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17.1.2反比例函数的图象和性质（2）
问题5：练一练
1、在反比例函数y=-
x 1
a2
的图象上有三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1>x2>0>x3，则下列各式中正确的是（）
A、y3> y1> y2
B、y3> y2> y1
C、y1> y2> y3
D、y1> y3> y2
2.如图,点P是反比例函数y=
x
k 图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD 的面积为.
（3）关于问题（2）的理解
是借助图象，利用函数在每个
象限内的增减性去解决问题。
（4）学生解题的过程是否
规范。
【学生活动】
学生探究讨论，尝试完
成。
【教师活动】
教师让学生独立完成问
题5练习第1、2题。
【学生活动】
学生弄懂题意，并根据题
意口答。
【媒体应用】
出示问题4，并根
据学生回答，相机展示
问题答案。
【设计意图】
加深对问题（4）
的理解和应用。
【媒体应用】
再现数形结合的方
法及反比例函数的图
象和性质。
板书设计：。
6.2反比例函数的图象和性质一、选择题1.已知反比例函数y =2x，则这个函数的图象一定经过()A.(2，1)B.(2，−1)C.(2，4)D.(−12，2)2.点(−1，y 1)，(2，y 2)，(3，y 3)均在函数y =6x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是()A.y 3<y 2<y 1 B.y 2<y 3<y 1 C.y 1<y 2<y 3 D.y 1<y 3<y 23.已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在反比例函数y =3x的图象上，当x 1>x 2>0时，下列结论正确的是()A.0<y 1<y 2B.0<y 2<y 1C.y 1<y 2<0D.y 2<y 1<04.已知反比例函数y =kx的图象经过点P (−1，2)，则这个函数的图象位于()A.第二、三象限B.第一、三象限C.第三、四象限D.第二、四象限5.若函数y =m +2x的图象在其所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值范围是()A.m <−2B.m <0C.m >−2D.m >06.若反比例函数y =kx的图象经过点(2，−1)，则该反比例函数的图象在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限7.某反比例函数的图象经过点(−2，3)，则此函数图象也经过点()A.(2，−3)B.(−3，−3)C.(2，3)D.(−4，6)8.平面直角坐标系中有四个：M (1，−6)，N (2，4)，P (−6，−1)，Q (3，−2)，其中在反比例函数y =6x图象上的是()A.M 点B.N 点C.P 点D.Q 点9.一次函数y =−kx +4与反比例函数y =kx 的图象有两个不同的交点．若(−12，y 1)，(−1，y 2)，(12，y 3)是函数y =2k 2−9x图象上的三个点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是()A.y 2<y 3<y 1B.y 1<y 2<y 3C.y 3<y 1<y 2D.y 3<y 2<y 110.如图，给定的点A ，B 分别在y 轴正半轴、x 轴正半轴上，延长OB 至点C ，使BC =OB ，以AB ，BC 为邻边构造四边形ABCD ，点P 从点D 出发沿边DC 向终点C 运动（点P不与点C 重合），反比例函数y =kx的图象经过点P ，则k 的值的变化情况是()A.先增大后减小B.一直不变C.一直增大D.一直减小二、填空题11.反比例函数y =−6x 图象上一个点的坐标是．12.已知反比例函数y =1−mx的图象如图所示，则m 的取值范围是．13.试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式．14.请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数．答：．15.试写出图象位于第二象限与第四象限的一个反比例函数解析式．16.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为函数y =k 2−1x图象上的两点，且x 1<0<x 2，y 1>y 2，则实数k 的取值范围是．17.在平面直角坐标系中，O 是原点，A 是x 轴上的点，将射线OA 绕点O 旋转，使点A 与双曲线y =√3上的点B 重合，若点B 的纵坐标是1，则点A 的横坐标是．18.如图，矩形OABC 的两条边在坐标轴上，OA =1，OC =2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n 次(n >1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为（用含n 的代数式表示）．19.