2020高考数学一轮复习课时作业4函数及其表示(理)

课时跟踪检测（四）函数及其表示一抓基础，多练小题做到眼疾手快．(·淮安调研)函数()＝的定义域是．解析：由(－)≥，得－≥，即≤，解得－≤≤.∴函数()＝的定义域是[－]．答案：[－]．(·苏州高三期中调研)函数＝的定义域为．解析：由(\\(＞，－，))解得＞，且≠，所以函数的定义域为()∪(，＋∞)．答案：()∪(，＋∞)．已知＝－，且()＝，则＝.解析：令＝－，则＝＋，()＝(＋)－＝－，则－＝，解得＝.答案：．已知()是一次函数，满足(＋)＝＋，则()＝.解析：设()＝＋(≠)，则(＋)＝(＋)＋＝＋＋，依题设，＋＋＝＋，∴(\\(＝，＋＝，))∴(\\(＝，＝－()，))则()＝－.答案：－．(·盐城模考)已知函数()＝(\\(＋－，≤，－，＞，))若()＝，则()＝.解析：因为()＝，所以－＝，即＝，所以()＝()＝.答案：．设函数()＝(\\(()，＞，,－－，≤，))则(())＝，函数()的值域是．解析：因为()＝，所以(())＝＝－.当＞时，()∈()，当≤时，()∈[－，＋∞)，所以()∈[－，＋∞)．答案：－[－，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标．(·如东高级中学高三学情调研)设函数()＝(\\(＋－，＜，－，≥，))则(－)＋()＝.解析：因为(－)＝＋＝，()＝－＝，所以(－)＋()＝.答案：．(·苏州期末)函数()＝(\\(，≤，,－＋，＞))的值域为．解析：画出()的图象如图所示，可看出函数的值域为(－∞，]．答案：(－∞，]．(·南京名校联考)()＝错误!则错误!＝.解析：因为＝＝－，所以＝(－)＝－＝.答案：．(·南通调研)函数()＝＋(＋)的定义域是．解析：由题意得(\\(－≠，＋＞))⇒＞－且≠，所以函数()的定义域是(－)∪(，＋∞)．答案：(－)∪(，＋∞)．(·启东中学检测)已知函数＝(－)的定义域为[－，]，则函数＝()的定义域为．解析：因为＝(－)的定义域为[－，]，所以∈[－，]，－∈[－]，所以＝()的定义域为[－，]．答案：[－]．已知具有性质：＝－()的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①＝－；②＝＋；③＝(\\(，＜＜，，＝，,－()，＞.))其中满足“倒负”变换的函数的序号是．解析：对于①，()＝－，＝－＝－()，满足；对于②，＝＋＝()，不满足；对于③，＝错误!即错误!＝错误!故错误!＝－()，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.答案：①③．(·扬州一模)若函数()＝(\\(－－，＜，，＞))为奇函数，则(())＝.解析：因为函数()＝(\\(－－，＜，，＞))为奇函数，所以当＞时，－＜，则(－)＝－＝－()，所以()＝－＋，即()＝－＋.所以()＝－＋＝－，(())＝(－)＝－＝.答案：．已知函数()＝(\\(－＋，≤，－，＞，))若()＝，则()＝.解析：由()＝，可得＝，所以()＝＝.答案：．(·泰州一调)设函数()＝(\\(－，≥，－－，＜，))若()＞，则的取值范围是．解析：不等式()＞可化为(\\(≥，－＞))或(\\(＜，－－＞，))解得＞或＜－.答案：(－∞，－)∪．(·无锡一中月考) 已知函数()的图象如图所示，则函数()＝()的定义域是．解析：要使函数()有意义，需()＞，由()的图象可知，当∈(]时，()＞.答案：(]．(·南京金陵中学月考)二次函数()满足(＋)－()＝，且()＝.()求()的解析式；()若在区间[－]上，函数＝()的图象恒在直线＝＋的上方，试确定实数的取值范围．解：()由()＝，可设()＝＋＋(≠)，故(＋)－()＝(＋)＋(＋)＋－(＋＋)＝＋＋，由题意得(\\(＝，＋＝，))解得(\\(＝，＝－，))故()＝－＋.()由题意，得－＋＞＋，即－＋＞，对∈[－]恒成立．令()＝－＋，则问题可转化为()＞，又因为()在[－]上递减，所以()＝()＝－，故＜－，即实数的取值范围为(－∞，－)．．(·南京期末)已知二次函数()满足()＝，(－)＝，且图象过原点．()求二次函数()的解析式；()已知集合＝[]，＝错误!，求∁.解：()设()＝＋＋(≠)，因为()＝，(－)＝，且图象过原点，所以(\\(＋＋＝，－＋＝，＝，))解得＝，＝－，所以()＝－.()＝＝－，当∈[]时，函数＝－是增函数，当＝时，取得最小值；当＝时，取得最大值，所以＝，又集合＝[]，故∁＝.三上台阶，自主选做志在冲刺名校．已知实数≠，函数()＝(\\(＋，＜，,－－，≥，))若(－)＝(＋)，则＝.解析：当＞时，－＜＋＞.由(－)＝(＋)得－＋＝－－－，解得＝－，不合题意；当＜时，－＞＋＜，由(－)＝(＋)得－＋－＝＋＋，解得＝－，所以的值为－.答案：－．定义在上的函数()满足(＋)＝()，若当≤≤时，()＝(－)，则当－≤≤－时，()＝.解析：由题意知(＋)＝(＋)＝()，当－≤≤－时，≤＋≤，所以()＝(＋)＝(＋)[－(＋)]＝－(＋)(＋)，所以当－≤≤－时，()＝－(＋)(＋)．答案：－(＋)(＋)．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离(米)与汽车的车速(千米时)满足下列关系：＝＋＋(，是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离(米)与汽车的车速(千米时)的关系图．()求出关于的函数表达式；()如果要求刹车距离不超过米，求行驶的最大速度．解：()由题意及函数图象，得(\\(()＋＋＝，,()＋＋＝，))解得＝，＝，所以＝＋(≥)．()令＋≤，得－≤≤.因为≥，所以≤≤.故行驶的最大速度是千米时．。

