y(i)y)(n2 1 ) ˆY i 1
n
S X ( X (i) X )( X (i) X ) i 1
n
( xi1 X1)2
i1
n
( xi1 X1)( xi2 X 2 )
i1
n
( xi2 X 2 )2
i 1
n
( xi1
X1)( xip

多元正态分布均值向量和协差阵的检验PPT(共45页)


z
X 0
~
N(0,1)
由原来观察||XX0 |与
大小，转变为观察
n
Z 与 Z 22 的大小。
对给定的显著性水平α ，可以在N(0,1)表
中查到分位点的值Z 22 ，使
2022/3/22
P{|z|z2}
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从小概率的角度看：
➢也 是差如异果就 一大H是个0小小说是的对概，某的率“个，|事统z那|件计么量z。衡落2”量
F X/ f1 Y/ f2
F(f1, f2)
设X是标准正态变量，Y是自由度为v的卡方变量 ，且X和Y相互独立，则称随机变量
t X t(v) Y /v
t2X21v X2 F(1,v) Y/v 1 Y
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因此：HotellingT2与F分布的关系：
若X ~ Np(0, Σ)，S ~Wp(n, Σ) 且X 与S 相互
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第一节 均值向量的检验
单一变量检验的回顾及HotellingT2分布 一个正态总体均值向量的检验 两个正态总体均值向量的检验 多个正态总体均值向量的检验
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一、单变量假设检验及Hotelling T2分布
单一变量假设检验的内容：
①提出假设 H 0: 0; H 1:0
接受域
z 2
z 2
拒绝域
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其基本思想和步骤均可归纳为： ①第一，提出待检验的假设H0和H1； ②第二，给出检验的统计量及其服从的分布； ③第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定
相应的临界值，从而得到否定域； ④第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是
否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒 绝或接受）。

多元正态分布均值向量和协差阵的检验


而
Y n(X 0) ~ Np (0,)
故 T02 n(X 0)T 1(X 0) ~ 2( p)
(2)协差阵未知时，均值向量的检验
H0：＝（0 0为已知向量），H1： 1
假设H
成立，检验统计量为
0
F (n 1) p 1T 2 ~ F ( p, n p) (n 1) p
第三章 多元正态分布均值向量和
协差阵的检验
一、均值向量的检验
二、协差阵的检验
一、均值向量 •的假设检验
1、霍特林（Hotelling）T 2分布
定义1：设X ~ N p (, ),S ~ Wp (n, )，且X与S相互独立，n p,
则称统计量 T 2 nX T S 1X的分布为非中心霍特林T 2分布，
X (i) ~ N4 (1, ), i 1,2,,10； Y(i) ~ N4 (2 , ), i 1,2,,10
且两组样本相互独立，有共同未知协方差阵 0
假设检验 H0 : 1 2 , H1 : 1 2
构造统计量
F

(n＋m 2) (n＋m
p 2) p
X

～N
p
(0,
2
n
)
，
在一元统计中，若 t ~ t(n 1) 分布， 则 t2 ~ F (1, n 1) 分布，即把t分布转化为F分 布来处理，在多元统计分析中统计量也有类 似的性质。
定理1：设X ~ N p (0, ), S ~ Wp (n, )，且X与S相互独立， 令 T 2 nX T S 1 X 则 n p 1T 2 ~ F ( p, n p 1)
再由样本值计算出统计量T02，比较
若T02

多元统计分析——均值向量和协方差阵检验

多元统计分析——均值向量和协方差阵检验均值向量检验是评估两个或多个总体均值是否相等的方法。

在多元统计分析中，均值向量检验常用于比较不同组别或条件下的均值是否有差异。

假设有k个样本组别，每个组别有n个观测值，那么总共有nk个观测值。

假设每个观测值有p个测量变量，那么每个样本组别的均值向量可以表示为一个p维的向量。

我们的目标是比较这k个均值向量是否相等。

常用的均值向量检验方法有Hotelling's T-squared统计量和Wilks' Lambda统计量。

Hotelling's T-squared统计量是基于方差-协方差阵的一个推广，它考虑了样本组别的大小和协方差结构。

它的计算公式为：T^2=n(p-k)/(k(n-1))*(x1-x)^TS^(-1)(x1-x)其中，n是每个组别的观测数，p是变量的个数，k是组别的个数，x1是第一个组别的均值向量，x是总体均值向量，S是协方差阵。