如图，点A 在双曲线y =3x第三象限的分支上，连接AO 并延长交第一象限的图象于点B ，画BC x 轴交反比例函数y =kx的图象于点C ，若△ABC 的面积为6，则k的值是．20.如图，已知在Rt △OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数y =kx(k =0)在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD ．若△OCD △ACO ，则直线OA 的解析式为．三、解答题21.已知反比函数y =5−mx，当x =2时，y =3．(1)求m 的值；(2)当3⩽x ⩽6时，求函数值y 的取值范围．22.已知函数y =−3x．(1)画出函数图象（列对应值表，用描点法作出)．(2)利用图象，求当−3⩽x ⩽−1时，函数值y 的取值范围．23.如图，已知图中的曲线是反比例函数y =m −5x(m 为常数）图象的一支．(1)这个反比例函数的图象的另一支在第几象限?常数m 的取值范围是什么?(2)若该函数的图象与正比例函数y =2x 的图象在第一象限内的交点为A ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ．当△OAB 的面积为4时，求点A 的坐标及反比例函数的表达式．24.作出反比例函数y =−4x的图象，结合图象回答；(1)当x =2时，y 的值；(2)当1<x ⩽4时，y 的取值范围；(3)当−1⩽y <4且y =0时，x 的取值范围．25.在数学活动课上，老师提出了一个问题，希望同学们进行探究．在平面直角坐标系中，若一次函数y=kx+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y=6 x的图象交于C、D两点，则AD和BC有怎样的数量关系?同学们通过合作讨论，逐渐完成了对问题的探究．小勇说：我们可以从特殊入手，取k=−1进行研究（如图x），此时我发现AD=BC．小攀说：在图x中，分别从点C、D两点向两条坐标轴作垂线，根据所学知识可以知道有两个图形的面积是相等的，并能求出确定的值，而且在图y中，此时k=−1，这一结论仍然成立，即的面积=的面积，此面积的值为．小高说：我还发现，在图x或图y中连接某两个已知点，得到的线段与AD和BC都相等，这条线段是．(1)请完成以上填空；(2)请结合以上三位同学的讨论，对图y所示的情况下，证明AD=BC；(3)小峰突然提出一个问题：通过刚才的证明，我们可以知道当直线与双曲线的两个交点都在第一象限时，AD=BC总是成立的，但我发现当k的取值不同时，这两个交点有可能在不同象限，结论还成立吗?请你结合小峰提出的问题，在图z中画出示意图，并判断结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．6.2反比例函数的图象和性质—答案一、选择题12345678910ADADAD A C D D 4.把点P (−1，2)的坐标代入y =k x ，得2=k−1，解得k =−2，所以函数图象位于第二、四象限．9.由−kx +4=kx ，得−kx 2+4x −k =0.∵∆=42−4(−k )·(−k )=16−4k 2>0，∴k 2<4，∴2k 2−9<0，∴函数y =2k 2−9x的图象在第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，∴y 1>y 2>0>y 3.10.根据反比例函数系数的几何意义，k 的值等于过P 点分别作x 轴、y 轴的垂线与坐标轴所围成的矩形的面积，因此，可排除A 、B 、C 选项．二、填空题11.(2，−3)解析：满足条件xy =−6的任一点(x ，y )均可12.m <113.y =−1x 14.y =1x （答案不唯一）15.y =−1x（答案不唯一）16.−1<x <1解析：由x 1<0<x 2，y 1>y 2，知k 2−1<0，解得−1<x <1．17.2或−2解析：如图所示：∵点A 与双曲线y =√3x上的点B 重合，点B 的纵坐标是1，∴点B 的横坐标是√3．∴OB =»12+(√3)2=2．∵A 点可能在x 轴的正半轴也可能在负半轴，∴A 点坐标为：(2，0)，(−2，0)．18.145n (n +1)或65n (n +1)解析：设反比例函数解析式为y =k x，则x 与BC ，AB 平移后的对应边相交；与AB 平移后的对应边相交的交点的坐标为(2，1.4)，则1.4=k2，解得k =2.8=145，故反比例函数解析式为y =145x．则第n 次(n >1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：145n −145(n +1)=145n (n +1)；y 与OC ，AB 平移后的对应边相交；k −k 2=0.6，解得k =65．故反比例函数解析式为y =65x．则第n 次(n >1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：65n −65(n +1)=65n (n +1)．综上可得，第n 次(n >1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为145n (n +1)或65n (n +1)．19.9解析：设点A Äa ，3a ä，则点B Ä−a ，−3aä．∴点C 的纵坐标为−3a ．