核心素养提升练四函数及其表示(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象,②中当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象.2.已知A={x|x=n2,n∈N},给出下列关系式:①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)=x4;⑤f(x)=x2+1,其中能够表示函数f:A→A的个数是( )A.2B.3C.4D.5【解析】选C.对于⑤,当x=1时,x2+1A,故⑤错误,由函数定义可知①②③④均正确.3.(2019·郑州模拟)函数f(x)=ln+的定义域为( )A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(0,1)D.(0,1)∪(1,+∞)【解析】选B.要使函数f(x)有意义,应满足解得x>1,故函数f(x)=ln+的定义域为(1,+∞).4.(2018·衡阳模拟)已知f(x)=则f等于( )A.-2B.-3C.9D.-9【解析】选C.因为f=log3=-2,所以f=f(-2)= =9.5.已知f=+,则f(x)等于( )A.(x+1)2(x≠1)B.(x-1)2(x≠1)C.x2-x+1(x≠1)D.x2+x+1(x≠1)【解析】选C.f=+=-+1,令=t(t≠1),则f(t)=t2-t+1,即f(x)=x2-x+1(x≠1).6.(2019·太原模拟)若函数f(x)满足f(1-ln x)=,则f(2)等于( )A. B.e C. D.-1【解析】选B.令1-ln x=t,则x=e1-t,于是f(t)=,即f(x)=,故f(2)=e.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选B.由1-ln x=2,得x=,这时==e,即f(2)=e.7.已知函数f(x)的定义域为[0,2],则函数g(x)=f(2x)+的定义域为( )A.[0,1]B.[0,2]C.[1,2]D.[1,3]【解析】选A.由题意,得解得0≤x≤1.【变式备选】设函数f(x)=lg(1-x),则函数f[f(x)]的定义域为 ( )A.(-9,+∞)B.(-9,1)C.[-9,+∞)D.[-9,1)【解析】选B.f[f(x)]=f[lg(1-x)]=lg[1-lg(1-x)],其定义域为解得-9<x<1,所以f[f(x)]的定义域为(-9,1).二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2019·泉州模拟)已知函数f(x)=若f(x0)=2,则x0的值为________.【解析】若x0≤1,则=2,解得x0=-1,若x0>1,则log3x0=2,解得x0=9.答案:-1或99.已知函数f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=lof(x)的定义域是________.【解析】要使函数有意义,需f(x)>0,由f(x)的图象可知,当x∈(2,8]时,f(x)>0.答案:(2,8]10.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是________.【解析】由题意:令g(x)=f(x)+f=函数g(x)在区间(-∞,0], ,三段区间内均单调递增,且g=1,20+0+>1,×20>1,因此,x的取值范围是.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2018·武汉模拟)函数f(x)=满足f(1)+f(a)=2,则a的所有可能取值为( )A.1或-B.-C.1D.1或【解析】选A.因为f(1)=e1-1=1且f(1)+f(a)=2,所以f(a)=1,当-1<a<0时,f(a)=sin(πa2)=1,因为0<a2<1,所以0<πa2<π,所以πa2=⇒a=-;当a≥0时,f(a)=e a-1=1⇒a=1.故a=-或1.2.(5分)(2019·日照模拟)已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,且对任意的实数x,都有f[f(x)-e x]=e+1(e是自然对数的底数),则f(ln 2)= ( )A.1B.e+1C.e+3D.3【解析】选D.因为函数f(x)是定义在R上的单调函数,不妨设f(c)=e+1,所以f(x)-e x=c,f(x)=e x+c.所以f(c)=e c+c=e+1.所以c=1.所以f(x)=e x+1.所以f(ln 2)=e ln2+1=3.3.(5分)(2018·锦州模拟)已知函数f(x2-3)=lg,则f(x)的定义域为________.【解析】设t=x2-3(t≥-3),则x2=t+3,所以f(t)=lg=lg,由>0,得t>1或t<-3,因为t≥-3,所以t>1,即f(t)=lg的定义域为(1,+∞),故函数f(x)的定义域为(1,+∞).答案:(1,+∞)4.(12分)设函数f(x)=且f(-2)=3,f(-1)=f(1).(1)求f(x)的解析式.(2)在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图象.【解析】(1)由f(-2)=3,f(-1)=f(1)得解得a=-1,b=1,所以f(x)=(2)f(x)的图象如图.5.(13分)如果对∀x,y∈R都有f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2.(1)求f(2),f(3),f(4)的值.(2)求+++…+++的值.【解析】(1)因为∀x,y∈R,f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,所以f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=22=4, f(3)=f(1+2)=f(1)·f(2)=23=8,f(4)=f(1+3)=f(1)·f(3)=24=16.(2)方法一:由(1)知=2, =2, =2,…, =2,故原式=2×1 009=2 018.方法二:对∀x,y∈R都有f(x+y)=f(x)·f(y)且f(1)=2,令x=n,y=1,则f(n+1)=f(n)·f(1),即=f(1)=2,故==…==2,故原式=2×1 009=2 018.。

课时作业4 函数及其表示[基础达标]一、选择题1．[2020·某某某某模拟]下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．[2020·某某实验中学月考]下面各组函数中为相同函数的是( ) A ．f (x )＝x －12，g (x )＝x －1B ．f (x )＝x －1，g (t )＝t －1C ．f (x )＝x 2－1，g (x )＝x ＋1·x －1D ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2x3．[2020·某某省枣阳市高级中学月考]下列函数中，定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1 D ．y ＝x ＋1x －14．[2020·某某质检]已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －15．[2020·某某黄冈调研]已知函数f (2x ＋1)的定义域为(－2,0)，则f (x )的定义域为( )A ．(－2,0)B ．(－4,0)C ．(－3,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，16．[2020·某某某某摸底]下列函数满足f (log 32)＝f (log 23)的是( ) A ．f (x )＝2x＋2－xB ．f (x )＝x 2＋2xC ．f (x )＝x 2＋1xD ．f (x )＝x －1x ＋17．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34 D.32或－348．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B．①③ C ．②③ D．①9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋n ，x <1，log 2x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2，则实数n 为( )A ．－54B ．－13C.14D.5210．定义a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ×b ，a ×b ≥0，ab，a ×b <0，设函数f (x )＝ln x x ，则f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．4ln 2B ．－4ln 2C ．2D ．0 二、填空题11．[2020·某某某某质量检测]有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．12．设函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．13．[2020·某某清苑一中模拟]设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋1，x <1.则f (f (－1))＝________. 14．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2x －1，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝________.[能力挑战]15．[2020·某某华南师大附中月考]已知函数f (x )的定义域是[－1,1]，则函数g (x )＝f 2x －1ln 1－x的定义域是( )A ．[0,1]B ．(0,1)C ．[0,1)D ．(0,1]16．若函数f (x )满足：在定义域D 内存在实数x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立，则称函数f (x )为“1的饱和函数”．给出下列三个函数：①f (x )＝1x；②f (x )＝2x ；③f (x )＝lg(x 2＋2)．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为( ) A ．①③ B．② C ．①② D．③17．[2020·某某荆州模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a的取值X 围是________．1．解析：①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象，故选B 项．答案：B2．解析：若两个函数为相同函数，则它们的定义域、对应法则都相同．对于选项A ：虽然f (x )＝x －12，g (x )＝x －1的定义域都为R ，但函数f (x )＝|x －1|，它们的对应法则不同，排除A 项；对于选项C ：因为f (x )＝x 2－1，g (x )＝x ＋1·x －1的定义域分别为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，[1，＋∞)，定义域不同，排除C 项；对于选项D ：因为f (x )＝x ，g (x )＝x 2x 的定义域分别为R ，{x |x ≠0}，定义域不同，排除D 项；对于选项B ：因为f (x )＝x －1，g (t )＝t －1的定义域都为R ，对应法则也都相同，所以它们为相同函数，选B 项．答案：B 3．解析：∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1≠1，x ≠1，∴函数y ＝x ＋1x －1的定义域与值域相同．故选D 项．答案：D4．解析：f (x )是一次函数，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，f (f (x ))＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1.即f (x )＝x ＋1.故选A.答案：A5．解析：∵f (2x ＋1)的定义域为(－2,0)，即－2<x <0，∴－3<2x ＋1<1.∴f (x )的定义域为(－3,1)．故选C 项．答案：C6．解析：由于log 32＝1log 23，故问题等价于满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的函数．对于A 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝21x＋21x-≠f (x )，不符合题意；对于B 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝1x2＋2x≠f (x )，不符合题意；对于C选项，f (x )＝x ＋1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，符合题意；对于D 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－11x＋1＝1－x 1＋x ≠f (x )，不符合题意．故选C 项．答案：C7．解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B 项． 答案：B8．解析：对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 答案：B9．解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2×34＋n ＝32＋n ，当32＋n <1，即n <－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋n ＋n ＝2，解得n ＝－13，不符合题意；当32＋n ≥1，即n ≥－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋n ＝2，即32＋n＝4，解得n ＝52，故选D.答案：D10．解析：2×ln 2>0，所以f (2)＝2×ln 2＝2ln 2.因为12×ln 12<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 1212＝－2ln 2.则f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2ln 2－2ln 2＝0. 答案：D11．解析：对于①，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数，故错误；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点，故正确；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数，故正确；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1，故错误．综上可知，正确判断的序号是②③.答案：②③12．解析：由题图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2.13．解析：∵f (－1)＝(－1)2＋1＝2， ∴f (f (－1))＝f (2)＝2＋22－3＝0.答案：014．解析：若0<a <1，由f (a )＝f (a ＋1)得 a ＝2(a ＋1－1)， ∴ a ＝14，∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6.答案：615．解析：由题意，函数f (x )的定义域为[－1,1]，即－1≤x ≤1，令－1≤2x －1≤1，解得0≤x ≤1，又g (x )满足1－x >0且1－x ≠1，解得x <1且x ≠0，所以函数g (x )的定义域为(0,1)，故选B 项．答案：B16．解析：对于①，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则1x 0＋1＝1x 0＋1，所以x 20＋x 0＋1＝0(x 0≠0，且x 0≠－1)，显然该方程无实根，因此①不是“1的饱和函数”；对于②，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则2x 0＋1＝2x 0＋2，解得x 0＝1，因此②是“1的饱和函数”；对于③，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则lg[(x 0＋1)2＋2]＝lg(x 20＋2)＋lg(12＋2)，化简得2x 20－2x 0＋3＝0，显然该方程无实根，因此③不是“1的饱和函数”．答案：B17．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)。