T^2的分布是一个自由度为k，维度为p的非中心F分布。

Wilks' Lambda统计量是基于协方差阵的特征值的一个变换，它的计算公式为：Lambda = ，W，/，B其中，W是所有组别的散布矩阵（Within-groups scatter matrix），B是总体的散布矩阵（Between-groups scatter matrix）。

Wilks' Lambda的分布是一个自由度为k和n-k-1的F分布。

协方差阵检验是评估两个或多个总体协方差阵是否相等的方法。

在多元统计分析中，协方差阵检验常用于比较不同组别或条件下的变量之间的协方差结构是否有差异。

假设有k个样本组别，每个组别有n个观测值，那么总共有nk个观测值。

假设每个观测值有p个测量变量，那么每个样本组别的协方差阵可以表示为一个p维的矩阵。

我们的目标是比较这k个协方差阵是否相等。

常用的协方差阵检验方法有Hotelling-Lawley's Trace统计量和Pillai-Bartlett's Trace统计量。

多元统计分析(第一章)PPT课件


第七章 对应分析
第八章 典型相关分析 两组变量的相关分析
使用的教材
21世纪统计学系列教材
多元统计分析
(中国人民大学出版社,何晓群,2012.1)
参考书
1. 应用多元统计分析（朱建平，科学出版社，2006） 2.实用多元统计分析(方开泰,1989,华东师范大学出版社 3. 多元统计分析引论(张尧庭,方开泰, 科学出版社，
xx 1
min xAx x0
xx p
(2)若A是p阶对称矩阵，B是p阶正定矩阵，
《静静地顿河》，萨尔仁尼琴 质疑，认为不是肖洛霍夫所写， 而是Kryukov所作。Kjetsaa对此作了研究。
著作
Marking (Kryukov) The way and the road(肖洛霍夫)
静静地顿河
抽样字数
1000 1000 1000
不同的词汇
589 656 646
1、“统”，就是全部，“计”，就是计算，统计学即是“具有 全局意义的数字计算”。（陈希孺）
(3)若A为p阶对称矩阵，则存在正交矩阵T及对角矩阵 Λ=diag(λ1,λ2,⋯,λp)，使得 A=TΛT′
二、矩阵的迹
设A为p阶方阵，则它的对角线元素之和称为A的迹， 记作tr(A)，即
tr(A)=a11+a22+⋯+app 方阵的迹具有下述基本性质：
➢ (1)tr(AB)=tr(BA)。特别地，tr(ab′)=b′a。
2、统计学是收集和分析带随机性误差的数据的科学和艺术。
3、一堆数字，就像一对沙子，谁喜欢？但是，一旦你发现了这 一堆数字中隐藏的奥秘，你就会喜欢这对数据了，在你眼里， 就是一堆沙子变成了一堆财富。统计学，就是帮你把一堆沙子 变成财富的方法。即吕洞宾那根“点石成金”的手指。
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• 建立一个原假设：H0：假设该院大三学生的身高与该校大三学生 的平均身高相等。
• 这属于单个变量的均值与已知常数的比较
多元统计分析均值向量和协方差阵检验
1、一元情况的回顾 考虑假设检验问题
H0 : 0 ， H1 : 0
设 x1, x2 , , xn 是取自总体 N (, 2 ) 的一个样本，给定显著性水平 。
2 1
2 2
n1 n2
当 H0 成立时，u N (0,1) 。检验规则为： 当| u | u /2 时，拒绝 H0 ； 当| u | u /2 时，接受 H0 。
多元统计分析均值向量和协方差阵检验
（
2）两个总体方差
2 1
和
2 2
未知，但
12
=
2 2
=
2
用 sp 代替 ，构造检验统计量
t xy
sp
1 1 n1 n2
92
63．2
14．5
4
81
59．0
14．0
5
6
84
59．5
14．0
这是假设检验问题： H0 ：μ = 0 ， H1 ：μ≠ 0
多元统计分析均值向量和协方差阵检验
3.独立样本检验
• 即对相互独立的两个样本的均值进行比较，看二者是否有显著的差异。与单 一样本T检验的原理相同，采用小概率反证法。
设 x1, x2 , , xn 是取自总体 N p (, ) 的一个样本，给定显著性水平 。
（1） 已知。 当假设成立时，
T02 n(X 0)'
1( X
0
)
～
2 p
其否定域为 T02
2 p
(
)
，后者是
2 p
的上
分位点。
多元统计分析均值向量和协方差阵检验
（2） 未知。这时 的无偏估计是 ˆ S /(n 1) ,