∴点C 的横坐标为−ak3．∴C Ä−ak3，−3aä．∴S △ABC =12BC ·(|y A |+|y B |)=6．∴12Ä−ak 3+a äÄ−3a −3a ä=6．解得k =9．20.y =2x 解析：设OC =a ，由点D 在y =k x 上，CD =ka ，△OCD △ACO ，可算得AC =a 3k ，点A (a ，a 3k )，又由点B 是OA 的中点，B 的坐标为(a 2，a 32k )，点B 在反比例函数图象上，可得a 2=2k ，点B 的坐标为Äa 2，a ä．三、解答题21.(1)把x =2，y =3代入y =5−m x ，得3=5−m2，解得m =−1．(2)由m =−1知，该反比例函数的解析式为y =6x．当x =3时，y =2；当x =6时，y =1．∴当3⩽x ⩽6时，y 随x 的增大而减小，∴函数值y 的取值范围是1⩽y ⩽2．22.(1)列表：x ···−3−2−1123···y ···11.53−3−1.5−1···描点并作出函数图象如解图．(2)由图象知，当x<0时，y 随x 的增大而增大，且当x =−3时，y =1，当x =−1时，y =3．故当−3⩽x ⩽−1时，函数值y 的取值范围是1⩽y ⩽3．23.(1)这个反比例函数的图象的另一支在第三象限．∵这个反比例函数的图象分布在第一、三象限，∴m −5>0，解得m >5．(2)如解图，设点A 的坐标为(x 0，2x 0)(x 0>0)，则点B 的坐标为(x 0，0)．∵S △OAB =4，∴12x 0·2x 0=4，解得x 0=2(负值舍去)．∴点A 的坐标为(2，4)．∵点A 在反比例函数y =m −5x的图象上，∴4=m −52，即m −5=8．∴反比例函数的表达式为y =8x．24.(1)列表：x ···−4−3−2−11234···y···14324−4−2−43−1···如图即为所求．y =−2．(2)−4<y ⩽−1．(3)x <−1或x ⩾4．25.(1)四边形OHCF ；四边形OIDG ；6．GH(2)成立，证明如下：如图，连接GH ，GC ，DH ，∵点C ，D 是反比例图象上的点，∴S 矩形F CHO =S矩形GDIO ．∴12S 矩形F CHO =12S 矩形GDIO ．∴S △CGH =S △GHD ．∴点C ，D 到GH 的距离相等．∴CD GH ．∴BCHG 和四边形GHAD 都是平行四边形．∴BC =GH ，GH =DA ．即AD =BC ．(3)画出图形，得到GH ，∵点C ，D 是反比例图象上的点，∴S 矩形F CHO =S 矩形GDIO ．∴12S 矩形F CHO =12S 矩形GDIO ．∴S △CGH =S △GHD ．∴点C ，D 到GH 的距离相等．∴CD GH ．∴BCHG 和四边形GHAD 都是平行四边形．∴BC =GH ，GH =DA ．即AD =BC ．。
18.3反比例函数的图像和性质（第2课时）（作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·上海浦东新·八年级期末）在反比例函数y ＝2x的图像上有三点A 1（x 1,y 1）、A 2(x 2,y 2)、A 3(x 3,y 3)，已知x 1< x 2<0<x 3则下列各式中，正确的是（ ） A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3< y 2< y 1C ．、y 2< y 1< y 3D ．y 3< y 1< y 22．（2022·上海·八年级期末）已知三点(),a m 、(),b n 和(),c t 都在反比例函数2021y x=的图像上，若0a b c <<<，则m 、n 和t 的大小关系是（ ）A ．t n m <<B ．t m n <<C ．m t nD ．m n t <<3．（2022·上海·八年级单元测试）已知函数y ＝kx （k ≠0）中y 随x 的增大而增大，那么它和函数(0)ky k x=≠在同一直角坐标平面内的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2022·上海·八年级单元测试）已知反比例函数y =kx（k ≠0），且在各自象限内，y 随x 的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A ．（2，3） B ．（-2，3）C ．（3，0）D ．（-3，0）5．（2022·上海·八年级单元测试）关于函数2y x=-，下列说法中正确的是（ ）A ．图像位于第一、三象限B ．图像与坐标轴没有交点C ．图像是一条直线D ．y 的值随x 的值增大而减小6．（2022·上海·八年级单元测试）已知点2,1在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，则这个函数图象一定经过点（ ） A ．(2,1)-- B ．(2,2)C ．16,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(3,1)--二、填空题7．（2022·上海·八年级单元测试）若1(1,)M y -、21(,)2N y -两点都在函数ky x=的图像上，且1y <2y ，则k的取值范围是______．8．