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题04函数及其表示最新考纲1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).基础知识融会贯通1．函数与映射于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 2.(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 【知识拓展】 简单函数定义域的类型(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .重点难点突破【题型一】函数的概念【典型例题】若函数y ＝f （x ）的定义域为M ＝{x |﹣2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f （x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除； 对B 满足函数定义，故符合；对C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定； 对D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定． 故选：B ．【再练一题】下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．B ．y ＝arcsin （sin x ）和y ＝sin （arcsin x ）C ．y ＝x 和y ＝arccos （cos x ）D．y＝x（x∈{0，1}）和y＝x2（x∈{0，1}）【解答】解：A．y＝log22x＝x，函数的定义域为R，y x，函数的定义域为{x|x＞0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数B．y＝sin（arcsin x）的定义域为[﹣1，1]，y＝arcsin（sin x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．C．y＝arccos（cos x）的值域是[，]，y＝x的值域是R，不是相同函数．D．y＝x对应的点为（0，0），（1，1），y＝x2对应的点为（0，0），（1，1），两个函数是同一函数，故选：D．思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同．【题型二】函数的定义域问题命题点1求函数的定义域【典型例题】若函数f（x）ln（x+1），则函数g（x）＝f（x）+f（﹣x）的定义域为（）A．（﹣1，2] B．（﹣1，1）C．（﹣2，2）D．[﹣2，2]【解答】解：解得，﹣1＜x≤2；∴要使g（x）有意义，则：；解得﹣1＜x＜1；∴g（x）的定义域为（﹣1，1）．故选：B．【再练一题】已知函数f（x）的定义域为（1，2），则函数f（x2）的定义域是（）A．（1，2）B．（1，4）C．R D．（，﹣1）∪（1，）【解答】解：∵数f（x）的定义域为（1，2），∴由1＜x2＜2，得x＜﹣1或1＜x．即函数f（x2）的定义域是（，﹣1）∪（1，）．故选：D．命题点2已知函数的定义域求参数范围【典型例题】设函数f（x）．（1）当a＝5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝5时，f（x），由|x﹣1|+|x﹣2|﹣5≥0，得或或，解得：x≥4或x≤﹣1，即函数f（x）的定义域为{x|x≤﹣1或x≥4}．（2）由题可知|x﹣1|+|x﹣2|﹣a≥0恒成立，即a≤|x﹣1|+|x﹣2|恒成立，而|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）+（2﹣x）|＝1，所以a≤1，即a的取值范围为（﹣∞，1]．【再练一题】函数的定义域为R，则实数k的取值范围是．【解答】解：函数的定义域为R，∴关于x的不等式2kx2﹣kx0恒成立，k＝0时，不等式为0恒成立；k≠0时，应满足△＝k2﹣4×2k0，解得0＜k＜3，综上，实数k的取值范围是[0，3）．故答案为：[0，3）．思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域． (3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．【题型三】求函数解析式【典型例题】 已知函数f （2）＝x +45，则f （x ）的解析式为（ ）A ．f （x ）＝x 2+1 B ．f （x ）＝x 2+1（x ≥2） C ．f （x ）＝x 2 D ．f （x ）＝x 2（x ≥2）【解答】解：；∴f （x ）＝x 2+1（x ≥2）． 故选：B ．【再练一题】若函数f （x ）对于任意实数x 恒有f （x ）﹣2f （﹣x ）＝3x ﹣1，则f （x ）等于（ ） A ．x +1B ．x ﹣1C ．2x +1D ．3x +3【解答】解：函数f （x ）对于任意实数x 恒有f （x ）﹣2f （﹣x ）＝3x ﹣1， 令x ＝﹣x ，则：f （﹣x ）﹣2f （x ）＝3（﹣x ）﹣1． 则：，解方程组得：f （x ）＝x +1． 故选：A ．思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式； (4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【题型四】分段函数命题点1 求分段函数的函数值 【典型例题】已知函数，则的值是（）A．﹣1 B．3 C．D．【解答】解：由题意可得，f（） 1∴f（f（））＝f（﹣1）＝3﹣1故选：C．【再练一题】设f（x）则使得f（m）＝1成立的m值是（）A．10 B．0，10 C．0，﹣2，10 D．1，﹣1，11 【解答】解：当m＜1时，f（m）＝（m+1）2＝1∴m＝﹣2或m＝0当m≥1时，f（m）＝4 1∴m＝10综上：m的取值为：﹣2，0，10故选：C．命题点2分段函数与方程、不等式问题【典型例题】已知f（x）则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是（）A．[﹣2，1] B．（﹣∞，﹣2] C．D．【解答】解：①当x+2≥0时，即x≥﹣2，f（x+2）＝1由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x+x+2≤5∴x即﹣2≤x当x+2＜0即x＜﹣2时，f（x+2）＝﹣1由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x﹣（x+2）≤5即﹣2≤5∴x＜﹣2综上，不等式的解集为{x|x}故选：D．【再练一题】函数，若f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等，则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（10，12）C．（5，6）D．（20，24）【解答】解：函数的图象如图：∵f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等∴a∈（0，1），b∈（1，10），c∈（10，12）∴由f（a）＝f（b）得|lga|＝|lgb|，即﹣lga＝lgb，即ab＝1∴abc＝c由函数图象得abc的取值范围是（10，12）故选：B．思维升华(1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．基础知识训练1．下列图象中可作为函数图象的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵函数要求对应定义域P中任意一个x都有唯一的y值与之相对应，也就是说函数的图象与任意直线x＝c（c∈P）只有一个交点；选项A、B、D中均存在直线x＝c，与图象有两个交点，故不能构成函数；故选：C．2．下列四个图象中，不能作为函数图象的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个自变量x的值，都有唯一的函数值y与其对应，故函数的图象与直线x＝a至多有一个交点，图C中，当﹣2＜a＜2时，x＝a与函数的图象有两个交点，不满足函数的“唯一性”，故C不是函数的图象.故选：C．3．函数的定义域为A．B．C．D．【答案】D【解析】解：要使函数有意义，则：；解得，且；该函数的定义域为：．故选：D．4．已知函数,则的定义域为A．B．C．D．【答案】B【解析】解：要使f（x）有意义，则4﹣x＞0；∴x＜4；∴f（x）的定义域为（﹣∞，4）；∴函数g（x）满足：；∴x＜2，且x≠1；∴g（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2）．故选：B．5．函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，解得x≥0且x≠1．∴函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．故选：C．6．已知函数，则( )A．1 B．C．D．【答案】D【解析】依题意，故，解得.故，所以.故选D. 7．已知f（）=，则f（x）的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由可知，函数的定义域为{x|x≠0，x≠﹣1}，将x换为，代入上式得：f（x），故选：D．8．设f（x）=，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，=f（x），A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，=f（x），D正确；故选：A．9．已知函数，则满足的t的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】函数，可得时，递增；时，递增，且，可得在R上为增函数，由，即，解得，即t的范围是．故选：C．10．已知函数，则函数的零点个数为A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，据此可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，由函数的解析式易知函数在区间上单调递减，绘制函数图像如图所示，注意到，故方程的解：，则原问题转化为求方程时解的个数之和，由函数图像易知满足题意的零点个数为7个.本题选择B选项.11．定义在上的奇函数，当时，则关于的函数的所有零点之和为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为当时，，即时，，当时，，当时，，画出时，的图象，再利用奇函数的对称性，画出时的图象，如图所示：则直线的图象有5个交点，则方程共有5个实根，最左边两根之和为，最右边两根之和为，因为时，，所以，又，所以，所以中间的一个根满足，即，解得，所以所有根的和为，故选A.12．设函数，若，则实数a的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】解：当时，不等式可化为，即，解得；当时，不等式可化为，所以．故的取值范围是，故选C．13．若函数的值域是，则实数a的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，要使的值域是，则当时，恒成立，即，若，则不等式不成立，当时，则由，则，，即，故选：D．14．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，, 则（）A．4 B．-4 C．D．【答案】B【解析】结合奇函数的概念，可知，所以，故选B。