2.1 所示。根据以往资料，该地区城市 2 周岁男婴的这三个指标的均值 0 = (90, 58,16) ，
现欲在多元正态性假定下检验该地区农村男婴是否与城市男婴有相同的均值。
某地区农村男婴的体格测量数据
编号 1
身高（cm） 78
胸围（cm） 60．6
上半壁围（cm） 16．5
2
76
58．1
12．5
3
• 首先假设：H0两个样本来自同一总体,u1=u2 • 独立样本t检验的前提： （１）两个样本相互独立 （２）两个样本来自正态总体 若违反这一假设，应采用非参数检验或变换变量使适应条件 （３）比较的两个样本有实际意义 如一个关于产品重量的样本和一个关于产价格的样本均值比较无意义。
多元统计分析均值向量和协方差阵检验
• 例如：推断样本是否来自同一总体 情形一：有两个样本，其均值不等； （并不能断定它们不是来自同一总体） 情形二：有两个样本，其均值相等； （并不能据此断言它们是来自同样的总体）
——这就需要用到均值比较的方法
多元统计分析均值向量和协方差阵检验
2.单一样本检验
• 已知某校大三学生的平均身高是163cm。现从某院大三学生中随 机抽取20个测量出其身高。检验该院大三学生的身高与该校大三 学生的身高平均值是否相等。
为 F1,n1 的上 分位点。
基本性质：在一元统计中，
若统计量t ～t(n-1)分布，当假设为真 时，统计量t2～F1,n-1分布，其否定域 为 t2 F1,n-1（）
在多元统计中T2也具有类似的性质。
多元统计分析均值向量和协方差阵检验
2、P 维单个正态总体均值向量的检验 考虑假设检验问题
H0 : 0 ， H1 : 0
一元情况的回顾 考虑假设检验问题
H0 : 1 2 ， H1 : 1 2
设 x1, x2,
,
xn1
是取自总体
N
(
1,
2 1
)
的容量为
n1
的样本，
y1,
y2 ,
, yn2 是 取 自 总 体
N
(2
,
2 2
)
的容量为
n2
的样本， 给定显著性水平
。
（1）
两个总体方差
2 1
和
2 2
已
知
构造检验统计量
u xy
（1）当 已知时，用统计量 x 0 n
其中:
x
1 n
n i 1
xi
为样本均值。
当假设成立时， ～N（0，1），否定域为| | /2 ， / 2 为 N (0,1) 的上 / 2 分位点。
n
（2）当 未知时，用 S 2 (xi x )2 /(n 1) 作为 2 的估计，用统计量 i 1 t x 0 n 来检验假设。 S
统计量
T 2 n( X 0 )'ˆ 1( X 0 ) n(n 1)( X 0 )' S 1( X 0 )
T ～ 2 （p,n-1）
T 2 与 F 分布的关系:
在 H 条件下 F n p T 2
0
(n 1) p
多元统计分析均值向量和协方差阵检验
实例
对某地区农村的 6 名 2 周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量，得样本数据如表
当假设成立时，t～t(n-1),否定域为 | t | tn1( / 2) ， tn1( / 2) 为 tn1 的上 / 2 分位点。
多元统计分析均值向量和协方差阵检验
统计量
t x 0 n
S
等价于 t 2 n(x 0 )'(S 2 )1(x 0 )
当假设成立时，t2～F(1,n-1)（自由度为 1，n-1 的 F 分布），其否定域为 t 2 F1,n1( ) ，后者
第二章 均值向量和协方差 阵的检验
一、均值向量检验 1.均值比较的意义 2.单一样本检验 3.独立样本检验 4.方差分析：一元和多元
二、协方差阵检验
多元统计分析均值向量和协方差阵检验
1.均值比较的意义
• 在抽样调查中，按随机原则从总体中抽取一定数量的样本，然后 根据样本的数量特征来推断总体的数量特征。由于样本中个体的 差异性，样本所得到的样本统计量与总体参数之间是存在差异的。
（1）协方差相等的情况 考虑假设检验问题
H0 : 1 2 ， H1 : 1 2
设 x1, x2 , , xn 是 取 自 总 体 N p (1, ) 的 容 量 为 n 的 样 本 ， y1, y2 , , ym 是 取 自 总 体
N p (2 , ) 的容量为 m 的样本， n p.m p ，给定显著性水平 。
当 H0 成立时，t 服从自由度为 n1 n2 2 的 t 分布，即 t t(n1 n2 2) 。
检验规则为：
当| t | t /2 (n1 n2 2) 时，拒绝 H0 ；
当| t | t /2 (n1 n2 2) 时，接受 H0 。
多元统计分析均值向量和协方差阵检验
3、两个p维正态总体均值的检验