（2022·上海·八年级单元测试）已知反比例函数3ay x-=，如果在每个象限内，y 随自变量x 的增大而增大，那么a 的取值范围为__________．9．（2022·上海·八年级开学考试）反比例函数y=3k x-的图象，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是_____．10．（2022·上海·八年级单元测试）如果函数2ky x的图像与直线y x =无交点，那么k 的取值范围为_______．11．（2022·上海·八年级期末）已知函数5k y x-=的图象在每个象限内，y 的值随x 的值增大而减小，则k 的取值范围是_________．12．（2022·上海·八年级期末）已知反比例函数1k y x-=（k 是常数，1k ≠）的图像有一支在第四象限，那么k 的取值范围是__________．13．（2022·上海·八年级期末）已知反比例函数(0)ay a x=>的图像上有两点()11,A y ，()22,B y ，那么1y ______2y ．（填“>”或“<”）14．（2022·上海松江·八年级期末）已知反比例函数3k y x-=的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是_____．15．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）1l 是反比例函数ky x=在第一象限内的图像，且过点()2,5A ，2l 与1l 关于x 轴对称，那么图像2l 的函数解析式为______．16．（2022·上海·八年级单元测试）已知三点（a ，m ）、（b ，n ）和（c ，t ）在反比例函数y ＝kx（k ＞0）的图像上，若a ＜0＜b ＜c ，则m 、n 和t 的大小关系是 ___．（用“＜”连接）17．（2022·上海·八年级单元测试）已知： y 与x 成反比例，且x =1时，y =3，则x =12-时，y =______．三、解答题18．（2022·上海·上外附中八年级期末）已知函数 12y y y =-，且 1y 为 x 的反比例函数， 2y 为 x 的正比例函数，且 32x =- 和 1x = 时，y 的值都是1，求y 关于x 的函数关系式．19．（2022·上海·八年级单元测试）已知y ＝y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝﹣1时，y ＝﹣4；当x ＝3时，203y =，求y 关于x 的函数解析式．20．（2022·上海·八年级单元测试）参照反比例函数研究的内容与方法，研究下列函数：(1)研究函数11yx=+：①画出它的图像；②它的图像是什么图形？可看作怎样的图形经过怎样的平移得到？③说明它所具有的性质．(2)研究函数13yx=+的图像与性质；(3)由（1）（2）的图像经过平移，你还能得出怎样的函数图像与性质，请举例说明；(4)研究函数452xyx+=-的图像与性质．21．（2022·上海·八年级单元测试）已知反比例函数的图象经过点A（-2，-3）．(1)求该反比例函数的表达式；(2)判断点3(2)B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．22．（2022·上海·八年级单元测试）已知反比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）(1)求k 的值；(2)此函数图象在 象限，在每个象限内，y 随x 的增大而 ；（填“增大”或“减小”） (3)判断点B （﹣1，6）是否在这个函数的图象上，并说明理由； (4)当﹣3＜x ＜﹣1时，则y 的取值范围为 ．【能力提升】一、单选题1．（2022·上海·八年级单元测试）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点(1,1)-；乙：函数图像经过第四象限；丙：当0x >时，y 随x 的增大而增大．则这个函数表达式可能是（ ） A ．y x =-B ．1y x=C ．y x =D ．1y x=-2．（2022·上海·八年级期末）下列函数中，函数值y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．3x y =-；B ．3x y =； C ．1y x=；D ．1y x=-．3．（2022·上海浦东新·八年级期末）已知函数()0ky k x=≠中，在每个象限内，y 的值随x 的值增大而增大，那么它和函数()0y kx k =-≠在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）．A ．B ．C ．D ．4．（2022·上海·八年级期末）已知点11(,)x y ，22(,)x y 均在双曲线1y x=-上，下列说法中错误的是（ ）A ．若12x x =，则12y y =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y <D ．若120x x <<，则12y y >5．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）下列函数中，y 随x 的增大而减小的是（ ） A ．2y x = B ．2y x=C ．2y x =-D ．2y x=-6．