第4讲 函数的概念及其表示1.2.函数的三要素函数由、和对应关系三个要素构成.在函数y=f (x ),x ∈A 中,x 叫作自变量,x 的取值范围A 叫作函数的 .与x 的值相对应的y 值叫作函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的 . 3.函数的表示法函数的常用表示方法: 、 、 . 4.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 ,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.常用结论1.常见函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R . (4)零次幂的底数不能为0.(5)y=a x(a>0且a ≠1),y=sin x ,y=cos x 的定义域均为R .(6)y=log a x (a>0,a ≠1)的定义域为{x|x>0}.(7)y=tan x的定义域为x x≠kπ+,k∈Z.2.抽象函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,从而解得x的范围,即为f[g(x)]的定义域.(2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n确定g(x)的范围,即为f(x)的定义域.3.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为-,+∞;当a<0时,值域为-∞-.(3)y=(k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.题组一常识题1.[教材改编]以下属于函数的有.(填序号)①y=±;②y2=x-1;③y=-+-;④y=x2-2(x∈N).2.[教材改编]已知函数f(x)=则f(-2)=,f[f(-2)]=.3.[教材改编]函数f(x)=-的定义域是.4.[教材改编]已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域C的不同情况有种.题组二常错题◆索引:求函数定义域时非等价化简解析式致错;分段函数解不等式时忘记范围;换元法求解析式,反解忽视范围;对函数值域理解不透彻致错.5.函数y=-·的定义域是.6.设函数f(x)=--则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为.7.已知f()=x-1,则f(x)=.8.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有个.探究点一函数的定义域角度1求给定函数解析式的定义域例1 (1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(0,1]B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0)∪[1,+∞)(2)函数f(x)=-+的定义域为()A.(-3,0]B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪(-3,0]D.(-∞,-3)∪(-3,1][总结反思](1)求函数定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合;(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集;(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可;(4)注意不要轻易对解析式化简变形,否则易出现定义域错误.角度2求抽象函数的定义域例2 (1)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是()A.[0,1]B.[0,1)C.[0,1)∪(1,4]D.(0,1)(2)若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则f(lg x)的定义域为()A.[-1,1]B.[1,2]C.[10,100]D.[0,lg 2][总结反思](1)无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域均是指其中的x的取值集合;(2)同一问题中、同一法则下的范围是一致的,如f[g(x)]与f[h(x)],其中g(x)与h(x)的范围(即它们的值域)一致.变式题(1)若函数y=f(x)的定义域为(0,1),则f(x+1)的定义域为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(-1,1)(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为[-],则函数y=f(x)的定义域为.探究点二函数的解析式例3 (1)已知f(x+1)=3x+2,则函数f(x)的解析式是()A.f(x)=3x-1B.f(x)=3x+1C.f(x)=3x+2D.f(x)=3x+4(2)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15,则函数f(x)=.(3)设函数f(x)对不为0的一切实数x均有f(x)+2f=3x,则f(x)=.[总结反思]求函数解析式的常用方法:(1)换元法:已知复合函数f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(2)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.(3)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(4)解方程组法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).变式题(1)已知函数f(2x-1)=4x+3,且f(t)=6,则t=()A.B.C.D.(2)若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)=()A.x+1B.x-1C.2x+1D.3x+3(3)若f(x)为一次函数,且f[f(x)]=4x+1,则f(x)=.探究点三以分段函数为背景的问题微点1分段函数的求值问题例4 (1)[2018·衡水调研]设函数f(x)=则f[f(-1)]=()A.B.+1C.1D.3则f(log27)=.(2)已知函数f(x)=-[总结反思]求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系.对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值.微点2分段函数与方程例5 (1)已知函数f(x)=若f[f(1)]=3,则a=()A.2B.-2(2)函数f(x)=-若f(0)+f(a)=2,则a的值为.[总结反思](1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值.微点3分段函数与不等式问题例6 (1)[2018·惠州二模]设函数f(x)=--若f(x0)>1,则x0的取值范围是()A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-2)∪(0,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)(2)[2018·全国卷Ⅰ]设函数f(x)=-则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是()A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)[总结反思]涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式,当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解.应用演练1.【微点1】若函数f(x)=则f(1)+f(-1)=()A.0B.2C.-2D.12.【微点2】设函数f(x)=--若f(a)=4,则实数a的值为()A.B.C.或D.3.【微点3】已知函数f(x)=--则不等式f(x)≤5的解集为() A.[-1,1]C.(-∞,-2]∪(0,4)D.(-∞,-2]∪[0,4]4.【微点3】[2018·湖北咸宁联考]已知函数f(x)=-则不等式f(x)≤x的解集为()A.[-1,3]B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.[-3,1]D.(-∞,-3]∪[1,+∞)5.【微点2】设函数f(x)=-若f=4,则b=.第4讲函数的概念及其表示考试说明 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需求选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).【课前双基巩固】知识聚焦1.非空数集非空集合任意唯一确定任意唯一确定f:A→B f:A→B2.定义域值域定义域值域3.解析法图像法列表法4.对应关系对点演练1.④[解析]①②对于定义域内任给的一个数x,可能有两个不同的y值,不满足对应的唯一性,故①②错.③的定义域是空集,而函数的定义域是非空的数集,故③错.只有④表示函数.2.45[解析]因为f(-2)=(-2)2=4,所以f[f(-2)]=f(4)=4+1=5.3.(-∞,-3)∪(-3,8][解析]要使函数有意义,需8-x≥0且x+3≠0,即x≤8且x≠-3,所以其定义域是(-∞,-3)∪(-3,8].4.7[解析]只含有一个元素时有{a},{b},{c};有两个元素时,有{a,b},{a,c},{b,c};有三个元素时,有{a,b,c}.所以值域C共有7种不同情况.5.{x|x≥2}[解析]要使函数有意义,需-解得x≥2,即定义域为{x|x≥2}.6.(-∞,-2]∪[0,10][解析]∵f(x)是分段函数,∴f(x)≥1应分段求解.当x<1时,f(x)≥1⇒(x+1)2≥1⇒x≤-2或x≥0,∴x≤-2或0≤x<1.当x≥1时,f(x)≥1⇒4--≥1,即-≤3,∴1≤x≤10.综上所述,x≤-2或0≤x≤10,即x∈(-∞,-2]∪[0,10].7.x2-1(x≥0)[解析]令t=,则t≥0,x=t2,所以f(t)=t2-1(t≥0),即f(x)=x2-1(x≥0).8.9[解析]设函数y=x2的定义域为D,其值域为{1,4},D的所有可能的个数,即是同族函数的个数,D的所有可能为{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,2,-2},{1,2,-2},{-1,1,2,-2},共9个,故答案为9.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)根据对数式的真数大于0求解;(2)根据二次根式的被开方数非负及分母不为0求解.(1)C(2)A[解析](1)由x2-x>0,得x>1或x<0,所以定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).故函数的定义域为(-3,0].(2)由题意,自变量x应满足-解得-例2[思路点拨](1)由f(x)的定义域得f(2x)的定义域,再结合ln x≠0求解;(2)由x∈[-1,1],求得x2+1的范围是[1,2],再由1≤lg x≤2即可得函数f(lg x)的定义域.(1)D(2)C[解析](1)∵f(x)的定义域为[0,2],∴要使f(2x)有意义,则有0≤2x≤2,∴0≤x≤1,∴要使g(x)有意义,应有∴0<x<1,故选D.(2)因为f(x2+1)的定义域为[-1,1],所以-1≤x≤1,故0≤x2≤1,所以1≤x2+1≤2.因为f(x2+1)与f(lg x)是同一个对应法则,所以1≤lg x≤2,即10≤x≤100,所以函数f(lg x)的定义域为[10,100].故选C.变式题(1)A(2)[-1,2][解析](1)由题意知0<x+1<1,解得-1<x<0.故选A.(2)因为函数y=f(x2-1)的定义域为[-,],所以-≤x≤,所以-1≤x2-1≤2,所以函数y=f(x)的定义域为[-1,2].例3[思路点拨](1)用配凑法将3x+2配凑成3(x+1)-1;(2)设出二次函数,利用待定系数法,根据等式恒成立求出待定系数即可;(3)构造含f(x)和f的方程组,消去f即可得f(x)的解析式.(1)A(2)-x2+2x+15(3)-x[解析](1)由于f(x+1)=3(x+1)-1,所以f(x)=3x-1.(2)由已知令f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)-f(x)=2ax+b+a=-2x+1,∴2a=-2,a+b=1,∴a=-1,b=2,又f(2)=15,∴c=15,∴f(x)=-x2+2x+15.(3)f(x)+2f=3x①,且x≠0,用代替①中的x,得f+2f(x)=3×②,解①②组成的方程组,消去f得f(x)=-x.变式题(1)A(2)A(3)2x+或-2x-1[解析](1)设t=2x-1,则x=,故f(t)=4×+3=2t+5,令2t+5=6,则t=,故选A.(2)因为3f(x)-2f(-x)=5x+1①,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1②,联立①②,解得f(x)=x+1,故选A.(3)设f(x)=ax+b(a≠0),由f[f(x)]=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+1,得a2=4,ab+b=1,解得a=2,b=或a=-2,b=-1,∴f(x)=2x+或f(x)=-2x-1.例4[思路点拨](1)先求f(-1)的值,再求f[f(-1)]的值;(2)先估算log27的范围,再确定选用哪段解析式求值.(1)D(2)[解析](1)由题意可得f(-1)==2,∴f[f(-1)]=f(2)=3,故选D.-(2)因为2<log27<3,所以1<log27-1<2,所以f(log27)=f(log27-1)=-=÷2=.例5[思路点拨](1)先求得f(1)=0,再据f(0)=3求分段函数中的参数;(2)分a≤0和a>0两种情况讨论求解.(1)D(2)0或1[解析](1)根据题意可知f(1)=log a1=0,所以f[f(1)]=f(0)=(3+a)×0+a=a=3,即a=3,故选D.(2)∵f(x)=∴f(0)=20=1.-当a>0时,f(a)=a-ln a,则有1+a-ln a=2,解得a=1;当a≤0时,f(a)=2a,则有1+2a=2,解得a=0.例6[思路点拨](1)分x0≤0和x0>0两种情况讨论求解;(2)根据题中所给的函数解析式,将函数图像画出来,结合图像可得不等式成立的条件.(1)D(2)D[解析](1)当x0≤0时,由f(x0)=--1>1,即->2,解得x0<-1;当x0>0时,由f(x0)=>1,解得x0>1.∴x0的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).(2)f(x)的图像如图所示.当即x≤-1时,若满足f(x+1)<f(2x),则满足x+1>2x,即x<1,此时x≤-1;当即-1<x<0时,f(x+1)<f(2x)恒成立.综上,x的取值范围是x<0.故选D.应用演练1.A[解析]由函数f(x)=得f(1)+f(-1)=+-+1=0.-或-2.B[解析]因为f(a)=4,所以所以或所以a=,故选B.3.B[解析]由于f(x)=--所以当x>0时,3+log2x≤5,即log2x≤2=log24,得0<x≤4;当x≤0时,x2-x-1≤5,即(x-3)(x+2)≤0,得-2≤x≤0.所以不等式f(x)≤5的解集为[-2,4].4.A[解析]当x≥0时,由x2-2x≤x,得0≤x≤3;当x<0时,由≤x,得-1≤x<0.故不等式f(x)≤x的解集为[-1,3].5.[解析]由f=4,可得f-=4.若-b≥1,即b≤,可得-=4,解得b=.若-b<1,即b>,可得3×--b=4,解得b=<(舍去).故答案为.【备选理由】例1考查给定函数解析式,求抽象函数的定义域问题;例2考查分段函数的求值,但涉及三角函数及函数的周期性;例3考查分段函数与方程问题,先分析参数的范围,可以避免分类讨论;例4是对函数值域的考查,依据分段函数的值域求参数,是对已有例题的有效补充,值得探究和思考.例1[配合例2使用][2018·邵阳期末]设函数f(x)=log2(x-1)+-,则函数f的定义域为()A.(1,2]B.(2,4]C.[1,2)D.[2,4)[解析] B要使函数f(x)有意义,则需-⇒1<x≤2,故1<≤2,即2<x≤4,所以选B.-例2[配合例4使用][2018·柳州高级中学三模]已知函数f(x)=则f(-2018)=()-A.-2B.2C.4+D.-4-[解析] A当x<1时,f(x)=-f(x+3),可得f(x+3)=-f(x),则f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x),可知当x<1时,f(x)是周期为6的周期函数,则f(-2018)=f(-336×6-2)=f(-2)=-f(-2+3)=-f(1).而当x≥1时,f(x)=x2+sin,∴f(1)=2,∴f(-2018)=-f(1)=-2.例3[配合例5使用]已知f(x)=-若f(1-a)=f(1+a)(a>0),则实数a的值为. [答案] 1[解析]∵a>0,∴1-a<1,1+a>1,∴由f(1-a)=f(1+a)得2-a=,即a2-2a+1=0,∴a=1.例4[补充使用][2018·武邑中学模拟]若函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是.[答案]a≥-[解析]∵f(x)=log4x在x>2时的值域为∞,∴f(x)=x+a在x≤2时的最大值必须大于等于,即满足2+a≥,解得a≥-.故答案为a≥-.。