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）反比例函数my x=的图像在第二、四象限内，则点(,1)m -在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题7．（2022·上海·八年级单元测试）在描述某一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向x 轴、y 轴作垂线，与两坐标轴所围成的长方形的面积为2022.”乙同学说：“这个反比例函数在同一个象限内，y 的值随着x 的值增大而增大.”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是_______. 8．（2022·上海·八年级单元测试）已知点P 位于第三象限内，且点P 到两坐标轴的距离分别为3和2．若反比例函数图象经过点P ，则该反比例函数的解析式为______．9．（2022·上海·八年级期末）若三个点（-2，1y ），（-1，2y ），（2，3y ）都在反比例函数6y x=-的图像上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是________．10．（2022·上海·八年级单元测试）在同一平面直角坐标系中，正比例函数y ＝k 1x 的图像与反比例函数2k y x=的图像一个交点的坐标是（－1，3），则它们另一个交点的坐标是_______．三、解答题11．（2022·上海·八年级单元测试）如图，点A ，B 在反比例函数ky x=的图像上，A 点坐标(1,6)，B 点坐标(,)(1)m n m >．（1）求反比例函数的解析式；（2）过点B 作BC y ⊥轴，垂足为点C ，联结AC ，当6ABCS=时，求点B 的坐标．。
反比例函数的图像和性质__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________重点：能结合具体情境确定反比例函数的表达式，并理解反比例函数系数k 的具体意义；掌握反比例函数的图象的基本特征。
难点：会运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题。
一、反比例函数1、函数 （k 为常数，k ≠ ）叫做反比例函数，k 叫做 。
自变量x 的取值范围是x 0，函数值 y 0.反比例函数常见的表达形式还有（k ≠0）和xy=k （k ≠0）.2、要确定一个反比例函数的表达式，只需求出 .如果已知一对自变量与函数的对应值，就可以由此求出 .然后写出所求的反比例函数。
二、反比函数的图象和性质1、用描点法画反比例函数图象的基本步骤① ；② ；③ .1-=kx y x k y =2、反比例函数（k ≠0）的图象是由两个分支组成的曲线，当k>0时，图象在 象限；当k<0时，图象在 象限.反比例函数（k ≠0）的图象关于直角坐标系的 成中心对称。
3、反比例函数的图象的对称轴有 条。
4、反比例函数（k ≠0）的性质：当k>0时，在图象所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而 ；当k<0时，在图象所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而 ；知识点一、反比例函数定义例1．函数y=（m 2﹣m ）是反比例函数，则（ ） A ．m ≠0B ．m ≠0且m ≠1C ．m=2D ．m=1或2练习1、若函数y=是反比例函数，则k= ． 练习2、若函数是y 关于x 的反比例函数，求m 的值。
反比例函数的意义和函数值例2、已知变量y 关于（x+5）成反比例函数，且x=2时，y=2，求x=2017时，y 的函数值.x k y =x ky =x y 1=x ky =132)1(+++=m m x m y练习1、已知y -1 与x 成反比，且x=2时,y=9. 求x=2017时，y 的函数值。
北师大版初中数学九年级上册第六章第二节《反比例函数的图像与性质》第二课时教学设计黄河中学李霞一、学情分析：函数是研究现实世界变化规律的一个重要数学模型，学生曾在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等相关知识，对函数的概念和研究函数的方法有了初步的认识和了解．特别是在学习一次函数时，学生已经掌握了如何画一次函数的图象，探究过一次函数的性质，积累了一定的活动经验和方法感悟，在此基础上学习反比例函数的图象与性质，可以让学生进一步领悟函数的概念，进一步积累探究函数图象和性质的方法，为后续探究二次函数的图像和性质做好知识上和方法上的铺垫．二、教学任务分析：1. 通过画反比例函数图象，训练学生的作图能力，进一步巩固作反比例函数的图象.2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质，训练学生的识图能力.3.通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力.教学重点：通过观察图象，归纳概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质.教学难点：从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质.三、教学过程分析：本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设问题情境，引入新课；第二环节：新课讲解；第三环节：巩固新知；第四环节：探求新知；第五环节：随堂练习; 第六环节：归纳与概括；第七环节，布置作业。