••＞必过数材美函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A TB 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数X，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A T B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A T B为从集合A到集合B的一个映射记法y= f(x)，x€ A对应f：A T B是一个映射2. 函数的有关概念(1) 函数的定义域、值域：在函数y= f(x), x€ A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x € A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.(2) 函数的三要素：定义域、值域和对应关系.(3) 相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.(4) 函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表________3. 分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.［小题体验］1. (2018台州模拟)下列四组函数中，表示相等函数的是()A. f(x)= x2，g(x)= x2B. f(x)=子，g(x)= ：2函数及其表示C. f(x)= 1, g(x)= (x — 1)2x — 9D. f(x)= "x+J , g (x)=x— 3解析：选B 选项A 中，f(x) = x 2与g(x)= x 2的定义域相同，但对应关系不同；选项B中，二者的定义域都为 ｛x|x >0｝,对应关系也相同；选项 C 中，f(x)= 1的定义域为R , g(x) 0 x 2— 9=(x — 1)0的定义域为｛x|x M 1｝；选项 D 中，f(x)= 的定义域为｛x|x M — 3｝, g(x)= x — 3 x + 3的定义域为R.2.若函数 y = f(x)的定义域为｛x| — 3w x < 8, x M 5｝，值域为｛y| — K y w 2, y M 0｝，贝y y =f(x)的图象可能是(解析：选B 根据函数的概念，任意一个 x 只能有唯一的 由定义域为｛x|— 3< x w 8, X M 5｝排除A 、D 两项，故选 B.___ 13.函数f(x)= 2x- 1+口的定义域为解析：由题意得I2 — 1> 0， 解得x > 0且X M 2.lx — 2M 0,答案：［0,2) U (2,+^ )4.若函数 f(x) = ex —IT 贝 “(2))=5 — x , x > 1 , 解析：由题意知，f(2) = 5— 4 = 1, f ⑴=e 0= 1,答案：15•已知函数f(x)= ax 3 — 2x 的图象过点(一1,4),贝V f(2)= 解析：T 函数f(x) = ax 3— 2x 的图象过点(—1,4),4= — a + 2,.°. a = — 2，即卩 f(x) = — 2x — 2x , ••• f(2) = — 2X 23— 2X 2=— 20. 答案：—20••I 必过易措关1•求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义 域.y 值和它对2•分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成” •求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.=2的解为解析: Wg)卜"。

配餐作业(四) 函数及其表示(时间：40分钟)一、选择题1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象。

故选B 。

答案 B2．(2016·沈阳模拟)函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是( ) A ．{x |x >6} B ．{x |－3<x <6} C ．{x |x >－3}D ．{x |－3≤x <6}解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，6－x >0。

所以－3≤x <6。

故选D 。

答案 D3．给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数； ③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线； ④f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x 是相等函数。

其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析 由函数的定义知①正确。

因为满足f (x )＝x －3＋2－x 的x 不存在， 所以②不正确。

因为y ＝2x (x ∈N )的图象是位于直线y ＝2x 上的一群孤立的点，所以③不正确。

因为f (x )与g (x )的定义域不同，所以④不正确。

故选A 。

答案 A4．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋3解析 由f (x )＋2f (3－x )＝x 2①可得f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2②，由①②解得f (x )＝13x 2－4x ＋6。

课时跟踪检测（四） 函数及其表示一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2019·淮安调研)函数f (x )＝－x2的定义域是________．解析：由lg(5－x 2)≥0，得5－x 2≥1， 即x 2≤4，解得－2≤x ≤2. ∴函数f (x )＝－x2的定义域是[－2,2]．答案：[－2,2]2．(2018·苏州高三期中调研)函数y ＝1lnx －的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x －，解得x ＞1，且x ≠2，所以函数的定义域为(1,2)∪(2，＋∞)．答案：(1,2)∪(2，＋∞)3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a ＝________. 解析：令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a＝74. 答案：744．已知f (x )是一次函数，满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ， 依题设，3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝6，3a ＋3b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－23，则f (x )＝2x －23.答案：2x －235．(2019·盐城模考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ＋1－2，x ≤1，2x －1，x ＞1，若f (0)＝3，则f (a )＝________.解析：因为f (0)＝3，所以a －2＝3，即a ＝5，所以f (a )＝f (5)＝9. 答案：96．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x， x ＞1，－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝________，函数f (x )的值域是________．解析：因为f (2)＝12，所以f (f (2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52. 当x ＞1时，f (x )∈(0,1)，当x ≤1时，f (x )∈[－3，＋∞)， 所以f (x )∈[－3，＋∞)． 答案：－52[－3，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·如东高级中学高三学情调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________.解析：因为f (－2)＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝6，所以f (－2)＋f (log 212)＝9.答案：92．(2018·苏州期末)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≤0，－x 2＋1，x ＞0的值域为________．解析：画出f (x )的图象如图所示，可看出函数的值域为(－∞，1]． 答案：(－∞，1]3．(2018·南京名校联考)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.答案：94．(2019·南通调研)函数f (x )＝11－x＋lg(x ＋1)的定义域是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，x ＋1＞0⇒x ＞－1且x ≠1，所以函数f (x )的定义域是(－1,1)∪(1，＋∞)． 答案：(－1,1)∪(1，＋∞)5．(2018·启东中学检测)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．答案：[－1,2]6．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数的序号是________．解析：对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 答案：①③7．(2019·扬州一模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－2，x ＜0，g x ，x ＞0为奇函数，则f (g (2))＝________.解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－2，x ＜0，g x ，x ＞0为奇函数，所以当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝2x－2＝－f (x )， 所以f (x )＝－2x ＋2，即g (x )＝－2x＋2.所以g (2)＝－22＋2＝－2，f (g (2))＝f (－2)＝22－2＝2.答案：28．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋1，x ≤1，a x －1，x ＞1，若f (1)＝12，则f (3)＝________.解析：由f (1)＝12，可得a ＝12，所以f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.答案：149．(2019·泰州一调)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ≥2，x 2－3x －2，x ＜2，若f (x )＞2，则x 的取值范围是________．解析：不等式f (x )＞2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －3＞2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，x 2－3x －2＞2，解得x ＞52或x ＜－1.答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞10．(2019·无锡一中月考) 已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________．解析：要使函数g (x )有意义，需f (x )＞0，由f (x )的图象可知，当x ∈(2,8]时，f (x )＞0.答案：(2,8]11．(2019·南京金陵中学月考)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，函数y ＝f (x )的图象恒在直线y ＝2x ＋m 的上方，试确定实数m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝1，可设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，故f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2ax ＋a ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，故f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意，得x 2－x ＋1＞2x ＋m ，即x 2－3x ＋1＞m ，对x ∈[－1,1]恒成立． 令g (x )＝x 2－3x ＋1，则问题可转化为g (x )min ＞m ， 又因为g (x )在[－1,1]上递减，所以g (x )min ＝g (1)＝－1， 故m ＜－1，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)．12．(2018·南京期末)已知二次函数f (x )满足f (1)＝1，f (－1)＝5，且图象过原点． (1)求二次函数f (x )的解析式；(2)已知集合U ＝[1,4]，B ＝⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝f xx 2，x ∈U ，求∁U B .解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 因为f (1)＝1，f (－1)＝5，且图象过原点，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得a ＝3，b ＝－2，所以f (x )＝3x 2－2x . (2)y ＝f x x 2＝3－2x， 当x ∈[1,4]时，函数y ＝3－2x是增函数，当x ＝1时，y 取得最小值1；当x ＝4时，y 取得最大值52，所以B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52， 又集合U ＝[1,4]，故∁U B ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤52，4.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a ＝________.解析：当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－34，所以a 的值为－34.答案：－342．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，若当0≤x ≤2时，f (x )＝x (2－x )，则当－4≤x ≤－2时，f (x )＝________.解析：由题意知f (x ＋4)＝2f (x ＋2)＝4f (x )，当－4≤x ≤－2时，0≤x ＋4≤2， 所以f (x )＝14f (x ＋4)＝14(x ＋4)[2－(x ＋4)]＝－14(x ＋4)(x ＋2)，所以当－4≤x ≤－2时，f (x )＝－14(x ＋4)(x ＋2)．答案：－14(x ＋4)(x ＋2)3．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2， 得－72≤x ≤70.因为x ≥0，所以0≤x ≤70. 故行驶的最大速度是70千米/时．。