第一环节：创设问题情境，引入新课活动目的 复习上节内容,,并引导学生类比一次函数图象性质引出反比例函数图象其他性质。
活动过程：1、上节课已经初步认识了反比例函数的图像，并能根据图像研究反比例函数的性质。
请同学们根据所学知识，完成下面几个反比例函数图像： （1）y= 2x （2）y=−2x （3）y=−4x（4）y= 4x（5）y= −6x （6）y= 6x(分小组完成作图)2、你能想到其他的图象吗？它是什么形状？有什么特点？ 第二环节 新课讲解活动目的 通过观察反比例函数的图像,归纳概括K>0时反比例函数图象的共同特征,探索反比例函数的主要性质。
人教版八年级数学下册反比例函数知识点归纳和典型例题（一）知识结构（二）学习目标1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式（k为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数．2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点．3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题．4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法．（三）重点难点1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用．2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握．二、基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B．C．D．答案：（1）C；（2）A．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（1）A；（2）D；（3）B．注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x 成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：（1）B；（2）4，8，（，）；（3）依题意，且，解得．（4）①依题意，解得②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．（5）①，，；②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．5．面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x 轴，△ABC的面积S，则（）．A．S=1 B．1＜S＜2C．S=2 D．S＞2（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（3）题图第（4）题图（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x 轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．第（5）题图第（6）题图（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．①求B点坐标和k的值；②当时，求点P的坐标；③写出S关于m的函数关系式．答案：（1）D；（2）C；（3）6；（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．（5）1．（6）①双曲线为，直线为；②直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1），因此面积为4．（7）①B（3，3），；②时，E（6，0），；③．6．综合应用（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．①求反比例函数和一次函数的解析式；②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．①求点A、B、D的坐标；②求一次函数和反比例函数的解析式．（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；②双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（5）不解方程，判断下列方程解的个数．①；②．答案：（1）D．（2）①反比例函数为，一次函数为；②范围是或．（3）①A（0，），B（0，1），D（1，0）；②一次函数为，反比例函数为．（4）①反比例函数为，；②存在（2，2）．（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．。