课时作业4 函数及其表示[基础达标]一、选择题1．下列四个图象中，是函数图象的是( )A ．(1)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(3)D ．(3)(4) 解析：由函数定义知(2)错． 答案：B2．下面各组函数中为相同函数的是( ) A ．f (x )＝x －12，g (x )＝x －1B ．f (x )＝x 2－1，g (x )＝x ＋1·x －1 C ．f (x )＝ln e x与g (x )＝e ln xD ．f (x )＝x 0与g (x )＝1x解析：函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A ，f (x )＝|x －1|与g (x )对应关系不同，故排除选项A ，选项B 、C 中两函数的定义域不同，排除选项B 、C ，故选D.答案：D3．[2019·东北三省四市模拟]函数y ＝x 3－x ＋x －1的定义域为( )A ．[0,3]B ．[1,3]C ．[1，＋∞) D．[3，＋∞)解析：要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧x 3－x ≥0，x －1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，x ≥1.∴1≤x ≤3，故选B.答案：B4．[2019·黄山质检]已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：由x 2＋1＝1得x ＝0，由x 2＋1＝3得x ＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．答案：C9．设函数f (x )＝{ 2x ＋n ，x <1，log 2x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2，则实数n 为( ) A ．－54 B ．－13C.14D.52解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2×34＋n ＝32＋n ，当32＋n <1，即n <－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋n ＋n ＝2，解得n＝－13，不符合题意；当32＋n ≥1，即n ≥－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋n ＝2，即32＋n ＝4，解得n ＝52，故选D.答案：D10．定义a ○+b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ×b ，a ×b ≥0，ab，a ×b <0，设函数f (x )＝ln x ○+x ，则f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．4ln2B ．－4ln2C ．2D ．0解析：2×ln2>0，所以f (2)＝2×ln2＝2ln2. 因为12×ln 12<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 1212＝－2ln2.则f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2ln2－2ln2＝0. 答案：D 二、填空题11．[2019·唐山考试]函数y ＝110x－2的定义域为________． 解析：依题意，10x>2，解得x >lg2，所以函数的定义域为(lg2，＋∞)．答案：(lg2，＋∞)12．设函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．解析：由题图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2.13．[2019·西安质检]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________．解析：由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109.答案：10914．[2017·山东卷]设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2x －1，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝________. 解析：若0<a <1，由f (a )＝f (a ＋1)得 a ＝2(a ＋1－1)， ∴ a ＝14，∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝6. 答案：6[能力挑战]15．若函数f (x )满足：在定义域D 内存在实数x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立，则称函数f (x )为“1的饱和函数”．给出下列三个函数：①f (x )＝1x；②f (x )＝2x ；③f (x )＝lg(x 2＋2)．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为( ) A ．①③ B．② C ．①② D．③解析：对于①，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则1x 0＋1＝1x 0＋1，所以x 20＋x 0＋1＝0(x 0≠0，且x 0≠－1)，显然该方程无实根，因此①不是“1的饱和函数”；对于②，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则2x 0＋1＝2x 0＋2，解得x 0＝1，因此②是“1的饱和函数”；对于③，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则lg[(x 0＋1)2＋2]＝lg(x 20＋2)＋lg(12＋2)，化简得2x 20－2x 0＋3＝0，显然该方程无实根，因此③不是“1的饱和函数”．答案：B16．[2019·内蒙古包头模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0<x <3，13x 2－103x ＋8，x ≥3，若存在实数a 、b 、c 、d ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )，其中d >c >b >a >0，则abcd 的取值范围是( )A ．(21,25)B ．(21,24)C ．(20,24)D ．(20,25)解析：画出f (x )的图象，如图．由图象知0<a <1,1<b <3，则f (a )＝|log 3a |＝－log 3a ，f (b )＝|log 3b |＝log 3b ，∵f (a )＝f (b )，∴－log 3a ＝log 3b ，∴ab ＝1.又由图象知，3<c <4，d >6，点(c ，f (c ))和点(d ，f (d ))均在二次函数y ＝13x 2－103x ＋8的图象上，故有c ＋d 2＝5，∴d ＝10－c ，∴abcd ＝c (10－c )＝－c 2＋10c ＝－(c－5)2＋25，∵3<c <4，∴21<－(c －5)2＋25<24，即21<abcd <24.故选B.答案：B17．已知对任意实数x ，y 都有f (x ＋y )－2f (y )＝x 2＋2xy －y 2＋3x －3y ，求f (x )＝________. 解析：解法一 ∵f (x ＋y )－2f (y )＝x 2＋2xy －y 2＋3x －3y 对任意x ，y ∈R 都成立， 故可令x ＝y ＝0，得f (0)－2f (0)＝0，即f (0)＝0. 再令y ＝0，得f (x )－2f (0)＝x 2＋3x ，∴f (x )＝x 2＋3x .解法二令x＝0，得f(y)－2f(y)＝－y2－3y，即－f(y)＝－y2－3y. 因此f(y)＝y2＋3y.故f(x)＝x2＋3x.答案：x2＋3x。

课时作业4 函数及其表示 一、选择题1．下列四个命题中正确命题的个数是( )． ①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2x ≥0，－x 2x <0的图象是抛物线． A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．下列各组函数f (x )与g (x )相同的是( )．A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2C ．f (x )＝x ，g (x )＝e ln xD ．f (x )＝|x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥0，－x ，x <03．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≤0，f x －3，x >0，则f (5)等于( )．A ．32B ．16C ．12D ．1324．已知函数f (x )满足2f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x2，则f (x )的最小值是( )． A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．45．水池有2个进水口，1个出水口，每个水口进出水速度如下图(1)(2)所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如下图(3)所示(至少打开一个水口)．给出以下三个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．其中一定正确的论断是( )．A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3，x ≥1，x 2－2x －2，x <1，若f (x 0)＝1，则x 0等于( )．A ．－1或3B ．2或3C ．－1或2D ．－1或2或37．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意的x ∈[a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|≤1成立，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“亲密函数”，区间[a ，b ]称为“亲密区间”．若f (x )＝x 2＋x ＋2与g (x )＝2x ＋1在[a ，b ]上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是( )．A ．[0,2]B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[－1,0]二、填空题8．函数y ＝16－x －x2的定义域是__________． 9．(2013届湖南长沙一中月考)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为__________．10．(2013届湘中名校联考)如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中O ，A ，B 的坐标分别是(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f 3的值为______．三、解答题11．某市出租车起步价为5元，起步价内最大行驶里程为3 km ，以后3 km 内每1 km 加收1.5元，再超过3 km 后，每1 km 加收2元．(不足1 km 按1 km 计算)(1)写出出租车费用y 关于行驶里程x 的函数关系式；(2)求行程7.5 km 时的出租车费用．12．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，x ≥0，2－x ，x <0.(1)求f [g (2)]和g [f (2)]的值；(2)求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式．参考答案一、选择题1．A 解析：只有①正确，②函数定义域不能是空集，③图象是分布在一条直线上的一系列的点，④图象不是抛物线．2．D 解析：A ，C 定义域不同，B 对应关系不同，故选D.3．C 解析：f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝2－1＝12，故选C. 4．B 解析：由2f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x2，① 令①式中的x 变为1x 可得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＝3x 2.② 由①②可解得f (x )＝2x 2＋x 2，由于x 2＞0，因此由基本不等式可得f (x )＝2x2＋x 2≥22x 2·x 2＝22，当x ＝214时取等号． 5．A 解析：由4点时水池水量为5可知打开一个进水口，故②不正确；4点到6点水池水量不变，也可能三个水口都打开，故③不正确．故选A.6．C 解析：∵f (x 0)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≥1，2x 0－3＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0<1，x 02－2x 0－2＝1， 解得x 0＝2或x 0＝－1.7．B二、填空题8．{x |－3＜x ＜2} 解析：要使函数有意义，只需6－x －x 2＞0，∴x 2＋x －6＜0.∴－3＜x ＜2，∴f (x )的定义域为{x |－3＜x ＜2}．9．(0，6] 解析：由1－2log 6x ≥0得log 6x ≤12， 所以0＜x ≤ 6.10．2 解析：f (3)＝1，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (3)＝f (1)＝2. 三、解答题11．解：(1)令[x ]表示不小于x 的最小整数，当0＜x ≤3时，y ＝5；当3＜x ≤6时，y ＝5＋1.5([x ]－3)；当x ＞6时，y ＝9.5＋2([x ]－6)．∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5，0<x ≤3，1.5[x ]＋0.5，3<x ≤6，2[x ]－2.5，x >6.(2)当x ＝7.5时，y ＝2[7.5]－2.5＝2×8－2.5＝13.5(元)．12．解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3，∴f [g (2)]＝f (1)＝0，g [f (2)]＝g (3)＝2.(2)当x ≥0时，g (x )＝x －1，故f [g (x )]＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；当x ＜0时，g (x )＝2－x ，故f [g (x )]＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3；∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x ≥0，x 2－4x ＋3，x <0.当x ≥1或x ≤－1时，f (x )≥0，故g [f (x )]＝f (x )－1＝x 2－2；当－1＜x ＜1时，f (x )＜0，故g [f (x )]＝2－f (x )＝3－x 2.∴g [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2，x ≥1或x ≤－1，3－x 2，－1<x <1.。